36591

Теорія механізмів і машин

Конспект

Производство и промышленные технологии

Структура та класифікація механізмів Структура механізму це його будова. Будовою механізму визначаються такі його важливі характеристики як види виконуваних рухів способи їх перетворення число ступенів вільності. Основними структурними елементами механізму є ланки тверді тіла та кінематичні пари рухомі з’єднання твердих тіл. Ланки механізму рухомо з’єднані між собою.

Украинкский

2013-09-23

8.12 MB

68 чел.

Міністерство освіти і науки України

Луцький державний технічний університет

Теорія механізмів

і машин

Конспект лекцій

Луцьк 2002

УДК 621.01(07)

ББК 34.41 Я7

Я77

Теорія механізмів і машин. Конспект лекцій. Навчально-методичний посібник. /М.П.Ярошевич – Луцьк: ЛДТУ, 2002. – 135с.

У навчальному посібнику у стислій і доступній формі викладені основні положення теорії механізмів і машин. Зміст викладеного відповідає навчальній програмі для вищих технічних закладів. Посібник розрахований перш за все на студентів очної форми навчання, для яких навчальним планом передбачений курс лекцій обсягом 54 години та здача екзамену. Він може бути використаний для вивчення курсу “Прикладна механіка”.

Укладач: М.П. Ярошевич

Рецензенти: Д.М. Коновалюк, В.М.Стрілець

Відповідальний за випуск: М.П. Ярошевич

Затверджено науково-методичною радою ЛДТУ, протокол №3 від 27.11.2002р.

Рекомендовано до друку навчально-методичною комісією машинобудівного факультету ЛДТУ, протокол №2 від 08.10.2002 р.

Розглянуто на засіданні кафедри ТММ і ДМ, протокол №2 від 28.09.2002 р.

М.П.Ярошевич, 2002


ВСТУП

Ефективна робота народногосподарського комплексу нашої держави в ринкових умовах не можлива без оснащення його високопродуктивними, енергетично малозатратними, надійними і довговічними машинами. Створення таких машин вимагає від інженерів-механіків глибоких і міцних знань, в першу чергу, в області теорії механізмів і машин (ТММ).

§1. ТММ як наука. Початкові (вхідні)  поняття та визначення

Теорія механізмів і машин - це наука про загальні  методи дослідження механізмів і машин та про наукові основи їх проектування.

В літературі можна зустріти інші визначення. ТММ -  наука, що вивчає загальні методи дослідження (теоретичні та експериментальні) механізмів і машин та проектування їх схем незалежно від конкретного призначення.

ТММ - наука про аналіз та синтез механізмів, механіку машин. Підкреслимо, методи ТММ придатні для  дослідження  та проектування будь-яких механізмів і не залежать від технічного призначення машини, приладу чи апарата. Наприклад, механізм двигуна внутрішнього згоряння, механізм кривошипного преса та лісопильної рами (не дивлячись на різне призначення та  повну несхожість зовнішнього вигляду) мають в основі один і той же кривошипно-повзунний механізм (рис. 1.1). Це дає можливість застосовувати загальні методи їх дослідження та проектування. Один і той самий механізм для перетворення обертового руху, виконаний у вигляді зубчастих коліс, може застосовуватись  в автомобілях, верстатах і годинниках, тому  можна при дослідженні механізмів з різним функціональним призначенням застосовувати загальні методи, що базуються на основних принципах сучасної механіки.

ТММ - наукове підґрунтя для створення нових машин. Проектування механізмів являє собою складну комплексну проблему, розв’язок якої розбивається на  декілька етапів.  В ТММ  переважно розглядаються задачі першого етапу проектування, за допомогою яких розробляються  кінематичні  схеми механізмів, що відтворюють потрібний закон руху.  Зрозуміло, що всі наступні етапи проектування базуються на першому визначальному етапі. Тому важко переоцінити роль ТММ як теоретичної основи проектування машин.

ТММ - це одна із загальноінженерних дисциплін. Курс ТММ є з’єднувальною  ланкою між циклом загальнонаукових дисциплін та циклом спеціальних дисциплін, в яких вивчають машини та  прилади окремих галузей техніки. ТММ є основою для вивчення курсів деталей  машин, основ конструювання машин, підіймально-транспортних  пристроїв, курсів  з розрахунку і  конструюванню окремих видів машин в залежності від спеціальності,  за якою проводиться підготовка студентів, і т.ін. Курс ТММ є, по суті,  вступним у спеціальність майбутнього інженера.

В основі курсу лежать фундаментальні положення математики і механіки. Ці положення розвиваються і доповнюються стосовно конкретних технічних задач, які виникають при дослідженні та проектуванні машин.

Більше всього ТММ  ґрунтується на  теоретичній механіці. Нагадаємо, механіка - наука про механічний рух та взаємодію матеріальних тіл. Механіку прийнято ділити на теоретичну та прикладну. Вони діалектично взаємопов’язані.

В теоретичній механіці встановлюють загальні закономірності об’єктів, що вивчаються без зв’язку з їх конкретним застосуванням.

Під терміном “Прикладна механіка” (крім ТММ, містить, як правило, опір матеріалів та деталі машин) розуміють галузь механіки, присвячену вивченню руху (та напруженого стану) дійсних технічних об’єктів-конструкцій, механізмів, машин, пристроїв з врахуванням загальних закономірностей, встановлених в теоретичній механіці. Враховуючи   сказане, можна сформулювати ще одне визначення ТММ.

ТММ - наука, що  вивчає структуру (будову), кінематику  та  динаміку механізмів і машин у зв’язку з їх аналізом та синтезом. Задачі ТММ дуже різноманітні, але найважливіші з них можна згрупувати за двома  проблемами:

- аналіз-дослідження існуючих механізмів та машин;

- синтез-проектування нових механізмів і машин.

Наведемо деякі визначення. Машина - це пристрій, що виконує механічні рухи для перетворення енергії матеріалів та інформації з метою заміни або полегшення фізичної  та розумової праці людини.

В ТММ основною ознакою машини, що відрізняє її від інших пристроїв, є наявність механічного руху. З точки зору функцій, що виконують машини, їх можна поділити на наступні класи: енергетичні машини; технологічні (робочі) машини; транспортні машини; інформаційні машини; кібернетичні машини.

Енергетичною машиною називається машина, що призначена для перетворення будь-якого виду енергії у механічну (і навпаки). У першому випадку вона називається машина-двигун, в другому випадку – машина-генератор.

В технологічних машинах (металообробні верстати та комплекси, ковальсько-пресове обладнання, прокатні стани, ливарне обладнання і т. ін.) змінюється форма, розміри, властивості, стан вихідних матеріалів та заготовок.

З допомогою транспортних машин та пристроїв відбувається переміщення вантажів, інструментів, людей та інших об’єктів у просторі з потрібною швидкістю.

Інформаційні машини – машини для одержання та перетворення інформації.

Кібернетична машина – це машина, що замінює або імітує різні механічні, фізіологічні або біологічні процеси, що притаманні людині і живій природі, та яка має елементи штучного інтелекту.

Зазначимо, що двигуна і робочу машину, що з ним з’єднана, називають машинним агрегатом. Часто до складу машинного агрегату входять передавальні механізми.

Виконання машиною своїх функцій зв’язане з передачею та перетворенням  механічного руху. Носієм руху в машинах є механізми. Механізми-основа кожної машини. Механізм – спеціально створена система твердих тіл, що рухомо з’єднані і які рухаються певним, потрібним чином відносно одного з них, яке прийняте за нерухоме.

Основними ознаками  механізмів є рухомість  ланок (твердих тіл), визначеність (погодження) їх рухів. Більшість механізмів виконують функцію перетворення механічного руху твердих тіл.   Механізм – це система твердих тіл, що рухомо з’єднані між собою, яка призначена для перетворення руху одного чи кількох тіл у потрібні рухи інших тіл.

§2. З історії науки

Механіка – одна з найдавніших наук. Відомості про перші механізми губляться в глибині століть. Перші з них – це майстерно виконані штучні механізми – пастки для відлову звірів, про що свідчать рисунки на скелях і стінах печер (кам’яний вік).

Прості механізми (важелі, гвинти, клини, зубчасті та інші) були відомі з давніх часів. Поступово йшов процес їх дослідження, вдосконалення та впровадження в практику з метою полегшити працю людини, підвищити продуктивність праці.

Як наука теорія механізмів і машин виникла в кінці XVIII ст., коли почався бурхливий розвиток промисловості в Англії, Франції, Німеччині. Потреби машинного виробництва спонукали до розвитку науки. І в подальшому розвиток, ТММ нерозривно пов’язаний з розвитком машинного способу виробництва.

Про внесок видатних вчених у науку про механізми буде сказано в етапах викладу курсу ТММ. Відмітимо тільки, що радянська школа спеціалістів в області теорії механізмів і машин була визнана в усьому світі.

Розвиток науки і освіти в Україні в області ТММ пов’язаний з іменами таких відомих вчених як С.Н. Кожевніков, Я.Л. Геронімус, О.С. Кореняко, Л.І. Цехнович, А.Ф. Попов, К.В. Тір та інші.


Глава 1. Структура  та класифікація механізмів

Структура механізму - це його будова. Будовою механізму визначаються такі його важливі характеристики, як види виконуваних рухів,  способи їх перетворення, число ступенів вільності.

Основними структурними елементами механізму є  ланки (тверді тіла) та кінематичні пари (рухомі з’єднання твердих тіл). Тобто, з точки зору ТММ, будь-який механізм чи машина складаються лише з ланок, які з’єднані  між собою кінематичними парами.

§1. Ланки та кінематичні пари . Класифікація кінематичних пар

Усі механізми та машини складаються з окремих деталей. Нагадаємо, деталь - це виріб, виготовлений без застосування складальних операцій, як правило, з цілого шматка матеріалу (або з окремих частин зварюванням), тому не може бути розібрана на простіші без руйнування.

Під час роботи машини існують деталі, які рухаються як одне ціле відносно інших деталей. Тому в ТММ має місце таке поняття як ланка.

Одна деталь або сукупність декількох деталей, які утворюють одну жорстку систему тіл і не мають рухів одне відносно іншого, представляють собою ланку. Отже, кожна ланка може складатись з однієї або декількох деталей, що утворюють нерухомі з’єднання.  Найчастіше зустрічається таке визначення ланки. Тверді тіла, з яких складається механізм, називаються ланками. При цьому маються на увазі як абсолютно тверді, так і деформівні та гнучкі тіла. Рідини та  гази в ТММ ланками не вважаються. Для прикладу розглянемо шатун двигуна внутрішнього згоряння (рис. 1.1, а, б, ланка 2). Це одна ланка, яка представляє собою сукупність декількох деталей (рис. 1.1, в: тіло шатуна 1, втулка 2, вкладки 3, 4, рознімна головка 5, болти 6, гайки, контргайки, шайби, шплінти - 7), з’єднаних в одну геометричну незмінну систему. Оскільки всі ці деталі не мають між собою відносних рухів,  утворюють одну жорстку систему тіл, і рухаються як одне ціле, то всі вони представляють собою одну ланку.

Ланки механізму  рухомо з’єднані між собою. Рухоме з’єднання двох ланок, що дотикаються, називають кінематичною парою.

Точки, лінії, поверхні ланки,  якими вона  стикається (з’єднується) з іншою ланкою, утворюючи кінематичну пару, називають елементами кінематичної пари. Кінематична пара при взаємодії елементів допускає відносний рух ланок.

Для того, щоб елементи кінематичної пари  перебували у постійному дотику (ланки в механізмі повинні бути постійно з’єднані між собою), пара повинна бути замкнена.

За характером замикання кінематичні пари поділяють на пари з силовим (за рахунок сил ваги, пружності, тиску рідини, газу і т.ін.) та геометричним (за рахунок конструктивних форм ланки) замиканням.

Класифікація кінематичних пар. За характером з’єднання ланок кінематичні пари поділяють на дві групи: нижчі та вищі. До нижчих відносяться пари, у яких ланки стикаються   по поверхні, а до вищих - якщо елементами кінематичної пари є  тільки лінії або  точки. При цьому лінійний або точковий контакт розуміють як початковий – при дотиканні ланок без зусиль, а під навантаженням ланки, які утворюють вищу пару, будуть дотикатись по деякій дійсній поверхні, яка називається плямою контакту.

Рис. 1.1

Кінематичні пари класифікують за числом (S) умов зв’язку (обмежень), які накладає пара на рух однієї ланки відносно іншої , рідше - за числом (H) ступенів вільності у відносному русі ланок. Число ступенів вільності у відносному русі ланок визначає вид пари за рухомістю.  Розрізняють кінематичні пари одно-, дво-, три-, чотири-, і пятирухомі.

Числом ступенів вільності механічної системи називають число незалежних її можливих переміщень.

В загальному випадку для абсолютно твердого тіла, що вільно рухається в просторі, число ступенів вільності дорівнює шести. Рух такого тіла можна уявити як обертання навколо та ковзання вздовж трьох довільно взятих взаємно перпендикулярних координатних осей (незалежно і одночасно). При плоскому русі тіло матиме три ступені вільності.

Отже, вільне в просторі тіло має шість ступенів вільності, тобто Н=6. Це означає, що на рух вільного  тіла не накладено ніяких обмежень.

Як вже було сказано, в механізмі вільних (не зв’язаних між собою) ланок немає. Кінематичні  пари накладають обмеження на рух ланок, ”змушують” їх рухатись певним чином, виконувати потрібні, задані рухи. Або,  інакше,  для того, щоб ланка механізму  рухалась певним чином, її рух необхідно обмежити кінематичною парою.

Входження ланки в кінематичну пару з іншою ланкою накладає на їх відносний рух певні обмеження - умови зв’язку (в’язі) S.

Очевидно, що число цих умов зв’язку не може бути більшим п’яти, інакше  кінематична пара стане жорстким з’єднанням двох ланок, тобто вони утворять одну ланку. Так само не може бути кінематичної пари, яка не накладає жодного зв’язку, бо при цьому матимемо дві вільні ланки.

Отже, число S умов зв’язку, що накладають кінематичні пари  на відносний рух  ланок, може змінюватися в межах від 1 до 5, тобто S. Число ступенів вільності ланки, що входить до кінематичної пари, дорівнює Н=6–S.

Клас кінематичної пари визначається числом умов зв’язку; його  можна знайти з рівності S = 6 – H.

Номер класу пари збігається з числом  S умов зв’язку. Оскільки число  умов зв’язку може  змінюватися в  межах від 1 до 5, то число класів кінематичних пар дорівнює п’яти.

На рис. 1.2 наведено основні види кінематичних пар, їх схеми та умовне позначення згідно рекомендацій міжнародних стандартів, стосовно структурних та кінематичних схем. Відзначимо, що тут наведено принципове зображення кінематичних пар, а конструктивні виконання можуть бути  різними.

Найбільше застосування в механізмах машин, приладах та інших пристроях отримали обертові кінематичні пари V класу.

Обертова пара (рис. 1.2, а) – однорухома, допускає лише один відносний обертовий рух однієї ланки навколо іншої, тобто число ступенів вільності  Н=1; на відносний рух ланки накладено S=6–H=5 умов зв’язку (в’язей). Отже, це кінематична пара п’ятого класу. Елементи обертової пари – це циліндричні поверхні (ланки 1 та 2 дотикаються по циліндричній поверхні);  нижча пара замкнена геометрично.

Поступальна пара (рис. 1.2, б) – однорухома, допускає лише прямолінійний поступальний відносний рух ланок, тобто Н=1  S=5; отже, це кінематична пара V класу, нижча, з геометричним замиканням. Відомим прикладом конструктивного виконання такої кінематичної пари є пара поршень - циліндр двигуна внутрішнього згоряння, поршневої помпи, компресора і т.ін.

Відзначимо, що кінематичні пари V класу зустрічаються в трьох варіантах. Крім названих, обертової та поступальної, до V класу відносять також кінематичну пару гвинт – гайка (рис. 1.2, в), оскільки одна ланка відносно іншої  має тільки один незалежний рух (обертання навколо і поступальний рух вздовж осі гвинта взаємопов’язані між собою).

IV клас. Циліндрична пара (рис. 1.2, г) – дворухома кінематична пара, допускає незалежні обертовий та поступальний відносні рухи ланок, тобто Н=2, а S=4, отже, це IV клас пари. Пара нижча (ланки дотикаються по циліндричній поверхні) з геометричним замиканням.

Рис. 1.2

ІІІ  клас. Сферична пара (кульковий шарнір, рис. 1.2, д), площинна пара (рис. 1.2, е) – трирухомі кінематичні пари. Рух однієї ланки відносно іншої зводиться до трьох незалежних відносних  рухів (показано стрілками); Н=3, S=3, тобто пари ІІІ класу; пари нижчі,  з геометричним замиканням.

ІІ клас. Лінійна пара. Наведена варіантом “циліндр-площина” (рис. 1.2, є). Чотирирухома кінематична пара; можливі незалежні відносні рухи ланок (обертові та поступальні) показані стрілками; тобто Н = 4, S = 2, ІІ клас. Це вища пара, тому що контакт елементів ланок лінійний.

І клас. Точкова пара (рис. 1.2, ж). П’ятирухома кінематична пара, що являє собою кулю 1, яка перекочується з ковзанням по площині 2. Куля може здійснювати п’ять простих незалежних рухів; Н=5, а S =1. Рух кулі відносно площини може бути розкладений на три обертові рухи навколо осей  x, y, z  та ковзання вздовж двох осей x, y. Рух кулі вздовж вертикальної осі неможливий, тому що до низу він обмежений площиною, а при русі в протилежному напрямку порушується дотик ланок і кінематична пара перестане існувати. В даній кінематичній парі має бути передбачене силове замикання. Пара – вища, оскільки ланки дотикаються у точці. Зазначимо, в загальному випадку пари I класу одержують при лінійному дотику двох поверхонь, а II класу – при точковому.

Як бачимо, щоб визначити клас кінематичної пари, треба одну з ланок умовно прийняти за нерухому, зв’язати з нею просторову систему координат та порахувати можливі незалежні рухи іншої ланки, Н (або порахувати накладені умови зв’язку, тобто  обмеження на можливі прості рухи ланки, S). Клас кінематичної пари знаходимо з рівності S = 6-Н.

Відмітимо, що в плоских механізмах можуть бути лише кінематичні пари ІV та V класів.

Відзначимо, що перевагою нижчих кінематичних пар, у порівнянні з вищими, є можливість передачі великих зусиль. Дія сил у нижчих парах розподіляється на більшу площу, у зв’язку з чим питомий тиск і стирання суттєво менші. Такі кінематичні пари є технологічнішими. Перевагою вищих пар є можливість відтворення самих найрізноманітніших законів руху вихідної ланки та зменшення тертя при застосуванні кінематичних з’єднань.

Кінематичні з’єднання. Необхідно відмітити, що відносна рухомість ланок, що з’єднуються, може бути забезпечена також кінематичними з’єднаннями. Кінематичні з’єднання є аналогами кінематичних пар. Кінематичний ланцюг, що конструктивно замінює у механізмі кінематичну пару, називається кінематичним з’єднанням. Кінематичне з’єднання може складатися з декількох ланок та кінематичних пар, але тільки дві ланки з’єднання можуть бути з’єднані з іншими ланками механізму.

Прикладами кінематичних з’єднань можуть бути кулькова вальниця, кульково-ґвинтові передачі, роликові напрямні та інші (замінюють, відповідно, обертові, ґвинтові та поступальні кінематичні пари). Застосування кінематичних з’єднань замість кінематичних пар дозволяє зменшити втрати на тертя, підвищити тримкість , спростити технологію виготовлення.

Структурні та кінематичні схеми механізмів. При зображенні механізму на кресленні, розрізняють його структурну схему із застосуванням умовних позначень ланок і кінематичних пар (без дотримання масштабу) і кінематичну схему, яка є його кінематичною моделлю.

Структурна схема містить загальну інформацію про механізм: про кількість ланок та кінематичних пар, послідовність, способи з’єднання ланок та види можливих рухів.

Кінематична схема механізму будується у вибраному масштабі з точним дотриманням всіх розмірів і форм, від яких залежить рух тієї чи іншої ланки. На кінематичній схемі повинно бути вказане все, що є необхідним для вивчення руху. Все зайве, що не впливає на рух, має бути вилучене, щоб не ускладнювати креслення.

На схемах ланки позначають арабськими цифрами 0, 1, 2, 3,…, а кінематичні пари і різні точки ланок (наприклад, центри ваг) – латинськими літерами А, В, С, S2 … (рис. 1.1, б).

Ланки розрізняють за конструктивними ознаками (корпус двигуна, колінчастий вал, шатун, поршень, зубчасте колесо і т.п.), але в ТММ найчастіше – залежно від  характеру їхнього відносного руху. Наприклад: кривошип - ланка механізму, яка здійснює повний оберт навколо нерухомої осі (рис. 1.1, ланка 1); коромисло - ланка, яка здійснює коливальний рух; повзун - ланка, що здійснює поступальний прямолінійний рух (3); шатун - ланка важільного механізму, що здійснює плоскопаралельний рух (2); куліса - рухома ланка, яка є напрямною повзуна.

В кожному механізмі є одна нерухома ланка (або ланка, що приймається за нерухому) та одна чи декілька рухомих ланок. Нерухому ланку механізму називають стояком. Наприклад, у механізмі двигуна внутрішнього згоряння – блок двигуна, картер, головка циліндрів, циліндри, вальниці колінчастого вала і т.ін. утворюють в сукупності одну нерухому ланку – стояк (рис. 1.1, ланка 4). Стояк на схемі механізму позначають штриховкою. Поняття нерухомої ланки для транспортних машин умовне. Стояк – це ланка, відносно якої визначають рух усіх інших ланок механізму.

Згідно визначення, у будь-якому механізмі є  ланка (або декілька), рух якої є  заданим. Ланка, якій задається рух, що перетворюється у потрібні рухи інших ланок називається вхідною. На схемах її позначають дугою зі стрілкою (рис. 1.1, ланка 1). В деяких випадках  застосовують терміни – ведуча ланка, початкова ланка. Якщо ланці приписується одна чи декілька узагальнених координат, то вона називається початковою. Ведуча ланка – ланка для якої елементарна робота зовнішніх сил, прикладених до неї, є додатна;  якщо робота від’ємна, або дорівнює нулю – ведена. Ланка механізму, яка здійснює потрібний рух, для виконання якого  призначено механізм, називається вихідною. Переважно у механізмі одна вхідна і одна вихідна ланки (механізм з одним ступенем вільності). Інші рухомі ланки – з’єднувальні, або проміжні. Вхідній ланці механізму з одним ступенем вільності переважно присвоюють номер 1, а вихідній номер n, проміжним ланкам порядкові номери: 2, 3, ..., n-1. Вхідна ланка отримує рух від двигуна, а вихідна з’єднується з робочим органом машини.

§2. Кінематичні  ланцюги.

Кінематичним ланцюгом називають сукупність ланок, з’єднаних між собою кінематичними  парами.

Отже, в  основі кожного механізму лежить кінематичний ланцюг. Але при цьому не всякий кінематичний ланцюг є механізмом. Кінематичний ланцюг - це будь-яке з’єднання ланок кінематичними парами. Механізм, призначений для отримання певних, наперед заданих рухів. Тільки той кінематичний ланцюг буде механізмом, ланки якого здійснюють доцільні рухи, що  слідують з інженерних, виробничих задач, для виконання яких сконструйовано механізм. Тобто, ланки в механізмі з’єднуються не будь-яким чином, а за певними правилами.

Кінематичні ланцюги бувають: простими і складними,  замкненими і незамкненими, плоскими і просторовими.

В простому ланцюзі кожна ланка входить в одну або дві  кінематичні пари   (рис. 1.3, a). Якщо хоча б одна ланка входить більше як до двох кінематичних пар, то такий ланцюг називається складним (рис. 1.10, б, в, г).

Прості та складні кінематичні ланцюги, в свою чергу, поділяються на замкнені і незамкнені. Незамкненим називається ланцюг, у якого є ланка, що входить лише в одну кінематичну пару (рис. 1.4, ж). Замкненим називається ланцюг, кожна ланка якого входить не менш як у дві кінематичні пари (рис. 1.3, а). В замкненому ланцюзі ланки утворюють один або декілька контурів.

Плоским називають ланцюг, всі точки якого описують  плоскі траєкторії або траєкторії що лежать в одній чи паралельних площинах (рис. 1.3, а). Просторовим називають ланцюг, у якого точки ланок описують просторові траєкторії, або траєкторії, розташовані в пересічних площинах (рис. 1.4).

§3. Основні види механізмів та їх структурні схеми

Механізми  поділяють, в першу чергу, на механізми з нижчими парами та механізми з вищими парами. Крім того, всі механізми можна поділити на плоскі та просторові (визначення плоских та просторових механізмів аналогічне до визначення плоских та просторових кінематичних ланцюгів).

Найрозповсюдженіші механізми з нижчими парами - важільні, клинові та гвинтові; з вищими парами - кулачкові, зубчасті, фрикційні, мальтійські та храпові (заскочкові). Нижче наведено приклади основних механізмів (їх схем), що застосовують у різних машинах.

Важільні  механізми – це механізми, в яких ланки утворюють лише обертові, поступальні, циліндричні або сферичні кінематичні пари.

Плоскі важільні механізми (механізми, які мають тільки обертові та поступальні пари). Ці механізми знайшли широке застосування в машино- та приладобудуванні завдяки можливості забезпечення потрібного перетворення руху при простоті геометричної форми ланок та елементів кінематичних пар. Перевагами таких механізмів є висока технологічність виготовлення, можливість виконання шарнірних з’єднань на вальницях котіння, здатність передавати відносно великі зусилля, довговічність та надійність у роботі.

Кривошипно-повзунний механізм (рис. 1.1) - один із найпоширеніших, застосовується в поршневих машинах (двигунах   внутрішнього згоряння, компресорах, помпах), у кувальних машинах та пресах, лісопильних рамах, приладах і т.ін. Цей механізм служить для перетворення обертового руху кривошипа 1 в поступальний рух повзуна 3, чи навпаки (ланка 2 – шатун, ланка 4 – стояк).

Рис. 1.3

Зазначимо, що в назвах низки механізмів відображені їх конструктивні ознаки та назви (характер руху) вхідної та вихідної ланок. Механізми, які мають тільки обертові пари, називають шарнірними.

Шарнірний чотириланковик (ланки з’єднані лише обертовими парами) служить для перетворення одного виду обертового руху в інший. В залежності від розмірів ланок може бути кривошипно-коромисловим, двокривошипним або двокоромисловим механізмом; застосовується у пресах та кувальних машинах, конвеєрах, прокатних станах, портальних кранах, у приводі коліс тепловозів, електровозів, вагових механізмів і т.ін. На рис. 1.3, а  ланка 1– кривошип, 2 – шатун, 3 – коромисло, 4 – стояк (випадок кривошипно-коромислового механізму).

Кулісний механізм призначений для перетворення одного виду неперервного обертового руху ланки 1- кривошипа в інший,  ланки 3 – куліси (рис. 1.3, в), або обертового руху в поступальний - ланки 5 – повзуна (рис. 1.3, г). Ланка 2 – повзун, який в кулісних механізмах  називається кулісним каменем. Особливістю кулісних механізмів є прискорений зворотній хід куліси. Такі чотири-та шестиланкові кулісні механізми застосовують у строгальних і довбальних верстатах, поршневих помпах та компресорах, гідроприводах (куліса з каменем являє собою циліндр 3 з поршнем зі штоком 2, рис. 1.3, б) і т.ін. В кулісному механізмі, в залежності від розмірів ланок, куліса може виконувати коливальний, обертовий рух або рухатись поступально.

Відмітимо, що в сучасному машинобудуванні найширше застосовують плоскі механізми. Механізми зі складними структурно-кінематичними схемами в більшості випадків, за основну перетворювальну рух частину мають один з розглянутих вище типів механізмів.

Просторові механізми з нижчими парами. Просторові важільні механізми в багатьох випадках забезпечують виконання потрібного виду руху точніше та меншим числом ланок у порівнянні з плоскими механізмами, тобто дозволяють уникнути застосування складних структурних схем: забезпечують передачу руху між осями  довільно розміщеними в просторі.

Просторовий шарнірний чотириланковик (рис. 1.4, а- модель, б- схема): 1 – кривошип, 2 – шатун, 3 – коромисло, 4 – стояк;  просторовий кривошипно-повзунний механізм (рис. 1.4, в, г) 1 – кривошип, 2 – шатун, 3 – повзун, 4 – стояк; механізм універсального шарніра (шарніра Гука, або карданної передачі рис. 1.4, д, е). Цей механізм призначений для передачі обертового руху між валами, осі яких перетинаються, при цьому кут між ними може змінюватися під час руху.  Особливістю механізму є те, що при обертанні вхідного вала (вилки) 1 з сталою кутовою швидкістю вихідний вал (вилка) 3 буде обертатися нерівномірно, при  чому, чим більший кут між осями, тим більша нерівномірність обертання (ланка 2 – хрестовина). На рис. 1.4, ж наведена  структурна схема  механізму маніпулятора промислового робота (ланки 1-6 – рухомі, 0 – стояк, F – захват).

Приклади механізмів (плоских і просторових) з вищими парами. Найширше застосування в машинах та приладах знаходять зубчасті механізми. Найпростіша зубчаста передача складається зі стояка та двох рухомих коліс, на ободі яких розміщені зубці. Зубці коліс входять почергово у зачеплення між собою та завдяки взаємодії забезпечують передачу обертового руху. В зубчастій передачі розрізняють зовнішнє, внутрішнє та рейкове зачеплення (рис. 1.5, а, б, в). Менше з двох спряжених коліс називають шестірнею 1, більше - колесом 2 (або частковий випадок - рейка). За взаємним розміщенням осей коліс зубчасті передачі бувають:

- з паралельними осями (рис. 1.5, аб, циліндричні передачі);

- з  осями які перетинаються (рис. 1.5, г, конічні передачі);

- з мимобіжними осями (рис. 1.5, деє, відповідно гвинтові, черв’ячні та гіпоїдні передачі).

