36603

ФІЗИКА. Основні поняття та закони МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Книга

Физика

Силовою характеристикою електричного поля є напруже ність Еr . Напруженість – це векторна фізична величина яка визначається силою з якою поле діє на одиничний позитивний заряд внесений у дану точку поля: E = F . q0 Одиницею виміру напруженості у системі СІ є вольт на метр В м Енергетичною характеристикою поля є потенціал φ. Потен ціал – це скалярна фізична величина яка визначається потенціальною енергією одиничного позитивного заряду вміщеного в цю точку поля.

Украинкский

2013-09-23

2.95 MB

40 чел.

ОДЕСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ЗАЛІЗНИЧНОГО ТРАНСПОРТУ

ФІЗИКА

Основні поняття та закони

МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

для студентів ІІ курсу та заочної форми навчання

ОДЕСА

2011


ЗМІСТ

МОДУЛЬ 1. Механіка. Молекулярна фізики та термодинаміка...........3

Розділ 1. Механіка.....................................................................................  3

Розділ 2. Основи молекулярної фізики та термодинаміки................. .17

МОДУЛЬ 2. Електрика і магнетизм........................................................23

Розділ 3. Електростатика. Закони постійного електричного струму.. 23

Розділ 4. Електромагнетизм.....................................................................29

МОДУЛЬ 3. Оптика. Елементи фізики атома та ядра...........................37

Розділ 5. Оптика........................................................................................37

Розділ 6. Елементи фізики атома.............................................................48

Розділ 7. Елементи фізики атомного ядра..............................................53

ЗАДАЧІ.......................................................................................................57

1.  Механіка...........................................................................................57

2.  Молекулярна фізика.......................................................................63

3.  Електростатика. Постійний струм................................................68.

4.  Магнетизм........................................................................................72

5.  Оптика.............................................................................................74.

6.  Ядерна фізика..................................................................................79

Математична обробка результатів вимірювань.....................................83

Лабораторні робота по модулю 1............................................................88

Розділ 1. Механіка....................................................................................88

Розділ 2. Молекулярна фізика та термодинаміка..................................95

Лабораторні роботи по модулю 2..........................................................112

Розділ 3. Електростатика. Постійний електричний струм…………..112

Розділ 4. Електромагнетизм. ………………………………………….122

Лабораторні роботи по модулю 3..........................................................130

Розділ 5. Оптика......................................................................................130

Розділ 7.Атомне ядро…..........................................................................159

Додатки....................................................................................................167

Список літератури..................................................................................173


МОДУЛЬ  І

МЕХАНІКА.  МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА  ТА ТЕРМОДИНАМІКА РОЗДІЛ І. МЕХАНІКА

1.1. Елементи   кінематики.  Характеристики  руху:  радіус- вектор,  переміщення, швидкість, прискорення

Положення  матеріальної  точки  в  системі  координат  можна задати двома еквівалентними способами: вказати значення всіх трьох координат х, у, z точки або вказати значення її радіуса-вектора  r , тобто вектора, що проводять із початку системи координат у дану точку (рис.1).

z  z

1

∆S

r r

kr  r

M (x,y,z)

r1  ∆r

r

2

0 j  z 0

ir  x у у

y

x  x

Рис. 1 Рис.  2

Координати х, у, z є проекціями радіуса-вектора  r  на осі х, у, z.

r r

Використовуючи одиничні  вектори

вектор через проекції:

 i , j,k , можна виразити радіус-

r = xv r

 

+ zk .

Під  час  руху  матеріальної  точки  її  радіус-вектор  та  координати  з часом змінюються. Функціальні залежності координат матеріальної точки або її радіуса-вектора від часу називаються кінематичними рівняннями руху:

х = х(t), y = y(t), z = z(t) (1), або

r = r(t )

 

. (2)

Три рівняння (1) є скалярними, а рівняння (2)- векторним.

Траєкторією руху матеріальної точки – є  лінія, яку описує ця точка в просторі. Залежно від форми траєкторії кажуть про


прямолінійний та криволінійний рух, а  серед криволінійних  виділя- ють рух по колу. Механічний рух є відносним: його характер та траєк- торія залежать від вибору системи відліку.

Вектор

 ∆r ,що з’єднує початкове (1) та кінцеве (2) положення точки

на траєкторії, називається переміщенням (рис2).

Переміщення, таким чином, є приростом (зміною) радіуса- вектора за розглядуваний проміжок часу ∆t. Довжина ділянки траєк- торії (довжина дуги) з точки 1 у точку 2 називається шляхом ∆S.

Шлях – скалярна величина.

Модуль вектора переміщення завжди за величиною менший або рівний довжині шляху. При прямолінійному русі модуль вектора пе-

реміщення рівний пройденому шляху

 ∆r  = ∆S .

Середньою швидкістю переміщення

 V

 

за проміжок часу ∆t

називається векторна величина, яка дорівнює відношенню вектора пе- реміщення до цього проміжку часу:

Vr〉 =

 ∆rr

∆t .

Миттєва швидкість V є векторна величина, що дорівнює першій похідній радіуса-вектора рухомої точки за часом:

Vr = lim

∆t r 0

 ∆r = dr

∆t  dt  .

Значення проекції швидкості на одну з осей, наприклад на вісь х:

V = dx

x dt

Вектор швидкості V спрямований по дотичній до траєкторії в бік руху. У системі СІ швидкість вимірюється в метрах за секунду (м/с).

кість.

На практиці часто використовують так звану шляхову швид-

Середньою  шляховою  швидкістю

 V

 

називається  скалярна

величина, яка визначається відношенням усього пройденого шляху до всього затраченого часу:

V = ∆S

∆t

 

, причому ∆S ≥ 0 .


Прискоренням  називається фізична величина, яка характеризує зміну швидкості з часом.

Миттєве прискорення  а  є векторна величина, що дорівнює першій похідній вектора швидкості за часом.

ar =

 

lim

∆t →0

 ∆Vv

∆t

dVv

=

dt

d 2 r

=

dt 2   .

Прискорення вимірюється в СІ в метрах за секунду в квадраті

2

(м/с ).

У загальному випадку вектор а спрямований під кутом до век-

тора V у бік угнутості траєкторії (рис.3).

аrτ  V

arn

a

О

Рис. 3

Оскільки зміна швидкості відбувається і за модулем і за напрям- ком, розрізняють дві складові прискорення:

аrτ

 тангенціальне прискорення, яке характеризує зміну швид-

кості за модулем і спрямоване по дотичній до траєкторії;

аrn

 нормальне прискорення, яке характеризує зміну швидкості

за напрямком і спрямоване по нормалі до траєкторії.

Повне  прискорення  а  точки,  що  рухається  по  криволінійній траєкторії , дорівнює їх векторній сумі (рис.3):

а = аrτ

 + аrn .

Оскільки вектори повного прискорення

 аrτ

 та аrn взаємно перпендикулярні, то модуль

2  2   dV

 

V 2  

a  = aτ

 + an   =

  dt  

+  

R  ,

де R радіус кривизни траєкторії в даній точці.


Кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу:

φ = f(t), R = const.

Під час розгляду руху матеріальної точки по колу, крім характеристик

r

∆ r, V,

ar , які в даному разі називаються лінійними, зручно користу-

ватись так званими  кутовими характеристиками руху: кутом поворо- ту φ, кутовою швидкістю ω, кутовим прискоренням β .

Миттєва кутова  швидкість чисельно дорівнює першій похід- ній кута повороту за часом:

ω = dφ .

dt

Напрямок вектора ω зв’язаний з напрямком обертання: це аксіальний вектор, направлений вздовж осі обертання за правилом правого гвин- та.

Кутове  прискорення чисельно дорівнює першій похідній ку- тової швидкості за часом.

β = dω .

dt

Вимірюється кутове прискорення в радіанах за секунду в квад-

2

раті (рад/с ). Воно також є псевдовектором, спрямованим  по осі обер-

тання. Зв’язок між лінійними та кутовими величинами:

2

V = ω R ;

 aτ  = β R ;

 an  = ω

 R .

чки:

Кінематичне рівняння гармонічних коливань матеріальної то-

x = xm sin(ωt + ϕ ) ,

де х – зміщення; хm (або А) – амплітуда коливань; ω – циклічна часто- та; φ –початкова фаза.

Швидкість та прискорення  матеріальної точки при гармоніч- ному коливанні:

V = xm ω cos(ω t + φ) ;

 a = −xm ω

 sin(ω t + φ) = −ω2 x .

Графік гармонічних коливань наведений на рис. 4. Рівняння плоскої хвилі:

x

y = A sinω(t - ) ,

V


де у – зміщення будь-якої із точок середовища з координатою х у мо- мент часу t; V – швидкість розповсюдження коливань у середовищі.

x

xm

0

-xm

 

T  

4

 

T  

2

 t

 3   Т

4

λ = VT

 Рис. 4

= V

Довжина хвилі ν

 , де Т – період; ν – частота хвилі.

Зв’язок різниці фаз ∆φ коливань з відстанню ∆х між точками середовища, що відраховані в напрямку розповсюдження коливань:

∆φ =

λ

 

∆х .

1.2. Основні закони динаміки

Перший закон Ньютона

Матеріальна точка (тіло)  зберігає стан  спокою або  прямолі-

нійного рівномірного руху, якщо на неї не діють  інші тіла,  або їх дія скомпенсована. Цей стан  – це рух за інерцією.

Перший закон Ньютона постулює існування інерціальних сис-

тем відліку. Інерціальна система відліку повинна бути зв’язана з не- взаємодіючим тілом відліку, тобто з тілом, що рухається рівномірно і прямолінійно. Будь яка інша система відліку, що рухається  відносно установленої інерціальної системи відліку рівномірно і прямолінійно,

або знаходиться в спокої – теж інерціальна.

Повний клас ІСВ можна одержати з даної інерціальної системи відліку перенесенням її початку відліку, поворотами осей координат,


або рівномірним поступальним рухом системи координат (група перетворень Галілея).

Неінерціальну систему відліку визначають як таку систему, що зв’язана з тілом відліку, яке рухається з прискоренням. Інерціальна система відліку – це абстракція. Реальні системи відліку тим ближче

наближаються до ІСВ, чим менше прискорення, з яким рухається тіло відліку реальної системи. Вибір ІСВ відбувається дослідним шляхом :

1) система відліку, зв’язана з поверхнею Землі – геоцентрична (лабораторна) система відліку – є наближено інерціальною для великого кола явищ , в яких можна знехтувати добовим обертанням Землі навколо власної осі та обертанням навколо Сонця;

2) система відліку, зв’язана з центром Сонця, в якій осі коор-

динат направлені на три відомі зірки – геліоцентрична система відліку   –  є  зі  значно  більшою  точністю  інерціальною  системою відліку.

Масою  m тіла називається скалярна фізична величина, яка є мірою інерційних властивостей тіла при його поступальному русі.

Імпульсом Р  матеріальної точки називається векторна фізич- на величина, яка дорівнює добутку маси матеріальної точки на її швидкість:

Другий закон Ньютона

 Р = mVr .

Швидкість  зміни імпульсу матеріальної точки  дорівнює діючій на неї силі:

dP

dt = F .

Якщо на матеріальну точку одночасно діють декілька сил, то згідно з принципом незалежності дії  сил, F  є рівнодійною прикладених сил.

Якщо масу тіла вважати постійною, то другий закон Ньютона можна записати так:

прискорення матеріальної точки  прямо пропорційно діючій на неї силі та обернено пропорційно її масі:

v

av = F

m .


Зазначимо, що другий закон Ньютона справедливий тільки в інерціальних системах відліку.

Третій закон Ньютона

Сили взаємодії  між   двома  матеріальними   точками   (тілами)

рівні за  величиною, протилежні за  напрямком і направлені вздовж прямої, що з'єднує ці матеріальні  точки.

r  = − Fr  .

r  r

Звернемо  увагу,  що  сили F 1

 

і  2  прикладені  до  різних

матеріальних точок (тіл), тому ніколи не врівноважують одна одну.

Другий і третій закони Ньютона дають змогу розглядати рух не тільки окремих тіл (матеріальних точок), але й механічних систем. Механічна система тіл, на яку не діють зовнішні сили, називається

замкненою  (або ізольованою).

Закон збереження імпульсу

Імпульс замкненої системи є величина постійна:

r  n  r  n  r

P = Pi

i =1

 = miVi

i =1

 = const ,

де Pr  імпульс системи, який дорівнює векторній сумі імпульсів всіх

тіл системи; n – кількість тіл, що утворюють замкнену систему.

Сили, які розглядаються в механіці:

а) гравітаційна сила  F,  яка визначається за законом всесвітнього тяжіння:

-11

де = 6,67·10

 

2  2

Н·м /кг

 F = G m1m2 ,

r 2

– гравітаційна стала; m1, m2 маси матері-

r – відстань між ними.

альних точок, між якими діє сила притягання;

Гравітаційні  сили  є  силами  притягання  і  направлені  вздовж прямої, що з’єднує ці матеріальні точки , тобто є центральними.

Одним із проявів дії таких сил є сила  тяжіння – сила, з якою

Земля притягує до себе тіла.

F = mgr ,

де gr − прискорення вільного падіння;

б)  сила  пружності  виникає при  пружних деформаціях і визначається за законом Гука:


F = - kх,

де k – коефіцієнт пружності; х – абсолютна деформація; знак „- „

показує, що сила направлена протилежно напрямку деформації. Цей закон записується також у вигляді:

σ = Еε ,

F

де σ =

S

 − механічне напруження; Е –  модуль Юнга ( є

деформаційною  характеристикою  даного  матеріалу);  ε −  відносна деформація;

в) сила  тертя  (зовнішнього) – сила, що виникає на поверхні двох твердих тіл, що контактують, і спрямована по дотичній до поверхні контакту в бік, протилежний руху тіла. Зовнішнє (сухе) тертя виникає при відносному переміщенні двох поверхонь твердих тіл, що контактують (тертя ковзання, кочення) або при спробах викликати

таке переміщення (тертя спокою). Сила тертя ковзання дорівнює:

F = µΝ,

де µ – коефіцієнт тертя ковзання; Ν – сила нормального тиску.

1.3. Робота та енергія.

Кінетична і потенціальна енергія. Повна механічна енергія

Енергією називається скалярна фізична величина, яка є універсальною кількісною мірою різних форм руху матерії. Різним формам руху матерії відповідають різні види енергії. Так, механічній формі руху матерії відповідає механічна енергія, тепловій формі руху

-− теплова енергія тощо. Запас енергії характеризує здатність тіла виконувати роботу.

Робота, яку здійснює постійна сила  F при переміщенні тіла на прямолінійній  ділянці  шляху  s,  визначається  скалярним  добутком

вектора сили Fr  і вектора переміщення s точки прикладання сили.

F

α S

S

Рис.5


A = (Fr sr) = Fscosα = Fs s ,

де α − кут між векторами сили F  і переміщення  s ;

проекція сили на напрямок переміщення (рис.5).

 Fs  = F cosα  

Робота є скалярною величиною, вона може бути позитивною, від’ємною чи рівною нулю. Самостійно проаналізуйте, коли реалізується кожний з цих випадків.

У загальному випадку руху тіла по криволінійній траєкторії під дією змінної  сили  Fr спочатку знаходять елементарну роботу dA на

елементарному переміщенні

 dr :

dA = (Fdr) = Fr dr .

Сумарну роботу А сили F  на ділянці траєкторії від точки 1 до точки 2 знаходять інтегруванням:

2 2

A = ∫ dA = ∫ Fr dr .

1 1

Одиницею роботи в СІ є джоуль (Дж):

1 Дж = 1 Н ·м.

Консервативною  називають силу, робота якої  визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла на траєкторії і не залежить від форми траєкторії. Робота  консервативних сил по замкненій траєкторії дорівнює нулю. Прикладом  консервативних сил є сили тяжіння, сили пружності. Прикладом неконсервативних сил (дисипативних) є сили тертя (сили опору).

Фізична  величина,  яка  дорівнює  відношенню  роботи  dA до

проміжку часу dt

 за який ця робота виконується, називається

потужністю:

 

N = dA = Fv cosα .

dt

Одиниця потужності в СІ– ват (Вт):

1Вт = 1 Дж .

с


Кінетична і потенціальна енергія. Повна механічна енергія

У механіці розглядають два види енергії: кінетичну енергію Wk

(енергію руху) і потенціальну енергію Wп (енергію взаємодії).

Повна  механічна  енергія тіла (системи тіл) W складається із суми кінетичної і потенціальної енергій:

Wk + Wп = W.

Кінетична енергія  тіла масою  m,  яке рухається поступально з

швидкістю v

 визначається за формулою:

mv2

k 2 .

Кінетична енергія  тіла, що обертається навколо нерухомої осі, визначається за формулою:

2

k 2 ,

де  J  − момент інерції тіла відносно осі обертання;  ω – його кутова швидкість.

Якщо тіло масою m одночасно рухається поступально і обертально, то

Wk =

де v −швидкість центра мас.

 

mv2

2

 

2

+ ,

2

Потенціальна енергія – це енергія системи взаємодіючих тіл (“Земля – тіло, підняте над Землею”), або системи взаємодіючих частинок окремого тіла (пружно-деформоване тіло).

Потенціальна енергія залежить від природи сил взаємодії і від конфігурації системи.

Різним видам взаємодії відповідають різні формули для потенціальної енергії. Наприклад:

1.  Потенціальна енергія гравітаційної взаємодії двох матеріальних

точок, що знаходяться на відстані r:

W = −G m1m2 .

r


2. Потенціальна енергія тіла масою m , піднятого над поверхнею Землі на висоту h  ( h <<  RЗ , поверхня Землі прийнята за нульовий рівень):

Wn = mgh .

3.  Потенціальна енергія пружно-деформованої пружини:

kx2

Wn = 2 ,

де x −  величина деформації; k − коефіцієнт пружності.

Закон збереження механічної  енергії

Повна механічна енергія замкненої системи  тіл,  в якій діють тільки консервативні сили, є величина стала:

W = Wk +  Wn = const.

1.4. Динаміка обертального руху твердого тіла

Обертальну дію сили характеризують фізичною величиною – моментом  сили. Момент сили − це вектор, напрямок якого в просторі зв’язаний з обертанням – аксіальний вектор.

Моментом   сили   відносно   нерухомої   точки   О  називається фізична  величина,  що  визначається  векторним  добутком  радіуса  –

вектора  r , проведеного із точки О в точку А прикладання сили, на вектор сили Fr (рис. 6):

M = [rF ] .

Вектор  моменту  сили M направлений  перпендикулярно  до площини  векторів r і Fr .  Його  напрямок  визначається  правилом

правого гвинта при його обертанні від r  до F . Модуль моменту сили дорівнює добутку сили F на плече l:

M = Fr sin α

 

= Fl ,

де α – гострий кут між векторами  r  і  F ;  l = rsinα – найкоротша відстань між лінією дії сили і і точкою О – плече сили.

Моментом  сили  відносно  нерухомої  осі  Z називається скалярна  величина  Мz, яка  дорівнює  проекції  на  цю  вісь  вектора


моменту сили М , визначеного відносно довільної точки О, вибраної на цій осі (рис.7).

M Z

M

Z Fr

0 F

r

l 90o  α

A

 

0 r A

Рис. 6

Рис. 7

Мірою інертності тіла при  обертальному русі є динамічна характеристика обертання – момент інерції J.

Моментом інерції тіла (система матеріальних точок) відносно

даної осі називається фізична скалярна величина, яка дорівнює сумі моментів інерції всіх матеріальних точок, з яких складається тіло:

J = J i

 

i = n

= mi ri   ,

i =1

де J

= m r 2 момент інерції матеріальної точки відносно даної осі.

i  i  i

У випадку неперервного розподілу маси в тілі ця сума зводиться до інтеграла:

J = r 2 dm ,

де інтегрування виконується по всьому об’єму тіла.

Наведемо приклади моментів інерцій деяких однорідних тіл правильної  геометричної  форми  (вісь  обертання  проходить  через центр мас).

1.Момент інерції матеріальної точки (рис.8):

2

J = m r .

m r

Рис.8


2.  Момент інерції  обруча (тонкостінного порожнинного циліндра) відносно осі, що проходить перпендикулярно площині обруча в центрі кола (вісь збігається з віссю циліндра):

J = mr 2 , де r – радіус обруча (циліндра).

