36670

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Линейные системы управления

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

В учебном пособии излагаются методы анализа и синтеза линейных линеаризованных систем автоматического управления САУ базирующиеся на применении принципа обратной связи по выходной управляемой координате или по вектору координат состояния объекта управления. Продемонстрированы современные методы математического описания линейных объектов и систем во временной и частотной области показана взаимосвязь различных методов описания приведены наиболее распространенные в инженерной практике методы анализа и синтеза непрерывных и дискретных...

Русский

2013-09-23

5.19 MB

430 чел.

PAGE  179

  

Министерство образования Российской федерации

Пермский государственный технический университет

Электротехнический факультет

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Линейные системы управления

Учебное пособие

Составитель – д. т. н., профессор кафедры микропроцессорных средств

автоматизации ПермГТУ Казанцев Владимир Петрович

Пермь 2004


УДК 62-52

К 62

Теория автоматического управления. Линейные системы управления: Учебное пособие / В.П. Казанцев. – Пермь, РИО ПГТУ. – 2004.

В учебном пособии излагаются методы анализа и синтеза линейных (линеаризованных) систем автоматического управления (САУ), базирующиеся на применении принципа обратной связи по выходной (управляемой) координате или по вектору координат состояния объекта управления. Продемонстрированы современные методы математического описания линейных объектов и систем во временной и частотной области, показана взаимосвязь различных методов описания, приведены наиболее распространенные в инженерной практике методы анализа и синтеза непрерывных и дискретных САУ. Ключевые понятия ТАУ в тексте учебного пособия выделены текстом с подчеркиванием.

Учебное пособие содержит значительное число примеров решения задач синтеза и анализа линейных систем управления, в том числе с применением широко распространенных в мире современной универсальной интегрированной среды программирования системы Matlab 6.5 (с пакетом расширения Simulink 4.5) и интегрированной системы MathCAD 11.

Настоящее издание предназначено, прежде всего, для студентов заочного обучения. Учебное пособие может быть полезно также для аспирантов, преподавателей и инженеров, занимающихся проектированием систем управления самого различного назначения и отраслевой принадлежности.


Содержание

глава

Наименование главы, раздела

Стр.

Используемая аббревиатура

5

Введение

6

1

Основные понятия. Задачи теории управления

8

2

Классификация технических систем управления

15

3


Основные элементы, функциональные блоки

и функциональные структуры САУ

21

4

Модели динамических управляемых объектов

26

4.1

Методы описания и исследования динамических управляемых объектов в частотной и временной области

26

4.2

Статические и динамические характеристики САУ

28

4.3

Переходные и импульсные характеристики САУ

32

4.4

Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения

33

4.5

Линеаризация САУ

43

5

Структурные методы исследования линейных САУ

44

5.1

Преобразование Лапласа, передаточные функции и матрицы

44

5.2

Типовые динамические звенья и структурные схемы САУ

47

5.3

Способы соединения звеньев, правила преобразования

структурных схем

54

5.4

Представление САУ в виде сигнальных графов. Правило

Мейсона при преобразовании структурных схем

56

6

Метод частотных характеристик

60

6.1

Частотные передаточные функции

60

6.2

Частотные характеристики САУ

61

6.3

Диаграмма Боде. Асимптотические частотные характеристики

63

7

Устойчивость линейных систем управления

69

7.1

Характеристическое уравнение линейной САУ

69

7.2

Алгебраические критерии устойчивости

71

7.2.1

Критерий Гурвица

71

7.2.2

Критерий Рауса

72

7.3

Частотные критерии устойчивости

76

7.3.1

Критерий Михайлова

76

7.3.2

Критерий Найквиста

78

7.3.3

Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы.

Понятие D-разбиения

83

7.3.4

Логарифмический критерий устойчивости

84

7.3.5

Относительная устойчивость. Запасы устойчивости

86

7.3.6

Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания

88

8

Показатели качества САУ

91

8.1

Прямые показатели качества регулирования

91

8.2

Косвенные показатели качества регулирования

93

8.2.1

Оценка качества регулирования по расположению

корней характеристического уравнения

94

8.2.2

Частотные методы оценки качества

98

8.2.3

Оценка качества по ЛАЧХ разомкнутой САУ

101

8.2.4

Интегральные оценки качества

104

9

Метод пространства состояний

108

9.1

Векторно-матричное описание САУ

108

9.2

Схемы пространства состояний

112

9.3

Понятие матрицы перехода (переходных состояний)

114

9.4

Весовая (импульсная) переходная матрица

118

9.5

Управляемость и наблюдаемость САУ

119

10

Синтез линейных непрерывных САУ

122

10.1

Общая постановка задачи синтеза

122

10.2

Типовые параметрически оптимизируемые регуляторы

(корректирующие звенья) класса “вход-выход”

123

10.3

Последовательная коррекция САУ частотными методами

128

10.3.1

Коррекция с опережением по фазе

128

10.3.2

Коррекция с отставанием по фазе

133

10.3.3

Коррекция введением интеграторов

137

10.4

Синтез систем с подчиненным регулированием координат

139

10.5

Методика структурно-параметрического синтеза контуров

регулирования САУ по желаемой передаточной функции

141

10.6

Синтез САУ с апериодической реакцией

144

10.7

Синтез модальных систем управления

146

11

Дискретные и дискретно-непрерывные  САУ

150

11.1

Дискретизация и модуляция сигналов

150

11.2

Математическое описание дискретных систем

153

11.2.1

Z-преобразование  и дискретные передаточные функции и разностные уравнения

153

11.2.2

Разностные уравнения

158

11.2.3

Описание дискретных САУ в пространстве состояний

159

11.2.4

Описание дискретно-непрерывных САУ в пространстве

состояний

161

11.3

Синтез  цифровых  систем  управления

167

11.3.1

Метод дискретизации аналоговых регуляторов

167

11.3.2

Метод переменного коэффициента усиления

169

11.3.3

Метод синтеза апериодических дискретно-непрерывных САУ

171

Литература

179


Используемая аббревиатура

 

АСУ – автоматизированная система управления;

АСУ ТП – автоматизированная система управления технологическим  

         процессом (производством);

ВМУ – векторно-матричное уравнение;

ДПФ – дискретная передаточная функция;

ИМ – исполнительный механизм;

ММ – математическая модель;

ОДУ – обыкновенное дифференциальное уравнение;

ОР – объект регулирования;

ОУ – объект управления;

ПФ – передаточная функция;

САР – система автоматического регулирования;

САУ – система автоматического (автоматизированного) управления

ТАУ – теория автоматического управления;

ТП – технологический процесс;

УТС – управление техническими системами;

УР – устройство регулирования;

УУ – устройство управления.


Введение

Техника управления большинством промышленных объектов базируется на применении обратных связей по координатам (переменным состояния) объектов управления (ОУ) и возмущениям внешней (по отношению к ОУ) среды. При этом зачастую системы автоматического управления (САУ) содержат элементы различной физической природы (электрической, механической, химической и др.).

Впервые принцип обратной связи был применен в Греции за 300 лет до н. э. Это был простейший регулятор прямого действия - поплавковый регулятор уровня жидкости. Первой системой с обратной связью, изобретенной в современной Европе, был регулятор температуры голландца Корнелиуса Дреббеля (1572-1633).

В России первая система с обратной связью была создана И. Ползуновым в 1765 г., в основе которой лежал поплавковый регулятор уровня воды, подаваемой в паровой котел.

Первым автоматическим регулятором, нашедшим широкое промышленное применение в Европе, общепризнанно считается центробежный регулятор скорости вращения вала паровой машины, предложенный в 1769 г. англичанином Джеймсом Уаттом (при увеличении скорости вала уменьшалась подача пара в паровую машину).

Основы математической теории управления линейных САУ были заложены крупнейшим английским физиком Дж. Максвеллом и российским ученым И. А Вышнеградским во 2-й половине 19-го века, когда были предложены оценки влияния параметров ОУ на поведение САУ с обратной связью. Алгебраические критерии устойчивости линейных САУ были в разной трактовке предложены Раусом (1877 г.) и Гурвицем (1895 г.).

Общая математическая теория устойчивости линейных и нелинейных САУ разработана российским ученым А. М. Ляпуновым (1892 г.)

Впервые частотные критерии устойчивости систем с обратной связью были сформулированы американскими учеными Х. Найквистом (1932 г.) и  Г. Боде  (середина 20-го века) при создании электронных усилителей мощности сигналов в телефонии. В эти же годы советские ученые В. В. Солодовников, Ю. И. Неймарк, Я. З. Цыпкин, А. А. Воронов и др. разработали целый ряд частотных методов исследования  САУ.

В создание современной теории оптимального управления, основывающейся на понятии пространства состояния динамических систем, большой вклад внесли американские ученые Р. Беллман, Р. Калман, Ю. Ту, Б. Куо, Р. Изерман, а также советские ученые А. А. Фельдбаум, Л.С. Понтрягин, А. М. Летов, Н. Н. Красовский, Б. Н. Петров, Е. П. Попов и многие др.

Фундаментальными свойствами САУ являются устойчивость, качество, управляемость, наблюдаемость, чувствительность, инвариантность.

Предметом изучения данной дисциплины являются следующие объекты:

  •  основные функциональные элементы, блоки и структуры САУ;
  •  математические методы описания САУ (модели динамических управляемых систем);
  •  передаточные функции одномерных и многомерных систем;
  •  типовые динамические звенья и структурные схемы САУ;
  •  основные современные понятия линейных САУ: состояние, матрица перехода, весовая матрица, управляемость, наблюдаемость и др.;
  •  линейные модели дискретных и дискретно-непрерывных систем управления;
  •  методы синтеза корректирующих устройств САУ;
  •  специфические свойства сложных технических систем управления и принципы их построения.

В результате изучения дисциплины студент должен:

  •  иметь представление о месте теории управления техническими системами в системе других изучаемых дисциплин;
  •  владеть основными понятиями и терминологией теории автоматического управления;
  •  знать основные принципы и функциональные схемы систем автоматического управления;
  •  знать типовые динамические звенья САУ и их математическое описание;
  •  знать и уметь пользоваться основными методами синтеза корректирующих устройств САУ, в том числе дискретных и дискретно-непрерывных САУ.


1. Основные понятия. Задачи теории управления

Рассмотрим базовые структурные понятия ТАУ.

