36611

Операційне числення

Конспект

Информатика, кибернетика и программирование

5 Поняття функції комплексної змінної. Множина комплексних чисел w що відповідають усім називається множиною значень функції fz. Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел то завдання комплексної функції w =uiv комплексної змінної z = х iу еквівалентно завданню двох дійсних функцій двох дійсних змінних що може бути записане у вигляді wz =их у ivx у. Функції uху і vxy визначені в області G площини дійсних змінних x y що відповідає області G комплексної площини z.

Украинкский

2013-09-23

1.43 MB

37 чел.

Вступ

Операційне числення широко застосовується на практиці при розв’язанні різних задач науки і техніки. Особливо широке застосування воно має при дослідження перехідних процесів у лінійних фізичних системах електротехніки, автоматики, радіотехніки і телемеханіки.

Сучасний математичний апарат операційного числення дозволяє розв'язувати задачі математичними моделями яких є системи лінійних диференціальних рівнянь (звичайних і з частними похідними), різницеві і диференційно-різницеві рівняння та деякі типи інтегральних рівнянь. Велика універсальність операційного числення при розв’язанні задач пояснюється можливістю отримати їх розв’язки найбільш раціональним шляхом.

В методичному посібнику наведені відповіді на теоретичні питання по курсу “Операційне числення”.


1 Деякі питання теорії комплексної змінної

1.1 Комплексне число та дії над ним

Комплексним числом z називається пара дійсних  чисел (a, b) із установленим порядком проходження чисел a й b. Це умовно записується у вигляді z = (а, b). Перше число а пари (а, b) називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається символом а = Re z,  друге число b пари (а, b) називається мнимою частиною комплексного числа z і позначається символом b = Im z. 

Два комплексних числа  рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні й мнимі частини, тобто коли 

Перейдемо до визначення алгебраїчних операцій над комплексними числами.

Сумою комплексних чисел  називається таке комплексне число z = (a, b), для якого  Легко бачити, що при такому визначенні зберігаються переміщувальний і сполучний закони додавання, тобто  й   Так само, як й в області дійсних чисел, нулем називається таке комплексне число 0, сума якого з кожним комплексним числом z дорівнює цьому числу z, тобто z + 0 = z. Очевидно, що існує єдине комплексне число 0 = (0,,0), що володіє цією властивістю.

Добутком комплексних чисел  називається таке комплексне число z = (a, b), для якого  При такому визначенні добутку виконуються переміщувальний , сполучний і розподільний закони.

Включимо дійсні числа в множину комплексних чисел, розглядаючи дійсне число а як комплексне число а = (а,0). Тоді, як треба з визначення дій додавання й множення, для комплексних чисел зберігаються відомі правила дій над дійсними числами.

Тому множина комплексних чисел розглядається як розширення множини дійсних чисел. Помітимо, що множення на дійсну одиницю  (1,0) не міняє комплексного числа: z  * 1 = z.

Комплексне число виду z = (0, b) називається чисто - мнимим і символічно позначається як z = ib. Чисто уявне число (0, b) = ib можна розглядати як добуток мнимої одиниці (0,1) і дійсного числа (b,0). Мниму одиницю звичайно позначають символом (0,1) =i. У силу визначення добутку комплексних чисел справедливе співвідношення  Воно дозволяє додати прямий алгебраїчний зміст, так називаній алгебраїчній формі запису комплексного числа

    (1.1)

і робити операції додавання й множення комплексних чисел за звичайними правилами алгебри багаточленів. 

Комплексне число z = а - ib  називається комплексно сполученим числу z = а + ib.

Операція вирахування комплексних чисел визначається як операція, зворотна додаванню. Комплексне число z = a + ib називається різницею комплексних чисел , якщо  

Операція ділення комплексних чисел визначається як операція, зворотна множенню. Комплексне число z = а + ib називається часткою комплексних чисел , якщо  з знаменником  відмінним від нуля.

  (1.2)

  

1.2  Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Оскільки комплексне число визначається як пара дійсних чисел, те природною геометричною інтерпретацією є зображення комплексного числа z = а + ib точкою площини ху з декартовими координатами х = а й у = b. Число z = 0 ставиться у відповідність початку координат даної площини. Таку - площина ми надалі будемо називати комплексною площиною, вісь абсцис — дійсної, а вісь ординат — мнимою віссю комплексної площини. При цьому, мабуть, установлюється взаємно однозначна відповідність між множиною всіх комплексних чисел і множиною крапок комплексної площини, а також між множиною всіх комплексних чисел z = a+ib і множиною вільних векторів, проекції х и  у яким на осі абсцис й ординат відповідно рівні а й b.

Дуже важливою є також інша форма подання комплексних чисел. Для визначення положення крапки на площині можна користуватися полярними координатами  де - відстань крапки від початку координат, а  - кут, що становить радіус-вектор даної крапки з позитивним напрямком осі абсцис. Позитивним напрямком зміни кута  вважається напрямок проти вартовий стрілки .Скориставшись зв'язком декартових і полярних координат: , одержимо так називану тригонометричну форму запису комплексного числа:

    (1.3)

При цьому  звичайно називають модулем, а  — аргументом комплексного числа й позначають . Попередні формули дають вираження дійсної й мнимої частин комплексного числа через його модуль й аргумент. Легко виразити модуль й аргумент комплексного числа через його дійсну й мниму частини:  (при виборі з рішень останнього рівняння значення  варто врахувати знаки а й b). Відзначимо, що аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до адитивного що складає, кратного .

Два відмінних від нуля комплексні числа рівні між собою в тім і тільки в тому випадку, якщо рівні їхні модулі, а значення аргументів або рівні, або відрізняються на число, кратне .

Комплексно сполучені числа мають той самий модуль, а значення їхніх аргументів, при відповідному виборі областей їхньої зміни, розрізняються знаком.

