36600

АКТУАРНА МАТЕМАТИКА

Конспект

Математика и математический анализ

Метою дисципліни є - сформувати у студентів систематизовані теоретичні знання з основ створення, дослідження, практичного використання актуарних моделей, методики проведення страхових розрахунків Формування необхідних професійних якостей економістів вищої кваліфікації, підприємців, комерсантів, так як оволодіння статистичною методологією є однією з необхідних умов пізнання кон’юнктури ринку

Украинкский

2013-09-23

2.51 MB

63 чел.

 ІНСТИТУТ ПІДПРИЄМНИЦТВА ТА ПЕРСПЕКТИВНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ПРИ НАЦІОНАЛЬНОМУ УНІВЕРСИТЕТІ

“ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Кафедра фінансів

В.В. Волошин, О.П. Волошин,

АКТУАРНА  МАТЕМАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

 ІНСТИТУТ ПІДПРИЄМНИЦТВА ТА ПЕРСПЕКТИВНИХ ТЕХНОЛОГІЙ ПРИ НАЦІОНАЛЬНОМУ УНІВЕРСИТЕТІ

“ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Кафедра фінансів

АКТУАРНА МАТЕМАТИКА

Конспект лекцій

для студентів базового напрямку 0501 «Економіка і підприємництво»

спеціальності 6.050100 «Фінанси» денної та

заочної форм навчання

Затверджено на засіданні

кафедри фінансів

Протокол №___ від ___________

Львів 2008


Методичні вказівки обговорені та схвалені на засіданні науково-методичної ради ІПАТ при НУ «ЛП». Протокол № __ від __________

Укладачі:  Волошин В.В., доц., к.фіз.-мат.н.

  Волошин О.П., ст. викл.

Яцишин О.В., викл.

Актуарна математика. Конспект лекцій для студентів базового напрямку 0501 «Економіка і підприємництво» спеціальності 6.050100 «Фінанси» денної та заочної форм навчання   

Укл. Волошин В.В., Волошин О.П., Яцишин О.В. – Львів: Видавничий відділ Інституту підприємництва та перспективних технологій при Національному університеті “Львівська політехніка”, 2008.

Відповідальний за випуск:    Микитюк Н.О., зав. каф. фінансів,

к.е.н., доц.

Рецензенти:  

Компютерна верстка:

Оригінал макету підготовлено у видавничому відділі

Інституту підприємництва та перспективних технологій

при Національному університету «Львівська політехніка»

Волошин В.В., Волошин О.П., та ін., 2008

Інституту підприємництва та перспективних

    технологій при Національному університеті „Львівська політехніка”


Зміст

Загальні положення……………………………………………………………………………

Тема 1. Предмет, мета і завдання актуарних розрахунків………………………………

1.1. Хто такий актуарій?...................................................................................................

1.2. Предмет, мета і завдання актуарних розрахунків……………………………………..

1.3. Як стати актуарієм?...................................................................................................

1.4. Розвиток професії актуарія в Україні…………………………………………………....

Контрольні запитання для самоперевірки………….. ……………………………………....

Тема 2. Розподіл тривалості життя. Таблиці життя (смертності)……………………..

2.1. Модель. Функція дожиття. Тривалість подальшого

життя для особи віку ……………….………………………………………………….

2.2. Сила смертності……………………………………………………………………………...

2.3. Аналітичний розподіл для майбутнього життя …………………………………...

2.4. Вкорочений час майбутнього життя для ………………………………………….

2.5. Таблиці життя (смертності). Основні математичні характеристики таблиць смертності……………………………………………………………………………………...

2.6. Ймовірності смерті для частин року…………………………………………………….

2.7. Глосарій………………………………………………………………………………………....

Контрольні запитання для самоперевірки…………………………………………………..

Тема 3. Моделі страхування життя………………………………………………………..

3.1. Поточне значення виплати. Чиста одинична премія………………………………….

3.2. Прості види страхування……………………………………………………………………

3.3. Виплати в момент смерті…………………………………………………………………..

3.4. Загальні види страхування життя………………………………………………………..

3.5. Стандартні види змінного страхування життя………………………………………

3.6. Рекурентні формули…………………………………………………………………………..

Контрольні запитання для самоперевірки………….. ………………………………………

Тема 4. Страхові ануїтети…………………………………………………………………...

4.1. Що таке аннуїтет?......................................................................................................

4.2. Прості види аннуітетів. Аннуїтети пренумерандо і постнумерандо……………..

4.3. Виплати декілька разів на рік……………………………………………………………….

4.4. Змінні аннуітети………………………………………………………………………………

4.5. Стандартні типи аннуітетів життя……………………………………………………

4.6. Рекурентні формули…………………………………………………………………………..

4.7. Нерівності………………………………………………………………………………………

4.8. Виплати для дробового віку…………………………………………………………………

Контрольні запитання для самоперевірки………….. ………………………………………

Тема 5. Чисті премії (Нетто-премії)………………………………………………………..

5.1. Поняття про збитки…………………………………………………………………………

5.2. Розрахунок збитків……………………………………………………………………………

5.3. Випадок простих видів страхування………………………………………………………

5.4. Премії, які виплачуються  разів на рік…………………………………………………

5.5. Загальна форма страхування життя…………………………………………………….

5.6. Контракти з поверненням премії………………………………………………………….

5.7. Випадкова відсоткова ставка………………………………………………………………

5.8. Глосарій………………………………………………………………………………………….

Контрольні запитання для самоперевірки…………..……………………………………….

Тема 6. Резерви чистої премії……………………………………………………………….

6.1. Поняття про резерв чистої премії…………………………………………………………

6.2. Приклад обчислення резерву чистої премії у випадку контракту страхування на дожиття…………………………………………………………………………………………………..

6.3. Рекурентні формули…………………………………………………………………………...

6.4. Ризик виживання…………………………………………………………………………….....

6.5. Резерв чистої премії за безтерміновим контрактом страхування життя………

6.6. Резерви чистої премії в проміжні моменти……………………………………………...

6.7. Розподіл загальної втрати за роками контракту………………………………………

6.8. Перетворення контракту…………………………………………………………………....

6.9. Технічний прибуток…………………………………………………………………………....

6.10. Процедура для контракту чистого дожиття…………………………………………

6.11. Неперервна модель……………………………………………………………………………

6.12. Глосарій…………………………………………………………………………………………

Контрольні запитання для самоперевірки………….. ……………………………………….

Тема 7. Декременти…………………………………………………………………………...

7.1. Модель………………………………………………………………………………………….…

7.2. Сила декременту…………………………………………………………………………….....

7.3. Вкорочений час життя…………………………………………………………………….…

7.4. Загальна форма контракту страхування………………………………………………...

7.5. Резерв чистої премії…………………………………………………………………………...

7.6. Неперервна модель……………………………………………………………………………..

7.7. Глосарій…………………………………………………………………………………………..

Контрольні запитання для самоперевірки………….. ……………………………………….


Загальні положення

  1.  Мета викладання дисципліни.

Метою дисципліни є - сформувати у студентів систематизовані теоретичні знання з основ створення, дослідження, практичного використання актуарних моделей, методики проведення страхових розрахунків Формування необхідних професійних якостей економістів вищої кваліфікації, підприємців, комерсантів, так як оволодіння статистичною методологією є однією з необхідних умов пізнання кон’юнктури ринку, вивчення тенденції та прогнозування попиту і пропозиції, прийняття оптимальних рішень на всіх рівнях підприємницької діяльності, на ринку товарів та послуг.

  1.  Завдання вивчення дисципліни.

Завданням є оволодіння статистичними методами в процесі обробки вихідних даних при плануванні і прогнозуванні фінансової діяльності суб'єктів господарювання.

  1.  Компетенції, якими треба оволодіти студентові:
  •  знання принципів побудови та аналізу актуарних моделей;
  •  вміння застосовувати основні числові характеристики фінансових операцій, що використовуються у страхуванні;
  •  знання методів аналітичної оцінки результатів діяльності та прогнозування розвитку страхової компанії.
  •  вміння будувати та досліджувати конкретні актуарні моделі;
  •  здатність практично застосовувати методики проведення страхових розрахунків;
  •  здатність проводити аналітичну оцінку результатів діяльності страхової компанії та складати прогноз її розвитку.


Тема 1.

Тема 1. Предмет, мета і завдання актуарних розрахунків

План

1.1. Хто такий актуарій?

1.2. Предмет, мета і завдання актуарних розрахунків.

1.3. Як стати актуарієм?

1.4. Розвиток професії актуарія в Україні.

1.1. Хто такий актуарій?

Слово „актуарій” походить від латинського „actuarius”. Особа, яка обіймала цю посаду, виконувала обов’язки бізнес-менеджера Сенату в Стародавньому Римі. Вперше це слово було вжите у 1775 році щодо математика страхової компанії в Equitable Life Assurance Society (Лондон, Великобританія). До середини XIX століття актуарії активно працювали в сфері страхування життя, страхових товариствах і пенсійних проектах. Із плином часу важливість актуаріїв зросла і в сфері загального (майнового) страхування, інвестицій, охорони здоров’я, соціального забезпечення, а також у банківській сфері, корпоративних фінансах і фінансовій інженерії.

Актуарії – це багатосторонні стратеги-аналітики, добре обізнані з теорією і застосуванням таких галузей науки, як математика, статистика, економіка, теорія ймовірностей і фінанси. Їх називають фінансовими архітекторами і соціальними математиками, тому що виняткове поєднання їх аналітичних і бізнесових навичок використовується у цілому світі для розв’язання зростаючих фінансових і соціальних проблем.

1.2. Предмет, мета і завдання актуарних розрахунків

Застосовуючи свої аналітичні здібності, актуарії впевнено прогнозують фінансову суть визначенням, проектуванням і управлінням спектром фінансових ризиків. Отже, актуарії надають цінну інформацію керівникам вищих ланок управління про те, як приймати довготермінові стратегічні рішення. Вони також допомагають практично розв’язувати проблеми, що містять можливі наслідки майбутніх не передбачуваних подій.

Роль актуарія в сучасному бізнесі – це:

  •  аналіз та управління ризиком;
  •  побудова фінансових моделей, які відповідають конкретним умовам;
  •  подання комплексного аналізу вищій ланці керівників у зрозумілій формі;
  •  виконання розрахунків із урахуванням змін в економіці та інших факторів;
  •  надання фінансових консультацій.

Актуарії залучені до роботи в індустрії фінансового обслуговування, конкурентоспроможність якої постійно зростає, особливо в таких сферах:

  •  ціноутворення, метою якого є прибуткова сегментація ринку;
  •  надання порад щодо важливості резервів, які найчастіше є найважливішим пунктом балансового звіту страховика;
  •  аналіз програми перестрахування;
  •  управління капіталом та інвестиційні стратегії;
  •  управління інформаційними системами;
  •  бізнес-прогнозування;
  •  оцінювання компаній;
  •  надання порад щодо придбання і злиття.

Актуарії несуть юридичну відповідальність за платоспроможність компаній зі страхування життя у багатьох країнах світу. Участь актуаріїв у фінансовому управлінні компаній зі страхування майна і страхування життя дедалі зростає.

Актуарії можуть також відігравати активну роль у:

  •  пенсійній сфері, де математичне та статистичне моделювання використовується для фінансових аспектів таких пенсійних планів, як розроблення рекомендацій про розмір внесків і оцінювання адекватності рівня капіталу;
  •  управління фондами, де актуарії надають переваги щодо інвестиційної політики фонду, розміщення активів, а також кількісного моделювання;
  •  біржових брокерських фірмах, де актуарії можуть працювати як аналітики, особливо з питань страхування та гри на біржі;
  •  банківській сфері, де актуарії можуть аналізувати застави для визначення рівнів дефолту, рівнів виплат застав, майбутніх витрат та придатних рівнів гарантування страхування застави.

Актуарії вирішують проблеми, пов’язані з фінансовим ризиком майбутніх не передбачуваних умов. Це робить їх професію однією з найвпливовіших у фінансовому світі.

Наприклад, у США професія актуарія – серед найпрестижніших. Професії оцінюються за шістьма ключовими критеріями: навколишнє оточення, рівень доходу, перспектива працевлаштування, фізичні потреби, безпечність, можливість стресових ситуацій. Рейтинг професії актуарія ніколи не опускався нижче 4-го місця.

Десять найкращих професій у США:

  1.  Біолог
  2.  Актуарій
  3.  Фінансовий аналітик
  4.  Комп’ютерно-системний аналітик
  5.  Бухгалтер
  6.  Програміст
  7.  Метеоролог
  8.  Помічник юриста
  9.  Статистик
  10.  Астроном

Актуарій намагається спрогнозувати результати інвестування грошей у пенсійні фонди, фонди страхування, фондові біржі чи інші фінансові інститути. Він несе юридичну і професійну відповідальність за гарантоване отримання клієнтами прибутків, обіцяних страховими компаніями і пенсійними фондами.

Актуарії допомагають нам влаштувати наше майбутнє. Вони поєднують управлінські функції з відповідальністю за захист фінансових інтересів суспільства.

Актуарії використовують свої інтелектуальні здібності для вирішення практичних проблем бізнесу. Чим складнішою є проблема, тим більше гордості ви відчуватимете, знаходячи ефективні рішення.

Світ бізнесу і фінансів постійно змінюється. Вплив норм, законодавства та глобалізації створили середовище, яке постійно ускладнюється. Тільки актуарії володіють достатньою кваліфікацією, щоб розібратися у цьому. Вони постійно використовують статистику, теорію ймовірностей, фінансову математику і теорію інвестицій для вирішення проблем бізнесу.

Дедалі більше актуаріїв стають керівниками, тому їм потрібні моральні якості для роботи з іншими професіоналами, проведення проектів, надання консультацій.

Професія актуарія є на часі у різних організаціях, але вона охоплює насамперед такі сфери:

  •  Страхування життя. Ці компанії здійснюють пенсійне страхування, страхування життя та інші фінансові послуги для забезпечення своїх споживачів довготерміновою фінансовою безпекою. Це охоплює збереження прибутку клієнта після його виходу на пенсію та забезпечення утриманців у разі його передчасної смерті. Актуарії створюють, визначають ціни та збувають страхові продукти.
  •  Загальне страхування. Це ділянка роботи актуарія, яка найшвидше розвивається. До неї належать особисте страхування, зокрема страхування житла та автотранспорту, а також страхування великих комерційних ризиків. Кількість і розміри страхових виплат можуть залежати від різних факторів, наприклад, у разі страхування житла – від величини будинку, його місце розташування, засобів безпеки тощо. Актуарії поєднують свої статистичні навики зі знанням інвестиційної політики, бухгалтерського обліку, законодавства і бізнесу.
  •  Інвестиції. Усі актуарії володіють основами теорії інвестицій, але можуть бути і фахівцями з управління інвестиціями, моніторингу та надання консультацій з інвестиційних рішень. Можуть працювати в інвестиційних банках, біржовими брокерами в інвестиційному відділі великої компанії, а також консультантами із загальних питань бізнесу.
  •  Пенсії. Актуарії надають рекомендації з питань адекватності фінансового рівня пенсійних планів і забезпечують відповідну сертифікацію для підтримання пенсійного законодавства у цілому світі.

Перша професійна організація актуаріїв була заснована 1848 року у Лондоні, а в кінці століття вже існувало 10 асоціацій. Міжнародну Асоціацію Актуаріїв (МАА) утворили 1895 року і вона є світовою організацією професійних актуарних організацій та окремих актуаріїв. МАА є неприбутковою, неполітичною і неурядовою організацією. Вона входить до реєстру Економічної та Соціальної Ради ООН та особливого реєстру Міжнародної Організації Праці.