В кулачкових (плоских та просторових) механізмах, вища пара утворена ланками, що називаються  кулачок (шайба змінної кривини профілю) 1 і штовхач 2     (рис. 1.6, а), або кулачок та коромисло 2 (рис. 1.6, б). Потрібний закон руху забезпечується відповідним профілем кулачка.

Найважливішою позитивною якістю кулачкових механізмів є можливість отримувати різноманітніші закони руху вихідної ланки, у тому числі із зупинками; простота методів синтезу.

Зазначимо, що у курсі ТММ  детальніше вивчаються три основні типи механізмів: плоскі важільні, зубчасті, кулачкові механізми.

У фрикційному механізмі передача обертового руху здійснюється за допомогою сил тертя. Найпростіша циліндрична фрикційна передача складається зі стояка та двох циліндричних коліс 1, 2, які робочими поверхнями притиснуті настільки, що сила тертя, яка виникає між ними, дає змогу їм передавати рух (рис. 1.7, а). Однією із важливіших переваг фрикційних передач є можливість плавного безступінчастого регулювання передатного відношення. Лобова фрикційна передача (рис. 1.7, б), в якій ролик 1 може встановлюватися на різних відстанях   від осі обертання ланки 2 забезпечує плавну зміну кутової швидкості і напряму обертання вихідної ланки.

Рис. 1.4

У машинобудуванні та приладобудуванні застосовують велику кількість різноманітних механізмів, загальна кількість їх обчислюється тисячами. Розглянуті вище механізми найтиповіші.

Рис. 1.5

Об’єм конспекту не дозволяє детальніше зупинитись на цьому питанні. Тим більше, що даний матеріал є оглядовий, з яким легко ознайомитись самостійно за рекомендованою літературою.

Рис. 1.6

Опис значно більшого числа механізмів наведений у спеціальних довідкових виданнях (Артоболевский И.И. Механизмы в современной технике. В 7т. - М.: Наука, 1979-1981; Кожевников С.Н. и  др. Механизмы: Справочник. - М.: Машиностроение, 1976; Крайнев А.Ф. Словарь-справочник по механизмам. - М.: Машиностроение, 1987).

Рис. 1.7

§4. Структурні формули кінематичних ланцюгів

Існують загальні закономірності в будові (структурі) найрізноманітніших механізмів, які проявляються у взаємозв’язку числа ступенів вільності механізму з числом ланок та числом і видом його кінематичних пар. Ці закономірності відображають структурні формули механізмів.

Просторові механізми. Нехай  механізм складається з к ланок. Якби всі ланки були вільними тілами, загальна кількість їх ступенів вільності була б рівна Н = 6к. В механізмі ланки з’єднані за допомогою кінематичних пар. Кожна з пар накладає на ланку відповідну кількість в’язей. Так, кінематична пара V класу накладає п’ять в’язей (“відбере” п’ять ступенів вільності), IV – чотири в’язі, ІІІ – три в’язі і т.ін. Позначимо число кінематичних пар V класу, що входять до складу механізму, через р5, IV класу - р4 , ІІІ класу – p3  і т. п. Тоді загальне число ступенів вільності всіх ланок, тобто число ступенів вільності, що їх має кінематичний ланцюг механізму, становитиме

Н=6к-5р5-4р4-3р3-2р21

Оскільки в механізмі одна із ланок вважається нерухомою, то загальне число ступенів вільності зменшиться на шість, W = Н-6. Позначимо число рухомих ланок механізму через n = к-1, тоді число ступенів вільності кінематичного ланцюга відносно нерухомої ланки

W = 6n-5р5-4р4-3р3-2р21.  (1.1)

Це формула для визначення числа ступенів вільності (рухомості) просторових кінематичних ланцюгів, механізмів – структурна формула кінематичного ланцюга загального виду. В літературі  її називають ще формулою Сомова-Малишева.

Ступінь вільності (рухомості) механізму W – це число ступенів вільності його рухомого кінематичного ланцюга відносно нерухомої ланки (стояка).

Плоскі механізми. На рух кожної з ланок плоского механізму накладено три загальні обмеження. Якщо б усі рухомі ланки на площині були вільними тілами, то загальне число ступенів вільності  ланок дорівнювало б  (6 - 3)n = 3n. У плоских механізмах кінематичні пари можуть бути лише V класу, однорухомі - нижчі та IV класу, дворухомі - вищі;  відповідно пари п’ятого класу будуть накладати – (5 - 3)р5 = 5 в’язей (три загальні в’язі вже накладено площиною); пари четвертого класу – (4 - 3)р4 = р4 в’язей. В плоскі механізми пари I, II, III  класів входити не можуть, оскільки вони володіють просторовим характером можливих відносних рухів.  Структурна формула для плоского кінематичного ланцюга буде :

W=3n-2р54.    (1.2)

Це структурна формула Чебишева для визначення числа ступенів вільності плоских кінематичних ланцюгів, механізмів.

За формулами (1.1), (1.2) проводять структурний аналіз існуючих механізмів і синтез структурних схем нових механізмів.

Аналіз ступеня вільності механізму. Наведемо визначення механізму, враховуючи нові поняття.

Механізмом називається такий кінематичний ланцюг, у якому при заданому русі однієї чи декількох ланок відносно будь-якої з них всі інші ланки здійснюють однозначно визначені рухи.

Як видно з визначення, у будь-якому механізмі є ланка (або декілька ланок), рух яких є заданим. Виникає запитання - скільки незалежних рухів можна задати  даному механізму? Як було сказано,  ступінь вільності механізму характеризує число ступенів вільності його кінематичного ланцюга відносно стояка. Отже, якщо механізм має один ступінь вільності, то одній з ланок механізму треба задати рух; при цьому всі інші ланки механізму отримують цілком визначені рухи, що є функціями заданого. Таким чином, для визначеності рухів усіх ланок механізму, який утворений кінематичним ланцюгом  з одним ступенем вільності, необхідно і достатньо мати заданим закон руху однієї з ланок. Якщо механізм має два ступені вільності, то необхідно задати одній з ланок два незалежних рухи  або двом ланкам по одному незалежному руху. Отже, ступінь вільності механізму вказує на число незалежних рухів, які треба задати в механізмі, щоб рух усіх інших ланок був цілком визначеним.

Зазначимо, що при нульовому ступені вільності ні одна з ланок не може рухатися відносно нерухомої ланки і кінематичний ланцюг перетворюється в ферму.

Кожна з незалежних між собою координат, що визначає положення всіх ланок механізму відносно стояка, називається узагальненою координатою механізму. За узагальнену координату приймається кут повороту або лінійне зміщення ланки.

Ланка, якій приписується одна чи декілька узагальнених координат називається початковою ланкою. Цей термін пов’язаний з тим, що знаходження положень усіх ланок механізму починають з побудови положень початкової ланки. Вибір початкової ланки визначається зручністю визначення положень ланок механізму  та зручністю його аналізу. Початкові та вхідні ланки можуть як збігатися, так і не збігатися.

Число узагальнених координат механізму також визначається ступенем вільності механізму. Кожний незалежний рух визначається заданням закону зміни однієї узагальненої координати (кутової або лінійної).

Кривошипно-повзунний механізм (рис. 1.1)  має ступінь вільності рівний одиниці, тобто W=1. Отже, для визначеності руху всіх ланок механізму треба задати йому один рух або  треба мати заданою одну узагальнену координату. Нехай  задано закон обертання ланки 1 у вигляді функції =( t ), де – кут повороту кривошипа 1. В цьому разі всі інші  ланки будуть мати цілком визначений рух. Ланка 1 механізму буде вхідною (початковою). Нагадаємо, ланка (ланки) механізму, якій надається рух, що перетворюється в потрібний рух інших ланок механізму, називається вхідною ланкою.

Ступінь вільності механізму визначає число  вхідних (початкових ) ланок, тобто кількість ланок, яким необхідно задати рух, щоб усі інші ланки рухались цілком визначено.

Зазначимо, що, в основному, в конструкціях машин і приладів використовуються механізми з одним ступенем вільності. Значно рідше знаходять застосування механізми з двома та більше ступенями вільності. До таких конструкцій відносяться, наприклад, диференціали автомобілів, маніпулятори.

Пасивні (зайві) умови зв’язку. Необхідно зазначити, що під час дослідження структури механізму можуть виявитися умови зв’язку та ступені вільності, що не впливають на характер руху механізму в цілому. Такі умови зв’язку називають пасивними, а ступені вільності – зайвими, оскільки їх можна вилучити без зміни загального характеру руху механізму.

Розглянемо для прикладу важільний п’ятиланковий механізм подвійного паралелограма, що на практиці зустрічається у вагових механізмах, швейних двоголчастих машинах, спарниках тепловозів та електровозів (рис. 1.8, а). При значних навантаженнях  ланки можуть недопустимо деформуватися. Крім того, шарнірний паралелограм, переходячи через своє граничне положення, може перетворитися в антипаралелограм. Для позбавлення цих недоліків в конструкцію механізму вводять додатковий шатун EF. При цьому розміри  ланок задовольняють умови АВ = СD, АD = ЕF = ВС, АЕ = ВЕ  і  DF = FС.

З урахуванням другого шатуна ступінь рухомості механізму паралелограма

W = 3n-2р54 =3·4-2·6 = 0,

Рис. 1.8

тобто, згідно з розрахунком, такий кінематичний ланцюг не має рухомості, а є фермою. Насправді, як це підтверджує практика, у разі приведення в рух кривошипа АВ (чи іншої ланки) усі ланки даного кінематичного ланцюга мають цілком визначені рухи. Отже, це механізм, а кінематичні пари Е та F і зв’язки, накладені ними на ланки,  не впливають на рух механізму в цілому.

Додаткові в’язі, що не впливають на рух механізму в цілому та на закон руху веденої ланки, називають пасивними (зайвими). Пасивні в’язі дублюють інші в’язі, не зменшуючи рухомість механізму, а лише перетворюють його у статично невизначену систему.

Виконуючи структурний, кінематичний  аналіз, пасивні в’язі треба вилучати; умовно відокремимо шатун ЕF від механізму. Тоді ступінь вільності механізму буде таким, як і є насправді, рівним одиниці

W=33-24=1

Зазначимо, що пасивні зв’язки існують при виконанні певних геометричних співвідношень в механізмі; введення додаткового шатуна ЕF лише за умови ЕF = АD не внесе нових зв’язків і число ступенів вільності залишиться рівним одиниці. Якщо ж точність виконання вказаних геометричних співвідношень виявиться недостатньою, наприклад, АЕFD, то відстань ЕF вже не буде рівною AD і рух стане неможливим, тобто число ступенів вільності дійсно буде рівним нулю.

Отже, в загальне число накладених умов зв’язку може ввійти деяке число додаткових (пасивних) в’язей. Ступінь вільності просторового механізму з урахуванням пасивних зв’язків визначається за наступною формулою  Сомова-Малишева

  (1.3)

де q – число пасивних (зайвих) в’язей.

У загальному випадку розв’язати рівняння (1.3) з двома невідомими (W, q) є важкою задачею. Проте, коли ступінь вільності механізму знайдено з геометричних міркувань, то з (1.3) можна знайти число пасивних зв’язків. 

Для плоского механізму формула Чебишева з урахуванням пасивних зв’язків матиме вигляд

Wп = 3n-2р54+q

індекс “п” звертає увагу на те, що мова йде про ідеально плоский механізм або, точніше, про його плоску схему. Реальні плоскі механізми, через неточності виготовлення, у деякій мірі є просторовими.

Механізми, які мають зайві зв’язки, є статично невизначеними; якщо q = 0 - механізм статично визначена система. Якщо пасивних умов зв’язку немає,  механізм складається  без деформації ланок, останні ніби самовстановлюються; такі механізми називаються самовстановлюючими або раціональними. Якщо пасивні в’язі існують (q0), то механізми потребують підвищеної точності виготовлення. При недостатній точності у процесі складання ланки механізму деформуються, що викликає навантаження кінематичних пар і ланок значними додатковими силами; тертя в кінематичних парах може значно збільшитися. Тому з цієї точки зору пасивні в’язі в механізмах небажані.

Але в цілому ряді випадків необхідно свідомо проектувати та виготовляти  статично невизначені механізми із залишковими в’язями для забезпечення потрібної міцності та жорсткості системи, для кращого розподілу навантажень, особливо при передачі великих сил. Так, наприклад, для колінчатого вала чотирициліндрового двигуна (рис. 1.8, б), з точки зору кінематики  механізму з одним ступенем вільності, повністю достатньо однієї опори А з обертовою кінематичною парою  V класу. Але, враховуючи велику довжину вала і значні зусилля, що навантажують колінчатий вал, вводять ще дві опори А/ і А//; інакше система буде нероботоздатною з причини недостатньої жорсткості та міцності. Для такої конструкції  необхідно забезпечити високу точність виготовлення, особливо співвісність усіх трьох опор, інакше вал буде деформуватись, і в матеріалі вала та вальницях можуть з’явитися недопустимо великі напруги. Зазначимо, що розрізняють пасивні умови зв’язку в кінематичних ланцюгах механізму – зайві контурні зв’язки, та – в кінематичних парах – локальні зв’язки (відповідно перший та другий розглянуті приклади).

Зайві ступені вільності. Розповсюдженим прикладом зайвих ступенів вільності є обертання роликів на їх осях. Як приклад розглянемо  кулачковий механізм з роликовим штовхачем (рис. 1.6).

Ступінь вільності кулачкового механізму за формулою Чебишева

W=3n-2p5-p4=3·3-2·3-1=2.

Виходячи з того, що W=2 можна зробити висновок, що у механізмі має бути дві вхідні ланки. Проте, очевидно, що для визначеності руху штовхача достатньо задати лише один рух кулачку. Зайвий ступінь вільності створює ролик. Він може обертатися  навколо своєї осі, не впливаючи на характер руху всього механізму. Кінематика механізму не зміниться, якщо ролик вивести, а профіль кулачка виконати по еквідістанті (штрихова лінія на рис. 1.6). Ролик являє собою конструктивний елемент, який зменшує сили тертя і спрацювання ланок.

В подальшому, при вивченні руху ланок механізмів, будемо припускати, що всі зайві умови зв’язку попередньо вилучені.

§5. Структурна класифікація плоских механізмів. Основний принцип створення механізмів

У сучасному машинобудуванні особливо поширені плоскі механізми, ланки яких входять в кінематичні пари IV i V класів. Розглянемо принципи їх структурної класифікації.

Структурна класифікація Ассура-Артоболевського є однією з найраціональніших класифікацій плоских механізмів. Перевагою цієї класифікації є те, що вона пов’язується з методами кінематичного та динамічного дослідження механізмів. Класифікація універсальна, охоплює усі існуючі і можливі нові механізми; визначає напрямки дослідження механізмів, вказує шляхи утворення нових механізмів.

В основі її лежить основний принцип створення механізмів, сформульований в 1914 р. Л.В. Ассуром. Ним був запропонований метод створення механізмів шляхом послідовного нашарування кінематичних ланцюгів, що мають певні структурні властивості: будь-який механізм може бути створений шляхом послідовного приєднання до однієї (чи декількох) початкових ланок та стояка кінематичних ланцюгів з нульовим ступенем вільності. Такі кінематичні ланцюги з нульовим ступенем вільності називають структурними групами або групами Ассура, а початкову ланку та стояк - механізмом І класу.

Таким чином, будь - який механізм можна отримати послідовним приєднанням до механізму І класу (одного чи декількох) груп Ассура.

Структурною групою Ассура називається кінематичний ланцюг, приєднання якого до механізму не змінює ступеня вільності механізму.

Існують інші визначення, наприклад: кінематичний ланцюг, число ступенів вільності якого відносно елементів його зовнішніх кінематичних пар дорівнює нулю, називають групою Ассура , якщо з нього не можна виділити простіші кінематичні ланцюги, що задовільняють цій умові. Отже, основною ознакою групи Ассура є рівність нулю її ступеня вільності, WГр = 0.

Сукупність стояка та початкової ланки, що утворюють кінематичну пару  V класу, умовно називають механізмом І класу (найпростішим, початковим механізмом); число механізмів І класу дорівнює числу ступенів вільності механізму.

Отже, механізми І класу являють собою найпростіші дволанкові механізми, що складаються з рухомої ланки та стояка, що з’єднані між собою або однією обертовою, або - поступальною кінематичною парою V класу (рис. 1.9); ступінь вільності механізму І класу рівний одиниці. Механізми І класу, що мають обертову пару, досить поширені в техніці. Це механізми таких машин як електродвигуни, генератори, турбіни, вентилятори, відцентрові помпи і т.ін..

Рис. 1.9

Усі складніші можуть бути отримані шляхом приєднання до механізмів І класу додаткових кінематичних ланцюгів - структурних груп Ассура.

Очевидно, щоб створити новий механізм з одним ступенем вільності, W =1 (з іншими властивостями), до механізму І класу треба приєднати лише такі кінематичні ланцюги, які мають W=0, тобто групи Ассура.

При розгляді питань класифікації механізмів зручно обмежитися розглядом механізмів, у яких всі вищі пари IV класу попередньо замінені відповідними кінематичними ланцюгами, що утворені лише кінематичними парами V класу, p4=0. Тоді, для структурних груп Ассура,  справедлива рівність

WГр=3n-2p5=0.  (1.4 )

З  (1.4) дістанемо співвідношення  p5=n.  Оскільки кількість кінематичних пар завжди ціле число, то  кількість ланок в групі Ассура завжди парна; умові (1.4) відповідають лише такі співвідношення ланок і кінематичних пар, що входять у групу Ассура:

Таблиця 1.1

п

2

4

6

8

р5

3

6

9

12

Зауважимо, що групи Ассура можуть мати лише парне число ланок, бути дво-, чотири-, шестиланковими і т.ін. Задаючись співвідношеннями ланок і кінематичних пар (табл. 1.1), можна дістати різні групи Ассура. Усі одержані таким чином групи Ассура поділено на класи: II, III, IV і т.д. У свою чергу, приєднуючи до механізму (чи механізмів) I класу групи Ассура різних класів, можна отримати найрізноманітніші механізми, відповідно механізми II, III, IV і т.д. класів.

Відзначимо що поділ груп за класами обумовлено методами кінематичного і силового аналізів, що властиві групам кожного класу.

Отже, найпростіша група Ассура складається з двох ланок і трьох кінематичних пар V класу - група Ассура ІІ класу ІІ порядку або двоповодкова група. Оскільки пари V класу в плоских механізмах можуть бути обертовими та поступальними, то в залежності від співвідношення їх числа та розташування можливі 5 видів (модифікацій) такої групи. На рис. 1.10, а зображено групи Ассура ІІ класу ІІ порядку І, ІІ, ІІІ, IV, V видів; штриховими лінями показані ланки (поводки), до яких приєднуються дані структурні групи; це можуть бути рухома ланка або стояк механізму І класу, або ж ланки інших, вже приєднаних груп Ассура, при цьому не можна приєднувати структурну групу до однієї ланки.

Зазначимо, що, приєднуючи до механізму І класу групу Ассура ІІ класу ІІ порядку І виду, дістанемо шарнірний чотириланковик, рис. 1.3, а ; - ІІ виду – кривошипно-повзунний механізм, рис. 1.1; - ІІІ виду - кулісний механізм, рис. 1.3, в. Механізми, до складу яких входять групи Ассура не вище другого класу - це механізми ІІ класу.

Наступна, більш складна група Ассура, складається з чотирьох ланок і шести кінематичних пар - група ІІІ класу ІІІ порядку або триповодкова група. Характерною особливістю цієї групи є наявність ланки, що входить в три кінематичні пари і утворює жорсткий трикутник; таку ланку називають базисною. Найпростіша група ІІІ класу, з одними обертовими парами, зображена на рис. 1.10, в. В частинному випадку базисна ланка може бути прямолінійною, а деякі кінематичні пари - поступальними (рис. 1.10, б). Механізми, до складу яких входять групи Ассура не вище третього класу - механізми ІІІ класу.

Другий можливий кінематичний ланцюг, що складається з чотирьох ланок і шести пар (рис. 1.10, г) – група ІV класу ІІ порядку. Особливістю цієї групи є наявність рухомого чотиристороннього замкненого контуру. Очевидно, можливо отримати різні модифікації цих груп, якщо обертові пари комбінувати з поступальними.

Більш складні групи V і вищих класів використовуються обмежено і тут не розглядаються.

Таким чином групи Ассура діляться на класи і порядки. Клас групи Ассура визначається найвищим класом контура, що входить до її складу (за І.І. Артоболевским,  клас структурної групи Ассура визначається числом кінематичних пар, що утворюють найбільш складний замкнутий контур). Основою структурної групи є замкнутий контур. Клас контура визначається кількістю кінематичних пар, у які входять ланки, що його утворюють. Механізму І класу присвоюють І клас контура (контур виродився у точку; є лише одна кінематична пара); ланка з двома парами – ІІ клас (також частковий випадок замкнутого контура – контур виродився у пряму); жорстка ланка з трьома парами – ІІІ клас (рис. 1.11, в – трикутник); контур з чотирма парами – ІV клас і т.ін.

Порядок групи Ассура визначається кількістю вільних (зовнішніх) елементів кінематичних пар (поводків), якими група Ассура приєднується до існуючого механізму.

Вид групи Ассура для груп ІІІ та вищих класів не визначається.

Рис. 1.10

Клас механізму в цілому   визначається найвищим класом групи, яка входить до його складу. Зазначимо, визначаючи клас механізму, потрібно вказати, яка з ланок є початковою, оскільки в залежності від її вибору може змінюватися клас механізму.

Структурний аналіз механізму належить проводити шляхом розбивки його на структурні групи Ассура та механізми І класу у послідовності, зворотній до утворення механізму.

Послідовність виконання структурного аналізу.

  1.  Будують структурну схему механізму. Дають характеристику ланок і кінематичних пар.
  2.  Визначають ступінь вільності механізму.
  3.  Вилучають пасивні умови зв’язку та зайві ступені вільності.
  4.  Якщо механізм має вищі кінематичні пари ІV класу, їх замінюють на нижчі пари V класу.
  5.  Розкладають механізм на структурні групи Ассура та механізм (механізми) І класу. Кількість механізмів І класу має дорівнювати числу ступенів вільності механізму.
  6.  Визначають клас і порядок виділених груп Ассура.
  7.  За класом старшої групи Ассура визначають клас (і порядок) механізму в цілому.
  8.  Записують структурну формулу механізму (формулу будови).

При розкладі механізму на групи Ассура (п.5) слід пам’ятати, що в групу Ассура входять лише рухомі ланки; число ланок в групі завжди парне, а число кінематичних пар кратне трьом; розпочинати виділення групи треба з ланок найвіддаленіших від початкової ланки. Оскільки в практиці найбільше груп Ассура ІІ класу, то спочатку намагаються відокремити кінематичний ланцюг, що містить дві ланки та три кінематичні пари. Ступінь рухомості механізму, що залишається, має бути таким, як і в п.2, а виділеного кінематичного ланцюга – звичайно нуль. Якщо виділити двоповодкову групу не вдається, то роблять спробу виділити ланцюг із 4 ланок і 6 кінематичних пар. Після відокремлення однієї групи Ассура виділяють наступну і так  доти, доки не залишиться  механізм І класу.

Приклад структурного аналізу. На рис. 1.11 наведена структурна схема шестиланкового механізму поршневої помпи: 1 – кривошип; 2, 4 – шатуни; 3 – коромисло; 5 – повзун; 6 – стояк. Число рухомих ланок дорівнює п’яти, n = 5.

Число кінематичних пар: р5 = 7, це пари: А(1, 6); В(1, 2); С(2, 3); Д(3, 6); Е(3, 4); F(4, 5) – обертові пари та F/(5, 6) – поступальна пара; р4 = 0, тобто вищих кінематичних пар немає.

Рис. 1.11

Ступінь вільності механізму за формулою Чебишева

Даний механізм має один ступінь вільності і, відповідно, має бути один механізм І класу, - одна початкова ланка.

Розкладаємо механізм на групи Ассура. Послідовно від’єднуємо від механізму дві групи Ассура ІІ класу ІІ порядку, одна з них ІІ виду (ланки 4, 5), друга І виду (ланки 3, 2). В результаті залишається механізм І класу (ланки 1, 6).

Враховуючи, що групи 2, 3 та  4, 5 є групами ІІ класу, можна зробити висновок, що даний шестиланковий механізм належить до другого класу.

Інколи склад та послідовність приєднання груп Ассура в механізмі виражають структурною формулою

І(1, 6)ІІ(2, 3)ІІ(4, 5)

З цієї формули видно, що до механізму І класу, який утворений ланками 1 та 6, послідовно приєднали групу Ассура ІІ класу,  утворену ланками 2, 3, і  групу Ассура ІІ класу – ланки 3, 4.

Умовна заміна в плоских механізмах вищих пар нижчими. Замінюючі механізми. Під час класифікації,  вивчення структури та кінематики плоских механізмів з вищими парами в багатьох випадках зручно умовно замінювати вищі пари нижчими. При цьому, треба задовільнити умови структурної та кінематичної еквівалентності замінюючого і реального механізмів: замінюючий механізм повинен мати такий самий ступінь вільності і необхідно, щоб характер  миттєвого  відносного руху всіх його  ланок не змінився.

У плоских механізмах вища кінематична пара утворюється шляхом дотику двох кривих, по яких окреслені її елементи (рис. 1.12). Інколи одним з елементів пари може бути точка або пряма. Для кожної з кривих можна знайти у точці їх дотику радіус та центр кривини. Обидва центри та точка дотику розміщені на спільній прямій – нормалі до кривих. У ТММ доведено, що вища кінематична пара IV класу еквівалентна до ланки та двох нижчих пар V класу. Положення додаткової ланки співпадає з спільною  нормаллю до кривих у точці їх дотику, а довжина дорівнює сумі радіусів кривини елементів вищої пари. Нижчі кінематичні пари розміщують у центрах кривини профілів, що дотикаються, тобто на кінцях додаткової ланки.

Розглянемо приклад. Нехай заданий механізм з вищою парою, елементи ланок якої являють собою довільні криві a та b (рис. 1.12, а). Для заміни вищої пари нижчими та побудови схеми замінюючого механізму проведемо нормаль nn в точці С дотику кривих а та b і відмітимо на ній центри О1, О2 кривини. В точках О1, О2 розміщуємо обертові кінематичні пари V класу і з’єднуємо їх    з центрами А і В. Отже, вища пара ІV класу в точці С замінюється умовною ланкою О1O2 та двома кінематичними парами V класу О1 і О2 Даний механізм буде еквівалентний плоскому шарнірному чотириланковику АО1O2В - замінюючий механізм. Зазначимо, що якщо профілями вищої пари є криві змінної кривини, у кожному положенні розміри замінюючого механізму змінюються.

Рис. 1.12

На рис. 1.12, б, в  наведено інші приклади заміни вищих кінематичних пар нижчими. Якщо одна з ланок, що утворює вищу пару, буде мати прямолінійний профіль, то замість обертової пари вводиться поступальна (центр кривини такого профілю знаходиться на нескінченості). У випадку, коли одним з елементів є точка (загострення), то радіус кривини звичайно дорівнює нулю, і, відповідно, одна з обертових пар буде знаходитися у даній точці.

Питання для самоконтролю

  1.  Що вивчає ТММ?
  2.  Дайте визначення механізму, машини.
  3.  Назвіть дві основні проблеми ТММ.
  4.  Що називається ланкою, кінематичною парою?
  5.  За якими ознаками класифікують кінематичні пари?
  6.  Що називається кінематичним ланцюгом? Як їх класифікують?
  7.  Яка різниця між механізмом та кінематичним ланцюгом?
  8.  Запишіть формулу Чебишева.
  9.  За якою формулою визначають ступінь вільності просторового механізму?
  10.  Наведіть приклади основних механізмів з нижчими парами та їх структурні формули.
  11.  Наведіть приклади основних механізмів з вищими парами
  12.  Сформулюйте основний принцип створення механізмів.
  13.  Дайте визначення групі Ассура.
  14.  Як визначається клас і порядок груп Ассура?
  15.  Який порядок структурного аналізу механізмів?
  16.  Який механізм називається механізмом І класу? Як визначається клас механізму?


Глава 2. Кінематичне дослідження механізмів

§ 2.1. Задачі та методи кінематичного дослідження

Кінематикою називається розділ механіки, в якому вивчається рух тіл в просторі та часі без урахування їх інертності (мас) і діючих на них сил. Кінематичне дослідження механізму, тобто дослідження руху ланок з точки зору структури (будови) механізму без врахування сил, що обумовлюють цей рух, полягає, в основному, в розв’язку трьох наступних задач:

- визначення положень, переміщень ланок механізму і траєкторій окремих  точок ланок;

- визначення швидкостей характерних точок  і кутових швидкостей ланок;

- визначення прискорень характерних  точок  та кутових прискорень ланок.

Траєкторії, швидкості та прискорення точок і кутові швидкості та прискорення ланок механізму є найважливішими кінематичними характеристиками руху.

Кінематичне дослідження полягає у визначенні названих кінематичних характеристик за заданим законом руху початкової (вхідної) ланки  та кінематичною схемою.

Закон руху початкової ланки, якщо вона виконує обертальний рух, в загальному випадку задають у вигляді рівняння , що виражає залежність кута її повороту (узагальненої координати) від часу. При поступальному русі початкової ланки цей закон може бути заданий у вигляді рівняння , що виражає залежність переміщення вхідної ланки від часу.

Функції переміщення ,  можуть бути також задані графічно. У деяких інженерних задачах закон руху може бути заданий у вигляді функцій швидкості , або прискорення - .