3. Момент інерції однорідного диска ( або циліндра) радіусом r

відносно осі, яка перпендикулярна площині диска (або циліндра), та збігається з геометричною віссю ( віссю симетрії) (рис. 9):

r

m J =

 

1 mr 2

2 .

Рис. 9

4. Момент інерції кулі (рис.10):

m r

J = 2 mr 2

5  .

Рис.10

5. Момент інерції  стержня довжиною l відносно осі, що проходить перпендикулярно стержню, посередині його (рис.11):

m J =

l

1 ml 2

12 .

Рис.11


Якщо відомий момент інерції тіла відносно осі, що проходить через його центр мас, то момент інерції відносно будь якої паралель- ної осі визначається теоремою Штейнера:

момент  інерції J тіла відносно довільної осі дорівнює його мо-

менту  інерції Jс  відносно паралельної осі, що проходить  через центр мас С тіла плюс добуток маси тіла  на квадрат відстані d між  осями (рис.12):

O

O1

C

O1 d O

 

J = J c

 

+ md 2 .

Рис.12

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі записується так:

M z  = J z β ,

де Мz – момент сили відносно осі Z; Jz  − момент інерції тіла відносно осі;  β= dω/dt – кутове прискорення тіла.

Якщо вісь Z збігається з головною віссю інерції тіла, яка прохо- дить через центр мас, то має місце векторна рівність:

M = Jβ .

Момент імпульсу.  Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу твердого тіла Lz   відносно нерухомої осі Z – фізична величина, яка дорівнює добутку моменту інерції тіла на його кутову швидкість:

Lz = J zω .

У випадку обертання тіла навколо нерухомої осі, що проходить через його центр мас, момент імпульсу обчислюється за формулою:

L = Jωr .


Введення вектора моменту імпульсу дозволяє записати основне рівняння динаміки обертального руху у більш загальній формі, подібній до рівняння Ньютона для поступального руху:

Mr  =

dL

dt .

dLr

dt

 Для  замкненої  системи  момент  зовнішніх  сил

= 0 , звідки

Мr  = 0,

тоді

L = Jωr = const .

Цей вираз являє собою закон збереження моменту імпульсу.

Момент імпульсу замкненої системи є велична стала, тобто не змінюється з часом.

газу):

РОЗДІЛ 2. ОСНОВИ  МОЛЕКУЛЯРНОЇ ФІЗИКИ ТА ТЕРМОДИНАМІКИ

2.1. Рівняння стану ідеального  газу. Газові закони

Рівняння Мендєлєєва - Клапейрона (рівняння стану ідеального

PV = m RT M

 

= νRT,

де P,V,T – параметри стану; M – молярна маса; ν =m/ M –

кількість речовини; R = 8,31 Дж/моль·К – універсальна газова стала;

Т – термодинамічна температура.

Експериментальні газові закони є частинним випадком рівняння

Менделєєва – Клапейрона для ізопроцесів:

а)  закон  Бойля  –  Маріотта  (ізотермічний  процес,  Т =  const,

m = const):

рV = const, для двох станів: р1V1 = р2V2;

б)  закон  Гей  –  Люссака  (ізобарний  процесс,  р =  const,  m =

const):

V V V

= const,

для двох станів :  1   =   2   ;

T T T

1  2

в) закон Шарля (ізохорний процес, V = const, m = const):

p = const,

T

 

для двох станів :

р1 = р2 ;

Т1 Т 2


г) об’єднаний газовий закон (m = const):

pV = const,

T

 

або

p1V1 =

T1

 p2V2

,

T2

де р1, V1, Т1 – тиск, об’єм та температура газу в початковому стані;

р2, V2, Т2 те ж саме, в кінцевому стані.

Закон Дальтона визначає тиск суміші газів:

n

p = pi  ,

i =1

де рі  – парціальні тиски компонентів суміші; і – число компонентів суміші.

Парціальний тиск є тиск газу, який створював би цей газ, якби

він один знаходився в ємності, яку займає суміш.

2.2. Основне рівняння молекулярно – кінетичної теорії  ідеальних газів

Тиск  ідеального  газу  р  прямо  пропорційний концентрації   n

молекул газу і  середній кінетичні  енергії поступального  руху

<εпост> молекули газу:

2

p = 3 n < ε пост

 

> . (1)

Відповідно до експериментальних газових законів і висновків молекулярно-кінетичної теорії газів встановлено, що

< ε  >= 3 kT , (2)

пост.  2

де  k  =  1,38·10-23    Дж/К  –  стала  Больцмана;  Т –  термодинамічна температура.

Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді залежності тиску газу від концентрації молекул та температури:

р = nkТ . (3) Середня повна кінетична енергія молекули:

ε = і

2

 

kT ,

де і – число ступенів свободи молекули.

Швидкості газових молекул:


середня квадратична

 

Vкв.  =

 

3kT

m0

8kT

 

3RT

= M ;

8RT

середня арифметична

 V = =

πm0

2kT

πM  ;

2RT

найбільш ймовірна

де m0 – маса однієї молекули.

 Vім = = ,

0

Основне рівняння молекулярно – кінетичної теорії ідеального газу записується ще й так:

P = 1 nm

3 0

 

кв.

 

> 2 .

2.3. Перший закон термодинаміки

Важливою характеристикою термодинамічної системи є її внутрішня енергія  U. Внутрішня енергія –  це сума енергій хаотичного (теплового) руху мікрочастинок системи (молекул, атомів, електронів, ядер тощо) та енергії взаємодії цих частинок. Внутрішня енергія – однозначна функція термодинамічного стану системи.

Внутрішня енергія ідеального газу визначається за формулою:

U = m

M

де і – число ступенів свободи.

 i

RT ,

2

Перший закон термодинаміки є законом збереження і перетворення енергії стосовно до теплових процесів. В неізольованих термодинамічних системах цей закон формулюється як закон рівності між прибуттям і витратою енергії в системі.

Математичний запис цього закону:

Q = ∆U+ A,

тобто:

 

Кількість  теплоти Q , переданої системі,  витрачається  на

збільшення її внутрішньої  енергії ∆U і виконання роботи  А проти зовнішніх сил.

У диференціальній формі цей закон запишеться у вигляді

δQ = dU + δA,

де dU – нескінченно мала зміна внутрішньої енергії ;


δA – елементарна робота ;

δQ – нескінченно мала кількість теплоти.

У  СІ  кількість  теплоти  виражається  в  тих  же  одиницях,  що робота та енергія, тобто в джоулях (Дж).

2.4. Другий закон термодинаміки

Коефіцієнт корисної дії ідеальної теплової машини дорівнює:

η = Q1 − Q2 ,

Q1

де Q1 – теплота, яка отримана робочим тілом від нагрівача;

Q2 – теплота, яка передана робочим тілом холодильнику.

Термічний коефіцієнт корисної дії циклу Карно:

η = Q1 − Q2

Q1

 = T1 − T2 ,

T1

де  Т1  і Т2  –  відповідно  термодинамічна  температура  нагрівача  та холодильника.

Другий  закон  термодинаміки  визначає  напрямок  протікання

термодинамічних процесів, визначає які процеси в природі можливі, а які  неможливі. Існує кілька еквівалентних формулювань. Наведемо деякі з них.

1. Неможливий періодично  діючий механізм, який всю одержану від нагрівача кількість теплоти Q1 повністю переводив би в роботу  А; частина  цієї  кількості  теплоти Q2   повинна  бути  віддана холодильнику (формулювання Кельвіна).

Використовуючи поняття ентропії S – характеристики стану термодинамічної  системи,  другий  закон  формулюється  як  закон

зростання ентропії ізольованої системи (Клаузіус).

2. В ізольованих системах здійснюються лише такі процеси ,при яких ентропія  системи  зростає,   якщо  здійснюються  необоротні

процеси (наприклад, вирівнювання температур, тисків, концентрації різних речовин, електричних потенціалів у різних частинах системи), або залишається сталою, якщо процеси оборотні.

За  Клаузіусом ентропія  –  це  фізична  величина,  зміна  якої  в системі  при  елементарному  оборотному  процесі  дорівнює  відно-

шенню кількості теплоти δQ до температури Т цього процесу.


δ

dS = .

T

Фізичний зміст ентропії відкривається в статистичній фізиці. За

Больцманом  ентропія зв’язується з термодинамічною ймовірністю

стану системи. Термодинамічна ймовірність – це кількість способів, якими може  бути реалізований даний стан  макросистеми. За визначенням Ω ≥ 1, тобто термодинамічна ймовірність не  є ймовірністю в математичному розумінні. Згідно з теорією Больцмана ентропія системи і термодинамічна ймовірність зв’язані між собою співвідношенням:

S = k lnΩ .

Формула Больцмана дозволяє дати ентропії такий статистичний зміст: ентропія є мірою неупорядкованості системи.

Оскільки реальні процеси необоротні, то на основі другого закону термодинаміки можна стверджувати, що всі процеси  в ізольованій системі ведуть  до збільшення її ентропії. В стані термодинамічної рівноваги системи ентропія досягає максимального

значення.

2.5. Властивості рідин. Поверхневий натяг.  Капілярні явища

Коефіцієнт  поверхневого  натягу чисельно дорівнює силі поверхневого натягу, що діє на одиницю довжини контуру, який обмежує поверхню рідини:

F

σ =  l ,

 

або

σ = ∆Е

∆S ,

де F – сила поверхневого натягу. Ця сила направлена по дотичній до поверхні рідини і перпендикулярна до довжини контуру l;

Е – зміна вільної енергії поверхневого шару рідини;

S − зміна площі цього поверхневого шару.

Формула Лапласа  виражає додатковий тиск, зумовлений кривизною поверхневого шару рідини:

∆p = ±σ  1 +  1   ,

 R1

 R2

де R1 і  R2 –  радіуси кривизни двох нормальних взаємно перпендикулярних перерізів поверхні рідини.

Для сферичної поверхні (R1 = R2= R):


∆p = 2σ ,

R

де R − радіус сферичної поверхні.

Висота підйому рідини в капілярній трубці (формула Бореллі – Жюрена):

2σ cos Θ

h ,

ρgr

де Θ – крайовий кут (Θ = 0 при повному змочуванні стінок трубки рі- диною,Θ = π  при повному незмочуванні); r – радіус трубки; ρ – гус- тина рідини; g– прискорення вільного падіння.

2.6. Явища  переносу

До явищ переносу відносять дифузію, теплопровідність і в’язкість (внутрішнє тертя).

Процес дифузії описується законом Фіка:

М  D ,

х

∆ρ

де ∆М – маса речовини, що дифундує;  ∆х

 - градієнт густини; D – ко-

ефіцієнт дифузії; ∆S – площа поверхні; ∆t – час переносу.

Процес теплопровідності описується законом Фур’є:

Q = - χ ∆T

∆x

 

∆S ∆t ,

∆Т

де Q – кількість теплоти;  ∆х

 

−градієнт температури; χ – коефіцієнт

теплопровідності; ∆t – час переносу; ∆S – площа поверхні.

Закон Ньютона для сили внутрішнього тертя:

F = -η ∆V

x

 

⋅ ∆S ,

де F – сила внутрішнього тертя, що виникає між двома шарами газа

∆V

(рідини);  ∆x

 − градієнт швидкості; ∆S – площа, на яку діє сила; η

коефіцієнт в’язкості.


МОДУЛЬ  2

ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ

РОЗДІЛ 3. ЕЛЕКТРОСТАТИКА. ЗАКОНИ ПОСТІЙНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО СТРУМУ

3.1. Закон Кулона. Електричне поле та його характеристики

Закон  Кулона  описує  взаємодію  точкових  нерухомих  елект- ричних зарядів:

1

F =

4πε 0ε

 q1q2

2

r

де F – електрична сила взаємодії точкових зарядів q1 і q2; r – відстань між зарядами; ε − діелектрична проникність середовища; ε0 – електрична стала.

Силовою  характеристикою  електричного  поля  є  напруже- ність Еr . Напруженість –  це векторна фізична величина, яка

визначається силою, з якою поле діє на одиничний позитивний заряд, внесений у дану точку поля:

E = F .

q0

Одиницею виміру напруженості у системі СІ є вольт на метр (В/м)

Енергетичною характеристикою поля є потенціал  φ. Потен- ціал – це скалярна фізична величина, яка визначається потенціальною

енергією одиничного позитивного заряду, вміщеного в цю точку поля.

ϕ = Wпот .

q0

Одиницею виміру потенціалу у системі СІ є вольт (В = Дж/Кл). Напруженість та потенціал поля, створеного точковим зарядом,

визначають за формулами:

E = q

4πεε 0 r

 

та ϕ =

q ,

4πεε 0r

де r  –  відстань від заряду q до  точки, в якій  визначається напруженість та потенціал.


Для електричних полів виконується принцип суперпозиції. Напруженість та потенціал поля, створеного системою точкових зарядів q1,q2…qn:

r  n  r  n

E = Ei i =1

 та ϕ

 = ϕi ,

i =1

де Ei , ϕi

 -  напруженість  та  потенціал  у  даній  точці  поля,  що

створюється окремим зарядом qі .

Зв’язок  між напруженістю Е та потенціалом φ

установлюється через градієнт потенціалу:

r   dϕ r

dϕ r

dϕ r 

а) E = −qradϕ

 = − i +

dx dy

+ 

dz ,

де проекції  вектора Еr  на напрямок осей х, у, z відповідно

дорівнюють

E = − dϕ

x dx ,

E = − dϕ

y dy ,

E = − dϕ ,  а  знак  „  мінус”  вказує,  що

z dz

вектор напруженості направлений у бік зменшення потенціалу.

б) у випадку поля, що має центральну, або осьову симетрію:

E = − dϕ ,

dr

в) у випадку однорідного поля:

E = ϕ1 ϕ2  .

d

Робота сил поля по  переміщенню заряду q0 із точки з потенціалом  φ1  у точку з потенціалом φ2 :

A12

 = q0 (ϕ1 ϕ2 ) .

3.2. Електроємність. Енергія  електростатичного поля

Електроємність провідника  чисельно  дорівнює заряду, надання якого певному  провіднику  змінює його потенціал на одиницю:

С = .

ϕ

Електроємністю конденсатора називається відношення заряду, зосередженого  на  одній  з  обкладинок,  до  різниці  потенціалів  між ними:


С = q .

ϕ1 ϕ2

Електроємність плоского конденсатора:

C = εε 0 S ,

d

де  S –  площа  пластини  (  однієї)  конденсатора;  d –  відстань  між пластинами.

Електроємність сфери радіусом R, що віддалена від інших тіл:

C = 4πεε 0 R .

Одиницею ємності в системі СІ є фарада (Ф = Кл/В).

Заряджений конденсатор має енергію, яка визначається формулами:

W = C (∆ϕ ) ;

2

W = q ⋅ ∆ϕ ;

2

WE =

 

1 q ,

2 C

де  С –  електроємність  конденсатора;  ∆  φ  =  φ1   –  φ2   –  різниця потенціалів між пластинами; q – заряд конденсатора.

Енергія зарядженого конденсатора WE –  це енергія електростатичного поля,  зосередженого  між  пластинами

конденсатора, її можна визначити через характеристики поля:

εε

WE =  o  E 2V ,

2

де V = S·d – об’єм простору, охопленого полем; Е – напруженість електростатичного поля.

Об’ємна  густина  енергії  wE електростатичного  поля  –  це енергія одиниці об’єму, охопленого полем:

w  = WE E  V

= εε o

2

 

E 2 .


3.3. Закони постійного струму. Правила Кірхгофа

Кількісною характеристикою електричного струму є сила струму I − скалярна фізична величина, яка визначається електричним зарядом, який проходить через поперечний переріз провідника за одиницю часу:

I = dq .

dt

Якщо сила струму не змінюється з часом ні за величиною, ні за

напрямком, то такий струм називається постійним. Для постійного струму

I = q .

t

Густина струму j − фізична величина, яка визначається  силою струму, що проходить через одиницю площі поперечного перерізу

провідника, перпендикулярно до напрямку струму.

j = I  ,

S

 

j = qn < v >,

де <v> − швидкість направленого руху зарядів (швидкість дрейфу);

n – їх концентрація, q – заряд частинки.

Густина струму  r − вектор, орієнтований за напрямком струму,

тобто напрямок вектора збігається з напрямком упорядкованого руху позитивних зарядів.

Закон Ома

а) для однорідної ділянки кола (рис. 1):

I = U .

R

Сила струму в провіднику пропорційна прикладеній напрузі U

та обернено пропорційнa опору провідника R;

б) для замкненого кола (рис. 2):

I = ξ  ,

R + r

де ξ

 електрорушійна сила джерела струму; R – зовнішній опір; r

внутрішній опір джерела.


I  R  ξ, r

I

+

U

Рис. 1  R

Рис. 2

Опір провідника

 

l

R = ρ S ,

де ρ – питомий електричний опір матеріалу; l – довжина провідника; S

– площа поперечного перерізу провідника;

в) закон Ома в диференціальній формі:

r

j = γ E.

Це співвідношення зв’язує густину струму  j  в будь–якій точці всередині провідника з напруженістю  Е електричного поля в цій

точці;  γ –  питома  електропровідність  –  величина,  яка  обернена

питомому опору провідника ρ:

γ = 1 .

ρ

При протіканні струму по однорідному провіднику виконується робота

2

A = Uq = UIt = I 2 Rt = U t .

R


Потужність струму

Р =

 

A = UI = I 2 R = U .

t R

Якщо струм проходить по нерухомому металічному провіднику, то вся робота струму йде на його нагрівання і, за законом збереження енергії

Q = A =IUt = I 2 Rt = U t .

R

Останній вираз являє собою закон Джоуля  – Ленца.

Правила Кірхгофа  для розгалужених електричних кіл

Струм у складних замкнених і розгалужених колах знаходять, використовуючи правила Кірхгофа (перше і друге правила Кірхгофа), які є узагальненням законів збереження заряду та енергії.

Перше правило Кірхгофа

Алгебрична сума струмів, що сходяться у вузлі розгалуження, дорівнює нулю:

І к к

 = 0 .

Вузлом розгалуженого кола називається точка, в якій сходяться три чи більше провідників. Слово „алгебрична” означає, що струми в цій сумі беруться з урахуванням знака : струми, що входять у вузол, беруться зі знаком плюс, а струми , що виходять із вузла – зі знаком

мінус.

Друге правило Кірхгофа

У замкненому контурі розгалуженого кола алгебрична сума електрорушійних сил джерел струму дорівнює алгебричній сумі добутків сил струмів на опори відповідних ділянок цього контуру:

∑ ξ  = I k Rk .

k k k

Для розрахунку вибирається напрямок обходу контуру довільно

(за годинниковою стрілкою, або проти).


При складанні рівнянь за другим правилом Кірхгофа необхідно дотримувати такого правила знаків:

а)  якщо  струм  за  напрямком  збігається  з  напрямком  обходу

контуру, то  відповідний  добуток  ІR входить  у рівняння  зі  знаком

„плюс”, у протилежному випадку – зі знаком „мінус”;

б) якщо при обході контуру переходимо від мінуса («─») до («+») плюса всередині джерела, то відповідна е.р.с. входить у рівняння  зі  знаком  „плюс”,  у  протилежному  випадку  –  зі  знаком

„мінус”

РОЗДІЛ 4. ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

4.1. Магнітне  поле струмів. Силова  характеристика магнітного поля

Два електричних струми I1 i I2 (рухомі заряди) взаємодіють між собою. Ця взаємодія здійснюється через магнітне поле. Ампер установив наступне.

Сила F, з якою взаємодіють  два паралельних струми I1 та I2, прямо  пропорційна добутку  сил струмів,   довжині  l  взаємодіючих провідників і обернено пропорційна відстані  між  ними:

F = k 2I1I 2 l ,

r

де k – коефіцієнт пропорційності, який залежить від вибору одиниць вимірювання і  магнітних властивостей середовища, в якому здійснюється взаємодія.

Для  вакууму  k визначається  експериментально  і  у  СІ  його зручно записати так:

k = µ0 ,

де µ0 = 4π·10-7 Гн/м – магнітна стала.

Магнітне поле є вихровим, його силові лінії замкнені.

Силовою характеристикою магнітного поля є векторна фізична

величина – магнітна індукція В .

Напрямок вектора магнітної індукції встановлюється за

результатом дії магнітного поля на замкнений провідник зі струмом

(на магнітну стрілку):


За напрямок вектора В у даній  точці магнітного поля приймається напрямок, вздовж якого розташовується позитивна нормаль  n  вільної рамки зі струмом, вміщеної у цю точку поля. В цьому ж напрямку вказує і північний полюс магнітної стрілки, вміщеної в цю точку поля.