Нарешті, використовуючи відому формулу Ейлера , одержуємо показову форму запису комплексного числа:  (1.4)

Рисунок 1- Операції над векторами

Відзначене вище відповідність між множиною всіх комплексних чисел і плоских векторів дозволяє ототожнити операції додавання й вирахування комплексних чисел з відповідними операціями над векторами (рисунок 1). При цьому легко встановлюються нерівності трикутника:

    (1.5)

Модуль різниці двох комплексних чисел має геометричний сенс відстані між відповідними крапками на комплексній площині. Відзначимо, крім того, очевидні нерівності .

Для виконання операції множення зручно користуватися тригонометричною формою подання комплексних чисел. Відповідно до правил множення одержуємо

(1.6)

звідси, , тобто модуль добутку дорівнює добутку модулів, а аргумент — сумі аргументів співмножників. У випадку ділення комплексних чисел при  має місце аналогічне співвідношення:

    (1.7)

1.3 Піднесення в ступінь і добування кореня з комплексного числа

Тригонометрична й показова форми запису комплексного числа зручні при розгляді алгебраїчних операцій піднесення комплексного числа в цілую позитивний ступінь і добування кореня з комплексного числа. Так, якщо , то .

Комплексне число  називається коренем n-й ступеня з комплексного числа z, якщо . Із цього визначення треба, щоб . Як було відзначено вище, аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до адитивного що складає, кратного . Тому з вираження для аргументу комплексного числа   де  — одне зі значень аргументу комплексного числа z, одержимо, що існують різні комплексні числа, які при піднесенні в n-ю ступінь рівні тому самому комплексному числу z. Модулі цих комплексних чисел однакові й рівні , а аргументи розрізняються на число, кратне . Число різних значень кореня n-й ступеня з комплексного числа z дорівнює n. Точки на комплексній площині, що відповідають різним значенням кореня n-й ступеня з комплексного числа z, розташовані у вершинах правильного n-кутника, уписаного в окружність радіуса  із центром у точці z= 0. Відповідні значення  виходять при k, що приймає значення k=0,1,…,n-1...

1.4 Межа послідовності комплексних чисел

Послідовністю комплексних чисел називається перенумерована нескінченна множина комплексних чисел.

Надалі послідовність комплексних чисел ми будемо позначати символом . Комплексні числа , що утворять послідовність , називаються її елементами.

Число z називається межею послідовності , якщо для будь-якого позитивного числа  можна вказати такий номер , починаючи з якого всі елементи  цієї послідовності задовольняють нерівності

Послідовність , що має межу z, називається збіжною до числа z, що записується у вигляді .

Для геометричної інтерпретації граничного переходу в комплексній області зручним виявляється поняття околиці крапки комплексної площини.

Множина точок z комплексної площини, що лежать усередині окружності радіуса  із центром у крапці ), називається - околицею точки .

Із цього визначення треба, що крапка z є межею збіжної послідовності , якщо в кожній - околиці крапки z лежать всі елементи цієї послідовності, починаючи з деякого номера, що залежить від .

Оскільки кожне комплексне число  характеризується парою дійсних чисел , то послідовності комплексних чисел  відповідають дві послідовності дійсних чисел  й , складені відповідно з дійсних і мнимих частин елементів  послідовності .

Має місце наступне твердження.

Теорема.  Необхідною й достатньою умовою збіжності послідовності  є збіжність послідовностей дійсних чисел  й  .

Послідовність  називається обмеженою, якщо існує таке позитивне число М, що для всіх елементів  цієї послідовності має місце нерівність .

Основна властивість обмеженої послідовності характеризує наступна теорема. 

Теорема. Із усякої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

При дослідженні збіжності послідовності в багатьох випадках зручним виявляється необхідна й достатня ознака збіжності послідовності, відомий за назвою критерію Коші.

Критерій Коші. Послідовність  сходиться  тоді й тільки тоді, коли для будь-якого  > 0  можна вказати таке N( ), що  при  й для будь-якого номера .

1.5 Поняття функції комплексної змінної.  Безперервність

Однозначна функція комплексної змінної z, задана в області G, визначається законом, що ставить кожному значенню z з області G у відповідність певне комплексне число . Символічно зазначена відповідність будемо записувати у вигляді .     

Множина комплексних чисел w, що відповідають усім , називається множиною значень функції f(z). Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел, то завдання комплексної функції w =u+iv комплексної змінної z = х +iу еквівалентно завданню двох дійсних функцій двох дійсних змінних, що може бути записане у вигляді  w(z) =и(х, у) + iv(x, у).  

Функції u(х,у)   і v(x,y) визначені в області G площини дійсних змінних x, y, що відповідає області G комплексної площини z. Функція u(х,у) називається дійсною, а функція v(x,y)мнимою частиною функції w = f(z). 

Множина значень w функції f(z) на комплексній площині w може мати найрізноманітнішу структуру. Зокрема, це може бути область G або замкнута область . Надалі ми будемо розглядати тільки такі випадки.

Завданням функції w = f(z) установлюється відповідність між точками області  комплексної площини z і точками області G комплексної площини w. Говорять, що при цьому задане відображення області  на область G. Очевидно, установлюється й зворотна відповідність — кожній точці  ставиться у відповідність одна або кілька точок z області . В останньому випадку можна говорити, що в області G задана багатозначна функція комплексної змінної w. Функція, що здійснює відображення області G комплексної площини w на область  комплексної площини z, називається зворотною функцією  f(z) є однозначною в області G. Тоді функція w = f{z) здійснює взаємно однозначне відображення області  на область G. 

Перейдемо до поняття безперервності функції комплексної змінної.

Нехай функція f(z) визначена на деякій множині Е. Розглянемо різні послідовності точок  цієї множини , що сходяться до деякої точки  й складаються із точок  відмінних від точки  ( ), і відповідні їм послідовності значень функції . Якщо незалежно від вибору послідовності  існує єдина межа , то ця межа називається граничним значенням, або межею, функції f(z) у точці , що записується у вигляді .  