Система - любой объект, который одновременно рассматривается, во-первых, как единое целое, и, во-вторых, как нечто, состоящее из множества связанных составных частей (элементов).

Элементы - части или компоненты системы, условно принятые неделимыми.

Связи - соединения между элементами системы (прямые или косвенные, последовательные или параллельные, алгебраические или дифференциальные, линейные или нелинейные  и др.).

Любая система характеризуется структурой, параметрами и состоянием.

Структура - способ организации элементов в систему с помощью установления между ними взаимосвязей.

Параметры - свойства (качества) системы, позволяющие описывать систему и выделять ее из окружающей среды и других систем. К параметрам системы относят коэффициенты усиления звеньев, постоянные времени, номинальные значения переменных и др.

Состояние - совокупность значений переменных (координат состояния) системы, существенных с точки зрения решаемой задачи. К координатам состояния системы относят выходные и внутренние переменные объекта, меняющиеся вследствие управления.

Среда - множество элементов и систем за пределами рассматриваемой системы.

Целостность системы проявляется в том, что она определенным образом выделена из среды и обладает свойствами, которыми не обладают составляющие ее элементы.

Математическая модель любой системы может быть представлена в виде сигнального графа (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Представление системы

в форме графа

В качестве элементов системы (вершин) на графе представлены координаты ее состояния (переменные), а связи между ними обозначены дугами (ребрами графа). В зависимости от направления дуг различают входные и выходные воздействия (входы и выходы элементов). Элементы графа осуществляют алгебраическое суммирование входных воздействий и преобразование их в выходные. Связи между элементами задаются соответствующими уравнениями.

Система, имеющая внешнюю среду, называется открытой, в противном случае - изолированной (концепция изолированности систем используется крайне редко).

Достаточно серьезной является проблема выделения системы (объекта исследования или управления) из среды, т. к. всегда возникает проблема обоснованности включения тех или иных элементов в систему. Более того, в зависимости от характера решаемой проблемы один и тот же физический объект (например, производственный участок) может быть представлен в виде различных систем (для конструктора, технолога, социолога, экономиста и др. это разные системы).

В информационно-управляющей, вычислительной технике понятие системы имеет множество смысловых оттенков. Под системой понимают и совокупность программно-аппаратных (программно-технических) средств, и совокупность только аппаратных компонентов, и совокупность только программных продуктов (например, операционные системы и компиляторы).

Относительность точки зрения на систему проявляется также в том, что одну и ту же совокупность элементов можно рассматривать либо как систему, либо как часть  некоторой, более крупной системы. В последнем случае множество элементов крупной системы делят на ряд подмножеств, образующих подсистемы. На рис 1.2 приведен вариант разбиения некоторой системы  S = {X1, …, X8}, где X1, …, X8 - элементы  1…8  системы, на 3 подсистемы  S1, S2, S3, т.е. S = {S1, S2, S3}.

       

Рис. 1.2. Разбиение системы на подсистемы

Таким образом, каждая система может рассматриваться либо как собственно система, либо как подсистема. В последнем случае вводят понятие иерархии системы, т.е. элементами системы  i-го  уровня  являются системы  (i + 1)-го уровня (рис. 1.3).  

  

Рис. 1.3. Иерархия подсистем

Процесс формирования той или иной системы называется ее композицией, а процесс вычленения ее из системы более высокого уровня - декомпозицией системы.

Синтез САУ - это специфический процесс структурно-параметрической композиции САУ, удовлетворяющей совокупности заданных технических требований.

Моделью называют отображение определенных характеристик объекта с целью его изучения (исследования). Модель позволяет выделить из всего спектра проявлений объекта лишь те, которые наиболее существенны с точки зрения решаемой задачи. Например, в задачах синтеза и анализа систем управления модель одного и того же объекта может быть разной степени детализации (в задачах синтеза модель объекта обычно более простая). Центральной проблемой моделирования систем является разумное упрощение модели, т.е. выбор степени подобия модели и объекта.

Система  В  является изоморфной относительно системы  А,  если ее элементы и связи находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами и связями системы  В.  Каждый из этих объектов может служить моделью другого и не имеет значения, какой из них будет изучаться.

Система  В  является гомоморфной относительно системы  А,  если несколько элементов и связей в системе  А  отображаются одним элементом и связью в системе  В, т. е. гомоморфный образ является упрощенной моделью (частным описанием) отображаемой системы. Обычно модель конструируется как гомоморфный образ объекта и как изоморфный образ изучаемых свойств.

Различают физические и абстрактные модели. К первым относят, в частности, макеты изучаемых объектов, ко вторым - модели, имеющие формальное описание на том или ином языке моделирования (естественном языке, языке схем, чертежей, математическом языке и др.). Модели, составленные с использованием языковых средств математики, называют математическими моделями (ММ).

Микроанализ системы - изучение (моделирование) системы в предположении, что все ее элементы и связи доступны для наблюдения. Сводится к изучению структуры и свойств элементов.

Макроанализ системы - изучение (моделирование) системы  в предположении, что далеко не все элементы и связи системы известны. Сводится к построению модели в виде “черного ящика” (макромодели) и изучению ее свойств во взаимодействии с окружающей средой (решается задача идентификации системы).

Система управления - система, в которой осуществляется целенаправленный процесс управления. На рис. 1.4 приведена обобщенная функциональная схема системы управления.

Рис. 1.4. Обобщенная функциональная схема

системы управления

В структурном аспекте объект управления - управляемая подсистема.

Им может быть отдельный станок, установка, технологическая линия, бригада рабочих, участок, цех, предприятие и т. п.

Аналогично, в структурном аспекте устройство управления - управляющая подсистема. В качестве устройства управления можно рассматривать специализированное устройство управления, оператора станка, управленческий персонал цеха или предприятия.

Следует отметить, что, несмотря на все возрастающие возможности микропроцессорных средств управления, роль человека (оператора станка, диспетчера ТЭЦ, руководителя структурного подразделения) в экспертной оценке состояния системы управления, выработке стратегии управления и реализации функций управления производством остается определяющей.

Объект управления представлен в виде открытой системы и взаимодействует с внешней средой. Воздействие окружающей среды на объект управления называется возмущающим воздействием (контролируемым или неконтролируемым, детерминированным или стохастическим) и представлено на рис. 1.4 в виде вектора аддитивных воздействий  F.

Устройство оценивания обеспечивает непосредственное или косвенное измерение координат состояния объекта управления (Xс) и возмущения внешней среды (Xс). Оно может быть реализовано в виде измерительных устройств (датчиков первичной информации) или наблюдающего устройства (полного или редуцированного).

Устройство управления обеспечивает целенаправленное (оптимальное или квазиоптимальное в смысле некоторого критерия качества) управление на основе информации о заданном Z и текущем X состоянии объекта управления, а также состоянии внешней по отношению к ОУ среды F, т.е.  формирует вектор управляющих воздействий U = (Z, X, F), где   - оператор (алгоритм) управления.

Алгоритм управления - недвусмысленное правило, инструкция, указание, что и как следует делать, чтобы добиться заданной цели управления в условиях изменения вектора состояния управляемого объекта и вектора возмущающих воздействий.

Цель управления - формальный критерий качества управления. В обобщенной форме цель управления формируется в виде некоторого функционала

J = J{Z(t), X(t), F(t), U(t)}. (1.1)

Задача управления в общем случае формулируется следующим образом: найти такой вектор управления U(t), который обеспечивал бы достижение цели управления  J = J{Z(t), X(t), F(t), U(t)} при заданных ограничениях на координаты задающих воздействий Z(t){Z(t)}, координаты состояния объекта управления X(t){X(t)}, координаты возмущающей среды  F(t){F(t)}  и  ресурсы управления  U(t) {U(t)}, где  {Z(t)}, {X(t)}, {F(t)}, {U(t)} - замкнутые пространства соответственно векторов желаемого состояния, текущего состояния, возмущения и управления.

Задачу управления можно сформулировать в несколько иной форме: найти и реализовать функциональную зависимость (алгоритм управления)

U(t)=U{Z(t), X(t), F(t)},  (1.2)

обеспечивающую наилучшее приближение к заданному критерию качества управления при ограничениях на координаты и ресурсы управления.

Устройство управления (УУ) в САУ представляет собой совокупность регуляторов класса “вход-выход” и (или) регулятор состояния, некоторое множество корректирующих устройств, в том числе компенсирующих взаимное влияние каналов регулирования, а также аналоговых или цифровых фильтров, устройств преобразования координат и т. п.

Система автоматического регулирования (САР) - простейшая система автоматического управления одной выходной координатой ОУ. САР может иметь один или несколько контуров регулирования. Задача регулирования формулируется аналогично задаче управления: найти закон регулирования

U(t)=U{(t)},  (1.3)

где  (t) - текущая ошибка регулирования, (t)=Z(t)-X(t), обеспечивающий  достижение экстремума критерия  J = J{(t)} при заданных ограничениях на координаты и ресурсы управления.

Устройство регулирования – это регулятор, представляющий собой корректирующее динамическое звено с одним входом и одним выходом и преобразующее сигнал ошибки (t) в оптимальное управляющее воздействие U(t).

Как видим, понятие “управление” включает в себя понятие “регулирование” и применимо как к простым, так и к сложным объектам со многими координатами управления. В связи с этим, в дальнейшем

именно обобщенные понятия “управление” и “система автоматического управления” будут применяться для любых объектов безотносительно их сложности. Термин “регулирование” будет применяться только для простых систем с одним управляющим воздействием, хотя именно они и будут основным предметом изучения в данном учебном курсе.

Таким образом, процесс управления включает следующую последовательность действий:

1. определение программы управления, т.е. выработка программной траектории  Z(t)  движения системы в допустимой области изменения вектора состояния  САУ (этап планирования);

2. измерение (оценивание) векторов состояния и возмущения  X(t), F(t)

(этап контроля);

3. формирование управляющего воздействия, т. е. определение оптимального в смысле принятого критерия качества управления в виде U(t)=U{Z(t), X(t), F(t)} (этап выработки управляющих воздействий или принятия управленческих решений);

4. реализация управляющего воздействия, т.е. целенаправленное воздействие на объект управления (этап собственно управления).

Следует отметить, что ТАУ изучает общие принципы построения САУ и методы их исследования независимо от физической природы процессов, протекаемых в этих системах.