Напрямок позитивної нормалі рамки зв’язаний з напрямком струму правилом правого гвинта (правилом свердлика): якщо обертальний  рух  головки  гвинта  збігається  з  напрямком  струму в рамці, то поступальний рух вістря вказує напрямок нормалі n , отже

напрямок лінії магнітної індукції  В , що проходить через дану точку поля.

Вектор Вr у даній точці збігається з дотичною в цій точці до лінії

магнітної індукції.

Модуль вектора магнітної індукції в будь-якій точці поля визначається максимальним обертальним моментом, який діє з боку поля на рамку, по якій протікає одинична сила струму, з одиничною площею поверхні, коли нормаль n рамки перпендикулярна до напрямку ліній магнітного поля:

В = М

 

max

IS .

Одиниця магнітної індукції – тесла (Тл).

1 Тл = 1

Н

А м .

4.2. Сила Ампера

За законом Ампера визначається сила, що діє з боку магнітного поля  на  окрему  ділянку  ∆l  замкненого  провідника  зі  струмом  І

вміщеного в магнітне поле:

dFA = BIdl sin α ,

де α – кут між вектором

 dl і  B ; напрямок вектора  dl

 

збігається з

напрямком струму І в провіднику, а його модуль є нескінченно мала довжина провідника.

У векторному вигляді закон Ампера має вигляд:

dFrA = I [dl Br ] .

Напрямок сили Ампера визначається за правилом лівої руки, яке

витікає з загального правила векторного добутку (рис. 3).


B

α

I

∆F

∆l

Рис. 3

Визначити індукцію магнітного поля В у будь-якій точці можна також із закону Ампера:

max

B = A .

Il

4.3. Принцип суперпозиції магнітних полів.

Закон Біо – Савара – Лапласа

З досліду витікає, що в будь–якій точці магнітного поля, створе- ного замкненим провідником зі струмом довільної форми, магнітна

індукція  Вr залежить від форми провідника. Це означає, що в будь–

якій точці поля магнітна індукція  В створюється кожною ділянкою цього провідника, тобто для магнітних полів виконується принцип суперпозиції:

B = ∆Bi .

i

Вектор магнітної індукції В у будь – якій точці магнітного поля, створеного замкненим провідником зі струмом довільної форми,

являє собою геометричну  суму індукцій

 ∆Ві полів, створених  у цій

точці кожною окремою ділянкою даного провідника зі струмом.

Закон Біо –Савара –Лапласа  визначає вектор магнітної індукції dB , створений окремим нескінченно малим елементом dl замкненого провідника зі струмом І в довільній точці:


dB = µµ0 Idl sin α .

4π  r 2

Магнітна індукція dB, створена  елементом dl довільного замкненого провідника зі струмом  І, прямо пропорційна силі струму в

провіднику І, довжині елемента  провідника dl , обернено пропорційна

квадрату відстані  від елемента  dl до точки  спостерігання  і залежить від орієнтації  цього елемента в просторі.

Напрямок вектора

 dB визначається за правилом правого гвинта.

Вектор

 dB перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори dl

і r (рис. 4).

dl

α

I

A

dB

Рис. 4

Закон  Біо  –  Савара  –Лапласа  у  векторному  вигляді  можна записати так:

dBr = µµ0

4π

I[dl r]

r 3 ,

де µ – магнітна проникність середовища.

Напруженість  магнітного  поля Н не  залежить  від  магнітних властивостей середовища і  зв’язана з магнітною індукцією співвідношенням:

В = µµ0 Н .

Закон Біо – Савара – Лапласа разом з принципом суперпозиції дає можливість розрахувати магнітне поле замкненого провідника зі струмом конкретної форми.

1. Магнітна індукція поля в центрі колового струму:


B = µµ0 I ,

2R

де R – радіус колового витка зі струмом.

2. Магнітна індукція поля нескінченно довгого прямолінійного струму

B =

де r – відстань від осі провідника.

 µµ0 I

,

2πr

3. Магнітна індукція поля соленоїда

B = µµ0 nI ,

де n – відношення числа витків соленоїда до його довжини.

4.4. Сила Лоренца

Сила, яка діє з боку магнітного поля з індукцією  Вr на окремий

електричний  заряд  q,  що  рухається  в  цьому  полі  зі  швидкістю  vr,

називається силою Лоренца і визначається так:

Fл  = qvB sin α  , де α – кут між векторами v і В .

У векторному вигляді сила Лоренца запишеться:

Fл  = q[vrB] .

Напрямок  сили Fл визначається  за  правилом  лівої  руки:  лінії вектора  магнітної  індукції В входять  у  долоню,  чотири  пальці збігаються з напрямком швидкості v для позитивних зарядів (q>0), у протилежному  напрямку  для  негативних  зарядів  (q<0),  відігнутий

великий палець вказує напрямок сили Лоренца (рис. 5).

Br

н

q +

Л

Рис. 5


Сила Лоренца завжди перпендикулярна швидкості руху, отже вона змінює тільки напрямок швидкості. Сила Лоренца роботи не здійснює. Під дією сили Лоренца траєкторія викривляється.

Коли частинка  знаходиться одночасно в  електричному та магнітному  полях, то під  силою Лоренца  (називають ще  й

узагальненою силою Лоренца) розуміють вираз:

F = qE + q[V

× B].

r  r  r  r

4.5. Закон повного струму у вакуумі  для магнітного поля.

Вихровий  характер магнітного поля

В основі сучасних методів розрахунку магнітних полів постійних струмів покладена теорема про  циркуляцію вектора індукції (закон повного струму).

Циркуляція вектора  магнітної індукції В по довільному замкненому  контуру  l  дорівнює добутку  магнітної   сталої   µ0   на алгебричну суму струмів, охоплених цим контуром:

Bdl

l

 = µ0 Ii .

i

Цей  закон  у  вченні  про  магнетизм  має  таке  ж  значення,  як теорема Гаусса для електростатичних полів.

4.6. Явище електромагнітної індукції, Основний  закон електромагнітної індукції

Магнітний потік:

а) у випадку однорідного магнітного поля та плоскої поверхні

Ф = BS cosα

 або

 Ф = Вn S ,

де S – площа контуру; α – кут між нормаллю до площини контуру та вектором магнітної індукції;

б) у випадку неоднорідного поля і довільної поверхні

Ф = Bn dS

s

(інтегрування ведеться по всій поверхні).

Потокозчеплення (повний потік)

ψ = NФ .


Ця формула використовується для соленоїда та тороїда  з рівномірним  намотуванням N витків, які щільно прилягають один до одного.

2

У системі СІ потік виражають у веберах (Вб = Тл·м ).

Закон Фарадея для електромагнітної індукції

Явище електромагнітної індукції полягає в тому, що в замкненому провіднику при зміні магнітного потоку через поверхню, обмежену  цим  провідником,  в  останньому  виникає  електричний струм.

Виникнення індукційного струму в замкненому провіднику означає, що в колі діє електрорушійна сила, яка називається електрорушійною силою електромагнітної індукції.

Закон Фарадея:

електрорушійна сила електромагнітної індукції εі , що створює струм  у замкненому провідному контурі,  чисельно рівна і протилежна за  знаком  швидкості  зміни магнітного   потоку  крізь поверхню, охоплену цим контуром:

ξ  = − dФ .

dt

Знак мінус  є математичним виразом “правила Ленца”, згідно з яким індукційний струм, що виникає в замкненому провідному контурі, створює таке власне магнітне поле Ві , яке протидіє зміні магнітного потоку, що збуджує цей струм (рис.6).

Br  i

I

інд.

 Зовнішній магнітний потік збільшується:

dФ >0.

dt

Рис. 6


4.7. Енергія  магнітного поля

Магнітне поле є матеріальним носієм енергії. Енергія магнітного поля соленоїда зі струмом І дорівнює:

LI 2

WB = 2 , (1)

де L – індуктивність соленоїда.

Енергію магнітного поля можна визначити через характеристики поля.

Врахувавши, що для соленоїда

B = µµ0 nI ;

L = µµ0

 n2V ,

де n – кількість витків на одиницю довжини соленоїда; V – об’єм простору, охопленого полем (об’єм соленоїда), формулу (1) можна записати:

WB =

1

2µµ0

 

B 2V . (2)

Об’ємна  густина  енергії  магнітного  поля  –  енергія  одиниці об’єму простору, охопленого полем:

w = WВ =

 

1  B 2 = µµ0

 

H 2 .

B V 2 мм0  2


МОДУЛЬ  3

ОПТИКА.   ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ АТОМА ТА ЯДРА РОЗДІЛ  5. ОПТИКА

5.1. Світлове випромінювання (видиме світло)

Згідно  з  електромагнітною  теорією  К.Максвелла світлове ви-

промінювання (видиме світло) є електромагнітними хвилями з діапа- зоном довжин хвиль у вакуумі від λфіол. (фіолетовий колір) ≈ 400 нм до λчерв.(червоний колір) ≈ 760 нм. Заокруглюючи, вважають  цей діа- пазон рівним (400−800) нм, тобто (0,4−0,8) мкм або (0,4−0,8)·10-6 м.

Враховуючи зв’язок між довжиною хвилі, швидкістю розповсю- дження с і частотою коливань ν , можна записати :

λ = с ν

де с = 3·108 м/с – швидкість світла у вакуумі.

Наведеному інтервалу довжин хвиль відповідає частотний ін- тервал світлового випромінювання від νфіол. = 7,5·1014  Гц до  νчерв. =

4·1014 Гц.

Швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в ізотроп- ному середовищі дорівнює:

v = 1 = с .

εε 0 µµ0 εµ

Абсолютним показником заломлення  світла називається вели- чина, яка показує в скільки разів швидкість світла у вакуумі більша, ніж у даному середовищі:

с

n = v .

Рівняння плоскої електромагнітної хвилі має вигляд:

EZ  = Emax cos(ωt kx) ;

H y  = H max cos(ωt − kx) ,

де хвильове число k =  λ  ,

ω = 2πν .

Електромагнітні  хвилі  переносять  енергію.  Вектор  густини потоку S електромагнітної енергії (вектор Умова – Пойнтинга)


характеризує перенесення електромагнітної енергії  в напрямку розповсюдження хвилі і має вигляд:

S = [EH ] ,

а модуль вектора S дорівнює:

S =  εε 0

 E 2  + µµ 0

 

H  v ,

  2 2 

де v –  швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі в середовищі.

Графічно „моментальну фотографію” розподілу величини та напрямку векторів напруженості електричного та магнітного полів у світловій хвилі можна представити так, як показано на рис. 1.

Z λ

E

H 0 v

Y

X

Рис.1

5.2. Закони геометричної оптики

В ізотропному середовищі світло поширюється прямолінійно. Лінія, вздовж якої переміщується фронт хвилі, називається променем.

Напрямок поширення світла змінюється на межі поділу середовищ з різними оптичними густинами (рис. 2).

Розглянемо закони, яким підлягають оптичні явища, що відбуваються на межі поділу двох прозорих середовищ. Ці оптичні явища описуються законами геометричної оптики.


1. Закон відбивання світла:

а)  промінь падаючий, промінь відбитий  і  перпендикуляр,

поставлений у точці падіння променя лежать в одній площині;

б) кут відбивання променя дорівнює куту його падіння.

2.  Закон заломлення світла:

а)  промінь  падаючий  і  промінь  заломлений лежать в  одній

площині з перпендикуляром, поставленим у точці  падіння променя до поверхні поділу двох середовищ;

б) відношення синуса кута  падіння до синуса кута  заломлення для даних середовищ є величина стала і називається показником заломлення другого середовища відносно першого (відносний

показник заломлення n21).

n21

 = sin α

sin γ

= v1

v2

 = n2 ,

n1

де  v1  і  v2   –  швидкості  поширення  світла  в  першому  і  другому середовищі; n1 і n2 – абсолютні показники заломлення.

Падаючий промінь

Відбитий промінь

α  β  n1 < n 2

n1

О

γ

Рис. 2

 n 2

Заломлений промінь


5.3. Хвильова оптика

Оптична довжина ходу світлової хвилі:

L = n l,

де l – геометрична довжина ходу світлової хвилі в середовищі з показником n.

Оптична різниця ходу двох світлових хвиль:

∆ =L1 – L2 .

Залежність  різниці  фаз  від  оптичної  різниці  ходу  світлових хвиль:

ϕ = 2π  ∆  ,

 

де λ – довжина світлової хвилі.

 λ

Інтерференція – це явище , яке виникає при накладанні у просторі двох (або більше) когерентних хвиль, у результаті чого має місце  підсилення  або  ослаблення  результуючої хвилі залежно від співвідношення між фазами цих хвиль.

Умова максимального підсилення світла при інтерференції:

λ

∆ = ±kλ

= ±2k

2

(k = 0,1, 2,...) .

Умова максимального ослаблення світла:

∆ = ±(2k + 1) λ

2

 

( k = 0,1,2,…)

Оптична різниця ходу світлових хвиль, яка виникає при відбиванні монохроматичного світла від тонкої плівки:

∆ = 2d

 

n2 − sin 2 α

+ λ , або

2

∆ = 2dn cos γ + λ ,

2

де  d –  товщина  плівки;  n –показник  заломлення  плівки;  α –  кут падіння;  γ –  кут заломлення  світла  в  плівці;  показник  заломлення середовища, що оточує плівку, прийнятий рівним одиниці.


Радіус світлих кілець Ньютона у відбитому світлі:

rk  =

 

(2k 1) Rλ / 2

 

(k =1, 2, 3, ...),

де k – номер кільця; R – радіус кривизни.

Радіус темних кілець Ньютона у відбитому світлі:

rk  =

 

kRλ

 

( k = 0,1,2,…).

Дифракцією називається явище огинання хвилями перешкод, які зустрічаються на їх шляху. В більш широкому розумінні – будь- яке відхилення розповсюдження хвиль поблизу перешкод від законів геометричної  оптики  та  попадання  їх  в область геометричної тіні. Дифракція  світла  спостерігається  при  поширенні  його  біля  різких країв тіл, при проходженні крізь малі отвори і щілини, при зустрічі з мікронеоднорідностями середовища.

Кут  відхилення  променів,  який  відповідає  максимуму (світлі смуги) при дифракції на одній щілині, визначається із умови:

α sinφ = (2k+1)λ/2 (k = 0, 1, 2, 3,…),

де α – ширина щілини; k – порядковий номер максимумів.

Кут φ відхилення променів, який відповідає максимуму (світла смуга) при дифракції світла на дифракційній решітці (формула дифракційної решітки),  визначається із умови:

d sinφ = ± kλ (k = 0, 1, 2, 3,…), де d – постійна дифракційної решітки.

При дифракції на тривимірних структурах (кристалах) напрямки дифракційних максимумів визначаються за формулою Вульфа – Бреггів:

2d sinθ

 

= kλ

 

(k= 1, 2, 3,…).

де  θ  −  кут  ковзання  (кут  між  напрямком  паралельного  пучка рентгенівського випромінювання, що падає на кристал, та атомною площиною в кристалі); d – відстань між атомними площинами кристала.

Наслідком  теорії  Максвелла  є  поперечність  світлових  хвиль

(див.рис.1):  вектори  напруженості  електричного Е і  магнітного

Нr полів хвилі взаємно перпендикулярні і  коливаються

перпендикулярно вектору швидкості v розповсюдження хвилі


(перпендикулярно променю). Тому для опису  закономірностей поляризації світла  достатньо  знати поведінку тільки одного  із векторів. Як правило всі міркування ведуться відносно світлового вектора – вектора напруженості Е . Світлова хвиля, в якій електричні коливання (коливання вектора  Е ) здійснюються увесь час тільки в одній площині називається поляризованою.

Закон Малюса:

I = I0 cos  α ,

де І0 інтенсивність плоскополяризованого  світла,  що  падає  на аналізатор; І інтенсивність цього світла після аналізатора; α кут між  напрямком коливань електричного вектора, який падає на аналізатор, та площиною пропускання аналізатора (якщо коливання електричного вектора падаючого світла збігаються з цією площиною, то аналізатор пропускає це світло без ослаблення).

Закон Брюстера

Відбитий промінь  на межі двох  діелектриків  є повністю поляризованим  при  куті  падіння  іБ, який визначається співвідношенням:

tgiБ = n21,

де іБ  кут падіння, при якому промінь, відбившись від діелектрика стає повністю поляризованим; n21  відносний показник заломлення другого середовища відносно першого.

Деякі речовини (кварц, цукор, кіновар, водний розчин цукру, винна кислота, скіпідар, так звані оптично  активні) здатні повертати площину поляризації навколо осі світлового пучка.

Кут повороту  площини  поляризації  монохроматичного  світла при проходженні крізь оптично активну речовину:

а) φ = αd ( у твердих тілах і чистих рідинах),

де α – постійна обертання; d – довжина шляху, який пройшло світло в оптично активній речовині;

б) φ = [α]cd ( у розчинах),

де [α] − питоме обертання; с – масова концентрація оптично активної речовини в розчині, кг/м3.


5.4. Квантова оптика

Аналіз складу світлового випромінювання показав, що його розподіл за частотами коливань не відповідає законам випромінюван- ня, виведеним із хвильової теорії світла. Для пояснення цього факту М.Планк сформулював гіпотезу, що світло випромінюється певними порціями  енергії – квантами. Енергія кванта визначається за фор- мулою Планка:

ε = hν ,

де h = 6,62·10-34 Дж·с – стала Планка; ν – частота коливань електрома- гнітного випромінювання.

А.Ейнштейн в 1905 р. висунув гіпотезу, що світлове випроміню- вання має дискретну природу, тобто розповсюджується в просторі та- кож окремими квантами – частинками світлового випромінювання, які були названі фотонами.

Випромінювання  нагрітими тілами  електромагнітних хвиль за рахунок їхньої внутрішньої енергії називається тепловим випро- мінюванням.

Теплове випромінювання характеризується суцільним спектром.

Інтенсивність і спектральний склад теплового випромінювання визна- чається температурою тіла, його складом і станом.

Теплове випромінювання – єдиний вид випромінювання, який може бути рівноважним. До рівноважних станів і процесів застосову- ються закони термодинаміки.

Кількісні характеристики теплового  випромінювання

1. Спектральна густина енергетичної світності (випроміню- ваності) тіла – це потужність випромінювання з одиниці площі повер- хні тіла в інтервалі частот одиничної ширини:

dW випр.

Rν,T =

 ν, ν + dν

.

Дж

Одиниця спектральної густини енергетичної світності (Rν,T )2  .

м

2. Здатність тіл поглинати падаюче на них випромінювання ха-

рактеризується спектральною поглинальною здатністю:


d погл.

A

ν, T

 =  W ν, ν + dν .

dW

ν, ν + dν

Ця величина показує, яка доля енергії електромагнітних хвиль, що падає на одиницю площі поверхні тіла за одиницю часу з частотою від ν до ν + , поглинається тілом.

Тіло, яке здатне поглинати повністю при будь–якій температурі усе падаюче на нього випромінювання будь–якої частоти, називається чорним тілом. Отже, спектральна поглинальна здатність чорного тіла

для усіх частот і температур тотожно рівна одиниці:

 чорне

Т

Поряд з поняттям чорного тіла використовують поняття сірого тіла. Сіре тіло – це тіло, поглинальна здатність якого менша одиниці, вона однакова для всіх частот і залежить тільки від температури, ма-

теріалу і стану поверхні тіла (А

 

ν,Т

 = А = const < 1).

сіре

Знаючи спектральну густину енергетичної світності, можна ви- значити інтегральну енергетичну світність (інтегральну випромі- нюваність), яку називають енергетичною світністю тіла:

RT  = Rν,T .

0

Енергетична світність тіла – це енергія, випромінювана з одини- ці площі поверхні світного тіла за одиницю часу у всьому інтервалі частот (довжин хвиль) від 0 до ∞.

Закон Кірхгофа

Відношення спектральної  густини  енергетичної  світності до спектральної  поглинальної здатності не залежить від природи тіла; воно є  для усіх тіл універсальною функцією частоти (довжини хвилі) і температури:

R

ν,T  = r  .

A

ν, T

ν,T

Із цього закону витікає, що rν,Т – універсальна функція Кірхгофа

є спектральною густиною  енергетичної світності чорного тіла.

