36661

Основна теорема алгебри

Лекция

Математика и математический анализ

Будь-який многочлен, степінь якого n більше 0 має в комплексній області рівноn коренів, серед котрих можуть бути і рівні між собою. Якщо попарно різні корені многочлена степеняn, то попарно взаємно прості.

Украинкский

2017-02-21

379 KB

6 чел.

Лекція №3.

Тема.Основна теорема алгебри.

Мета вивчання:

  • познайомити з теоремою Гауса;
  • вивести формулу Тейлора;
  • познайомити зі слідствами з теореми Гауса.

План лекції:

  1. Поняття про основну теорему алгебри.
  2. Формула Тейлора.
  3. Слідства з основної теореми алгебри.
  4. Первісна многочлена.
  5. Кратні корені.

Література.[13], стор. 147-159.

Зміст лекції.

1.Теорема(Гауса). Будь-який многочлен вище нульового степеня має хоча б один корінь, взагалі кажучи, комплексний.

Слідство. Будь-який многочлен, степінь якогоn>0 має в комплексній області рівноn коренів, серед котрих можуть бути і рівні між собою.

Якщо  попарно різні корені многочлена степеняn, то  попарно взаємно прості.

Із критерію кореня (див. слідство з теореми Безу) слідує, що . Використовуючи властивості взаємно простих многочленів, маємо: .

Тобто будь-який многочлен степеняn>0, що маєn попарно різних коренів може бути представлений у вигляді .

Серед коренів можуть бути і рівні між собою (кратні).

2.Нехай .

1)

2)

;

;

;

;

--------------------------------------------------------------------

.

Покладемо :

;  ;   ;   ;.....;

.

;;

;;......;

-розклад многочлена  по степеням двочлена абоформула Тейлора.

Аналізуючи розкладання многочлена по степеням лінійного двочлена  зазначимо, що всі його коефіцієнти можуть бути знайдені при використанні схеми Горнера.

Приклади:

1) Розкласти многочлен  по степеням .

1

5

-9

0

7

3

1

8

15

45

142

3

1

11

48

189

3

1

14

90

3

1

17

3

1

   

Таким чином,

(1)

За допомогою формули Тейлора, користуючись співвідношенням  (1) можемо знайти значення не лише многочлена, а і усіх його похідних в будь-якій заданій точці.

;

;

2. Розкласти многочлен  по степенях .

Позначимо ;;

.

1

-5

0

-4

0

2

3

1

-2

-6

-22

-66

-196

3

1

-3

-31

1

-159

3

1

4

9

-4

3

1

7

30

3

1

10

3

1

3. Дано многочлен .

Розкласти  по степенях .

.

Позначимо:  (див. попередній приклад)

4. Обчислити значення многочлена  в точці :

Розкладемо  по степенях :

1

5

-9

0

7

3

1

8

15

45

142

3

1

189

3

1

90

3

1

17

3

1

         +1,89

         +0,009

         +0,000017

+0,00000001

        143,89901701

3. Нехай функція  задана формулами або формулою, крім цього відомі її область визначення та область значень, тоді можна побудувати таблицю аргументів, та відповідних значень на деякій частині області визначення. Цей процес називаєтьсятабулюванням. Але може бути поставлена і обернена задача: дано таблицю, а треба знайти функцію. Це задача є неоднозначною, наприклад,

Цей процес називаєтьсяінтерполюванням.При деяких обмеженнях, що накладаються на шукану функцію задача стає цілком визначеною.

Теорема. Існує, притому єдиний, многочлен степеня не вище n, який у наперед завданих попарно різних (n+1) точках приймає наперед задані значення: . Ці точки іноді називаютьвузлами інтерполяції.

Доведемо єдиність, припускаючи його існування. Припустимо, що існує хоча б два многочлени, що задовольняють усім умовам теореми, тобто припустимо, що , тоді .

Побудуємо многочлен . Але , тобто ми одержуємо, що многочлен, степінь якого  в (n+1) різних точках обертається у нуль, тобто має(n+1) попарно різних коренів, що неможливо, тобто наше припущення не вірне, значить .

Доведемо існування. Побудуємо многочлен , який в вузлах інтерполяції:  обертається на нуль, а в вузлі  приймає значення 1, тобто

.

Аналогічно міркуючи приходимо до висновку:

- многочлен степеняn, який в вузлах інтерполяції  обертається на 0, у вузлі  набуває значення 1.

у вузлах  обертається на нуль, а у вузлі  приймає  значення 1.

має степінь  у вузлах інтерполяції  обертається на 0, а у вузлі  приймає значення 1.

Тоді  при умові, що  являє собою многочлен степеня n, який у вузлах  обертається на 0 а у вузлі приймає значення .

Просумуємо усі побудовані добутки:

- являє собою многочлен степеня не вищеn, який у заданих вузлах інтерполяції:  попарно різних приймає наперед завдані значення відповідно . Це і є шуканий многочлен, що визначається формулою, яка називаєтьсяінтерполяційною формулою Лагранжа:

;(2)

Приклад. Побудувати многочлен за допомогою формули Лагранжа по заданій таблиці.

-2

0

3

1

-4

2

Маємо 3 вузла інтерполяціїn+1=3, звідкиn=2, тобто степінь не вище II

.

Нехай дано многочленnго степеня:

;

Відомо, що такий многочлен маєn комплексних коренів (враховуючи їх кратність), тоді

(3)

де  - корені  серед яких можуть бути рівні.