Кінематичне дослідження механізмів виконують графічними, графоаналітичними, аналітичними і експериментальними методами. В ТММ широке розповсюдження отримали графічні та графоаналітичні методи. Це зумовлено тим, що ці методи універсальні (їх можна застосовувати для механізмів будь-якої структури), досить прості і наочні; в той час, як аналітичні методи призводять до дуже громіздких формул і складних результатів. Для більшості практичних задач точність цих методів достатня. В свою чергу, графічні методи неефективні, коли необхідна висока точність і коли необхідно провести великий об’єм побудов. В даний час, завдяки широкому розповсюдженню ЕОМ, приділяють все більшу увагу аналітичним методам. З допомогою цих методів дослідження можна виконати з будь-якою ступінню точності. Крім того, суттєвим є те, що аналітичні методи дозволяють встановити взаємозв’язок кінематичних характеристик з його метричними параметрами, тобто розмірами ланок;  результати аналітичного дослідження зручні для програмування та реалізації на ЕОМ, особливо з використанням сучасних систем комп’ютерної математики (Mathcad, Mathematica, Maple, MATLAB та інших).

Знання кінематичних параметрів необхідне для оцінки роботи існуючих машин, або ж для практичного використання при конструюванні нових. Наприклад, траєкторії окремих точок механізму потрібні для визначення ходу ланок,  для з’ясування можливого їх зіткнення з іншими ланками, окреслення габаритів  картерів і корпусів машин. Для виконання силового розрахунку механізму необхідно визначити сили інерції та опір рухові ланок, для чого повинні бути відомі їх швидкості та прискорення.  За кінематичними параметрами конструктор робить висновок про те, наскільки успішно виконана одна з основних задач проектування механізму - вибрана кінематична схема.

§ 2.2.  Функція положень та кінематичні передатні функції механізму

До числа кінематичних характеристик відносяться також і ті, що не залежать від закону руху початкових ланок (часу), а визначаються лише будовою механізму, розмірами його ланок і, в загальному випадку, залежать від узагальнених координат механізму. Це функції положень та кінематичні передатні функції.

Досить часто при проектуванні механізмів дійсний закон руху початкової ланки вдається визначити лише на наступних стадіях проектування, після динамічного аналізу. У таких випадках вводять кінематичні передатні функції, що не залежать від часу. А кінематичне дослідження виконується в два етапи - спочатку встановлюються залежності кінематичних параметрів ланок  від узагальненої координати, тобто визначаються відносні функції (функції положення та кінематичні передатні функції механізму). І тільки після визначення закону руху початкової ланки знаходять  залежності кінематичних параметрів вихідних і проміжних ланок від часу.

Функція положень механізму. Функцією положень будь-якої ланки механізму називають залежність координати, що відображає положення даної ланки, від узагальненої координати і геометричних параметрів механізму. Функція положень вихідної ланки є функцією положення механізму. Тобто це залежність φ3 3 1) для третьої ланки механізму на рис. 2.1, або в загальному вигляді φn n 1)   при обертальному русі n–ої ланки; при поступальному русі ланки, наприклад, ланки 5 механізму на рис. 1.3, г – залежність sF = sF 1). Треба зазначити, що в загальному випадку механізму з декількома ступенями вільності функція положень механізму є функцією усіх узагальнених координат φnn 1, φ2, …,φs), де φ1, φ2, …,φs - узагальнені координати механізму.

Отже, функція положень є геометричною характеристикою механізму, яка не залежить від закону руху початкової ланки (часу, абсолютних значень швидкостей ланок і т.ін.) і визначається лише структурною схемою механізму та розмірами його ланок. Також відзначимо, що функція положень навіть для найпростіших важільних механізмів виражається складними рівняннями. Однак одержати її у графічній формі розміткою траєкторій неважко. Зупинимося на цій задачі нижче.

Перша та друга кінематичні передатні функції механізму. Диференціюючи двічі функцію положень по узагальненій координаті, отримаємо вирази

,

, .

Одержані функції φ/n, s/n, і φ//n,  s//n  є геометричними характеристиками n-ої ланки механізму і називаються, відповідно, першою та другою передатними функціями механізму. Або s/n –кінематична передатна функція швидкості точки (аналог швидкості); φ/n - кінематична передатна функція кутової швидкості ланки (аналог кутової швидкості або передатне відношення); s//n, φ//n,- відповідно передатна функція прискорення або кутового прискорення (аналог прискорення точки або аналог прискорення ланки).

Встановимо зв’язок між вказаними геометричними та кінематичними характеристиками механізму з одним ступенем вільності при обертальному русі n-ої ланки. Продиференціюємо функцію положення за часом

,

тобто,  ,

де, ω1, ωn - кутові швидкості відповідно ланок 1 та n;  .

Як бачимо, функція  є відношенням миттєвих швидкостей ланок; в загальному випадку її називають передатною функцією. Відношення  називається передатним  відношенням і позначається un1. Відношення кутової швидкості однієї ланки до кутової швидкості другої ланки називається передатним відношенням, позначається буквою u,  як правило, з цифровими індексами, що відповідають номерам розглядуваних ланок . Передатне відношення є величиною безрозмірною. Це одна з основних характеристик механізмів передач.

З допомогою другої похідної функції положення по часу визначають кутові прискорення ланок механізму

.

Якщо ω1=const, ε1=0, то .

Таким чином, дійсна кутова швидкість n-ої ланки механізму дорівнює добутку кутової швидкості ω1 початкової ланки на першу передатну функцію (передатне відношення un1); помноживши другу передатну функцію на ω12 (при ω1=const), дістанемо, відповідно, прискорення n-ої ланки. Фізичний зміст передатних функцій такий: перша  та друга  передатні функції являють собою відповідно швидкість  та прискорення  n-ої ланки механізму за умови, що . Тому зазначені передатні функції називають також аналогами швидкостей та прискорень.

При поступальному русі ланки викладки аналогічні:

,

.

Якщо ω1=const, ε1=0, тоді .

Передатні функції швидкості та прискорення мають розмірність довжини, кутові передатні функції є безрозмірними величинами.

Оскільки для даної кінематичної схеми механізму передатні функції залежать лише від узагальненої координати і не залежать від закону руху початкової ланки, то кінематичне дослідження можна виконувати суто геометричними методами. Передатні функції дозволяють легко порівнювати закони руху ланок, а отже і знаходити оптимальні параметри механізму за заданими умовами роботи. Кінематичне дослідження за допомогою передатних функцій досить ефективне, якщо у механізмі декілька можливих законів руху початкової ланки.

Якщо при проектуванні чи дослідженні механізму задана чи визначена функція положення, або одна з передатних функцій механізму, то інші залежності можуть бути встановлені методами диференціювання чи інтегрування, як числовими так і графічними.

§ 2.3. Плани механізму

Визначення переміщень, положень ланок і траєкторій, що описують окремі  точки ланок, тобто розв’язання першої  основної задач кінематики, можна виконати графічними або аналітичними методами. Досить широко використовується графічний метод - за допомогою побудови планів механізму.

Зображення кінематичної схеми механізму у вибраному масштабі при відповідному положенні початкової ланки називається планом механізму.

Графічне розв’язування задач теорії механізмів потребує зображення різноманітних фізичних величин (шляху, довжин ланок, швидкостей, прискорень, сил і т. ін.) у вигляді ліній тієї чи іншої довжини. Для цього користуються масштабним коефіцієнтом.

Масштабний коефіцієнт (масштаб) є відношення дійсного значення зображуваної величини до довжини відрізка,  який цю величину зображує на кресленні. Масштаб позначається літерою μ  з індексом того параметра, який зображується графічно.

Масштаб має розмірність: у чисельнику – розмірність зображуваної величини, а у знаменнику - мм (розмірність довжини відрізка на кресленні).

Таким чином, масштаб довжини – це відношення натурального розміру ланки в метрах до довжини відрізка в міліметрах, який зображує цю ланку на кресленні (плані механізму), , де lAB - справжній розмір; AB- масштабний розмір на кресленні.

При виборі масштабу рекомендують дотримуватися стандартних креслярських масштабів, а також міркувань зручності підрахунків та наочності зображення. Наприклад, масштабу М1:1 відповідає масштабний коефіцієнт μl=0,001м/мм, масштабу  М1:2  відповідає  μl=0,002м/мм  і  т.ін.

Для побудови планів механізму повинні бути задані  розміри всіх його ланок, а якщо будується одне конкретне положення механізму  і положення початкової ланки.

У русі більшості механізмів спостерігається періодичність, при цьому усі кінематичні параметри механізмів змінюються періодично. Тому, зазвичай, при дослідженні механізмів будують ряд послідовних положень механізму. При виконанні курсових проектів, як правило, кінематична схема механізму будується для 12 положень.  

Послідовність побудови планів механізму:

  •  вибирають масштаб побудови ;
  •  знаходять довжини відрізків, якими на кресленні зображатимуться ланки (рис. 2.1  -  отже  );
  •  перш за все, на креслення наносять положення нерухомої ланки (намічаються нерухомі точки механізму, наносяться, при наявності, нерухомі напрямні; на рис. 2.1  - т. О1, С);
  •  викреслюють задане положення початкової ланки. Якщо будується n планів механізму, то знаходять початкові (“мертві”, крайні) положення механізму і, відповідно, початкової  ланки;
  •  лише після цього викреслюють групи Ассура в порядку їх приєднання при утворенні механізму.

Наголосимо, що доцільно за початкове положення механізму (кривошипа) вибрати те, яке відповідає одному з крайніх положень вихідної ланки (ланки, до якої прикладена сила корисного опору, або рушійна сила). У кривошипно-повзунному механізмі чи шарнірному чотириланковику (або якщо вони лежать в основі розглядуваних механізмів) вихідна ланка перебуватиме у крайніх положеннях, коли кривошип накладатиметься на шатун, або витягуватиметься в одну лінію з ним. У кулісному механізмі вихідна ланка (куліса СД, рис. 1.3, в) перебуватиме у крайніх положеннях, коли кривошип АВ і куліса утворять прямий кут. Зазначимо, що з двох крайніх положень механізму за початкове вибирають те, що відповідає початку робочого ходу. Оскільки в більшості машин робочий хід здійснюється повільніше (рівномірніше ) ніж холостий, то він відповідає руху кривошипа з одного крайнього положення до іншого через більший з центральних кутів. Більший з центральних кутів, що описує кривошип при русі механізму з одного крайнього положення до другого, називається кутом обочого ходу.

Розглянемо побудову 12 планів механізму на прикладі шарнірного чотириланковика, структурна схема якого зображена на рис. 1.3, а. Виконуємо перші три пункти наведеної вище послідовності побудови планів. Після цього, радіусом О1А (рис. 2.1) проводимо коло з центром у т. О1, яке є геометричним місцем миттєвих положень т.А кривошипа 1. Як відомо, закон руху початкової ланки в загальному випадку задається у вигляді рівняння . В технічних задачах при кінематичному дослідженні механізмів закон руху початкової ланки беруть лінійним, тобто швидкість її руху вважають сталою (, дорівнює проектованій середній кутовій швидкості; в дійсності кривошип може обертатися нерівномірно, навіть із зупинками). Таким чином, за рівні проміжки часу кривошип повертається на рівні кути. При побудові 12 планів механізму  коло, що описує т. А кривошипа, ділиться на 12 рівних частин, починаючи з початкового положення механізму. Для його знаходження з центра обертання кривошипа О1 досить зробити засічки радіусами  R=АВ-О1А і R=О1А+АВ на траєкторії  руху  т. В - дузі α33 (відповідно кривошип О1А накладатиметься на шатун АВ або витягуватиметься з ним в одну лінію). За початкове положення т. А візьмемо т. А0, яка відповідає початку робочого ходу (), при заданому напрямі обертання кривошипа. Зрозуміло, що т.не завжди збігається з точками поділу траєкторії т.А на рівні частини, послідовні положення якої позначені А0, А1, А2, …, 11. 

Для визначення положення ланок 2 і 3 достатньо встановити положення кінематичної пари В, що шарнірно з’єднує ці ланки між собою. Для цього роз’єднуємо шарнір у т.В і розглядаємо можливі рухи цієї точки. Оскільки нерухомий центр обертання С займає цілком певне положення, то т. В, яка знаходиться на сталій  відстані ВС від т. С, може описати тільки дугу  кола радіуса ВС. З іншого боку, внаслідок незмінності довжини шатуна  АВ, точка В може описати навколо т. А тільки дугу радіуса АВ. Таким чином, геометричним місцем можливих положень центра шарніра В є дві дуги кіл радіусів АВ та ВС. Точка перетину цих дуг і дасть дійсне положення т. В для конкретного положення кривошипа.

Отже, якщо потрібно побудувати, наприклад, 3-тє положення механізму, то з точки А3  радіусом R=AB робимо засічку на дузі . Точка перетину дуг  дає шукане положення т. В3. Дану побудову називають способом засічок. Для знаходження положень ланок 2 і 3 достатньо з’єднати відповідні точки (центри кінематичних пар  А та В, В та С)  відрізками. Аналогічно будуємо всі інші положення механізму.

Якщо до складу механізму входять декілька груп Ассура, то їх плани будуються аналогічно.

На планах механізму, у разі необхідності, можна побудувати траєкторії, що описують окремі точки  ланок. Траєкторії різних точок шатуна мають різноманітну форму, оскільки шатун здійснює плоскопаралельний рух. Траєкторії точок, що розміщені на ланках, які здійснюють плоскопаралельний рух, називають шатунними кривими. Точність побудованої траєкторії залежить від вибраного числа положень механізму і масштабу . На рис. 2.1 показано, наприклад, послідовні положення т. S  шатуна 2. З’єднавши плавною кривою намічені точки Si для кожного з положень механізму,  одержимо траєкторію т. S. Відмітимо, що  шатунні криві можуть бути також описані аналітичними співвідношеннями, але в цьому випадку задача  значно ускладнюється. Наприклад, для шарнірного чотириланковика траєкторія т. S описується  кривою шостого порядку.

Рис. 2.1

Зазначимо, що в залежності від вибору положення точки (F, E, K, Н, G) на шатуні отримуються різні шатунні криві (рис. 2.2). Окремі ділянки деяких кривих мало відрізняються від прямих або дуг кіл. Ці ділянки можуть бути використані для спрямляючих механізмів або механізмів із зупинками. Шатунні криві в сучасній техніці широко використовуються  для виконання певних рухів робочих органів різних машин і механізмів. Наприклад, в механізмі сіноворушилки, в тістомісильній машині і т.ін.

Подібно будуються плани механізму (кінематичні схеми) інших важільних механізмів другого класу.

Рис. 2.2

При побудові планів механізмів, що мають триповодкові групи, також може бути використаний метод перетину двох траєкторій відносного руху (спосіб засічок). Цей спосіб в розглядуваному випадку ще називають способом удаваних положень або геометричних місць. Оскільки даний метод побудови є досить трудомістким, часто користуються шаблоном, який має форму базисної ланки.

У випадку механізмів з вищими кінематичними парами (наприклад, кулачковими) доводиться враховувати, що профілі, або один з них, мають складні контури. Викреслювання послідовно декількох складних профілів є трудомісткою процедурою. У цих випадках доцільно застосувати метод обернення руху (метод інверсії). Суть його полягає в тому, що всьому механізмові (разом зі стояком) надають обертання з кутовою швидкістю, яка  дорівнює за величиною, але протилежна за напрямом кутовій швидкості  ланки, що має складний профіль (кулачок). Таким чином, рухому ланку зі складним контуром умовно роблять нерухомою; це дозволяє  викреслювати її лише один раз. Відносне положення усіх ланок при цьому не змінюється. Приклад використання методу обернення руху буде розглянуто при вивченні кулачкових механізмів.

При побудованих планах механізму неважко побудувати діаграми переміщення та отримати функції положень ланок механізму.

Побудова діаграм переміщення. При дослідженні механізмів будують діаграми лінійних або, при коливальному русі ланки, кутових  переміщень. Розглянемо побудову графіка sB(t)   переміщень повзуна В кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.3):

- викреслюють 12 рівновіддалених за кутом повороту кривошипа планів механізму в масштабі ; за початок відліку прийнято нижнє крайнє положення повзуна;

- будують прямокутну систему координат. На осі абсцис відкладають відрізок l,  що в масштабі   зображає період Т одного оберту кривошипа, тобто  , ;

- ділять відрізок l на 12 рівних частин. Від точок поділу 1, 2, 3, …11, паралельно осі ординат, відкладають відрізки 1-1/, 2-2/, 3-3/,... , які у вибраному масштабі    зображають переміщення повзуна від крайнього нижнього положення. Якщо переміщення  відкладаються безпосередньо з планів механізму (як у прикладі на рис. 2.3), то  .

З’єднавши одержані точки 0, 1/, 2/,…11/ плавною кривою, отримують діаграму переміщень повзуна, sB(t) . Оскільки у задачах кінематики прийнято рух кривошипа рівномірним (за однакові проміжки часу він повертається на рівні кути), то можна  вважати, що по осі абсцис відкладено і час t і кут повороту кривошипа . Тобто графік sB(t) одночасно є  графіком sB(j1), який представляє собою функцію положення механізму. Масштаб   цього графіка буде: , або .

Рис. 2.3

§ 2.4. Дослідження руху механізмів методом  кінематичних діаграм

Якщо один з кінематичних параметрів механізму заданий у вигляді  графіка чи таблиці значень, то в цьому випадку ефективними є графічні або чисельні методи диференціювання та інтегрування. Зазначимо, що при експериментальному дослідженні такі графіки викреслюються за допомогою самописних приладів.

Задачі дослідження закономірності зміни переміщень, швидкостей і прискорень за повний цикл (період) руху досліджуваного механізму простіше розв’язуються за допомогою кінематичних діаграм (графіків руху).

В практичних задачах ТММ кожна кінематична діаграма - це  графічне зображення зміни одного з кінематичних параметрів ланки: переміщення, швидкості або прискорення  як  функції від часу або переміщення початкової ланки механізму (як функції від узагальненої координати). Наприклад, у випадку кривошипно-повзунного механізму для т.В повзуна (рис. 2.3) це залежності  sB(t), vB(t), aB(t) або sB(), vB(), aB(). Якщо дослідженню підлягає і-та ланка механізму, яка здійснює обертальний рух, то можна побудувати діаграми ,  або  , .

Розглядуваний метод дозволяє при заданій будь-якій з цих діаграм без значних зусиль отримати інші. Методом кінематичних діаграм часто користуються для наочності та виявлення можливих помилок при обчисленні. Переваги  цього методу – легкість і те, що результатом є наочне графічне зображення зміни одного з кінематичних параметрів руху  від часу, чи узагальненої координати. Варто мати на увазі, що методи графічного диференціювання та інтегрування не завжди можуть забезпечувати достатню точність результатів.

Зазначимо, що до графічного диференціювання та інтегрування необхідно деколи звертатись навіть у тих випадках, коли кінематична функція задана аналітично, але не має достатньо простих формул для визначення похідної чи інтеграла.

Графічне диференціювання. Метод дотичних.  Графічне диференціювання використовується, коли є графік функції, а потрібно отримати графік її похідної. Так, наприклад, побудовано графік переміщення повзуна кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.3), а необхідно побудувати графіки швидкості, прискорення.

Розглянемо теоретичні основи графічного диференціювання. Використаємо відому залежність  v=. Геометрично, похідна  функції визначається   тангенсом кута нахилу дотичної до графіка функції, проведеної у точці, абсциса якої є точка диференціювання,   

Нехай крива АВ (рис. 2.4) є графік деякої функції . Проведемо дотичну до графіка у т.М1, що відповідає заданій абсцисі .Відкладемо на осі абсцис вліво від початку прямокутної системи координат відрізок ОР (полюсну відстань), що дорівнює одиниці масштабу. З точки Р (полюса) проведемо пряму, паралельну дотичній до перетину з віссю ординат. Відрізок 01// буде виражати значення похідної , при заданому значенні .

Проведемо з точки 1// пряму, паралельну осі , до перетину з ординатою т.М1. Ордината точки перетину 1/ і дає значення похідної  при заданому значенні . Тобто, точка 1/ буде точкою шуканої диференціальної кривої. У загальному випадку, ордината диференціальної кривої у будь-якій точці є відрізок, пропорційний до кута нахилу дотичної, що проведена у відповідній точці заданої кривої.

Таким чином, для того, щоб побудувати графік похідної за графіком функції, поділимо ділянку АВ, заданої кривої, на деяке число частин. Далі, розглянутим методом, неважко знайти у точках поділу заданої кривої значення похідної - тобто точки диференціальної кривої. З’єднавши отримані точки плавною кривою, дістанемо графік функції .

Рис. 2.4

Диференціювання методом дотичних має відносно низьку точність, оскільки досить складно проводити дотичні до кривих. Більшого поширення набув метод хорд, який є точнішим. Відмінність методу хорд полягає лише у тому, що значення похідної функції знаходять не у точках поділу кривої, а у точках, що ділять навпіл кожний з інтервалів (рис. 2.5, точки ). Перевагою є те, що при цьому замість дотичних беруться, як правило, з досить великою точністю,  хорди, що з’єднують кінцеві точки кожного інтервалу. Метод ґрунтується на відомій теоремі про скінчений приріст функції: якщо функція, що задана графічно, та її перша похідна неперервні, то в будь-якому інтервалі  хорда, що стягує дану дугу, паралельна дотичній до кривої, принаймні, в одній точці, яка лежить у середині цього інтервалу.

Зазначимо, що графік похідної буде точнішим при більшій кількості частин поділу кривої. Інтервали не обов’язково повинні бути рівними між собою; їх розмір вибирається з урахуванням того, щоб відповідні частини кривої менше відхилялись від прямої. Особливу увагу треба звернути на ділянки, де крива, яку диференціюють, має екстремуми; ділянки, у яких лінія значно звивається, слід розбивати на більше число частинок.

Масштаби при графічному диференціюванні. Припустимо, що задана крива (рис. 2.5) зображає діаграму  переміщень, . Знаючи масштаб  переміщень та масштаб часу,  для будь-якої точки М(х,у)  кривої  можна записати , . Тоді

.                               (2.1)

Рис. 2.5

Підставимо в (2.1)  та ,

де - відрізки 01//, 02//, 03//,..., які зображають в масштабі  швидкості у відповідних положеннях механізму; Н –полюсна відстань ОР. Тоді масштаб графіка швидкості   можна визначити за формулою

,

або, в загальному випадку масштаб  диференціальної кривої .

Послідовність диференціювання методом хорд. Задано діаграму переміщення кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.6, а). Побудуємо діаграму швидкості:

- на заданій кривій  відмічають ряд точок 1/, 2/, 3/,…, які з’єднують хордами, тобто, замінюють задану криву ламаною лінією;

- під діаграмою переміщень будуємо нову систему координат так, щоб осі абсцис були паралельними, а ординат - лежали на одній прямій (рис. 2.6, б). Ділимо вісь абсцис на такі ж інтервали, як і на попередньому графіку;

- відкладаємо по осі  абсцис ліворуч від початку системи координат  довільний відрізок ОР1 - полюсну відстань;

Рис. 2.6.

- з точки Р1  проводимо промені Р11//, Р12//, Р13//,..., паралельні до відповідних хорд кривої переміщень. Ці промені відтинають на осі ординат відрізки 01//, 02//, 03//,..., що пропорційні середній швидкості повзуна посередині відповідних інтервалів часу;

- перенесемо  точки 01//, 02//, 03//,..., на середини ординат відповідних ділянок. З’єднаємо точки 0, 1/, 2/,... плавною кривою. Отримана крива і буде діаграмою швидкості.

Маючи діаграму швидкості, аналогічно методом хорд будують, при потребі, діаграму прискорень (рис. 2.6, в).

Зазначимо, якщо діаграму переміщень задано у вигляді функції  sB() то в результаті графічного диференціювання отримуємо відповідно графіки кінематичних передатних функцій швидкості  та прискорення  (аналогів швидкості та прискорення).

Масштаби по осях ординат визначаються за формулами:

- для діаграм швидкостей та прискорень , ,

- для діаграм  аналогів швидкостей та прискорень , ,

де Н1, Н2відрізки в мм, взято з креслення (рис. 2.6).

Масштаби по осях абсцис  усіх графіків залишаються звичайно такими ж, як і на графіку переміщень. 

Порівнюючи графіки (рис. 2.6), можна встановити такий зв’язок між кінематичними діаграмами:

- зростанню ординат кривої функції, що диференціюється, відповідають додатні значення ординат диференціальної кривої, а зменшенню – від’ємні значення;

- екстремальним значенням функції (максимуми та мінімуми) відповідають нульові значення графіка похідної.

- точкам перегину графіка функції відповідають екстремальні значення диференціальної кривої.

Графічне інтегрування. Побудову графіків швидкості за заданим графіком прискорень та графіків переміщень - за графіком швидкостей виконують так званими прийомами графічного інтегрування.

Існує декілька способів побудови інтегральної кривої: спосіб хорд, площ та інші.

Розглянемо спосіб хорд. Інтегрування – це дія, обернена диференціюванню. Відповідно послідовність графічного інтегрування за способом хорд обернена послідовності диференціювання за цим способом. Нехай заданим є графік функції швидкості v(t). Знайдемо графік функції переміщення s(t).

Послідовність графічного інтегрування.

1. Ділимо задану криву (рис. 2.7, а) на  інтервали - точки 1, 2, 3,…на осі абсцис.

Рис. 2.7

2. Проводимо полюсну відстань ОР. Ординат 1/, 2/, 3,/…середини кожного інтервалу проектують на вісь ординат і отримані точки з’єднують з полюсом Р.

3. Під діаграмою швидкості будуємо нову систему координат (рис. 2.7, б). Ділимо вісь абсцис на такі ж інтервали, як і на попередньому графіку.

4. З початку нової системи координат 0 проводять у першому інтервалі лінію паралельно до променя Р1; з кінця відрізка проводять у другому інтервалі відрізок ав паралельний променю Р2, і так далі, bc//Р3, сd//Р4,... Отриману ламану лінію замінюють плавною кривою, одержують графік переміщень

Масштаб одержаної інтегральної кривої знаходять за формулою

або, в загальному випадку, .

Чисельне диференціювання та інтегрування. До чисельного диференціювання звертаються, перш за все, коли функція , для якої потрібно знайти похідну, задана  таблично. При розробці  програм для чисельного диференціювання на ЕОМ використовують інтерполяційні формули Ньютона, Стірлінга, Бесселя та ін..

Розглянемо, як приклад, формули диференціювання функції , яка задана скінченною множиною  її значень у n рівновіддалених точках  з кроком . Шукане значення похідної  обчислюється за формулами

,

,

.

Зазначимо, що чисельне диференціювання чутливе до помилок, які викликані похибками вихідних даних.

Чисельне інтегрування функції , що задана множиною значень аргументу  і відповідних їм значень функції , виконують за формулами трапеції, Сімпсона та інших. Приведемо, для прикладу, формулу трапеції. У рівновіддалених значеннях аргументу  значення інтегралів  обчислюють за формулою

            ().

§ 2.5. Метод планів швидкостей та прискорень

Методи графічного диференціювання та інтегрування при всій їх простоті та наочності не розв’язують повністю питання кінематики. Діаграми переміщень, швидкостей та прискорень дають лише скалярні кінематичні величини, а напрями векторів цих величин невідомі. Цього недоліку позбавлений графоаналітичний метод, що ґрунтується на побудові планів швидкостей та прискорень (векторний спосіб); метод в достатній мірі розроблений, точний і зручний у практичному застосуванні, особливо, коли треба визначити швидкості і прискорення для конкретного положення механізму.

Теоретичні основи побудови планів швидкостей і прискорень розглядаються в курсі теоретичної механіки. За основу цього методу взята можливість розкласти складний рух точки або ланки на простіші, шляхом введення додаткової (рухомої) системи відліку. Залежності між кінематичними характеристиками абсолютного, переносного та відносного рухів точки (ланки) записуються у векторній формі та представляються у вигляді планів швидкостей та прискорень. Плани викреслюються у відповідних масштабах, що дозволяє отримати числові значення кінематичних характеристик.

Планом швидкостей (прискорень) механізму називають креслення, на якому зображені у вигляді напрямлених відрізків вектори, які у масштабі визначають  модуль та  напрям швидкостей (прискорень) різних точок ланок для даного положення механізму. План швидкостей (прискорень) механізму є сукупністю планів швидкостей (прискорень) окремих ланок, що побудовані з одного  полюса, спільного для всі ланок.

Кінематичний аналіз механізму проводиться  у такому порядку:

- спочатку визначаються кінематичні параметри початкової ланки;

- далі виконується кінематичне дослідження окремих структурних груп Ассура в послідовності їх приєднання до початкової ланки при утворенні механізму. При цьому, кожна ланка механізму розглядається як така, що здійснює плоский рух; необхідно визначити швидкість і прискорення щонайменше двох її точок. Цими точками є центри шарнірів обертальних пар і однойменні точки елементів поступальних кінематичних пар. Як сказано, побудова планів виконується по структурних групах в порядку їх приєднання, починаючи з початкової ланки. У цьому випадку у кожній групі Ассура будуть відомі швидкості та прискорення зовнішніх кінематичних пар, якими приєднується дана група. Дослідження кожної групи повинно розпочинатись з визначення кінематичних параметрів внутрішньої пари, яка є спільною для ланок, що утворюють цю пару. Потім, при потребі, визначаються кінематичні параметри інших характерних точок групи та кутові швидкості і прискорення ланок.

При кінематичному аналізі механізму спочатку будується план швидкостей, а потім план прискорень.

Плани швидкостей та прискорень початкової ланки. Зазвичай, початкова ланка механізму здійснює обертальний рух (рис. 2.8, а). Швидкість  точки А перпендикулярна до кривошипа ОА (напрямлена по дотичній до траєкторії т) і спрямована у бік його обертання. Зобразимо  швидкість точки А деяким вектором, відкладеним з довільної точки рv, яку приймаємо за полюс плану швидкостей (рис. 2.8, б). Цей вектор  перпендикулярний до прямої ОА і напрямлений в бік обертання кривошипа. В кінці вектора поставимо точку а. Довжина відрізка рvа може бути прийнята довільною. Переважно вона вибирається при визначенні масштабу , , з урахуванням рекомендацій з вибору масштабів; модуль швидкості т.А визначається за формулою vA=ωlOA, м/с, для визначення кутової швидкості користуються формулою , ; де п – частота обертання. Аналогічні міркування проводять, при потребі, відносно будь-якої іншої точки кривошипа. Звичайно, швидкості та прискорення точок, що належать осі обертання, дорівнюють нулю і, відповідно, на планах вони знаходяться в полюсі (т.О, S ). Отже, вектор  представляє собою план швидкостей початкової ланки для положення, що визначається кутовою координатою .