К основным задачам ТАУ относят:

– синтез САУ, удовлетворяющих заданным техническим требованиям (критериям качества управления);

– анализ показателей качества синтезированных САУ в условиях воздействия заданного спектра задающих и возмущающих воздействий.

Задача синтеза САУ, как правило, является более сложной, чем задача анализа и предполагает решение нескольких подзадач:

– определение адекватной объекту управления (ОУ) его математической модели (ММ);

– формулирование критериев качества управления (их формализация);

– синтез структуры САУ (задача структурного синтеза САУ), т. е. установление оптимальных (рациональных) элементов устройства управления и взаимосвязей между ними;

– синтез параметров САУ (задача параметрического синтеза САУ), т. е. определение оптимальных (рациональных) параметров устройства управления.

В теории оптимального управления две последние подзадачи синтеза САУ решают одновременно методами структурно-параметрического синтеза.  

Методы синтеза САУ зависят от полноты априорной информации об ОУ и условиях его функционирования и подразделяются на детерминированные (определенные) и стохастические (вероятностные). При этом подавляющее большинство методов синтеза ориентировано на класс линейных САУ в частотной или временной области, что объясняется их относительной простотой. Вместе с тем, класс нелинейных САУ является гораздо более многообразным и сложным, что предполагает либо корректную адаптацию методов синтеза линейных САУ к конкретным ОУ, либо применение специальных методов синтеза нелинейных САУ (в данном пособии нелинейные системы не рассматриваются).  

Задача анализа САУ предполагает, в общем случае, также решение нескольких подзадач:

– определение ММ САУ, отражающей ее доминирующие свойства (качества) с учетом допущений принятых на этапе синтеза САУ;

– оценка устойчивости и (или) показателей качества САУ при заданных аддитивных воздействиях на нее;

– оценка управляемости, наблюдаемости, чувствительности САУ к вариациям ее параметров и др.

В практике проектирования промышленных САУ задачи синтеза и анализа решаются параллельно, поскольку сам процесс проектирования обычно носит итерационный характер, требующий неоднократной коррекции и ММ ОУ, и цели управления, и допустимых ресурсов (ограничений) управления и т. п.


2.  Классификация технических систем управления

Технические САУ можно классифицировать по ряду основных признаков. Рассмотрим их.

  1.  По степени автоматизации функций управления:

- системы ручного управления (человек-оператор вырабатывает и реализует стратегию управления);

- системы автоматизированного управления (человеко-машинные САУ);

- системы автоматического управления (без участия человека).

  1.  По наличию существенных нелинейностей в САУ:
  •  линейные (линеаризованные);
  •  нелинейные.

 В линейных САУ все звенья описываются линейными уравнениями. Линейные САУ классифицируют также по ряду дополнительных признаков:

- линейные системы с сосредоточенными параметрами, т. е. системы, в которых процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) с постоянными коэффициентами;

- линейные системы с распределенными параметрами, т. е. системы, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных;

 - линейные системы с переменными параметрами, т. е. системы, в которых хотя бы один параметр изменяется во времени;

- линейные системы с запаздыванием, т. е. системы, в которых присутствует хотя бы одно звено с чистым (транспортным) запаздыванием.

 В нелинейных САУ присутствует хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Это может быть нелинейная статическая характеристика звена или нелинейность иного вида, такая как произведение переменных, квадратный корень, степенная функция координат системы и др.  

Нелинейные САУ, так же как и линейные, могут быть с сосредоточенными параметрами, с распределенными параметрами, с переменными коэффициентами, с запаздыванием.

  1.  По характеру протекания процессов в САУ и, соответственно, форме математического описания:

- непрерывные (аналоговые);

- дискретные (релейные, импульсные, цифровые);

- дискретно-непрерывные, в том числе цифро-аналоговые.

В непрерывных САУ для всех звеньях непрерывному во времени входному сигналу соответствует непрерывный во времени выходной сигнал. Непрерывные САУ описываются с помощью дифференциальных уравнений. Для описания линейных непрерывных САУ применяют, как правило, аппарат ОДУ, передаточных функций (ПФ) или аппарат линейных векторно-матричных уравнений (ВМУ).

В дискретных и дискретно-непрерывных САУ хотя бы для одного звена непрерывному во времени входному сигналу соответствует дискретный во времени выходной сигнал (со ступенчатой или импульсной формой). Для описания дискретных САУ, содержащих исключительно дискретные звенья, применяют разностные уравнения. Для описания линейных дискретных САУ применяют, кроме того, аппарат дискретных передаточных функций (ДПФ), основанный на Z-преобразовании сигналов, или аппарат дискретных векторно-матричных уравнений (ДВМУ). Для описания дискретно-непрерывных САУ применяют сочетание методов описания линейных и дискретных систем.

  1.  По типу обратных связей систем регулирования и управления:

- разомкнутые (без обратных связей);

- замкнутые:

- по ошибке регулирования (с регулированием по отклонению выходной координаты от заданного значения);

- по возмущающему воздействию (с регулированием по возмущению);

- по ошибке регулирования и возмущающему воздействию (с комбинированным регулированием).

На рис. 2.1 приведены обобщенные функциональные схемы разомкнутой и замкнутых САР.

Рис. 2.1. Обобщенные функциональные схемы разомкнутой САР (а)

и замкнутых САР (б-г)

Обозначения:

ОР, УР – соответственно объект и устройство регулирования;

xз(t),  z(t) – соответственно задающее и возмущающее воздействия;

x(t) – выходная (регулируемая) координата ОР;

иу(t) – управляющее воздействие.

Алгоритм регулирования разомкнутой САР (см. рис. 2.1а) можно представить в виде

. (2.1)

Чаще всего оператор fу устанавливает пропорциональную зависимость между xз(t) и uу(t). Алгоритм (2.1) эффективен лишь при незначительном влиянии возмущающего воздействия z(t) на ОУ и стабильности параметров ОР и УР.

Алгоритм регулирования по отклонению выходной координаты от заданного значения (см. рис. 2.1б) можно представить в виде

, (2.2)

где  - ошибка регулирования,

. (2.3)

Поскольку ведется контроль непосредственно регулируемой координаты, алгоритм регулирования (2.2) эффективен как при изменении задающего, так и возмущающего воздействия. Вместе с тем, принцип регулирования по отклонению имеет ряд существенных недостатков:

  1.  “медлительность” отработки изменения возмущающего воздействия, т. к. система должна “почувствовать” его изменение через изменение выходной координаты;
  2.  уменьшение коэффициента усиления замкнутой системе по отношению к коэффициенту усиления разомкнутой САР (см. гл. 4.2);
  3.  возможность возникновения колебаний и даже неработоспособность (неустойчивость) замкнутой САР (см. гл. 7).

Алгоритм регулирования замкнутой по возмущению САР (см. рис 2.1в) имеет вид

. (2.4)

Алгоритм регулирования (2.4) обеспечивает компенсацию изменения возмущающего воздействия z(t), однако отсутствие текущего контроля выходной координаты x(t) не всегда обеспечивает необходимую точность отработки задающего воздействия. Отсюда основное назначение таких САР - стабилизация регулируемой координаты в условиях действия возмущения z(t). Заметим, что для реализации таких САР должна иметься возможность измерения или оценки величины возмущающего воздействия.

Алгоритм комбинированного регулирования (см. рис. 2.1г) можно представить в виде

. (2.5)

Данная САР является наиболее эффективной и обладает преимуществами обеих предыдущих систем, однако требует измерения и выходной координаты, и возмущающего воздействия.

Обратные связи по координатам ОУ и возмущений внешней среды подразделяют на отрицательные и положительные, жесткие и гибкие.

В подавляющем большинстве технических приложений обратные связи направлены на стабилизацию показателей качества САУ и являются отрицательными. Положительные обратные связи обычно применяют для компенсации нежелательного влияния тех или иных переменных на качество САУ или придания системе свойств инвариантности по отношению к возмущающим воздействиям.

Жесткие обратные связи действуют как в динамических, так и статических (установившихся) режимах. Гибкие обратные связи действуют только в динамических режимах и предполагают наличие дифференцирующих устройств.

Большинство реальных систем управления функционируют в условиях воздействия некоторого множества задающих и возмущающих воздействий. В этом случае для функционирования УУ требуется контролировать векторы переменных (координат состояния) ОУ и возмущений внешней среды. Само УУ в этом случае либо содержит несколько простых (типовых) регуляторов координат ОУ, либо один регулятор всего состояния системы. Функциональная схема такой САУ приведена на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Функциональная схема САУ

с векторным регулятором состояния

  1.  По принципу управления (характеру задач управления):

- системы стабилизации;

- системы программного управления;

- следящие системы и системы воспроизведения движений.

В системах стабилизации алгоритм управления призван обеспечить стабилизацию отработки достаточно длительно действующего постоянного задающего воздействия, однако, в общем случае, изменяющегося в некотором диапазоне. В системах промышленной автоматики системы, обеспечивающие стабилизацию технологических координат на заданном уровне, т. е. являются наиболее распространенными.

Системы программного управления предназначены для отработки с заданной динамической точностью задающего воздействия, изменяемого во времени или в функции иных технологических координат ОУ, закон изменения которых заранее известен. Наиболее часто задающее воздействие является программно-временным, т. е. . Характерной особенностью таких систем является функционирование в режиме не только малых, но и больших отклонений координат. В последнем случае координаты САУ могут превысить допустимые по условиям эксплуатации объекта значения, а, следовательно, необходимо принять меры по ограничению этих координат на допустимом уровне.

Следящие системы управления предназначены для отработки задающего воздействия в функции какой-либо переменной ОУ, закон изменения которой заранее неизвестен, т. е.  Характерным примером такой САУ является система слежения радиотелескопа за положением в пространстве летящего воздушного объекта. Следящие системы применяют также для дистанционной передачи показаний измерительных приборов, для формирования и дистанционной передачи управляющего воздействия следящих электроприводов на основе измерительно-преобразовательного модуля “сельсинная пара” и др. Системы воспроизведения движений структурно схожи со следящими САУ, однако задающими воздействиями могут быть не только пространственные координаты объекта, но и линейные или угловые скорости и ускорения изделий техники (деталей и агрегатов автомобилей, самолетов, ракет и др.), испытуемых на специализированных стендах.