.

       .

Записавши многочлен  у вигляді (3) і порівнюючи відповідні коефіцієнти цього многочлена і заданого по спадаючих степенях невідомих приходимо до формулВієта, які зв’язують корені многочлена з його коефіцієнтами.

-------------------------------------------------------

4. Якщо  - корінь многочлена , тобто , то  ділиться, як ми знаємо, на . Може виявитися, що многочлен  ділиться не лише на перший степінь лінійного двочлена , але і на більш високі його степені. В усякому разі знайдеться таке натуральне число , що  цілком ділиться на , але не ділиться на  . Тому , де многочлен  на  вже не ділиться, тобто  не є коренем . Число  називаєтьсякратністю кореня  многочлена , а сам корінь  - -кратним коренем цього многочлена.

Якщо , то кажуть, що корінь- простий.

Поняття кратного кореня тісно пов’язане з поняттям похідної від многочлена.

Нехай дано многочленn-го степеня  з будь-якими комплексними коефіцієнтами. Йогопохідною(першою похідною) називається многочлен(n-1)-го степеня:

.

Похідна від многочлена нульового степеня вважається рівною нулю. Похідна від першої похідної називаєтьсядругою похідною від многочлена  і позначається . Очевидно, що  і тому , тобто(n+1)-а похідна від многочленаn-го степеня дорівнює нулю.

Відзначимо деякі властивості похідної:

(8)

(9)

ці формули легко перевірити безпосереднім підрахунком, якщо узяти в якості  і  два довільних многочлена і застосувати дане вище означення похідної.

Формула (9) розповсюджується на випадок добутку будь-якого скінченого числа множників, а тому звичним способом може бути виведена формула і для похідної степеня:

(10)

5.Теорема.Якщо число  є - кратним коренем многочлена , то при  воно буде (k-1)-кратним коренем першої похідної цього многочлена: якщо ж k=1, то  не буде коренем для .

# Дійсно, нехай

,(11)

де  вже не ділиться на .

Диференцюємо рівність (11), одержуємо:

.

Перший доданок суми, що стоїть у квадратних дужках, ділиться на , а другий на  не ділиться; тому уся ця сума на  не ділиться.

Враховуючи, що частка від ділення  на  визначена однозначно, ми маємо, що  є найбільшим степенем двочлена , на який ділиться многочлен , що і треба було довести. #

Питання для самостійної роботи.

  1. Інтерполяційна формула Ньютона. ([2], стор. 192-194)
  2. Раціональні корені многочлена з раціональними коефіцієнтами. ([2], стор. 202-203)

Підготовка до захисту розрахункової роботи №2. Тема: “Подільність многочленів”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28991. Звезда шина 63.5 KB
  Топология – физическое расположение компьютеров узлом коммутации и линий связи в сети а также их организационное взаимодействие. Все ПК подключены к единому узлу коммутации.
28992. Кольцо 44.5 KB
  Кольцо. ПК подключены к повторителям кот соединены шиной данных в однонаправленное кольцо. Обмен: Кольцо бывает тактированное и маркерное.
28993. Глобальная сеть Интернет 84.5 KB
  Магистральный канал – основная часть сети Интернет является совокупностью марштрутизаторов и высокоскоростных каналов связи оптоволокно или спутниковый радиоканал 2. Серверы сети узлы сети содержащие информационные ресурсы сети. программ агентов извлекающих информацию и передающих ей в сети.
28994. Адресация в сети Интернет. Протоколы сети Интернет 32.5 KB
  Протоколы сети Интернет. Основные протоколы: Сетевой протокол – соглашение о способах и методах передачи данных между компьютерами. TCP IP набор сетевых протоколов разных уровней модели сетевого взаимодействия DOD используемых в сетях. Протоколы работают друг с другом в стеке.
28995. Автоматизированное рабочее место (АРМ): понятие, требование к АРМ, классификация 27 KB
  АРМ это совокупность программнотехнических и организационнотехнических средств индивидуального и коллективного использование объединенных для выполнения определенных функций и задач работника в конкретной предметной области. Основные требования АРМ: 1. Максимальная ориентация на конечного пользователя достигаемая созданием инструментальных средств адаптации АРМ к уровню подготовки пользователя возможностей его обучения и самообучения.
28996. АРМ: назначение и виды обеспечения 26.5 KB
  АРМ это совокупность программнотехнических и организационнотехнических средств индивидуального и коллективного использование объединенных для выполнения определенных функций и задач работника в конкретной предметной области. Виды обеспечения: информационное обеспечение АРМ ориентируется на конкретную привычную для пользователя предметную область. технологическое обеспечение АРМ должно гарантировать высокую надежность технических средств организацию удобных для пользователя режимов работы способность обработать в заданное время...
28997. Типовая структура и принцип работы поисковых систем ( на примере поисковых машин Интернет) 33 KB
  Под поисковой системой обычно подразумевается сайт на котором размещен интерфейс системы. Программной частью поисковой системы является поисковая машина – это комплекс программ обеспечивающий функциональность поисковой системы и обычно это является коммерческой тайной компанииразработчика поисковой системы.
28998. Система электронного документооборота 26.5 KB
  документооборотом организация движения документов между организациями подразделениями пользователями при этом не их физ.1 Оперативный потоковый ввод документов из бумажных носителей путем сканирования и распознавания; 1.2 Ввод электронных документов из разных источников; 1.3 Индексирование документов.