Існують дві основні системи професійної освіти актуаріїв: освітня система Society of Actuaries (використовується у Північній Америці) та освітня система Британського Інституту Актуаріїв (використовується у більшості країн світу). Обидві вони становлять основу міжнародних стандартів професійної актуарної освіти.

Для отримання детальнішої інформації щодо актуарних організацій та професійних стандартів можна звертатися на сайт МАА: www.actuaries.org.

1.3. Як стати актуарієм?

Для того, щоб отримати кваліфікацію актуарія, необхідно пройти через складну систему професійних іспитів.

Екзаменаційний центр Британського Інституту актуаріїв був заснований у Києві 2002 року на базі Українського Актуарного Товариства і Національного університету ім. Т. Шевченка. Українські кандидати також мають нагоду складати іспити у Львові в Актуарному навчально-інформаційному центрі УАТ при Національному університеті „Львівська політехніка”.

Актуарій повинен знати:

  •  математику і статистику;
  •  економіку, бухгалтерський облік, фінанси та інвестиції;
  •  ризики, пов’язані з бізнесом;
  •  управління бізнесом і законодавство;
  •  економічні і соціальні тенденції;
  •  комп’ютерні програми, серед них бази даних і електронні таблиці.

Кар’єра актуарія практично гарантує інтелектуальний злет, професійний статус, задоволення від роботи і високий заробіток. Фінансові стимули професії дуже вагомі. Навіть актуарій-початківець може претендувати на зарплату від 33 000 до 40 000 фунтів за рік у Великобританії і від 60 000 до 100 000 США в Північній Америці. Довідатись про професію та зарплату актуаріїв можна на вебсайті www.dwsimpson.com.

1.4. Розвиток професії актуарія в Україні

Українське актуарне Товариство (УАТ) було засноване 17 вересня 1999 року на Першому Установчому Конгресі.

УАТ поєднує спеціалістів у сфері актуарної і фінансової математики, які мають професійну актуарну кваліфікацію, а також володіють правом здійснювати актуарні розрахунки.

Основними цілями УАТ є:

  •  підтримувати професійний рівень актуарної діяльності і захищати права й інтереси актуаріїв;
  •  застосовувати методи актуарної і фінансової математики в страхуванні, а також в інвестиційній і банківській сферах;
  •  організовувати і проводити професійні навчальні програми, а також підготовчі курси для актуаріїв;
  •  розвивати актуарну професію і допомагати студентам-актуаріям у навчанні;
  •  розвивати зв’язки з міжнародними професійними актуарними організаціями.

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Хто такий актуарій?

2. Що виступає предметом актуарних розрахунків?

3. Яка мета актуарних розрахунків?

4. Яке завдання актуарних розрахунків?

5. Як стати актуарієм?

6. Назвіть етапи розвитку професії актуарія в Україні.

 

 


Тема 2.

Тема 2. Розподіл тривалості життя. Таблиці життя (смертності)

План

2.1. Модель. Функція дожиття. Тривалість подальшого життя для особи віку

2.2. Сила смертності

2.3. Аналітичний розподіл для майбутнього життя

2.4. Вкорочений час майбутнього життя для

2.5. Таблиці життя (смертності). Основні математичні характеристики таблиць смертності

2.6. Ймовірності смерті для частин року

2.7. Глосарій

2.1. Модель. Функція дожиття. Тривалість подальшого життя для особи віку

Розглянемо людину в віці років, ми також будемо говорити “життя в віці ”, позначаючи це так: . Час її майбутнього життя позначимо через , або точніше . Таким чином,  - це вік людини в момент смерті.

Час майбутнього життяє випадковою величиною з  функцією розподілу ймовірності

, .                                             (1.1)

Функція  визначає ймовірність того, що людина помре протягом наступних  років, для довільного фіксованого . Ми вважаємо, що функція , розподіл ймовірності для , відома. Також вважаємо  неперервною з щільністю ймовірності . Таким чином, можна записати

,                                       (1.2)

що є ймовірністю того, що смерть наступить в нескінченно малий інтервал часу між  і  (або того, що вік життя  в момент смерті буде знаходитися між  та ).

Необхідні нам ймовірності та середні значення можна виразити через функції  и . Проте, міжнародне актуарне товариство використовує свої позначення, які будемо використовувати і ми. Наприклад, імовірність того, що життя  помре протягом наступних  років, позначається символом . Таким чином, справедливою є рівність

.                                                (1.3)

Аналогічно,

                                            (1.4)

означає ймовірність того, що життя  виживає протягом щонайменше  наступних років. Ще один символ, який часто використовується

         (1.5)

означає ймовірність того, що життя  виживе протягом  років, а потім помре протягом  років.

Позначимо через  умовну ймовірність того, що людина, досягнувши віку , виживе протягом наступних  років. Тоді

.                          (1.6)

Аналогічно, визначається

,                       (1.7)

що є умовною ймовірністю смерті протягом  років після досягнення віку .

Наведемо тотожності, які часто використовуються

                 (1.8)

і

.         (1.9)

Ці тотожності мають очевидну інтерпретацію.

Очікуваний час майбутнього життя людини віку  є, що позначається через  і визначається формулою

,                                               (1.10)

або через функцію розподілу

.                                 (1.11)

Якщо , символ  як правило опускається в позначеннях , , . Таким чином,  - це ймовірність смерті протягом одного року,   - ймовірність виживання протягом  років і заступлення смерті протягом одного року.

2.2. Сила смертності

Сила смертності життя  в момент досягнення віку  визначається співвідношенням

.                        (2.1)

З (1.2) и (1.4) можна отримати інше співвідношення для ймовірності смерті в інтервалі між  і :

.                                   (2.2)

Середній час майбутнього життя для  може бути записаний у вигляді

.                                           (2.3)

Апроксимація

                                               (2.4)

справедлива для малих значень , що можна перевірити перестановкою значень  і  в (1.9) и порівняння результату з (2.2).

Силу смертності можна визначити також співвідношенням

.                                        (2.5)

Інтегрування (2.5) дає

.                                          (2.6)

2.3. Аналітичний розподіл для майбутнього життя

Будемо називати функцію  аналітичним або «математичним» розподілом ймовірності, якщо вона може бути виражена простою формулою.

В минулому були намагання отримати універсальні аналітичні записи для , виходячи з деяких базисних постулатів. Ці спроби на сьогодні вважаються щонайменше наївними.

Аналітична формула має ту перевагу, що   може бути безпосередньо підрахована через малу кількість числових параметрів. Статистичні методи більш доступні, коли невелика кількість параметрів підлягає оцінюванню.

Аналітичні формули є також привабливими з точки зору теоретичних досліджень.

Наведемо деякі приклади аналітичних розподілів, які носять імена їх „творців”.

Де Муавр (De Moivre 1724) постулював існування максимального терміну життя  для людини і вважав, що  рівномірно розподілене між віком життя 0 і , тобто, що   для . Сила смертності тоді набуває вигляду

, ,                                   (3.1)

що є зростаючою функцією по .

Гомпертц (Gompertz 1824) постулював, що сила смертності зростає по експоненті

, ,                                       (3.2)

що краще описує смертність чим закон Де Муавра і в додаток не вимагає введення максимального віку життя .

Закон (3.2) був узагальнений Мекхемом (Makeham 1860), який запропонував закон

, .                                  (3.3)

Закон смертності Мекхема додає константу, незалежну від віку компоненту , до експоненціально зростаючої сили смертності (3.2).

Спеціальні випадки законів смертності Гомпертца (при ) и Мекхема (при ) описують постійну силу смертності. Розподіл ймовірності для  стає в цьому випадку експоненційним. Проте цей розподіл не відображає реальну картину смертності людей.

З (3.3) і (2.6), поклавши , імовірність виживання в моделі Мекхема можна записати у вигляді

,                                  (3.4)

Вейбул (Weibull 1939) запропонував представляти силу смертності степеневою функцією від , а не експоненційною

,                                           (3.5)

с фіксованими  параметрами  и . Імовірність  виживання тоді запишеться

.                         (3.6)

2.4. Вкорочений час майбутнього життя для

Повертаючись до загальної моделі, яка була запропонована в розділах 1 і 2, визначимо випадкові змінні , , , які тісно пов’язані з випадковою змінною .

Назвемо , кількість повних років, які прожиті життям  у майбутньому, вкороченим часом майбутнього життя для . Розподіл ймовірності цілочисельної випадкової змінної  визначається формулою

                       (4.1)

для . Середнє значення  називається середнім вкороченим часом майбутнього життя для  і позначається . Тому

                     (4.2)

або

.                           (4.3)

Використання середнього вкороченого часу життя має переваги, оскільки (4.1) і (4.2) легше  оцінити, чим (1.11) і (2.3). Іншою перевагою є те, що для знаходження   достатньо знати розподіл .

Нехай   - та частина року смерті , протягом якої він живий, тобто

.                                                  (4.4)

Випадкова змінна  має неперервний розподіл між 0 і 1. Наближуючи її середнє значення величиною ½, ми знайдемо з (4.4) апроксимацію

,                                                     (4.5)

яка може бути використана на практиці для середнього часу майбутнього життя для .

Нехай  і  - незалежні випадкові змінні, так що умовний розподіл для , при заданому , не залежить від ; тоді

                                      (4.6)

не залежить від аргументу , отже можна записати, що

                                             (4.7)

для ,  і деякої функції .

Якщо обрати  (рівномірний розподіл між 0 і 1), то апроксимація  (4.5) стає точною. Більше того, використовуючи (4.6) і постульовану незалежність, дисперсію  можна записати у вигляді

або .                                         (4.8)

Для додатних цілих  визначимо випадкову змінну

.                                              (4.9)

Таким чином,  отримується з  округленням до наступного більшого кратного . Розподіл  зосереджений в точках . Зауважимо, що незалежність між  і  веде за собою незалежність між  і . Крім цього, якщо  рівномірно розподілена між 0 і 1, то  має дискретний рівномірний розподіл.

2.5. Таблиці життя (смертності). Основні математичні характеристики таблиць смертності 

Розподіл імовірності майбутнього життя людини в віці  може бути побудований на основі відповідної таблиці життя.

Таблиця життя – це за своєю суттю таблиця однорічних імовірностей смерті , яка повністю визначає розподіл .

Таблиці життя будуються на основі статистичних даних. Побудова таблиці життя використовує техніку оцінювання, вирівнювання і екстраполяції, що застосовується для врахування змін властивостей смертності від часу.

Таблиці смертності будуються для конкретних груп населення, які класифікуються за такими факторами як стать, раса, покоління і тип страхування. Вихідний вік  дає великий вплив при побудові таких таблиць. Наприклад, нехай  означає вік, коли людина купує контракт страхування життя. Оскільки страхування здійснюється тільки для людей з добрим здоров’ям (часто тільки після медичної перевірки), природно сподіватися, що людина, яка тільки що купила контракт на страхування, буде мати краще здорові при інших (зокрема вік) рівних факторах. Це явище враховується за допомогою таблиць життя з відбором. В таблицях життя з відбором ймовірність смерті вирівнюється у відповідності з віком входу у відібрану групу. Таким чином,  - це однорічна ймовірність смерті для  з віком на вході . Відбір веде до нерівностей

.                                   (5.1)

Ефект відбору як правило пропадає через декілька, скажімо, через , років після входу. Ми вважаємо, що

.                              (5.2)

Період  називається періодом відбору, і таблиця, яка використовується після закінчення періоду відбору, називається таблицею життя без відбору.

Розглянемо людину, яка купує контракт страхування життя у віці . При періоді відбору 3 роки такі ймовірності необхідні для визначення розподілу :

.                             (5.3)

Якщо елементи таблиці життя залежать тільки від досягнутого віку , вона називається об’єднаною таблицею життя. Вона зручна тим, що має тільки один вхідний параметр на відміну від таблиці з відбором, яка має два вхідних параметри. Однорічна імовірність смерті для даного досягнутого віку в об’єднаній таблиці життя зазвичай дорівнює зваженому середньому відповідних ймовірностей в таблицях з відбором і без відбору.

Хоча неважко користуватись таблицею життя з відбором, (див. наприклад (5.3)), ми будемо в подальшому для спрощення використовувати позначення об’єднаної таблиці життя.

2.6. Ймовірності смерті для частин року

Розподіл для  і суміжні величини можуть бути підраховані, виходячи з таблиці життя. Наприклад,

, ,                     (6.1)

з (1.8). Для отримання розподілу  з допомогою інтерполяції повинні бути зроблені припущення про ймовірності смерті , або силі смертності  для проміжних значень віку  ( ціле і ).

Ми вивчимо такі три ситуації.

Ситуація А: лінійність

Якщо припустити, що  - лінійна функція від , інтерполяція між 0 і 1 дає

.                                                   (6.2)

Ми бачили в розділі 2.4, що це відповідає випадку, коли  та  незалежні, і  рівномірно розподілене між 0 і 1. Тоді

                                                (6.3)

і (2.5) дає

.                                               (6.4)

Ситуація Б:  є сталою

Часто використовується припущення про те, що сила смертності є сталою на кожному одиничному інтервалі. Позначимо стале значення () через . Використовуючи (2.5), отримаємо

.                                                (6.5)

Звідси маємо, що

.                                         (6.6)

З (4.6) отримуємо

.                                   (6.7)

Таким чином, умовний розподіл для при заданому є вкороченим експоненціальним розподілом і залежить від . Випадкові змінні  і  в цьому випадку не є незалежними.

Ситуація В: лінійність 

Ця гіпотеза, відома в Північній Америці як припущення Бальдуччі (Balducci), визначає

.                                               (6.8)

Звідси маємо

.                                  (6.9)

З використанням (2.5) отримуємо

,                                         (6.10)

звідки

.                          (6.11)

Звідси видно, що при гіпотезі Бальдуччі випадкові змінні і  не є незалежними.

При кожному з трьох припущень сила смертності є розривною в цілих точках. Більш незвичайним є той факт, що при припущенні Бальдуччі сила смертності спадає між послідовними цілими, див. (6.10).

При  обидві величини (6.7) і (6.11) прямують до . Таким чином, якщо ймовірності смерті є малими,  «приблизно» рівномірно розподілена і не залежить від  (навіть в припущеннях Б чи В).

2.7. Глосарій

Життя в віці

Life aged

Життя

Life

Час майбутнього життя

Future lifetime

Випадкова змінна

Random variable

Ймовірність

Probability

Функція розподілу імовірності

Probability distribution function

Нескінченно малий

Infinitesimal

Середнє значення

Expected value

Сила смертності

Force of mortality

Вкорочений час майбутнього життя

Curtate future lifetime

Таблиця життя

Life table

Таблиця життя з відбором

Select life table

Період відбору

Select period

Таблиця життя без відбору

Ultimate life table

Об’єднана таблиця життя

Aggregate life table

Контракт

Policy

Страхування життя

Life insurance

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що визначає функція G (t)?

2. Як визначити очікуваний час майбутнього життя людини віку х ?

3. Що таке сила смертності і як вона визначається?

4. Як звучить закон Де Мавра?

5. Як запропонував представити силу смертності вчений Вейбул?

6. Що таке вкорочений час майбутнього життя для (х)?

7. Дайте визначення поняттю «таблиця смертності»?


Тема 3.