  1.  По признаку усиления мощности сигнала управления:

- САУ прямого действия (управляющее воздействие на ОУ не подвергается усилению);

- САУ непрямого действия (управляющее воздействие на ОУ предварительно усиливается с помощью силового преобразователя энергии).

К САУ прямого действия относят простейшие системы регулирования, например, уровня воды в сливном бачке унитаза, температуры “подошвы” утюга и т. п. В САР непрямого действия для усиления сигнала управления объектом применяют электромеханические, гидромеханические, пневмомеханические, электротермические и иные преобразователи энергии.

  1.  По степени определенности:

- детерминированные (вполне определенные) САУ; большинство промышленных локальных систем управления относят именно к этому классу; к  числу достаточно сложных детерминированных систем можно отнести, например, АСУТП с ЭВМ в контуре управления (при исследовании САУ часто необходимо учитывать процессы дискретизации по времени и уровню, адаптацию САУ к изменению параметров объекта управления, коррекцию уставок локальных систем и др.);

- стохастические (вероятностные) САУ, в которых можно лишь предсказать вероятность возможного изменения вектора состояния системы; к числу таких систем относятся производственные предприятия, экспертные системы, геофизические системы, системы навигации и радиолокации и т. п.

  1.  По степени изменчивости и адаптации САУ к изменению параметров:

- стационарные и квазистационарные САУ, не требующие адаптации; параметры ОУ таких САУ неизменны или изменяются в незначительных пределах;

- нестационарные САУ с низкой чувствительностью к изменению параметров ОУ (с реализацией больших коэффициентов усиления и скользящих режимов);

- робастные САУ (с низкой чувствительностью к изменению параметров ОУ, возмущений внешней среды, шумов датчиков и др.);

- нестационарные адаптивные САУ:

- с сигнальной самонастройкой;

- с параметрической самонастройкой;

- самоорганизующиеся САУ (с изменением не только параметров, но и структуры УУ) и самообучающиеся, в том числе на основе нейронных технологий.

  1.  По числу и связности каналов управления:

- одномерные (со скалярным управлением) и многомерные (с векторным управлением) САУ;

- одно- и многосвязные (с автономными и неавтономными каналами управления) САУ.

  1.   По свойствам САУ в установившихся режимах:

- статические системы, характеризующиеся наличием ненулевой установившейся ошибки регулирования выходной переменной при постоянном задающем и возмущающем воздействии;

- астатические системы, характеризующиеся нулевой установившейся ошибкой регулирования выходной переменной при постоянном задающем и возмущающем воздействии.

Рассмотренная классификация, безусловно, не претендует на полноту представления применяемых на практике САУ, однако в достаточной степени отражает многообразие признаков систем управления и, соответственно, подходов к их исследованию. Отметим только, что сложные автоматизированные системы управления технологическими процессами (АСУ ТП) классифицируют также по целому ряду функционально-структурных признаков, определяющих их архитектуру (топологию), и применяемых программно-аппаратурных средств управления: централизованные и распределенные, одноуровневые локальные и многоуровневые иерархические, с архитектурой “файл-сервер” и “клиент-сервер”, специализированные и универсальные с открытой архитектурой  т. п.

 


3.  Основные элементы, функциональные блоки

и функциональные структуры САУ

Функциональная схема (функциональная структура) САУ отражает признаки ее функционально-структурной организации и определяет взаимосвязь, соподчиненность ее функциональных элементов и блоков.

Основные элементы САУ по функциональным признакам можно объединить в несколько групп:

1) задающие элементы, позволяющие установить заданное значение выходной переменной ОУ (источники эталонного напряжения или тока, потенциометры, сельсины, кодовые задатчики и др.);

2) чувствительные элементы, обеспечивающие измерение переменных ОУ (датчики технологических координат и параметров ОУ);

3) усилительные элементы, служащие для усиления сигналов чувствительных элементов (полупроводниковые усилители, магнитные и электромашинные усилители, масштабирующие операционные усилители и др.);

4) преобразовательные элементы, обеспечивающие преобразование входного сигнала одного вида в другой, и отличающиеся параметрами (уровнем, частотным спектром, способом кодирования и др.); силовые преобразовательные элементы могут характеризоваться также различной физической природой преобразуемых сигналов (электрической энергии переменного или постоянного тока в механическую, термическую, химическую энергию и т. п.).

5) исполнительные элементы, предназначенные для создания управляющих воздействий на ОУ (электромагнитные приводы, электрические двигатели, гидроприводы, пневмоприводы и др.);

6) корректирующие элементы, обеспечивающие изменение статических и динамических свойств САУ (фильтрующие элементы, дифференцирующие и интегрирующие звенья в прямом или обратном канале регулирования, параметрические регуляторы).

Функциональные блоки – совокупности функциональных элементов САУ, обеспечивающих требуемые функции контроля и управления.

Различают следующие функциональные блоки:

- блоки памяти (от уставок реле и напряжений до устройств хранения программ и данных, записанных на магнитных и электронных носителях информации);

- блоки текущей информации (некоторая совокупность датчиков координат состояния объекта управления, датчиков технологических координат, устройств преобразования, кодирования и передачи первичной информации);

- блоки управления, формирующие сигналы оптимального управления

на основе преобразования исходной (заданной) и текущей информации;

- блоки связи ЭВМ с объектом управления (модули ввода/вывода информации) и иными периферийными устройствами, в частности сетевые аппаратные средства.

В зависимости от соподчиненности подсистем контроля и управления различают следующие функциональные структуры  САУ  и  АСУ  ТП:

- локальные  (одноуровневые) и  иерархические (многоуровневые);

- централизованные  и  децентрализованные (распределенные);

- узловые АСУ (АСУ ТПУ);

- комплексные АСУ (АСУ ТПК);

- АСУ предприятием и отрасли промышленности (АСУ П  и  АСУ ОП).

Наиболее простой структурной организацией САУ обладают одноуровневые децентрализованные системы контроля и управления. В таких системах каждый производственный участок, технологическая установка снабжаются индивидуальным пунктом управления  (ПУ), который оснащается индикаторными и регистрирующими приборами (автоматический контроль и индикация), а также регуляторами технологических координат и параметров (автоматическое управление). На ПУ размещается коммутационная аппаратура дистанционного управления оборудованием, элементы защиты, сигнализации и т. п. Такие ПУ размещают, как правило, в непосредственной близости от объекта управления, что позволяет сократить длину линий связи. ПУ обслуживаются одним оператором (постоянным или работающим в режиме обходчика). Такого рода децентрализованные САУ называют локальными.

Дополняя и, во многом, заменяя человека-оператора, любая система автоматизированного управления копирует его функции. Обобщенная структура локальной автоматизированной (человеко-машинной) САУ приведена на рис. 3.1.

Для выполнения заданных операций оператор должен получить ряд сведений, которые принято называть внешней информацией. Эта неизменная информация хранится в памяти оператора и включает основные характеристики объекта управления (технологического процесса), порядок выполнения операций управления в нормальных и аварийных (нештатных) режимах. За изменением координат ОУ (параметров технологического процесса) оператор следит с помощью органов-рецепторов, из которых наибольшую нагрузку несет зрение. Человеку приходится наблюдать за показаниями индикаторов состояния ОУ, а также реагировать на звуковые (световые) сигналы при фиксации системой предельно-допустимых уровней ряда координат САУ. Далее оператор сопоставляет исходную и текущую информацию и принимает решение (функция центральной нервной системы), реализуя с помощью эффекторов (пальцев, рук, ног, голоса) команды управления.

Рис. 3.1. Функциональная структура локальной  САУ

Аналогичные функции (информационную и управляющую) выполняют технические средства (функциональные элементы и блоки) САУ. Сбор, переработку, хранение текущей информации, а также выработку управляющей информации осуществляет процессор.    

Сложность элементов внутренней технической структуры САУ находится в тесной связи с характером и степенью сложности объекта управления (технологического процесса).

Примерами локальных САУ применительно к производству бронированных кабелей являются подсистемы размотки кабелей с резиновой изоляцией с трех кабельных барабанов, намотки брони, укладки трехжильного бронированного кабеля на приемный барабан и др. Такие САУ относятся, как правило, к классу электромеханических систем управления.

Необходимо отметить, что электромеханические САУ, обладая массой преимуществ в сравнении с гидромеханическими и пневмомеханическими системами, нашли наибольшее применение в современных системах автоматизации. Более того, свыше 60% потребляемой промышленными предприятиями электроэнергии приходится на силовые электромеханические приводы (электроприводы) производственных установок. Именно это обстоятельство явилось доминирующим при выборе объектов математического описания, примеров синтеза и анализа технических систем управления, приводимых в следующих главах настоящей работы.

Обобщенная функциональная схема электромеханической САУ приведена на рис. 3.2.

САУ  содержит  две  основные  подсистемы:  объект управления (ОУ)  и  устройство управления  (УУ).

Рис. 3.2. Обобщенная функциональная схема

электромеханической  САУ

На схеме используются следующие обозначения:
УЗ – устройство задания. Формирует вектор задающих воздействий XЗ  изменения выходных координат ОУ.

УР – устройство регулирования или собственно устройство управления, состоящее из регуляторов, корректирующих звеньев, фильтров, преобразователей координат и т. п. Формирует вектор управляющих воздействий UУ, обеспечивая оптимальные динамические и статические характеристики системы в соответствие с заданным критерием качества управления.

СПЭ – силовые преобразователи энергии (электромашинные, тиристорные, транзисторные и т. п.). Преобразуют электрическую энергию питающей сети в энергию управления электродвигателями, формируя вектор выходных сигналов Eп (регулируемые напряжения или токи двигателей).

ЭД – электродвигатели постоянного или переменного тока. Обеспечивают преобразование подводимой электрической энергии в механическую.

X – вектор координат состояния (переменных) электродвигателей (напряжения, токи, скорости вращения валов и др.)

ПМ – передаточные механизмы. Передают энергию вращения двигателей в энергию вращения или поступательного движения исполнительных механизмов (рабочих органов). X  - вектор выходных координат передаточных механизмов электромеханической САУ (линейные или угловые скорости или положения).

РО – рабочие органы. Выходом САУ является вектор Y выходных технологических координат или координат рабочих органов (скорости и положения РО, давление газа или жидкости в магистрали, расход газа или жидкости, натяжение нити или полотна, уровень нефти в резервуаре и др.).