Рис. 2.8

Відмітимо, що зображення точок ланок (для розглядуваного прикладу О, S, A) на плані швидкостей позначаються малими літерами (о, s, а).

На рис. 2.8, в, зображений план прискорень початкової ланки. Він побудований за відомими співвідношеннями:

- повне прискорення т. А при обертальному русі  ланки дорівнює геометричній сумі нормального і дотичного (тангенціального) прискорень, ;

- модуль нормального прискорення т. А, ;

- модуль дотичного прискорення т. А, .

Масштаб плану прискорень визначається за формулою , , попередньо задавшись довжиною відрізка , що зображує  нормальне прискорення на плані. Прийнявши довільну точку  за полюс плану прискорень, відкладемо вектор  у вигляді відрізка . При цьому вектор нормального прискорення, яке ще називають доцентровим, направлений по радіусу обертання до центра кривини траєкторії,  // АО,  має  напрям від точки А до О. Далі визначають  – довжину відрізка , що зображає  дотичне прискорення на плані прискорень. Вектор дотичного прискорення напрямлений по дотичній до траєкторії руху (перпендикулярно радіусу обертання) в бік напрямку кутового прискорення , . Відкладаємо з точки  плану відрізок  і отримуємо вектор  повного прискорення точки А. 

Відзначимо, що переважно в задачах кінематики приймається, що початкова ланка обертається рівномірно (), тобто , а отже , і . У цьому випадку план прискорень має вигляд, зображений на рис. 2.8, г.

Плани швидкостей та прискорень при складному русі ланки. Складним рухом ланки (точки) називається такий рух, при якому ланка одночасно бере участь у двох або більше рухах. Рух , що здійснює ланка (точка) по відношенню до рухомої системи відліку називається відносним рухом. Рух, що здійснює рухома система відліку по відношенню до нерухомої системи називається переносним рухом. Рух, що здійснює ланка (точка) по відношенню до нерухомої (основної) системи відліку, називається абсолютним або складним.

Нагадаємо теореми про додавання швидкостей та прискорень точки в її складному русі: абсолютна швидкість va точки дорівнює векторній сумі її переносної ve і відносної vr швидкостей, тобто

.

Дана теорема ще носить назву паралелограма або трикутника швидкостей. Абсолютна швидкість знаходиться шляхом побудови паралелограма швидкостей. Вектори , ,  швидкостей мають напрямки по дотичній до відповідної траєкторії. Абсолютне прискорення  довільної точки ланки дорівнює векторній сумі переносного , відносного і коріолісового  прискорень, тобто

.

Якщо переносний рух поступальний, то абсолютне прискорення точки дорівнює геометричній сумі двох прискорень: переносного та відносного. В свою чергу, при відносному обертальному русі прискорення  можна розкласти на два прискорення

.

Методика побудови планів швидкостей та прискорень для двоповодкових груп полягає у складанні аналогічних векторних рівнянь для кожної ланки та спільному їх графічному розв’язку.

Для прикладу розглянемо групу Ассура ІІ класу ІІ порядку першого виду (рис. 2.9). Швидкості точок А і С (якими група приєднується до механізму) відомі. Знайдемо швидкість точки В, яка є спільною для ланок 2 та 3.  Для цього рух ланки 2 розкладаємо на переносний поступальний зі швидкістю точки А і  відносний обертальний рух навколо цієї точки зі швидкістю . Для ланки 3 аналогічно – на переносний поступальний зі швидкістю  т.С і відносний обертальний - навколо точки С зі швидкістю . Скориставшись теоремою про додавання швидкостей точки в її складному русі, запишемо векторні рівняння, що зв’язують швидкості точок В , А та С

,    (2.2)

.

Інколи, для наочності, праві частини співвідношень (2.2) прирівнюють

.   (2.3)

Зазначимо, що такі векторні рівняння розв’язуються графічно, якщо вони містять не більше двох невідомих параметрів. Розглядувана група Ассура може бути приєднана лише до початкової ланки та стояка чи до раніше приєднаних (і відповідно розглянутих) груп Ассура, кінематичні параметри яких вже відомі. Отже, параметри переносного руху будуть визначеними. Вектори відносних швидкостей  в обертальному русі відомі лише за напрямком - перпендикулярні до відповідної ланки (по дотичній до траєкторії руху).

Відзначимо, що при аналізі векторних рівнянь часто прийнято підкреслювати вектор двома рисками, якщо він відомий як за величиною, так і за напрямком, і однією – якщо тільки за величиною або напрямком.

Графічний розв’язок рівняння (2.3) наведено на рис. 2.9, б у вигляді плану швидкостей. Для його побудови вибираємо довільну точку  - полюс плану швидкостей. Від неї відкладаємо вектор відомої швидкості . Отримуємо точку а на плані швидкостей. Далі, згідно з рівнянням (2.3), до вектора швидкості  треба додати вектор швидкості . Для цього проводимо через точку а лінію, яка показує напрямок вектора відносної швидкості – перпендикуляр до ланки АВ (). Такі ж міркування можна привести при розгляді правої частини рівняння (2.3). У розглядуваному прикладі точка С ланки 3 приєднана до стояка, . Отже, на плані швидкостей т.С знаходиться у полюсі. До вектора швидкості треба додати вектор швидкості . Для цього проводимо через полюс лінію, яка показує напрямок вектора відносної швидкості  – перпендикуляр до ланки ВС (). Точка перетину в цих ліній визначить величину та напрямок швидкості точки В.

Рис. 2.9

Рівняння, які використовуються при побудові плану прискорень, відрізняються лише тим, що невідомі відносні прискорення точки у обертальному русі розкладають на складові

,   (2.4)

.

Виконаємо графічне додавання векторів згідно з рівняннями (2.4). З довільної точки  полюса плану прискорень відкладаємо, в масштабі , вектор відомого прискорення т.А. З кінця цього вектора, точка а, відкладемо вектор  нормального прискорення точки В навколо т.А. Нормальне прискорення напрямлене по лінії АВ до центра обертання - точки А. Модуль його порахований після побудови плану швидкостей за формулою . Довжина відрізка, який зображає  на плані прискорень, дорівнює . Через його кінець (точку ) проводимо лінію дотичного прискорення , направленого перпендикулярно до АВ.

Розглянемо друге рівняння. З полюса  () відкладемо вектор, який зображає  , нормальне прискорення, у вигляді відрізка  (, має напрям від точки В до А). Через його кінець (точку ) проведемо лінію-напрямок дотичного прискорення  до перетину з лінією напрямком прискорення . Точка перетину в цих ліній визначить величину та напрямок прискорень точки В та величини дотичних прискорень (у масштабі ).

Розглянуті положення використовуються при побудові планів швидкостей і прискорень плоских механізмів. Розглянемо методику побудови планів швидкостей та прискорень  механізмів ІІ класу.

Приклад. Шестиланковий важільний механізм зі структурними групами Ассура ІІ класу першого та другого видів (рис. 2.10). Задано план механізму та закон руху початкової ланки (). Кінематичне дослідження будемо проводити у такій послідовності: спочатку побудуємо плани для початкової ланки 1, потім для групи Ассура ІІ (2, 3), а далі для групи ІІ (4, 5).

Визначимо модуль лінійної швидкості т. А ланки О1 А, при обертанні її навколо т.О1, за формулою .

З довільно взятої точки рv полюса плану швидкостей відкладаємо відрізок рva, перпендикулярний до ланки  і напрямлений в бік руху кривошипа. Швидкість т на плані швидкостей показано відрізком рva, тобто масштаб плану швидкостей .

Переходимо до побудови плану швидкостей першої групи Ассура. Швидкості точок А та , що належать до зовнішніх кінематичних пар цієї групи, відомі (; ).

Для визначення швидкості т.В, що одночасно належить ланкам 2 та 3, запишемо два векторні рівняння

,

.

Розв’язуємо цю систему рівнянь графічно. Згідно з першим рівнянням, через т.а плану швидкостей проводимо пряму, перпендикулярну до ланки АВ (до вектора швидкості  додаємо вектор швидкості ). Згідно з другим рівнянням, через полюс рv проводимо пряму, перпендикулярну до ланки  (до швидкості т., яка дорівнює нулю і, отже, знаходиться в полюсі, додаємо вектор швидкості ). Точка перетину b цих перпендикулярів є кінцем вектора pvb, що зображує на плані у масштабі  абсолютну швидкість т. Величини невідомих швидкостей визначають за формулами

, ,

тобто, вимірявши відповідні відрізки на плані швидкостей в мм, множимо їх на масштаб  і одержуємо модулі шуканих швидкостей.

Кутові швидкості ланок 2 та 3 визначаються рівностями

,    .

Визначимо швидкості інших точок, що належать до ланок даної групи. Аналогічно до точки В, розглянемо рух точки С по відношенню до точок В та  і запишемо два векторні рівняння

,

.

Швидкості точок В та  відомі. Відносні швидкості  і , як швидкості в обертальному русі перпендикулярні, відповідно, до ланок ВС та С. Отже, згідно з першим рівнянням, проведемо через т.b на плані швидкостей лінію, перпендикулярну до ланки ВС, а згідно з другим – через т.pv – лінію, перпендикулярну до ланки С. На їх перетині дістанемо точку с, яка є кінцем вектора pvс, що зображає на плані швидкостей в масштабі  абсолютну швидкість т.С; .

Як слідує з виконаної побудови, трикутник ВС на плані механізму, подібний до трикутника bpvc на плані швидкостей (, , ). При цьому, трикутники  та  повернуті, один відносно одного, на прямий кут в напрямку миттєвого обертання. Цю властивість подібності фігури відносних швидкостей на плані швидкостей (прискорень), до фігури ланки на схемі механізму, називають теоремою подібності: план відносних швидкостей (прискорень) точок однієї і тієї ж ланки, подібний до відповідної фігури на схемі механізму.

Рис. 2.10

Відзначимо, що теорема подібності дійсна також при побудові планів прискорень. Вона дає можливість легко визначити швидкості будь-яких точок ланки, якщо відомі швидкості двох інших точок цієї ланки.

Таким чином, швидкість точки С зручніше знаходити за теоремою подібності. Для цього на відрізку pvb, на плані швидкостей будуємо трикутник , подібний трикутникуВС на плані механізму. Згідно теореми подібності можна записати такі пропорції

, або  

з яких визначаємо довжини відрізків сpv та bc:

 

де – дійсні розміри ланок,  – розміри ланок на схемі механізму; – відповідні відрізки на плані швидкостей.

Зробивши засічки з точки  pv плану швидкостей радіусом pvc, а з точки b – радіусом bc, знайдемо точку с. Щоб не допустити помилки при визначенні положення точки с на плані швидкостей (засічку можна зробити по обидва боки від лінії pvb), потрібно користуватися правилом обходу: якщо обходити план швидкостей і ланку в одному напрямку, наприклад, за рухом  стрілки годинника,  починаючи відповідно з точок  і , то порядок літер для них має бути однаковим -  та .  Зазначимо, що теорема подібності справедлива лише для незмінної системи твердого тіла, тобто однієї ланки. Одночасно для декількох ланок, групи Ассура чи механізму в цілому вона не дійсна.

 Швидкості центрів мас ланок знаходять, користуючись теоремою подібності. Наприклад, якщо задано, що центр мас другої ланки - точка  лежить на середині ланки АВ, то на плані швидкостей т. знаходиться також на середині відрізка ab. З’єднавши на плані точку  з полюсом, знаходимо вектор швидкості  центра мас шатуна 2. Модуль вектора швидкості визначається за формулою

.

Переходимо до визначення швидкостей точок другої групи Ассура, яка складається з ланок 4 та 5. Знайдемо швидкість центра шарніра D, що з’єднує ланки 4 та 5 (). Розглядаючи рух т.D по відношенню до т. C, а потім – до т.D0 (точки, що належить напрямній хх, і в даному положенні механізму співпадає з точкою D на повзуні), запишемо два векторні рівняння

,

.

Відзначимо, що для таких структурних груп обмежуються першим рівнянням; повзун 5 рухається по нерухомій напрямній і абсолютна швидкість кожної його точки паралельна напрямній, vD//xx. При графічному розв’язку цих рівнянь достатньо через т.с плану швидкостей провести пряму, перпендикулярну до ланки CD на плані механізму, а через полюс pV  – пряму, паралельну до напрямної хх. На перетині цих прямих і буде шукана т.d.

Швидкість центра мас S4 знаходимо за теоремою подібності, в загальному випадку, із співвідношення

, або , звідки  ,

де ,  – дійсні розміри ланок, ,  – розміри ланок на схемі механізму; ,  – відповідні відрізки на плані швидкостей.

З’єднавши з полюсом знайдену точки s4, отримуємо вектор, який зображає на плані швидкість даної точки.

Підкреслимо, що, маючи план швидкостей механізму, можна визначити абсолютну та відносну швидкості будь-якої з точок механізму: вимірявши відповідний відрізок в мм на плані швидкостей, множимо його на масштаб плану  і одержуємо величину відповідної швидкості. Наприклад,

, , .

Кутову швидкість ланки 4 визначаємо за формулою . Напрямки кутових швидкостей ланок знаходимо за допомогою умовного переносу векторів відносних швидкостей на схему механізму. Наприклад, для ланки 4 швидкість , яка на плані  швидкостей зображена вектором ,умовно переносимо в т. D на схемі механізму.  Вектор  вказує на умовне обертання ланки 4 навколо т.С проти ходу годинникової стрілки і, отже,  також напрямлена проти руху стрілки годинника.

Побудова плану прискорень. Послідовність побудови плану прискорень така ж, як для плану швидкостей.

Повне прискорення т.А  кривошипа 1 дорівнює геометричній сумі нормального та дотичного прискорень. У розглядуваному прикладі початкова ланка обертається рівномірно (, , ), тому . Модуль цього прискорення находять зі співвідношення   або .

З точки pа відкладемо паралельно до кривошипа O1A (у напрямку від т.А до т.О1) відрізок довільної довжини paa. Тоді масштаб плану прискорень .

Розглянемо групу Ассура ІІ(2, 3). Для неї відомі прискорення точок А та О2. Визначимо прискорення центра шарніра В. Розглядаючи рух т.В по відношенню до т.А, а потім - до т.О2 запишемо, відповідно, два векторні рівняння

,

.   (2.5)

Обчислимо величини нормальних складових ,  та довжини відрізків, які будуть зображати їх на плані, , .

Після цього можна векторні рівняння (2.5) розв’язувати графічно. Згідно з першим рівнянням, з точки a плану прискорень відкладаємо відрізок  an2, що напрямлений паралельно до ланки у напрямку від т.В до т.А. Через його кінець – т.n2 проводимо пряму, перпендикулярну до АВ (напрям ). Згідно з другим рівнянням, з полюса pa паралельно до ВО2, у напрямку від т.В до т.О2, відкладаємо відрізок pan3.. Через т.n3 проводимо перпендикуляр до ВО2 (напрям ). На перетині дотичних складових (перпендикулярів) отримаємо шукану точку b.

Відрізок pab зображає, в масштабі , абсолютне прискорення точки b; відрізки n2b та n3b – відповідно, невідомі дотичні складові , , а відрізок ab - повне відносне прискорення  т.В відносно т.А.

Прискорення точок S2 та С знайдемо за теоремою подібності: точку s2 на плані прискорень розмістимо на середині відрізка ba (у даному прикладі центр мас S2 знаходиться по середині ланки АВ). Відрізок pas2 зображає прискорення т.S2; з пропорції  вираховуємо довжини відрізків bc  та cpa та методом засічок знаходимо точку с на плані прискорень. При цьому має бути збережена схожість фігур ВСО2 на схемі механізму та bcpa на плані прискорень.

Наступна структурна група утворена ланками 4 та 5. Повзун 5 рухається по нерухомій напрямній. Абсолютне прискорення кожної його точки паралельне цій напрямній. Дана умова дозволяє записати одне рівняння для визначення прискорення точки D

.

Визначаємо нормальне прискорення  та відрізок, що буде зображати його на плані прискорень,

.

Виконаємо графічну побудову. З точки с плану прискорень паралельно до ланки CD в напрямку від т.D до т.С відкладемо відрізок cn4. Через т.n4 проводимо перпендикуляр до CD (напрям вектора ). Через полюс pa проводимо пряму, паралельну до напрямної (напрям вектора абсолютного прискорення ). Ці лінії перетнуться в шуканій точці d. Згідно співвідношення  на відрізку dc розмістимо т.s4. План прискорень побудований. Величини прискорень точок механізму дорівнюють добутку довжини відповідного відрізка з плану прискорень на масштаб плану. Наприклад:

, .

Визначимо кутові прискорення ланок

, , .

Для визначення напрямку кутового прискорення, наприклад, другої ланки , переносимо вектор дотичного прискорення  (на плані прискорень зображений відрізком  n2b) у точку В. Перенесений вектор  вказує на умовне обертання ланки 2 навколо т.А проти руху годинникової стрілки. Це і буде напрям кутового прискорення.

Основні властивості плану швидкостей та прискорень.

  1.  Усі точки механізму, швидкості (прискорення) яких дорівнюють нулю, на плані швидкостей (прискорень) знаходяться в полюсі.
  2.  Усі вектори, що виходять з полюса плану швидкостей (прискорень), є векторами абсолютних швидкостей (прискорень).
  3.  Усі вектори плану, що з’єднують кінці векторів абсолютних швидкостей (прискорень), є векторами відносних швидкостей (прискорень). Замірявши відповідні відрізки (в мм) на плані швидкостей (прискорень) та помноживши їх на масштаб , знаходимо дійсні (за модулем) значення швидкостей (прискорень).
  4.  Для плану швидкостей та прискорень дійсна теорема подібності.

Приклад 2. На рис. 2.11, а показана кінематична схема механізму поперечно-стругального верстата. В його склад входять початкова ланка 1 та дві групи Ассура ІІ класу: група, що складається з ланок 2 та 3 третього виду, та група ІІ(4,5) п’ятого виду.

Необхідно побудувати плани швидкостей і прискорень для положення визначеного кутом . Кутова швидкість кривошипа =const.

Знаходимо швидкість т.В, яка належить ланці 1,  м/с.

Від полюса  плану швидкостей відкладаємо відрізок , який зображує вектор швидкості vB  (Рис. 2.11, б). При цьому масштаб плану швидкостей дорівнює

Рис. 2.11

Переходимо до визначення швидкостей точок ланок першої структурної групи. Відомі швидкості точок В і С, які належать зовнішнім кінематичним парам групи: швидкість т., яка належить ланці 2 (повзуну), дорівнює швидкості т. В кривошипа (першої ланки), тобто . Невідома швидкість точки, яка належить ланці 3, кулісi і в даному положенні механізму, співпадає з т. В, що лежить на кривошипі (повзуні). Для її визначення записуємо систему векторних рівнянь

За першим рівнянням з точки b, кінця вектора  (швидкості т.В) проводимо пряму, паралельну до ланки CD ( є швидкість відносного поступального руху повзуна 2 по напрямній 3; напрямлена вздовж неї). За другим рівнянням з  точки с , яка співпадає з полюсом pV, (vc = 0), проводимо пряму, перпендикулярну до ВС. На перетині цих прямих одержуємо точку b3. Вектор  зображує швидкість  точки , що належить кулісі.

Використовуючи теорему подібності, знаходимо положення точки D на плані швидкостей

Відкладаємо відрізок сd на продовженні відрізка cb3 , знаходимо точку d.

Швидкість т.D5 , яка належить ланці 5, визначаємо з рівняння

Усі точки ланки 5 рухаються вздовж напрямної EF, тобто абсолютна швидкість т.D5 паралельна напрямній,  Таким чином, з полюса pv проводимо пряму, паралельну до EF, а з т.d – пряму, паралельну до КМ. На перетині одержуємо т.d5 . Сполучаємо її з полюсом pV.

Положення т.S3 знаходимо за теоремою подібності з пропорції

.

Вимірявши відповідні відрізки в мм, множимо їх на масштаб  і одержуємо величини шуканих швидкостей

.

Кутову швидкість ланки 3 визначимо за формулою . Напрямок цієї швидкості знаходимо за допомогою вектора швидкості . Умовно переносимо цей вектор у т. D механізму та спостерігаємо за умовним обертанням ланки 3 відносно точки С проти руху стрілки годинника . Таким чином,  напрямлена у той же бік.

Побудова плану прискорень. Прискорення т.В, яка належить ланці 1 кривошипу, визначається за формулою

Від полюса pa (рис. 2.11, г) відкладаємо відрізок pab паралельно до ланки АВ (у напрямку від т.В до т.А), який зображує прискорення  (). Масштаб плану прискорень при цьому .

Визначаємо прискорення т., що належить ланці 3,

У першому рівнянні , - коріолісове прискорення, яке з’явилось у результаті складання відносного поступального руху повзуна 2 по напрямній 3 зі швидкістю  та переносного обертального руху цієї напрямної зі швидкістю . Модуль цього прискорення визначається за формулою

.

Щоб знайти напрямок вектора , необхідно повернути вектор відносної швидкості  на кут 900 в напрямку переносної кутової швидкості  (рис. 2.11, в ). Прискорення  є прискоренням відносного поступального руху повзуна 2 по напрямній 3 і напрямлене вздовж ланки CD. Величина (модуль) його невідома. Нормальне прискорення  визначається за формулою , воно напрямлене від точки В до точки С паралельно до ланки СВ. Дотичне прискорення  напрямлене перпендикулярно до ланки ВС. Визначаємо відрізки  bk i pan3 , які зображують прискорення   на плані

.

Відкладаємо від точки b плану прискорень відрізок bk, а від полюса pa відрізок pan3. З точки k проводимо лінію, паралельну до ВС, а з точки n3 - лінію, перпендикулярну  ВС до їх перетину між собою. Точку перетину b3 з’єднуємо з полюсом і одержуємо відрізок pab3, який зображує прискорення  точки . Для визначення положення точки D на плані прискорень складаємо рівняння, використовуючи теорему подібності,

звідки .

Щоб знайти прискорення точки , яка належить ланці 5, записуємо векторне рівняння

,

.

Прискорення  напрямлене вздовж напрямної EF, а відносне (релятивне) прискорення - вздовж КМ. З полюса рa проводимо лінію, паралельну до EF , а з точки d – лінію, паралельну до КМ. На перетині цих ліній одержуємо точку . Величини знайдених прискорень дорівнюють

;

.

Модуль кутового прискорення  ланки 3 знайдемо за формулою

.

Напрямок  знаходимо з допомогою дотичного прискорення . Переносимо вектор , що зображає .на плані, у точку В механізму і бачимо, що він вказує на умовне обертання ланки 3 навколо точки С проти руху стрілки годинника.

§ 2.6. Кінематичне дослідження механізмів аналітичними методами

Широке розповсюдження ЕОМ з різноманітним програмним забезпеченням сприяє все більшому застосуванню аналітичних методів кінематичного дослідження. З великої кількості праць з аналітичного розв’язку задач кінематики, якщо розглядати лише загальні методи, які можна застосувати для будь-яких механізмів, виділяють два їх різновиди: метод замкнених векторних контурів, розроблений В.А.Зінов’євим, та метод перетворення координат (матричний метод), запропонований Ю.Ф.Морошкіним.

Аналітичне розв’язування задач кінематики просторових механізмів рекомендують виконувати методом перетворення координат. Застосування цього методу дає змогу визначати кінематичні параметри звичайними алгебричними методами із застосуванням матриць. Перевага матричної форми запису полягає, головним чином, у застосуванні формул множення матриць.

Аналітичне дослідження плоских механізмів зручніше виконувати методом замкнених векторних контурів.

Метод замкнених векторних контурів. Метод полягає у тому, що кінематичні параметри визначаються у вигляді аналітичних залежностей, що одержують, якщо представити схему механізму замкненими векторними контурами, утвореними ланками цього механізму. Вихідними даними є структурна схема механізму, розміри ланок та залежності узагальнених координат механізму від часу. Якщо останні не задано, то рівняння записують як функції узагальнених координат, тобто визначають кінематичні передатні функції.

Суть методу замкнених векторних контурів полягає в наступному:

  •  ланки механізму зображають у вигляді векторів, які утворюють на схемі механізму один або декілька замкнених векторних контурів (відповідно до кількості груп Ассура);
  •  складають векторні рівняння замкненості кожного контуру;
  •  вибирають прямокутну систему координат та проектують рівняння замкнутості контурів на осі вибраної системи координат.

В результаті отримують аналітичні залежності положення ланок від узагальнених координат механізму та його розмірів, тобто функцію положень ланок механізму;

  •  диференціюють двічі за часом рівняння замкненості контурів у проекціях на осі x, y та отримують, відповідно, систему рівнянь для визначення швидкостей та прискорень ланок механізму. Якщо диференціюють по узагальненій координаті – отримують, відповідно, рівняння для визначення аналогів швидкостей та прискорень.
  •  визначають координати, проекції швидкостей та прискорень характерних точок механізму. Визначають модулі швидкостей та прискорень цих точок.

Деякі рекомендації щодо застосування методу замкнених векторних контурів:

  •  напрямок векторів слід вибирати так, щоб вони вказували послідовність побудови схеми механізму. Спочатку у вигляді вектора зображають початкову ланку механізму. Початок цього вектора – нерухома точка (центр шарніра). Вектори, що зображають ланки в групах Ассура, рекомендують напрямляти до внутрішньої кінематичної пари. Напрямок векторів на нерухомій ланці вибирають довільно;
  •  записуючи умови замкненості векторних контурів, треба враховувати знаки векторів. Для цього користуються правилом обходу: обходячи кожний векторний контур схеми у довільно вибраному напрямі, векторам, напрям яких збігається з напрямом обходу, присвоюють знак плюс і, навпаки, для векторів, що мають напрям проти напряму обходу, присвоюють знак мінус;
  •  прямокутну систему координат зв’язують зі стояком. За початок відліку можна прийняти центр шарніру, що з’єднує початкову ланку зі стояком. Якщо у механізмі є нерухома напрямна для повзуна, то одну з осей координат доцільно проводити паралельно до цієї напрямної.

Зазначимо, якщо механізм утворює декілька замкнених векторних контурів, то послідовність їх розгляду визначається послідовністю приєднання.

Методику одержання розрахункових залежностей розглянемо на прикладі кривошипно-повзунного механізму двоступінчастого двоциліндрового повітряного компресора, структурна схема якого зображена на рис. 2.12, а. Задані розміри всіх ланок та частота обертання  кривошипа 1. Необхідно визначити усі кінематичні параметри ланок  та їх характерних точок (центрів мас) S2, S4 .

Представимо схему механізму у вигляді двох замкнутих векторних контурів: OABO та OCDO (рис. 2.12, б). У кожен контур входить структурна група Ассура другого класу: ІІ(2, 3) та ІІ(4, 5). Ланки механізму зобразимо у вигляді векторів ,, , , положення повзунів 3, 5 визначатиметься векторами , .

Складемо векторні рівняння замкнутості кожного контура

,    (2.6)

.    (2.7)

Рівняння (2.6), (2.7) спроектуємо на осі вибраної  прямокутної системи координат xOy (за початок відліку якої прийнято центр шарніра О, а вісь Оу направлено вздовж напрямної повзунів) та запишемо рівняння проекцій.

   (2.8)

,   (2.9)

де , ,  – відповідно довжини ланок 1, 2, 4; ,  – відповідно відстані між центром шарніра О та центрами шарнірів B, D повзунів; - узагальнена координата механізму (кут повороту кривошипа); , – відповідно кути повороту ланок 2, 4.

Відлік кутів , які визначають положення ланок, проводимо від додатного напрямку осі Оу за рухом годинникової стрілки (в напрямку обертання кривошипа). Отже, для визначення величини та напряму кута повертаємо вісь Оу за годинниковою стрілкою доти, доки стрілка осі Оy не зіллється зі стрілкою вектора. Це й буде позитивним напрямом кута.

Розв’язуючи системи (2.8), (2.9) відносно невідомих ,  та , , отримаємо аналітичні залежності положень ланок 2, 3, 4, 5 від узагальненої координати, тобто функції положень ланок. Так для першого контура, з першого рівняння системи (2.8) одержимо:

,   (2.10)

а з другого рівняння (2.8) врахувавши (2.10), отримаємо

.

Для другого контура всі викладки аналогічні.

Рис. 2.12

Диференціюючи систему (2.8) за часом,

,   (2.11)

  (2.12)

з (2.11) отримаємо вираз для кутової швидкості шатуна 2, а з (2.12) – лінійної швидкості повзуна 3

,

У випадку, коли закон руху початкової ланки невідомий, визначають аналоги швидкостей та прискорень, продиференціювавши системи (2.8) і (2.9) за узагальненою координатою.

Для визначення прискорень двічі диференціюємо за часом систему (2.8), що приводить до рівнянь

,  (2.13)

.    (2.14)

З (2.13) визначаємо кутове прискорення шатуна 2 

.

Підставивши значення  в рівняння (2.14), можна визначити лінійне прискорення повзуна 3.

Координати будь-якої характерної точки механізму, її швидкість та прискорення визначають, використовуючи рівняння проекцій даної точки на осі координат. Наприклад, для т. S2 будемо мати

,

.

Модулі швидкостей та прискорень цієї точки знаходяться за відомими формулами

,  .

Наведені результати аналітичного дослідження зручні для програмування та реалізації на ЕОМ. Для складніших механізмів ІІ класу з декількома групами Ассура метод замкнутих векторних контурів може призвести до громіздких математичних виразів. Реалізація відповідних алгоритмів на ЕОМ призводить до складних програм. З метою спрощення методики дослідження механізмів ІІ класу рекомендується погруповий метод кінематичного дослідження. Враховуючи, що будь-який механізм отримується послідовним приєднанням до початкового механізму груп Ассура, доцільно  аналітичне дослідження механізмів виконувати за структурними групами. При цьому рух ланок для кожної групи розглядається окремо, з врахуванням кінематичних характеристик її зовнішніх кінематичних пар, якими вона приєднується до механізму. Створені уніфіковані блоки (підпрограми) для початкових механізмів та груп Ассура. Такий метод зводить дослідження механізмів до розгляду окремих структурних груп, методика кінематичного дослідження яких не залежить від механізму, у який вони входять.