Використовуючи закон Кірхгофа, запишемо вираз для енергети-

чної світності чорного тіла:

Re =

∫ rν,T .

0


Теплове випромінювання чорного тіла підлягає закону Стефана – Больцмана  і законам  Віна, а розподіл енергії в спектрі теплового випромінювання чорного тіла дає функція Планка.

Закон Стефана  – Больцмана. Закон Віна

Енергетична  світність чорного тіла  пропорційна четвертому степеню його термодинамічної температури:

R  = σ T 4 ,

де σ – стала Стефана – Больцмана. Її експериментальне значення

σ = 5,67·10-8 Вт/м2·К4.

Закон Стефана – Больцмана не відповідає на питання про спектральний склад випромінювання чорного тіла. Із аналізу експериментальних кривих залежності rλ,Т  від довжини λ при різних температурах витікає, що розподіл енергії в спектрі чорного тіла є нерівномірним. Всі криві мають явно виражений “max”, який зі зростанням температури зміщується в бік більш коротких хвиль.

Німецький фізик В.Він встановив залежність:

λmax

 b

= Т ,

тобто довжина  хвилі λmax, яка відповідає максимальному зна- ченню спектральної   густини  енергетичної  світності  rλ,Т   чорного тіла,  обернено пропорційнa його термодинамічній  температурі (рис.3),

λ,T

T1>T2>T3

T

T1

T3

λ1 λ2 λ3 λ

Рис. 3


де b – стала Віна, її експериментальне значення b = -3

 

м·К.

Закони Стефана – Больцмана і Віна є частинними законами теп- лового випромінювання. На основі революційної квантової гіпотези, згідно з якою електромагнітна енергія випромінюється і поглинається у вигляді квантів, М.Планк вивів формулу для спектральної густини енергетичної світності чорного тіла:

r

ν, T

 

= 2πhν3

c 2

 

1

ehν / kT

 

1 .

Ця формула Планка не тільки узгоджується з експериментом, але містить усі частинні закони теплового випромінювання, а також дозволяє розрахувати сталі величини в законах теплового випроміню- вання.

Гіпотеза світлових квантів випромінювання чорного тіла отри- мала підтвердження і подальший розвиток при поясненні фотоефек-

ту.

Явище зовнішнього фотоефекту полягає у випусканні речови-

ною електронів під дією падаючого світла.

Закони зовнішнього фотоефекту

1. Сила фотоструму насичення пропорційна освітленості фо-

токатода.

2. Максимальна кінетична енергія фотоелектронів не залежить від інтенсивності падаючого світла, а визначається тільки його частотою ν.

3. Для кожної  речовини існує “ червона межа” фотоефекту, тобто мінімальна частота ν0  світла, нижче якої фотоефект неможливий.

Істотно, що фотоефект є безінерційним.

У рамках квантової теорії фотоефекту кожний світловий квант

(фотон) взаємодіє з одним електроном. Енергія падаючого фотона hν витрачається на здійснення електроном роботи виходу А з речовини і на надання фотоелектрону кінетичної енергії mv2

За законом збереження енергії

=

 mv2

+ .

2

Це  рівняння  називається  рівнянням  Ейнштейна для  зовнішнього фотоефекту.


З рівняння Ейнштейна випливає, що фотоефект може спостері- гатися тільки тоді, коли енергія світлового кванта (фотона), що па- дає на поверхню металу, не менше роботи виходу А.

Червона межа фотоефекту ν0:

ν0 =

 

A

h , або

 λ  = hc .

0 A

де ν0  – мінімальна частота світла, при якій фотоефект ще можливий; λ0 – максимальна довжина хвиль світла, при якій ще можливий фото- ефект; h - стала Планка; с – швидкість світла у вакуумі.

Маса, імпульс фотона. Корпускулярно – хвильовий дуалізм світла

Енергія фотона ε =hν. Його маса визначається із універсального закону взаємозв’язку маси та енергії:

= ε = hν .

c2 c 2

Фотон – елементарна частинка, яка рухається зі швидкістю світ-

ла с і має масу спокою, рівну нулю.

Імпульс Рγ визначається співвідношенням:

Pγ = mγc = = h .

c λ

Із наведених формул витікає, що фотон, як будь–яка інша час-

тинка речовини , характеризується енергією, масою та імпульсом. Ці формули зв’язують корпускулярні характеристики фотона – масу, ім- пульс, енергію – з хвильовою характеристикою світла – його частотою ν.

Отже, для світла, як і будь–якого електромагнітного випроміню- вання, притаманні одночасно корпускулярні і хвильові властивості  – корпускулярно-хвильовий дуалізм.


РОЗДІЛ 6. ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ АТОМА

6.1. Ядерна модель атома. Проблеми  моделі

Ядерна модель атома була сформована Е.Резерфордом (1913 р.)

на основі його знаменитих дослідів по розсіюванню α – частинок у речовині: в центрі атома міститься масивне позитивно заряджене ядро

-15

розміром близько 10

м; навколо ядра по  замкнених орбітах

-10

обертаються  електрони  в  області 10

м,  утворюючи  електронну

оболонку атома; їх число дорівнює порядковому номеру елемента в періодичній таблиці хімічних елементів Д.І.Менделєєва.

У рамках законів класичної фізики ядерна модель атома мала дві проблеми:  такий  атом  виявився  нестійким  електродинамічно  (час

-11

життя  порядку  10

с);  у результаті  випромінювання  він  давав  би

суцільний спектр, що суперечило накопиченим дослідним даним про спектри випромінювання атомів.

6.2. Спектральні закономірності атома водню. Емпірична формула  Бальмера. Стала  Рідберга

Аналіз  дослідних  даних  щодо  випромінювання  розряджених

газів (спектрів випромінювання атомів) показав, що спектри атомів лінійчасті, що кожному газу притаманний визначений лінійчастий спектр, спектральні лінії якого розподілені на групи (серії). Частоти спектральних ліній окремих серій виражаються певними емпіричними

формулами.

І.Я.Бальмер, швейцарський фізик, підібрав емпіричну формулу (узагальнена формула Бальмера), яка описує всі серії спектральних ліній у спектрі атома водню:

ν = R(  1

m 2

 

− n 2 )

 

, (1)

де  m –  визначає  серію  в  спектрі;  m – 1,2,3,4,5,6,  а  n –  приймає цілочислові значення, починаючи з m + 1 ( визначає окремі лінії цієї серії); R = 3,29·1015 с-1 – стала Бальмера-Рідберга. Ця формула не мала теоретичного обґрунтування.

6.3. Квантова теорія атома. Атом водню за теорією Бора

Якісно  нову  –  квантову теорію  атома  побудував  датський фізик Нільсон Бор.


У цій теорії несуперечливим чином були зв’язані в єдине ціле емпіричні закономірності лінійчастих спектрів, ядерна модель атома Резерфорда, а також ідея  Планка про  квантовий характер випромінювання і поглинання атомом світла.

Основою квантової теорії атома є два постулати Бора.

Перший   постулат  Бора   (постулат  стаціонарних  станів):  в атомі існують стаціонарні стани ( не змінюються з часом), в яких атом не випромінює енергію. В цих станах атома електрон, рухаючись по коловій орбіті, повинен мати дискретні квантові значення моменту імпульсу, які задовольняють умові:

me vrn

 = n  h ,

2π

 

(n = 1,2,3,...)

 

(2)

де me

 − маса електрона;  v − його швидкість на n −й орбіті радіуса

rn ; h −стала Планка.

Другий постулат Бора  (правило частот): при  переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на другу випромінюється (поглинається) один фотон з енергією:

hν = En  − Em , (3) де Еn   i Em – відповідно енергії стаціонарних станів атома до і після випромінювання (поглинання). Набір можливих дискретних частот квантових переходів

ν = En  − Em

h

 

(4)

і визначає лінійчастий спектр атома.

6.4. Розрахунок  енергії спектра  атома водню за Бором

Перший постулат Бора (2), який виражає правило квантування стаціонарних орбіт електрона в атомі, а також другий закон динаміки для руху електрона по коловій орбіті в центрально – симетричному полі ядра атома водню ( ядерна модель Резерфорда)

m v2

 1 e 2

 e    n    =

rn

 

4πε0  n

 (5)

утворюють систему двох рівнянь, розв’язок яких дає вираз для радіуса

n –ї стаціонарної орбіти :


r = n 2 h

 

4πε0

, (6)

h =  h

 n  2

e

n = 1 2

де 2π ,

,  ,...

З  формули  (6)  випливає,  що  кожний  атом  має  нескінченно велику кількість стаціонарних станів, радіуси орбіт  яких збільшуються пропорційно до n2

Визначивши повну енергію електрона в атомі водню (а також в

одноелектронних атомах Не+

 Li2+ тощо), яка складається із

кінетичної і  потенціальної енергії  в полі ядра, з урахуванням квантових значень радіуса n – ї стаціонарної орбіти (6) одержимо, що енергія електрона може приймати тільки такі дискретні значення:

1 m e4

En  = −

⋅     e   , (7)

n 2 8h 2ε2

де знак мінус означає, що електрон зв’язаний з ядром і для його віддалення  від  ядра  необхідно  виконати  тим  більшу  роботу,  чим менше n (енергія іонізація атома).

Із формули (7) випливає, що енергетичні стани атома утворюють послідовність  енергетичних  рівнів.  Ціле  число  n ,  яке визначає енергетичні рівні атома, називається головним квантовим числом.

Енергетичний стан з n = 1 є основним  станом атома; стани з

n >1 є збудженими. Надаючи n різних числових значень у формулі(7), одержимо для атома водню можливі рівні енергії Еn, схематично представлені на рис.1.

Енергія  атома  зі  збільшенням  n зростає  та  енергетичні  рівні наближаються до межі, яка відповідає значенню n = ∞.

Мінімальна енергія атома при n =1 (основний стан) Е1= −13,55 еВ;

максимальна енергія атома при n = ∞ Е= 0.

Для  іонізації  водню  з  основного  стану  необхідно  витратити

енергію │Е1│= 13,55 еВ.

6.5. Випромінювання і поглинання світла  атомами

В  основному стані (n =  1) атом водню може перебувати як завгодно  довго,  а  електронна  оболонка  має  сферичну  симетрію. В


збуджених станах (n >0) атом перебуває дуже малий проміжок часу

-8

(~ 10

с).

Відповідно з другим постулатом при переході атома із стаціона-

рного стану n  в стаціонарний стан m з меншою енергією випроміню- ється квант :

m e 4 1 1

hν = En  − Em

 = − (

8h 2ε2  n 2

 − ) , (8)

m 2

звідки частота випромінювання:

m e 4 1 1 1 1

ν =  e  (

8h 2ε2  m2

 − n 2 ) = R( m 2

 − n 2 )

 , (9)

m e4

 

15  -1

де  R =

8h 2ε2

 = 3,29· 10

с  , величина, яка збігається з значенням

сталої Бальмера-Рідберга в емпіричній формулі (1). Цей збіг впевнено доводить правильність одержаної Бором формули (7) для енергетич- них рівнів воднеподібних атомів.

Підставляючи в формулу (9)  m = 1 і n =2,3,4,.... одержимо гру- пу ліній, які утворюють серію Лаймана і відповідають переходам еле-

ктронів із збуджених рівнів (n =2,3,4,....) на основний (m = 1). Анало-

гічно, при підстановці m = 2,3,4,5,6 відповідних кожному m  значень

n, одержимо серії Бальмера, Пашена, Брегета, Пфунда і Хемфрі (див. рис.1), одержаних експериментально задовго до квантової теорії Бора.

Створена теорія Бора є квантовою теорією тільки для одно елек-

тронних систем (Н, Не+

 ++...), для багатоелектронних атомів вона

не застосована, бо в ній суперечливо поєднані закони класичної фізи- ки і квантові постулати .

Точна сучасна теорія атомів, молекул, твердого тіла – квантова механіка, яка створена на основі уявлень про хвильові властивості елементарних частинок.


E, еВ

0 E

─0,54

─0,84

─1,50

3,38

─13,55

 

Серія

Лаймана

 

Серія

Бальмера

 

Серія

Пашена

 

E4

n=4

n =3 E3

E2

n =2

E1

n=1

Рис. 1


РОЗДІЛ  7. ЕЛЕМЕНТИ ФІЗИКИ АТОМНОГО ЯДРА

7.1. Склад  ядра

Атомне ядро складається з елементарних частинок – протонів і нейтронів. Протон (р) має позитивний заряд, рівний заряду електрона і масу спокою mp = 1,6726·10-27кг ≈ 1836 mе, де mе – маса електрона.

Нейтрон (n) – нейтральна частинка з масою спокою mn = 1,6749·10-27кг

≈  1839  mе.  Протони  і  нейтрони  називаються  нуклонами.  Загальне

число  нуклонів  в  атомному  ядрі  називається  масовим  числом  А.

Атомне  ядро  характеризується  зарядом  Ze, де  Z –  зарядове  число ядра, рівне числу протонів в ядрі. Воно збігається з порядковим номером хімічного елемента у Періодичній системі елементів Мен-

делєєва.

Ядро  позначається  символом

 А X ,  де  Х –  символ  хімічного

елемента. Оскільки атом нейтральна система, то заряд ядра визначає і число електронів в електронній оболонці атома, а отже зарядове число Z визначає хімічні властивості атома.

Ядра з однаковими Z, але різними А (тобто з різним числом нейтронів N = A – Z) називаються ізотопами, а ядра з однаковим А, але різними Z – ізобарами.

Радіус ядра задається емпіричною формулою

 

R = R 3  A ,

де  R0 ≈ 1,3·10-15м. Густина ядерної речовини приблизно однакова для всіх ядер і становить приблизно 1017кг/м3.

7.2. Дефект маси та енергія зв’язку ядра

З експерименту витікає, що маса ядра mя менша, ніж сума мас нуклонів,  з  яких  воно  складається.  З  універсального  закону  про

2

зв’язок між масою та енергією (Е = mс

 , де с = 3·108 м/с – швидкість

світла у вакуумі) витікає, що будь−якій зміні маси відповідає зміна енергії, отже при утворенні ядра повинна виділятися певна енергія. Із закону збереження енергії витікає: при розділенні ядра на складові частини необхідно затратити таку ж кількість енергії, яка виділяється при його утворенні.

Енергія,  яку  необхідно  затратити,  щоб  розщепити  ядро  на окремі нуклони, називається енергію зв’язку ядра:

Eзв. = ( Z·mp +(A-Z)·mn – mя )·c2 , (1)


де величина

 

∆m =  Z·mp +(A - Z)·mn – mя (2)

називається дефектом маси  ядра.

Формулу  (1)  для  енергії  зв’язку  ядра  можна  записати  ще  у такому вигляді:

E = (Z·m +(A - Z)·m  – mc2 (3)

де mн – маса атома водню; m – маса відповідного атома.

У позасистемних одиницях енергія зв’язку ядра Eзв. = 931 ∆m, де дефект маси ∆m виражений в а.о.м., 931−коефіцієнт пропорцій- ності. Енергія зв’язку Eзв тоді буде виражена в МеВ (МеВ = 106  еВ =

1,6·10-13 Дж).

7.3. Радіоактивність. Закон радіоактивного розпаду

Ізотопи кожного хімічного елемента розділяються на стійкі та нестійкі.  Ядра нестійких ізотопів здатні  спонтанно  (самовільно) розпадатися, перетворюючись при цьому в ядра інших елементів. Такі ізотопи називаються радіоактивними,   а явище спонтанного перетворення ядер радіоактивних ізотопів – радіоактивністю.

Властивість радіоактивного перетворення ядер нестійких ізото- пів зумовлена внутрішніми причинами і супроводжується випро- мінюванням  γ –  квантів, α- і  β- частинок. Умовно радіоактивність поділяється  на  природну  і  штучну, залежно  від  того,  як  утворено нестійкий ізотоп − штучно чи він існує в природі.

α- розпад пов’язаний з викиданням частинок з ядра, які являють

собою потік ядер гелію

 4 Не

β  − розпад – з викиданням електрона

2 ,

з ядра при перетворенні нейтрона в ядрі в протон. Надлишок енергії збуджених ядер радіоактивних продуктів звільняється при розпаді у вигляді γ – випромінювання, яке супроводить усі типи радіоактивності і являє собою електромагнітне випромінювання з дуже короткою довжиною хвилі (λ < 10-11м).

Кількість радіоактивного  препарату  змінюється  з  часом  за експоненціальним законом (рис.1):

N = N e-λt

,

 

(1)

де N – кількість атомів радіоактивної речовини, що залишилась на момент часу t;  N0 – початкова їх кількість ( при t = 0).


Формула (1) виражає закон  радіоактивного розпаду , де λ – постійна для даної радіоактивної речовини величина – називається сталою радіоактивного розпаду, вона зв’язана з періодом  Т1/2 піврозпаду формулою:

λ = ln2

T1 / 2

 

= 0,693

T1 / 2

 

. (2)

Період  піврозпаду Т1/2  характеризує швидкість розпаду радіо- активного ізотопу, вимірюється часом, протягом якого число атомів ізотопу зменшується наполовину.

Періоди піврозпаду для природно-радіоактивних елементів коливаються в межах від 10-4с до 109 років.

N

N0

N0 /2

N0 /4

N0 /8

 

T1 / 2

 

2T1 / 2

 

3T1 / 2 t

Рис.1

Середній час життя  τ радіоактивного ядра – це інтервал часу, за який число ядер, що залишились, зменшиться в е раз, тобто час, за який розпадається більше 60% ядер:

τ = 1

λ

 

,  Т1/2 = 0,693 τ.

Важливою характеристикою радіоактивного джерела є фізична величина – активність. Вона дозволяю судити про його радіаційну безпеку, про кількість радіоактивних ядер тощо.


Активністю нукліда (загальна назва атомних ядер) у радіо- активному джерелі називається величина, яка вимірюється числом ядер, що розпалися за одиницю часу:

A = ∆N

∆t

 

= λN

 

= λN

 

λ t

0

 

= A eλ t

,

де ∆N − число ядер, які розпадаються за інтервал часу ∆t;

А0  − активність нукліда в початковий момент часу.

Одиниця активності в СІ – беккерель (Бк): 1 Бк – активність нукліда, при якій за 1 с відбувається один акт розпаду. Позасистемна одиниця активності – кюрі (Kі):

10

1 Kі = 3,7·10

Бк.


ЗАДАЧІ

1. Механіка

1.1. Прикладом дуже швидкого росту може бути один із видів грибів теплих країн, який деякий час може приростати на 5 мм за хви- лину. На скільки виріс би такий гриб, коли б він ріс з такою швидкіс- тю цілий тиждень? (50,4 м)

1.2. Швидкість росту бамбука 0,5 мм/хв. За який час бамбук до- сягне висоти 20 м. (28 днів).

1.3. Точка рухається по колу радіусом R=2 см. Залежність шляху

від часу задається рівнянням x = ct3. Постійна величина с=0,1 см/с3. Знайти нормальне та тангенціальне прискорення в момент, коли лі- нійна швидкість V=0,3 м/с .

(4.5 м/с2; 0,06 м/с2).

1.4. Автомобіль, що рухається зі швидкістю V=54 км/год прохо- дить закруглення шосе з радіусом кривизни R=250 м. На повороті шофер гальмує машину і надає їй прискорення 0,4 м/с2. Визначити нормальне та повне прискорення автомобіля.

(0,9 м/с2, 0,99м/с2).

1.5. Матеріальна точка рухається вздовж прямої. Рівняння руху

3

точки має вигляд:  x=A+Bt+Ct

 , де А=4 м, В=2м/с, С=−0,5 м/с3. Для

моменту часу t1=2 с визначити: 1) координату точки x1; 2) миттєву швидкість V1; 3) миттєве прискорення а1.

(4м; −4м/с;−6м/с2).

1.6. Матеріальна точка рухається по колу радіусом 5 м. Рівняння

2

руху точки:  φ=A+Bt+Ct

 , де А=10 рад, В=20 рад/с, C=−2 рад/с2.

Знайти лінійну швидкість, кутову швидкість та повне прискорення то-

чки на момент часу t1= 4 с.

(4 рад/с, 1,65 м/с2).

1.7. Для виділення макромолекул білка із розчину його поміща- ють у центрифугу, яка починає обертатися з кутовим прискоренням

0,8 рад/с2. Знайти тангенціальне, нормальне та повне прискорення ма-

кромолекули білка, що знаходиться на дні пробірки на відстані 15 см від центра обертання, через 5 с після початку руху.

