36661

Основна теорема алгебри

Лекция

Математика и математический анализ

Будь-який многочлен, степінь якого n більше 0 має в комплексній області рівноn коренів, серед котрих можуть бути і рівні між собою. Якщо попарно різні корені многочлена степеняn, то попарно взаємно прості.

Украинкский

2017-02-21

379 KB

7 чел.

Лекція №3.

Тема.Основна теорема алгебри.

Мета вивчання:

  • познайомити з теоремою Гауса;
  • вивести формулу Тейлора;
  • познайомити зі слідствами з теореми Гауса.

План лекції:

  1. Поняття про основну теорему алгебри.
  2. Формула Тейлора.
  3. Слідства з основної теореми алгебри.
  4. Первісна многочлена.
  5. Кратні корені.

Література.[13], стор. 147-159.

Зміст лекції.

1.Теорема(Гауса). Будь-який многочлен вище нульового степеня має хоча б один корінь, взагалі кажучи, комплексний.

Слідство. Будь-який многочлен, степінь якогоn>0 має в комплексній області рівноn коренів, серед котрих можуть бути і рівні між собою.

Якщо  попарно різні корені многочлена степеняn, то  попарно взаємно прості.

Із критерію кореня (див. слідство з теореми Безу) слідує, що . Використовуючи властивості взаємно простих многочленів, маємо: .

Тобто будь-який многочлен степеняn>0, що маєn попарно різних коренів може бути представлений у вигляді .

Серед коренів можуть бути і рівні між собою (кратні).

2.Нехай .

1)

2)

;

;

;

;

--------------------------------------------------------------------

.

Покладемо :

;  ;   ;   ;.....;

.

;;

;;......;

-розклад многочлена  по степеням двочлена абоформула Тейлора.

Аналізуючи розкладання многочлена по степеням лінійного двочлена  зазначимо, що всі його коефіцієнти можуть бути знайдені при використанні схеми Горнера.

Приклади:

1) Розкласти многочлен  по степеням .

1

5

-9

0

7

3

1

8

15

45

142

3

1

11

48

189

3

1

14

90

3

1

17

3

1

   

Таким чином,

(1)

За допомогою формули Тейлора, користуючись співвідношенням  (1) можемо знайти значення не лише многочлена, а і усіх його похідних в будь-якій заданій точці.

;

;

2. Розкласти многочлен  по степенях .

Позначимо ;;

.

1

-5

0

-4

0

2

3

1

-2

-6

-22

-66

-196

3

1

-3

-31

1

-159

3

1

4

9

-4

3

1

7

30

3

1

10

3

1

3. Дано многочлен .

Розкласти  по степенях .

.

Позначимо:  (див. попередній приклад)

4. Обчислити значення многочлена  в точці :

Розкладемо  по степенях :

1

5

-9

0

7

3

1

8

15

45

142

3

1

189

3

1

90

3

1

17

3

1

         +1,89

         +0,009

         +0,000017

+0,00000001

        143,89901701

3. Нехай функція  задана формулами або формулою, крім цього відомі її область визначення та область значень, тоді можна побудувати таблицю аргументів, та відповідних значень на деякій частині області визначення. Цей процес називаєтьсятабулюванням. Але може бути поставлена і обернена задача: дано таблицю, а треба знайти функцію. Це задача є неоднозначною, наприклад,

Цей процес називаєтьсяінтерполюванням.При деяких обмеженнях, що накладаються на шукану функцію задача стає цілком визначеною.

Теорема. Існує, притому єдиний, многочлен степеня не вище n, який у наперед завданих попарно різних (n+1) точках приймає наперед задані значення: . Ці точки іноді називаютьвузлами інтерполяції.

Доведемо єдиність, припускаючи його існування. Припустимо, що існує хоча б два многочлени, що задовольняють усім умовам теореми, тобто припустимо, що , тоді .

Побудуємо многочлен . Але , тобто ми одержуємо, що многочлен, степінь якого  в (n+1) різних точках обертається у нуль, тобто має(n+1) попарно різних коренів, що неможливо, тобто наше припущення не вірне, значить .