Для кінематичного дослідження механізмів високих класів рекомендують метод замкнутих векторних контурів.

Питання для самоконтролю

1. Що вивчає кінематика?

2. Назвіть  основні задачі кінематики.

3. Назвіть методи кінематичного дослідження механізмів.

4. Що називається планом механізму?

5. Що таке масштаб?

6. Послідовність побудови планів механізму.

7. Як визначаються початкові положення основних важільних механізмів?

8. Що таке шатунні криві?

9. Що називається кутом робочого ходу?

10. Яка сутність методу обернення рухів?

11. Дайте визначення функцій положень механізму.

12. Що таке перша та друга передатні функції механізму?

13. Запишіть формули, які відображають зв’язок між передатними функціями механізму та його кінематичними характеристиками.

14. Переваги аналітичних методів кінематичного дослідження.

15. Суть методу замкнених векторних контурів.

16. Послідовність графічного диференціювання.

17. Послідовність графічного інтегрування.

18. Масштаби при графічному диференціюванні.

19. Теорема подібності.


ГЛАВА 3. ВСТУП У ДИНАМІЧНИЙ АНАЛІЗ МЕХАНІЗМІВ ТА МАШИН. СИЛОВИЙ РОЗРАХУНОК МЕХАНІЗМІВ

У кінематиці дослідження руху ведеться тільки з врахуванням будови механізмів та геометричних співвідношень між розмірами ланок. Передбачається, що рух вхідних ланок відомий. Рух вихідних ланок вивчається в залежності від заданого руху вхідних ланок. За цих умов сили, які діють на ланки механізму, не враховуються.

Динаміка вивчає дійсний рух механізмів з урахуванням усіх факторів, що на нього впливають. Динамікою називається розділ механіки, у якому вивчається рух матеріальних тіл під дією сил. Розрізняють дві основні задачі динаміки:

  •  визначення сил, які діють на ланки механізмів за заданим законом руху, та встановлення способів зменшення динамічних навантажень, що виникають при русі механізмів;
  •  визначення дійсного закону руху механізмів під дією прикладених до нього сил та встановлення способів забезпечення заданих режимів руху механізму.

Перша задача має назву силового аналізу механізмів, а друга – динаміки механізмів.

У динаміку входять і ряд інших задач, що мають важливе технічне значення: тертя у кінематичних парах; механічний коефіцієнт корисної дії механізмів; теорія коливань в механізмах та віброзахист машин і т. ін.

Крім цього у динаміці можна виділити два класи задач – аналіз механізмів і машин та синтез механізмів і машин за заданими динамічними умовами.

§ 3.1. Сили, що діють на ланки механізмів та машин

Сили (моменти),  прикладені до ланок, можна поділити на групи.

  1.  Рушійні сили. Створюються двигунами, які здійснюють перетворення якогось виду енергії (теплової, електричної, гідравлічної) у механічну роботу. Вони здійснюють позитивну роботу за час своєї дії або за один цикл. Рушійні сили збільшують кінетичну енергію машини і прикладені до ланок механізму, що називаються ведучими; з напрямом швидкості точок прикладання утворюють гострі кути, зокрема ці кути можуть дорівнювати і нулю.

2. Сили опору. Здійснюють від’ємну роботу за час своєї дії, або за один цикл. Вони діляться на сили корисного (виробничого, технологічного) опору та сили шкідливого опору - опір середовища (повітря, чи якогось іншого газу, рідини), в якому рухаються ланки механізму. Сили опору середовища переважно малі у порівнянні з іншими силами і в задачах курсу ТММ не враховуються. Особливе місце посідає шкідливий опір у кінематичних парах – тертя. Тертя в механізмах розглядатимемо окремо.

Сили корисного опору – це сили, для подолання яких створено машину. Ці сили напрямлені проти переміщення точок їх прикладання – з напрямом швидкості точок прикладання утворюють тупі кути, або, зокрема, кути, що дорівнюють 1800; сили опору зменшують кінетичну енергію машини.

3. Сили тяжіння (ваги) окремих ланок та сили пружності пружин. На деяких ділянках руху механізму ці сили можуть здійснювати як додатну, так і від’ємну роботу (у випадку сил тяжіння в залежності від того, чи піднімається, або опускається центр ваги ланки). Але за повний кінематичний цикл робота даних сил дорівнює нулю, оcкільки точки їх прикладання рухаються циклічно. Сили тяжіння ланок завжди напрямлені вертикально вниз (до центра тяжіння землі); модуль цих сил обчислюється за відомою формулою , де g прискорення вільного падіння. Врахування цих сил не викликає труднощів. Сили пружності пружин визначаються за їх характеристиками чи за коефіцієнтами жорсткості.

4. Сили взаємодії між ланками механізму, тобто сили, що діють у кінематичних парах. Ці сили являють собою реакції на дію активних сил. Згідно третього закону Ньютона реакції завжди взаємообернені. Їх нормальні складові роботи не виконують, в той час як дотичні складові тобто сили тертя здійснюють від’ємну роботу.

Сили перших трьох груп відносяться до категорії активних, вони переважно відомі. Ці сили прикладені до механізму ззовні, а тому є зовнішніми. Сили четвертої групи реакції, якщо розглядати механізм в цілому, є внутрішніми силами. Реакції наперед невідомі. Вони залежать від активних сил та від прискорень ланок механізму.

Найбільший вплив на закон руху механізму чинять рушійні сили та сили корисного опору. Їх величина та характер дії визначається робочим процесом машини чи приладу, в яких використаний даний механізм. Ці сили можуть бути постійними, але в більшості випадків вони є функціями кінематичних параметрів – переміщення, швидкості або часу. Рушійні сили та сили опору звичайно визначають експериментальним шляхом за допомогою відповідних приладів (індикаторів, динамометрів, різних давачів і т.п.) для ряду положень  механізму за цикл його роботи. Вивчення робочих процесів та їх характеристик є задачею відповідних спеціальних наукових дисциплін та виходить за рамки курсу ТММ, а тому при розв’язуванні задач дані сили вважають відомими і заданими у вигляді так званих механічних характеристик. Механічною характеристикою машини називають функціональну залежність силового параметру від часу чи його кінематичного параметру, представлену графічно, масивом чисел або аналітично.

Розглянемо механічні характеристики деяких машин, двигунів та технологічних машин.

Характеристики сил, що залежать від швидкості. На рис. 3.1, а, б, показані механічні характеристики для електродвигунів постійного струму з паралельним і послідовним збудженнями; на рис. 3.2, а зображена механічна характеристика асинхронного електродвигуна трифазного струму – залежність крутного моменту від кутової швидкості ротора. Робочою частиною характеристики є ділянка аb. При деякому значенні кутової швидкості , що відповідає номінальному моменту Мн двигуна і номінальній швидкості , двигун розвиває максимальну потужність. Кутова швидкість , при якій  Мд = 0, називається синхронною; з цією швидкістю ротор обертається при марноході. Наприклад, точка О діаграми визначає початковий пусковий момент Мо двигуна при нульовій кутовій швидкості ротора.

а)      б)

Рис. 3.1

а)     б)

Рис. 3.2

Від швидкості залежать сили та моменти, що діють у таких робочих машинах як електрогенератори, вентилятори, відцентрові помпи і т.ін. (рис. 3.2, б). Відмітимо, що при зображенні механічних характеристик додержуються наступного правила знаків: силу і момент враховують додатними, якщо на розглядуваній ділянці шляху (лінійній чи кутовій) вони виконують додатну роботу.

Характеристики сил, що залежать від переміщення. На рис. 3.3 показана схема механізму двотактного двигуна внутрішнього згоряння (ДВЗ) та його механічна характеристика – залежність сили тиску газів Fд на поршень від його переміщення. Зазначимо, що для ДВЗ механічна характеристика частіше представляє собою залежність тиску газів у циліндрі від переміщення поршня і називається індикаторною діаграмою. Якщо подача палива в ДВЗ не змінюється, то при наступних обертах початкової ланки 1 механічна характеристика повторює свою форму.

Робота сили  FД графічно зображується площею, що обмежена кривою FД (Sc). У розглядуваному випадку додатна площа більша, ніж від’ємна. Таким чином робота сили FД за повний цикл буде додатною. Отже, сила FД є рушійною, хоча вона міняє знак.

Сили, що залежать тільки від переміщення, діють у багатьох інших машинах та приладах: поршневих помпах та компресорах, стругальних, фрезерних, довбальних верстатах і т.п. На рис. 3.4, а подається механічна характеристика стругального верстата у вигляді прямої, що виражає залежність сили  різання Р, прикладеної до різця, від переміщення  різця S.

У ряді машин дія активних сил робочого процесу на робочі органи машини є короткочасна і здійснюється лише на малій ділянці траєкторії робочого органу. Це має місце, наприклад, у ковальських пресах, відбійних молотках, машинах для забивання паль і т. ін. Робочі процеси такого роду називають ударними або імпульсними. Типова характеристика ударного процесу показана на рис. 3.4, б.

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Отже, маючи механічну характеристику машини, можна безпосередньо отримати величину сили чи моменту в конкретних положеннях механізму, або при різних швидкостях чи в заданий момент часу.

Наведені механічні характеристики машин-двигунів та робочих машин є типовими.

§3.2. Загальна методика силового розрахунку

Силовий аналіз механізмів ґрунтується на розв’язанні першої задачі динаміки – за заданим законом руху визначити діючі сили. Визначення реакцій, а також – у низці задач – сил та моментів, що прикладені до механізму ззовні, складає зміст його силового розрахунку.

Під час руху механізму в кінематичних парах діють сили, що є силами взаємодії між ланками. Сили взаємодії ланок, що виникають в місцях їх дотику, називають реакціями в кінематичних парах. Навантаженість кінематичних пар реакціями є важливою динамічною характеристикою механізму. Знання сил в кінематичних парах має велике практичне значення для розрахунків ланок механізму на міцність, жорсткість, вібростійкість, стійкість проти спрацьовування, для розрахунку вальниць на довговічність та для проведення інших подібних розрахунків, що виконуються при проектуванні механізмів. Таким чином силовий розрахунок включає, перш за все,  визначення реакцій у кінематичних парах. Зовнішні сили, що прикладені до ланок механізму, як правило, задані. Визначенню підлягає лише зовнішня  зрівноважувальна сила (зрівноважувальний момент), що прикладена до вхідної ланки, при якій забезпечується прийнятий закон її руху.

Силовий розрахунок механізмів може бути  виконаний різними методами. В ТММ досить широке застосування отримав метод силового розрахунку механізмів на основі звичайних рівнянь рівноваги твердих тіл. Суть методу зводиться до застосування рівнянь рівноваги у формі Д’Аламбера. Для цього силу інерції, яка є протидією тіла, що прискорюється, та яка прикладена до тіла, що надає це прискорення, умовно переносять на тіло, що прискорюється. Перенесена сила зрівноважується з усіма зовнішніми силами, в тому числі і з реакціями, що діють на це тіло.

Стосовно  механізмів суть методу може бути сформульована так: якщо до всіх зовнішніх сил, що діють на ланку (групу Ассура, механізм) додати сили інерції (моменти), то під дією усіх цих сил ланку (групу Ассура, механізм ) можна розглядати як таку, що умовно знаходиться в рівновазі. Цей метод дозволяє записати рівняння руху в формі рівнянь рівноваги, тим самим задачу динаміки розв’язати методами статики.

Таким чином, при застосуванні принципу Д’Аламбера до розрахунку механізмів, крім зовнішніх сил, вводяться в розрахунок сили інерції, які виникають при русі ланок і діють як додаткові (фіктивні) сили. Нагадаємо, під силою інерції розуміють кінетичну реакцію тіла на прискорення, яке надається йому ззовні. Сили інерції – це сили, обумовлені масою та рухом тіла з прискоренням. Сили інерції тіла (ланки) являють собою результат сумарної дії елементарних сил інерції кожної точкової маси тіла. Для зручності розрахунків незлічену систему елементарних сил інерції, що відповідають точковим масам, замінюють рівнодійними силами та парами. В загальному випадку, якщо тіло (ланка) здійснює плоскопаралельний рух, частіше за все елементарні сили інерції зводяться до одного головного вектора  сил інерції (скорочено сили інерції) , прикладеного в центрі мас тіла, та головного момента сил інерції (скорочено момента сил інерції) , де m – маса тіла; as – прискорення центра мас тіла;  – кутове прискорення тіла; Is – момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас, перпендикулярно площині його руху. Головний вектор сил інерції  спрямований протилежно вектору прискорення центра мас . Головний момент сил інерції  спрямований протилежно кутовому прискоренню .

Метод силового розрахунку механізму з врахуванням сил інерції та застосуванням рівнянь динамічної рівноваги часто називають кінетостатичним розрахунком механізмів, на відміну від статичного розрахунку, при якому не враховуються сили інерції. У сучасних швидкохідних машинах слід обов’язково враховувати сили інерції ланок механізму, бо значення цих сил можуть значно перевищувати за величиною прикладене зовнішнє навантаження.

Таким чином, силовий розрахунок механізмів будемо виконувати методом кінетостатики, умовно приклавши до кожної рухомої ланки механізму, крім зовнішніх сил  (моментів ), головний вектор  та головний момент  сил інерції. Тоді для кожної ланки можна записати три рівняння кінетостатики. Нагадаємо, для рівноваги довільної плоскої системи тіл необхідно і достатньо, щоб сума проекцій усіх сил на кожну з двох координатних осей і сума їх моментів відносно будь-якого центра, що лежить у площині дії сил, були рівні нулю.

,    (3.1)

,    (3.2)

.  (3.3)

Часто в розрахунках рівняння (3.1) та (3.2) замінюють одним еквівалентним векторним рівнянням

.    (3.4)

Головний вектор  та головний момент  сил інерції визначаються з відомих формул:

Невідомі реакції визначаються з рівнянь (3.1) – (3.4), в які вони входять у складі сум , з відомими зовнішніми силами.

Зазначимо, до викладена методика – для силового розрахунку плоских механізмів. При цьому прийнято, що механізм має площину симетрії, яка паралельна площині руху і в якій діють усі прикладені сили. Вказаній умові відповідає дуже велика кількість механізмів енергетичних, технологічних, транспортних машин та різних приладів.

При русі механізму в його кінематичній парі виникають сили тертя, що гальмують рух, знижують коефіцієнт корисної дії механізму. Силовий розрахунок може бути виконаний як з урахуванням, так і без урахування тертя. В першому наближенні проводять розрахунок без урахування сил тертя в кінематичних парах, розглядаючи механізм як систему з ідеальними в’язями. Відзначимо, у більшості випадків сили тертя малі, порівняно з іншими силами, що діють на механізм, тому уточнений розрахунок часто не робиться.

Розглянемо дію сил в кінематичних парах. Реакція, тобто сила взаємодії ланок, що утворюють нижчу кінематичну пару, представляє собою рівнодіючу елементарних сил (елементарних тисків однієї ланки на іншу), розподілених по поверхні дотику ланок. Як відомо, сила взаємодії між двома тілами, що дотикаються (якщо нехтувати силами тертя), напрямлена по спільній нормалі до поверхні стикання. Таким чином, у поступальній кінематичній парі всі елементарні сили, а отже і їх рівнодійна – реакція R12 (рис. 3.5), будуть напрямлені по нормалі до напрямної кінематичної пари х-х. Реакція, як і будь-яка сила, характеризується трьома параметрами: величиною (модулем), напрямком і точкою прикладання. Величина і точка прикладання реакції невідомі і повинні бути визначені в процесі силового розрахунку. Таким чином, поступальна пара вносить в рівняння (3.1) – (3.4) два невідомих параметри. Сказане повністю стосується і реакції  R21, яка прикладена до ланки 2 з боку ланки 1, оскільки сили взаємодії ланок R12, R21 зв’язані третім законом Ньютона:  Відзначимо, що реакції в кінематичних парах будемо позначати двома нижніми індексами: перший вказує номер ланки, на яку діє сила, другий – номер ланки, зі сторони якої діє сила.

Розглянемо обертальну кінематичну пару V класу (рис. 3.6). Якщо знехтувати силами тертя, то рівнодійна  R12 елементарних тисків однієї ланки на іншу, напрямлена по нормалі до циліндричних поверхонь дотику обох ланок, пройде через центр шарніра O. Положення центра шарніра завжди відоме, але невідомі ні величина цієї реакції, ні її напрям.

Рис. 3.5

Таким чином, від кожної реакції, що діє в нижчій кінематичній парі, в розрахункових рівняннях (3.1) – (3.4) з’являться два невідомі параметри.

Рис. 3.6

У вищій парі IV класу (рис. 3.7) реакція R12 прикладена в точці А дотику ланок 1 та 2 і напрямлена вздовж спільної нормалі n-n (тертя не враховується). Таким чином, для реакції R12 відомі як точка прикладання, так і лінія дії; невідомим є тільки її модуль.

Рис. 3.7

Умови статичної визначеності плоских механізмів, кінематичних ланцюгів. Розглянемо плоский механізм, що складається з n рухомих ланок та p5 нижчих (V класу) і у p4 вищих (IV класу) кінематичних пар. Для цього механізму можна скласти 3n рівнянь рівноваги; число невідомих параметрів під час визначення реакцій у кінематичних парах цього ланцюга становитиме 2p5+p4. Щоб задача була статично визначеною, кількість рівнянь рівноваги повинна дорівнювати числу невідомих, що входить до них, тобто 3n=2p5+p4. Запишемо для плоского кінематичного ланцюга формулу Чебишева у вигляді 3n=2p5+p4+W. Порівнюючи вирази, роблять висновок: механізм без залишкових в’язей є статично визначеним. W рівнянь, що залишились, використовуються для визначення тих зовнішніх силових факторів, які не задані в силовому розрахунку і є шуканими. В багатьох підручниках невідомий зовнішній силовий фактор називається зрівноважувальною силою (моментом).

В той же час, для будь-якої структурної групи Ассура справедливе співвідношення 3n=2p5+p4. Отже, будь-яка структурна група є статично визначеною, а тому при силовому розрахунку доцільно розглядати рівновагу окремих структурних груп.

Послідовність силового розрахунку механізмів. При силовому розрахунку невідомими будуть внутрішні сили в кінематичних парах, тобто реакції, та часто зрівноважувальна сила (момент). Щоб визначити їх, механізм треба розкласти на групи Ассура. Оскільки групи Ассура є статично визначеними, механізм розкладається на групи Ассура та механізм І класу. При цьому необхідно, щоб зрівноважувальна сила була прикладена до рухомої ланки механізму І класу. Підкреслимо, що при такому розкладанні механізму, в кожній групі Ассура невідомими будуть тільки реакції. Після того, як силовий розрахунок усіх груп Ассура виконано, механізм І класу також буде статично визначеним.

Підсумуємо: силовий розрахунок механізму потрібно проводити за структурними групами Ассура, починаючи з групи, яка приєднана останньою в процесі утворення механізму, і завершувати розрахунком механізму І класу. Таким чином, послідовність силового розрахунку є зворотньою до послідовності кінематичного дослідження.

§ 3.3. Силовий розрахунок шарнірно-важільного механізму

Розглянемо графічний метод силового дослідження плоских важільних механізмів шляхом складання рівнянь рівноваги та побудови плану сил. Наведемо розрахунок шестиланкового кулісного механізму поперечно-стругального верстата. Вихідними даними для розрахунку є: кінематична схема механізму в заданому положенні (рис. 3.8); маси mi та моменти інерції ISi ланок; положення їх центрів мас si; кутова швидкість  кривошипа; сила корисного опору, в розглядуваному прикладі FР - сила різання, яка прикладена до різця (ланка 5), в напрямку, протилежному руху.

Невідомими є реакції у кінематичних парах та зрівноважувальна сила Fзр. Оскільки у даному прикладі задано, що верстат з’єднаний з двигуном за допомогою зубчастої передачі , то зовнішній силовий фактор, який прикладений до зубчастого колеса  (ланка 1), являє собою силу, модуль якої треба визначити (напрям та точка прикладання відомі).

Рис. 3.8

Підкреслимо, що до силового розрахунку приступають лише після виконання кінематичного аналізу. Припустимо, що кінематичний розрахунок виконаний, і, отже, відомі повні прискорення центрів мас усіх ланок та їх кутові прискорення за величиною та напрямком. За знайденими прискореннями визначаємо модулі та напрями головних векторів та головних моментів сил інерції всіх ланок за формулами

Вектори сил інерції  прикладені в центрах мас і напрямлені в протилежну сторону до напрямків векторів відповідних прискорень aSi , моменти МФі напрямлені протилежно до кутових прискорень .

Визначимо сили ваги усіх рухомих ланок за рівністю

і прикладемо їх у центрах мас sі ланок вниз по вертикалі.

Розбиваємо механізм на групи Ассура. Даний механізм утворений шляхом послідовного приєднання до механізму І класу (ланки 1,6) двох груп Ассура другого класу: групи третього виду (ланки 2,3) та другого виду (ланки 4,5).

Накреслимо в масштабі найвіддаленішу від вхідної ланки групу Ассура (ланки 4,5) і нанесемо діючі на неї сили: корисного опору Fp, ваги G4, G5, сили (і моменти сил) інерції Ф4, Ф5, МФ4 – усі вони відомі; а також реакції від’єднаних від групи Ассура ланок (рис. 3.9, а). Невідомими є реакції. Реакція стояка на повзун R56 нормальна до напрямної UW. Невідомим є її модуль, а також точка прикладання, яка визначається через плече b. Реакцію в обертальній парі Q, невідому за модулем і напрямом, розкладемо на дві складові ,  так, щоб момент нормальної складової відносно точки N дорівнював нулю. Невідомі модуль та напрям внутрішньої реакції  в шарнірі N визначаються пізніше, через план сил.

Під дією цих сил згідно з принципом Д’Аламбера група Ассура перебуватиме в стані умовної рівноваги.

Складову  знайдемо з умови рівноваги ланки 4, за рівнянням моментів , ,

звідки

,

де QN, h1, h2 - плечі сил, які вимірюємо на кресленні групи Ассура.

Якщо права частина рівності додатна то це означає, що напрям реакції  на схемі прийнято правильно. При від’ємному значенні – потрібно замінити напрям реакції на протилежний.

Рис. 3.9

Подальші силові розрахунки проводимо графічним методом. Складаємо векторне рівняння рівноваги сил, прикладених до всієї групи Ассура (4,5):

, ,        (3.5)

пам’ятаючи, що для системи, яка перебуває в рівновазі, многокутник сил буде замкненим.

Будуємо план сил. Для цього вибираємо масштаб  та вираховуємо відповідні відомим силам довжини відрізків. Потім, починаючи від т.а (рис. 3.9, б), відкладаємо, згідно з рівнянням (3.5), вектори, що зображають ці сили FР, G5, Ф5, Ф4, G4,  у масштабі . Після цього через початок вектора, що зображає на плані силу  (т.а), проводимо лінію, паралельну до  на кресленні групи Ассура, а через кінець вектора, що зображає  (т.с) – лінію, паралельну. Точка d перетину цих двох прямих визначить невідомі реакції . Напрям їх приймається таким, щоб стрілки на векторах сил були орієнтовані в напрямку обходу контура. Повну реакцію  в шарнірі Q отримуємо графічно згідно рівняння .

Рис. 3.10

Модулі знайдених реакцій визначаємо за відомими формулами

де  - відрізки на плані сил.

Для визначення реакцій  у внутрішній кінематичній парі N розглянемо умову рівноваги сил, що діють на ланку 4,

Розв’язок отримуємо, замкнувши на плані сил точки d і f. Модуль реакції дорівнює .

Визначимо координату b точки прикладання реакції . З рівняння моментів усіх сил, що діють на ланку 5 відносно т. N,, отримаємо:

.

Якщо плече b буде мати таку довжину, що т.D виявиться поза поверхнею UW, то силова дія стояка 6 на повзун 5 зведеться до двох реакцій , . Знайдена  є тоді лише їхньою рівнодійною. Шукані реакції визначаються за допомогою теореми Варіньона

Перейдемо до розгляду групи Ассура 2,3. Накреслимо в масштабі групу Ассура і прикладемо діючі сили (рис. 3.9, в). Двоповодкова група Ассура третього виду частіше за інші зустрічається в сучасному машинобудуванні. При цьому, часто G2=0, Ф2=0 або настільки малі, що ними нехтують

До ланок групи прикладені: відома з попереднього розрахунку реакція , а також відомі сили та момент G3, Ф3, МФ3. Невідомими є модуль та напрям реакцій R36 i R21 в шарнірах С та В, модуль реакції взаємодії  в поступальній парі 2-3.

Розглянемо рівновагу не групи Ассура, а окремих ланок, які входять до групи, оскільки відомо напрям реакції R32 повзуна на кулісу (реакції у внутрішній кінематичній парі В). Ця реакція нормальна до напрямної CQ і прикладена в т.В (рис. 3.9, г).

За модулем реакцію R32 знайдемо з рівняння моментів сил, що діють на кулісу, відносно т.С

,

звідки                       , .

Із рівноваги повзуна (рис. 3.9, д) маємо  , .

Реакцію R36  знаходимо методом планів сил згідно з векторним рівнянням для ланки 3 , .

Для цього з довільно вибраної точки (полюса a, рис. 3.9, е ) в масштабі  відкладаємо сили  Невідома реакція R36 замкне многокутник сил. За модулем .

Переходимо до силового розрахунку механізму І класу. Накреслимо його в масштабі (рис. 3.10, а) і нанесемо діючі сили: відому силу  , силу ваги G1, невідому за модулем і напрямком реакцію R16, та невідому лише за модулем зрівноважувальну силу Fзр. В даному прикладі зрівноважувальна сила являє собою рушійну силу. Лінія дії сили Fзр проходить через полюс зачеплення Р під кутом зачеплення . Положення полюса Р та величина кута  визначаються з геометричного розрахунку зубчастої передачі.

Сила Fзр знаходиться з рівняння моментів сил відносно т.А

,

Звідки Fзр=.

Відмітимо, що силу Fзр можна також отримати і коротшим шляхом, не роблячи розбивки механізму, застосувавши теорему М.Є. Жуковського.

Реакцію R16 стояка 6 на кривошип 1 визначимо за допомогою побудови плану сил (рис. 3.10, б ) згідно з рівнянням

.

За модулем невідома реакція

§3.4. Теорема Жуковського

Визначення зрівноважувальної сили методом М.Є.Жуковського. У випадку задач, у яких необхідно знайти зрівноважувальну силу або зрівноважувальний момент, а визначати реакції в кінематичних парах немає потреби, використовують теорему (метод) Жуковського. Прикладом таких задач є: визначення потужності та типу двигуна, моменту інерції маховика, характеристики регулятора та інші задачі динаміки.

Співвідношення між силами,  прикладеними до ланок механізму (включаючи і сили інерції), можна дістати, застосувавши теорему Жуковського про жорсткий важіль: якщо для механізму, що перебуває в русі, побудувати план швидкостей, а потім вектори усіх активних сил та сил інерції, які прикладені в різних точках механізму, повернути на 900 в один і той же бік та перенести в однойменні точки плану швидкостей, то сума моментів цих сил відносно полюса буде дорівнювати нулю.

Замість сил можна повертати план швидкостей на 900, а сили прикладати так, як вони показані на схемі механізму. Тоді теорему Жуковського можна сформулювати таким чином: якщо до плану швидкостей, повернутого на  900,  у відповідних точках прикласти всі зовнішні сили (і моменти), сили інерції (і моменти сил інерції), а також зрівноважувальну силу (момент) і розглядати план швидкостей як жорсткий важіль, закріплений у полюсі, то під дією цих сил і моментів він буде перебувати в рівновазі, а сума моментів сил відносно полюса дорівнюватиме нулю. Таким чином, рівновазі механізму відповідає рівновага повернутого плану швидкостей, який розглядається як “жорсткий важіль”, що шарнірно закріплений в полюсі плану.

Доведення теореми ґрунтується на принципі можливих переміщень.

Моменти сил, що прикладені до ланок механізму найчастіше зображають у вигляді пар сил, які переносять на план швидкостей. Якщо моменти , що діють на ланки механізму, переносяться на план швидкостей безпосередньо у вигляді моментів, їх величина визначається рівнянням

де , м – довжина ланки, до якої прикладений момент ; , мм – відрізок плану швидкостей, до якого прикладається момент. При цьому момент  має той же знак, що і заданий момент , якщо напрям відрізка ab (порядок літер) співпадає з напрямом відрізка АВ схеми механізму. Якщо напрям ab протилежний АВ , то моменти  та мають різні знаки.

Застосування важеля Жуковського дозволяє визначити шукану силу за допомогою тільки одного рівняння моментів. У випадку застосування методу плану сил необхідно провести повний силовий розрахунок механізму.

Відзначимо, що метод Жуковського можна застосовувати для знаходження величини будь-якої сили, якщо точка прикладання та лінія дії цієї сили задані, а також відомі лінії дії, величини та точки прикладання усіх інших сил, які діють на ланки механізму.

З наведеного випливає наступна послідовність визначення зрівноважувальної сили за способом Жуковського: - креслять кінематичну схему механізму у заданому положенні та вибраному масштабі з прикладеними усіма зовнішніми силами. Моменти замінюють парами сил; - будують план швидкостей, повернутий на 900; - до однойменних точок повернутого плану прикладають усі зовнішні сили, сили інерції, а також зрівноважувальну силу, зберігаючи їх напрям; - складають рівняння суми моментів усіх сил відносно полюса і визначають зрівноважувальну силу.

Приклад. За допомогою важеля Жуковського визначити  для механізму, що зображений на рис. 3.11. Згідно з умовою прикладена в т.А кривошипа.

У довільному масштабі будуємо план швидкостей. Прикладаємо у відповідних точках плану швидкостей всі сили, повернуті на 900 за рухом стрілки годинника. При цьому моменти  замінюємо парою сил , що прикладені в точках А та В, зі збереженням напрямку моменту

.

Складаємо рівняння моментів відносно полюса плану швидкостей ,

Звідки .