УИс – устройство измерения координат состояния САУ (датчики координат состояния, включая и датчики выходных переменных). Формирует вектор Xдс сигналов обратных связей по состоянию ОУ.

УИв – устройство измерения возмущающих воздействий САУ (датчики координат возмущения ОУ). Формирует вектор Xдв сигналов обратных связей по возмущению системы управления.

Все возмущения, действующие  на  САУ,  подразделяются на 3 вида:

 аддитивные – приходят из внешней среды, суммируясь с полезными сигналами (переменными) ОУ;

 мультипликативные – возникают внутри или вне системы, умножаясь на переменные ОУ (обусловлены естественными или искусственными перекрестными связями ОУ и внешней среды);

 параметрические – обусловлены временным или температурным дрейфом параметров ОУ.

При синтезе САУ, как правило, пренебрегают влиянием внешних возмущений, а при анализе учитывают лишь существенные возмущения, действующие на ОУ. Оценка влияния вариаций параметров объекта управления на показатели качества управления – предмет анализа так называемой чувствительности САУ к параметрическим возмущениям.


4.  Модели динамических управляемых объектов 

Проектирование и исследование характеристик (показателей качества) спроектированных САУ, т. е. решение задач синтеза и анализа САУ, базируется на знании математических моделей динамических управляемых объектов.

4.1. Методы описания и исследования динамических

управляемых объектов в частотной и временной области

Автоматические системы управления - динамические системы, содержащие как минимум один вход и один выход и обеспечивающие преобразование входных (задающих и возмущающих) воздействий в выходные (управляемые) переменные. В этом преобразовании могут участвовать достаточно большое число динамических элементов, называемых звеньями САУ. Характерной особенностью звеньев САУ является однонаправленность, т. е. отсутствие или ничтожное влияние выходных сигналов на входные. Данное обстоятельство позволяет осуществить декомпозицию ОУ и САУ в целом на ряд достаточно простых динамических звеньев, описываемых хорошо известными в математике методами. При этом физическая природа входных и выходных переменных звеньев может быть различной. Например, входными (управляющими) воздействиями электродвигателя постоянного тока являются напряжения на обмотках якоря и возбуждения, а выходными переменными – вращающий момент на валу двигателя и скорость вращения якоря, т. е. осуществляется преобразование электрической энергии в механическую.

Для составления уравнений элементов САУ используются фундаментальные законы природы, описываемые уравнениями Ньютона, Лагранжа, Максвелла, Ома, Кирхгофа и др. Математические модели подавляющего большинства технических ОУ уже разработаны, причем с различной степенью детализации (с различными допущениями) и подробно рассматриваются в соответствующих дисциплинах – механике, электротехнике, электромеханике, термодинамике и т. п. При этом для описания элементов САУ используют различные формы, в частности:

1. функциональные схемы и схемы замещения той или иной степени детализации, принципиальные и монтажные схемы и др.;

2. обыкновенные дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения в частных производных;

3. операторные уравнения, передаточные функции и матрицы (функции комплексной переменной  s  или оператора  p Лапласа в непрерывных САУ,  функции комплексной переменной  z  в дискретных САУ);

4. структурные схемы;

5. сигнальные графы;

6. частотные характеристики и диаграммы на их основе;

7. векторно-матричные уравнения;

8. схемы пространства состояний.

Большинство методов описания САУ базируются на теории линейных систем. Если хотя бы один элемент САУ содержит нелинейный элемент, то такая система является нелинейной и требует применения специальных методов исследования [2, 3].

Синтез и анализ САУ осуществляют в частотной или временной области, что предполагает применение различных форм математического описания элементов САУ.

Частотные методы синтеза и анализа применимы к линейным стационарным САУ (непрерывным и дискретным) практически любой сложности. Сущность частотных методов исследования САУ заключается в оценке устойчивости и качества по установившейся реакции системы на гармоническое воздействие различной частоты (оцениваются изменение амплитуды и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного). При этом переход от операторной формы представления к частотной осуществляется простейшей заменой оператора p на  в операторных уравнениях непрерывных САУ и оператора  z  на  в операторных уравнениях дискретных САУ. Наиболее часто для описания и исследования САУ частотными методами применяют:

- логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой САУ, образующие диаграмму Боде  (позволяют оценить абсолютную и относительную устойчивость – запасы по модулю и фазе замкнутой САУ, а также полосу пропускания контура, частоту резонанса и другие характеристики);

- амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой САУ - диаграмму Никольса (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ и косвенно ряд других показателей);

- диаграмму (годограф) Найквиста разомкнутой САУ (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ).

Временные методы синтеза и анализа САУ применимы к линейным и нелинейным, стационарным и нестационарным, непрерывным и дискретным, одно- и многомерным САУ любой сложности. Сущность временных методов анализа заключается в получении прямых или косвенных показателей качества управления по реакции САУ на типовой тестовый сигнал (в виде единичной ступенчатой функции или дельта-функции). Прямые оценки качества регулирования обычно определяют по виду переходной характеристики (время регулирования, время нарастания регулирования, перерегулирование, время запаздывания, частота установившихся колебаний, коэффициент затухания колебаний). К косвенным оценкам качества САУ относят корневые, частотные оценки качества, а также интегральные, в том числе интегральные квадратичные оценки. Они же лежат в основе формальных оптимизационных процедур синтеза САУ.

При исследовании САУ временными методами применяют решение тем или иным методом систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих элементы САУ и связи между ними, относительно заданных переменных с использованием средств вычислительной техники. Наибольшее применение нашли методы Эйлера 1-го порядка, Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка, а также метод переходных состояний, позволяющий практически с любой требуемой точностью осуществить переход САУ из произвольного начального состояния в следующее состояние, отстоящее на период, заданный в матрице перехода. Последний из методов базируется на векторно-матричном аппарате исследования систем и ориентирован на применение цифровой вычислительной техники (персональных компьютеров) и соответствующих программных систем и математических пакетов расширения.

Заметим, что, хотя между свойствами САУ во временной и частотной областях отсутствует прямая связь, по виду частотных характеристик можно во многом судить о поведении системы во временной области. Целесообразность применения того или иного метода исследования САУ не всегда очевидна и требует обоснования. Применительно к сложным многомерным нестационарным САУ целесообразность применения временных методов исследования и современных вычислительных средств не вызывает сомнений.

4.2. Статические и динамические характеристики САУ

 Статические режимы САУ характеризуются установившимися состояниями при неизменных входных воздействиях. Уравнения статики легко получить из уравнений динамики САУ путем приравнивания в них нулю всех производных по времени переменных (координат состояния) и внешних воздействий. В операторных уравнениях и на структурных схемах (см. гл. 5) линейных САУ это эквивалентно нулевой частоте изменения переменных, что достигается приравниванием нулю оператора  p.

Таким образом, статическая характеристика системы – это зависимость выходной переменной от какой-либо входной переменной в статическом (установившемся) режиме.

Примером статической характеристики является механическая характеристика двигателя постоянного тока (ДПТ) – зависимость угловой частоты вращения вала двигателя от момента нагрузки на валу в установившихся режимах (рис. 4.1). Как видим, при увеличении нагрузки на валу двигателя скорость вращения вала двигателя падает и появляется статическая ошибка регулирования скорости. При изменении нагрузки от нуля до номинального значения Mсн скорость вращения уменьшается от скорости холостого хода  до номинальной скорости .

В номинальном режиме статическая ошибка регулирования скорости вращения

. (4.1)

Рис. 4.1. Статическая механическая

       характеристика ДПТ

Найдем выражения для установившейся ошибки регулирования при изменении задающих или возмущающих воздействий линейной системы управления.

Передаточная функция любой замкнутой линейной САУ с отрицательной обратной связью (рис. 4.2) определяется передаточными функциями прямого  и обратного  каналов регулирования (см. гл. 5.3)

. (4.2)

Рис. 4.2. Структурная схема

   замкнутой САУ

 

Отсюда изображение ошибки регулирования в системе

, (4.3)

а передаточная функция по ошибке

. (4.4)

Как следует из (4.3), ошибка регулирования будет стремиться к нулю при X = const, если , что предполагает реализацию бесконечно большого усиления в устройстве управления и может привести к неустойчивости системы. Кроме того, реальные динамические звенья обладают конечными коэффициентами усиления, что приводит к возникновению ненулевой статической ошибки регулирования.

Между тем, статическая ошибка регулирования в системе при неизменном входном воздействии может быть сведена к нулю, если сделать равной нулю передаточную функцию ошибки  по задающему или возмущающему воздействию при p=0. Для этого достаточно в прямой или обратный канал регулирования системы, приведенной два рис. 4.2, ввести интегрирующее звено. На практике интегрирующее звено вводят в структуру устройства управления, применяя И-, ПИ-, ПИД-регуляторы. Это обеспечивает  и, тем самым нулевую статическую ошибку регулирования. Такие системы принято называть астатическими первого порядка по задающему или (и) возмущающему воздействию. Для придания системе астатизма более высокого порядка в структуру регулятора вводят соответствующее число интеграторов.

Величина установившейся ошибки регулирования, наличие и порядок астатизма замкнутой САУ определяются не только ее моделью, но и видом входного сигнала. Определим, как вид входного воздействия влияет на величину установившейся ошибки.

Передаточную функцию прямого канала запишем в виде

, (4.5)

где K – коэффициент передачи,

 zi, pj – полюсы и нули передаточной функции (4.5).

Для определения величины установившейся ошибки рассмотрим случай единичной обратной связи, т. е. =1.

В установившихся режимах (при p = 0) передаточную функцию (4.4)   можно записать в виде

, (4.6)

где Ki – коэффициент ошибки системы, определяемый видом входного воздействия, i = 0, 1, 2.

Поскольку в качестве типовых тестовых сигналов применяют ступенчатое, линейное и квадратичное входное воздействие, то для оценки установившихся ошибок в системе выделяют 3 типа коэффициентов ошибок:

1) коэффициент ошибки по положению (i = 0)

; (4.7)

2) коэффициент ошибки по скорости (i = 1)

; (4.8)

3) коэффициент ошибки по ускорению (i = 2)

. (4.9)

Как следует из выражений (4.3)…(4.9), установившиеся ошибки САУ могут иметь нулевое, бесконечное или постоянное значение в зависимости от числа интеграторов в передаточной функции W1(p) и типа входного сигнала. Установившиеся ошибки для трех типов входных воздействий и трех типов  передаточной функции W1(p) – с отсутствием интеграторов, с одним и двумя интеграторами – приведены в табл. 4.1.