Функція f(z), задана на множині Е, називається безперервною в точці , якщо граничне значення цієї функції в точці  існує, звичайне й збігається зі значенням  функції f(z) у точці , тобто .

Якщо функція f(z), задана на множині Е, безперервна у всіх точках цієї множини, то говорять, що функція f(z)  безперервна на множині Е.

Геометрично це означає, що функція комплексної змінної, безперервна в деякій точці , ставить у відповідність кожній точці з -околиці точки  деяку точку, що належить -околиці точки .

З безперервності функції комплексної змінної f(z) =u(х,у) + iv(x,y) витікає безперервність її дійсної u(х,у) і мнимої v(x,y) частин по сукупності змінних x,у. Має місце й зворотне твердження, тобто якщо u(х,у) і v(x,y) суть безперервні функції по сукупності змінних x,у у деякій точці  , то f(z)=u)x,y)+iv(x,y) є функцією комплексної змінної z = x+iy, безперервної в точці . Дані твердження є наслідком того, що необхідною й достатньою умовою збіжності послідовності комплексних чисел є збіжність послідовностей їх дійсних і мнимих частин.

Це дозволяє перенести на функції комплексної змінної основні властивості безперервних функцій двох дійсних змінних. Так, сума й добуток двох функцій комплексної змінної  й , безперервних в області G, також є безперервними функціями в цій області; функція  безперервна в тих крапках області G, де , функція f(z), безперервна на замкнутій множині , обмежена по модулі на  й т.д.

1.6  Диференціювання функції комплексної змінної 

Дамо визначення похідної функції комплексної змінної. Нехай є функція f(z). Якщо для точки  існує при  межа (граничне значення) різницевого відношення  то ця межа називається похідною функції f(z) пo комплексній змінній z у точці  й позначається , тобто

  (1.9)

 Функція f(z) у цьому випадку називається диференцюємою у точці . Підкреслимо ще раз, що якщо існує межа (1.9), то вона не залежить від способу прагнення  до нуля, тобто від способу наближення точки  до точки .

Вимога диференцюємості функції комплексної змінної в точці  накладає досить важливі умови на поводження дійсної й мнимої частин цієї функції в околиці точки . Ці умови відомі за назвою умов Коші-Римана, які можуть бути сформульовані у вигляді наступних теорем.

Теорема.  Якщо функція f(z) = u(х, у) + iv(x, у) є диференцюємою в точці , то в точці  існують частки похідні функцій u(х,у) і v(x,y) пo змінних х, у, причому мають місце наступні співвідношення:

 (1.10)

Теорема (зворотна). Якщо в точці   функції u(х,у) і v(x,y) диференцюєми, а їхні частки похідні зв'язані співвідношеннями (1.10), то функція f(z) = u(x,y) +iv(x,y) є диференцюємою функцією комплексної змінної z в точці .

Якщо функція f(z) диференцюєма у всіх точках деякої області G, а її похідна безперервна в цій області, то функція f(z) називається аналітичною функцією в області G.

Необхідною й достатньою умовою аналітичності функції f(z) = u(x,y) +iv(x,y) в області G є існування в цій області безперервних часток похідних функцій u(х,у) і v(x,у), зв'язаних співвідношеннями Коши-Римана.

Відзначимо також, що співвідношення Римана-Коши дозволяють одержати різні вираження для похідної функції комплексної змінної 

 (1.11)

 При цьому щораз похідна f(z) виражається через частки похідні функцій u(х,у) і v(x,y).

1.7 Інтеграл по комплексній змінній

Нехай на комплексній площині z задана кусочно-гладка крива С кінцевої довжини L. Використовуючи параметричне подання кривої С, задамо координати  кожної її точки рівняннями , де кусочно гладкі функції дійсного параметра t, що змінюється в межах ( можуть відповідно приймати значення ± ), що задовольняють умові . Завдання координат  точок цієї кривої С еквівалентно завданню комплексної функції дійсної змінної t. 

Нехай у кожній точці  кривої С визначене значення функції . Важливим поняттям у теорії функцій комплексної змінної є поняття інтеграла від функції  по кривій С. Це поняття вводиться в такий спосіб. Розіб'ємо криву С на n часткових дуг точками ділення  відповідним зростаючим значенням параметра t ( ). Уведемо позначення  й складемо суму 

    (1.12)

де  — довільна крапка i-й часткової дуги.

Якщо при  існує межа сум, не залежний ні від способу розбивки кривій С, ні від вибору точок , то ця межа називається інтегралом від функції  за кривою С і позначається як

     (1.13)

Питання існування інтеграла (1.13) зводиться до питання про існування деяких криволінійних інтегралів від дійсної u і мнимої v частин функції f(z). Справді, записавши  де - точка кривої С на площині xy, ми можемо представити вираження (1.12) у вигляді

 

Дійсна й мнима частини являють собою інтегральні суми криволінійних інтегралів другого роду

      (1.14)

відповідно, звідки й треба висловлене твердження.

Отже, інтеграл (1.20) представимо у вигляді 

   (1.15)

Це співвідношення може саме служити визначенням інтеграла від функції f(z) по кривій С. З нього витікає ряд властивостей, що є очевидним наслідком відповідних властивостей криволінійних інтегралів:

1.  

2.  

  1.  Якщо а - комплексна постійна, то

4.

5.

де dsдиференціал довжини дуги кривій С, а інтеграл, що розташований праворуч, є криволінійним інтегралом першого роду.

6. Має місце наступна формула заміни змінної інтегрування:

 

де  — аналітична функція , що встановлює взаємно-однозначну відповідність між кривими С и Г. Зокрема, 

де z = z(t) є параметричне завдання кривої С, a  суть початкова й кінцева крапки останньої.