Тема 3. Моделі страхування життя

План

3.1. Поточне значення виплати. Чиста одинична премія

3.2. Прості види страхування

3.3. Виплати в момент смерті

3.4. Загальні види страхування життя

3.5. Стандартні види змінного страхування життя

3.6. Рекурентні формули

3.1. Поточне значення виплати. Чиста одинична премія

За контрактом (полісом) страхування існує єдина виплата – виплата застрахованої суми. Момент і розмір цієї виплати  можуть бути функціями випадкової змінної , яка була введена в темі 2. Тому момент і розмір виплати можуть бути самі по собі випадковими  величинами.

Поточне значення виплати позначається через ; воно розраховується на основі фіксованої відсоткової ставки  (технічна відсоткова ставка). Очікуване поточне значення виплати, математичне сподівання , - це  чиста одинична премія контракту. Проте, ця премія зовсім не відображає ризик, який приймає на себе страхувальник. Для врахування ризику необхідні подальші характеристики розподілу випадкової змінної , наприклад її варіація.

3.2 Прості види страхування

3.2.1. Термінове і безтермінове страхування

Безтермінове страхування передбачає виплату одиничної суми наприкінці року смерті. В цьому випадку розмір виплати фіксований, а час виплати  є випадковою величиною. Її поточне значення визначається

.                                                               (2.1)

Випадкова змінна  набуває значення ,  її розподіл визначається співвідношенням (2.1) і розподілом змінної :

                                     (2.2)

для . Чиста одинична премія позначається через  і дорівнює

.                                    (2.3)

Варіація змінної  обчислюється за формулою

.                                                 (2.4)

Замінивши  через , ми отримуємо

,                                                   (2.5)

що є чистою одиничною премією, яка розрахована при подвоєній відсотковій ставці. Таким чином,  обчислити варіацію не складніше, чим обчислити одиничну страхову премію.

Страхування, при якому виплата здійснюється тільки тоді, коли смерть наступає протягом перших  років, відоме під назвою термінове страхування з терміном . При цьому виплата, як і в попередньому випадку, здійснюється наприкінці року смерті. У цьому випадку маємо

                                           (2.6)

Чиста одиночна премія, яка позначається як , визначається

.                                           (2.7)

Другий момент знову  дорівнює чистій одиночній премії при подвоєній відсотковій ставці, що видно із співвідношення

                                        (2.8)

3.2.2. Чисте дожиття

Чисте дожиття з терміном  років забезпечує виплату застрахованої суми тільки у випадку, якщо застрахований живий наприкінці терміну  років:

.                                                      (2.9)

Чиста одиночна премія позначається через  і обчислюється

.                                                          (2.10)

Формула варіації для змінної, яка розподілена за законом Бернуллі, має  вид

.                                                    (2.11)

3.2.3. Дожиття

Нехай застрахована сума виплачується наприкінці року смерті, якщо вона відбудеться протягом перших  років, і наприкінці -го року в протилежному випадку:

.                                       (2.12)

Чиста одиночна премія позначається через . Позначивши поточне значення з (2.6) через , а з (2.9) – через , маємо

.                                                          (2.13)

Як наслідок, отримаємо

                                                    (2.14)

і

.                           (2.15)

Добуток завжди дорівнює нулю, тому

.                       (2.16)

Отже, варіація  дорівнює

.                                (2.17)

З останньої рівності випливає, що ризик при продажу контракту на дожиття, що вимірюється варіацією, менший ризику, який приймається страхувальником при продажі термінового контракту одній людині і контракту на чисте дожиття іншій.

До цього часу, для спрощення, ми припускали, що застрахована сума дорівнює 1. Якщо насправді вона дорівнює , тоді чиста одиночна премія може бути отримана множенням на , а варіація – множенням на .

Розглянемо на закінчення відкладене на  років безтермінове страхування. Його поточне значення дорівнює

.                                                     (2.18)

Чиста одиночна премія позначається через . Інші представлення премії мають вид

,                                                      (2.19)

.                                                        (2.20)

Другий момент  знову дорівнює чистій одиночній премії при подвоєній відсотковій ставці.

3.3. Виплати в момент смерті

До цього часу припускалось, що застрахована сума виплачується наприкінці року смерті. Це припущення не відображає практику страхування, але має ту перевагу, що формули можуть бути отримані безпосередньо за таблицею смертності.

Припустимо тепер, що застрахована сума виплачується в момент смерті . Поточне значення виплати 1 відразу в момент смерті обчислюється

                                                               (3.1)

Чиста одиночна премія позначається . З використанням формули (2.2) теми 2 ми знаходимо, що

.                                                  (3.2)

Корисну апроксимацію можна отримати, використовуючи ситуацію А розділу 6 теми 2. Записавши

,                                           (3.3)

і вважаючи і  незалежними випадковими змінними, а змінну рівномірно розподіленою, з рівності

                                      (3.4)

отримуємо

.                                        (3.5)

Таким чином, обчислення   зводиться до обчислення .

Подібні формули можна отримати для термінового страхування. Для страхування на дожиття множник  використовується тільки в доданку, який відповідає терміновому страхуванню:

.                   (3.6)

На кінець, припускаючи, що застрахована сума виплачується наприкінці -ої частини року смерті, тобто в момент  в позначеннях розділу 4 теми 2. Поточне значення безтермінового страхування одиничної суми обчислюється

.                                                         (3.7)

При підрахунку чистої одиночної премії ми знову використовуємо ситуацію А розділу 6 теми 2. Ми записуємо

                                             (3.8)

в рівності (3.7) і, припускаючи незалежність  і , маємо

.                                              (3.9)

Звідси остаточно

.                                (3.10)

Рівність (3.5) може бути отримана з (3.10) граничним переходом .

3.4. Загальні види страхування життя

Розглянемо контракти страхування життя, для яких виплати змінюються з року в рік, припускаючи, що застрахована сума виплачується наприкінці року смерті. Якщо через  позначено суму, яка застрахована протягом -го року з  моменту укладання контракту, то

.                                                             (4.1)

Розподіл  і, зокрема, чисту одиночну премію, а також вищі моменти, легко підрахувати за формулою

.                                          (4.2)

Такий контракт може бути представлений як комбінація контрактів відкладеного  страхування, кожен з яких має фіксовану застраховану суму. Тоді чиста одиночна премія може бути обчислена

.                                  (4.3)

У випадку, коли страхування покриває тільки термін  років, тобто при , контракт можна також представити у вигляді комбінації контрактів термінового страхування, які вступають в силу негайно:

.                   (4.4)

Вирази (4.3), (4.4) можна застосовувати при обчисленні чистої одиночної премії, але не при знаходженні вищих моментів для .

Якщо виплати за контрактом проводяться негайно в момент смерті, застрахована сума може в загальному випадку бути функцією, і тоді ми маємо

.                                                                (4.5)

Чиста одиночна премія дорівнює

.                                                        (4.6)

Реально обчислення чистої одиночної премії може бути зведено до викладок по дискретній моделі, див. (4.2) у випадку . З

,                                   (4.7)

маємо

,                                                (4.8)

де вводиться позначення

.                                             (4.9)

Умовний розподіл для , при , необхідний  для обчислення виразу (4.9). Два припущення відносно смертності для дробового віку можуть бути застосовані з тією ж метою.

Ситуація А розділу 6 теми 2 дає

,                                                     (4.10)

а ситуація Б того ж розділу приводить до співвідношення

.                                 (4.11)

В якості ілюстрації розглянемо випадок експоненціальнозростаючої застрахованої суми . Це зводить формулу (4.10) до

.                                                        (4.12)

Зауважимо, що  дає нам (3.5). Формула (4.11) зводиться до

.                                      (4.13)

(якщо знаменник в (4.12) або (4.13) перетворюється в нуль, то за правилом Лопіталя дріб дорівнює . Це відповідає випадку, коли підінтегральна функція в (4.10) і (4.11) відповідно не залежить від .

3.5. Стандартні види змінного страхування

Розглянемо стандартні види страхування при виплатах застрахованої суми наприкінці року смерті. Чиста одиночна премія може бути легко підрахована і може бути використана також у випадку виплати застрахованої суми негайно в момент смерті.

Розглянемо лінійно зростаюче безтермінове страхування, коли . Поточне значення контракту дорівнює

.                                                        (5.1)

Чиста одиночна премія позначається через  і дорівнює

.                                     (5.2)

Для відповідного термінового страхування на термін  років маємо

.                                    (5.3)

Чиста одиночна премія позначається через  і отримується обмеженням сумування в (5.2) першими  доданками. Подібно до (4.3), (4.4), ми можемо записати

                                    (5.4)

.                              (5.5)

Очевидною є різниця між  і - друга величина дорівнює сумі першої і чистої одиночної премії для контракту на чисте дожиття терміном  років.

Виплати по лінійно спадаючому терміновому страхуванню спадають лінійно від  до нуля, тому

.                                     (5.6)

Контракти з лінійним спаданням як правило використовуються для гарантованого повернення позики, за умови, що поточний борг за позикою у відповідності до плану амортизації позики також спадає лінійно. Рівності

                                           (5.7)

                                  (5.8)

очевидні.

Розглянемо тепер контракти з виплатою в момент смерті, тобто  в формі (4.5) з деякою функцією. Для таких контрактів далі в цьому розділі будемо використовувати  ситуацію А.

Якщо застрахована сума збільшується щорічно, то ми маємо, тому

.                                                                     (5.9)

Чиста одиночна премія позначається . Обчислюючи математичне сподівання величини

                                                       (5.10)

і використовуючи постульовану незалежність  і , а також (3.4), отримаємо практичну формулу

.                                                               (5.11)

Нехай тепер виплата зростає  раз на рік, кожен раз на :

.                                                             (5.12)

Відповідна чиста одиночна премія позначається через . Зауважимо, що (5.12) можна записати у вигляді

.                                           (5.13)

При обчисленні чистої одиночної премії ми використовуємо незалежність випадкових величин , , а також співвідношення

.                               (5.14)

Звідси отримаємо

.                                           (5.15)

Використовуючи співвідношення (3.5) і (5.11), знаходимо

.                                       (5.16)

Цей вираз може бути обчислений безпосередньо.

У випадку неперервнозростаючої застрахованої суми  поточне значення дорівнює

,                                                                    (5.17)

а чиста одиночна премія визначається співвідношенням

,                                              (5.18)

яке отримане з (5.16) граничним  переходом .

Формули (5.11), (5.26) і (5.18) можуть бути отримані підстановкою деякої функції  в (4.10). Наприклад, підстановка  приводить до

,                          (5.19)

що дає (5.18).

Аналогічні формули справедливі для відповідних термінових контрактів. Наприклад,

.                                   (5.20)

Вправа. Доведіть (5.20) на основі (5.16).

Нарешті, розглянемо контракт -річного неперервного контракту страхування з початковою сумою страхування , яка зменшується  раз на рік, кожен раз на :

.                                        (5.21)

Цей контракт, очевидно, може бути представлений у вигляді різниці між терміновим страхуванням з постійною застрахованою сумою і терміновим контрактом з лінійно зростаючою виплатою. Чиста одиночна премія дорівнює

.                                       (5.22)

3.6. Рекурсивні формули

Рекурсивні формули можуть бути використані для написання алгоритмів і, крім цього, вони мають цікаву теоретичну інтерпретацію.

Почнемо з безтермінового контракту страхування одиничної суми з виплатою наприкінці року смерті. Очевидно, справедливим є рівняння

.                                                      (6.1)

Таким чином, значення  можуть бути знайдені рекурсивно, починаючи з максимально можливого віку. Рекурсивне рівняння може бути доведене алгебраїчно підстановкою співвідношення

                                                       (6.2)

у всі доданки, крім першого, суми (2.3). Імовірнісне доведення може бути побудоване на властивості

.                         (6.3)

Змістовна інтерпретація (6.3): чиста одиночна премія для віку  дорівнює очікуваному значенню випадкової змінної, визначеної як дисконтована сума страхування у випадку смерті протягом року, і дисконтової чистої одиночної премії для віку  у випадку виживання.

Друга інтерпретація також стає очевидною, якщо ми запишемо (6.1) у вигляді

.                                                           (6.4)

Перш за все, кількість  потрібно зарезервувати в будь-якому випадку (смерть чи  виживання). У випадку смерті додаткова сума  необхідна для забезпечення  виплати. Чиста одиночна премія термінового контракту терміном на 1 рік з такою страховою сумою дорівнює.

Застосувавши (6.4) до віку , ми отримаємо

, .                                 (6.5)

Помноживши попереднє рівняння на  і сумуючи за всіма значеннями , отримуємо

,                                                (6.6)

так що чиста одиночна премія для віку , очевидно, дорівнює сумі чистих одиночних премій серії термінових однорічних контрактів.

Рівняння (6.4) можна також записати у вигляді

.                                              (6.7)

Таким чином, дохід по відсотку має подвійну дію: з однієї сторони він збільшує чисту одиночну премію (від віку  до віку ), с іншої сторони, він покриває терміновий фіктивний однорічний контракт.

Неперервним аналогом рекурсивної формули є диференційне рівняння. Розглянемо , яке є очікуваним значенням для . При  ми маємо

.         (6.8)

Звідси

.                               (6.9)

Поділивши на  і спрямовуючи , отримуємо

.                                                 (6.10)

Це рівняння можна переписати в формі, аналогічній (6.7):

.                                                 (6.11)

Диференційне рівняння має аналогічну (6.7) інтерпретацію для нескінченно малого інтервалу часу, що очевидно при множенні (6.11) на .

3.7. Глосарій

Безтермінове страхування життя

Whole life insurance

Варіація

Variance

Дробовий вік

Fractional age

Застрахована сума (страхова сума, сума страхування)

Sum insured

Позика

Loan

Лінійно зростаюче (спадаюче) страхування життя

Standard increasing (decreasing) life insurance

Очікуване поточне значення

Expected present

Value

Відкладене страхування

Deferred insurance

Термінове страхування

Term insurance

Застрахований

Insured Страхователь (т.е., застрахованный)

Страховик

Insurer

Таблиця смертності

Life table

Поточне значення

Present value

Технічна відсоткова ставка

Technical rate of interest

Умовний розподіл

Conditional distribution

Чиста одиночна премія

Net single premium

Чисте дожиття

Pure endowment

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що таке чиста одинична премія?

2. Які є основні види страхування?

3. Які умови безтермінового страхування?

4. Чим відрізняються умови страхування чистого дожиття від страхування дожиття?

5. Як визначити чисту одиничну премію, коли виплати передбачаються в момент смерті?

6. Перелічіть прості види страхування?

7. За якою формулою визначається чиста одинична премія для чистого дожиття?

8. Які є стандартні види змінного страхування?

9. Охарактеризуйте лінійно зростаюче безтермінове страхування?


Тема 4.

Тема 4. Страхові аннуїтети

План

4.1. Що таке аннуїтет?

4.2. Прості види аннуітетів. Аннуїтети пренумерандо і постнумерандо

4.3. Виплати декілька разів на рік

4.4. Змінні аннуітети

4.5. Стандартні типи аннуітетів життя

4.6. Рекурентні формули

4.7. Нерівності

4.8. Виплати для дробового віку

4.1. Що таке аннуїтет?

Аннуїтет – це виплата кредиту рівними платежами, які включають частину основної суми кредиту, що нараховуються на залишок заборгованості за кредитом. З іншої сторони аннуїтет розглядають як угоду або контракт зі страховою компанією, за якими фізична особа здобуває право на регулярні надходження певної суми (пенсії або ренти), починаючи з певного часу, наприклад виходу на пенсію.