Доведемо існування. Побудуємо многочлен , який в вузлах інтерполяції:  обертається на нуль, а в вузлі  приймає значення 1, тобто

.

Аналогічно міркуючи приходимо до висновку:

- многочлен степеняn, який в вузлах інтерполяції  обертається на 0, у вузлі  набуває значення 1.

у вузлах  обертається на нуль, а у вузлі  приймає  значення 1.

має степінь  у вузлах інтерполяції  обертається на 0, а у вузлі  приймає значення 1.

Тоді  при умові, що  являє собою многочлен степеня n, який у вузлах  обертається на 0 а у вузлі приймає значення .

Просумуємо усі побудовані добутки:

- являє собою многочлен степеня не вищеn, який у заданих вузлах інтерполяції:  попарно різних приймає наперед завдані значення відповідно . Це і є шуканий многочлен, що визначається формулою, яка називаєтьсяінтерполяційною формулою Лагранжа:

;(2)

Приклад. Побудувати многочлен за допомогою формули Лагранжа по заданій таблиці.

-2

0

3

1

-4

2

Маємо 3 вузла інтерполяціїn+1=3, звідкиn=2, тобто степінь не вище II

.

Нехай дано многочленnго степеня:

;

Відомо, що такий многочлен маєn комплексних коренів (враховуючи їх кратність), тоді

(3)

де  - корені  серед яких можуть бути рівні.

.

       .

Записавши многочлен  у вигляді (3) і порівнюючи відповідні коефіцієнти цього многочлена і заданого по спадаючих степенях невідомих приходимо до формулВієта, які зв’язують корені многочлена з його коефіцієнтами.

-------------------------------------------------------

4. Якщо  - корінь многочлена , тобто , то  ділиться, як ми знаємо, на . Може виявитися, що многочлен  ділиться не лише на перший степінь лінійного двочлена , але і на більш високі його степені. В усякому разі знайдеться таке натуральне число , що  цілком ділиться на , але не ділиться на  . Тому , де многочлен  на  вже не ділиться, тобто  не є коренем . Число  називаєтьсякратністю кореня  многочлена , а сам корінь  - -кратним коренем цього многочлена.

Якщо , то кажуть, що корінь- простий.

Поняття кратного кореня тісно пов’язане з поняттям похідної від многочлена.

Нехай дано многочленn-го степеня  з будь-якими комплексними коефіцієнтами. Йогопохідною(першою похідною) називається многочлен(n-1)-го степеня:

.

Похідна від многочлена нульового степеня вважається рівною нулю. Похідна від першої похідної називаєтьсядругою похідною від многочлена  і позначається . Очевидно, що  і тому , тобто(n+1)-а похідна від многочленаn-го степеня дорівнює нулю.

Відзначимо деякі властивості похідної:

(8)

(9)

ці формули легко перевірити безпосереднім підрахунком, якщо узяти в якості  і  два довільних многочлена і застосувати дане вище означення похідної.

Формула (9) розповсюджується на випадок добутку будь-якого скінченого числа множників, а тому звичним способом може бути виведена формула і для похідної степеня:

(10)

5.Теорема.Якщо число  є - кратним коренем многочлена , то при  воно буде (k-1)-кратним коренем першої похідної цього многочлена: якщо ж k=1, то  не буде коренем для .

# Дійсно, нехай

,(11)

де  вже не ділиться на .

Диференцюємо рівність (11), одержуємо:

.

Перший доданок суми, що стоїть у квадратних дужках, ділиться на , а другий на  не ділиться; тому уся ця сума на  не ділиться.

Враховуючи, що частка від ділення  на  визначена однозначно, ми маємо, що  є найбільшим степенем двочлена , на який ділиться многочлен , що і треба було довести. #

Питання для самостійної роботи.