1.8. Для направленого росту рослин у космосі передбачається застосовувати оранжереї, що обертаються. Обчислити частоту обер- тання оранжереї, необхідну для одержання відцентрової сили F=0,3 mg на відстані R=25м від осі обертання.

(5,46·10-2 с-1)


1.9. Молот масою 10 кг вільно падає з висоти 1,25 м. Знайти си- лу удару, якщо тривалість його 0.01с.

(0,5 Н)

1.10. Тіло масою 0,5 кг рухається прямолінійно, причому залеж- ність пройденої тілом відстані від часу визначається рівнянням S=

A+Bt+Ct

 2

-Dt

 3, де C=5м/с2 та D=1 м/с3. Знайти силу, яка діє на тіло в

момент t=1 с.

 

(2 Н)

1.11. Який найбільший тягар може витримати сталевий дріт діа- метром 1 мм, не виходячи за межі пружності 294 МПа? Визначити відносну деформацію дроту цього тягаря.

(231Н)

1.12. До сухожилля довжиною l=12 см і діаметром d=1,6 мм підвісили груз F=68,6 Н. При цьому воно подовжилось до l1=12,3 см. Визначити модуль пружності Е сухожилля.

(1,4 ГПа)

1.13. Паровий молот масою 2 т падає з висоти 2 м, створюючи під час удару силу 14,7·105 Н. Визначити тривалість удару, якщо удар непружний.

(9 мс.)

1.14. На барабан радіусом 0,5 м намотано нитку, до кінця якої підвішено тягарець масою 10 кг. Знайти момент інерції барабана, коли відомо, що тягарець падає з прискоренням 2,04м/с2 .

(9,5 кг·м2)

1.15. На платформі стоїть нерухомо закріплена гармата масою

8 т. Із гармати роблять постріл із горизонтальною швидкістю снаряда

800 м/с. З якою швидкістю буде рухатися платформа, якщо її маса

12 т, а маса снаряда 50 кг? Визначити час, протягом якого буде руха- тися платформа, якщо коефіцієнт тертя коліс платформи з коліями становить 0,01.

(2м/с; 20,4с).

1.16. Молекула азоту, яка летить зі швидкістю 600 м/с, стикаєть- ся нормально зі стінкою посудини і пружно відскакує від неї без втра- ти швидкості. Визначити імпульс сили, отриманий при ударі.

(5,6·10

 -23

 Н·с).

1.17. Молекула аргону, яка летить зі швидкістю 500 м/с, пружно стикається зі стінкою під кутом 60˚ до нормалі і відходить від неї без втрати швидкості. Визначити імпульс сили, отриманий при ударі.

(3,3·10-23 Н·с).


1.18. Вагон масою 20 т рухається рівносповільнено. Його почат- кова швидкість була 54 км/год і прискорення а=−0,3 м/с. Визначити силу гальмування, яка діє на вагон. Через який час вагон зупиниться? Яку відстань вагон пройде до зупинки?

(6 кН; 50 с; 375м)

1.19. На автомобіль масою 1 т під час руху діє сила тертя, яка дорівнює 0,1 сили тяжіння mg. Яка має бути сила тяги двигуна, щоб автомобіль рухався: а) рівномірно; б) з прискоренням 2м/с2.

(980 Н; 3 кН).

1.20. Період обертання штучного супутника Землі дорівнює

2 год. Вважаючи орбіту супутника коловою, знайти, на якій висоті над поверхнею Землі рухається супутник. Прийняти радіус Землі R=6,37·106 м, а масу Землі  М =5,96·1024 кг.

(1,69 Мм)

1.21. Для вивчення впливу прискорень на організм тварин кро- лика масою 3 кг розмістили у центрі горизонтального диска масою 10

кг. Число обертів диска становить 25 об/хв. Як зміниться число обер-

тів диска, якщо кролик перейде від центра до його краю.

(15,6 об/хв)

1.22. Смужка тканини завдовжки 5 см з поперечним перерізом

-2

0,1 см2  вирізана із речовини, модуль Юнга якої становить 2·105Н·м  .

Яку масу варто прикріпити до вертикально підвішеної смужки, щоб викликати видовження 0,5см (зміною поперечного перерізу знехту- вати) .

(2·10-2 кг)

1.23. За який час стрічковим транспортером можна навантажити

16 т пшениці у вагон, якщо потужність двигуна 0,368 кВт? Транспор- тер подає зерно на висоту 4 м.

(28,4 хв)

1.24. Момент інерції маховика дорівнює 107кг·м2. Через який час маховик матиме частоту обертання 1800 об/хв, якщо корисна потуж- ність двигуна 100 Вт?

(17,7с.)

1.25. Мідна куля радіусом  0,1м обертається з частотою n=2 об/с навколо осі обертання, яка проходить через її центр. Яку роботу треба здійснити, щоб збільшити кутову швидкість обертання кулі вдвічі?

(34,1 Дж)

1.26. До ободу однорідного диска масою 5 кг прикладено дотич- ну силу 19,6 Н. Яку кінетичну енергію матиме диск через 5 с після по-

чатку дії сили?

(1,92 кДж)


1.27. На яку висоту може викотитись обруч за рахунок своєї кі- нетичної енергії, якщо перед цим він мав швидкість 7,2 км/год. Тертя не враховувати.

(0,4 м)

1.28. Металева кулька, яка котиться по горизонтальній поверхні зі швидкістю 1 м/с, потрапляє на похилу площину і викочується по ній

у гору. На яку максимальну висоту підніметься кулька?

(7,1·10-2 м)

1.29. Колесо, яке обертається рівносповільнено зменшило за од- ну хвилину частоту обертання від 300 до 180 об/хв. Момент інерції колеса 2 кг·м2. Знайти роботу сил гальмування та кількість обертів, зроблених колесом за 1 хв.

(630 Дж; 240 об.)

1.30. Обруч, що котиться без ковзання зі швидкістю 5 м/с, уда- ряється об стінку і відскакує від неї зі швидкістю 4 м/с. Визначити кі- лькість тепла, що виділяється при ударі, якщо маса обруча 3 кг.

(27 Дж)

1.31. При тренуванні на перевантаження тренажер з космонав- том повинен обертатися з частотою 30 об/хв. Момент інерції трена- жера з людиною дорівнює 8000 кг·м2. Визначити потужність мотора електродвигуна, який може розігнати систему до потрібного  числа обертів за 20 с.

(2 кВт).

1.32. Маховик обертається з частотою n=10 об/с. Його кінетична енергія 7,85 кДж. За який час момент сил М=50 Н·м, прикладений до

маховика, збільшить кутову швидкість маховика вдвічі?

(5 с)

1.33. Для підняття води із колодязя глибиною h=20 м встано- вили насос, що має потужність N=37 кВт. Визначити масу та об’єм

води піднятої за час t=7 год, коли ККД насоса η=80%.

(380т; 380м3)

1.34. Садівник для поливки саду накачує воду з колодязя. ККД

насоса 0,4 , потужність N=73,55 Вт. Яка була глибина колодязя, якщо садівник за 1 год накачав 1,2 м3 води .

(9 м).

1.35. Людина за 0,5 с піднімає вантаж масою 25 кг на висоту

1,5 м. Коефіцієнт корисної дії м’яза η=0,3. Яку роботу виконує та яку потужність розвиває м’язова система людини? Яка енергія витрача-

ється м’язами рук?

(367,5 Дж; 735 Вт; 1225 Дж)


1.36. Важкоатлет піднімає штангу над своєю головою за t=2 с на висоту h=2,1 м. М’язи його рук розвивають потужність 2058 Вт. Яка маса піднятої штанги?

(200 кг)

1.37. Сарана масою 3 г стрибає на певну відстань. Енергія м’яза, який працює з коефіцієнтом корисної дії η=0,3 витрачається так: 25% енергії на піднімання сарани на висоту 10 см і 75% енергії на горизон- тальний політ. Яка кінетична енергія сарани та яку енергію витрачає м’яз на такий стрибок?

(8,82 мДж; 39,2 мДж)

1.38. На парну упряжку коней щодня витрачається корм із роз- рахунку 60 МДж на одного коня. Кінна упряжка розвиває силу 850 Н при швидкості 10,26 км/год. За день коні виконують роботу протягом

5 год. Яку потужність і який коефіцієнт корисної дії має кінна упряж- ка при виконанні корисної роботи?

(2,42 кВт; 36,3%)

1.39. Для одержання аерозолів лікарських речовин їх диспергу- ють ультразвуком з частотою 5 МГц. Написати рівняння руху частин- ки аерозолю, що здійснює коливання під дією ультразвуку, якщо амп- літуда коливань дорівнює 2 мкм. Знайти максимальну силу, що діє на частинку масою 10-12г.

(2·10-6Н; х =2·10-6сos (107 πt).

1.40. Рівняння коливання матеріальної точки масою m=0,016 кг має  вигляд;  x=0,1sin(π·t/8+π/4).  Знайти:  1)  максимальне  значення

швидкості та прискорення руху точки; 2) значення максимальної сили,

що діє на точку; 3) повну енергію точки, що коливається.

(0.04 м/с; 0,0154м/с2; 2,46·10-4Н; 1,23·10-5 Дж)

1.41. Рівняння коливання точки має вигляд: x=3sinπt (зміщення в сантиметрах, час у секундах). Визначити: 1) амплітуду коливання, колову частоту, період та початкову фазу; 2) зміщення точки в момент часу t=1/6 с.

(3 см; 2с; φ0=0; 1,5 см)

1.42. Повна енергія точки, що здійснює гармонічні коливання

дорівнює 30 мк Дж. Максимальна сила, що діє на точку дорівнює

1,5 мН. Написати рівняння руху цієї точки, якщо період коливань до- рівнює 2 с, а початкова фаза  π/з.

(x=0,04 сos (πt + π/з)

1.43.  Вздовж  пружного  шнура  розповсюджується  поперечна хвиля зі швидкістю V=15 м/с. Період коливань точок шнура Т=1,2 с,


амплітуда коливань А=0,02 м. Визначити довжину хвилі λ, фазу φ і зміщення  x точки на відстані у=45 м від джерела хвиль у момент часу t=4 с.

(18 м; 1,67 π; -1,7 см).

1.44. Знайти максимальну кінетичну енергію матеріальної точки масою 1 кг, що здійснює гармонічні коливання з амплітудою 0,05 м та частотою 2 Гц. Написати рівняння коливань та зобразити графічно за- лежність зміщення точки від часу.

(0,2 Дж; x=0,05сos 4πt)

1.45. Тіло масою m=160 г підвішено на пружині жорсткістю

к=9,87 Н/м. Визначити період коливань.

(0,8 с)

1.46. Тіло масою 10 г прикріплено до пружини, яка здійснює ко- ливання з періодом 2 с. Яку силу треба прикласти до пружини, щоб

розтягнути її на відстань 10 см відносно положення рівноваги?

(0,01Н)

1.47. Дві точки знаходяться на прямій, вздовж якої розповсю- джуються хвилі зі швидкістю 10 м/с. Період коливань 0,2 с, відстань між точками 1 м. Знайти різницю фаз коливань у цих точках.

(π)

1.48. Тіло масою  0,2  кг, що підвішено до пружини, коливається по вертикалі з періодом 0,5 с. Визначити жорсткість пружини.

(32 Н/м)

1.49. Рівняння хвилі має вигляд y=3 sinπ (t - x/v) см. Швидкість хвилі дорівнює 10 м/с. Визначити амплітуду та період цієї хвилі, а та-

кож зміщення точки, що знаходиться на відстані 50 м від джерела ко-

ливань у момент часу t=5,5 с.

(3 см; 2 с; 3 см.)

1.50. Хвиля описується рівнянням x=Asinw(t-y/v), де амплітуда

А дорівнює 0,03 м, колова частота w=πc-1, швидкість хвилі дорівнює

5 м/с. Визначити зміщення частинок середовища через час t=2,5 с на відстані 10 м від джерела коливань.

-2

(3·10  м)

1.51. Хвиля описується рівнянням x=0,05sin2π(t-y/2). Визначи- ти найближчу координату точки середовища, в якій в момент часу t=1 с зміщення дорівнює x= 0.05 м .

(1,5м)

1.52.  Хвиля  розповсюджується  вздовж  прямої  зі  швидкістю

V=25 м/с. Період коливань T= 0,02 с. Знайти різницю фаз коливань


двох точок, що знаходяться на вказаній прямій на відстані x=30 см одна від одної.

(3,77 рад)

1.53. Амплітуда гармонічних коливань ультразвукового випро- мінювача 5 мкм, частота 5 МГц. Визначити максимальну швид-кість і

максимальне прискорення частинок середовища.

2

(157 м/с; 50мс/с )

1.54. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання. Період коливання T=2 с, амплітуда А=50 мм, початкова фаза φ=0. Знайти швидкість точки в момент часу, коли зміщення точки від положення рівноваги x=25 мм.

(136 мм/с)

1.55. До пружини підвішено вантаж масою m=10 кг. Під впли- вом сили F=9,8 H пружина розтягується на l=1,5 см. Знайти період Т

вертикальних коливань вантажу.

(0,7 с)

1.56. До пружини підвішено вантаж. Максимальна кінетична енергія коливань вантажу Wmax= 1Дж. Амплітуда коливань А=5 см. Знайти жорсткість пружини.

2. Молекулярна фізика

2.1. Розрахувати додатковий тиск, зумовлений поверхневим на- тягом у краплині рідини, якщо вона має сферичну форму діаметром 3 мкм. Коефіцієнт поверхневого натягу рідини 72,6 мН/м.

(96,8 кПа)

2.2. Судини ксилеми мають радіус 20 мкм. На яку висоту підні- матиметься вода по ксилемі? Прийняти коефіцієнт поверхневого натя-

-3

гу ксилеми 72,8·10

Н/м і густину 998 кг/м

 3

. Який радіус повинні мати

судини, щоб вода за рахунок капілярних сил досягла вершини дерева заввишки 20 м?

(74,4 см; 0,74 мкм).

2.3. Скляний капіляр діаметром 0,2 см в одному випадку розмі- щують у воді (крайовий кут 12˚), а в іншому – в етанолі (крайовий кут

35˚). На яку висоту підіймається рідина в капілярі в обох випадках. Густина води 997 кг/м3, етанолу 785 кг/м3. Коефіцієнт поверхневого натягу води 0,073 Н/м, етанолу 0,022 Н/м .

(1,45 см; 0,47 см)

2.4. У капілярі діаметром 1,4 мм вода піднімається на висоту 1,4 см. Яка буде висота підняття води і на скільки зміняться змочувальні


властивості капіляра, якщо після обробки його крайовий кут дорівнює

600? Коефіцієнт поверхневого натягу води 0,073 Н/м, а густина води

997 кг/м3.

(10,66 мм)

2.5. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу рицинової олії,

якщо в трубці радіусом r=0,5  мм воно піднялось на висоту 14 мм. Змочування вважати повним. Густина олії 9,6·102кг/м3.

(33 мН/м)

2.6. Визначити середній діаметр капіляра грунту, якщо вода пі- діймається на висоту 49 мм. Змочування стінок вважати повним. Гус-

3

тина води 1000 кг/м

Н/м.

, коефіцієнт поверхневого натягу води 7,2·10-2

(0,6 мм)

2.7. Визначити висоту підняття води у стеблинах рослин з внут- рішнім діаметром 0,4 мм під дією капілярних сил. Змочування стінок вважати повним. Густина води 103 кг/м3, коефіцієнт поверхневого на- тягу води 7,2·10-2 Н/м.

(7,32 см)

2.8. Визначити висоту, на яку підіймається вода у стеблинах ро- слин, що мають капіляри діаметром 3 мкм. Коефіцієнт поверхневого натягу води 72 мН/м, змочування повне. Густина води 103 кг/м3.

2.9. Враховуючи діаметри капілярів у ґрунті в середньому рів- ним 0,2 мм, знайти висоту, на яку підніметься вода у ґрунті. Прийняти коефіцієнт поверхневого натягу води 73 мН/м, змочування повне. Гу- стина води 103 кг/м3.

2.10. Капіляр радіусом 1,5 мм занурений у рідину. Знайти кое- фіцієнт поверхневого натягу рідини, якщо сила тяжіння стовпчика рі- дини у капілярі 10-4 Н, кут змочування 60˚.

2.11. Наскільки тиск повітря всередині мильної бульбашки бі- льше нормального атмосферного тиску, якщо діаметр 5 мм? Коефіці- єнт поверхневого натягу мильної води 40 мН/м.

2.12. Знайти додатковий тиск всередині мильної бульбашки діа- метром 5 см. Яку роботу треба виконати, щоб видути цю бульбашку? Коефіцієнт поверхневого натягу мильної води 40 мН/м.

2.13. Гліцерин піднявся по капілярній трубці з діаметром каналу

1 мм на висоту 20 мм. Визначити поверхневий натяг гліцерину. Вва- жати змочування повним. Густина гліцерину дорівнює 1,26·103 кг/м3.


2.14. Визначити коефіцієнт поверхневого натягу рідини, якщо при витіканні однакового об’єму дистильованої води і рідини утворю- ється відповідно 150 і 158 крапель. Коефіцієнт поверхневого натягу води прийняти 73 мН/м.

2.15. Тиск повітря всередині мильної бульбашки на 226 Па бі- льший, ніж атмосферний. Визначити діаметр бульбашки. Коефіцієнт поверхневого натягу мильного розчину 0,043 Н/м.

(1,52·10-3 м)

2.16. У скільки разів висота підйому води в стеблинах рису, які мають середній діаметр капілярів 0,02 мм, більша , ніж у ґрунті з капі- лярами діаметром 0,3 мм. (15)

2.17. У капілярах піщаних ґрунтів вода підіймається на висоту

1,5 м. Температура води дорівнює 20 ˚С, а її густина 1000 кг/м3. Ви- значити діаметр ґрунтових капілярів. Змочування вважати повним.

(1,96·10-5м)

2.18. На яку висоту підіймається вода у ґрунтовому моноліті за рахунок його пористості, якщо діаметр ґрунтового капіляра 7,5·10-5м, а вода повністю змочує грунт. (0,4 м)

2.19. Визначити коефіцієнт теплопровідності м’язової тканини тварини, якщо за 10 хв через 1 дм2 її поверхні пройшло 680 Дж тепло- ти. Товщина тканини 1 см, зміна температури на цій відстані 20 ˚С.

(5,67·10-2 Вт/м·К)

2.20. Зовнішня поверхня парникової бетонної стіни має темпе- ратуру t1= –10 0С, внутрішня має температуру t=20 0С. Товщина стіни

0,25 м. Яка кількість теплоти проходить через 2 м2 поверхні  за  1 год?

Коефіцієнт теплопровідності бетону 0,87 Дж/м·с·К.

(7,05·105Дж)

2.21.  Через  яку  площу поверхні  суглинкового  ґрунту пройде

4,83·105  Дж теплоти протягом 1 год, якщо температура на поверхні ґрунту 20 ˚С, а на глибині 0,5 м вона дорівнює 10 ˚С. Коефіцієнт теп- лопровідності ґрунту 1,01 Дж/м·с·К.

(6,6 м2)

2.22. Визначити  кількість  теплоти,  що  проходить протягом

5 хв крізь шар зерна товщиною 2 м та площею 1,5 м2, якщо різниця температур верхньої та нижньої поверхонь 4 0С. Коефіцієнт теплопро- відності зерна 0,174 Вт/м·К.

(157 Дж)

2.23. За який час 720 мг вуглекислого газу продифундує із грун- ту в атмосферу через 1 м2 його поверхні при градієнті густини 0,5·10-6 г/см4? Коефіцієнт дифузії прийняти рівним 0,04 см2/с.

(3600с)


2.24. Визначити кількість азоту, що пройшов внаслідок дифузії через площадку 10 см2 за 5 с. Градієнт густини азоту 1,026г/см4. Кое- фіцієнт дифузії 1,42см2/с.

(8,95·10-5 кг)

2.25. За добу через 1 м2  поверхні дерново-підзолистого ґрунту дифундує 145 г вуглекислого газу. Визначити коефіцієнт дифузії вуг- лекислого газу, якщо градієнт густини в ньому 1,4·10-5 г/см4.

(1,2·10-6 м2/с)

2.26. Водомірка рухається по водяній поверхні. Загальний пери- метр взаємодії кожної із її шести кінцівок з водою становить 1 мм. Припустивши, що поверхневий натяг діє вертикально, показати, що сила поверхневого натягу спроможна утримати тіло комахи масою

25·10-6 кг. Коефіцієнт поверхневого натягу води дорівнює 73·10-3 Н/м.