Аннуїтет життя складається з серії платежів, які здійснюються, поки застрахований у віці   живий. Тому аннуітет життя може розглядатися як терміновий аннуітет з терміном, який залежить від часу життя, яке залишилось прожити. Тому поточне значення стає випадковою величиною, яку ми позначимо через .

Одиночна нетто-премія аннуітету життя  – це його очікуване поточне значення . Взагалі кажучи, розподіл  і його моменти також є важливими характеристиками при докладному аналізі.

Аннуітет життя може, з однієї сторони, бути виплатою за страховим контрактом в комплексі з с контрактом на чисте дожиття, з другої, періодичні виплати премії також можуть розглядатися як аннуітет життя з зі зміною алгебраїчного знаку.

4.2. Прості види аннуітетів. Аннуїтети пренумерандо і постнумерандо

Ми розглядаємо аннуітет pre-numerando всього життя, який забезпечує щорічну виплату одиничної суми, доки клієнт живий. Виплати здійснюються в моменти . Поточне значення цього потоку платежів дорівнює

.                                                               (2.1)

Розподіл імовірності цієї випадкової величини визначається співвідношенням

                                     (2.2)

для . Чиста одиночна премія позначається через  і дорівнює очікуваному значенню (2.1)

.                                    (2.3)

Очікуване значення (2.1) можна також виразити у вигляді

,                                                 (2.4)

де  - індикаторна функція події. Середнє значення (2.4) дорівнює

.                                                   (2.5)

Отже, ми отримали два співвідношення для чистої одиночної премії аннуітету pre-numerando всього життя. В виразі (2.3) ми розглядаємо весь аннуітет як одне ціле, в той час як в (2.5) ми представляємо його у вигляді складових чистого дожиття.

Чисту одиночну премію можна також виразити в термінах чистої одиночної премії страхування всього життя. Чиста одиночна премія (2.1) дорівнює

.                                                 (2.6)

(Цю формулу можна також отримати, розглядаючи аннуітет життя як різницю двох нескінченних аннуітетів pre-numerando, які починаються в момент 0 і в момент ). Усереднюючи, отримаємо

,                                                     (2.7)

що можна інтерпретувати як позику одиничної суми з річною відсотковою ставкою pre-numerando з остаточною виплатою 1 наприкінці року смерті. Очевидно, моменти величини  також можуть бути отримані з (2.6), наприклад

.                                                (2.9)

Поточне значення термінового на час  років аннуітету pre-numerando дорівнює

                                           (2.10)

Подібно (2.3) і (2.5) чиста одиночна премія може бути виражена як

.                                           (2.11)

або

.                                              (2.12)

Тепер ми маємо

,                                                        (2.13)

але  визначається (2.12). Звідси отримаємо

,                                                  (2.14)

або

.                                                    (2.15)

Відповідний post-numerando аннуітет життя відповідає платежам в моменти часу :

.                                       (2.16)

Випадкові величини (2.1) і (2.16) відмінні на 1. Тому чиста одиночна премія  визначається співвідношенням

.                                                    (2.17)

З курсу основ фінансової математики відомо, що

.                                           (2.18)

Усереднюючи, отримуємо

,                                              (2.19)

що є аналогом (2.8).

Поточне значення відкладеного на  років аннуітету життя pre-numerando зі щорічними платежами одиничної суми дорівнює

                                        (2.20)

Чиста одиночна премія може бути отримана на підставі одного з двох очевидних співвідношень

,                                             (2.21)

.                                                (2.22)

4.3. Виплати декілька разів на рік

Розглянемо випадок, коли виплати суми  проводяться  разів на рік, тобто в моменти часу , поки людина  жива. Чиста одиночна премія такого аннуітету позначається . По аналогії з (2.8) ми маємо

.                                             (3.1)

Звідси отримуємо

.                                        (3.2)

Це рівняння можна інтерпретувати так: Аннуітет життя, який виплачується  разів на рік, можна розглядати як різницю двох вічних аннуітетів, які починаються в моменти 0 і . Усереднюючи, отримаємо (3.2).

Для отримання виразу  через  ми знову використаємо ситуацію А розділу 6 теми 2, звідки формула (3.10) теми 3 дозволяє виразити з (3.2) в термінах . Замінюючи потім , ми можемо записати (3.2) у вигляді

.                                      (3.3)

Ввівши позначення

и ,                                  (3.4)

ми можемо записати (3.2) коротше

.                                            (3.5)

При  коефіцієнти  і  протабульовані нижче для  (помісячні платежі) і  (неперервні платежі).

M

12

1.000197

0.46651

1.000198

0.50823

Як правило використовується апроксимація

, .                                                 (3.6)

Ця апроксимація отримується з розкладу  ряд Тейлора коефіцієнтів в околі , тобто

,                                          (3.7)

.                                      (3.8)

Очевидно, що ця апроксимація корисна тільки у випадку, коли сила відсотку достатньо мала.

Чиста одиночна премія термінового аннуітету життя pre-numerando з  платежами щорічно може бути тепер виражена з використанням  і :

.         (3.9)

Чисту одиночну премію аннуітету post-numerando можна обчислити в термінах відповідних аннуітетів pre-numerando:

.                                             (3.10)

Повернемося до обчислення . Рівняння (2.8) і (3.1) дають точне співвідношення

,                            (3.11)

яке можна інтерпретувати так: Аннуітет життя з лівої сторони означає виплати суми  в моменти часу  і дорівнює різниці двох термінових аннуітетів, перший з виплатами в моменти , а другий – в моменти . Другий терміновий аннуітет в свою чергу може розглядатися як різниця двох нескінченних  аннуітетів (які починаються в моменти  і ). Перший терміновий аннуітет має таке ж поточне значення, як аннуітет pre-numerando з  щорічними виплатами сумі. Усереднюючи ці поточні значення, отримуємо (3.11).

При ситуації А використання (3.10) дає

.                                         (3.12)

Ця формула має очевидну інтерпретацію, на відміну від математично еквівалентної формули (3.5).

4.4. Змінні аннуітети

Розглянемо аннуітети життя, для яких виплати дорівнюють  в моменти часу . Поточне значення дорівнює

,                                             (4.1)

а чиста одиночна премія визначається співвідношенням

.                                           (4.2)

Розглянемо тепер загальний аннуітет з виплатами  в моменти часу . Почнемо з заміни  виплат протягом кожного року однією річною виплатою на початку року:

, .                              (4.3)

Коректуючий доданок для року смерті означає від’ємне страхування, застрахована сума в проміжку ,  дорівнює поточному значенню пропущених виплат

,                                (4.4)

де  - множина тих індексів, для яких . Для обчислення  одиночної премії ми використаємо ситуацію А і діємо по аналогії з розділом 4 лекції 3. Підставляючи (4.4) в вираз (4.10) лекції 3, отримуємо

.           (4.5)

Чиста одиночна премія для загального аннуітету життя з  виплатами протягом кожного року дорівнює

,                             (4.6)

з коефіцієнтами, які визначаються з (4.3) і (4.5)

Випадок неперервно виплачуваного аннуітету отримується спрямуванням . Нехай виплата в момент  дорівнює . Тоді поточне значення виплат визначається співвідношенням

.                                                       (4.7)

Чиста одиночна премія

                                              (4.8)

може бути обчислена з використанням формули (4.6), якщо коефіцієнти визначити співвідношенням

, .                          (4.10)

Розглянемо приклад неперервного аннуітету життя з експоненціальним зростанням

.                                                           (4.11)

З (4.9) і (4.10) отримаємо

                                                    (4.12)

і

                                        (4.13)

при , і

,                                             (4.14)

при . В випадку постійної величини виплат () рівності (4.12) і (4.13) спрощуються

, ,                                               (4.15)

що відповідає  (3.12).

4.5. Стандартні типи аннуітетів життя

Розглянемо аннуітет життя в формі (4.1) при . Його чиста одиночна премія, яка позначається , може бути безпосередньо визначена з (4.2).

Просте співвідношення пов’язує  і . Замінюючи  на  в тотожності

,                                                        (5.1)

і беручи середні значення, отримаємо

,                                                        (5.2)

що нагадує нам (2.8).

Перейдемо до випадку  платежів на рік зі щорічним збільшенням

, .                                               (5.3)

Чиста одиночна премія такого аннуітету життя позначається . Представивши цей аннуітет у вигляді суми відкладених аннуітетів, з врахуванням (3.5) отримаємо

.            (5.4)

Цей вираз можна обчислити безпосередньо.

Поклавши , отримаємо відповідний неперервний аннуітет з інтенсивністю платежів . Його чиста одиночна премія дорівнює

.                          (5.5)

Поточне значення неперервного аннуітету життя з інтенсивністю платежів  дорівнює

.                                          (5.6)

Усереднення дає формулу

.                                                        (5.7)

Цей вираз можна оцінити з використанням співвідношення (5.18) теми 3 і рівності (3.5) при .

Отримання відповідних формул стандартного спадного і термінового аннуітетів залишається в якості вправи.

4.6. Рекурентні формули

Обмежимося аналізом рекурентних формул для функції . Замінивши  на  у всіх, крім першого, доданку рівності (2.5), отримаємо

.                                                       (6.1)

Значення  можна підрахувати послідовно, починаючи з максимально можливого віку.

Вираз (6.1) можна представити в еквівалентній формі

.                                                 (6.2)

Звідси видно, що чиста одиночна премія забезпечує платіж вперед для віку  плюс поточне значення чистої одиночної премії для віку  мінус очікуване зменшення з причини смертності.

Застосування (6.2) до віку  дає

.                                                   (6.3)

Помноживши це співвідношення на  і сумуючи по , отримаємо

.                                                  (6.4)

Тому чиста страхова премія може розглядатися як поточне значення нескінченного аннуітету, зменшеного кожного року з врахуванням смертності.

Нарешті, запишемо (6.2) в формі

,                                               (6.5)

звідки очевидним є залежність прибутку від відсоткової ставки.

По аналогії з (6.5) можна отримати диференціальне рівняння

                                                       (6.6)

підстановкою співвідношень

,                                                (6.7)

в формулу (6.11) лекції 3.

4.7. Нерівності

Чисту одиночну премію  деколи плутають з поточним значенням . Ці значення не співпадають; насправді справедлива нерівність

.                                                               (7.1)

З врахуванням (6.7) и тотожності , де  - число повних років до смерті людини в віці , справедлива рівносильна нерівність

.                                                              (7.2)

Кожна з цих нерівностей є прямим наслідком нерівності Йєнсена; наприклад, друга нерівність означає

,                                                (7.3)

що очевидно, оскільки  є випуклою функцією від .

Метою розділу є узагальнення цих нерівностей. Будемо розглядати чисту одиночну премію , як функцію сили відсотка :

;                                                                (7.4)

це є перетворення Лапласа розподілу змінної . Визначимо також функцію

, .                                                     (7.5)

Для малих значень  можна апроксимувати (7.4) величиною . Тому  існує і має значення

.                                                            (7.6)

Лема. Функція  монотонно зростає

Для доведення візьмемо два додатних числа  і покажемо, що

.                                                              (7.7)

З нерівності Йєнсена випливає

.                                     (7.8)

Тому

,                                                          (7.9)

звідки маємо (7.7), що й доводить лему.

З леми випливає, що , тому

.                                                         (7.10)

З (7.6) можна також знову отримати нерівність (7.2).

Розглянемо три різні сили відсотка. З леми маємо

,                                                (7.11)

тому

,                                      (7.12)

що дозволяє оцінити  за значеннями  і .

Наприклад, нехай

для ,

для .

Тепер можна знайти границі для чистих одиночних премій  і  при . З (7.12) при

, ,

відразу маємо

.

З тотожності   отримуємо

.

Замінивши  на  і  на

, ,                                                        (7.13)

отримуємо нерівності

,                                                             (7.14)

,                                                             (7.15)

                                     (7.16)

за допомогою аналогічних міркувань.

Перші дві похідні функції  дорівнюють

,

.                                                     (7.17)

Таким чином  - монотонно спадна і опукла функція від . Тому довільна частина кривої лежить нижче січної

,                                     (7.18)

але вище дотичних

,

.                                        (7.19)

Деколи оцінки (7.18), (7.19) виявляються кращими від оцінки (7.12). Для наведеного прикладу верхня оцінка, яка отримана з (7.18), має вид

.

Нижня границя для  також покращена

.

4.8. Виплати для дробового віку

Початковий вік  в загальному випадку не є цілочисельним, якщо не округлюється. Ми розглянемо обчислення  для цілих  і .

Почнемо з тотожності

,                                                  (8.1)

яке при ситуації А розділу 6 теми 2 набуває вигляду

.                                        (8.2)

Помноживши на  і сумуючи по , отримаємо

.                                          (8.3)

Замінивши  на , отримаємо

.                                             (8.4)

За допомогою (6.1) можна переписати цей вираз у вигляді

.                                        (8.5)

Це означає, що  є середнє зважене величин  і .

На практиці  часто наближується лінійним інтерполюванням

.                                               (8.6)

Ця апроксимація є особливо доброю для малих значень , що видно безпосередньо з (8.5).

Якщо застосувати лінійну інтерполяцію для більш частіших, ніж річні, аннуітетів

,                                                     (8.7)

то з (3.5) отримується апроксимація

.                                     (8.8)

Аналогічні співвідношення можуть бути отримані для чистої одиночної премії страхування всього життя, яке починається з дробового віку. Наприклад, наступне співвідношення безпосередньо випливає з (8.5)

.                                      (8.9)

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що таке ануїтет?

2. Які є рості види страхування?

3. Що передбачається ануїтетом pre-numerando?

4. Що передбачається ануїтетом post-numerando?

5. Як визначити чисту одиничну премію при умовах виплати страхової суми декілька раз на рік?

6. Як визначити чисту одиничну премію для стандартних типів ануїтетів життя?

7. Охарактеризуйте змінні ануїтети?


Тема
 5.

Тема 5. Чисті премії (Нетто-премії)

План

5.1. Поняття про збитки

5.2. Розрахунок збитків

5.3. Випадок простих видів страхування

5.4. Премії, які виплачуються  разів на рік

5.5. Загальна форма страхування життя

5.6. Контракти з поверненням премії

5.7. Випадкова відсоткова ставка

5.8. Глосарій

5.1. Поняття про збитки

Контракт страхування, з однієї сторони, визначає виплати застрахованому (виплати можуть складатися з одного платежу або декількох, див. теми 3,4), з іншої сторони – премії, які виплачуються страхувальником. Три види премій повинні відрізнятися:

  1.  Одна одиночна премія
  2.  Періодичні премії постійного розміру (постійні премії)
  3.  Періодичні премії змінного розміру

Для періодичних премій в доповнення до розміру повинні бути визначені тривалість і  частота преміальних платежів. Частіше всього  премії виплачуються на початку періоду.

Визначимо загальний збиток  страхувальника по контракту страхування як різниця між поточним значенням виплат і поточним значенням преміальних платежів. Цей збиток потрібно розуміти в алгебраїчному сенсі: допустимий вибір премії повинен приводити до інтервалу значень випадкової величини , який включає як додатні, так і від’ємні значення.

Премія називається чистою премією, якщо вона задовольняє принципу еквівалентності

,                                                                (1.1)

тобто якщо очікуване значення збитку дорівнює нулю. Якщо контракт страхування виплачується одиночною премією, то чиста одиночна премія, визначена в темах 3 і 4, задовольняє умові (1.1). Якщо виплачується періодична премія постійного розміру, рівняння (1.1) визначає чисту премію однозначно. Очевидно, для третього виду премій одного рівняння (1.1) недостатньо для визначення чистої премії.