         Таблица 4.1

Число интеграторов

Входной сигнал

Ступенчатый

Линейный

Квадратичный

0

1

2

Динамические режимы САУ характеризуются переходными состояниями системы при изменении входных (задающих и возмущающих) воздействий. При этом различают свободные и вынужденные переходные процессы.

Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между моментом tз (tв) приложения задающего (возмущающего) воздействия X(t) и моментом наблюдения выходной величины Y(t) равен бесконечности. В дальнейшем будем полагать моменты времени приложения воздействий равными нулю. Тогда процесс изменения выходной величины Y(t) в соответствие с теоремой свертывания (умножения изображений) будет иметь вид [1, 2]

, (4.10) где - импульсная переходная функция по внешнему (задающему или возмущающему) воздействию.

Свободный (собственный) процесс в системе определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего САУ. Он протекает под действием ненулевых начальных условий Y(t0) и в устойчивых системах асимптотически затухает:

,  (4.11)

где  – матрица перехода системы из начального состояния Y(t0) в  текущее состояние Y(t). Понятие и расчет матрицы перехода рассмотрены в гл. 9.3.

Полное решение уравнения движения линейных САУ представляет собой сумму решений уравнений свободного и вынужденного движений.

В качестве примера на рис. 4.3 приведена реакция электродвигателя постоянного тока (полное решение уравнения движения) на ступенчатое приложение номинальной нагрузки Mсн (возмущающего воздействия) к его валу.

При приложении нагрузки скорость  двигателя падает, причем имеет место колебательный процесс. Максимальный динамический провал скорости  превышает статическое падение скорости  (см. рис. 4.1).  

Рис. 4.3. Реакция электродвигателя

на возмущающее воздействие

в виде ступени нагрузки на валу

 

Вынужденное движение соответствует новому установившемуся состоянию - номинальной скорости  электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляет tр .

4.3. Переходные и импульсные характеристики САУ

Временные характеристики линейной САУ (динамического звена) могут быть определены по ее переходной и импульсной переходной функции.

Одним из наиболее распространенных тестовых воздействий на систему является единичное ступенчатое воздействие x(t), которое может быть представлено в виде функции

(4.12)

или в виде графика, приведенного на рис. 4.4.

 

Рис. 4.4. Единичное ступенчатое воздействие

на систему

 

Следует отметить, что ступенчатое воздействие на входе САУ это не только типовое тестовое воздействие. Оно относится к одному из наиболее распространенных программно-временных задающих воздействий, прежде всего, в системах цифрового управления, задающие и управляющие воздействия которых квантованы по уровню. 

 Переходная функция (переходная характеристика) h(t) – это нормальная реакция системы (переходный процесс), вызванная входным единичным ступенчатым воздействием при нулевых начальных условиях. Переходные функции САУ определяют, как правило, по формулам Хевисайда или методом математического моделирования. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ имеются аналитические выражения их переходных функций [1-5].

 Импульсная единичная функция (дельта-функция Дирака) относится также к тестовым сигналам САУ, характеризующим ее свойства во временной области. Она представляет собой производную от единичной ступенчатой функции

. (4.13)

Дельта-функцию можно трактовать как бесконечно короткий по времени импульс с бесконечно большой амплитудой, но с конечной площадью, равной единице.

Нормальная реакция САУ на импульсное воздействие – импульсная переходная функция (весовая функция) w(t) системы. Ее легко получить численным или графическим дифференцированием переходной функции. Для наиболее широко распространенных динамических звеньев САУ в учебниках по теории управления приводятся аналитические выражения их весовых функций [1-5].

Переходные и весовые функции типовых элементарных динамических звеньев приведены в главе 5.

4.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные

уравнения

Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В частности, на сложность электромеханических систем управления влияет множество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др. Для определения их математических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла [1, 2].

Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [2]:

 ,    (4.14) где   q, ,  – векторы  обобщенных  координат, скоростей и обобщенных сил;

– кинетическая энергия механической системы.

Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления представляют в форме системы обыкновенных дифференциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.

. (4.15)

Для составления уравнений Лагранжа составляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механических звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.

Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последовательности:

  1.  определяют число n степеней свободы материальной системы;

2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные координаты q1, q2 ,…, qn ;   - вектор обобщенных координат; их число должно быть равно числу n степеней свободы механической системы;

примечание: обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющие положение точек материальной системы;

3) определяют обобщенные силы системы Q1, Q2,…, Qn;  - вектор обобщенных сил;

примечание 1: для определения обобщенной силы Qi , соответствующей i-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении ; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда

; (4.16)

примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (однозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу Qi можно найти как частную производную потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е.

, (4.17)

где потенциальная энергия системы Eп определяется как функция обобщенных координат, т. е. Eп =; потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, для i-го звена массой mi равна , где  - высота подъема центра масс i-го звена, g – ускорение силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости упругого звена (например, пружины), для i-го звена равна , где сi – жесткость упругого звена,  - угол закручивания (приращение обобщенной координаты);

4) вычисляют кинетическую энергию Eк системы как функцию обобщенных координат и скоростей т. е. ; кинетическая энергия материальной системы определяется как сумма кинетических энергий всех  n материальных точек системы

. (4.18)

Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распределенных масс механической системы и требует определение абсолютных скоростей  достаточно большого множества материальных точек системы с массами mi .

Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:

- при поступательном движении: , где m – масса твердого тела, v – скорость любой его точки;

- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: , где JZ – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения,  – угловая скорость вращения;

- при вращательном движении вокруг неподвижной точки: , где J – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения,  – модуль мгновенной угловой скорости.

Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энергию тела определяют по формуле

,  (4.19)

где   - осевые моменты инерции твердого тела;

- проекции мгновенной угловой скорости на соответствующие координатные оси.

5) определяют частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е. , а затем вычисляют их производные по времени:

;

6) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам, т. е. ;

7) полученные в п. п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.14) и дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движения механической системы в форме (4.15).

В качестве примера составления уравнения Лагранжа для начала рассмотрим кинематическую схему маятника, приведенную на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Кинематическая схема маятника

1) Число степеней свободы материальной системы  n = 1.

2) В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол  отклонения нити маятника от вертикальной оси.

3) Для определения обобщенной силы Q1  (n=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении . Единственной активной силой является сила тяжести маятника P=mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном перемещении  :

.

Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой P и приращения , разные.

Отсюда с учетом (4.16)

.

Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).

Обобщенная сила Q1 может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы :

.

4) Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой m) при вращательном движении вокруг неподвижной оси:

,

где  JZ – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, направленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и точечной массы m имеем ;

– угловая скорость вращения.

5) Частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости  , а ее производная по времени

.

6) Кинетическая энергия Eк не зависит от обобщенной координаты  , а, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате

.

7) После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа (4.14) получим

(4.20)

или с учетом допущений, принятых для нити и массы маятника

. (4.21)

Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются динамическим уравнением движения маятника.

Рассмотрим в качестве примера расчетную схему более сложного механизма с тремя степенями подвижности, приведенную на рис. 4.6. Такая схема соответствует механизмам переносных движений роботов-манипуляторов, портальных кранов, ротационных стендов и т. п.

Рис. 4.6. Расчетная схема механизма с тремя степенями подвижности

Платформа механизма совершает вращательное движение вокруг оси Z1 со скоростью . Каретка (ползун) массой m2 перемещается вдоль радиуса вращения платформы (оси X) со скоростью  . Груз (изделие) массой m3 поворачивается вокруг оси Y (ось Y направлена касательно к радиусу x вращения каретки, проходит через центр ее масс m2) и отстоит на расстоянии  от оси вращения.

1) В число обобщенных координат механизма включим угол поворота платформы против часовой стрелки, радиус x перемещения каретки от оси вращения платформы и угол поворота ИП вокруг оси X2 против часовой стрелки, т. е. .

2) Будем полагать, что приведенный к валу платформы момент инерции равен , а массы m2 радиально перемещаемой каретки и m3 перемещаемого груза сосредоточены в их  центрах масс.

3) Вектор обобщенных сил, действующих на систему (см. рис. 4.6),

(4.22)

где M1, M3 – вращающие моменты электроприводов на валах платформы и груза,

Mс1, Mс3 – реактивные моменты сопротивления на валах платформы и груза,

- активный момент сопротивления вращению груза, вызванный силой тяжести груза,

F2, Fс2 – сила радиального перемещения каретки и сила сопротивления этому перемещению (см. рис. 4.6).

4) Кинетическую энергию стенда представим в виде суммы кинетических энергий платформы, каретки и груза, т. е.

, (4.23)

где ; (4.24)

– момент инерции платформы, включающей приведенный к ее валу момент инерции электропривода платформы;

; (4.25)

, (4.26)

где  – абсолютные скорости центров масс соответственно каретки и платформы.         

Каретка (ползун) совершает сложное движение, и абсолютная скорость движения ее центра масс  состоит из переносного вращательного движения платформы и относительного движения каретки вдоль оси X ее линейного перемещения, т. е.

а, следовательно,

. (4.27)

Груз также совершает сложное движение, и скорость движения его центра масс  состоит рассмотренного выше переносного сложного движения каретки и относительного движения груза вокруг оси Y.  Применяя теорему о сложении скоростей точки к точечной массе m3, получим

,

а, следовательно,  

(4.28)

Подставляя полученные выражения в (4.23), получим

(4.29)

5) Частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям

,

,

.

Возьмем производные по времени полученных выражений, имея в виду, что все обобщенные координаты и скорости являются функциями времени:

,

.

6) Частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам

,

,

.

7) В результате подстановки (4.22) и (4.29) в векторное уравнение Лагранжа (4.14) и последующих преобразований математическая модель стенда описывается системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

 

          (4.30)

Уравнения в форме (4.30) обычно преобразуют к нормальной форме (4.15) Коши, разрешая их относительно обобщенных ускорений.

Как следует из (4.30), рассматриваемый механизм является нелинейным объектом третьего порядка с перекрестными связями по обобщенным координатам и скоростям, однако при определенных условиях (гл. 4.5), он может быть аппроксимирован линейной моделью.