(F=436,8·10-6  Н; Р=245·10-6  Н)

2.27. Водомірка бігає по поверхні води. Знайти вагу комахи, як- що відомо, що під кожною із шести лапок водомірки утворюється ям- ка, рівна півсфері з радіусом 0,1 мм. Коефіцієнт поверхневого натягу

води 0,073 Н/м.

(27,5·10-5 Н)

2.28. У рицинову олію опустили сталеву кульку діаметром  d=1 мм і визначили, що відстань l=5 см вона пройшла за час t=14,2 с.

Вважаючи  рух  кульки рівномірним,  визначити  в’язкість  рицинової олії, якщо її густина становить ρм= 960кг/м3, а густина сталі ρст =7860 кг/м3.

(1,07 Па·с)

2.29. Визначити час падіння пилинки у кімнаті заввишки 3 м, якщо в’язкість повітря становить 1,75·10-5 Па·с, діаметр пилинки дорі- внює 5 мкм, а густина її 2,5 г/см3. Густина повітря 1,29 кг/м3.

(близько 42 год)

2.30. Порівняйте час зсідання з висоти 100 м крапель туману ді- аметром 0,01 мм і крапель дощу діаметром 1 мм. Коефіцієнт внутріш- нього тертя повітря 1,8·10-5 Па·с, густина повітря 1,29 кг/м3.

(0,8 с та 2,2 год)

2.31. Знайти швидкість зсідання крапель оксигумату натрію діа- метром  30  мкм  у  повітрі.  Коефіцієнт  внутрішнього  тертя  повітря

1,8·10-5 Па·с, густина 1,29 кг/м3.

2.32. Середній діаметр жирових кульок у свіжому молоці 3 мкм. Визначити швидкість спливання кульок. Густина жиру 900 кг/м3, в’язкість середовища 1,1·10-3 Па·с, густина молока 1029 кг/м3.

(0,59·10-6 м/с)


2.33. У молоці містяться мікроскопічні кульки жиру, за рахунок яких утворюються вершки. За допомогою закону Стокса визначити в’язкість молочних відвійок, якщо діаметр кульок 3 мкм і за 8 год во- ни пройшли шлях 7 мм. Густина жиру 940 кг/м3, відвійок 1029 кг/м3.

(1,8·10-3 Па·с)

2.34. Знайти  кількість газу,  що  продифундує за 24 год крізь 1 м2  ґрунту, якщо коефіцієнт дифузії 0,05см2/с, градієнт густини 4·10-5 г/см4.

2.35. Визначити  градієнт густини  вуглекислого газу у ґрунті, якщо крізь площу 1 см2  за 1 добу в атмосферу пройшов газ масою

10-8 кг. Коефіцієнт дифузії 0,04 см/с.

2.36. Градієнт швидкості рідини біля стінки 50 с-1, коефіцієнт в’язкості 5·10-3 Па·с. Яка сила діє вздовж 1 см2 стінки?

2.37. Визначити товщину шару суглинкового ґрунту, якщо за

5 год крізь поверхню ґрунту у 10 см2 надходить теплота 250 Дж. Тем- пература на поверхні ґрунту 23 0С, а на глибині 12 0С. Коефіцієнт теп- лопровідності 0,76 Дж/м·с·К.

2.38. Бактеріальна клітина сферичної форми діаметром 10 мкм рівномірно рухається в середовищі з коефіцієнтом в’язкісті 1,005·10-3

Па·с. Сила 94,7·10-13  Н, яку розвиває бактерія, повністю витрачається на подолання опору під час руху у в’язкому середовищі. Яка швид-

кість руху бактерії?  (100 мкм/с)

2.39. Яку кількість теплоти втрачає приміщення за добу через бокові стінки? Стінки − бетонні плити товщиною 30 см, розміри при- міщення 6м·8м, висота 4м, температура всередині 170С, зовні 120С, коефіцієнт теплопровідності бетону 0,817 Дж/м·с·К.

2.40. Визначити кількість теплоти, що передається внаслідок те- плопровідності крізь жирову клітковину площею 0,2м2 за 10 хв. Граді- єнт температури 10 К/см. Коефіцієнт теплопровідності жирової кліт- ковини 0,2 Вт/м·К.

2.41. Яка кількість теплоти пройде крізь бетонну стелю площею

10 м2 і товщиною 15 см за добу. Температура приміщення 18 0С, а зо- вні 5 0С. Коефіцієнт теплопровідності бетону 0,817 Дж/м·с·К.

2.42. Яка кількість теплоти пройде крізь 1 м2 поверхні піска  за  1 год, якщо температура  на його поверхні t1= 20 0С, а на глибині h=0,5 м температура t2=10 0С? Коефіцієнт теплопровідності піска 0,67 Вт/м·К.

(48,3 кДж)


2.43. Довести, чи може скелетний м’яз працювати як теплова машина при температурі 27 0С з коефіцієнтом корисної дії 45% (вико- ристати формулу коефієнта корисної дії теплової машини).

3. Електростатика. Постійний струм

3.1. На двох однакових краплях води знаходиться по одному зайвому електрону, причому сила електричного відштовхування крап- лин зрівноважує силу їх взаємного притягання. Які радіуси крапель?

(35 мкм.)

3.2. Скільки електронів має пилинка з масою m=10-11г, якщо во- на перебуває в рівновазі (не рухається) у плоскому конденсаторі з від- станню між пластинами d=5 мм? Пластинки заряджені до різниці по- тенціалів V=76,5 В.

(n=40 електронів)

3.3. Мембранний потенціал спокою м’язового волокна стано- вить – 98 мВ. Прийнявши електричне поле всередині мембрани 8,5 нм завтовшки за однорідне,  знайти напруженість електричного поля в мембрані.

(11,53·106 В/м)

3.4. Клітина має сферичну форму радіусом 20 мкм. Виміряний за допомогою мікроелектронної техніки мембранний потенціал стано- вить – 80 мВ. Питома ємність мембрани цієї клітини дорівнює 0,8 мФ/м2. Знайти кількість іонів, які проходять крізь мембрану при гене- рації такого мембранного потенциалу.

(2·106)

3.5.  Під  дією  сигнальної  молекули  лікувального  препарату  у мембрані клітини утворюється канал, крізь який у середину надходять

106   одновалентних іонів. Канал функціонує 30 мс. Визначити силу

струму у каналі.

(5,3 пA)

3.6. Мембранний потенціал клітини 60 мВ. Енергія електрич- ного поля мембрани 10-11 Дж. Визначити електроємність мембрани.

(5,5 пФ)

3.7. Яка сила діє на двозарядний іон кальцію, що дифундує крізь мембрану клітини, якщо мембранний потенціал 60 мВ, товщина мем- брани 8 нм?

(2,4 пH)


3.8. Поляризаційна ємність клітинної мембрани 1 мкФ/см2, пло- ща 50 мкм2, мембранна різниця потенціалів 70 мВ. Визначити заряд на поверхні мембрани.

3.9. Мембранний потенціал спокою дії клітини 60 мВ. Яка на- пруженість електричного поля у мембрані, якщо її товщина 6 нм ?

3.10. Ємність плазматичних мембран нервових клітин становить

104мкФ/м2. Відносна діелектрична проникність ліпідного шару мем- брани дорівнює 4. Оцінити ефективну товщину мембрани.

(3,54 нм)

3.11. На 1 мкм2 поверхні мембрани нервової клітини знаходить- ся 30 кальцієвих каналів. За допомогою „петч-клемп” методу зафіксо- вано усереднений струм поодинокого каналу: струм в імпульсі 0,2 пА і тривалість імпульсу струму 0,5 мс. Питома ємність мембрани стано- вить 3 мкФ/см2. При  якому фіксованому потенціалі на мембрані фун- кціонує така кількість каналів і яка кількість іонів кальцію перено- ситься через канал?

(100мВ; 312 іонів)

3.12. Електричний скат своїм електричним органом створює на- пругу до 200 В. Він генерує залп імпульсів (200 імпульсів/с) з тривалі- стю кожного імпульсу 4 мс і величиною струму 17 А. Яку середню потужність має електричний орган при генерації залпу імпульсів? Яку кількість їжі повинен споживати скат, щоб генерувати такий залп, якщо вся їжа використовується на генерування електричної енергії с η

= 100 % і енергетична цінність їжі 5 кДж/кг?

(2,72 кВт; 544 мг)

3.13. Яка енергія електричного поля зосереджена у мембрані, якщо її площа 5 мкм2, товщина 10 нм, мембранна різниця потенціалів

80мВ, діелектрична проникність 2,1.

3.14. Мембранний  потенціал клітин м’яза 60 мВ. Яка напру- женість електричного поля у мембрані товщиною 10 нм? Яка сила діє на іон Na + у каналі мембрани?

3.15. Визначити прискорюючу різницю потенціалів, яку повинен пройти в електричному полі електрон, що має швидкість 106м/с, для того, щоб швидкість його збільшилася в 2 рази.

(8,53 В)


3.16. Стовпчик чистої води має довжину l=1 мм. Якої довжини треба взяти мідний дріт з таким же поперечним перерізом, щоб його

опір дорівнював опору стовпчика води?

(6·106 км)

3.17. Яка прискорююча різниця потенціалів необхідна для того, щоб надати протону (ядро атома водню) швидкість, рівну 107 м/с? По- чаткова швидкість протона дорівнює нулю.

(0,5 МеВ)

3.18. У звичайних умовах напруженість електричного поля Зем- лі 130 В/м, а перед грозовим розрядом зростає до 200 кВ/м. У скільки разів зростає густина енергії електричного поля поблизу поверхні Зе-

млі перед грозою?

(2,37·106 раз)

3.19. В електричного угря орган для накопичення електричної енергії являє собою своєрідну батарею конденсаторів, заряджених до потенціалу 800 В. Потужність розряду 1 кВт. Вважаючи час розряду рівним 10-4с, визначити ємність цієї батареї конденсаторів.

(3,12·10-7Ф)

3.20. Радіус водяної краплі 1мм. Знайти потенціал краплі, якщо її заряд становить 108 електронів. (144 В)

3.21. Заряджена пилинка масою 0,01 г перебуває в рівновазі в однорідному полі плоского конденсатора. Напруга між пластинками

400 В, а відстань між ними 4 мм. Визначити величину заряду пилинки та напруженість поля.

3.22. Вважаючи Землю кулею радіусом 6,4·103 км, визначити за- ряд, який несе Земля, якщо напруженість електричного поля біля її поверхні в середньому 130 В/м. Визначити потенціал поля Землі на

відстані 300 км від її поверхні.

(6·105 Кл; 8,05·108 В)

3.23. Тисяча однакових, однойменно наелектризованих дощових крапель зливаються в одну краплю, причому заряди всіх крапель збе- рігаються. У скільки разів потенціал краплі стане більшим потенціалу

окремої краплі?

(100 разів)

3.24. Двом кулькам одного розміру та рівної маси m=30 мг на- дали по однаковому однойменному заряду. Який заряд був наданий

кожній кульці, якщо сила взаємного відштовхування зарядів зрівно-

важила силу взаємного притягання кульок за законом тяжіння Ньюто- на? Кульки розглядати як матеріальні точки.

(2,58·10-15 Кл)


3.25. Два точкових заряди q1= –10-8Кл та q2=2·10-8Кл знахо- дяться на відстані l=20 см один від одного. Знайти напруженість та потенціал поля, створеного цими зарядами, в точці, розташованій між зарядами на лінії, що з’єднує заряди, на відстані r=5 см від першого із них.

(4,4 кВ/м; – 600 В)

3.26. Два точкових заряди q1= –10-8  Кл та q2=3·10-8  Кл знахо- дяться на відстані l=20 см один від одного. Знайти напруженість та потенціал поля в точці, розташованій посередині між зарядами.

(9 кВ/м; -2,7 кВ)

3.27. Поле створене точковим зарядом q. У точці на відстані

r=30 см від заряду напруженість поля Е=2 кВ/м. Визначити потенціал

φ в цій же точці та величину заряду q.

-8

(600 В; 2·10

-8

 Кл)

3.28. Заряд q1=10

Кл створює електричне поле. Яку роботу ви-

-9

конують  сили  цього  поля,  якщо  воно  переміщує  заряд  q2=10  Кл

вздовж силової лінії із точки, що знаходиться від нього на відстані

r1=8 см до відстані r2= 1 м?

-6

(1,04·10

Дж)

3.29. Два точкових заряди q1=1 мкКл та q2=2 мкКл знаходяться на відстані r1=40 см. Яку роботу треба виконати, щоб зблизити їх до відстані r2=20 см.

(-45 мДж)

3.30. Плоский конденсатор з площею пластин S = 100 см2 і від- станню між ними d = 2 см заряджений до різниці потенціалів U=400

В. Знайти енергію поля конденсатора.

(3,54 мкДж)

3.31.  Плоский  конденсатор,  відстань  між  пластинами  якого d=2 мм, заряджений до різниці потенціалів U=200 В. Діелект- рик−фарфор. Знайти напруженість та об’ємну густину енергії  поля

конденсатора.

(100кВ/м; 221 мДж/м3)

3.32. Термопара мідь-константан опором r1=10 Ом приєднана до гальванометра опором r2=100 Ом. Один спай термопари знаходиться при  температурі  t1=  22ºС,  другий  розміщений  у скирді  сіна.  Сила струму в колі І=6,25 мкА. Постійна термопари α=43 мкВ/ºС. Визначи- ти температуру сіна в скирді.

(37 ºС)


3.33. Визначити температуру ґрунту, в який поміщена термопа- ра залізо-константан з постійною α=50 мкВ/ºС, якщо стрілка гальва- нометра, підключеного до термопари з ціною поділки 1 мкА та опо- ром r=10 Ом відхилилась на 40 поділок. Другий спай термопари зану- рений у танучий лід. Опором термопари знехтувати.

(8 ºС)

3.34. Термопарою мідь-константан з опором 6 Ом вимірюють температуру фізіологічного розчину. Один спай термопари занурений у розчин, а другий – в танучий лід. Постійна термопари 43 мкВ/град. Сила струму в гальванометрі, опір якого 100 Ом, дорівнює 17 мкА.

Визначити температуру розчину.

3.35. Термопара залізо – константан з постійною α=5·10-5 В/град занурюється одним спаєм у грунт, а другий спай знаходиться у повіт- рі, температура якого 20 ºС. Гальванометр, підключений до термопа- ри, показує струм 0,3 мкА. Опір дорівнює 1500 Ом. Визначити темпе- ратуру грунту.

4. Магнетизм

4.1. По двох нескінченно довгих прямих паралельних провідни- ках, відстань між якими рівна 25 см, течуть струми 20 і 30 А в проти- лежних напрямках. Визначити магнітну індукцію В у точці, віддале- ній на r1= 30 см від першого і r2= 40 см від другого провідника.

(9,5 мкТл)

4.2. Два нескінченні прямолінійні паралельні провідники з одна- ковими струмами, що течуть в одному напрямку, знаходяться один від

одного на відстані R. Щоб їх розвести до відстані 3 R, на кожний сан-

тиметр довжини провідника витрачається робота А = 220 нДж. Визна- чити силу струму в провіднику.

(10 А)

4.3. Рамка площею S = 1 см2 зі струмом І = 0,5 А вміщена в маг- нітне поле. Знайти індукцію поля, якщо максимальний обертальний момент дорівнює 2 мкН·м.

(0,04 Тл)

4.4.  По  горизонтальному  провіднику  масою  4  г  і  довжиною

20 см проходить струм силою 10 А. Знайти мінімальне значення інду- кції магнітного поля, дія якого зрівноважить силу тяжіння провідника.

(20 мТл)

4.5. Однорідне магнітне поле з індукцією В = 10 мТл перпен- дикулярне до  однорідного  електричного поля з напруженістю


Е = 17 кВ/м. Прискорений напругою U = 15 кВ іон рухається у схре- щених полях прямолінійно і рівномірно. Обчислити питомий заряд (е/m) для цього іона. Який це іон?

(е/m = 0.9·108 Кл/кг; іон водню)

4.6. Кільце із алюмінієвого дроту (ρ = 26 нОм·м) вміщено у маг- нітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції. Діаметр кіль- ця 20 см, діаметр  дроту 1 мм. Визначити швидкість зміни магніт-ного поля, якщо сила струму в кільці 0,5 А.

(0,33 Тл/с)

4.7. На соленоїд довжиною 20 см і площею поперечного перері- зу 30 см2 надітий дротяний виток. Соленоїд має 320 витків, по ньому тече струм в 3А. Яка середня е.р.с. виникає в надітому на соленоїд ви- тку, якщо струм у соленоїді вимикається за час 0,001с?

(0,018 В)

4.8. Коловий дротяний виток площею 100 см2 знаходиться в од- норідному магнітному полі, індукція якого 1 Тл. Площина витка пер- пендикулярна до напрямку магнітного поля. Чому буде дорівнювати середнє значення е.р.с. індукції, яка виникає у витку при вимиканні

поля на протягом 0,01 с?

(1 В)

4.9. В однорідному магнітному полі, індукція якого 0,1 Тл, руха- ється провідник довжиною 10 см. Швидкість руху провідника 15 м/с, направлена вона перпендикулярно до магнітного поля. Чому до- рівнює індукована в провіднику е.р.с?

(- 0,15 В)

4.10. Соленоїд довжиною 50 см і площею поперечного перерізу

2 см2 має індуктивність 2·10-7 Гн. При якій силі струму об’ємна густи- на енергії магнітного поля у середині соленоїда 10-3 Дж/м3 ?

(1 А)

4.11. Заряд тіла бджоли змінюється від -1,8 пКл у момент вильо- ту з вулика до +2,9 пКл у момент повернення зі збору. Швидкість

польоту бджоли становить 0−60 км/год без корму і 20−30 км/год з ко- рмом. Визначити максимальні значення сили Лоренца, що діє на бджолу в момент вильоту і повернення, якщо індукція магнітного по-

-5

ля Землі 4,5·10

Тл.

 

(1,35·10-15 Н; 1,09·10-15 Н)

4.12. Визначити силу, що діє на одновалентний іон, який руха- ється зі швидкістю 0,5 м/с у магнітному полі з індукцією 10-4 Тл пер- пендикулярно напрямку поля.

(0,8·10-23 Н)


4.13. Коливальний контур апарата УВЧ складається із ємності та індуктивності 2 мкГн. Якою повинна бути ємність для випромі- нювання електромагнітних хвиль довжиною 10м.

5. Оптика

5.1. Визначити, яку довжину шляху s1  пройде фронт хвилі мо- нохроматичного світла у вакуумі за той же час, за який він проходить шлях s2 = 1,5 мм у склі з показником заломлення n2 =1,5.

(2,25 мм)

5.2. На поверхню скляного об’єктива (n1  =1,5) нанесена тонка плівка,  показник  заломлення  якої  n2  =1,2  („просвітляюча  плівка”). При якій мінімальній товщині цієї плівки відбудеться максимальне ослаблення  відбитого  світла  в  середній  частині  видимого  спектра 3 = 550 нм).

(1,15·10-7 м)

5.3. На крильце бабки (n =1,4) під кутом 300 падає біле світло. У

відбитому  світлі  крильце  здається  забарвленим  в  зелений  колір

(λ = 500 нм). Оцінити мінімальну товщину h крильця.

(0,99·10-7м)

5.4. Дифракційна решітка має 500 штрихів на 1 см. На решітку падає нормально монохроматичне світло (λ=0,6 мкм). На який кут від нормалі до решітки треба відхилити трубу спектрометра, щоб навести її на спектральну лінію третього порядку?

(5º)

5.5. На дифракційну решітку нормально падає паралельний пу- чок променів з довжиною хвилі λ=0,6 мкм. На екрані, паралельному

дифракційній решітці, і на відстані від неї l=1м одержали дифракційну картину. Відстань між максимумами першого порядку на дифракцій- ній картині становила l=20,2 см. Знайти: а) сталу решітки; б) число штрихів на 1 м; в) кількість максимумів.

(5,94 мкм; 1,68·105 поділ./м; 19)

5.6. Монохроматичне світло довжиною хвилі λ=0,5 мкм падає нормально на дифракційну решітку. Другий дифракційний максимум,

що спостерігається на екрані, зміщений від центрального на кут 14º.

Визначити число штрихів на 1 мм решітки.