5.2. Розрахунок збитків

Розглянемо терміновий контракт страхування життя людини в віці 40 років (термін: 10 років; застрахована сума: , яка виплачується наприкінці року смерті; премія , яка виплачується щорічно на початку року, поки людина жива, але не більше 10 років). Збиток   страхувальника визначається формулою

,                               (2.1)

де  позначає вкорочений час майбутнього життя людини (40). Випадкова змінна  має дискретний розподіл, що сконцентрований в 11 точках:

,

.                                             (2.2)

Знайдемо чисту річну премію. З (1.1) отримаємо умову

,                                               (2.3)

звідки знаходимо

.                                                      (2.4)

В якості ілюстрації, візьмемо  і припустимо, що смертність (40) відповідає закону Де Муавра з кінцевим віком. Маємо

,

,                                                    (2.5)

тому

, .                              (2.6)

З (2.4) отримаємо чисту річну премію

.                                                         (2.7)

Страхувальник не може сподіватися, що його виплати будуть відповідати чистим преміям: повинна бути деяка надбавка безпеки, що відображає застрахований ризик. Далі буде описаний метод знаходження премій, що враховує вхідний ризик.

Премії будуть визначатися за допомогою функції корисності : це функція, яка задовольняє умови ,  і вимірює корисність, яку страхувальник отримує з суми. Більш точно, ми припустимо, що функція корисності експоненціальна

,                                                      (2.8)

де параметр  вимірює ступінь ризику страхувальника. Умова (1.1) замінюється в цьому випадку на

,                                                      (2.9)

тобто премії тепер потрібно визначити так, щоб очікувана корисність збитку дорівнювала нулю. При функції корисності, яка визначається співвідношенням (2.8), річна премія повинна задовольняти рівняння

.                                                        (2.10)

З (2.2) при  и  отримуємо

.               (2.11)

Візьмемо, наприклад, . Річні премії з (2.11) протабульовані нижче

Застрахована сума

Річна премія

Процент від чистої премії

100000

1790

104%

500000

10600

123%

1000000

26400

153%

2000000

85900

250%

3000000

221900

430%

4000000

525300

764%

5000000

1073600

1248%

Очевидно, тепер премія не пропорційна застрахованій сумі, як було у випадку чистої премії, але зростає зі збільшенням . Це логічно: Застрахована сума в 100000 одиниць представляє собою малий ризик для страхувальника, тому надбавка безпечності (4%) невелика. Але застрахована сума в розмірі 5 мільйонів, з іншої сторони, представляє істотний ризик (принаймні при ), що, теоретично, робить надбавку безпеки 1148% прийнятною.

На перший погляд, цей результат суперечить практиці страхування, оскільки премії як правило пропорційні застрахованій сумі. Цю суперечність можна розв’язати таким підходом: нехай страхувальник вилучає 250% чистої премії для всіх значень : тоді контракти з застрахованою сумою, яка перевищує 2 мільйони, потребують перестрахування; контракти з меншою застрахованою сумою переоцінені, що компенсується порівняно високою, але фіксованою ціною цих контрактів.

Чисті премії відіграють більшу роль в практиці страхування. Більше того, вони як правило обраховуються при песимістичних припущеннях відносно майбутніх процентної ставки і смертності, включаючи, таким чином, неявну надбавку безпеки.

5.3. Випадок простих видів страхування

5.3.1. Безтермінове і термінове страхування

Розглянемо контракт безтермінового страхування життя з застрахованою сумою 1, яка виплачується наприкінці року смерті, що забезпечується чистими річними преміями, які ми позначимо . Збиток страхувальника дорівнює

.                                                 (3.1)

З (1.1) маємо, що

.                                                        (3.2)

Записуючи оплату премій у вигляді різниці двох безтермінових аннуітетів (один починається в момент 0, другий – в момент ), отримуємо

.                                               (3.3)

Тому

.                                         (3.4)

Це рівняння показує, що страхувальник стоїть перед великим ризиком, якщо контракт передбачає чисті річні премії замість чистої одиночної премії.

За допомогою рівняння (3.2) можна отримати дві формули для , яким можна дати корисну інтерпретацію. Поділивши рівняння (2.8) лекції 4 на , отримаємо тотожність

.                                                                 (3.5)

Ця тотожність має таку інтерпретацію: позика суми 1 може бути амортизована щорічними  платежами на початку року в розмірі . Інший спосіб полягає в попередній виплаті  відсотка () по позиці щорічно і величини 1 в момент : чиста річна премія для відповідного контракту страхування життя дорівнює . Тотожність (3.5) означає, що сукупні річні виплати є рівними в обох випадках.

Співвідношення (3.5) аналогічне іншій тотожності з теорії відсоткових ставок

,                                                        (3.6)

яке має подібну інтерпретацію.

Замінивши  на  в (3.2), знаходимо

.                                                       (3.7)

Еквівалентну тотожність

                                                      (3.8)

можна розуміти таким чином: Покриття 1 можна фінансувати річними преміями ; з іншої сторони, можна уявити, що ми позичили величину  для оплати чистої одиничної премії. Відсоток по позиці  виплачується щорічно на початку року, і позика віддається наприкінці року смерті; річна премія для відповідного контракту страхування життя дорівнює . Рівність (3.8) показує, що сумарні річні виплати в обох випадках однакові.

Розглянемо терміновий контракт терміном  років (застрахована сума 1 виплачується наприкінці року смерті). Його чиста річна премія позначається . Збиток страхувальника становить

,                       (3.9)

або, як в (3.3)

.                    (3.10)

Чиста річна премія дорівнює

.                                                     (3.11)

5.3.2. Чисте дожиття

Нехай застрахована сума дорівнює 1 і термін дорівнює . Чиста річна премія позначається через . Збиток страхувальника дорівнює

.                          (3.12)

Чиста річна премія, очевидно, дорівнює

.                                             (3.13)

5.3.3. Дожиття

Чиста річна премія позначається через . Рівності

                                             (3.14)

і

                                        (3.15)

очевидні. Збиток страхувальника дорівнює сумі (3.9) і (3.12).

По аналогії з (3.5) і (3.8) ми маємо

,                                         (3.16)

,                                (3.17)

з відповідною інтерпретацією. Рівняння (3.17) можна також отримати додаванням співвідношень

,                                    (3.18)

,                                    (3.19)

кожне з яких має інтерпретацію, яка аналогічна (3.8).

5.3.3. Відкладені аннуітети життя

Чиста річна премія, яка виплачується протягом виплачуваного протягом обраного періоду для аннуітету життя суми 1, що починається в момент , дорівнює .

5.4. Премії, які виплачуються  разів на рік

Якщо чиста річна премія виплачується  рівними долями, верхній індекс «» додається до відповідних символів. Чисті річні премії

отримуються заміною  на  в знаменниках співвідношень (3.2), (3.11), (3.13), (3.14). Чиста річна премія контракту дожиття з сумою 1 дорівнює, наприклад,

.                                               (4.1)

Цей вираз можна підрахувати за допомогою формули (3.9) теми 4.

Для порівняння  з  підставимо в (4.1) рівності

,                                                    (4.2)

                                         (4.3)

і отримаємо

.                                        (4.4)

Якщо записати останній результат в формі

,                                    (4.5)

то стає зрозумілою нерівність .

Аналогічний результат справедливий для інших контрактів

,                                         (4.6)

,                                 (4.7)

.                               (4.8)

Рівняння (4.6) є граничним випадком (4.5) при . Рівняння (4.5) є сумою рівнянь (4.7) і (4.8).

5.5. Загальна форма страхування життя

Ми повертаємось до загальної форми контракту страхування життя, яка введена в розділі 4 лекції 3. Нехай  - сума, застрахована в -ому році після оформлення  контракту. Припустимо, що контракт оплачується річними преміями , де  - премія, яка виплачується на початку року . Збиток страхувальника дорівнює

.                                       (5.1)

Премії будуть чистими, якщо вони задовольняють рівняння

.                               (5.2)

Ця модель носить більш загальний характер, чим може здаватися на перший погляд. Якщо дозволити від’ємні значення для , то це включить контракти чистого дожиття і аннуітети життя. Наприклад, контракт дожиття розділу 3.3 отримується, якщо покласти

, ,

, , .                  (5.3)

5.6. Контракти з поверненням премії

В практичному страхуванні зустрічається велика різновидність форм страхування і видів преміальних платежів. Це робить нереальним отримання явного запису чистої одиночної премії для кожної можливої комбінації. Головне правило в цій ситуації – необхідно скласти збиток страхувальника , а потім застосувати умову (1.1). Проілюструємо цю процедуру таким прикладом.

Маємо контракт чистого дожиття з одиничною застрахованою сумою, яка виплачується після закінчення  років, з поверненням виплаченої премії (без відсотків) у випадку  смерті до терміну закінчення контракту. Яка повинна бути чиста річна премія, якщо фактично премія, яка знімається із застрахованого, перевищує чисту річну на 40% (40%-ва надбавка застосовується для покриття витрат)?

Позначимо чисту річну премію через . Збиток страхувальника дорівнює, очевидно,

.                      (6.1)

Очікуваний збиток дорівнює

,                                        (6.2)

і застосування (1.1) дає співвідношення для премії

.                                               (6.3)

5.7. Випадкова (стохастична) відсоткова ставка

Відсоткова ставка, яка застосовується до майбутнього, звичайно, завчасно невідома. Тому природньо поставити питання чому майбутні відсоткові ставки не розглядаються як  стохастичний процес. Така модель не розглядається з двох причин.

  1.  Страхування життя як правило проводиться на великий термін, і загальноприйнятої стохастичної моделі, яка передбачає зміни відсоткової ставки на великий термін, не існує;
  2.  Логічно припустити, що терміни життя майбутнього життя застрахованих є, взагалі кажучи, незалежними випадковими величинами. При прийнятті гіпотези про фіксовану відсоткову ставку збитки страхувальника за різними контрактами стають незалежними випадковими величинами. Розподіл імовірності для сумарного збитку в цьому випадку може бути отриманий конволюцією. Зокрема, варіація сумарного збитку дорівнює сумі індивідуальних варіацій, що полегшує використання апроксимації нормальним розподілом. Стохастична незалежність контрактів може бути втрачена з введенням  стохастичної відсоткової ставки, оскільки всі контракти в однаковій мірі перебувають під впливом зміни відсоткової ставки.

Тому ми будемо, як і раніше, використовувати гіпотезу про фіксовану відсоткову ставку. Практична оцінка страхового покриття повинна включати в себе аналіз різних сценаріїв зміни відсоткової ставки.

5.8. Глосарій

Життя в віці

Life aged

Страхувальник

Insurer

Застрахований

Insured

Виплата

Benefit

Премія

Premium

Постійна премія

Level premium

Чиста премія

Net premium

Контракти з поверненням премії

Policies with premium refund

Випадкова відсоткова ставка

Stochastic interest rate

Загальний збиток

Total loss

Преміальний платіж

Premium payment

Принцип еквівалентності

Equivalence principle

Вкорочений час майбутнього життя

Curtate-future-lifetime

Надбавка безпеки

Safety loading

Функція корисності

Utility function

Перестрахування

Reinsurance

Безтерміновий аннуітет

Perpetuity

Конволюція

Convolution

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що таке загальний збиток страхувальника?

2. За якою формулою визначається збиток L  страхувальника?

3. Що таке функція корисності?

4. Як визначити збиток страхувальника при контракті безтермінового страхування життя?

5. Як визначити збиток страхувальника при контракті чистого дожиття?

6. Як визначити збиток страхувальника при загальній формі страхування життя?

7. Охарактеризуйте страхові контракти з поверненням премій.

8. Охарактеризуйте поняття «випадкова (стохастична) відсоткова ставка.


Тема 6.

Тема 6. Резерви чистої премії

План

6.1. Поняття про резерв чистої премії

6.2. Приклад обчислення резерву чистої премії у випадку контракту страхування на дожиття

6.3. Рекурентні формули

6.4. Ризик виживання

6.5. Резерв чистої премії за безтерміновим контрактом страхування життя

6.6. Резерви чистої премії в проміжні моменти

6.7. Розподіл загальної втрати за роками контракту

6.8. Перетворення контракту

6.9. Технічний прибуток

6.10. Процедура для контракту чистого дожиття

6.11. Неперервна модель

6.12. Глосарій

6.1. Поняття про резерв чистої премії

Розглянемо контракт страхування, який оплачується чистими преміями. В момент укладення контракту очікуване поточне значення майбутніх премій дорівнює очікуваному поточному значенню майбутніх виплат, забезпечуючи нульову очікувану втрату  страхувальника.

Ця еквівалентність між майбутніми преміями і майбутніми виплатами, взагалі кажучи, не зберігається в наступні моменти часу. Введемо випадкову змінну  як різницю в момент часу  між поточним значенням майбутніх виплат і поточним значенням майбутніх  премій; ми вважаємо, що  не дорівнює нулю тожньо і припускаємо також, що . Резерв чистої премії в момент часу  позначається через і визначається як умовне математичне сподівання величини  за умови .

Контракти страхування життя як правило побудовані так, що резерв чистої премії додатний, або, в крайньому випадку, невід’ємний, для того, щоб застрахований в кожен момент часу був зацікавлений в продовженні дії контракту. Тому очікуване значення майбутніх виплат буде завжди перевищувати очікуване значення майбутніх премій. Для компенсації цієї відповідальності страхувальнику необхідно завжди мати фонд, достатній для покриття різниці цих двох очікуваних значень, тобто резерву чистої премії .

6.2. Приклад обчислення резерву чистої премії у випадку контракту страхування на дожиття

Резерв чистої премії наприкінці -го року контракту страхування на дожиття (термін: , застрахована сума: 1 виплачується через  років або наприкінці року смерті, щорічні премії) позначається  і визначається співвідношенням

, .                      (2.1)

Очевидно, що за означенням чистої премії .

Резерв чистої премії наприкінці року  термінового контракту страхування позначається через  і дорівнює

.                                        (2.2)

Для ілюстрації візьмемо застраховану суму в розмірі 1000 одиниць, початковий вік  і термін . Резерв чистої  премії тоді дорівнює  () для . Як і в розділі 2 теми 5, припустимо, що  і будемо використовувати для наших обчислень функцію виживання Де Муавра з .

На першому кроці ми знаходимо чисту річну премію 88.96 для контракту на дожиття і 17.225 для термінового контракту. Зміна резервів чистої премії наведено в таблиці: числа можна легко перевірити за допомогою калькулятора.

Зміна резерву чистої премії для контракту на дожиття и термінового контракту

0

7.84805

698.15

0

135.18

0.0

1

7.24269

721.44

77

126.02

1.3

2

6.60433

745.99

158

116.08

2.3

3

5.93076

771.89

244

105.30

3.1

4

5.21956

799.25

335

93.61

3.7

5

4.46813

828.15

431

80.94

4.0

6

3.67365

858.71

532

67.22

3.9

7

2.83306

891.04

639

52.36

3.6

8

1.94305

925.27

752

36.27

2.8

9

1.00000

961.54

873

18.85

1.6

Резерв чистої премії контракту на дожиття стабільно зростає і досягає наприкінці застраховану суму. Резерв чистої премії 872.58 наприкінці 9-го року можна легко перевірити: Сума резерву чистої премії і останньої премії 88.96, плюс відсоток на обидві величини повинна бути  достатня для забезпечення виплати 1000 через рік.