Приклад. У якості істотного для подальшого  приклада обчислення інтеграла по комплексній змінній розглянемо інтеграл

,

де крива Ср являє собою окружність радіуса р із центром у крапці , обходжену проти вартовий стрілки. Скориставшись параметричною формою завдання кривій Ср:  одержимо

Звідси слідує, що інтеграл не залежить ні від , ні від .

Оскільки значення контурного інтеграла залежить від напрямку інтегрування, умовимося як позитивний напрямок обходу контуру приймати напрямок, при якому внутрішня область, обмежена даним замкнутим контуром, залишається ліворуч від напрямку руху. Інтегрування в позитивному напрямку будемо позначати символом  або просто , інтегрування в негативному напрямку – символом .

Властивості інтегралів по замкнутому контурі від функцій, аналітичних усередині області, обмеженої даним контуром, багато в чому визначаються відомими властивостями криволінійних інтегралів другого роду. Як відомо, для криволінійних інтегралів по замкнутому контурі має місце наступне твердження: якщо функції Р(х,у) і Q(x,y) безперервні в замкнутій області , обмеженої кусочно гладким контуром С, а їхні частки похідні першого порядку безперервні в , то

 (1.16)

Перейдемо тепер до основного положення інтегрування функції комплексної змінної

Теорема Коші. Нехай в однозв'язної області  задана однозначна аналітична функція f(z). Тоді інтеграл від цієї функції f(z) за будь-яким замкнутим  контуром Г, що цілком лежить в області , дорівнює нулю.

Отже, ця теорема встановлює факт рівності нулю інтеграла від аналітичної функції по будь-якому замкнутому контурі, що цілком лежить в однозв'язної області її аналітичності. При додатковій умові безперервності функції в замкнутій області дане твердження справедливо й для замкнутого контуру, що є границею області аналітичності. Останнє твердження фактично є трохи видозміненим формулюванням теореми Коші.

Невизначений інтеграл. Важливим наслідком теореми Коші є наступне положення. Нехай функція f(z) є аналітичною функцією в однозв'язної області . Фіксуємо в цій області деяку точку  й позначимо через  інтеграл по якій-небудь кривій, що цілком лежить в  і з'єднуючої крапки z й . У силу теореми Коші цей інтеграл не залежить від вибору кривої інтегрування в області  і є однозначною функцією z:

   (1.17)

Теорема. Нехай функція f(z) визначена й безперервна в деякої однозв'язної області , а інтеграл від цієї функції по будь-якому замкнутому контурі Г, що цілком лежить у даній області, дорівнює нулю. Тоді функція  є аналітичною функцією в області  й  

Доведена теорема дозволяє ввести поняття невизначеного інтеграла функції комплексної змінної. Аналітична функція  називається первісною функції f(z) в області , якщо в цій області має місце співвідношення . Очевидно, функція f(z) має множину різних первісних, але, як легко довести, всі первісні цієї функції розрізняються між собою лише постійними доданками . Сукупність всіх первісні функції f(z) називається невизначеним інтегралом від функції f(z). 

Так само, як й у випадку функції дійсної змінної, має місце 

  (1.18)

де F(z)будь-яка первісна функції f(z). Дійсно, інтеграл, що коштує ліворуч, не залежить від шляху інтегрування. Тому його можна представити у вигляді

,   (1.19)

де довільна точка області .

У якості істотного для подальшого приклада розглянемо функцію 

  

Тому що підінтегральна функція є аналітичною на всій комплексній площині z, за винятком крапки z = 0, то вираження має сенс за умови, що крива інтегрування не проходить через крапку z = 0. При цьому в будь-якої однозв'язної області  комплексної площини, що не містить точку z = 0, функція f(z) є однозначною аналітичною функцією z, що не залежить від вибору шляху інтегрування. Як така область будемо розглядати повну комплексну площину z, розрізану по від’ємній частини дійсної осі, тобто область . Будемо вважати, що шлях інтегрування у формулі лежить цілком в області , тобто не перетинає розрізу й не проходить через крапку z = 0. Тоді для дійсних додатних значень z = х, вибравши як шлях інтегрування у формулі відповідний відрізок дійсної осі одержимо .

Тобто для позитивних значень свого аргументу функція f(z) збігається з логарифмічною функцією дійсної змінної. Тому для функції в області ( ) збережемо колишнє позначення, поклавши   Остання рівність (у якому шлях інтегрування вибирається зазначеним вище способом) можна розглядати як визначення логарифмічної функції для всіх комплексних значень її аргументу, за винятком значень, що лежать на негативній частині дійсної осі z = х 0. Має місце співвідношення     


2Операційне числення

Операційне (символічне) числення широко застосовується на практиці при розвязанні різних задач науки і техніки. Особливо широке застосування воно має при дослідженні перехідних процесів у лінійних фізичних системах електротехніки, автоматики, радіотехніки і телемеханіки.

Сучасний математичний апарат операційного числення дозволяє розвязувати задачі, математичними моделями яких є системи лінійних диференціальних рівнянь (звичайних і з частинними похідними), різницеві і диференційно-різницеві рівняння та деякі типи інтегральних рівнянь. Велика універсальність операційного числення при розвязанні задач пояснюється можливістю отримати їх розвязки найбільш раціональним шляхом.

3 Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення

Операційне числення засноване на так званому перетворенні Лапласа (операторові спеціального виду)

 ,    (3.1)

яке є невласним інтегралом першого роду.

Тут , взагалі кажучи, комплексна функція-оригінал дійсного аргументу , що найчастіше інтерпретується як час, а тому . Функція  комплексного аргументу , обумовлена інтегралом Лапласа (3.1), називається зображенням за Лапласом функції-оригіналу .

Той факт, що функція  є зображенням функції-оригіналу  символічно записується так:

   або .