(242 мм-1)

5.7. Дифракційна решітка, що має 50 штрихів на 1 мм, розташо- вана на відстані L=55 см від екрана. Яка довжина хвилі монохромати-


чного світла, що падає нормально на решітку, якщо перший дифрак- ційний максимум на екрані відстоїть від центрального на l=1,9 см?

(690 нм)

5.8. На якій кутовій висоті над горизонтом повинно знаходитися

Сонце, щоб сонячне світло, відбите від поверхні води, було максима- льно поляризованим. Показник заломлення води nв=1,33.

(37º)

5.9.  Граничний  кут повного  внутрішнього  відбиття  світла  на межі фізіологічного розчину з повітрям дорівнює 41º. Під яким кутом повинно падати світло на поверхню розчину, щоб при відбитті воно

було максимально поляризованим.

(57о)

5.10. Чому дорівнює показник заломлення скла, якщо при відби- ванні світла від цього скла відбитий промінь буде повністю поляризо- ваний при куті заломлення 30º?

5.11. Кут максимальної поляризації при відбитому світлі від по- верхонь алмаза дорівнює 67º37´. Визначити швидкість світла в алмазі.

5.12. На скляну пластинку (n=1,6) падає природний промінь сві- тла. Визначити кут між падаючим і відбитим променем, якщо відби- тий промінь максимально поляризований.

5.13. Розчин глюкози з концентрацією 0,28 г/см3 у скляній труб- ці цукрометра довжиною 15 см повертає площину поляризації світла на 32º. Визначити коефіцієнт питомого обертання глюкози.

5.14. Визначити концентрацію цукрового розчину, якщо при проходженні світла крізь кювету поляриметра довжиною 15 см пло- щина  поляризації  світла  повернулась  на 240?  Коефіцієнт питомого обертання цукру 66,5 град· см3/г·дм.

(0,24 г·см-3)

5.15. Нікотин, що знаходиться у трубці поляриметра довжиною

10 см, повертає площину поляризації жовтого світла на 136,60. Визна- чити коефіцієнт питомого обертання нікотину.

5.16. Сонячні промені приносять на 1 м2  поверхні ґрунту енер- гію Е=41,9 кДж за хвилину . Якою повинна бути температура ґрунту, щоб він випромінював ту ж саму кількість енергії обернено в світовий простір?

(60 ºС)


5.17. Скільки енергії випромінюється в простір вночі з площі S=1 га ораної землі, що має температуру t=10 ºС? Яка маса цього ви- промінювання? Вважати грунт за абсолютно чорне тіло.

(130 ГДж; 1,44мг)

5.18. Приймаючи Сонце за абсолютно чорне тіло, визначити те- мпературу його поверхні, якщо довжина хвилі, на яку припадає мак- симум енергії випромінювання, λ=0,5 мкм.

(5800 К)

5.19. Якій довжині хвилі відповідає максимум випромінювання поверхні ораної землі при її температурі t=27 ºС? Вважати поверхню

землі за абсолютно чорне тіло.

(9,7 мкм)

5.20. Максимум енергії, що випромінюється з поверхні поля, відповідає довжині хвилі λ=960 мкм. Визначити температуру поверхні

поля, приймаючи його за чорне тіло.

(29 ºС)

5.21. При якій температурі випромінюваність (енергетична світ- ність) ґрунту дорівнює 256 Вт/м2 . Вважати грунт чорним тілом.

(-13,8 ºС)

5.22. Обчислити енергію, що випромінює з поверхні 1 м2 оране

поле при температурі ґрунту t=27 ºС за час t=1 хв.

(27,6 кДж)

5.23. Температура води в ставку дорівнює 13 оС, а трави на бере- зі 23 оС. Яким довжинам хвиль відповідають максимальні енергії ви- промінення ставка і трави?

(10,1 мкм; 9,79 мкм)

5.24. Максимум енергії випромінення піщаного ґрунту припадає на довжину хвилі λ=10 мкм. На яку довжину хвилі він зсунеться, якщо температура ґрунту зменшиться на ∆Т= 90 К?

(14,5 мкм)

5.25. На поверхню металу падає монохроматичне світло з дов- жиною хвилі λ =100 нм. Червона межа фотоефекту λ0 = 300 нм. Яка доля енергії фотона витрачається для надання електрону кінетичної енергії?

W

( k   = 0,67)

5.26. Визначити сталу Планка, якщо відомо, що для припинення фотоефекту, викликаного опроміненням деякого металу світлом з час- тотою ν1 = 2,2·1015  с-1,  необхідно прикласти затримуючу напругу U01


= 6,6 В, а світлом з частотою ν2  = 4,6·1015  с-1  – затримуючу напругу

U02 = 16,5 В.

(h = 6.6·10-34 Дж·с)

5.27. Визначити в електрон-вольтах енергію фотона, при якій його маса дорівнює масі спокою електрона.

(0,51 МеВ)

5.28. Червона границя  фотоефекту для цинку λ0 = 310 нм. Ви- значити максимальну кінетичну енергію Тmах фотоелектронів в елект- рон-вольтах, якщо на цинк падає світло з довжиною хвилі λ = 200 нм.

(≈ 2,2 еВ)

5.29. Визначити енергію ε, масу m і імпульс фотона з довжиною хвилі λ = 1,24 нм.

(1 кеВ; 1,78·10-33 кг; 5,35·10-25 кг·м/с)

5.30. Скільки квантів світла у пучку синього світла з довжиною

хвилі λ=  416 нм та енергією 0,864·10-17 Дж?

(20)

5.31. Для розриву хімічного зв’язку в фотохімічній реакції необ- хідна енергія 430 кДж/моль. Світло з якою довжиною хвилі необхідно використати для цієї фітохімічої реакції?

(278,6 нм)

5.32. 6,02·1023  квантів інфрачервоного світла з λ=1500 нм по- глинається 1 л води при 0 ºС. На скільки збільшиться температура во- ди після поглинання інфрачервоного світла? (питома теплоємність води с=4,182 кДж·кг-1·К-1).

(19 ºС)

5.33. Розрахувати енергію одного кванта для світла, яке погли- нається хлорофілом при 430 і 662 нм.

(4,62·10-19Дж; 3,01·10-19 Дж)

5.34. У бензолі молекули барвника дають спектр поглинання з максимумом 390 нм. Коли барвник розчиняється у воді, то його моле- кули, утворюючи в збудженому стані водневі зв’язки з молекулами

води, змінюють спектр поглинання. Знайти λmax барвника у воді, якщо утворюються 2 водневих зв’язки й енергія водневого зв’язку стано- вить 20 кДж·моль-1

(448,6 нм)

5.35. У хлоропластах фотоокиснення води фотосистемою ІІ ха- рактеризується стандартним окисно-відновним потенціалом +0,82 В.

Для вилучення електронів з води молекули Хл 680, які збуджуються

світлом з λ=670 нм, переносять їх на пластохінон з потенціалом +0,11


В. Знайти, чи достатня енергія кванта для „піднімання” електрона від води до пластохінонів.

(енергія кванта у 2,61 рази більша)

5.36. При фотосинтезі окисно-відновний потенціал змінюється від потенціалу окиснення води +0,82 В до потенціалу відновлення

НАДФ·Н2 з потенціалом – 0,32 В і при цьому переносяться 2 електро- ни. Яка мінімальна кількість квантів світла з λ=700 нм потрібна для того, щоб відбувався фотосинтез?

(2 кванти)

5.37. Сітківка ока людини повністю адаптована до темряви. За

цих умов мінімальна потужність точкового джерела світла з λ=500 нм, яка може збудити рецепторні молекули і створити потенціал у зоро- вому нерві, становить 4·10-17 Вт. Яка мінімальна кількість фотонів по- винна потрапити за 2 с на сітківку ока, щоб створити зорове відчуття? (201 фотон)

5.38. Сумарна потужність випромінювання Сонця N=4·1026Вт. Визначити масу світла, що випромінює Сонце за 1с.

(4,44·109 кг)

5.39. Енергія, що приносять сонячні промені на Землю протягом року, W=5,6·1024 Дж. На скільки змінилась би маса Землі за рік, якщо

б вона не випромінювала енергію у простір?

(6,22·104т)

5.40. Короткохвильове ультрафіолетове випромінювання з дов- жиною хвилі 200 нм викликає бактерицидну дію, що зумовлено змі- ною структури білків. Визначити енергію фотонів випромінювання.

5.41. Фотоактивація розчину проводиться випромінюванням ге- лій-неонового лазера потужністю 20 мВт. Яка кількість фотонів падає на розчин за 1 хв? Довжина хвилі випромінювання 638,2 нм.

5.42. У реакції фотосинтезу для утворення 1 молекули кисню треба 8 фотонів. Яка кількість світлової енергії необхідна для утво- рення 1 моля кисню? Довжина хвилі 555 нм, коефіцієнт використання світлової енергії 0,2.

5.43. Поріг візуального відчуття ока людини 3·10-17 Дж? Яка кі- лькість фотонів падає в око за цей час? Довжина хвилі 555 нм.

5.44. На ядра рослинних клітин можна діяти ультрафіолетом з довжиною хвилі 254 нм, який не поглинається цитоплазмою клітин. Яка частота та енергія фотонів?


5.45. Око людини має максимальну чутливість до зеленого світ- ла (довжина хвилі 555 нм). Поріг чутливості ока 80 фотонів за 1 с. Знайти енергію, що сприймає око за цей час.

5.46. Деякі змії мають так зване „теплове око” − термолокатор, чутливість якого для інфрачервоних променів з довжиною хвилі 10 мкм (що утворюють теплокровні тварини) досягає 1 мкВт. Скільки фотонів в 1 с відповідає цієї чутливості?

5.47. Згідно із рекомендаціями Міжнародного Конгресу з фізіо- терапії і біології діапазон ультрафіолетового випромінювання поділе- ний на 3 ділянки:

УФЛ-А (довжина хвилі від 400 до 315нм); УФЛ-В (від 315 до 280 нм);

УФЛ-С (від 280 до 100 нм).

Яким діапазонам частот відповідають ці ділянки?

5.48. Для знищення вірусу мінімальна доза становить 106  ульт- рафіолетових фотонів з довжиною хвилі 250 нм. Якій енергії відпові- дає ця доза?

5.49. Для послаблення росту бактерій у будь-якій речовині його опромінюють ультрафіолетом з довжиною хвилі 254 нм. Інтенсивність опромінення дорівнює 3·10-4 Вт/см2. Яка кількість фотонів потрапляє при 10-хвилинному опроміненні на поверхню площею 150 см2?

5.50. Визначити енергію, імпульс і масу фотона, довжина хвилі якого відповідає видимій частині спектра (500 нм).

5.51. Найменша довжина хвилі, яка застосовується на опромі- нення тварин, λ=280 нм. Визначити частоту та енергію фотона.

(10,7·1014 Гц; 70,9·10-20 Дж)

6. Ядерна фізика

6.1. Період піврозпаду актинію 225 дорівнює 10 діб. Яка доля початкової кількості ядер розпадається за 5 днів?

6.2. Урановий реактор має потужність 1000 кВт. Скільки грамів урану -235 потребує він на годину, якщо при поділі одного ядра урану виділяється енергія ≈ 200 МеВ?

6.3. Яка енергія в мегаелектронвольтах випромінюється при утворенні ядра гелію з протонів і нейтронів?


6.4. Обчислити енергію зв’язку ядра атома гелію

 4 Не .

6.5. В агробіологічних дослідах широко застосовується радіоак-

32

тивний фосфор

 15 Р, який має період піврозпаду 14,3 діб. Визначити

постійну розпаду λ цього ізотопу та активність 1 мг радіофосфору. (5,6·107с; 1,05·1013 Бк чи 288 Кі)

6.6. Для стримування  весняного пророщення картоплі та інших

60

овочів застосовується радіоактивний кобальт

 27 Со, який має період

піврозпаду 5,3 року. В овочевосховищах закладено кількість кобальту, що має активність 10 Кі. Визначити активність кобальту через 2 роки. (7,71 Кі)

6.7. У посудини, що вміщують по 8 кг ґрунту для проведення

32

агробіологічного досліду, внесений радіоактивний фосфор

 15 Р,  із

розрахунку  0,3  мкКі  на  1  кг  ґрунту.  Визначити  активність  радіо- фосфору в кожній посудині в кінці досліду, тобто через 43 доби (1 Кі

= 3,7·1010 Бк)

(3·10-7 Кі)

6.8. При біологічних дослідах в організм тварини вводиться ра-

131

діоактивний йод

 53  І, який концентрується повністю в його щитоподі-

бній залозі. Допустима кількість йоду має активність 10-3  мкКі на 1 г маси залози. Яку масу йоду можна ввести тварині, маса щитоподібної залози якої 5 г? (1 Кі = 3,7·1010 Бк).

(4.06·10-17 кг)

6.9. Для знищення шкідників зерна в зерносховищах використо-

60

вується

 27 Со у вигляді проводу масою 1г. Вміст радіоактивного ко-

бальту у проводі становить 0,01 % від маси проводу. Визначити акти- вність радіоактивного кобальту. (1 Кі = 3,7·1010 Бк).

(0,113 Кі)

6.10. Для підвищення урожайності насіння пшениці змочили у розчині азотнокислого натрію, в якому натрій був радіоактивним ізо-

топом

 24 Na .. Загальна активність розчину, що всмокталася зерном,

була 1,6 мкКі. У скільки разів зменшилась активність насіння через три доби після передпосівної обробки ?

( у 29,1 раза)

6.11. При вивченні швидкості руху споживчих речовин у росли- нах як радіоактивний індикатор був взятий радіоактивний фосфор

32

15  Р. Листя рослини, що має площу 12 см , давало на торцевому лічи-


льнику Гейгера - Мюллера , що прикладався до нього 36 імпульсів у секунду. Вважаючи, що тільки 50% випромінення реєструється лічи-

32

льником, визначити кількість

3 см2.

 15  Р у листі. Площа віконця лічильника

(2.74·10-17 кг)

6.12. У центрі ізольованої металевої кулі радіусом 10 см знахо- диться джерело β-випромінювання , що має активність 2 мКі. До яко- го потенціалу зарядиться куля через 10с, якщо все β-випроміню-вання поглинається кулею? (1Кі = 3,7·1010 Бк).

рію

(5,32В)

6.13. Визначити  дефект  маси  та  енергію  зв’язку ядра дейте-

2 H .

лію

(3,98·10-30 кг; 2,23 МеВ)

6.14. Обчислити дефект маси та енергію зв’язку ядра ізотопу ге-

3 Не .

(1,38·10-29 кг; 7,73 МеВ)

6.15. Визначити дефект маси ( у відносних атомних одиницях –

а.о.м.) та енергію зв’язку (в МеВ) ядра атома азоту припадає на один нуклон?

 14 N . Яка енергія

6.16. Визначити дефект маси ( у відносних атомних одиницях –

а.о.м.) та енергію зв’язку (в МеВ) ядра атома берилію гія припадає на один нуклон?

 9 Ве . Яка енер-

6.17. Визначити дефект маси ( у відносних атомних одиницях –

а.о.м.) та енергію зв’язку (в МеВ) ядра атома літію 3 . Яка енергія

припадає на один нуклон?

6.18. Вирахувати енергію ядерної реакції:

2 + 2Н

1Н

+ 3Н .

Випромінюється чи поглинається енергія?

 

(випромінюється 4.02 МеВ)

6.19. Перша штучна реакція була здійснена Е.Резерфордом у

1919 році. Ядра азоту при бомбардуванні α–частинками перетворю- ються в ядра кисню. Вирахувати енергію цієї ядерної реакції:

14 + 4Не

1Н

+17О .


Випромінюється чи поглинається енергія?

 

(поглинається 1,2 МеВ)

6.20. Вирахувати енергію ядерної реакції:

9 Ве

+ 2Н

10 В

+ 1n .

Випромінюється чи поглинається енергія?

 

(виділяється 4,36 МеВ)

6.21. Вирахувати енергію ядерної реакції:

2 Н +3Н → 4Не+ 1n .

1 1 2 0

Який склад кожного ядра, що бере участь у реакції? Випромінюється чи поглинається енергія?

131

6.22. Період піврозпаду ізотопу йоду  53 становить 8 діб. Чому

дорівнює середній час життя цього ізотопу?

60

6.23. Середній час життя радіоактивного кобальту 27

вить 7,35 року. Чому дорівнює період піврозпаду?

 

стано-

6.24. Обчислити ККД реактора , якщо його потужність дорівнює

5,2 МВт, а атомний реактор витрачає 20 г урану-235 на добу. Внаслі- док поділу одного ядра урану виділяється енергія 200 МеВ.

6.25. Яку потужність має атомна електростанція, що витрачає на добу 100 г урану-235, і має ККД 25%? Під час поділу одного ядра урану виділяється 200 МеВ енергії.

6.26.Ядра азоту при бомбардуванні нейтронами перетворюються

14

в ядра радіоактивного вуглецю  6

 

1/2

 

= 5760 років):

14 + 1n

14C

+ 1H

Ця реакція відбувається в природних умовах в атмосфері. Під дією швидких частинок, що приходять на Землю із космосу, утворю- ються вільні нейтрони, що вступають у реакцію з ядрами атмосферно- го азоту. Вирахувати енергію цієї ядерної реакції.


Математична обробка результатів вимірювань

Існують прямі та непрямі вимірювання. При прямих вимірюван- нях шукані величини визначаються за допомогою вимірювальних приладів, при непрямих – розраховують за формулами.

Результати вимірювань з різних причин дають не істинне, а ли- ше наближене значення вимірюваної величини.

Теорія похибок дозволяє визначити інтервал, в якому з відомою ймовірністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини, вказати ступінь точності проведених вимірювань.

Основні поняття теорії похибок

1.1. Результат вимірювання х фізичної величини відрізняється від її істинного значення а на величину │∆х│ = │х-а│, яку називають абсолютною похибкою вимірювання.

1.2. Для того, щоб отримати значення вимірюваної величини,

найбільш близьке до істинного, розраховують середнє арифметичне

<x> результатів вимірювань х1, х2, ... хn, одержаних при одних і тих самих умовах:

< x > =

 х1 + х2 + ... + хn

 = 1 n  x

 

≈ a . (1)

n n i=1   i

1.3. Оскільки <x> відрізняється від а, указують довірчий інтер- вал, в якому може знаходитись істинне значення вимірюваної величи-

ни:

< x > - ∆ ≤

a ≤< x > +∆ , або скорочено

вань.

 a =< x > ±∆ .

Величину  називають  довірчою границею  похибок  вимірю-

1.4. Довірча границя визначається одночасно з певною ймові-

рністю Р, яку називають довірчою ймовірністю (достовірністю).

Якщо n – повна кількість вимірювань, а ∆n – частина вимірю- вань, для яких абсолютні похибки │∆хі│ не перевищують довірчої границі (│∆хі│≤ ∆), то

P =  lim  ∆n ≈ ∆n ,

n→ ∞


тобто довірча ймовірність Р визначає ту частку результатів вимірю- вань, які при великій кількості останніх (наприклад, при  n =

100,  1000  або  більше)  потрапили  б  у  даний  довірчий  інтервал.

Р вимірюється позитивним числом, яке більше одиниці:  0≤ Р ≤1.

Чим більше значення Р, тим більша довіра до результатів вимі- рювань. Але слід пам’ятати, що при збільшенні Р (а отже і ), змен-

шується точність експерименту (збільшується відносна похибка).

Оцінити величину за заданим значенням Р (або навпаки, знайти Р за заданою ∆) дозволяють методи теорії ймовірностей.

1.5. Точність вимірювань описують відносною похибкою

∆х

ε = ≈

а

< x > . (2)

Чим менше ε, тим більша точність вимірювань.

1.6. Кінцевий результат подають за стандартною формою:

a =< x > ±∆, P,ε . (3)

Види похибок. Довірча границя систематичних, випадкових та сумарних похибок

При вимірюваннях розрізняють систематичні │cх│ та випад-

0

кові │ ∆ x│ похибки.

Систематичні похибки залишаються постійними або законо- мірно змінюються при повторних вимірюваннях однієї тієї ж самої величини. Вони обумовлені, головним чином, неточністю вимірюва- льних приладів (інструментальні похибки).

Випадкові  похибки при повторних вимірюваннях однієї вели-

чини змінюється довільно. Вони залежать від випадкових причин, які неможливо врахувати.