Резерв чистої премії для термінового контракту дуже малий і майже сталий. Спочатку він зростає, оскільки премія дещо перевищує відповідну величину для термінового однорічного контракту. В міру наближення до кінця резерв чистої премії знову зменшується, оскільки страхувальник не має обов’язків, якщо застрахований виживає. Сума резерву чистої премії наприкінці 9-го року (1.62) і останньої премії (17.23) забезпечує терміновий однорічний контракт для 40-летнего (18.85).

6.3. Рекурентні формули

Повернемося до загального контракту страхування життя, введеному в розділі 5 теми 5. Резерв чистої премії наприкінці року  за означенням дорівнює

.              (3.1)

Для отримання зв’язку між   і  підставимо

                                       (3.2)

у всі, крім перших , доданки в (3.1), і замінимо індекс сумування на . В результаті співвідношення, яке поєднує  і , має вид

.       (3.3)

Це співвідношення має таку інтерпретацію: Якщо застрахований живий наприкінці року, то резерв чистої премії, разом з очікуваним поточним значенням премій, підлягає виплаті протягом наступних  років, дорівнює сумі, яка необхідна застрахованому для купівлі  страхування життя в цей період, плюс вартість контракту на чисте дожиття  наприкінці року .

Рекурентне рівняння для резерву чистої премії отримується при :

.                                      (3.4)

Таким чином, резерв чистої премії можна обчислити рекурентним чином в двох напрямах: 1) Можна обчислити послідовно  в цій послідовності, починаючи зі значення ; 2) Якщо контракт має скінчену тривалість , то можна обчислити  в цій послідовності, починаючи з відомого значення . Наприклад, в числовому прикладі розділу 2 ми маємо  для контракту на дожиття і  для термінового страхування.

Рівняння (3.4) показує, що сума резерву чистої премії в момент  і премії дорівнює очікуваному поточному значенню фонду, що необхідний наприкінці року (він дорівнює  у випадку смерті, інакше - ). Інша інтерпретація можлива, якщо записати

.                                (3.5)

Величина  необхідна в будь-якому випадку. Додаткова величина, яка необхідна у випадку смерті,  є чистою ризиковою величиною.

Рівняння (3.5) показує, що премію можна розділити на дві компоненти, , де

                                                            (3.6)

є премія збережень, що використовується для збільшення резерву чистої премії, і

                                                 (3.7)

є премія за терміновим однорічним контрактом для покриття чистої ризикової величини, або ризикова премія. Тому операцію в рік  можна інтерпретувати як комбінацію операції чистого збереження і термінового однорічного контракту. Ми припускаємо, що застрахований живий в момент .

Помноживши (3.6) на  и сумуючи по , отримаємо

,                                                  (3.8)

тобто резерв чистої премії дорівнює накопиченому значенню премій збережень, виплачених від початку контракту.

Розподіл на премію збережень і ризикову премію в числовому прикладі розділу 2 наведено в таблиці

Контракт на дожиття

Контракт на дожиття

Терміновий контракт

Терміновий контракт

0

74.17

14.79

1.22

16.00

1

75.24

13.71

0.97

16.26

2

76.43

12.53

0.70

16.53

3

77.74

11.22

0.42

16.81

4

79.18

9.78

0.12

17.10

5

80.77

8.18

-0.19

17.41

6

82.53

6.43

-0.52

17.74

7

84.47

4.49

-0.87

18.09

8

86.60

2.36

-1.24

18.46

9

88.96

0.00

-1.62

18.85

Записуючи (3.5) в формі

,                                        (3.9)

ми бачимо, що премія плюс відсоток, отриманий від резерву чистої премії, йдуть на зміну (збільшення або зменшення) резерву чистої премії і на забезпечення ризикової премії. Це рівняння є узагальненням співвідношення (6.7) теми 3.

Помноживши (3.5) на , ми отримаємо рівняння, аналогічне рівності (3.9):

.                        (3.10)

Рівняння (3.9) і (3.10) відрізняються тим, що в (3.9) оцінка проводиться в момент , а в (3.10) – в момент .

6.4. Ризик виживання

Формули попереднього розділу справедливі також при , тобто коли чиста ризикова величина від'ємна. Але в цьому випадку аналіз змінюється. Ми починаємо з (3.4)

.                                          (4.1)

Величина  є необхідною в будь-якому випадку; у випадку виживання, додаткова величина  перестає бути необхідною. Фінансові потоки протягом року , таким чином, частково відповідають чистому збереженню і частково контракту на чисте дожиття на суму . Премія  може розглядатися, як сума модифікованої премії збережень

,                                                           (4.2)

і премії ризику виживання

.                                              (4.3)

Зауважимо, що компонента збережень також може бути від'ємною. Рівняння (4.1) можна також записати у формі

,                                         (4.4)

яка подібна до співвідношення (3.9).

6.5. Резерв чистої премії за безтерміновим контрактом страхування життя

Розглянемо безтерміновий контракт страхування життя, який введено в розділі (3.1) теми 5. Його резерв чистої премії наприкінці року  позначається через  і за означенням дорівнює

.                                               (5.1)

Отримаємо декілька еквівалентних формул.

Замінивши  на , отримаємо

.                                                 (5.2)

Тепер, замінивши  на , отримаємо

.                                                       (5.3)

Формула

                                                     (5.4)

отримується, якщо ми замінимо  на  і  на .

Тотожність  разом з (5.1) дає

                                               (5.5)

і

.                                              (5.6)

Нарешті, заміна  на  дає

.                                                    (5.7)

Формула (5.2) виражає той факт, що резерв чистої премії дорівнює застрахованій сумі за мінусом очікуваного поточного значення майбутніх премій і невикористаного відсотка. Це нагадує співвідношення , яке має аналогічну інтерпретацію.

Рівняння (5.5) може бути обґрунтоване з врахуванням того, що майбутні виплати премії  можуть бути затрачені на безтерміновий контракт страхування життя з сумою ; тоді резерв чистої премії може бути використаний на залишкову суму  .

Якщо в момент  необхідно купити безтерміновий контракт страхування життя, то чиста річна премія дорівнює . Формула різниці премій (5.6) показує, що резерв чистої премії є очікуваним поточним значенням різниці премій.

6.6. Резерви чистої премії в проміжні моменти

Повернемося до загального виду страхування, яке обговорювалося в розділі 3. Припустимо, що застрахований живий в момент  ( - ціле, ), і позначимо резерв чистої премії через . Аналогічно (3.5), резерв чистої премії може бути записаний у вигляді

.                        (6.1)

Ситуація А розділу 6 теми 2 означає

,                                               (6.2)

звідки можна отримати значення .

Можна також виразити  в термінах . Для цього підставимо (6.2) в (6.1) і використаємо (3.7) та (3.6). Отримаємо

.                              (6.3)

В розділі 3 ми бачили, що операції в році  можуть бути розділені; рівняння (6.3) дає відповідне розділення в проміжні моменти: Перший доданок визначає стан рахунку заощаджень в момент , другий – це частина ризикової премії, яка знову „не отримана” в момент .

Третя можлива формула

.                (6.4)

Вона показує, що  є середнє зважене накопиченого значення  і дисконтованого значення ; ваги обираються  аналогічні вагам в (8.5) теми 4, при . Для доведення (6.4) можна замінити  на .

На практиці часто використовується апроксимація, що базується на лінійній інтерполяції

,                                         (6.5)

що можна порівняти з (6.3).

6.7. Розподіл загальної втрати за роками контракту

Ми продовжуємо вивчати загальний контракт страхування. При  визначимо  як втрати застрахованого, які виникли протягом року ; таким чином, початок року використовується в якості точки відліку на часовій шкалі. Необхідно розрізняти три випадки: 1) застрахований помер до кінця року ; 2) застрахований помер протягом року  ; 3) застрахований живий наприкінці року . Випадкова змінна , таким чином, визначається так

                                     (7.1)

Замінивши  на  і використовуючи (3.6), отримуємо

                                (7.2)

Отже, якщо застрахований живий в момент ,  це втрати, утворені для термінового однорічного контракту страхування, що покриває чисту ризикову величину.

Загальні втрати застрахованого визначаються рівнянням (5.1) теми 5. Очевидний  результат

                                                         (7.3)

можна перевірити безпосередньо, використовуючи (7.1).

Використовуючи (7.2) і (3.7), знаходимо

,                                                          (7.4)

звідки маємо

.                                        (7.5)

Хоча (7.3) виконується завжди, для справедливості (7.5) необхідно, щоб щорічні виплати були зміщенням резерву чистої премії даного року.

Класична теорема Хаттендорфа стверджує, що

при ,                                            (7.6)

.                                           (7.7)

Друга формула стверджує, що варіація загальної втрати застрахованого може бути розподілена за роками контракту, і є прямим наслідком першої формули і (7.3). Перша формула неочевидна, оскільки випадкові змінні  не є незалежними.

При доведенні (7.6) можна припускати, що , не обмежуючи загальність. Враховуючи на останньому кроці (7.4), маємо

;   (7.8)

Варіацію  можна визначати за формулою

.               (7.9)

Підставивши це в (7.7), отримаємо

.                         (7.10)

Припускаючи тепер, що застрахований живий в момент  ( ціле), розглянемо втрати, які визначені в розділі 1, як різниця між очікуваними поточними значеннями майбутніх виплат і майбутніх преміальних внесків. Аналогічно до (7.10) маємо

.                   (7.11)

Для доведення розглянемо гіпотетичний контракт страхування, підписаний у віці  і оплачуваний  "преміями"

,  при .                                (7.12)

Варіація  може бути визначена з рівняння (7.10). Результати для чисельного прикладу розділу наведені у таблиці.

Обчислення варіації  за роками

Контракт на дожиття

Терміновий контракт

0

12905

15114

1

9918

13940

2

7393

12864

3

5292

11876

4

3584

10970

5

2240

10140

6

1231

9379

7

535

8682

8

131

8043

9

0

7457

Сума

43229

108465

Ми бачимо, що варіація  набагато менша для контракту на дожиття (43229), чим для термінового контракту (108465).

Рівняння (7.10) корисне для оцінки впливу метода оплати премій на варіацію , коли план виплат фіксований. Розглянемо, наприклад, контракт чистого дожиття, де . Варіація  зростає разом з резервом чистої премії. Тому оплата методом чистої одиночної премії веде до більшої варіації, чим при оплаті по методу чистої щорічної премії.

6.8. Перетворення контракту

В технічному розумінні резерв чистої премії "належить" застрахованому і може взагалі кажучи використовуватись для часткового або повного фінансування зміни контракту страхування в будь-який час.

Класичний приклад – це перетворення контракту страхування в оплачену страхівку, тобто таку, яка не потребує подальших преміальних оплат. Розглянемо безтерміновий контракт страхування, підписаний у віці  на суму 1 і оплачуваний щорічними преміями . Припустимо, що застрахований живий в момент , але не важливо з якої причини не може далі платити премії. В такій ситуації резерв чистої премії  можна розглядати як  чисту одиночну премію для безтермінового контракту страхування життя з застрахованою сумою

,                                                  (8.1)

див. (5.5). Таке перетворення в оплачену страхівку зі зменшеними виплатами дуже поширене для контрактів на дожиття (для яких резерв чистої премії істотний).

Вид контракту, відомий, як "універсальний (або гнучкий) контракт страхування життя", який став можливим з появою сучасних засобів обробки даних, дає страхувальнику максимальну гнучкість. Тут страхувальник може регулярно (наприклад, щорічно) коректувати параметри контракту. Страхувальник, що має резерв премій  в момент , може змінити будь-які два з таких параметрів

  •   - наступна премія, яка підлягає оплаті,
  •   - застрахована на випадок смерті в наступному році сума,
  •   - цільове значення його збережень через рік.

Третій з параметрів тоді визначається рекурсивною формулою (3.4). Іншими словами, страхувальник ефективно визначає премію наступного року, а також її розбиття на премію збережень і ризикову премію. Зазвичай накладаються деякі обмеження для зменшення ризику антиселекції; наприклад, нова застрахована сума ()  не повинна перевищувати попередню () більше, чим на заданий відсоток, який , в свою чергу, залежить від рівня інфляції.

6.9. Технічний прибуток

Розглянемо загальний контракт страхування розділу 3 і припустимо, що застрахований живий в момент . Крім цього, припустимо, що відсоткова ставка протягом року  дорівнює . Технічний прибуток наприкінці року дорівнює

                           (9.1)

Існує два способи розбиття технічного прибутку:

Метод 1

Замінивши  на  в (9.1), отримаємо

.                                      (9.2)

Технічний прибуток, таким чином, складається з прибутку інвестицій и прибутку смертності.

Метод 2

Оскільки операції протягом року  складаються з двох складових: збереження і страхування, природньо розділити технічний прибуток відповідно

.                                                         (9.3)

Тут

                                                     (9.4)

це прибуток від збережень, і

                            (9.5)

є прибутком від страхування. Останнє співвідношення можна також представити у вигляді

,                                              (9.6)

див. (7.2). Останнє співвідношення показує зв’язок з методом 1.

Якщо технічна відсоткова ставка  вибирається консервативно, то технічний прибуток  зазвичай додатний. Якщо цей прибуток передати застрахованому у вигляді збільшених виплат, то метод 2 виглядає більш привабливим, оскільки прибуток збережень можна записати у вигляді

.                                                    (9.7)

Майбутні виплати можуть бути потім збільшені рівномірно на множник

,                                                              (9.8)

за умови, що застрахований згідний на пропорційне збільшення майбутніх премій. В результаті такого розподілу прибутку, застрахований отримає модифікований контракт страхування, для якого

,                              (9.9)

при . Це справедливо, якщо застрахований живий наприкінці року. У випадку смерті () прибуток збережень  може бути виплачений додатково до страхової суми .

6.10. Процедура для контракту чистого дожиття

Розглянемо контракт чистого дожиття (). Технічний прибуток наприкінці року  дорівнює

                         (10.1)

Оскільки прибуток інвестицій потрібен лише у випадку виживання (), розділимо технічний прибуток дещо в іншому вигляді:

,                                            (10.2)

де

                             (10.3)

и

                      (10.4)

Доведення випливає з (10.1) і того факту, що

,                                       (10.5)

див. (3.4). Зауважимо, що мат. сподівання  дорівнює нулю, на відміну від мат. сподівання .

Якщо застрахований виживає, прибуток (10.3) можна використовувати для збільшення виплат, за умови, що майбутні премії також будуть пропорційно збільшені з коефіцієнтом пропорційності, що визначається з (9.8).

6.11. Неперервна модель

Розглянемо неперервну модель загального контракту страхування розділу 3. Контракт тепер визначається двома функціями (страховою сумою  і рівнем премії  в момент , ). Резерв чистої премії в момент  дорівнює

.             (11.1)

Премії можна розділити на компоненту збережень

,                                                     (11.2)

і ризикову компоненту

.                                                 (11.3)

Тоді величина ,яка дорівнює сумі цих двох компонент, задовольняє  диференціальне рівняння Тіле:

,                                               (11.4)

яке є неперервною версією (3.9), (3.10), що має аналогічну інтерпретацію.

В частинному випадку

, , ,                                         (11.5)

рівняння (11.4) приводить до (6.11) теми 3. Якщо

, , ,                                       (11.6)

то рівняння (11.4) узгоджується з (6.6) теми 4.