Функцією-оригіналом називається функція , яка задовольнює наступні умови:

а)  інтегрована на будь-якому кінцевому інтервалі осі ;

б) для всіх відємних : ;      

в)  зростає не швидше показникової (експоненціальної) функції, тобто існують такі дійсні сталі  і , що 

Умова а) означає, що функція – оригінал  на будь-якому кінцевому відрізку  додатної півосі   задовольняє умови Діріхле, тобто, по-перше, обмежена, по-друге, або безперервна, або має лише кінцеве число точок розриву першого роду, і, по-третє, має кінцеве число екстремумів. При цьому за значення оригіналу  у всякій його точці розриву  першого роду приймається напівсума його граничних значень ліворуч і праворуч від цієї точки:

 

Так, зокрема, у силу умови б) за значення оригіналу в точці  береться права границя:

.

Умова б) виправдана тим, що для фізики і техніки зовсім байдуже як поводяться об'єкти, що розглядаються до деякого початкового моменту часу, прийнятого за момент  

Умова в) накладає обмеження на характер росту оригіналу , тобто, вимагає щоб  при  зростала за абсолютною величиною не швидше показової експоненціальної функції, тому число  називається показником росту оригіналу .

Більшість функцій, що зустрічається на практиці, задовольняє умові в). Як приклад функцій, для яких умова в) не виконується, можна навести функцію .

Далі показується, що обмеження в) накладається на оригінал  для забезпечення збіжності інтегралу Лапласа (3.1).

Справді, якщо оригінал  задовольнює умову в) і , то інтеграли у правій частині рівності

 

збігаються абсолютно.

Спочатку оцінюється перший з цих інтегралів.

 

Аналогічно оцінюється і другий інтеграл.

Таким чином, для будь-якої функції-оригіналу  зображення  визначене в напівплощині  і є в цій напівплощині аналітичною функцією.

4 Теорема єдності зображення

Надалі показується, що зміст введення зображень виду (3.1) полягає в тім, що з їхньою допомогою вдається спростити розвязання багатьох задач. Зокрема, наприклад, звести розвязання системи диференціальних рівнянь до проведення найпростіших алгебраїчних операцій при визначенні зображень шуканих розвязків. Знаючи ж зображення шуканого розвязку, можна знайти оригінал за заздалегідь заготовленими таблицями «оригінал-зображення» або за допомогою розглянутих у даній розробці методів. Але при цьому виникають слідуючи запитання.

Нехай задано деяку функцію .

а) чи існує функція-оригінал , для якої  є зображенням?

б) якщо існує, то чи єдина функція-оригінал?

На обидва ці питання при зазначених обмеженнях відносно  і  дається позитивна відповідь.

Зокрема єдність зображення  стверджується наступною теоремою:

Теорема. Якщо дві неперервні функції  і  мають одне і теж - зображення , то ці функції тотожно рівні ( ).

Ця теорема в операційному численні має фундаментальне значення. Дійсно, якщо при розвязанні практичної задачі якимось чином визначається зображення  шуканої функції , а потім за відомим зображенням  знаходиться початкова функція-оригінал , то сформульована теорема стверджує, що знайдена функція  є розвязком поставленої задачі і притому єдиним, тобто інших розвязків не існує.

5 Приклади безпосереднього визначення зображень

Приклад 1. Знайти зображення за Лапласом  одиничної функції Хевісайда:  

    

     

                        

               1

     

               0                                          0       

              Рисунок 5.1              Рисунок  5.2

Розвязання

Користуючись означенням зображення (3.1), знаходиться при , тобто для правої напівплощини

 (5.1)

Відповідь:   ( ).

Приклад 2. Знайти зображення функції:

 

де акомплексне число.


Розв
язання

 

якщо  або , тобто правіше від прямої :

                                        

  

                                                                                                  

                                        0                                               

                                                         Рисунок  5.3

Відповідь:

 (5.2)

Зауваження: Надалі передбачається, що всі функції, які розглядають постачені множником , хоча сам цей множник опускається. Так, наприклад, під записами ,  і т.п. маються на увазі записи: ,

Приклад 3. Знайти 

Розвязання

Отже, .

Відповідь: 

 (5.3)

Приклад 4. (самостійно). Знайти зображення за Лапласом функції .

Відповідь:

 (5.4)

6 Основні теореми операційного числення

 Відшукання зображень оригіналів безпосередньо за  інтегралом Лапласа найчастіше громіздке. Викладені нижче теореми істотно полегшують відшукання зображень. Вони дозволяють також розвязувати зворотну задачу – відшукання оригіналу за відомим зображенням.

6.1 Теорема подібності

 Вплив на зображення  зміни масштабу осі , на якій визначений оригінал , розкривається наступною теоремою:

Теорема: Якщо  (додатне число) і , то , тобто множення аргументу оригіналу на додатне число  приводить до ділення зображення і його аргументу на це число.

Доведення

 Нехай , де , – оригінал. Тоді . Заміна змінної в інтегралі , отже, , при , а при , дає

 (6.1.1)

Приклад 1. З формули  на підставі теореми подібності маємо:

 

Приклад 2. З формули  на підставі теореми подібності маємо:

 

Або другим шляхом:

 

6.2 Властивість лінійності зображення

Теорема: Зображення суми декількох оригіналів, помножених на сталі величини дорівнює сумі зображень цих оригіналів, помножених на відповідні сталі, тобто, якщо

 (6.2.1)

десталі і , то

 (6.2.2)

Доведення

Множення всіх членів рівності (5.1) на  та інтегрування отриманої рівності в межах від 0 до  дає:

 

Приклад 1. Знайти зображення за Лапласом функції

 

Розвязання

На підставі формул  і властивості лінійності зображення маємо:

 

Приклад 2. Знайти оригінал (початкову функцію), зображення якої виражається формулою

 

Розвязання

 На підставі властивості лінійності зображення виходить

 

З теореми єдності зображення випливає, що це єдина початкова функція (оригінал), що відповідає даній функції 

6.3 Теорема загоювання

Теорема. Якщо  – додатне число  й оригіналу , то

                                                             Доведення

    

                             

      

Поклавши  визначається

,

тобто

.