В гл. 5 приведены примеры составления динамических моделей электродвигателя постоянного тока в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, операторных уравнений, структурных схем, сигнальных графов, а в гл. 9 – в векторно-матричной форме.

Для решения уравнений динамики САУ целесообразно применение широко распространенных математических систем (Maple V R3R7,

Matlab 5.0…6.5, MathCAD Pro (Premium, 11), Mathematica 2…5 и др.). Прежде всего, пакеты символьной математики этих математических систем позволяют преобразовать векторно-матричное описание (4.30) к нормальной форме Коши, исключив многочисленные рутинные преобразования. Кроме того, эти математические системы позволяют выполнить численное интегрирование систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также наглядно представить результаты вычислений в виде таблиц и графиков и решить целый перечень задач математического моделирования динамических систем.

4.5. Линеаризация САУ

При анализе и синтезе САУ применяются математические модели (ММ), представляемые, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). Большинство реальных ОУ в широком диапазоне изменения их переменных являются нелинейными, однако, как показывает практика, в области достаточно малых отклонений координат (переменных) они могут быть аппроксимированы линейными ММ. Свойство линейности ММ ОУ позволяет при исследовании САУ воспользоваться преобразованием Лапласа к ММ в форме ОДУ и свести интегрирование ОДУ к простым алгебраическим преобразованиям. Кроме того, линейность преобразований и получаемых линейных подпространств координат лежит в основе векторно-матричных моделей САУ и их исследования в пространстве состояний, т. е. во временной области. Последнее обстоятельство позволяет применить при синтезе и анализе САУ упоминаемые ранее компьютерные системы Matlab, MathCAD, Maple V, Mathematica и др., базирующиеся на матричных методах исследования линейных систем.

Любая линейная система удовлетворяет свойствам суперпозиции и гомогенности. Первое свойство означает, что произвольная сумма аддитивных воздействий  x1(t) + x2(t) на входе САУ дает реакцию y1(t) + y2(t) на выходе САУ. Второе свойство предполагает выполнение условия масштабируемости, т. е. при изменении входного сигнала x1 в k раз выходной сигнал y1 линейной САУ изменится соответственно в k раз.

Подавляющее большинство механических и электрических элементов САУ являются линейными в достаточно широком диапазоне изменения их переменных (координат) относительно стационарного режима, чего нельзя сказать о гидравлических, пневматических, термодинамических и иных элементах. Вместе с тем, даже такие элементы САУ можно линеаризовать при условии достаточно малых отклонений координат в окрестности точки стационарного режима (рабочей точки).

Любую непрерывную функцию y(x) в окрестности рабочей точки  x = x0  можно разложить в ряд Тейлора

 (4.31)

В окрестности рабочей точки  при малых отклонениях переменной x от x0  выражение (4.31) можно аппроксимировать линейной формой

, (4.32)

где  k – тангенс угла наклона касательной к кривой  в точке x0.

Выражение (4.32) можно преобразовать к виду

(4.33)

или

. (4.34)

Данный метод линеаризации иногда еще называют методом касательной линеаризации в рабочей точке  x0  или вдоль рабочей траектории .

Рассмотрим простейший пример линеаризации модели идеального маятника как статического элемента САУ (см. рис. 4.4).

Уравнение движения  маятника, отклоненного на угол  от вертикали, в осях “угол - вращающий момент” в соответствие с (4.20) имеет вид

,      (4.35) где  M  – вращающий момент;

g   –  ускорение свободного падения.

Линеаризуем (4.35) в окрестности рабочей точки M0(), где  примем равным нулю:

(4.36)

или  . (4.37)

Рассмотрим пример линеаризации нелинейного уравнения, описывающего зависимость электромагнитного момента M двигателя постоянного тока от тока якоря iя  и магнитного потока Ф,

M = CмФ iя , (4.38)

где Cм – конструктивная постоянная двигателя.

Уравнение (4.38) относится к классу нелинейных уравнений, поскольку содержит произведение координат электродвигателя – магнитного потока и тока якоря. Линеаризуем (4.38) в окрестности рабочей точки M0(Ф0, iя0), соответствующей, например, номинальному режиму работы двигателя, т. е.  при M0 = Mн,  Ф0 = Фн, iя0 = iян :

. (4.39)

Пренебрегая в (4.39) произведением приращений координат получим линеаризованное уравнение в приращениях

. (4.40)

В этом уравнении Ф0 и iя0 предполагаются величинами постоянными, а, следовательно, уравнение (4.40) относится к классу линейных (линеаризованных в рабочей точке) уравнений.

Если управление двигателем осуществляется одновременно по цепям якоря и магнитного потока (цепи возбуждения двигателя), то рабочая точка в процессе управления будет смещаться относительно начального (номинального) режима, образуя семейство рабочих точек или рабочую траекторию. В этом случае при применении уравнения (4.40) говорят о линеаризации исходного нелинейного уравнения (4.38) вдоль рабочей траектории

M0 = Cм Ф0 i я0.

Помимо касательной линеаризации при исследовании нелинейных САУ в частотной области применяют метод гармонической линеаризации, а при исследовании стохастических САУ - стохастической линеаризации [5].


5.  Структурные методы исследования линейных САУ

Исследование линейных динамических систем, математические модели которых представлены в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть упрощено, если вместо рассмотрения переменных, характеризующих состояние системы во времени (оригиналов), рассматривать соответствующие им изображения, получаемые на основе преобразования Лапласа. Применение такого подхода позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования более простыми арифметическими операциями умножения и деления изображения на оператор p и, тем самым, значительно облегчить исследование САУ. Преобразования Лапласа лежат в основе получения передаточных функций линейных динамических звеньев, объектов и систем управления. Они также являются основой составления и преобразования структурных схем – удобной и наглядной форме структурного описания и исследования динамических свойств линейных САУ.

5.1. Преобразование Лапласа, передаточные функции и матрицы

Возможность линеаризации технических объектов и систем предоставляет в распоряжение исследователей аппарат преобразования Лапласа.

Прямое преобразование Лапласа (определение изображения) непрерывной функции времени f(t) имеет вид [1, 2]

, (5.1)

где p – оператор Лапласа (комплексная переменная).   

Обратное преобразование Лапласа (определение оригинала) функции комплексной переменной F(p) имеет вид

. (5.2)

При решении большинства практических задач применяются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основе выражения (5.1). В табл. 5.1 приведены некоторые наиболее важные соотношения непрерывной функции времени t и функции комплексной переменной  p.

Как видим, переменную p в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования при описании САУ во временной области, т. е.

. (5.3)

 

        Таблица 5.1

Наименование

функции

Оригинал функции

 f(t)

Изображение функции

F(p)

Импульсная

1

Импульсная с чистым запаздыванием

Ступенчатая

Линейная

Степенная

Асимптотически затухающая

Асимптотически нарастающая

Синусоидальная

Косинусоидальная

Синусоидальная асимптотически затухающая

Косинусоидальная асимптотически затухающая

Дифференцирующая

Механизм использования преобразования Лапласа для упрощения решения уравнений динамики САУ, т. е. определения реакции выходной координаты системы на некоторое входное воздействие, предполагает следующую последовательность действий:

  1.  составление дифференциальных уравнений системы;
  2.  прямое преобразование по Лапласу этих дифференциальных уравнений, используя уравнение (5.1) или таблицы преобразований;
  3.  решение полученных алгебраических (операторных) уравнений относительно выходной переменной;
  4.  получение оригинала выходной переменной как функции времени, используя обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразований (отдельно для каждого входного воздействия, если их несколько);

5) суммирование реакций при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий (реализация принципа наложения или, иначе, принципа суперпозиции линейных систем).

Преобразования Лапласа лежат в основе получения одной из основных характеристик линейных стационарных (с постоянными параметрами) систем – передаточной функции, описывающей динамическую связь переменных отдельных звеньев системы и системы в целом в терминах “вход-выход”.

Передаточная функция W(p) линейной САУ – отношение преобразования Лапласа выходной переменной Y(p) к преобразованию Лапласа входной переменной X(p) при условии, что все начальные условия () системы при  t = 0  равны нулю, т. е.

.  (5.4)

Заметим, что передаточная функция системы несет информацию о взаимосвязи только ее выходной и входной переменных и не несет никакой информации о ее внутренних переменных.

Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид

, (5.5)

где X(t), Y(t) – соответственно входное воздействие и выходная реакция системы, ai , bi – постоянные коэффициенты, i =1,…, n-1.

Тогда с учетом (5.3), (5.4) получим передаточную функцию системы

. (5.6)

Если полином, стоящий в знаменателе, приравнять нулю, то мы получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни (полюса) определяют характер движения системы. Корни полинома, стоящего в числителе, называют нулями системы. В полюсах передаточная функция (6.6) обращается в бесконечность, в нулях – в нуль. Расположение полюсов и нулей на комплексной p-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы. Выбор рационального расположения полюсов и нулей замкнутой системы за счет применения корректирующих звеньев – один из широко применяемых подходов к синтезу САУ (глава 10).

Проектировщик должен отчетливо представлять, как влияют нули и полюса передаточной функции САУ на реакцию системы на то или иное аддитивное воздействие. Полюсы замкнутой САУ определяют отдельные составляющие переходной характеристики, а ее нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. На рис. 5.1 приведено условное отображение на плоскости комплексного переменного  временной реакции устойчивой, находящейся на границе устойчивости и неустойчивой САУ на импульсное воздействие (полюса отображены треугольниками).

Рис. 5.1. Реакция  САУ на импульсное воздействие при различном

положении корней на комплексной плоскости

В системе Matlab имеются специальные команды, позволяющие определить расположение нулей и полюсов передаточной функции САУ на комплексной плоскости. Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция САУ  имеет вид

.

Запишем скрипт Matlab, обеспечивающий вывод на печать значений нулей (zero), полюсов (pole) и картины их расположения на комплексной плоскости (pzmap):

>>num=[1 3 2]; %Формирование полинома числителя

>>den=[1 3 4 1]; %Формирование полинома знаменателя

>>sys=tf(num,den); %Формирование передаточной функции

>>z=zero(sys)

>>p=pole(sys)

>>pzmap(sys)

В результате расчета получаем:

z =

   -2

   -1

p =

 -1.3412 + 1.1615i

 -1.3412 - 1.1615i

 -0.3177     

    

Рис. 5.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости

Передаточные функции подавляющего большинства САУ характеризуются принадлежностью нулей к левой комплексной полуплоскости. Если все нули передаточной функции системы находятся в левой полуплоскости, то САУ называется минимально-фазовой. Между тем, при смене знака при операторе p в числителе передаточной функции фазовые характеристики САУ изменятся при одинаковых АЧХ. Передаточные функции таких САУ, содержащих нули в правой полуплоскости называют неминимально-фазовыми. При синтезе таких систем могут иметь место проблемы обеспечения устойчивости и качества управления.