Рис. 3.11

Якщо при розв’язку даного рівняння сила  додатня, то це означає, що її напрям вибрано правильно. При від’ємному значенні правої частини напрям сили  треба змінити на протилежний.

Питання для самоконтролю

  1.  Що вивчає динаміка?
  2.  Сформулюйте основні задачі динаміки.
  3.  Назвіть сили, що діють на ланки механізму, та дайте їм коротку характеристику.
  4.  Дати означення механічної характеристики машини.
  5.  На якому принципі теоретичної механіки ґрунтується кінетостатичний розрахунок механізму?
  6.  Яка послідовність силового розрахунку механізмів?
  7.  Яка умова статичної визначеності кінематичних ланцюгів?
  8.  Сформулюйте теорему Жуковського.


ГЛАВА 4. ДОСЛІДЖЕННЯ РУХУ МАШИННОГО АГРЕГАТУ

Вивчення закону руху механізму машинного агрегату під дією заданих сил є однією з основних задач динаміки. Для розв’язку цієї задачі необхідно скласти рівняння руху системи і розв’язати його відносно невідомого кінематичного параметра. При визначенні закону руху задача може бути суттєво спрощена, якщо перейти до динамічної моделі.

Вивчення динаміки машини повинно починатися з вибору її динамічної моделі. Вибір динамічної моделі того чи іншого об’єкта залежить, у першу чергу, від мети дослідження, від характеру задачі, що розглядається.

§4.1. Динамічна модель машинного агрегату

Машинний агрегат – це, переважно, сукупність машини-двигуна, механізму передач та робочої машини. Це, як правило, багатоланкова система, навантажена багатьма силами та моментами, прикладеними до різних ланок. На рис. 4.1, як приклад, приведена силова установка, в якій ДВЗ приводить в рух через зубчасту передачу вал робочої машини – відцентрової помпи. До ланок машинного агрегату під час руху прикладені різні сили: рушійна сила FД, сила корисного опору – момент МРМ, сили тяжіння, в усіх кінематичних парах діють сили тертя. Характер дії цих сил різний: деякі залежать від положення чи швидкості ланок, інші постійні. При цьому кожна ланка має свою масу, момент інерції. Своїми діями прикладені сили надають механізму той чи інший закон руху. Визначення закону руху такої складної багатоланкової системи  становить непросту задачу.

У той же час для  механізму, що має один ступінь вільності, задачу можна вважати розв’язаною, якщо буде відомий закон руху однієї ланки, яка таким чином буде початковою. Закон руху інших ланок і точок механізму після цього можна без значних зусиль визначити методами кінематичного аналізу.

Викладене наводить на думку замінити весь складний багатоланковий механізм однією умовною рухомою ланкою. Виберемо за таку ланку 1  (рис. 4.1, а) та виділимо її разом зі стояком (рис. 4.1, б). До умовної ланки пред’явимо такі вимоги: нехай її момент інерції Ізв і момент сил Мзв, якими вона навантажена, будуть такими, що закон руху умовної ланки буде повністю співпадати з законом руху ланки 1 заданого механізму, тобто для будь-якого моменту часу буде справедливим рівняння   ,

де  - кутова швидкість кривошипу 1 заданого механізму,   - кутова швидкість умовної ланки (моделі).

Це означає, що умовна ланка зі стояком є своєрідною динамічною моделлю машинного агрегату. Таким чином, якщо визначити закон руху цієї простої моделі (рис. 4.1, б), то автоматично стане відомим дійсний закон руху початкової ланки заданого механізму. Зазначимо, якщо заданий механізм має кривошип, то його доцільно  вибрати за рухому ланку динамічної моделі.

Підсумуємо викладене. Побудова динамічної моделі машинного агрегату полягає в заміні заданого багатоланкового механізму, навантаженого довільною системою сил та моментів, простою динамічною моделлю (рис. 4.1, б) – однією умовною рухомою ланкою зі стояком. При цьому, всі  сили і моменти, що прикладені до заданого механізму, замінені, як правило, одним зведеним моментом, що прикладений до умовної ланки. Отже Мзв є еквівалентом до всього навантаження,  прикладеного до машинного агрегату. Так само маси всіх ланок замінені моментом інерції умовної ланки - зведеним моментом інерції Ізв.

Рис. 4.1

Таким чином, побудова динамічної моделі полягає в зведенні сил – визначенні Мзв і в зведенні мас – визначенні Ізв. При цьому, щоб динамічна модель була адекватна заданому механізму, необхідно (слідує з рівняння Лагранжа ІІ роду,  принципу можливих переміщень), щоб при зведенні сил була витримана умова рівності елементарних робіт всіх сил і моментів, прикладених до ланок реального механізму, і зведеної сили; при зведенні мас  - умова рівності кінетичних енергій мас реального механізму і зведеного моменту інерції моделі.

Наголосимо: побудова динамічної моделі дає змогу, розв’язуючи задачі динаміки, розглядати не весь складний машинний агрегат з багатьма ланками, що мають різні маси та на які діють різні сили, а одну умовну ланку з однією еквівалентною масою (чи моментом інерції) із прикладеною до неї, як правило, однією силою (чи моментом).

Зазначимо, що в загальному випадку розрізняють дві динамічні моделі:  з розподіленою масою (рис. 4.1, б),  та із зосередженою масою (рис. 4.1, в). Остання застосовується, переважно, якщо в складі механізму немає жодної ланки, що здійснює обертальний рух.

§ 4.2. Зведення сил та мас

При дослідженні руху механізму зручно замінити усі сили та моменти, звівши їх до однієї ланки, еквівалентною з точки зору динаміки, силою  чи моментом сил. При цьому необхідно, щоб елементарна робота на розглядуваному можливому переміщенні, або потужність, що розвивається замінюючою силою чи моментом, була рівна, відповідно, сумі елементарних робіт або потужностей, що розвивають сили та моменти, які прикладені до ланок механізму на цьому ж переміщенні.

Сили чи моменти, що задовольняють цій умові, називають зведеними силами та моментами. Ланка, до якої зводяться сили та моменти (маси), називається  ланкою зведення, а точка прикладання зведенної сили – точкою зведення. Зазвичай за ланку зведення приймають ту ланку, за узагальненою координатою якої проводяться дослідження механізму. Частіше це початкова ланка, головний вал робочої машини або вихідний вал машини-двигуна.

Для визначення зведеної сили чи моменту може бути використана рівність

,                                                (4.1)

де - потужність, що розвиває зведена сила чи зведений момент;-сумарна потужність усіх сил та моментів, що підлягають зведенню.

Потужність  може бути представлена як

, або ,                                (4.2)

де  – зведений момент; - кутова швидкість ланки зведення; – величина зведеної до точки В сили;- швидкість точки зведення (рис. 4.1, в).

Права частина рівності (4.1) в розгорнутому вигляді може бути представлена так

,                             (4.3)

де  – сила і момент, які прикладені до і-ої ланки;  – швидкість точки прикладання сили ;  – кут, утворений силою  та вектором швидкості ;  – кутова швидкість і-ої ланки.

З рівнянь (4.2) та (4.3) отримуємо

,                             (4.4)

.                              (4.5)

Зустрічається таке визначення: зведеним моментом (силою) називають момент (силу), що умовно прикладений до ланки зведення, миттєва потужність якого дорівнює сумі миттєвих потужностей усіх сил і моментів, що діють на ланки механізму.

Наголосимо, що при заданих силах  та моментах  визначення зведеного моменту чи зведеної сили не являє значних труднощів і може бути легко проведене, наприклад, якщо для кожного досліджуваного положення механізму буде побудований план швидкостей.

Зазначимо, що деколи окремо зводять рушійні сили, сили опору, сили ваги і т.ін. Формули (4.4), (4.5) залишаються справедливими в усіх випадках, потрібно лише вказати, які сили зводяться.

Зведення мас. Заміна мас рухомих ланок механізму зведеною масою, зосередженою в довільно вибраній точці ланки зведення, або зведеним моментом інерції виконується на основі еквівалентності миттєвих значень кінетичних енергій моделі Тмод та всього механізму Тмех

Тмод=Тмех.

Кінетична енергія плоского механізму для будь-якого його положення дорівнює сумі кінетичних енергій усіх його рухомих ланок Ті і в загальному випадку може бути представлена у вигляді

Тмех=

де  – момент інерції  і-ої ланки відносно осі, що проходить через центр мас  перпендикулярно площині руху;  – кутова швидкість і-ої ланки;  – маса і-ої ланки;  – швидкість центру мас і-ої ланки.

Вирази кінетичної енергії Тмод для ланки зведення, або точки зведення:

Тмод=    , або Тмод=  .                           (4.6)

У відповідності з умовою динамічної еквівалентності механізму та моделі отримаємо

,

або    звідки

  (4.7)

  (4.8)

Зустрічаються такі визначення: - зведеним моментом інерції називається такий умовний момент інерції, кінетична енергія якого у кожному розглядуваному положенні механізму дорівнює сумі кінетичних енергій всіх його ланок;

  •  зведена маса являє собою таку умовну масу, зосереджену в деякій точці зведення, кінетична енергія якої в кожному розглядуваному положенні механізму дорівнює сумі кінетичних енергій всіх його ланок.

Зведені сила та маса згідно рівнянь (4.4)-(4.8) залежать від співвідношень, відповідно, швидкостей ланок механізму до швидкості ланки зведення та квадратів цих відношень. Ці співвідношення, в загальному випадку, залежать тільки від положення механізму, але вони будуть однаковими при будь-якому законі руху механізму. Отже, зведена сила і маса, як правило, є величинами змінними, періодичними функціями, які залежать від узагальненої координати механізму.

З викладеного робимо висновок, що модель, якою замінюється механізм, є умовним тілом тому, що в загальному випадку її момент інерції (маса) є змінними, тоді як реальні фізичні тіла мають постійні моменти інерції (маси). Лише в окремих випадках, коли передатне відношення механізму є сталим (наприклад, зубчасті, фрикційні механізми, шарнірний паралелограм та інші), зведений момент інерції постійний.

Таким чином, оскільки  не залежать від закону руху, зведення мас та сил можна виконувати і не знаючи законів руху механізму. Отже, розв’язуючи задачі динаміки, цілком можливо (і потрібно) спочатку побудувати динамічну модель механізму, виконавши зведення сил та мас, а потім вже знаходити закон її руху.

§ 4.3. Рівняння руху механізму

Для визначення законів руху початкових ланок за заданими силами використовуються рівняння, що називаються рівняннями руху механізму. Число цих рівнянь дорівнює числу ступенів рухомості механізму.

Рівняння руху механізму можуть бути представлені в різних формах. Для механізмів з одним ступенем вільності одна з найпростіших форм рівнянь отримується на основі теореми про зміну кінетичної енергії: зміна кінетичної енергії механізму на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт усіх сил, що діють на ланки механізму на цьому самому переміщенні. Цей закон подають у вигляді рівняння

                                              (4.9)

де Т – кінетична енергія механізму в довільному положенні; Т0 – кінетична енергія механізму в положенні, що приймається за початкове;  – алгебраїчна сума робіт усіх сил і моментів, що прикладені до механізму на деякому переміщенні.

Роботу здійснюють усі активні сили і моменти та сили тертя у всіх кінематичних парах механізму.

Рівняння руху в енергетичній формі. Зведемо усі сили і моменти механізму з одним ступенем вільності до однієї ланки зведення, тобто замінимо розглядуваний механізм його динамічною моделлю. Оскільки все навантаження, прикладене до моделі, виражається зведеним моментом МЗВ, то права частина рівняння (4.9) дорівнює

   (4.10)

а саме рівняння (4.9), враховуючи (4.6) , можна записати у вигляді

.   (4.11)

Рівняння (4.11) називають рівнянням руху механізму в енергетичному виді, або – в формі рівняння кінетичної енергії. Загалом верхня межа  інтегрування в (4.11) вважається змінною.

Якщо все навантаження, що прикладене до механізму, залежить тільки від його положення (і не залежить від ), то рівняння (4.10) розв’язується безпосередньо відносно шуканої величини

.                                   (4.12)

При заданих функціях ІЗВ, МЗВ і відомій швидкості  в початковий момент, рівняння (4.12) дозволяє визначити значення  при різних переміщеннях ланки зведення. Таким чином можна отримати дійсний закон руху механізму.

Якщо дослідження механізму починається з моменту пуску (тобто ), то (4.12) набуде вигляду

.

Аналогічно (4.11) можна представити рівняння руху механізму, якщо всі сили і маси зводяться до вибраної точки зведення В

.     (4.13)

Рівняння руху в диференційній формі. Рівняння руху механізму в енергетичній формі (4.11) використовується, переважно, у випадках коли зведені силові фактори залежать від положень ланок. В інших випадках використовується диференційне рівняння руху механізму, яке можна отримати, продиференціювавши рівняння (4.11) по координаті

або, враховуючи, що в загальному випадку змінною величиною є не тільки , але й ІЗВ , після нескладних перетворень одержимо

.    (4.14)

Рівняння (4.14) називається рівнянням руху в диференційній формі, оскільки шукана змінна величина – кутова швидкість  початкової ланки, знаходиться під знаком похідної.

У випадку, коли досліджуваний механізм має ІЗВ=const, то рівняння (4.14) спрощується і має вигляд

Для визначення кутового прискорення початкової ланки розв’яжемо рівняння (4.14) відносно

.

Похідна  обчислюється чисельним диференціюванням на ЕОМ, або графічним диференціюванням, якщо це не можливо зробити аналітично.


§ 4.4 Режими руху

Дослідження динаміки машин полягає, в першу чергу, у визначенні та аналізі часткових рішень, наведених вище диференційних рівнянь руху, що відповідають характерним режимам роботи.

Процес руху машини в загальному випадку складається з трьох режимів: розбігу, усталеного руху, вибігу. Це наочно показує діаграма залежності швидкості руху початкової  ланки від часу (рис. 4.2). При усталеному русі швидкість головного вала змінюється періодично, інколи вона може бути постійною. Розбіг та вибіг – це перехідні режими, які характеризуються неперіодичними змінами швидкості вала машини (початкової ланки). З цих міркувань часто розрізняють два режими: усталений рух та перехідні процеси.

Усталений рух. Під усталеним рухом будемо розуміти такий режим роботи, при якому вхідний параметр двигуна (параметри u, що керує процесом перетворення енергії) лишається постійним (u=uо=const), а кутова швидкість вихідного вала двигуна або лишається постійною, або коливається біля деякого середнього значення , причому найбільші відхилення малі у порівнянні з цим середнім значенням. Іншими словами, в цьому випадку

.                           (4.15)

Усталеним рухом машини називається рух, при якому її кінетична енергія є періодичною функцією часу. Проміжок часу (tц), протягом якого швидкість головного вала набуває свого початкового значення, пройшовши через та , називають  циклом усталеного руху.

Оскільки швидкості на початку та в кінці циклу усталеного руху рівні між собою (о=), то рівняння руху (4.9) набуває вигляду

Рівність (4.15) – основне енергетичне рівняння усталеного руху. При усталеному русі робота рушійних сил за один цикл дорівнює роботі сил опору (виробничого та шкідливого). У середині циклу ця рівність, як правило, не зберігається, а тому мають місце коливання швидкості початкових ланок. Якщо,  - рух механізму прискорений і навпаки.

Перехідні процеси. Розбіг - це режим руху, у процесі якого машина зі стану спокою приходить до усталеного руху. Рівняння руху набуває вигляду

.

Оскільки кінетична енергія завжди додатна, то для можливості пуску машини необхідно, щоб робота рушійних сил була більшою за роботу сил опору, . Надлишок роботи Ар витрачається на збільшення кінетичної енергії механізму, тобто збільшення швидкості рухомих мас.

Вибіг (зупинка) – це режим руху, в процесі якого машина переходить від усталеного руху до стану спокою. Переважно при вибігу двигун відключається або переводиться в генераторний режим, при якому вводиться додатковий гальмівний момент.

Таким чином, у період розбігу кінетична енергія машини збільшується за рахунок надлишку роботи рушійних сил над роботою сил опору ро); під час усталеного руху кінетична енергія на початку та в кінці кожного циклу однакова ро); у період вибігу кінетична енергія повністю поглинається роботою сил опору.

Перехідні процеси при зміні навантаження. Часто усталений рух чергується із розбігом (при підвищеннях швидкісного режиму) та гальмуваннями (при зменшенні швидкості). Так працює, наприклад, автомобільний двигун.

Відмітимо, що багато механізмів не працюють у режимі усталеного руху.

§ 4.5. Визначення закону руху механізму

Визначення закону руху механізму полягає у визначенні закону руху її початкової ланки. Початковою ланкою в більшості механізмів є кривошип.

Для визначення закону руху початкової ланки механізму, яка визначає рух усіх інших ланок, використовуються рівняння руху (4.11) - (4.14). Розв’язуючи їх відносно швидкості руху початкової ланки, встановлюємо характер зміни її руху залежно від часу.

Неусталений режим. Розглянемо один з найпростіших випадків: механізм навантажений силовими факторами, що є функціями лише переміщення своїх точок прикладання.

Для визначення закону руху механізму при неусталеному режимі повинні бути відомі такі вихідні дані: кінематична схема механізму; маси, моменти інерції та положення центрів мас усіх рухомих ланок; механічні характеристики силових факторів; початкові умови руху. Останнє важливо для дослідження саме неусталеного режиму. Нехай зведений момент інерції розглядуваного механізму має змінну величину . Потрібно визначити залежність швидкості початкової ланки від її кута повороту, тобто . Така задача є досить розповсюдженою (механізми дизель-компресорів, бурових верстатів і підіймальних кранів з приводом від ДВЗ, різних пристроїв з пневмоприводом і т. ін.).

Для розв’язку даної задачі використовують рівняння руху механізму в енергетичному виді, яке розв’язується безпосередньо відносно шуканої величини

,                                      (4.16)

де  визначається з (4.10).

Цю задачу зручно розв’язувати графічно. Для цього будують діаграми  (див. § 4.7).

З рівняння (4.16), із урахуванням початкових умов, обчислюється для кожного положення механізму кутова швидкість . У такій послідовності виконують розрахунок чисельним методом із застосуванням ЕОМ.

Для визначення часу  руху механізму можна скористатися умовою

,

звідки дістанемо

,

або

.         (4.17)

Якщо дослідження руху механізму ведеться з початку пуску, то  і (4.17) набуває вигляду

.    (4.18)

За формулами (4.17) та (4.18) можна визначити час руху механізму як функції кута повороту  початкової ланки. Інтеграл у правій частині (4.17), (4.18) може бути визначений графічно, якщо побудувати графік  за відомою функцією . За графіками  і , якщо виключити з них кут , можна дістати функцію  - залежність кутової швидкості  від часу .

Кутове прискорення ланки зведення визначається графічним диференціюванням функції .

Визначення закону руху механізму, навантаженого силами, що залежать як від положення, так і швидкості, або силами, що залежать лише від швидкості, в конспекті не розглядається. Розв’язок цих задач наведено у повному курсі ТММ.


§ 4.6 Усталений режим. Нерівномірність руху механізму

Усталеним рухом називається такий рух, при якому швидкість початкової ланки (узагальнена швидкість) є періодичною функцією часу. На рис. 4.2 показано для усталеного руху приклад залежності  швидкості руху початкової ланки механізму від часу t. Як бачимо, кутова швидкість періодично коливається відносно деякого постійного середнього значення.

Нерівномірність ходу машини є наслідком двох факторів: зміни упродовж циклу миттєвих значень зведених моментів рушійних сил і сил опору;  періодичної зміни зведеного моменту інерції механізму.

Нерівномірність обертання оцінюється коефіцієнтом нерівномірності

,

де - відповідно максимальна, мінімальна та середня за цикл швидкість.

Рис. 4.2.

Величина  рахується за формулою , у якій n – частота обертання початкової ланки.

Коефіцієнт нерівномірності характеризує розмах коливань швидкості по відношенню до її середнього значення. Очевидно, що чим менше , тим рівномірніше рухається початкова ланка.

Для кожного виду машин є своя допустима величина коефіцієнта нерівномірності , встановлена практикою. Значення допустимих коефіцієнтів нерівномірності руху наведено у технічних довідниках; так для помпи 1/5-1/30; для металообробних верстатів 1/20-1/50, для ДВЗ 1/80-1/100, для електричних генераторів змінного струму 1/200-1/300, для авіаційних двигунів та турбогенераторів 1/200 і менше.

Коефіцієнт нерівномірності є величина досить мала, що дозволяє прийняти середню величину кутової швидкості рівного середньому арифметичному з її максимального і мінімального значень.

Звичайно, при проектуванні механізму задаються наперед бажаними  для механізму значеннями коефіцієнта нерівномірності руху та середньої швидкості обертання головного вала.

В усталеному режимі працюють дуже багато машин. Найкращі умови для роботи таких машин – абсолютно рівномірне обертання їх головного вала. Як відомо, у загальному випадку швидкість початкової ланки механізму при усталеному русі є змінною величиною. Коливання швидкості початкової ланки за час усталеного руху бувають двох різних типів: періодичні та неперіодичні.

Періодичними коливаннями швидкостей машини називаються коливання, при яких швидкості всіх ланок машини в усіх їхніх положеннях мають цілком певні цикли, після закінчення яких ці швидкості набувають щоразу своїх початкових значень.

Неперіодичні коливання швидкостей залежать від різних причин: раптової зміни корисних або шкідливих опорів, включення в машину додаткових мас і т.п. Раптова зміна навантаження на машину спричиняє раптове збільшення або зменшення швидкості головного вала машини і, оскільки ці коливання не мають певного циклу, то вони називаються неперіодичними. У більшості машин  спостерігаються обидва види коливань швидкості.

Коливання швидкості обох типів небажані як з точки зору динаміки машини, так і виконання нею технологічного процесу. Коливання швидкості спричиняють у кінематичних парах додаткові динамічні тиски, що знижують ККД машини, довговічність та надійність її роботи.

Оскільки коливання швидкості повністю усунути неможливо, необхідно по можливості їх зменшити.

Задача про регулювання швидкостей під час усталеного руху машини або механізму має суттєве практичне значення в техніці, оскільки в більшості машин цей час є робочим часом її руху, тобто проміжком часу, протягом якого машина долає виробничі опори.

Розглянемо шляхи розв’язування цієї задачі. Маса є мірою інертності тіла. Всі ланки механізму мають інертність. Ця властивість полягає в тому, що чим інертніше матеріальне тіло, тим повільніше проходить зміна його швидкості, яка викликана дією прикладених до нього сил. Таким чином, щоб отримати обертання головного вала з нерівномірністю, що не перевищує заданої величини, інертність цього вала з усіма зв’язаними з ним деталями необхідно зробити достатньо великою. Практично, це збільшення інертності досягається посадкою на один із валів машини додаткової деталі, що має певний момент інерції. Ця деталь має назву маховик (колесо з великим моментом інерції). Підбираючи момент інерції маховика, можна забезпечити обертання головного вала машини із заданим коефіцієнтом нерівномірності.

Дія маховика полягає у тому, що при перевищені роботи  над роботою  маховик приймає на себе надлишок кінетичної енергії механізму і, завдяки своєму великому моменту інерції, не дає швидкості надмірно зростати; коли ж робота , маховик віддає накопичену кінетичну енергію, протидіючи зменшенню швидкості.

Маховик є ніби акумулятором кінетичної енергії машини. Таким чином, основне призначення маховика є  обмеження коливань кутової швидкості в межах, що встановлені величиною коефіцієнта нерівномірності .

Акумулююча здатність маховика використовується не лише для забезпечення допустимої нерівномірності ходу машини. В деяких машинах (у яких корисне навантаження періодично змінюється в значних межах) махових дозволяє використовувати накопичену енергію для подолання підвищених корисних навантажень без збільшення потужності двигуна. Маховик неодмінно застосовується в машинах ударної дії – молотах, прокатних станах, дробарках і т. ін., допомагаючи електродвигуну при пікових навантаженнях. В автомобілях маховик сприяє рушати машині з місця.

Регулювання періодичних коливань швидкості здійснюється за допомогою  маховика, що виконаний, як правило, у вигляді колеса з розвинутим ободом (з великим моментом інерції).

Регулювання неперіодичних коливань за допомогою маховика можливо здійснити, якщо вони незначні. При значних неперіодичних коливаннях встановлюють механізми, що називаються регуляторами – які регулюють закони зміни рушійних сил або сил опору.

§ 4.7. Визначення моменту інерції маховика методом Віттенбауера (за допомогою діаграми енергомас)

Переходимо до наступної важливої задачі динаміки механізмів та машин - про визначення найвигідніших співвідношень між силами, масами та швидкостями ланок механізму, які забезпечують заданий режим його руху.

Визначення моменту інерції маховика за заданою величиною  виконується в процесі проектування машини та складає одну із задач її динамічного синтезу.

Для машин, що виконують різні технологічні процеси, коливання  допустимі лише в певних межах, встановлених практикою експлуатації обладнання.

Розглянемо задачу, в якій необхідно знайти величину зведеного моменту інерції ланки зведення, при якому її кутова швидкість не виходила б за наперед задані значення. Розв’язок даної задачі зводиться до визначення моменту інерції маховика.

Задачу будемо розв’язувати методом Віттенбауера, графоаналітичним методом  за допомогою побудови діаграми енергомас – залежності кінетичної енергії механізму від зведеного моменту інерції.

Для визначення моменту інерції махового колеса вважають заданими або попередньо знайденими:

- схема механізму та розміри  ланок;

- маси і моменти інерції ланок;

- середня кутова швидкість ланки зведення ;

-  коефіцієнт  нерівномірності руху ланки зведення;

- сили, прикладені до ланок механізму.

Виберемо за початкову ланку головний вал механізму, що виконує неперервний обертальний рух.

Послідовність визначення моменту інерції маховика за методом Віттенбауера:

  •  будуються п (дванадцять) рівновіддалених за кутом повороту кривошипа планів положень механізму;
  •  для побудованих планів положень будуються плани швидкостей;
  •  для п положень механізму за формулою (4.4) визначаються зведені моменти сил, при цьому  для робочих машин знаходяться зведені моменти  сил корисного опору М0, а зведені моменти рушійних сил Мр наближено приймаються такими, що мають деяке постійне значення, поки що невідоме. Для машин – двигунів, навпаки, знаходяться зведені Мр, а  М0 приймаються постійними;
  •  будується графік зведеного моменту  сил корисного опору (для машин двигунів - рушійних сил) (рис. 4.3, а). Всі графіки будуються для одного циклу усталеного руху.
  •  графічно інтегруючи зведений  момент  сил корисного опору, отримуємо графік робіт сил опору . Графік робіт рушійних сил для робочих машин з врахуванням прийнятих припущень, а також враховуючи те, що за один цикл  усталеного руху АРО, що являє собою пряму лінію, яка з’єднує початок і кінець графіка роботи сил опору (рис. 4.3, б) (для машин-двигунів навпаки);
  •  віднявши від ординат графіка робіт рушійних сил ординати робіт  сил корисного опору, будуємо графік надлишкової роботи, який одночасно є графіком приросту кінетичної енергії (рис. 4.3, в). ;
  •  для побудованих положень механізму за формулою (4.7) визначаємо зведені  до кривошипа моменти інерції механізму (без маховика).

Зауважимо, що в результаті виконання перших трьох пунктів та даного – механізм приводиться до динамічної моделі;

  •  будуємо графік зведеного моменту інерції  як функцію кута повороту кривошипа, розмістивши вісь ординат перпендикулярно до осі ординат на попередніх графіках (рис. 4.3, г);

- шляхом графічного виключення спільного параметра  з діаграм приросту кінетичної енергії та зведеного моменту інерції будуємо графік приросту кінетичної енергії як функції зведеного моменту інерції – діаграму енергомас (4.3, д).

Підкреслимо, що цю діаграму накреслено для механізму без маховика. Такою ж діаграма залишиться і для механізму з маховиком. Але початок осей координат зміститься: вліво, оскільки зведений момент інерції буде більшим на величину моменту інерції маховика; і до низу, оскільки за такої ж самої  має збільшитись кінетична енергія механізму. Таким чином, при зменшені величини  зростає зведена маса механізму та його кінетична енергія, яка необхідна для забезпечення руху механізму з заданою середньою швидкістю;

- до кривої діаграми енергомас проводяться дотичні під кутами ,

,

де  - відповідно масштаби по осі абсцис і ординат діаграми енергомас.

Рис. 4.3

Точка перетину дотичних є початком нової системи координат діаграми енергомас механізму з маховиком.

Величина моменту інерції маховика визначається за формулою

,

де - відстань, на яку зміститься вісь ординат.

При малих значення коефіцієнта  внаслідок невеликої різниці між кутами  точка перетину дотичних часто знаходиться за межами рисунка. У цьому випадку користуються формулою

,

де kl – відстань по осі ординат діаграми енергомас.

Для зменшення маси та габаритів маховика доцільніше його встановлювати на найшвидкохіднішому валі, оскільки кінетична енергія маховика, в результаті зміни якої здійснюється регулювання швидкості, прямо пропорційна . Якщо маховик встановлюється не на ланці зведення, а на іншій ланці механізму, то повинна задовольнятися умова рівності кінетичної енергії

,

звідки                                          ,

де Іі – момент інерції маховика, встановленого на і-й ланці;  - кутова швидкість цієї ланки; - передатне відношення. Таким чином, чим більша кутова швидкість і-ї ланки, тим менший момент інерції маховика, і, відповідно менші його маса та габарити.

Після визначення моменту інерції маховика та місця його встановлення розраховують його основі розміри.

Відмітимо, що за допомогою кривої енергомас легко встановити залежність кутової швидкості ланки зведення як функції кута повороту . Вибираємо на цій кривій будь-яку точку (точка 4//, рис. 4.3, д) та з’єднуємо її з початком координат (точка О1). Швидкість ланки зведення в положенні, яке визначається вибраною точкою, знаходимо за формулою

                                               (4.19)

За формулою (4.19) будують графік . Порівнюючи між собою кути , можна наочно прослідкувати, як змінюється кутова швидкість ланки зведення при зміні її положення.