 Таким чином, загоювання (запізнення) аргументу оригіналу на додатну величину  приводить до множення зображення  оригіналу без загоювання на .

Приклад. У пункті 4 було встановлено, що для одиничної функції Хевісайда: , значить для функції  маємо

 

6.4 Теорема зсуву

Теорема: Якщо  є зображення функції , то  – зображення функції  тобто, якщо , то  (Тут передбачається, що ).

Доведення

 (6.4.1)

Приклад 1. Знайти зображення функцій  і .

Розвязання

З формули  на підставі теореми зсуву випливає:

 

Аналогічно, з формули  на підставі теореми зсуву:

 

Теорема зсуву може розглядатися і як одна зі зворотних теорем, що дозволяють знаходити оригінали за заданими їх зображеннями. А саме, якщо відомо оригінал  для зображення , то формула  дозволяє знайти оригінал для зображення , аргумент якого зміщений на .

Приклад 2. Знайти оригінал за зображенням 

Розвязання

У силу формули  і теореми зсуву, виділивши в знаменнику повний квадрат по р , маємо:

 

Відповідь:

 

Приклад 3. Знайти оригінал, зображення якого задається формулою 

Розвязання

Відповідь:

 

6.5 Диференціювання зображення

Теорема: Якщо , то , тобто множення оригіналу на  веде до диференціювання зображення.

Доведення

Нехай 

Диференціювання останнього інтеграла за параметром р дає

 

 

Отже:

 (6.5.1)

Зокрема, поклавши в цій формулі  і використовуючи  знаходиться зображення степеневої функції

 

отже

 (6.5.2)

Ураховуючи, що  на підставі теореми зсуву маємо:

 (6.5.3)

Приклад 1. Знайти зображення оригіналу 

Розвязання

Застосовуючи формули (5.5.3) і (5.5.2), а також властивість лінійності, одержуємо:

 

Відповідь:

 

Приклад 2. Знайти зображення оригіналу 

Розвязання

Відомо, що .

Отже,

 

Відповідь:

 

6.6 Інтегрування зображення

Теорема: Якщо  і оригінал, то 

 

тобто ділення оригіналу на аргумент  веде до інтегрування зображення.

Доведення

Позначимо . Нехай  Внаслідок того, що , за теоремою диференціювання зображення . Далі за теоремою єдності , звідки  де 

Довільна стала С визначається за умовою , а саме:

 

 або 

Отже: 

тобто:

 (6.6.1)

Приклад 1. Знайти зображення оригіналу 

Розвязання

Внаслідок того, що  застосовуючи формулу (5.6.1), маємо

 

Приклад 2. Знайти зображення оригіналу 

Розвязання

Відомо, що  тому

 

Відповідь: 

  або  

6.7 Теорема множення зображень (теорема про згортку)

Теорема: Якщо оригінал , а оригінал , то

 (6.7.1)

Доведення

Позначивши , за визначенням зображення за Лапласом

 (6.7.2)

Інтеграл, що стоїть праворуч, є подвійний інтеграл, який береться по області , обмеженій  прямими  і при цьому:

 

Зміна порядку інтегрування в інтегралі праворуч у рівності (6.7.2) дає:

.

Отже

 

Інтеграл  називається згорткою функцій  і  і позначається .

Отже оригінал, що відповідає добутку двох зображень, дорівнює згортці оригіналів співмножників.

Приклад 1 . Застосовуючи теорему множення зображень, знайти оригінал, якщо,

Розвязання

Маємо

 

причому

Тому, враховуючи, що

 

 

знаходимо:

 

тобто

 

 

Відповідь:

.

Приклад 2. (самостійно). Застосовуючи теорему про згортку, знайти оригінал, якщо

Відповідь:

 

6.8 Диференціювання оригіналів  (зображення похідних оригіналів)

Зображення похідної  оригіналу , якщо оригінал, можна знайти за відомим зображенням  оригіналу  на підставі наступної теореми:

Теорема: Якщо,  і оригінал, то 

 (6.8.1)

Доведення

На підставі означення зображення записується

 

Шляхом інтегрування за частинами маємо:

 

тобто  тому що в напівплощині  буде:

 при .

В окремому випадку, коли , формула (6.8.1) має вигляд:

 (6.8.2)

Таким чином, якщо початкове значення оригіналу дорівнює нулю, диференціювання оригіналу приводить до множення його зображення на параметр р. Застосувавши формулу (5.8.1) до другої похідної , одержуємо:

 

Аналогічно

 (6.8.3)

……………………………………………………

 

В окремому випадку, коли  буде

 (6.8.4)

6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів)

Теорема: Якщо  , то .

Доведення

Позначення , а значить , приводить за теоремою єдності і теоремою диференціювання оригіналу до рівності:  де  а  Таким чином,  звідки маємо:

 (6.9.1)

Приклад. Якщо , то за теоремою інтегрування оригіналу

.

Відповідь:

.

Зауваження. Формули диференціювання  й інтегрування  оригіналів, тобто формули (5.8.1) і (5.9.1), що визначають зображення похідної й інтеграла від оригіналу , відіграють найважливішу роль в операційному численні, бо з них випливає, що діям вищого аналізу – диференціюванню й інтегруванню функцій-оригіналів, відповідають алгебраїчні дії – множення і ділення відповідно їхніх зображень  на параметр р. Отже, величину р можна формально розглядати як оператор диференціювання, а величину як оператор інтегрування функції-оригіналу  на відрізку .

 Слід також зазначити, що зображення значної кількості функцій-оригіналів, що зустрічаються на практиці, є дробово-раціональними алгебраїчними функціями параметра р.

 Зазначене тут дає можливість багато задач вищого аналізу (розвязання диференціальних, інтегральних і інтегро-диференційних рівнянь і т.п.) звести до виконання алгебраїчних дій над зображеннями  шуканих функцій-оригіналів , які є розвязками таких задач.