  1. Інтерполяційна формула Ньютона. ([2], стор. 192-194)
  2. Раціональні корені многочлена з раціональними коефіцієнтами. ([2], стор. 202-203)

Підготовка до захисту розрахункової роботи №2. Тема: “Подільність многочленів”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65478. ТУРИЗМ ЯК СОЦІОЕТИЧНИЙ ЧИННИК СУСПІЛЬНОГО ЖИТТЯ 147.5 KB
  Сучасна цивілізація перебуває на переломному етапі свого поступу. Людству загрожує загострення різноманітних глобальних криз, в суспільстві зростає соціальна напруга. Як констатувалось на ХХІІ Всесвітньому філософському конгресі...
65479. ДВОСМУЖКОВА ЛІНІЯ МІЛІМЕТРОВОГО ТА СУБМІЛІМЕТРОВОГО ДІАПАЗОНІВ 5.73 MB
  Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому що вперше: Розроблено числову математичну модель багатозвязних планарних хвилевідних структур яка дозволяє проводити їх повний електродинамічний аналіз з урахуванням втрат та дисперсії.
65480. ПІДВИЩЕННЯ ЕКОБЕЗПЕКИ ПОРУШЕНИХ ГІРНИЧИМИ РОБОТАМИ ТЕРИТОРІЙ ЗА РАХУНОК ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ ЦІЛЕСПРЯМОВАНОГО ПРИСКОРЕНОГО ФОРМУВАННЯ ЕКОСИСТЕМ 259 KB
  Сучасні щорічні обєми проведення рекультивації у Кривбасі складають менше 1 від кількості порушених гірничими роботами земель. Окрім того технології рекультивації не завжди успішні оскільки розраховані на відновлення порушених земель горизонтальних родовищ корисних копалин.
65481. ТЕАТРАЛЬНІСТЬ ЯК ТВОРЧИЙ ПРИНЦИП МУЗИЧНО-ВИКОНАВСЬКОГО МИСТЕЦТВА (НА ПРИКЛАДІ ФОРТЕПІАННОГО ВИКОНАВСТВА) 146.5 KB
  Якщо в таких галузях як літературознавство теорія театру та образотворчих мистецтв поняття театральність і повязане з ним коло проблем осмислене достатньо глибоко і ґрунтовно розглянуто в ряді спеціальних досліджень в теорії музичного виконавства досі бракує...
65482. ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ ЕКСПЛУАТАЦІЇ ОРНОГО АГРЕГАТУ ПРИ НЕСТІЙКОМУ РУСІ 201.5 KB
  При цьому недостатньо приділяється уваги дослідженням орного агрегату як механічної системи а динамічна взаємодія трактора та начіпногоплуга суттєво впливає на ефективність агрегату і позначається на якісних показниках обробітку ґрунту.
65483. ФОРМУВАННЯ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ІНВЕСТИЦІЙНОГО РОЗВИТКУ РЕГІОНУ 255.5 KB
  Важливою передумовою стійкого економічного зростання в Україні є активізація інвестиційної діяльності. Сучасний стан розвитку економіки характеризується певним пожвавленням інвестиційного процесу та зростанням валового внутрішнього продукту країни.
65484. ФОРМУВАННЯ ФІНАНСОВОГО МЕХАНІЗМУ ДІЯЛЬНОСТІ СТРАХОВОЇ КОМПАНІЇ 356 KB
  Збалансований і налагоджений фінансовий механізм дозволяє формувати і використовувати активи страхової компанії з метою забезпечення максимального рівня її платоспроможності. Однак аналіз наукових праць свідчить що питання формування фінансового механізму...
65485. ФІНАНСОВА ПОЛІТИКА РОЗВИТКУ СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА УКРАЇНИ: ТЕОРІЯ, МЕТОДОЛОГІЯ, ПРАКТИКА 432 KB
  Фінансова політика держави у сучасних умовах ринкових перетворень виступає визначальною для розвитку національної економіки. Ускладнення процесів економічних трансформацій, посилення їх динамізму, фінансова криза та її негативні наслідки виявили...
65486. БЕЛЬГІЯ ТА КОЛОНІАЛЬНИЙ ПОДІЛ АФРИКИ 172 KB
  ХХ століття стало свідком краху колоніальних імперій, проте інтерес дослідників до різних аспектів історії колоніальної політики не слабшає. У сучасному світі в істориків з'являються все нові можливості для вивчення історичних явищ і розширення проблематики своїх досліджень...