Відмітимо також, що за допомогою кривої енергомас можна визначити коефіцієнт нерівномірності руху механізму. Для цього з початку системи координат (т.О1, рис. 4.3, д) проводимо дві дотичні до кривої енергомас. Вимірюємо кути . Коефіцієнт нерівномірності руху визначаємо за формулою

.

Визначення розмірів маховика. Форма маховика, загалом може бути вибрана довільною. Але за конструктивними міркуваннями, найбільш зручною є форма у вигляді диска з важким ободом, колеса зі спицями або форма, яка  симетрична відносно головних осей інерції. При цій формі легше за все досягається співпадання вісі обертання з однією із головних центральних осей інерції. Це дозволяє уникнути додаткових тисків на вальниці вала, на якому розміщений маховик.

Якщо маховик виконаний у вигляді колеса зі спицями (рис. 4.4), то  моментами інерції з’єднувальних частин нехтують і наближено вважають , що маса маховика рівномірно розподілена по колу радіуса   - геометричному місцю центрів ваги поперечних перерізів обода. Тоді момент інерції маховика можна виразити так (використовується формула для моменту інерції тонкого кільця):

                                  (4.20)

де m – маса маховика.

Рис. 4.4

Добуток маси обода маховика на квадрат його діаметра  називається маховим моментом або характеристикою маховика. Для багатьох деталей машин, що здійснюють обертальний рух (муфти, ротори електродвигунів тощо), ця характеристика наводиться у довідниках. Характеристика маховика має одиницю виміру кг·м2. За цією характеристикою можна визначити необхідну масу маховика, якщо задано або вибрано його діаметр, значення якого  визначається з суто конструктивних  міркувань.

З рівняння (4.19) слідує, що при визначеній величині Iм вага маховика обернено пропорційна квадрату його діаметра D і для зменшення металоємкості вигідно брати  більші діаметри. Але це заперечує вимозі малих габаритів та лімітується допустимою кутовою швидкістю.

Для запобігання небезпеці можливого розриву маховика відцентровими силами його діаметр D  вибирають таким чином, щоб колова швидкість на ободі не перевищувала допустиму для матеріалу маховика величину. Для перевірки діаметра маховика можна рекомендувати таку залежність:

,      (4.21)

де - допустима колова швидкість обода маховика, яка не повинна перевищувати для сталевих маховиків 70 – 120 м/с, для чавунних - 30 – 45 м/с; - частота обертання маховика, хв-1. Зауважимо, що хромонікелеві маховики допускають колову швидкість до 150 м/с.

Маса обода маховика практично може бути взята  

,

тоді ширина b обода визначається з виразу

.

Тут с = 0.4b;  - густина матеріалу, кг/м3; для сталевих маховиків (=7800 кг/м3) матимемо

.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

  1.  В чому полягає побудова динамічної моделі?
  2.  Які умови мають бути витримані при зведені сил та мас?
  3.  Запишіть рівняння руху механізму в енергетичній та диференційній формах.
  4.  Запишіть формулу, яка визначає зведений момент інерції, зведену масу.
  5.  Від чого залежать зведені сила та маса?
  6.  За якими формулами визначаються зведений момент та зведена сила?
  7.  Назвіть режими руху машини.
  8.  Запишіть формулу, яка визначає коефіцієнт нерівномірності руху.
  9.  Які умови мають бути витримані при зведенні сил та мас?

10. Які механізми встановлюють при значних неперіодичних коливаннях швидкості?

11. Як регулюють значні періодичні коливання швидкості?

12. В чому полягає дія маховика?

13. Послідовність визначення моменту інерції маховика.

14. Що таке характеристика маховика?

15. Як визначається діаметр маховика?


Глава 5. Синтез плоских важільних механізмів

В ТММ в основному розв’язуються задачі першого етапу проектування механізмів - вибору кінематичних схем механізмів, які б забезпечили необхідний закон руху. Проектування схеми  механізму за заданими властивостями називають синтезом механізму. Розрізняють три етапи синтезу: структурний, кінематичний  та динамічний.

Проектування механізму починається з вибору структурної схеми, схеми, яка має потрібну кількість ступенів вільності, кількість і вид ланок та кінематичних пар, що забезпечують необхідні рухи та їх взаємне розташування. Схему вибирають з використанням довідкових даних, або розробляють на основі аналізу видів руху, які повинні бути отримані. На практиці вибір структурної схеми виконується частіше за все на основі існуючого досвіду, знань або інтуїції проектувальника.

Після встановлення структурної схеми механізму визначають геометричні розміри його ланок за заданими властивостями. При цьому враховуються в основному кінематичні функції, які повинен реалізовувати механізм. Цю задачу називають  кінематичним синтезом механізму. Якщо потрібно врахувати також динамічні властивості механізму, то розв’язується більш загальна задача динамічного синтезу. Останнім часом все актуальнішими стають задачі динамічного синтезу. Синтез механізму дозволяє отримати кінематичну схему, що відповідає вимогам, які пред’являються до механізму, що проектується. Таким чином, при проектуванні важільного механізму необхідно за вибраною структурною схемою та заданими кінематичними чи динамічними параметрами визначити розміри ланок механізму.

Синтез плоских важільних механізмів містить цілу низку конкретних задач, серед яких слід відзначити: умови існування кривошипа в  чотириланкових механізмах; синтез за декількома заданими дискретними положеннями ланок; синтез за заданою траєкторією або за окремими кінематичними параметрами (середній швидкості, співвідношенню середніх швидкостей при марноході та робочому ході і т.ін.).  Розглянемо декілька найпростіших найбільш характерних задач.

§ 5.1. Умови існування кривошипа в плоских чотириланкових механізмах

При проектуванні різних механізмів виникає потреба забезпечення неперервного обертання одних ланок відносно інших. Найчастіше такий рух є необхідним для вхідних ланок – кривошипів при використанні їх в як привода обертових двигунів. Таким чином важливою кінематичною характеристикою при синтезі механізму є прокручування ланок, тобто, наявність у нього одного чи двох кривошипів. Ця властивість залежить від співвідношення довжин ланок механізму і може бути наведена математично у вигляді деяких нерівностей.

Плоский шарнірний чотириланковик. Нехай задані довжини ланок l1, l2, l3 та l4 шарнірного чотириланковика АВСD (рис. 5.1, а). Потрібно з’ясувати, за яких умов ланка АВ буде кривошипом, тобто зможе провертатись на кут 3600 . Очевидно, що для цього вона повинна при обертанні послідовно пройти через крайнє ліве АВ1 і крайнє праве АВ2 положення. Іншими словами, необхідно, щоб існували трикутники В1С1D та В2С2 D. На основі властивості, що в будь-якому трикутнику довжина кожної сторони менша за суму довжин двох інших сторін, для ΔВ1С1D1 та ΔВ2С2D 2 можна записати такі нерівності

l4+l1 <l2+l3,                                               (5.1)

l4  - l1<l2+l3                                                 (5.2)

Нехай l1 - довжина найкоротшої ланки, а l4 - довжина найдовшої ланки. Тоді, незалежно від співвідношення між довжинами l2 та l3, нерівність (5.1) завжди забезпечить виконання нерівності (5.2). Якщо ж найдовшою є ланка ВС або СD (l2>l3>l4 або l3>l2>l4), то нерівність (5.1) тільки підсилюється.

Нерівність (5.1) дозволяє сформулювати умову існування кривошипа шарнірного чотириланковика, так зване правило Грасгофа: найкоротша ланка може бути кривошипом, якщо сума довжин найкоротшої та найдовшої ланок менша за суму довжин інших двох ланок.

Сформульована умова дозволяє поділити шарнірні чотириланковики на три групи механізмів: кривошипно - коромислові, якщо розміри ланок механізму задовольняють вказане правило та за стояк прийнято ланку, що розташована поруч з найкоротшою; двокривошипні, якщо розміри ланок задовольняють правило та за стояк прийнято найкоротшу ланку; двокоромислові, якщо розміри ланок не задовольняють правило, а також якщо задовольняють, але найкоротша його ланка є шатуном.

Кривошипно-повзунний механізм (рис. 5.1, б). Для цього механізму умова існування кривошипа визначається очевидною нерівністю

,                                                         (5.3)

де е – зміщення механізму.

Якщо умова (5.3) не виконується, то ланка 1 є коромислом. У цьому разі механізм правильніше називати коромислово-повзунним.

На практиці, переважно застосовуються центральні кривошипно-повзунні механізми (е=0), для яких  умова (5.3) приймає вид l1<l2.

Кулісний механізм.  У кулісному механізмі ланка 1, незалежно від співвідношення між розмірами ланок завжди є кривошипом (рис.5.1, в). Щодо куліси 3, то вона буде кривошипом, якщо виконується умова

 l1>l4 +e.                                                         (5.4)

В іншому випадку куліса не зможе здійснювати повний оберт, тобто буде коромислом. У першому випадку отримується так званий механізм з обертовою кулісою; в другому – механізм з коливною кулісою. В частковому випадку, якщо точку С віддалити у нескінченість, то коливна куліса перетвориться в кулісу, що рухається поступально. Зазначимо, що в техніці найрозповсюдженіші схеми кулісних механізмів, у яких зміщення е=0.

Рис. 5.1

§ 5.2. Синтез чотириланкових механізмів за двома положеннями ланок

Задачі синтезу важільних механізмів за положеннями ланок можуть бути розв’язані аналітично, наприклад, методом інтерполяції. Частіше, проте, використовуються графічні побудови.

Шарнірний чотириланковик. Задано відстань  між нерухомими точками механізму, довжину веденого коромисла та два його крайніх положення, за допомогою кутів  і  (рис. 5.2, а). Необхідно знайти довжину кривошипа  та шатуна .

Рис. 5.2

З’єднаємо прямими лініями точки С1 та С2 з точкою А. Тоді

,

звідки .                                                               (5.5)

При розв’язку цієї задачі положення т. А – осі обертання кривошипа, вибираємо довільним, отже, в загальному випадку задача має багато розв’язків. При проектуванні механізмів потрібно враховувати такий досить важливий параметр, як кут тиску.

Кут тиску  - кут між вектором сили, яка прикладена до ланки, та вектором швидкості точки прикладання сили (тертя при цьому не враховується). Як відомо, кут тиску характеризує ефективність передачі сил та працездатність механізму; кут тиску не повинен перевищувати допустимого значення, . Таким чином, при синтезі необхідно перевіряти величину кута тиску у тих положеннях механізму, в яких кут досягає максимальних значень (часто обмежуються робочим ходом).

У шарнірному чотириланковику кут тиску досягає максимального значення, якщо положення кривошипа АВ співпадає з лінією центрів АD, тобто  при  (рис. 5.2, а).

Розглянемо ще одну задачу проектування шарнірного чотириланковика за двома положеннями ланок. Вона менш характерна, але є досить наочною. Нехай необхідно знайти розміри ланок шарнірного чотириланковика АВСD, у якому шатун ВС з’єднаний зі столом Т; при цьому стіл  повинен мати можливість приймати два положення, які повернуті одне відносно іншого на 1800 (рис. 5.2, б). Таким чином, задано два положення стола Т, і відповідно - шатуна: В1С1 та В2С2 (положення шарнірів В та С на столі Т вибираються довільно). Очевидно, що точки В1, В2 повинні лежати на колі з центром у шуканій точці А обертання кривошипа. Цей центр лежить на прямій аа, яка проведена перпендикулярно до відрізка В1В2 через його середину. Аналогічно шуканий центр D обертання коромисла лежить на прямій dd, що проведена перпендикулярно до прямої С1С2  через її середину. Вибираючи положення центрів обертання А та D у довільних точках прямих аа та dd , отримуємо різні варіанти механізму. Для одержання однозначного розв’язку необхідно врахувати якусь додаткову умову.

Кривошипно-повзунний механізм (рис. 5.3, а). Нехай задано хід повзуна h, або два його крайні положення – точки С0, С/0. Для центрального кривошипно-повзунного механізму хід повзуна дорівнює подвоєній довжині кривошипа; . Зауважимо, що, як і у попередніх випадках, задача має багато розв’язків.

Рис. 5.3

У розглядуваному випадку  необхідно також врахувати допустимий кут тиску. Якщо веденою ланкою є повзун, то максимальний кут тиску  визначається шляхом дослідження функції  на максимум. Для центрального кривошипно-повзунного механізму максимальне значення кута тиску  буде при . Таким чином, при менших розмірах механізму (менші значення ), збільшується кут тиску, і відповідно, незалежно від того, яка ланка є ведена, зростає зусилля між повзуном та напрямною. Тому відношення  треба вибирати в певних межах, наприклад, для механізмів двигунів внутрішнього згоряння .

Зауважимо, що при веденому кривошипі кут тиску  два рази за період () приймає максимальне значення, що дорівнює 900. Ці положення кривошип проходить лише завдяки інерції маси ланки 1, яка обертається.

У кривошипно-повзунному механізмі зі зміщенням e  хід повзуна h вже не дорівнює  , але є близьким за значенням до цієї величини. Точне значення ходу повзуна можна визначити з трикутників АС1С/1, АС2С/2 (рис. 5.1, б)

.                                               (5.6)

Звідси при заданих  і  можна визначити . Наприклад, методом інтерполяційного наближення. Для цього задаються рядом значень , близьким до , та перевіряють рівність лівої та правої частини рівняння (5.6). Максимальний кут тиску  при е>0 (як на рис. 5.1, б) буде в положенні, коли , якщо ж е<0, то при .

Кулісний механізм. Розглянемо конструктивний різновид механізму, що застосовується в гідроприводах (рис. 5.3, б). Особливість його у тому, що ведуча ланка – поршень 2 не з’єднується зі стояком. При переході з одного крайнього положення в інше поршень, що рухається під тиском рідини, переміщується на відстань h (хід поршня). При цьому ведене коромисло 1 довжиною  повертається на потрібний кут . З АВ1N одержимо формулу, що встановлює взаємозв’язок між кутом , ходом поршня h та довжиною коромисла

.

З АВ1С, за теоремою косинусів, знаходиться довжина стояка АС

.

Проектування з врахуванням кута тиску. Задано кутове переміщення веденої ланки , довжина коромисла , коефіцієнт , допустимий кут тиску . Кут тиску в таких механізмах - кут між віссю циліндра за напрямком якої передається зусилля , та вектором швидкості  точки прикладання сили. Максимальний кут тиску  буде в крайніх положеннях механізму, при цьому приймає значення, що дорівнює половині величини вибраного кутового ходу . Отже, значення кута  вибирають, враховуючи умову .

Відкладемо кут розмаху коромисла , а на його сторонах - відрізки довжиною . Отже, АВ1, АВ2 – два крайні положення коромисла, хід поршня . Відкладемо на продовженні прямої В2В1 відстань  і отримуємо шукані положення кінематичної пари С та довжину стояка .


§ 5.3. Синтез чотириланкових механізмів за коефіцієнтом зміни

середньої швидкості та за середньою швидкістю вихідної ланки

Кривошипно - коромисловий механізм. Задано довжину коромисла , два його крайніх положення за допомогою кутів , а також коефіцієнт зміни середньої швидкості  вихідної ланки 3. Потрібно знайти: довжини кривошипа , шатуна та стояка  (рис.5.4, а).

Коефіцієнт зміни середньої швидкості  - це відношення середніх кутових швидкостей вихідної ланки при марноході та робочому ході механізму

.                                        (5.7)

Зазвичай величина коефіцієнта  більша за одиницю, >1. Це пов’язано з тим, що при робочому ході механізму швидкість вихідної ланки обмежується технологічним процесом. При марноході такого обмеження немає, крім того, сили опору є значно меншими, і тому для підвищення продуктивності машини швидкість вихідної ланки вибирається більшою. Відповідно до цього, рух коромисла з положення 1 у положення 2 приймаємо за робочий хід – кривошип повернеться на кут , а рух у протилежному напрямі – за марнохід – кривошип повернеться на кут . Зазначимо, що більший з центральних кутів повороту кривошипа , що відповідає крайнім положенням вихідної ланки, називають кутом робочого ходу. Як слідує з рис. 5.4, а , за час робочого ходу  та марноходу  кривошип повернеться, відповідно, на кути , де  - кут перекриття, кут між положеннями шатуна, що відповідають крайнім положенням коромисла.

Отже,

.                                         (5.8)

З виразу (5.8) знаходимо кут

.

Після цього задача зводиться до знаходження центра обертання А кривошипа. Побудуємо кут  ходу коромисла з вершиною  у довільно вибраній  точці D, а на його сторонах відкладемо довжину коромисла l. Отримуємо точки С1, С2. Проводимо бісектрису ЕD кута . На продовженні прямої ЕD зі сторони т.С2 відкладаємо кут перекриття . Через т.С2, до перетину з продовженням ЕD, проводимо пряму, що паралельна стороні побудованого кута перекриття. З отриманої точки перетину F, як із центра, проводимо коло, що проходить через точки С1, С2. Коло радіусом  r=C2F буде геометричним місцем шуканих центрів обертання кривошипа, оскільки при виборі центра у будь-якій точці цього кола, кут перекриття дорівнюватиме заданому (кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута, С1АС21FC2=). Щоб задача мала один розв’язок задамося додатковою умовою – центр обертання кривошипа знаходиться на осі абсцис (інколи додатковою умовою може бути обмеження ). Відмітимо, що для більшої точності радіус  r=C2F допоміжного кола можна порахувати за формулою

.

Рис. 5.4

Після цього довжини кривошипа та шатуна вираховуємо за формулами (5.5). Зазначимо, якщо в спроектованому механізмі максимальний кут тиску виявиться більшим за допустимий, слід вибрати інше положення центра обертання кривошипа (на колі радіуса r, вище за точку А ).

Кривошипно-повзунний механізм. У центральному кривошипно-повзунному механізмі швидкість повзуна в прямому та оберненому рухах однакова, коефіцієнт зміни середньої швидкості .

При синтезі таких механізмів часто виникає задача проектування за відомою середньою швидкістю  вихідної ланки. Для центрального механізму хід повзуна дорівнює подвоєній довжині кривошипа. Тому можна записати

,                                            (5.9)

де  , об/хв – частота обертання кривошипа.

З (5.9) одержуємо довжину кривошипа

.

Довжину шатуна визначаємо за вибраним коефіцієнтом  .

Синтез кривошипно-повзунного механізму зі зміщенням за заданим коефіцієнтом зміни середньої швидкості  та ходом вихідної ланки. Коефіцієнт зміни середньої швидкості вихідної ланки для даного механізму

 .                               (5.10)

Розв’язавши рівняння (5.10) відносно кута , одержимо

.

Після цього задача зводиться до знаходження центра обертання А кривошипа, яка є аналогічною до розглянутої задачі для кривошипно-коромислового механізму.  Проводимо через середину хода h повзуна пряму, перпендикулярну до С2С1  (рис. 5.4, б). Далі, через точку С1 проводимо пряму, що складає кут  з побудованим перпендикуляром. Коло радіуса r=C1F , буде геометричним місцем шуканих центрів обертання кривошипа. Якщо задана величина зміщення е , то центр А знаходиться як точка перетину побудованої дуги кола r=C1F  та осі абсцис, що знаходиться на відстані е від ходу h.

Кулісний механізм. Розглянемо проектування цих механізмів на прикладі шестиланкового механізму з коливною кулісою (рис. 5.5). Для таких механізмів, як правило, відомо  хід h вихідної ланки та коефіцієнт зміни її середньої швидкості .

Виявляється, що для механізмів даного виду коефіцієнт  залежить лише від кутового ходу куліси .

.

Як і у попередніх задачах, де зустрічається коефіцієнт зміни середньої швидкості вихідної ланки, знаходимо кут

.

Для визначення довжини куліси розглянемо її крайнє ліве положення

,

а з прямокутного АВС визначаємо співвідношення між розмірами ланок

                                          (5.11)

Рис. 5.5

З іншого боку при вертикальному положенні куліси можна записати таке співвідношення, що зв’язує розміри

,                                            (5.12)

де  а – розмір, що вибирають з конструктивних міркувань.

З виразу (5.12), після підстановки (5.11), знаходимо

.

Щодо кутів тиску, то при ведучому кривошипі кут =0, тобто за весь період руху напрям зусилля, що передається від кулісного каменя (повзун 2) до куліси 3, співпадає зі швидкістю точки прикладання зусилля. Даний факт є важливою позитивною властивістю цих механізмів.

З метою забезпечення найменшого кута тиску  при передачі зусилля від шатуна 4 до веденого повзуна 5 його напрямну  хх  необхідно розмістити таким чином, щоб вона ділила стрілку сегмента f  навпіл, тоді

,

де .

Довжина шатуна 4 виражається через заданий допустимий кут тиску з NDE

.

Для інших кулісних механізмів синтез виконується подібним способом.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

  1.  Що таке синтез механізмів?
  2.  Назвіть найбільш характерні задачі синтезу плоских важільних механізмів.
  3.  Сформулюйте правило Грасгофа.
  4.  Що називається кутом тиску при передачі сил  у механізмі?
  5.  Як враховується кут тиску при синтезі механізмів?
  6.  Що називається коефіцієнтом зміни середньої швидкості вихідної ланки?


Глава 6. Кулачкові механізми

§ 6.1. Загальні відомості. Види кулачкових механізмів

За допомогою шарнірно-важільних механізмів багато законів руху та траєкторій точок вихідних ланок отримуються лише досить приблизно, а деякі і зовсім неможливі. Значно більші можливості для виконання заданих законів руху мають механізми з вищими парами. Перш за все, це відноситься до кулачкових механізмів. За допомогою кулачкових механізмів можна отримати практично будь-який закон руху, при цьому - меншим числом ланок, ніж у випадку застосування механізмів з нижчими парами.

Кулачкові механізми застосовують, коли необхідно, щоб рух вихідної ланки виконувався точно у відповідності до заданого закону; був узгоджений з рухом інших механізмів; при цьому, можна забезпечити тимчасову зупинку (вистій) вихідної ланки при неперервному русі вхідної.

Кулачкові механізми - найпростіші, компактні та надійні механізми для точного виконання складних законів руху.

Недоліком кулачкових механізмів є значний питомий тиск між елементами вищої кінематичної пари і, як наслідок, порівняно велике їх спрацювання.

Рис. 6.1

Кулачковий механізм – механізм, до складу якого входить кулачок. Кулачком називається ланка, що утворює вищу кінематичну пару, елемент якої виконаний у вигляді поверхні змінної кривини.

Найпростіший кулачковий механізм являє собою триланковий механізм, що складається з кулачка 1, штовхача (штанги) 2 та стояка 3 (рис. 6.1). Кулачок, як правило, є вхідною ланкою механізму.

Кулачкові механізми поділяються: на плоскі та просторові; за видами руху  вхідної та вихідної ланок; за способом замикання вищої пари; за видом  елементу вищої пари вихідної ланки.

Найчастіше застосовують кулачкові механізми, в яких кулачок здійснює  неперервний обертальний рух. Вихідна ланка переважно виконує зворотно-поступальний або коливальний рух. В останньому випадку вихідна ланка називається коромислом (рис.6.1, г, д).

Ще одним недоліком кулачкових механізмів є необхідність забезпечувати постійне замикання ланок, які утворюють вищу кінематичну пару. Постійний контакт елементів у вищій кінематичній парі може забезпечуватися геометричним замиканням (конструктивно за рахунок ролика у пазу чи охоплюючих роликів і т.ін.), або силовим замиканням (під дією сил  пружності, сил ваги, гідравлічних чи пневматичних пристроїв). Завдяки простоті конструкції та меншим габаритам механізмів, найчастіше застосовують силове замикання за допомогою пружин. При структурному аналізі пружину не включають до загального числа ланок.

Вихідна ланка може мати різні форми елементів вищої пари: загострену (зі сферою малого радіуса), тарілчасту (з плоскою, циліндричною або сферичною контактними поверхнями) чи мати проміжну ланку – ролик; загострений штовхач здійснює найточніші переміщення за заданим законом, але швидко спрацьовується. Таку конструкцію застосовують у тихохідних механізмах з малими навантаженнями. Для зменшення втрат на тертя,  підвищення стійкості проти спрацювання, надійності та довговічності механізму, між кулачком і штовхачем встановлюють ролик, або використовують тарілчастий штовхач. Встановлення ролика дозволяє частково замінити тертя ковзання тертям кочення.

Роликові вихідні ланки використовують в механізмах, у яких підвищені вимоги до стійкості проти спрацювання. Відмітимо, що в цьому випадку розрізняють два профілі кулачка: центровий (теоретичний) та дійсний (робочий, практичний). Центровий профіль являє собою траєкторію руху центра ролика при обкочуванні  його навколо кулачка. Дійсний профіль-обгинну до послідовних положень ролика у тому ж відносному русі. Отже, центрові та дійсні профілі кулачка - еквідистантні (рівновіддалені) криві, відстань між якими, виміряна по нормалі, дорівнює радіусу ролика. Заміна дійсного профілю на центровий дуже зручна при аналізі та синтезі кулачкових механізмів; при цьому характер миттєвого відносного руху всіх ланок механізму не змінюється.

Тарілчастий штовхач (рис. 6.1, в) застосовують, коли у випадках жорстких обмежень габаритних розмірів ролик встановити не вдається. З метою розподілу спрацювання тарілки на більшу поверхню, кінематичну пару “штовхач-напрямна” виконують як циліндричну пару, з можливістю обертання тарілки навколо осі.

Кулачкові механізми можуть бути центральні (вісь штовхача проходить через вісь обертання кулачка), або зі зміщенням осі штовхача в той чи інший бік (з ексцентриситетом, дезаксиальні). Зміщення штовхача дає змогу при однакових інших умовах зменшити габарити механізму та тиск на напрямну.

При всій різноманітності профілів кулачкових механізмів, як правило, на ньому є чотири характерні ділянки, які накреслені (рис. 6.2, а): - радіусом – вектором що зростає (А0 – 6/); - дугою максимального радіуса (6/ - 7/); - радіусом – вектором, що спадає (7/ - 13/); - дугою кола мінімального радіуса r0, яке називають основним (початковим). Рух вихідній ланці передається від кулачка тільки в тому випадку, коли вона дотикається до ділянки профілю змінного радіуса - вектора (ділянки А0  - 6/ та 7/  - 13/ ). Якщо дотик відбувається на ділянці профілю, яка накреслена дугою кола з центром на осі обертання кулачка, то вихідна ланка буде нерухомою (ділянки 6/  - 7/ та 13/ - А0). Відповідно, в загальному випадку за час одного обертання кулачка розрізняють такі фази руху вихідної ланки: віддалення (піднімання; вихідна ланка віддаляється від центра кулачка О1); верхній вистій (далекий вистій, верхня пауза; вихідна ланка нерухома в положенні найвіддаленішого від центра О1); опускання (наближення, повернення; вихідна ланка наближається до центру обертання кулачка); нижній вистій (ближній вистій; вихідна ланка залишається нерухомою у початковому положенні). Кожній з цих фаз відповідає певний кут повороту кулачка , звичайно  тому кут  переважно не задається. Кути повороту кулачка, що визначають відповідні періоди руху штовхача, називають фазовими кутами. Кут повороту кулачка, який дорівнює сумі кутів  називається робочим кутом профілю.

В ТММ розглядаються дві основні задачі: аналіз механізмів та синтез механізмів. Аналіз роботи кулачкових механізмів виконується досить рідко, але розгляд методів аналізу полегшує розуміння та розв’язок задач синтезу. Задача синтезу кулачкового механізму полягає в побудові профілю кулачка за відомими законами руху вхідної і вихідної ланок. Проектування кулачкового механізму проводиться в такій послідовності: вибір закону руху вихідної ланки (звичайно, кутову швидкість кулачка приймають сталою); вибір структурної схеми механізму; визначення основних розмірів; побудова профілю кулачка (розрахунок координат профілю). Методи виконання цих етапів можуть бути різні. В конспекті переважно наведені лише традиційні графічні методи.

Рис. 6.2

§ 6.2. Кінематичний аналіз кулачкових механізмів

Кінематичне дослідження кулачкових механізмів полягає у визначенні закону руху вихідної ланки, тобто визначення залежності її переміщення, швидкості чи прискорення від часу або кута повороту кулачка, за відомими розмірами механізму, профілем кулачка і законом його руху. Розв’язок цієї задачі може бути виконаний графічним, графоаналітичним або аналітичним методами. Найчастіше застосовують графічний метод. Розглянемо побудову діаграми переміщення штовхача для кулачкового механізму, зображеного на рис. 6.2, а. Для цієї мети використовується метод обернення руху (інверсії), який дозволяє досить просто визначити відносне положення ланок механізму, без повторного викреслювання кулачка. Для цього всьому механізму в цілому умовно надається обертання з кутовою швидкістю кулачка, але в протилежному напрямі. Завдяки цьому кулачок зупиняється, а напрямна (стояк) разом зі штовхачем обертається з кутовою швидкістю  (миттєві положення С1, С2, С3,…). У такому випадку визначення переміщення штовхача значно спрощується. Для цього проведемо мінімальним радіусом  основне коло. Відкладемо фазові кути. Поділимо кути віддалення  та опускання  на довільне число рівних частин. Точки поділу 1, 2, 3… нумерують відповідно до напрямку оберненого руху. За початкове положення прийнято положення, при якому вістря штовхача т. А займає крайнє нижнє положення А0. Через точки 1, 2, 3…з центра О1  кулачка проведемо промені до перетину з профілем кулачка в точках 1/, 2/, 3/,… Продовження цих променів за профіль кулачка являють собою миттєві положення штовхача у його оберненому русі відносно кулачка. Переміщення вихідної ланки  в кожному з положень являє собою відстань від  до відповідної точки профілю кулачка (відрізки 11/, 22/, 33/,…).

Для наочності та більшої зручності побудови діаграми переміщень  інколи рекомендують з центра О1 через точки 1/, 2/, 3/провести дуги до перетину їх з лінією А0С руху штовхача. Одержимо точки А0, А1, А2,…, що зображають відносні положення т. А вістря штовхача при обертанні кулачка, тобто переміщення штовхача.