6.10 Перша теорема розвинення

Теорема: Якщо зображення  являє собою степеневий ряд за відємними степенями р з ненульовим радіусом збіжності, тобто, якщо 

 (6.10.1)

то оригіналом  зображення  є степеневий ряд за невідємними степенями , тобто

 (6.10.2)

який збігається при усіх .

 Очевидно, що формальна відповідність рядів (5.10.1) і (5.10.2) мається, бо .

Доводиться, що ряд (6.10.2) сходиться рівномірно і його сума дорівнює оригіналу  для функції .

Приклад 1. Знайти оригінал  функції

Розвязання

 Функція  є сумою степеневого ряду, що збігається при , тобто

 

Отже, на підставі першої теореми розвинення, маємо:

.

Відповідь:

.

6.11 Друга теорема розвинення

Теорема: Якщо зображення  – правильний раціональний нескоротний дріб, знаменник , якого має лише прості корені , тобто , то

, (6.11.1)

де

.

Доведення

Як відомо, у випадку простих коренів знаменника правильний раціональний дріб розкладається на найпростіші дроби в такий спосіб:

 

 Множення обох частин цієї рівності на двочлен  дає:

відкіля, переходячи до границі при , визначається

 

причому , бо простий корінь. Далі за теоремою зсуву , а на підставі властивості лінійності зображення

.

Приклад 1. Знайти оригінал  функції .

Розвязання

 За другою теоремою розвинення, маємо:

.

Відповідь: 

.

 Цей же приклад можна розвязати і наступним шляхом:

.


7 Таблиця основних відповідностей

«оригінал» – «зображення»

№ п/п

Оригінал

Зображення

1

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

№ п/п

Оригінал

Зображення

17

18

19


8 Розвязання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Нехай необхідно розвязати задачу Коші

 (8.1)

для диференціального рівняння -го порядку

 (8.2)

де  – дійсні числа  – задані числа (початкові умови).

Задачу (8.1), (8.2) можна розвязати, отримавши спочатку загальне розвязання рівняння (8.2), яке є сумою загального розвязку відповідного однорідного (без правої частини) рівняння і будь-якого окремого розвязку рівняння (8.2). Загальний розвязок рівняння (8.2) має  довільних сталих, які визначаються таким чином, щоб задовольнялися початкові умови (8.1).

Але, значно простіше і раціональніше задача Коші (8.1), (8.2) розвязується операторним методом.

При розвязанні задачі (8.1), (8.2) операційним методом передбачається, що шукана функція , усі її розглянуті похідні, а також функція  (права частина рівняння (8.2)) є функціями-оригіналами.

Нехай і .

За формулою диференціювання оригіналу

 

і початковими умовами (8.1) маємо:

 

 

 

…………………………………………...... (8.3)

 

Далі, користаючись властивістю лінійності і ураховуючи відповідності (8.3), переходять від диференціального рівняння (8.2) до відповідного йому алгебраїчному рівнянню щодо зображення  шуканої функції , які є розвязком задачі (8.1), (8.2):

 

або

 

або коротко

 (8.4)

де  і алгебраїчні багаточлени степенів  і  відповідно щодо параметра р.

Рівняння (8.4) називається рівнянням у зображеннях, що відповідає диференціальному рівнянню (8.2).

Розвязок рівняння (8.4)

 (8.5)

називається операторним розвязком диференціального рівняння (8.2).

Оригінал y(t), для якого функція Y(p) (8.3) є зображенням, і буде шуканим (причому єдиним у силу теореми єдиності) розвязком задачі (8.1), (8.2):

 (8.6)

Приклад 1. Розвязати задачу Коші

 (8.1)

для рівняння 

. (8.2)

Розвязання

Нехай шукана функція  і її похідні  є оригіналами і нехай . Тоді

 

 (8.3)

 

.

Підставивши замість  і правої частини в задане диференціальне рівняння відповідні їм зображення, переходять до рівняння в зображеннях:

 (8.4)

відкіля

 

Відповідь:

 

Перевірка.

 

Приклад 2. Розвязати задачу Коші

 (8.1)

. (8.2)

Розвязання

Нехай . Тоді , а

Отже, рівняння в зображеннях приймає вид:

 

або

відкіля

 

Відповідь: 

Перевірка

Примітка 

Перевага операційного методу інтегрування диференціального рівняння перед класичним методом полягає в тому, що при розвязанні операційним методом отримуємо розвязання диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, по ходу його розвязання, минаючи одержання загального інтегралу заданого диференціального рівняння.

Якщо ж потрібно знайти загальний інтеграл (загальний розвязок) диференціального рівняння (8.2), то і його можна одержати операційним методом.

Приклад 3. Знайти загальний розвязок диференціального рівняння  операційним методом.

Розвязання

Для одержання загального розвязку (інтегралу) беруться довільні початкові умови , . Тоді рівняння в зображеннях буде:

 

відкіля

 

Відповідь: 

де  – довільна стала.


9 Розвязання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

Алгоритм розвязання системи лінійних диференціальних рівнянь операційним методом, власне кажучи, не відрізняється від алгоритму розвязання цим методом одного рівняння.

Приклад 1. Розвязати систему диференціальних рівнянь:

 (9.1)

при початкових умовах

 (9.2)

Розвязання

Нехай шукані функції  і їхні похідні , а також функції, що є правими частинами системи рівнянь (9.1), є оригіналами і нехай . Тоді

 

 (9.3)

Підставляючи в систему (9.1) замість ,  і правих частин відповідні їм зображення, одержують систему алгебраїчних рівнянь:

 

чи

 (9.4)

Рішення отриманої системи в зображеннях дає:

 (9.5)

 

Переходячи від зображень (9.5) до відповідного їм оригіналам, одержують шукане рішення задачі (9.1), (9.2):

 (9.6)

Приклад 2. Вирішити систему диференціальних рівнянь

 (9.1)

при початкових умовах:

. (9.2)

Рішення

Нехай , тоді

 (9.3)

Підстановкою в систему (9.1) замість ,  і правих частин відповідних їм зображень за співвідношеннями (9.3), отримують систему алгебраїчних рівнянь у зображеннях:

 (9.4)

Розвязання отриманої системи (9.4) дає:

 

 (9.5)

 

Переходом від зображень (9.5) до відповідних їм оригіналам отримуємо розвязок задачі (9.1), (9.2):

 

 (9.6)

Відповідь:

Перевірка: 

        

 

 

Легко бачити, що задачу (9.1), (9.2) розвязано вірно.