Робота з неперервною моделлю спрощує викладки. Наприклад, існує тільки один метод аналізу технічного прибутку, замість двох, як в дискретній моделі розділів 9 і 10.

Припустимо, що застрахований живий в момент , і що дійсна сила відсотка в момент  дорівнює . Технічний прибуток на нескінченно малому інтервалі часу від  до , яку ми позначимо через , можна розкласти на

,                             (11.7)

де

                                     (11.8)

є прибутком інвестицій, і

                      (11.9)

є прибутком смертності. Зауважимо, що ймовірність смерті дорівнює  і ймовірність виживання дорівнює , тому очікуване значення  дорівнює нулю. Крім цього

,                 (11.10)

,                     (11.11)

і

,              (11.12)

по аналогії з (7.7) і (7.10).

Використовуючи контракт страхування життя в якості прикладу, ми покажемо як прибуток інвестицій можна використати для неперервного збільшення виплат. Припустимо, що укладено контракт неперервного аннуїтету зі сталою інтенсивністю платежу  в момент . Резерв чистої премії в момент  дорівнює

.                                            (11.13)

В момент  рівень виплат виростає до за рахунок прибутку  інвестицій. Це приводить до  умови

.                                (11.14)

Використовуючи (11.8) і (11.13), отримуємо диференціальне рівняння для

,                                      (11.15)

яке має розв’язок

,                                (11.16)

який узгоджується з результатом, що отриманий наприкінці розділу 10.

Ми бачили в цьому і попередніх двох розділах як прибуток інвестицій може збільшити виплати на основі еквівалентності. З іншої сторони, неможливо передати прибуток смертності: смерть застрахованого приносить збиток від смертності (у випадку контракту страхування життя) чи прибуток смертності (у випадку аннуїтета), що неможливо передати застрахованому.

Однак, можливо передати прибуток (або збиток) смертності групі застрахованих. Розглянемо групу, яка складається з  людей; всі мають однаковий початковий вік  і  підписані контракти зі страховою сумою 1. Встановлено угодою, що довільний прибуток смертності (або збиток) передається застрахованим в формі збільшених (зменшених) майбутніх платежів. Визначимо, що буде значенням , ставки аннуїтета в момент , якщо з часом тільки  від початкових  людей продовжують жити.

Припустимо, що  осіб є живими в момент  і що всі виживають в момент , прибуток смертності буде від’ємним ; з розрахунку на одну особу, яка продовжує жити це складає

,                          (11.17)

див. (11.9). Зменшення річної ставки випливає з умови

,                                      (11.18)

звідки в свою чергу маємо  диференціальне рівняння

.                                              (11.19)

Якщо одна з  осіб помирає в момент , виникає миттєвий прибуток смертності ; він буде розподілений між  особами, які вижили, для збільшення річної ставки. Нові річні ставки отримуються  умови , що резерв чистої премії не повинен змінитися

.                                  (11.20)

Звідси отримуємо

, .                               (11.21)

Явний розв’язок знаходиться з використанням (11.19), (11.21) при початковій умові  і дорівнює

, .                                     (11.22)

Таке перетворення можна проводити, поки жива хоча б одна особа. В цьому випадку прибуток дорівнює

,                                         (11.23)

де  означає час смерті останньої особи.

6.12. Глосарій

Резерв чистої премії

Net premium reserve

Чиста ризикова величина

Net amount at risk

Премія збережень

Savings premium

Ризикова премія

Risk premium

Чисте збереження

Pure savings

Контракт чистого дожиття

Pure endowment

Премія ризику виживання

Survival risk premium

Чиста річна премія

Net annual premium

Формула різниці премій

Premium difference formula

Середнє зважене

Weighted average

Теорема Хаттендорфа

Hattendorff's theorem

Універсальний (гнучкий) контракт страхування життя

Universal (flexible) life insurance policy

Технічний прибуток

Technical gain

Прибуток інвестицій

Investment gain

Прибуток смертності

Mortality gain

Диференціальне рівняння Тіле

Thiele's differential equation

Сила процента

Force of interest

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що таке резерв чистої премії?

2. Наведіть приклад обчислення резерву чистої премії?

3. Що таке чиста ризикова величина?

4. Дайте визначення поняттю «премія збережень»?

5. Що таке ризикова премія?

6. Як визначається премія ризику виживання?

7. Як обчислюється резерв чистої премії за безтерміновим контрактом страхування життя?

8. За якими формулами обчислюється резерви чистої премії в проміжні моменти?

9. Охарактеризуйте зміст поняття «перетворення контракту».

10. Що таке технічний прибуток і як його визначити?


Тема 7.

Тема 7. Декременти

План

7.1. Модель

7.2. Сила декременту

7.3. Вкорочений час життя

7.4. Загальна форма контракту страхування

7.5. Резерв чистої премії

7.6. Неперервна модель

7.7. Глосарій

7.1. Модель

Узагальнимо модель, яка введена в темі 2.

Припустимо, що особа знаходиться в певному стані (статусі) у віці . Людина  покидає цей статус в момент  з однієї з  попарно виключених причин (вони пронумеровані від 1 до ). Ми будемо вивчати пару випадкових величин: час майбутнього життя в певному статусі  і причину декремента .

В класичній ситуації, при страхуванні непрацездатності, початковий статус є "Активний" і можливі причини декремента – це "Непрацездатність" і "Смерть".

При іншому підході  - час життя, що залишився, для (), є з розділенням двох причин декремента, а саме смерть через "Нещасний випадок" і з "Іншої причини". Ця модель підходить для страхування з подвійною сумою страхування у випадку випадкової смерті.

Спільний розподіл імовірності для  і  можна записати в термінах функцій щільності  таких, що

                                           (1.1)

є ймовірність декремента з причини протягом нескінченно малого інтервалу часу (). Очевидно,

.                                                  (1.2)

Якщо декремент виникає в момент , умовна ймовірність того, що причиною декремента  є  дорівнює

.                                                 (1.3)

Введемо символ

                                                 (1.4)

або більш загально

.                                       (1.5)

Остання ймовірність обчислюється за формулою

.                                         (1.6)

7.2. Сила декремента

Для життя () сила декремента в віці  з причини  визначається

.                                                (2.1)

Тоді загальна сила декремента

,                                               (2.2)

див. (1.2) і визначення (2.1) теми 2.

Рівняння (1.1) можна записати так

.                                    (2.3)

Більше того,

.                                             (2.4)

Якщо всі сили смертності відомі, спільний розподіл для  і  можна визначити, спочатку використовуючи формулу (2.2) цього розділу і співвідношення (2.6) теми 2 для знаходження  і потім знайшовши  з (2.1).

7.3. Вкорочений час життя

Якщо однорічні ймовірності декремента

                                         (3.1)

відомі для  і , то спільний розподіл ймовірності вкороченого часу  і причини декремента  може бути обчислений. Зі співвідношення

,                                            (3.2)

можна знайти ; потім

                                           (3.3)

для  і .

Спільний розподіл для  і  можна обчислити при певних припущеннях відносно ймовірностей декремента в дробові моменти. Розповсюдженим є припущення про те, що  є лінійною функцією від  для , де  ціле, тобто

.                                                  (3.4)

Це припущення відповідає припущенню А розділу 6 теми 2, яке може бути перевірене сумуванням по всіх . З (3.4) отримуємо

;                                               (3.5)

з врахуванням тотожності  це дає

.                                                (3.6)

Припущення (3.4) має ту очевидну перевагу, що  і  стають незалежними випадковими змінними, і що  буде рівномірно розподілена між 0 і 1. В додаток маємо

,                                      (3.7)

як наслідок рівностей (2.4) і (3.6). Останнє співвідношення показує, що умовна ймовірність  декремента з причини  є сталою протягом року. Підсумовуючи маємо:  рівномірно розподілена між 0 і 1, незалежна від пари (), а розподіл () задається співвідношенням (3.3).

7.4. Загальна форма контракту страхування

Розглянемо страхівку, яка забезпечує виплату  наприкінці року, якщо декремент з причини  виникає протягом цього року. Поточне значення страхової виплати дорівнює

,                                                        (4.1)

а резерв чистої премії визначається співвідношенням

.                                 (4.2)

Якщо виплати проводяться відразу в момент смерті, поточне значення страхової виплати дорівнює

,                                                          (4.3)

а чиста одинична премія

.                                         (4.4)

Цей вираз можна підрахувати розбиттям всіх  інтегралів

.                          (4.5)

Використання припущення (3.4) дозволяє підставити (3.5) в наведений вище вираз. Тому (4.5) перетворюється в (4.2), якщо записати

.                                          (4.6)

На практиці часто використовується апроксимація

,                                             (4.7)

яка є достатньо точною. Попередні викладки показують, що обчислення чистої одиничної премії в неперервній моделі (4.3) може бути скороченим до обчислення в межах дискретної моделі (4.1).

Вихід застрахованого з вихідного статусу не обов’язково приводить до одиничної виплати; інша можливість – перехід до контракту страхування життя. Якщо, наприклад, випадок  означає непрацездатність, то  може бути чистою одиничною премією термінового контракту страхування життя, що починається в момент . Тому в загальній моделі "виплати"  (відповідно )  можуть бути самі по собі очікуваними значеннями; однак, формули (4.2) і (4.4) залишаються в силі.

7.5. Резерв чистої премії

Припустимо, що виплати за загальним контрактом страхування розділу 4 забезпечуються річними преміями . Резерв чистої премії наприкінці року  дорівнює

.          (5.1)

Рекурентне рівняння

                              (5.2)

є узагальненням рівності (3.4) теми 6. Його можна записати таким чином

.                          (5.3)

Отже, премія знову може бути розділена на дві компоненти, премію збережень

                                             (5.4)

для збільшення резерву чистої премії та премію ризику

                                    (5.5)

для страхування чистої величини ризику на один рік.

Загальні втрати страхової компанії

                                       (5.6)

також можуть бути розділені на

,                                                   (5.7)

де

                              (5.8)

є втрати застрахованого протягом року , підраховані на момент . Теорема Хаттендорфа (рівняння (7.4)-(7.7) теми 6) залишається справедливою. Варіацію  зручно обчислити за формулою

,                                   (5.9)

де доданки визначаються тепер як

.               (5.10)

(довести самостійно).

Операції протягом року  можна розглядати як комбінацію, с однієї сторони, чистих збережень (накопичень), і з іншої – однорічного страхування. Останнє можна розділити на  елементарних контрактів, по одному на кожен випадок декремента. Ми можемо інтерпретувати компоненту премії

                                (5.11)

як оплату за однорічний контракт страхування суми , який покриває ризик декремента з причини . Втрати застрахованого протягом року  можуть бути розділені відповідно

,                                   (5.12)

якщо визначити

                (5.13)

Технічний прибуток наприкінці року

                          (5.14)

також можна розділити на  компонент. Наприклад, метод поділу 1 (розділ 9 теми 6) веде до

.                            (5.15)

7.6. Неперервна модель

Модель розділу 11 теми 6 може бути узагальнена на випадок кратного декремента. Припустимо, що застрахована сума визначена рівністю (4.3) і що премії виплачуються неперервно, з інтенсивністю  в момент . Загальні втрати застрахованого в цьому випадку будуть

.                                                (6.1)

Резерв чистої премії в момент  складає

.           (6.2)

інтенсивність платежів  може бути розділена на компоненту збережень (див. (11.2) теми 6), і ризикову компоненту

.                               (6.3)

Диференціальне рівняння Тіле (11.4) теми 6  залишається справедливим.

Технічний прибуток, отриманий зі страхової компоненти на нескінченно малому інтервалі від  до , позначимо через . Очевидно,

                  (6.4)

Як наслідок, отримаємо

     (6.5)

і

.                 (6.6)

Звідси

.      (6.7)

Зауважимо, що цей результат простіший, ніж його дискретний аналог, див. (5.9) і (5.10).

7.7. Глосарій

Причина декремента

Cause of decrement

Сила декремента

Force of decrement

Загальна сила декремента

Aggregate force of decrement

Контрольні запитання для самоперевірки:

1. Що таке декремент?

2. Як визначається сила декременту?

3. Як можна обчислити спільний розподіл T та J?


Методичні вказівки до САМОСТІЙНої РОБОТи СТУДЕНТів

Тема 1. Предмет, мета і завдання актуарних розрахунків (2 год.).

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.)

Перелік питань:

  1.  Дайте визначення актуарним розрахункам.
  2.  Історія виникнення актуарних розрахунків.
  3.  Які сучасні наукові інститути підтримують розвиток актуарної математики.
  4.  Завдання актуарних служб.
  5.  Основні завдання актуаріїв.
  6.  Роль актуарних служб в перестрахувальній компанії.
  7.  призначення актуарної калькуляції.
  8.  Основні типи задач актуарної математики.
  9.  Класифікація актуарних розрахунків.
  10.   тарифна політика.
  11.  Принципи еквівалентності при встановленні страхових тарифів.
  12.  Принцип доступності.
  13.  Принцип стабільності.
  14.  Принцип розширення страхової відповідальності.
  15.  Принцип рентабельності.

Задачі

Задача 1.

Простір випадків ділиться на три групи: легкі, середні, та важкі. Ймовірність того, що випадок є легким 0.5, середнім – 0.4, важким – 0.1.

Два випадки трапляються незалежно один від одного упродовж одного місяця.

Обчислити ймовірність того, що жоден із випадків не є важким і є не більше від одного середнього серед випадків.

Задача 2

Десять відсотків застрахованих у страховій компанії курять, решту –ні.

Для людини, що не курить, ймовірність померти упродовж року є 0.01.Для людини, що курить, ця ймовірність 0.05.

Вибрана застрахована людина померла. Яка ймовірність того, що вона курила?

Тема 2. Розподіл тривалості життя. Таблиці життя  (смертності)і. (4 год.).

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.).

2. Виконання домашніх завдань до теми 2 (2 год.).

Перелік питань:

  1.  Модель функція дожиття.
  2.  Тривалість подальшого життя для особи віку х.
  3.  Сила (інтенсивність) смертності.
  4.  Аналітичний розподіл для майбутнього життя .
  5.  Вкорочений час майбутнього життя для .
  6.  Таблиці життя (смертності).
  7.  Основні математичні характеристики таблиць смертності.
  8.  Ймовірності смерті для частин року.

Задачі

Задача 1.

Відомо, що , . Обчислити .

Задача 2

Відомо, що  - стала,   [0,1). Обчислити .

Знайти таке , що

Задача 3.

Визначити, що ймовірність того, що людина в віці 45 р. проживе 20 р., якщо ймовірність того, що ця особа в віці 45 р. проживе 5 р. становить 0,7, а ймовірність того, що ця ж особа після досягнення 50 р. проживе ще 15 р. становить 0,5.

Задача 4.

Визначити, що ймовірність того, що людина в віці 37 р. протягом 20 р., якщо ймовірність того, що ця особа в віці 37 р. проживе 10 р. становить 0,65, а ймовірність того, що ця ж особа після досягнення 47 р. помре протягом 15 р. становить 0,3.

Задача 5.

Визначити умовну ймовірність  при умові, що функція розподілу  при :

а) , , ;

б) , , .

Тема 3. Моделі страхування життя. (4 год.).

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.).

2. Виконання домашніх завдань до теми 3 (2 год.).

Перелік питань:

  1.  Поточне значення виплати.
  2.  Чиста одинична премія.
  3.  Прості види страхування.
  4.  Виплати в момент смерті.
  5.  Загальні види страхування життя.
  6.  Стандартні види змінного страхування життя.
  7.   Рекурентні формули.