Знайдені переміщення т. А вихідної ланки дають можливість побудувати графік її руху (рис. 6.2, б). Для цього відкладемо на осі абсцис прямокутної системи координат, у деякому масштабі , фазові кути  (кут  можна відкладати без масштабу). Далі ділянки осі абсцис, які відповідають кутам , поділимо на таке ж число частин, на яке поділені відповідні кути на кулачку. З точок поділу осі абсцис вздовж вертикалей в деякому масштабі  відкладемо відповідні переміщення штовхача . З’єднавши плавною кривою кінці ординат, отримаємо діаграму переміщення штовхача залежно від кута повороту кулачка . Як відомо, при обертанні кулачка з постійною кутовою швидкістю, діаграма  є одночасно діаграмою , якщо від масштабу  перейти до .

Відмітимо, що з аналізу викладеного неважко зрозуміти порядок розв’язання основної задачі (оберненої) – синтезу кулачкового механізму, оскільки очевидно, що вона буде виконуватись у зворотному порядку.

За допомогою таких же нескладних побудов, за винятком незначних особливостей, можна визначити положення вихідної ланки та одержати закон руху для кулачкових механізмів інших типів. Наприклад, у випадку механізму з роликовим штовхачем потрібно спочатку побудувати центровий профіль кулачка, після цього задача розв’язується аналогічно до розглянутої.

Визначення швидкостей та прискорень. Цю задачу можна виконувати: методом кінематичних діаграм; методом планів; аналітичними методами; методом заміни кулачкового механізму важільним та наступним визначенням шуканих кінематичних параметрів для замінювального механізму. Якщо для кулачкового механізму визначені положення вихідної ланки та побудований графік  або , то для визначення швидкостей та прискорень вихідної ланки зручніше за все застосувати метод кінематичних діаграм (рис. 6.2, б, в).

Необхідно зазначити, що графічне диференціювання може привести до значних неточностей, особливо у випадку двократного диференціювання при визначенні прискорень. Застосування методу планів дає можливість отримати точніші кінематичні характеристики механізму. Для цього рекомендують перейти до замінювального механізму, тобто, вищу кінематичну пару IV класу замінити умовною ланкою та двома парами V класу. Далі задача розв’язується як для звичайного важільного механізму. Зауважимо, що кожному окремому положенню кулачкового механізму буде відповідати замінюючий механізм зі своїми розмірами ланок. Побудова планів швидкостей та прискорень для кулачкового механізму може бути виконана і без заміни вищих кінематичних пар нижчими, тобто, безпосередньо по дійсній схемі кулачкового механізму.

При потребі отримання точніших результатів застосовують аналітичні методи дослідження кулачкових механізмів (як з допомогою замінювальних механізмів, так і без них).

§ 6.3. Закон руху вихідної ланки

Під законом руху вихідної ланки кулачкового механізму розуміють  залежність переміщення, швидкості чи її прискорення  від часу. Закони руху вихідних ланок задаються, переважно, або аналітично у вигляді рівнянь, або графічно - у вигляді відповідних графіків. Оскільки рух кулачка в більшості випадків, що зустрічаються на практиці, відповідає рівномірному обертанню, то зручніше користуватися графіками, які являють собою залежність переміщення, аналога швидкості, чи аналога прискорення від кута повороту кулачка.

Закон руху вихідної ланки визначається профілем кулачка і є основною характеристикою механізму.

У практиці проектування кулачкових механізмів найбільше поширення отримали відносно прості, типові закони руху, наприклад, зображені на рис. 6.3 (для фази віддалення штовхача): а - лінійний; б - параболічний; в - косинусоїдальний; г - синусоїдальний; д, е - описані поліномами.

Теоретично, кулачкові механізми можуть здійснювати будь-які закони руху. Але на практиці користуються лише тими, які забезпечують просту технологію обробки профілю кулачка та є сприятливі з точки зору динаміки роботи механізму. Від закону руху залежать динамічні та вібраційні властивості кулачкового механізму; він повинен бути таким, щоб зусилля, які виникають при русі, не впливали на точність відтворення передатної функції та не позначались на довговічності механізму. Розрізняють закони руху вихідної ланки кулачкових механізмів трьох видів:

- з жорсткими ударами. Прикладом є лінійний закон (постійної швидкості, рис. 6.3, а). Швидкість руху штовхача на фазі віддалення постійна (прискорення дорівнює нулю), але на початку та в кінці фази швидкість має розрив. При миттєвій зміні швидкості штовхача прискорення, а отже, й сила інерції ланки, теоретично прямує до нескінченості, що є причиною жорстких ударів, і як наслідок - швидке спрацювання механізму. Такий закон допустимий лише в тихохідних механізмах при незначній масі штовхача (у випадку коли необхідно забезпечити постійну швидкість руху вихідної ланки);

- з м’якими  ударами. До цієї групи відносяться закони, при яких швидкість змінюється неперервно, а графік прискорення має точки розриву. Це характерно для параболічного, косинусоїдального законів руху (рис. 6.3, б, в, д). У точках розриву кривої прискорення сили інерції раптово змінюються на кінцеву величину, що викликає так званий м’який удар. М’який удар менш небезпечний, ніж жорсткий удар, проте робота механізму супроводжується вібраціями, шумом та підвищеним спрацюванням. Цей закон використовують при помірних швидкостях;

- без ударів. До безударних відносяться закони, при яких прискорення є неперервною функцією (рис. 6.3, г, е). Це закони, задані діаграмою прискорення, окресленою за синусоїдою, трикутником, трапецією та інші. При плавних кривих зміни прискорення  удари теоретично відсутні (якщо похибки виготовлення профілів незначні). Такі закони рекомендують використовувати у швидкохідних механізмах. Недоліком їх є повільне наростання переміщення веденої ланки.

Найбільше використання мають кулачки, які забезпечують плавну зміну прискорення штовхача.

Зауважимо, що при проектуванні кулачкових механізмів, як слідує з наведеного, доцільно виходити з графіка прискорень (за ним можна зробити висновок про удари, шум, вібрації кулачкових механізмів, у той час, як за графіками переміщень важко судити про закон руху, оскільки криві переміщення зовні мало відрізняються ). Графіки швидкості та прискорення в таких випадках знаходяться методом графічного інтегрування.

Наголосимо, що не існує єдиного універсального критерію, який би враховував повний комплекс факторів, пов’язаних з вибором закону руху вихідної ланки кулачкового механізму. При оцінці ефективності профілю кулачка встановлюють комплекс заданих умов і обмежень, враховуючи їх  вагомість.

Рис. 6.3

§ 6.4. Визначення основних розмірів кулачкового механізму

До основних розмірів кулачкового механізму відносяться: мінімальний радіус кулачка  та зміщення  для механізму зі штовхачем; мінімальний радіус кулачка  та міжосьова відстань  для механізму з коромислом.

Кут тиску. Кут між нормаллю n-n у точці дотику взаємодіючих профілів вищої пари та вектором швидкості точки дотику вихідної ланки називається кутом тиску. При проектуванні механізмів з вищими парами цей кут має суттєве значення.

Розглянемо кулачковий механізм зі штовхачем (рис. 6.4). Якщо знехтувати силою тертя у вищій кінематичній парі , то можна вважати, що сила тиску, з якою кулачок 1 діє на штовхач 2, направлена по спільній нормалі n-n в точці дотику ланок. Гострий кут,  що утворений напрямом сили  тиску кулачка на штовхач і вектором швидкості штовхача називається кутом тиску . Зауважимо, що кут тиску є величиною змінною. Кут, що доповнює кут тиску до 900, називається кутом передачі (руху) ().

Розкладемо силу  за двома напрямками: по лінії руху штовхача  та перпендикулярно до неї . Сила - корисна сила, яка рухає штовхач; сила - викликає перекошування штовхача в напрямній 3, внаслідок чого збільшуються реакції та сила тертя. Зрозуміло, що кулачковий механізм буде працювати тим краще, чим менший кут тиску. Не важко показати, що миттєвий коефіцієнт корисної дії кулачкового механізму зменшується зі зростанням кута тиску. При збільшенні кута тиску до деякого значення, що називається  критичним , виникає явище заклинювання (самогальмування). Для нормальної роботи кулачкового механізму, кут тиску при будь-якому положенні кулачка має бути меншим за допустимий кут тиску,  тобто .

Рис. 6.4

Кут тиску можна виразити через геометричні параметри кулачкового механізму

,                                            (6.1)

де  – переміщення;   аналог швидкості штовхача, що відповідає куту  повороту кулачка від початку фази віддалення; e  зміщення напрямної штовхача відносно центра кулачка. Відмітимо, якщо при русі штовхача на фазі віддалення вгору вздовж напрямної, остання зміщена відносно центра кулачка праворуч, то при його обертанні проти стрілки годинника зміщення підставляється в (6.1) зі знаком плюс, при обертанні за годинниковою стрілкою - мінус. При зміщенні напрямної ліворуч від центра обертання кулачка знак  змінюється на протилежний.

Подібною формулою виражається залежність між кутом тиску та основними параметрами коромислового кулачкового механізму.

Аналіз цих залежностей свідчить, що при вибраному законі руху та зміщенні  можна зменшити кути тиску, збільшуючи мінімальний радіус кулачка, тобто габарити механізму. Аналогічно для коромислового кулачкового механізму, кути тиску зменшуються при збільшенні , тобто розмірів механізму.

Отже, при проектуванні кулачкових механізмів основні розміри   або ,  визначаються  з умови незаклинювання механізму. Виняток становить тарілчастий кулачковий механізм, для якого  (найпоширеніший випадок тарілки, перпендикулярної до напрямної) і r0 визначається з умови опуклості контуру .

Таким чином, одним із найважливіших питань при проектуванні кулачкових механізмів є вибір допустимого кута тиску , від величини якого залежить розподіл сил у механізмі, його К.К.Д., габаритні розміри і т. ін. Рекомендовані такі значення допустимого кута тиску: =300…400 для механізмів зі штовхачем; =450…500 для коромислових механізмів. Якщо габарити механізмів дозволяють, то для зменшення втрат на тертя доцільно приймати менші значення кута тиску.

Визначення основних розмірів кулачкових механізмів за заданим допустимим кутом тиску. Аналітичний метод визначення основних розмірів  кулачкових механізмів із штовхачем (з вістрям або роликом) полягає у розв’язку рівняння (6.1) відносно шуканих параметрів при . В основі графічного методу також лежить  залежність (6.1).

Розглянемо задачу графічного визначення  мінімального радіуса кулачка для механізму, зображеного на рис. 6.4.

Зауважимо, що у випадку механізму з роликовим штовхачем всі побудови є аналогічними, але в результаті буде знайдений  не дійсного, а центрового профілю кулачка. Спочатку, на основі попередньо побудованих графіків , шляхом виключення параметра , будуємо графік , забезпечивши чисельно однакові масштаби по обох осях,  (рис. 6.5). Для цього проводимо осі прямокутної системи координат. По осі ординат, в масштабі , відкладемо від початку координат згідно графіка  переміщення штовхача (т. А0 відповідає нижньому початковому положенню штовхача, лежить на колі мінімального радіуса). Через отримані точки А0, А1, А2, …, проводимо прямі, паралельні осі абсцис та відкладаємо на них в масштабі , відрізки, що рівні . Причому для фази віддалення ці відрізки відкладаються в сторону обертання кулачка, а для фази опускання – в обернену. Сполучивши плавною кривою кінці відкладених відрізків, отримаємо криву . Після цього проводимо до кривої  дотичні прямі І-І та ІІ-ІІ під кутами  до осі ординат. Центр обертання кулачка може знаходитись у будь – якій точці заштрихованої області (між дотичними), у цьому випадку завжди буде забезпечена умова . Відмітимо, що точка О перетину дотичних визначає мінімально можливе значення , тобто, найменші розміри кулачка та всього механізму, при якомусь певному . Якщо величина зміщення задана , то проводять пряму y-y на відстані  від осі ординат (в масштабі ). У цьому випадку мінімальний радіус  дорівнює відрізку А0О2, в прийнятому масштабі. У випадку центрального кулачкового механізму () центр обертання кулачка буде знаходиться на продовженні лінії руху штовхача, в точці О1, а найменший радіус .

Рис. 6.5

Зауважимо, що при жорстких обмеженнях габаритних розмірів механізму беруть до уваги той факт, що небезпека заклинювання штовхача з силовим замиканням вищої пари має місце лише на фазі віддалення, оскільки при опусканні штовхач рухається під дією пружини (сили тяжіння). У цьому випадку при нереверсивному режимі роботи дотичну І-І проводять через т. А0. У кулачкових механізмах з геометричним замиканням вищої кінематичної пари умова  повинна виконуватись як на фазі віддалення, так і опускання.

Така геометрична інтерпретація співвідношення (6.1) використовується  і для графічного визначення габаритних розмірів кулачкових механізмів з коромислом.

Визначення мінімального радіуса кулачка за умовою опуклості профілю. Для кулачкових механізмів із плоским штовхачем при будь-якому положенні кулачка кут тиску сталий. Зокрема, якщо тарілка перпендикулярна до осі штовхача (найрозповсюдженіший випадок), кут тиску дорівнює нулю. Отже, при проектуванні таких механізмів кут тиску не може бути покладений в основу визначення . У даному випадку ставлять додаткову вимогу: профіль кулачка має бути опуклим. Лише при виконанні цієї умови кожна точка профілю зможе торкнутися тарілки штовхача. Профіль кулачка буде опуклим, якщо радіус кривини профілю в будь-якій точці буде більшим від нуля, . Цю умову можна виразити нерівністю

.                                            (6.2)

Нерівність (6.2) дозволяє графічно визначити величину , метод проф. Геронімуса. На основі попередньо побудованих графіків  будується графік . Для цього по осі ординат відкладемо значення , а паралельно осі абсцис - відповідні значення  (рис. 6.6). Вся побудова виконується в одному масштабі . Сполучивши плавною кривою отримані точки, одержимо діаграму  До діаграми, на ділянці, що відповідає максимальному від’ємному значенню під кутом 450 до осі ординат проводиться дотична I-I. Згідно з нерівністю (6.2) за центр обертання кулачка може бути вибрана будь-яка точка, що розміщена нижче точки перетину дотичної з віссю ординат. Наприклад, на рис. 6.6 точка О1 , тоді мінімальний радіус  А0О1, . Зауважимо, що в кулачкових механізмах з плоским штовхачем застосування ексцентриситету є недоцільним, оскільки призводить до збільшення габаритів механізмів.

Рис. 6.6

§ 6.5. Побудова профілю кулачка

Однією із основних задач синтезу кулачкових механізмів є побудова профілю кулачка. Розрізняють кінематичний та динамічний синтез кулачкових механізмів. При кінематичному синтезі значення  мінімального радіуса кулачка задається, в той час як при динамічному значення  – слід попередньо визначити, користуючись допустимим кутом тиску, або з умови опуклості профілю.

Розглянемо послідовність побудови профілю кулачка, якщо задані: схема кулачкового механізму; максимальний хід та закон руху вихідної ланки; фазові кути; напрям обертання кулачка; мінімальний радіус кулачка.

В основі графічного методу побудови профілю кулачка лежить метод обернення руху.

Центральний кулачковий механізм (рис. 6.2, а). Вважається, що згідно з заданим законом руху попередньо побудована діаграма  переміщення штовхача (рис. 6.2, б).

Побудову профілю кулачка виконують у такій послідовності (обернено до порядку побудови діаграми переміщення штовхача при кінематичному аналізі механізму, § 6.2):

1. Із довільної точки О1 (вважаючи її центром обертання кулачка) проводимо коло радіусом , у масштабі (рис. 6.2, а). Зазначимо, що масштаб  зручніше прийняти рівним масштабу діаграми переміщення.

2. З точки О1 проводимо вертикальну пряму О1С, яку приймаємо за  лінію руху штовхача. Точка перетину прямої О1С з колом  визначить положення т. А вістря штовхача, що відповідає початку фази віддалення, т. А0.

3. Користуючись діаграмою переміщень, розмічаємо шлях т. А вістря штовхача в його абсолютному русі, точки А1, А2, А3, ..., А12. Для зручності побудови бажано, щоб вісь абсцис діаграми переміщень проходила через точку А0. Тоді ординати 1-1/, 2-2/, 3-3/,... діаграми переміщення безпосередньо визначають миттєві положення вістря штовхача.

4. Від прямої О1С в напрямі, протилежному напряму обертання кулачка, відкладемо фазові кути . Ділимо кути  на стільки ж рівних частин, на скільки вони поділені на діаграмі переміщення штовхача (6.2, б). Через точки поділу 1, 2, 3,…,13 на колі , з центру обертання кулачка проводимо промені, які в оберненому русі визначатимуть положення осі штовхача.

5. Переносимо за допомогою циркуля миттєві положення точки А—А1, А2, А3, …, А12 на відповідні промені, і отримуємо на них точки 1/, 2/, 3/,…13/- положення т. А вістря штовхача у відносному русі. Інколи для знаходження даних точок рекомендують безпосередньо з діаграми  відкласти від кола , на відповідні промені, переміщення штовхача 1-1/, 2-2/, 3-3/,…13-13/.

6. З’єднавши ці точки плавною кривою, одержимо частину профілю кулачка на кутах   та . Профілі кулачка, що відповідають фазовим кутам , будуть окреслені дугами кіл, які описані з т.О1 відповідно радіусами О16/ та О113/. Таким чином, отримаємо дійсний профіль кулачка.

7. У випадку, якщо штовхач закінчується роликом, то отриманий профіль—центровий. Використовуючи центровий профіль, як геометричне місце центрів ролика у відносному русі, будуємо дійсний профіль. Дійсний профіль одержимо як обгинну сім’ю дуг радіуса  проведених з точок центрового профілю (рис. 6.7, б).

Позацентровий кулачковий механізм з роликовим штовхачем. Вважаємо, що згідно з заданим законом руху попередньо накреслено графік функції  (рис. 6.7, а).

Побудову профілю кулачка виконують у такій послідовності.

1. З довільної точки О1 проводимо у вибраному масштабі  кола радіусами  і  (рис. 6.7, б).

2. Дотично до кола радіуса  проводимо лінію переміщення штовхача згідно з її положенням на схемі механізму. Точка перетину А0 цієї прямої з колом  є положенням центра ролика, що відповідає початку фази віддалення (нижнє, початкове положення осі ролика).

3. Від т. А0 вздовж лінії у-у відкладаємо переміщення штовхача А1, А2, А3,…, згідно графіка переміщень . Точка А6 визначить положення центра ролика, що відповідає закінченню фази віддалення.

4. З’єднаємо т. А0 з центром обертання кулачка О1. Від прямої А0О1 в напрямі, протилежному напряму обертання кулачка, відкладемо фазові кути . Ділимо кути  на стільки ж рівних частин, на скільки вони поділені на діаграмі переміщення штовхача. Через точки поділу 1, 2, 3,…13, на колі  проводимо дотичні до кола радіуса , як ряд послідовних положень  ліній переміщення штовхача у відносному русі навколо кулачка.

5. З центра О1 радіусами О1А1, О1А2, О1А3,… проведемо концентричні дуги до перетину з відповідними дотичними. Точки перетину 1/, 2/, 3/,… являють собою положення ролика у відносному русі. З’єднавши ці точки плавною кривою, одержимо центровий профіль кулачка.

6. Проводимо ряд дуг радіусом  з центрами, що розміщені на центровому профілі кулачка. Будуємо дійсний профіль кулачка як обгинну сім’ю цих дуг.

Вибір радіуса ролика. Для забезпечення руху вихідної ланки механізму за заданим законом необхідно, щоб радіус ролика був менший за радіус кривини в будь-якій точці центрового профілю кулачка

,

де – мінімальний радіус кривини центрового профілю кулачка.

Окрім того, радіус ролика обмежують умовою .

При проектуванні кулачкових механізмів радіус ролика приймають таким, щоб забезпечити виконання наведених умов. При цьому конкретне значення призначають у відповідності до стандартного ряду лінійних розмірів.

Кулачковий механізм з тарілчастим штовхачем (рис. 6.1, в). Побудова  профілю даного механізму виконується аналогічно (включно по п.5) до описаної вище побудови профілю центрального кулачкового механізму з штовхачем. Різниця є лише в останньому етапі.

Рис. 6.7

6. Через точки 1/, 2/, 3/,…, 13/ проводимо перпендикуляри до відповідних променів (рис. 6.6, б). Дані перпендикуляри являють собою послідовні положення площини тарілки штовхача у відносному русі навколо кулачка. Обгинна крива перпендикулярів і буде дійсним профілем кулачка.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

  1.  Переваги і недоліки кулачкових механізмів.
  2.  Як класифікують кулачкові механізми?
  3.  Назвіть фази руху кулачкових механізмів.
  4.  Назвіть методи кінематичного дослідження кулачкових механізмів.
  5.  Закони руху вихідної ланки.
  6.  Що називається кутом тиску і кутом передачі руху?
  7.  Яка різниця між кінематичним та динамічним синтезом кулачкових механізмів?
  8.  З яких умов визначається мінімальний радіус кулачка?
  9.  Послідовність побудови профілю кулачка.


Література

  1.  Кіницький Я.Т. Теорія механізмів і машин: - Київ: Наукова думка, 2002. - 660с.
  2.  Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин: Учебн. для вузов.- М.: Наука., 1988.- 640 с.
  3.  Теория механизмов и механика машин. Под редакцией К.В.Фролова. – М.: Высш. шк., 2002.- 496 с.
  4.  Кореняко О.С. Теорія механізмів і машин.- К: Вища шк.,1987.-206 с.
  5.  Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин.- М.: Машиностроение, 1973. – 591 с.
  6.  Вишенський І.І. Теорія механізмів і машин. Механічні передачі. -К.: УМК ВО, 1992.-356 с.
  7.  Юдин В.А., Петрокас Л.В. Теория механизмов и машин. -М., Высш. Шк.., 1977.– 527 с
  8.  Левитский Н.И. Теория механизмов и машин.-М.: Наука.1990.-592 с.
  9.  Курсове проектування з теорії механізмів і машин: учбовий посібник. Є.І.Крижанівський, Б.Д.Малько, В.М.Сенчішал та ін. – Івано-Франківськ, 1996.-357 с.
  10.  Курсовое проектирование по теории механизмов и машин / Под редакцией А.С. Кореняко.- К.: Вища школа, 1970.-332 с.
  11.  Девойно Г.Н., Акулич В.К., Анцилорович П.П. и др. Курсовое проектирование по ТММ.- Минск: Вышэйш. шк., 1986.-285 с.
  12.  Артоболевский И.И., Эдельштейн Б.В. Сборник задач по ТММ.-М.: Наука, 1973.-256 с.


ЗМІСТ

Вступ

§1. ТММ як наука. Початкові (вхідні) поняття та визначення

§2. З історії науки

Глава 1. Структура  та класифікація механізмів

§1. Ланки та кінематичні пари . Класифікація кінематичних пар

§2. Кінематичні  ланцюги.

§3. Основні види механізмів та їх структурні схеми

§4. Структурні формули кінематичних ланцюгів

§5. Структурна класифікація плоских механізмів. Основний принцип створення механізмів

Питання для самоконтролю

Глава 2. Кінематичне  дослідження  механізмів

§2.1. Задачі та методи кінематичного дослідження

§2.2.  Функція положень та кінематичні передатні функції механізму

§2.3. Плани механізму

§2.4. Дослідження руху механізмів методом  кінематичних діаграм

§2.5. Метод планів швидкостей та прискорень

§2.6. Кінематичне дослідження  механізмів аналітичними методами

Питання для самоконтролю

Глава 3. Вступ в динаміку механізмів та машин. Силовий розрахунок механізмів

§3.1. Сили, що діють на ланки механізмів та машин

§3.2. Загальна методика силового розрахунку.

§3.3. Силовий розрахунок шарнірно-важільного механізму

§3.4. Теорема Жуковського

Питання для самоконтролю

Глава 4. Дослідження руху машинного агрегату

§4.1. Динамічна модель машинного агрегату

§4.2. Зведення сил та мас

§4.3. Рівняння руху механізму

§4.4. Визначення закону руху механізму

§4.5. Усталений режим руху. Нерівномірність руху механізму

§4.6. Визначення моменту інерції маховика за допомогою діаграми енергомас. Розміри маховика.

Питання для самоконтролю



Глава 5. Синтез плоских важільних механізмів

§5.1 Умови існування кривошипа в плоских чотириланкових механізмах

§5.2 Синтез чотириланкових механізмів за двома положеннями ланок

§5.3 Синтез чотириланкових механізмів за коефіцієнтом зміни середньої швидкості та за середньою швидкістю вихідної ланки

Питання для самоконтролю

Глава 6. Кулачкові механізми

§6.1 Загальні відомості. Види кулачкових механізмів

§6.2 Кінематичний аналіз кулачкових механізмів

§6.3 Закон руху вихідної ланки

§6.4 Визначення основних розмірів кулачкового механізму

§6.5. Побудова профілю кулачка

Питання для самоконтролю

Література


Навчально-методичне видання

Теорія механізмів і машин

Конспект лекцій

Навчально-методичний посібник

Укладачі: Микола Ярошевич

Комп’ютерний набір та верстка: Юрій Шнайдер

Дизайн: Юрій Шнайдер

Редактор: Лариса Тиха

Підписано до друку   . Формат 60х84/16

Папір офс. Гарн. Таймс. Ум. друк.арк. 8.4

Обл.-вид.арк. 7.

Наклад 50 прим. Зам. 307

Редакційно-видавничий відділ

Луцького державного технічного університету

43018 м. Луцьк, вул. Львівська, 75.

Друк-РВВ ЛДТУ


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20315. СЦЕНОГРАФИЯ (художественно-декорационное оформление) 121.5 KB
  Вследствие того что образный строй сценографии основывается на зрительном восприятии в конкретном произведении он выражается через определенный материал обладающий параметрами пространства. Развитие простых видов искусства в которых доминирует отдельный вид пространственного вида материала является для сценографии своеобразным лабораторным экспериментом в результате которого проверяется одна из его граней. Дать представление о видах способах и средствах выразительности сценографии о технических возможностях сцены и сценического...
20316. Акимов Н.П. как режиссер и художник 202.5 KB
  Николай Акимов Дата рождения: 16 апреля 1901 Место рождения: город Харьков Дата смерти: 6 сентября 1968 67 лет Место смерти: Москва Гражданство: Российская империя СССР Жанр: театральный режиссёр театральный педагог Награды: Никола́й Па́влович Аки́мов 1901 1968 советский живописец и книжный график театральный художник режиссёр и педагог с 1935по 1949 и с 1956 до конца жизни возглавлявший Ленинградский театр Комедии Народный артист РСФСР Народный артист СССР1960[1].1 Театр им.2 Новый театр Ленинградский театр им.3 Ленинградский...
20317. Европейская культура средневековья: философия, архитектура, литература, театр, музыка 107.5 KB
  Содержание: Введение Особенности культуры западноевропейского Средневековья Аспекты интеллектуальной и художественной культуры западноевропейского Средневековья: Философия Литература Театр и драматургия Музыка Архитектура и строительство Изобразительное искусство Заключение Литература Введение Средние века это время которое находится посередине между Античностью и Новым Временем и по какойто невероятной причине не имеет своего собственного названия.222 14] Историческая ситуация средних веков не может быть както однозначно...
20318. Русское актерское искусство второй половины XX века 98.5 KB
  Восстановление зданий театров развитие киносети расширение издательской деятельности все это создавало необходимые условия для оживления культурной жизни общества. вышли постановления ЦК ВКПб: €œО журналах €œЗвезда€ и €œЛенинград€ €œО репертуаре драматических театров и мерах по его улучшению€ €œО кинофильме €œБольшая жизнь€ €œОб опере €œВеликая дружба€ В. В этих постановлениях писатели журналисты композиторы деятели кино и театра обвинялись в аполитичности и безыдейности в пропаганде буржуазной идеологии. Лишение поддержки со...
20319. Творческое сотрудничество режиссера и художника 123.5 KB
  ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СОВРЕМЕННОЙ РЕЖИССУРЫ Режиссерское искусство заключается в творческой организации всех элементов спектакля с целью создания единого гармонически целостного художественного произведения. Но такая случайная неофициальная режиссура редко доводила задачу создания идейнохудожественного единства спектакля до конца: разнобой между отдельными его элементами в той или иной степени оказывался неизбежным. Это же происходило и в тех случаях когда коллектив не имея единоличного руководителя сам пытался добиться творческой...
20320. Русский театр второй половины ХVIII- начале XIX века 1.08 MB
  Театральная жизнь в XIX веке не просто развивалась она по настоящему зацвела. Именно в это время стали появляться первые театры сохранившиеся по сей день писаться пьесы тематика которых актуальна и сегодня и наконец именно в этом столетии появились первые актеры и театральные критики чьи имена вошли в историю искусства. Театральное искусство этого времени прощалось с екатерининской эпохой с ранним русским классицизмом. Вторым по значимости историческим событием оказавшим влияние на становление театра в XIX веке стало восстание...
20321. Основные этапы развития сцены 40.5 KB
  Читай Базанова Основные этапы развития сцены и ее техники Базанов В.Между тем в мире происходят интересные процессы поиска современной сценической архитектуры техники и технологии сцены. А поскольку театр является заказчиком проекта то его специалистам необходимо знать не только основы построения сцены и ее оборудования но и современные тенденции развития и обогащения театрального пространства.
20322. Русский театр второй половины XIX века 314.5 KB
  в истории русского театра наступает новая эпоха на сцене появляются пьесы великого русского драматурга А. Драматургия Островского это целый театр и в этом театре выросла плеяда талантливейших актеров прославивших русское театральное искусство. на сцене Малого театра когда была сыграна комедия Не в свои сани не садись. После первой постановки комедии Не в свои сани не садись Островский все свои пьесы отдает на сцену Малого театра.
20323. Театрально-декорационное искусство на современном этапе 97 KB
  Сценография как синоним декорационного искусства. Поэтому как считают некоторые исследователи он не отвечая сути современного искусства лишь характеризует определенный период развития сценического оформления базирующийся на чисто живописных приемах станковой живописи. Вот почему в настоящее время синонимом декорационного искусства стал термин сценография. К тому же если история декорационного искусства создается в основном на изучении эскизного материала художников то история сценической графики должна ориентироваться на всю...