Література

  1.  Диткин в.А., Прудниіков А.П. Операционное исчисление. –М.: Вышая школа, 1975.-406с.
  2.  Ефимов Е.М. Математический анализ (специальны разделы, Т.1.-М.: Вышая школа, 1980.-279с.
  3.  Мартыненко В.С. Операционное исчисление.-К.: Высшая школа, 1990.-477с.
  4.  Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению.-Высшая школа, 1968.-249с.
  5.  Штокало И.З. Операционное исчисление.- К.: Издательство “Наукова думка”, 1972.
  6.  Штокало И.З. Операционніе методі и их развитие в теории линейніх дифференциальніх уравнений с переменніми коєффициентами.-К.: Издательство Академии наук УССР, 1961.
  7.  Ангиенко И.М., Козлов Р.В. Задачи по теории комплексной переменнй.-Минск: Вісшая школа, 1970.


Зміст

[1] Вступ

[2] 1 Деякі питання теорії комплексної змінної

[2.1] 1.1 Комплексне число та дії над ним

[2.2] 1.2  Геометрична інтерпретація комплексних чисел

[2.3] 1.3 Піднесення в ступінь і добування кореня з комплексного числа

[2.4] 1.4 Межа послідовності комплексних чисел

[2.5] 1.5 Поняття функції комплексної змінної.  Безперервність

[2.6] 1.6  Диференціювання функції комплексної змінної

[2.7] 1.7 Інтеграл по комплексній змінній

[3]
2Операційне числення

[4] 3 Перетворення (перетвір) Лапласа. Оригінал і зображення

[5] 4 Теорема єдності зображення

[6] 5 Приклади безпосереднього визначення зображень

[7] 6 Основні теореми операційного числення

[7.1] 6.1 Теорема подібності

[7.2] 6.2 Властивість лінійності зображення

[7.3] 6.3 Теорема загоювання

[7.4] 6.4 Теорема зсуву

[7.5] 6.5 Диференціювання зображення

[7.6] 6.6 Інтегрування зображення

[7.7] 6.7 Теорема множення зображень (теорема про згортку)

[7.8] 6.8 Диференціювання оригіналів  (зображення похідних оригіналів)

[7.9] 6.9 Інтегрування оригіналів(зображення інтегралів)

[7.10] 6.10 Перша теорема розвинення

[7.11] 6.11 Друга теорема розвинення

[8]
7 Таблиця основних відповідностей

[9]
8 Розвязання звичайних лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

[10]
9 Розвязання систем лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами операційним методом

[11]
Література

[12]
Зміст

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58988. Вивчення новели на уроках зарубіжної літератури в школі 30.5 KB
  Новела як прозовий жанр близька до оповідання. Але якщо оповідання дає ширшу й докладнішу картину життя, наближаючись до повісті, а події розвиваються порівняно спокійно й у хронологічній послідовності, то новела - це дуже короткий твір переважно про одну якусь надзвичайну подію, що стала поворотною в долі персонажа чи кількох головних персонажів.
58989. Види мистецтва та специфіка їх художньо-образної мови 34 KB
  Мета: ознайомити учнів з поняттями мистецтво про просторові часові та просторовочасові синтетичні види мистецтв; поняттям образ у мистецтві Обладнання: презентація Види і мова мистецтва ОСК Тип уроку: засвоєння нового матеріалу.
58991. Урок виховання любові до природи. Вмійте природу любити 55.5 KB
  Тож давайте за розум візьмемося ми Чисте повітря і воду живу Будемо завжди берегти. Сьогодні ми поговоримо про нас людей які нищать природу: зривають квіти руйнують пташині гнізда ламають дерева забруднюють водойми повітря щоб тільки задовольнити свої забаганки збагатитися.
58992. Воєнно-політичні події 1650-1653 рр 64 KB
  Після укладення угоди з поляками татари почали вимагати від Хмельницького припинення воєнних дій а від короля виконання умов Зборівської угоди. Уже втретє хан зрадив Хмельницького. Лупул звернувся по допомогу до Хмельницького.
58993. Голодомор в Україні. Позакласний захід вшанування памяті тих, хто загинув в 1932-1933 роках 60.5 KB
  Радянський уряд, яким керував Йосиф Сталін, вимагав від робочих все більше хліба, мяса, молока. Бідні селяни перебивались з хліба на картоплю, але згодом і цього не стало. Люди ховали картоплю, зерно в ями, де тільки можна, та нічого не втаїли від ока збирача.
58994. Голодомор в Україні 1932-1933 рр. Причини, наслідки 53 KB
  Ініціаторами знищення непокірних українців були Ленін і Сталін. Саме Сталін і його прибічники наказали відібрати в українських селян усе, що вони виростили на полях, щоб людям зимою не було чого їсти. І цей наказ старанно виконали...
58995. Грати за правилами. Конспект уроку з основ суспільствознавства, етики 38.5 KB
  Для другої гри: декілька залежить від кількості гравців однакових копій настільної гри типу Подорож така ж кількість ігрових костей по одній унікальній ігровій фігурці наприклад з яєць Сюрприз для кожного із гравців...
58996. Гроші, їх види та функції 63.5 KB
  Механізми що приводять у дію економіку досить складні але один з найдавніших і важливих гроші. Як економічний механізм гроші відомі нам з раннього дитинства з першої монетки чи банкноти. Рольова гра учні класу виступають у ролі представників наукових...