Похибки, які виникають при вимірюваннях, є сумою системати-

чних та випадкових похибок і називаються сумарними │∆х│.

Відповідно до наявності двох видів похибок довірчу границю сумарних похибок ∆ записують у вигляді суми:

0

∆ = ∆с +

, (4)

0

де с – довірча границя систематичних похибок;

випадкових похибок.

 - довірча границя


Їм відповідають параметри: Рс  – ймовірність того, що система- тичні похибки не перевищують с  (∆сх≤ ∆с);

0

Р  –  ймовірність  того,  що  випадкові  похибки  не  перевищують

0 0 0

( ∆ х). При прямих вимірюваннях можуть бути допущені грубі похибки, тобто такі, які суттєво перевищують похибки, що очікуються в даних умовах, Вони легко виявляються в серії вимірювань через різ- ке відхилення від інших значень. Такі дані, як правило, не врахову- ються при обробці результатів.

Математична обробка результатів прямих  вимірювань

3.1. Перед початком прямих вимірювань записують назву та ці- ну поділки вимірювального інструмента – с.

3.2. Результати вимірювань записують стовпчиками в таблицю під символом відповідної величини в тих одиницях, в яких програду- йовано вимірювальний інструмент, потім їх виражають в одиницях СІ.

Назву одиниць вимірювання пишуть поряд із символом величини.

3.3. Оцінюють довірчу границю систематичних похибок с і до- вірчу ймовірність Рс.  У випадку, коли виключено всі систематичні похибки, крім інструментальних,

с = с, Рс =1, (5)

де с – ціна поділки вимірювального інструмента .

Якщо існують додаткові систематичні похибки, що перевищу- ють с, то користуються формулою с  = с + ∆д, де д – довірча гра- ниця додаткових систематичних похибок.

3.4. Розраховують середнє арифметичне <x> результатів вимі- рювань за формулою (1).

3.5. Визначають випадкові відхилення результатів вимірювань

δ :

δі = хі - <x>,

де хі результат і-го вимірювання, і = 1,2,...n; а також середнє ариф- метичне випадкових відхилень:

< δ >=

δ1  + δ2

n

+ ...δn

 

. (6)

3.6.  Розраховують  середнє  квадратичне відхилення  середніх результатів вимірювань σср.


σ = δ1

 + δ2

 + ... + δn

ср.

 

n(n − 1 )

 . (7)

0

3.7. Визначають довірчу границю випадкових похибок :

0

= t· σср., (8)

де t – параметр Стьюдента. Для нього існує спеціальна таблиця і він

0

залежить від n ( кількість вимірювань) та довірчої ймовірності  Р .

0

Встановлюючи кількість вимірювань n і задаючи значення

 Р (за до-

мовленістю з викладачем), по таблиці Стьюдента знаходять відповід-

0

не значення t ( якщо n = 3, а

 Р =0,95 тоді t = 4,3). Для більш грубих

0

наближених оцінок можна скористатися виразом : = t<δ>.

3.8. Вираховують довірчу границю сумарних похибок

0

= с +

 та відносну похибку ε за формулою (2).

3.9. Записують кінцевий результат у стандартній формі (3), вка-

0

зуючи, що його довірча ймовірність Р знаходиться між

 Р і Рс = 1:

0 0

Р <P<1,  або  P> Р .

Примітка 1. Якщо результати хі прямих вимірювань збігаються, то ∆ = ∆с = с і Р = Рс = 1.

Примітка 2. Якщо відносна похибка ε перевищує 0,2 (20%), експеримент треба повторити, взявши більш точний інструмент (зме-

0

ншується с) і збільшуючи кількість вимірювань n (зменшується

 ).

Математична обробка результатів непрямих  вимірювань

Розглянемо величину  z, що є функцією декількох аргументів z = f(x,y,…), а величини х,у,... визначаються шляхом прямих вимі- рювань. Тоді послідовність розрахунків така.

1. Середнє значення z розраховують один раз, підставляючи за- мість аргументів х,у,... їх середні значення:

< z >=

f( < x >,<

y >,...) . (9)

2. Визначають відносну похибку непрямих вимірювань εz за фо- рмулою:


ε  = { д(lnf) ∆  +

z дx x

 д(lnf) ∆

дy y

 

+ ...} , (10)

де х, ∆у  довірчі границі сумарних похибок вимірювань величин х,у,..... Для полегшення обчислень формулу (10) для розрахунку від- носної похибки непрямих вимірювань εz наводять у кожній лаборато- рній роботі.

3. Розраховують довірчу границю сумарних похибок:

z  = εz

 < z > . (11)

4. Записують кінцевий результат у стандартній формі (3):

z =< z > ±∆ z , Pz , εz .

5. Роблять аналіз і висновки.

Примітка 1. Якщо в розрахунках використовують табличне зна- чення, то відповідну довірчу границю похибок визначають як полови- ну одиниці його (табличного значення) останнього значущого розряду з достовірністю, яка дорівнює одиниці.

Наприклад: g = 9,807 м/с2, ∆g = 0,0005 м/с2, Рg=1. Але, якщо g = 9,8 м/с2, ∆g = 0,05 м/с2, Рg =1.

Примітка 2. Якщо прямі вимірювання не можна виконати в од-

накових умовах, то величину z розраховують для кожного окремого вимірювання, а потім знаходять її середнє значення. При цьому для

прямих вимірювань беруть до уваги лише довірчу границю система-

тичних похибок, а відносні похибки прямих і непрямих вимірювань оцінюють тільки для якогось одного вимірювання.

Запитання для  самоконтролю

1. Дайте визначення похибок: абсолютної похибки та відносної похибки вимірювання.

2. Що таке випадкове відхилення результату вимірювання і чим воно відрізняється від похибки вимірювання?

3. Чим відрізняється похибка вимірювання від довірчої границі похибок?

4. Як визначити довірчу границю систематичних, випадкових та сумарних похибок?

5. Як розрахувати значення величини, що вимірюється при не- прямому способі?

6. Розкрийте зміст поняття достовірності (довірчої ймовірності).

7. Якою є стандартна форма представлення кінцевого результату вимірювань?


ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ ПО МОДУЛЮ  1

РОЗДІЛ 1. МЕХАНІКА РОБОТА  1.1

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА

Мета роботи:   виміряти прискорення вільного падіння за пері- одом коливань математичного маятника;  вивчити методику матема- тичної обробки результатів прямих і непрямих вимірювань;  вивчити закони гармонічного коливального руху.

Прилади  та обладнання: важка кулька, яка підвішена на лег-

кій нитці, що не розтягується; вертикальна шкала; секундомір.

Рух тіла під дією тільки однієї сили тяжіння називається вільним падінням, а прискорення, якого набуває при цьому тіло, − прискорен- ням вільного падіння  g.

α

Q

α

F

mg

Pис.1

У даній роботі прискорення ві- льного падіння визначається за допо- могою математичного маятника.

Математичним маятником нази- ва-ється матеріальна точка, яка підві- шена на тонкій невагомій нитці, що не розтягується. Ця матеріальна точка здійснює коливання у вертикальній

площині під дією сили тяжіння .

На практиці математичним мая- тником можна вважати важке тіло, яке підвішене на легкій недеформованій нитці, довжина якої в багато разів бі- льша за розміри тіла.

На рис.1 видно, що сила F , яка пове- ртає маятник у напрямку до положен-

ня рівноваги, при малих кутах відхилення α  дорівняє

F = mg sinα ≈ mgα ,  (1)

де  sinα ≈ α

 (у радіанах).

Таким чином, сила F пропорційна куту відхилення маятника від положення рівноваги, отже, пропорційна зміщенню маятника від цьо- го положення. Така сила викликає гармонічний коливальний рух.

Період коливань математичного маятника Т залежить від довжини маятника l і прискорення вільного падіння:


T = 2π

   l  

g

 

. (2)

Розв’язуючи (2) відносно g , одержимо:

2  

g = 4π    l . (3)

T

Звідки випливає, що визначення прискорення вільного падіння зво- диться до вимірювання довжини маятника та періоду його коли- вань.

Порядок  виконання роботи

1. Установлюють певну (якомога більшу) довжину нитки маятника і знаходять значення l , вимірюючи для цього відстань від точки підвісу до центра ваги підвішеного тіла.

2. Відводячи маятник від положення рівноваги на малий кут (5−10o), визначають проміжок часу, за який здійснюється N = 50 повних коливань. Вимірювання повторюють не менше трьох ра-

зів.

3. Обробляють результати вимірювань  l і  t .

4. Розраховують середнє значення величини

T 〉 = 〈t

T

 за формулою

і середнє значення величини

 g

 за формулою (3).

5.  Визначають  відносні  похибки  результатів  прямих  і  непрямих

вимірювань:

 

ε T = ε t  ;

 ε g = 2ε π

 + ε l  + 2ε  .

6. Розраховують довірчу границю сумарних похибок

g = 〈gε g .

7. Оформлюють звіт і результати заносять у таблицю.

п/п

Табличні величини

Результати прямих вимірювань

Результати непрямих вимірювань

π

l, м

t, с

T, с

g, м/с2

с


Запитання для самоконтролю

1. Сформулюйте закон всесвітнього тяжіння.

2. Поясніть різницю між вагою і силою тяжіння.

3. Запишіть залежність прискорення вільного падіння від висо- ти над поверхнею Землі та географічної широти місця.

4. У чому полягає різниця між фізичним і математичним маят- никами ? Порівняйте вирази для їх періодів коливань.

5. Запишіть диференціальне рівняння гармонічних коливань і його розв'язок. Поясніть зміст понять "зміщення", "амплітуда", "поча- ткова і повна фази", "період", "частота коливань".

6. Від яких величин залежить повна енергія гармонічних коли-

вань?

РОБОТА  1.2

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ ТІЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНИХ КОЛИВАНЬ

Мета  роботи  :  вивчити динаміку обертального руху твердого тіла; визначити момент інерції тіла методом крутильних коливань.

Прилади  та обладнання: крутильний маятник, циліндр, секун- домір, штангенциркуль.

У даній роботі для визначення моменту інерції тіла неправиль- ної форми використовують крутильний маятник, який являє собою підвішений на пружному дроті диск зі скобою (рис.1).

Період коливань маятника T зв'язаний з його моментом інерції співвідношенням:

Т = 2π J

k

 

, (1)

Pис.1

де  k  − модуль кручення підвісу, який чисель- но дорівнює моменту сили, що закручує дріт на кут в один радіан.

Для виключення k з виразу (1) діють так. На диску розміщують циліндр з відомим момен-

том інерції Jц У цьому випадку згідно з (1) пе- ріод маятника дорівнюватиме


T 1 =

 

 J  +  J  ц

k

 

. (2)

Розв'язуючи сумісно (1) і (2)одержують:

2

J = J

   T  

ц T 2  T 2

 , (3)

де J

 = 1 mr2 = 1 md 2 , (4)

ц 2  8

де m, d маса і діаметр циліндра.

Порядок  виконання роботи

1.Записують задане значення маси циліндра m.

2. Вимірюють штангенциркулем діаметр циліндра d (не менше трьох разів).

3. Крутильний маятник приводять у коливальний рух, поверну-

вши його на невеликий кут (20-30°). Вимірюють час t тридцяти коли- вань ( N=30 ). Вимірювання повторюють п'ять разів.

4. На диск ставлять циліндр і, повторюючи вимірювання (див.

п.3), визначають час  t1 .

5. Розраховують середні значення  ‹ t ›, ‹ t1›, d ›.

6. Обчислюють середнє значення періодів  коливань

T 〉 =

t

T 〉 =

t1

N і  N

 , а також середні значення моментів іне-

рції ‹ Jц › і  ‹ J › за формулами (4) і (З).

7. Визначають відносні похибки і довірчі границі сумарних по-

хибок результатів вимірювань, використовуючи формули:

ε  =

ц m

 

+ 2ε d ;

 

ε T  = ε t  ;

 

= ;

1  1

ε = ε

 

+  2ε

 2T T1+ 2T T 〉  .

J  J  T

ц

 T1T

8. Оформлюють звіт і висновки, заносячи дані в таблицю.


п/п

Задані

величи- ни

Результати прямих

вимірювань

Результати непрямих

вимірювань

m, кг

d, м

t, с

t1, с

N

T, с

T1, с

Jц ,

кг м2

J,

кг м2

c

Запитання для самоконтролю

1. Дайте визначення моменту інерції матеріальної точки і тіла довільної форми.

2. Запишіть і сформулюйте теорему Штейнера, проілюструйте рисунком.

3. Наведіть відомі Вам моменти інерції тіл симетричної форми.

4. Виведіть формулу кінетичної енергії тіла, що обертається.

5. Дайте визначення моменту імпульсу твердого тіла, що обер- тається відносно осі обертання.

6. Запишіть і сформулюйте основний закон динаміки обертального

руху.

РОБОТА  1.3

ВИЗНАЧЕННЯ МОДУЛЯ  ЮНГА ПО ЗГИНУ СТЕРЖНЯ

Мета  роботи:  визначити модуль пружності (модуль Юнга) для сталі.

Прилади  та обладнання:  прилад для визначення модуля Юнга по стрілі прогину, лінійка, штангенциркуль, набір тягарців, індикатор.

Зміну в розміщенні частинок твердого тіла під дією зовнішніх сил називають деформацією. Зміну довжини ∆l при односторонньому розтягу (або стиску) називають абсолютною  деформацією  , а відно-

∆l

шення l

 − відносною деформацією, де  l − початкова довжина.

Деформація викликає виникнення в деформованому тілі пружної сили Fпр :

F

пр.

 = −k∆l , (1)

де  k - коефіцієнт жорсткості, який залежить від матеріалу і форми ті- ла. Формула (1), що виражає закон Гука, дійсна для пружних дефор- мацій. Сила F , яка діє на площу поперечного перерізу тіла S, створює нормальну напругу


Відповідно до закону Гука

 F

σ = S . (2)

σ = E ∆l , (3)

l

де E - модуль Юнга, постійний для даної речовини коефіцієнт, який характеризує її пружні властивості.

З формули (3) випливає, що модуль Юнга чисельно дорівнює на-

прузі, при якій відносна деформація дорівнює одиниці (тобто

 ∆l = l ).

Модуль Юнга можна визначити по згину стержня прямокутного

перерізу (рис.1) за формулою

E = l  F

ab3 λ

 , (4)

де l − відстань від точки опори стержня А до точки В прикладення сили F ; a і b − ширина і товщина стержня в прямокутній частині; λ стріла прогину (тобто та відстань, на яку опускається при деформації точка С , яка лежить посередині між А і В). Стріла прогину залежить від величини навантаження, розмірів і форми стержня, а також від мо- дуля Юнга матеріалу стержня.

А C B

b λ

F

b

a

Pис.1


Порядок  виконання роботи

І. Вимірюють лінійкою довжину стержня l від опори А до точки В прикладення деформуючої сили (тобто до ребра призми, на якій підвішен тягар).

2. Вимірюють штангенциркулем ширину a  і товщину b стержня у вузькій прямокутній його частині.

3. У середньому положенні С закріплюють стрілочний індика- тор так, щоб рухомий щуп був засунутий у корпус індикатора. При

утворенні стріли прогину щуп повинен виходити з корпусу індикато-

ра.

4. Поворотом зовнішнього кільця з насічкою на боковій поверх- ні встановлюють шкалу індикатора в нульове положення.

5. Чашку підвісу послідовно навантажують плоскими важками

масою від 1 до 5 кг, а потім розвантажують до 0 кг. Для кожного на-

вантаження

 F = mg

 за шкалою індикатора визначають два положен-

ня стріли прогину λ  (при навантаженні і розвантаженні).

6.  Будують  графіки  залежності  F  від  λ при  навантаженні  і розвантаженні (вони практично зливаються в одну пряму лінію, що проходить через початок координат, оскільки при  вказаних навантаженнях деформація згину є пружною).

7. Користуючись графіком, визначають величину

 F

λ

 

як від-

ношення ординати правого кінця графіка до відповідної абсциси (таке відношення називають кутовим коефіцієнтом).

8. Розраховують середнє значення модуля Юнга за формулою

(4) і відносну похибку вимірювань за формулою:

ε E = l + ε a + b + ε λ + ε F .

9. Визначають довірчу границю E

при Р ≥ 0,95.

 = ε  E

 

сумарних похибок

10. Оформлюють звіт і висновки, вносячи дані в таблицю.

№ п/п

Результати прямих вимірювань

Результати непрямих

вимірювань

l, м

a, м

b, м

F , H

λ  м

E, Па

c


Запитання для самоконтролю

1. Дайте визначення абсолютної і відносної, пружної і непруж- ної та залишкової деформації.

2. Перелічіть відомі види деформації.

3. Запишіть і сформулюйте закон Гука (в загальному вигляді і для одностороннього розтягу або стиску).

4. Розкрийте фізичний зміст модуля Юнга.

5. Нарисуйте діаграму розтягу і вкажіть точки, що відповідають границям пружності і міцності. Вкажіть границі виконання закону Гу- ка і границі пластичних деформацій.

6. Поясніть відмінності в пружних властивостях пластичних і

крихких, а також аморфних і кристалічних тіл.

РОЗДІЛ 2. МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА  ТА ТЕРМОДИНАМІКА РОБОТА  2.1

ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ВНУТРІШНЬОГО ТЕРТЯ РІДИНИ  МЕТОДОМ СТОКСА

Мета  роботи::   вивчити механізм явища переносу – внутрішнє тертя;  визначити коефіцієнт внутрішнього тертя рідини за швидкістю рівномірного падіння кульки.

Прилади  тa  обладнання: скляний циліндр, наповнений ріди- ною; металеві кульки, мікрометр, секундомір.

При протіканні шарів рідини (або газу) з різними швидкостями між ними виникає тертя. Завдяки тепловому руху молекули перехо- дять з одного шару в інший і при цьому кожна молекула переносить разом із собою імпульс свого направленого руху ( mv ). У результаті з двох суміжних шарів більш швидкий шар збагачується "повільними" молекулами, а більш повільний − "швидкими". Через це з боку шару, що рухається швидше, на шар, що рухається повільніше, діє приско- рююча сила, і  навпаки, з боку шару, що рухається повільніше, на більш швидкий шар діє гальмуюча сила. Ці сили називають силами внутрішнього тертя, або силами в’язкості. Вони направлені по дотич- ній до поверхні шарів (рис 1).

Згідно із законом Ньютона сила внутрішнього тертя F , що діє в площині дотикання двох паралельних суміжних шарів рідини (або га-

∆v

зу), пропорційна площі їх дотикання  S і градієнту швидкості

∆z  :


∆v

F = mη ∆z S

 

, (1)

де ∆v = v2 ─ v1 , v1 і v2 − швидкості шарів; ∆z

 

− відстань між ша-

рами; знаки m   у формулі (1) відповідають гальмуючій і прискорюю- чій силам. Коефіцієнт пропорційності  η   називається коефіцієнтом внутрішнього тертя, або коефіцієнтом в’язкості.  Він чисельно дорів- нює силі внутрішнього тертя, яка діє на одиницю площі дотикання шарів при градієнту швидкості, що дорівнює одиниці.

Завдяки в'язкості тіло, що рухається в рідині, захоплює прилеглі

до нього. шари і тому зазнає опору з боку рідини. Згідно із законом Стокса при невеликій швидкості руху тіла сила опору F пропорційна коефіцієнту в'язкості η , швидкості тіла v та його лінійним розмірам l

:  F ~ ηvl .

Для кульки з радіусом r

F

 

= 6πηvr . (2)

На  кульку  масою  m і  радіусом  r,  що  рухається  в  рідині  зі швидкістю  V, діють  три  сили:  сила  опору  F,  сила  тяжіння  P  та Архімедовa сила FA . Останні дві сили визначаються за формулами:

4

Р = mg = 3 πr

 

1 ;  (3)

F A =

  4   3

3 π r

 

g ρ 2

 

, (4)

де  g − прискорення вільного падіння, ρ1 − густина кульки, ρ 2 − гус- тина рідини.

При вертикальному падінні  кульки в рідині  сила опору, як і aрхімедовa сила, направлена вгору (рис.2). Оскільки P і FA сталі, а сила  F  зростає зі збільшенням швидкості, то настане такий момент, коли буде досягнуто рівності P=FA+F  . Починаючи з цього моменту, рух кульки буде рівномірним. Підставляючи в останню рівність вира- зи (2) – (4), маємо:

4 3

3 πr

4 3

1 = 3 πr

 

2 + 6πηrv  .


z V2