Задачі:

Задача 1

Визначити розмір внеску в пенсійний фонд, якщо через рік щорічно протягом 10 років виплачується пенсія 800 грн. Ефективна річна відсоткова ставка і=15%.

Розв’язок

Визначити розмір виплат.

Задача 3

Клієнт купує 10-річну ренту з виплатою 600 грн. наприкінці кожного року. При цьому передбачається, що річна відсоткова ставка протягом найближчих 5 років дорівнює 10%, в інші роки - 6 %. Визначити розмір ренти.

Задача 4

Яким повинен бути внесок у пенсійний фонд, якщо пенсія буде виплачуватися протягом 10 років по 1000 грн. щорічно. Перша виплата через рік. Ефективна ставка 25 % річних.

Задача 5

Надається позика 1000 грн. на 5 років під 25% річних, погашення наприкінці

року. Знайдіть суму щорічної виплати.

Тема 4: Страхові ануїтети. (4 год.)

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.).

2. Виконання домашніх завдань до теми 4 (2 год.).

Перелік питань:

  1.  Що таке аннуїтет?
  2.  Прості види аннуїтетів.
  3.  Аннуїтети пренумерандо та постнумерандо.
  4.  Виплата декілька разів на рік.
  5.  Змінні аннуїтети.
  6.  Стандартні типи аннуїтетів життя.
  7.  Рекурентні формули.
  8.  Нерівності.
  9.  Виплати для дробового віку.

Задачі:

Задача 1

При ставці і=6% річних, використовуючи таблицю смертності, обчислити:

Задача 2

Нехай кількість осіб, які дожили до віку х (з розрахунку на 100 осіб) обчислюється , . Відсоткова ставка і= 0,04. Обчислити:

а)    б)

Задача 3

Компанія розглядає дві пропозиції. Початкові витрати і чисті грошові надходження:

Рік

Пропозиція  1

Пропозиція 2

0

5000

3000

1

7000

1400

2

8000

1500

Дивідендна віддача капіталу 12%. Може бути реалізований тільки один із двох проектів. Потрібно:

а) обчислити ЧПВ по кожній з двох пропозицій;

б) обчислити прибутковість ДГН по кожній з двох пропозицій;

в) проаналізувати результати розрахунків.

Задача 4

З 69950 застрахованих у віці 25 років померло на протязі року 280 чол., з 69881 у віці 29 року - 300 і з 69381 у віці 35 років - 341 чол. Обчисліть показник смертності на 1000 чол. кожного віку.

Задача 5

Відомо, що за договором страхування на випадок смерті, укладеним особою у віці 47 років терміном на три роки, одноразова нетто-премія становить 40 грн. ЗО коп., а сучасна вартість майбутнього платежу - 5 грн. 83 коп.

Обчисліть постійну річну нетто-премію.

Тема 5: Чисті премії (Нетто-премії). (4 год.).

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.).

2. Виконання домашніх завдань до теми 5 (2 год.).

Перелік питань:

  1.  Поняття про збитки.
  2.  Розрахунок збитків.
  3.  Випадок простих видів страхування
  4.  Премії, які виплачуються m разів на рік.
  5.  Загальна форма страхування життя.
  6.  Контракти з поверненням премій.
  7.  Випадкова відсоткова ставка

Задачі:

Задача 1

Розробіть страхові тарифи з добровільного страхування туристів від нещасних випадків. За даними статистики кожний рік за туристичними путівками відпочиває близько 40 тис. чоловік: У середньому за рік травмується 1000 чол. Відношення середньої передбачуваної виплати до середньої очікуваної страхової суми становить 0,3. Передбачається, що страхуванням буде охоплено 30,0 % туристів, причому коефіцієнт відставання береться за 0,9. Розрахуйте нетто-ставку.

 

Задача 2

Існують такі дані по страховій компанії за три роки, тис.грн.:

Роки

Страхова сума

Сума виплат

1

65320

450

2

42890

185

3

54400

248

Розрахуйте нетто-ставку.

 

Задача 3

Існують такі дані по страховій компанії за три роки. тис. гри:

Роки

Страхова сума

Сума виплат

1

66440

350

2

48890

285

3

56400

148

У звітному році умови страхування були стабільні, величина навантаження у тарифній ставці - 30%. Розрахуйте нетто-ставку і брутто-ставку.

 

Задача 4

Розробіть страхові тарифи з добровільного страхування автомобілів від ДТП. Заданими статистики кількість автомобілів становить близько 1500 тис. У середньому за рік трапляється 30000 ДТП. Відношення середньої передбачуваної виплати до середньої очікуваної страхової суми становить 0,7. Передбачається, що страхуванням буде охоплено 30,0 % автомобілів, причому коефіцієнт відставання приймається рівним 0,6. Розрахуйте нетто-ставку.

 Задача 5

Розглянемо терміновий контракт страхування життя людини х=18. Застрахована сума 2000 грн., яка виплачується наприкінці року смерті; термін страхування 6 років; відсоткова ставка і=18%; смертність відповідає закону Де Мавра з кінцевим віком . Знайти чисту річну премію, яка виплачується щорічно на початку року, поки людина жива, але не більше 6 років.

Тема 6: Резерви чистої премії (4 год.).

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.).

2. Виконання домашніх завдань до теми 6 (2 год.).

Перелік питань:

  1.  Поняття про резерв чистої премії.
  2.  Приклад обчислення резерву чистої премії у випадку контракту страхування на дожиття.
  3.  Рекурентні формули.
  4.  Ризик виживання.
  5.  Резерв чистої премії за безтерміновим контрактом страхування життя.
  6.  Резерви чистої премії в проміжні моменти.
  7.  Розподіл загальної втрати за роками контракту.
  8.  Перетворення контракту.
  9.  Технічний прибуток.
  10.  Процедура для контракту чистого дожиття.

Задачі

Задача 1

Визначте основну частину тарифної нетто-ставки і нетто-внеску при страхуванні на випадок смерті в результаті нещасного випадку. Ймовірність страхового випадку на протязі року q = 0,003, страхова сума S=12 тис. грн.

Задача 2

Визначте основну частину тарифної нетто-ставки при страхуванні від пожеж, якщо ймовірність страхового випадку q=0,15, середнє значення ступеня знищення об'єкта S=0,75.

Задача 3

Визначте тарифну нетто-ставку і нетто-внесок при страхуванні на випадок смерті в результаті нещасного випадку. Ймовірність страхового випадку на протязі року q = 0,0011, страхова сума S=25 тис. грн., кількість застрахованих N = 4000. рівень гарантії безпеки - 0,85.

Задача 4

Нехай і=6%, а смертність відповідає закону Де Мавра з кінцевим віком . Заповнити таблицю х=18.

1

2

Тема 7: Декременти. (4 год.).

1. Підготовка до поточних аудиторних занять(2 год.).

2. Виконання домашніх завдань до теми 7 (2 год.).

Перелік питань:

  1.  Сила декремента.
  2.  Вкорочений час життя
  3.  Загальна форма контракту страхування.
  4.  Резерв чистої премії.
  5.  Неперервна модель

Задачі

Задача 1

Страхувальник бажає укласти договір змішаного страхування життя на термін 5 років з умовою поквартальної сплати страхових внесків. Народився він у жовтні 1965 p., а заяву про страхування подав у липні 2000 р. За якою тарифною ставкою повинні обчислюватися страхові внески?

Задача 2

Страхувальник, що народився у 1960 p., просить у 2000 р. укласти договір змішаного страхування життя в сумі 10000 грн. на 5 років з умовою одноразової сплати страхового внеску. Визначте, яку суму внеску він повинен сплатити?

Задача 3

Договір змішаного страхування життя укладається з особою у віці 30 років на термін 5 років з умовою одноразової сплати внесків за весь термін страхування. Визначте належну суму внеску на 1000 грн. страхової суми.


Методичні рекомендації до виконання індивідуальної роботи

 

Вимоги до написання індивідуальної роботи

Індивідуальна робота повинна бути написана студентом згідно з затвердженим варіантом. Номер варіанта вибирається відповідно до порядкового номера студента у списку навчальної роботи. При написанні індивідуальної роботи студентові слід використовувати і відображати в цій роботі методику актуарних розрахунків, а саме: слід навести формули, які є базовими для визначення тих чи інших показників; вказати зміст компонентів цих формул; детально описати порядок розрахунків, вказавши, одиниці виміру, що визначаються. В кінці роботи наводиться список використаної літератури, складений відповідно до загальноприйнятих бібліографічних вимог.

Обсяг індивідуальної роботи індивідуальної роботи визначається потребами повного відображення проведених фінансових розрахунків із врахуванням висновків щодо написаної індивідуальної.

Завдання для виконання індивідуальної роботи студента.

Задача 1.

Визначити умовну ймовірність  при умові, що функція розподілу  , х співпадає з номером варіанта , ;

Задача 2.

Визначити умовну ймовірність  при умові, що функція розподілу , х співпадає з номером варіанта , ;

Задача 3.

Визначити, що ймовірність того, що людина в віці 45 р. проживе 20 р., якщо ймовірність того, що ця особа в віці 45 р. проживе 5 р. становить х/60 (х співпадає з номером варіанта), а ймовірність того, що ця ж особа після досягнення 50 р. проживе ще 15 р. становить 0,5.

Задача 4.

Використовуючи таблиці смертності, обчислити (х співпадає з номером варіанта):

а); б)

Задача 5.

Відомо, що ,  належить проміжку [0,100),  належить проміжку [0,100-]. Обчислити , якщо х співпадає з номером варіанта.

Задача 6.

Відомо, що , . Обчислити , якщо х співпадає з номером варіанта.

Задача 7.

Відомо, що ,   [0,85). Обчислити , якщо х співпадає з номером варіанта.

Задача 8.

При і=0,08 знайдіть ,

Задача 9.

Інвестор вкладає х грн. на 5 років. Знайдіть акумульовану суму, якщо  х співпадає з номером варіанта:

а) при річній ставці 10%;

б) конвертації піврічній 10%;

в) конвертації щомісячній 10%.

Задача 10.

Який внесок зробив вкладник, якщо після закінчення 5 років він при і%,  якщо і співпадає з номером варіанта прибутковості перетворився в 638 грн. 13 коп.?

Задача 11.

Відомо, що

а) відсоткова ставка і  співпадає з номером варіанта;

б) - стала,   [0,100].

s(x) – функція виживання, що показує, яка частина новонароджених жива на момент часу x.

Обчислити .

Задача 12

Визначити розмір внеску в пенсійний фонд, якщо через рік щорічно протягом 10 років виплачується пенсія 800 грн. Ефективна річна відсоткова ставка і  співпадає з номером варіанта.

Задача 13

Банком видана позичка 1000 грн. на 5 років під річну відсоткову ставку і (співпадає з номером варіанта). Погашення позички здійснюється наприкінці кожного оку однаковими виплатами. Визначити розмір виплат.

Задача 14

Клієнт купує 10-річну ренту з виплатою 600 грн. наприкінці кожного року. При цьому передбачається, що річна відсоткова ставка протягом найближчих 5 років дорівнює і% (і співпадає з номером варіанта), в інші роки - 6 %. Визначити розмір ренти.

Задача 15

Яким повинен бути внесок у пенсійний фонд, якщо пенсія буде виплачуватися протягом 10 років по 1000 грн. щорічно. Перша виплата через рік. Ефективна ставка і % річних (і співпадає з номером варіанта).

Задача 16

Надається позика 1000 грн. на 5 років під і% річних (і співпадає з номером варіанта), погашення наприкінці року. Знайдіть суму щорічної виплати.

Задача 17

При ставці і=6% річних, використовуючи таблицю смертності, обчислити (х співпадає з номером варіанта):

1) ;    2) ;   3) .

Задача 18

Нехай кількість осіб, які дожили до віку х (з розрахунку на 100 осіб) обчислюється , . Відсоткова ставка і співпадає з номером варіанта. Обчислити:

а)    б)

Задача 19

Розглянемо терміновий контракт страхування життя людини х (х співпадає з номером варіанта). Застрахована сума 2000 грн., яка виплачується наприкінці року смерті; термін страхування 6 років; відсоткова ставка і співпадає з номером варіанта; смертність відповідає закону Де Мавра з кінцевим віком . Знайти чисту річну премію, яка виплачується щорічно на початку року, поки людина жива, але не більше 6 років.

Задача 20

Нехай і=6%, а смертність відповідає закону Де Мавра з кінцевим віком . Заповнити таблицю х співпадає з номером варіанта.

1

2


НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

АКТУАРНА МАТЕМАТИКА

 Конспект лекцій

для студентів базового напрямку 0501 «Економіка і підприємництво»

спеціальності 6.050100 «Фінанси» денної та

заочної форм навчання

Укладачі:      Волошин В.В., доц., к.фіз.-мат.н.

      Волошин О.П., ст. викл.

Яцишин О.В., викл.

Рецензенти:  

Комп’ютерна верстка:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63168. СЛОВ’ЯНИ ПІД ЧАС ВЕЛИКОГО ПЕРЕСЕЛЕННЯ НАРОДІВ 31.51 KB
  Мета: визначити територію, заняття й суспільні відносини союзів словянських племен, що стали базою, на якій виникла держава — Київська Русь; розвивати в учнів навички роботи з першоджерелами, історичною картою, блок-таблицями, схемами...
63169. Правознавство. Життя за правилами 21.63 KB
  Мета: познайомити учнів з правилами суспільного життя з ознаками правової норми сформувати розуміння необхідності дотримання законів і правил виховувати в учнів активну громадянську позицію.
63170. Виникнення людини. Залюднення Європи 27.2 KB
  Мета: дати уявлення про передумови виникнення людини; розглянути процес розселення пралюдей на території Європи; показати роль праці у виділенні людини з тваринного світу.
63171. СТАНОВЛЕННЯ ДЕРЖАВИ З ЦЕНТРОМ У КИЄВІ 42.97 KB
  Рюрик помер у Новгороді залишивши малолітнього сина Ігоря на руках його вихователя Олега. Виступ учня Правління Олега. Він вважав що Аскольд став жертвою змови київських прибічників язичництва: Убивство Аскольдове найбільш вірогідне що хрещення тому причиною було...
63172. Право. Норми права. Правовідносини 29.03 KB
  Мета: розкрити зміст поняття права визначити його особливості поміж інших соціальних норм; розтлумачити основні ознаки права; розвивати вміння учнів робити порівняльний аналіз фактів понять та подій соціального буття...
63173. Освоєння давньою людиною теренів Європи 22.56 KB
  Мета: Показати основні зміни навколишнього середовища в льодовиковий період їхній вплив на розвиток людини її господарське життя; формувати навички встановлення причиннонаслідкових звязків.
63174. Поява людини сучасного типу 22.56 KB
  Мета: ознайомити учнів із зовнішнім виглядом розселенням основними заняттями людини сучасного типу; схарактеризувати нові форми людського суспільства; визначити роль кроманьйонця в еволюції людини...
63175. Зміцнення Київської держави 37.81 KB
  Князь роки Внутрішня політика Зовнішня політика Ольга 945-964. Питання на активізацію пізнавальної діяльності учнів: за що княгиня Ольга була названа наймудрішою серед людей і визнана церквою Святою...
63176. Людина і закон 36.1 KB
  Обладнання матеріали: Конституція України; для прикладу будьякі закони й і кодекси України підзаконні акти; часопис Відомості Верховної Ради України газети Голос України або Урядовий курєр.