Технические системы управления могут иметь несколько входов (аддитивных задающих и возмущающих воздействий) и несколько выходов, причем входные воздействия могут оказывать влияние на несколько выходных (управляемых) переменных. Такие системы называют многосвязными многомерными. Для их описания и исследования применяют не передаточные функции, а передаточные матрицы.

Пусть число управляемых величин равно n, число задающих воздействий m, а число возмущающих воздействий – k. Совокупности выходных, задающих и возмущающих переменных можно записать в виде соответствующих векторов-столбцов X=col(x1 xn), Z=col(z1 zm), F=col(f1 fk). Уравнение такой n-связной системы можно записать в векторно-матричной операторной форме

A(p)X(p) = B(p)Z(p) + C(p)F(p), (5.7)

где A(p), B(p), C(p) – операторные передаточные матрицы,

; ,

.

Разрешая уравнение (5.7) относительно вектора выходных переменных получим

. (5.8)

Первое слагаемое в (5.8) представляет собой реакцию системы на задающие воздействия, второе – на возмущающие воздействия. Для получения оригинала выходной переменной как функции времени необходимо использовать обратное преобразование Лапласа (5.2) или таблицы преобразований (отдельно для каждого входного воздействия) и просуммировать реакции при необходимости оценки влияния на систему одновременно нескольких входных воздействий.

5.2. Типовые динамические звенья и структурные схемы САУ

Для наглядного представления структуры сложной динамической системы управления как совокупности элементов и связей между ними применяют структурные схемы и графы. Структурные схемы, как и сигнальные графы, представляют собой графическое изображение структуры САУ. Элементы структурной схемы САУ представляют в виде типовых динамических звеньев, характеризующихся однонаправленностью, одним входом и одним выходом, что позволяет применить для их описания аппарат передаточных функций. Если реальное динамическое звено не обладает однонаправленностью, т. е. выход оказывает влияние на вход, то такой элемент представляют в виде направленного звена с обратной связью. Если у элемента несколько входов, в его структуру включают суммирующие звенья (сумматоры) – специфические многовходовые безынерционные звенья с единичными коэффициентами передачи по каждому входу, причем каждый вход сумматора обозначается знаковой функцией (+ или –). Если у элемента несколько выходов, это означает, что его нельзя рассматривать как элементарное звено и к нему необходимо применить декомпозицию, выделив соответствующие числу выходов звенья.

На структурных схемах динамические звенья изображают прямоугольниками, входные и выходные воздействия - подходящими и отходящими от прямоугольников стрелками и текстовыми надписями, обозначающими формальный их вид. Внутри прямоугольников вводят обозначения передаточных функций звеньев. Сумматоры сигналов (переменных САУ), как правило, обозначают окружностями, сами сигналы - подходящими к окружностям стрелками с указанием имен переменных и знаков алгебраического суммирования (+ или –). Следует отметить, что в технической литературе, компьютерных системах автоматизированного проектирования и управления, системах сопровождения жизненного цикла САУ (САПР, АСУ ТП, CAD/CAM, SCADA, CALS) встречается множество графических обозначений сумматоров сигналов, однако в силу своей простоты все они интуитивно понятны.

В обобщенной форме структурная схема динамического звена приведена на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Обобщенная структурная схема динамического звена

Типовые элементарные динамические звенья, их реакции на единичные ступенчатое и импульсное воздействия приведены в табл. 5.2.

В качестве примера составления структурных схем динамических объектов управления рассмотрим электродвигатель постоянного тока, регулируемый по цепям якоря и возбуждения [4]. Функциональная схема и схемы замещения электродвигателя приведены на рис. 5.4.

В структуре электродвигателя можно выделить три основных цепи (см. рис. 5.4б, 5.4в, 5.4г):

- цепь якоря, питаемая регулируемым напряжением Uя; Rэ, Lэ – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность якорной обмотки; Eд – э.д.с. электродвигателя; iя – ток якоря;

- цепь возбуждения, питаемая регулируемым напряжением Uв; Rв, Lв – соответственно эквивалентное активное сопротивление и эквивалентная индуктивность обмотки возбуждения; iв – ток возбуждения;

- электромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование электромагнитной энергии в механическую энергию вращения вала ротора; Jд – приведенный к валу двигателя момент инерции электродвигателя и вращаемого механизма; M, Mc – соответственно электромагнитный момент электродвигателя и момент сопротивления на его валу;  - скорость вращения вала двигателя.

         Таблица 5.2

Название звена  и его передаточная функция W(p)

Переходный процесс

h(t)

Импульсный переходный процесс w(t)

1. Масштабирующее

(безынерционное)  звено

W(p) = k

  h(t)

         0                              t

  w(t)

         0                              t 

2. Интегрирующее звено

  h(t)

         0                             t 

 w(t)

         0                              t

3. Идеальное дифференцирующее звено

W(p) = kp

   h(t)

         0                              t

 w(t)

        0                             t

4. Реальное дифференцирующее звено

   h(t)

         0                               t                

 w(t)

      0                               t

5. Апериодическое звено

   h(t)

                                    k

          0   T                        t

 w(t)

        0   T                          t

6. Колебательное звено

   h(t)

                      k

         0                              t

  w(t)

        0                               t

7. Изодромное звено

   h(t)

         0                               t

  w(t)

         0                              t

Для описания динамических моделей электрических цепей электродвигателя воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи – 2-м законом Ньютона. Тогда получим:

Рис. 5.4. Функциональная схема (а) и схемы замещения (б-г)

электродвигателя постоянного тока

,

, (5.9)

,

где ,  - электромагнитные постоянные времени соответственно обмотки якоря и обмотки возбуждения, , .

Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напряжения  по цепи якоря протекает ток , создающий электромагнитный момент, вращающий ротор, т. е.

,  (5.10)

где  - конструктивная постоянная двигателя.

Ток, протекающий по обмотке возбуждения, создает магнитный поток  Ф, пронизывающий обмотку якоря и наводящий в ней э.д.с. вращения, т. е.

,  (5.11)

где  - конструктивная постоянная двигателя, в системе СИ равная по величине .

Анализируя выражения (5.10), (5.11), заметим, что произведение переменных приводит к нелинейности математической модели электродвигателя, регулируемого одновременно по цепям якоря и возбуждения. Полагая, что электродвигатель регулируется только по цепи якоря (напряжение возбуждения , ), математическая модель электродвигателя примет вид линейной модели 2-го порядка

, (5.12)

.       

Для перехода от дифференциальных уравнений (5.12) к операторным уравнениям произведем замену . Тогда получим

, (5.13)

.       

По операторным уравнениям (5.13) составим структурную схему электродвигателя, приведенную на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Структурная схема электродвигателя,

регулируемого по цепи якоря

Как видим, структурная схема электродвигателя содержит 4 типовых линейных динамических звена: апериодическое, интегрирующее и 2 безынерционных звена, а также 2 суммирующих элемента.

5.3. Способы соединения звеньев.

Правила преобразования структурных схем

 

Одним из основных вопросов теории управления является составление и преобразование структурных схем САУ.

Структурные схемы САУ, как уже отмечалось, графически отображают причинно-следственную связь их переменных. При непосредственном применении прямого преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям звеньев структура САУ может отображать собой далеко не оптимальную в концепции “вход-выход” систему. Пользуясь определенными правилами исходную структурную схему САУ можно упростить, сведя ее к структуре (конфигурации) с меньшим числом звеньев, но более сложных по структуре, или к конфигурации, содержащей только простейшие типовые звенья, но с общепринятой в конкретной предметной области структурой.

В теории управления техническими системами традиционно применяется три основных типа соединения динамических звеньев: последовательное, параллельное и с обратной связью. Кроме того, наличие нескольких входов у линейных динамических звеньев позволяет в ряде случаев методами структурных преобразований схем существенно упростить исследование динамической модели САУ при заданных входе и выходе. При этом ряд многих взаимосвязанных звеньев сводится к одному или относительно небольшому числу взаимосвязанных звеньев. При анализе таких структурных схем гораздо отчетливее проявляется роль каждого звена в преобразовании входного воздействия САУ, чем это было бы при рассмотрении дифференциальных уравнений, описывающих САУ.

В основе преобразований структурных схем линейных САУ лежат присущие линейным системам свойства суперпозиции, коммутативности, ассоциативности и др. Основные правила преобразований структурных схем приведены в таблице 5.3.

Особую значимость в теории управления имеет 4-е структурное преобразование (см. табл. 5.3). Поскольку в основе построения подавляющего большинства САУ используется введение обратных связей по регулируемой координате или возмущающему воздействию преобразованную структурную схему можно рассматривать как обобщенную структурную схему любой замкнутой системы. При этом W1 представляет собой передаточную функцию разомкнутой САУ,  а W2 - передаточную функцию звена обратной связи. Знак “+” в знаменателе передаточной функции соответствует отрицательной обратной связи, знак “–” – положительной обратной связи по регулируемой координате.

В качестве примера найдем передаточные функции электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря (см. структурную схему, рис. 5.5), для двух случаев: в координатах “напряжение якоря – скорость вращения” и “момент сопротивления на валу – скорость вращения”.

         Таблица 5.3

Номер п/п

Название структурного преобразования

Исходная структурная схема

Преобразованная структурная схема

1

Перестановка звеньев

2

Последовательное соединение звеньев

3

Параллельное

соединение звеньев

4

Встречно-параллельное соединение звеньев

5

Перенос линии связи до звена

6

Перенос линии связи за звено

7

Перенос сумматора до звена

8

Перенос сумматора за звено

В первом случае разомкнутая цепь двигателя содержит последовательно включенные апериодическое, безынерционное и интегрирующее звенья, а в обратной связи - одно безынерционное звено с передаточной функцией . Применяя 2-е и 4-е правила преобразования структурных схем, получим

, (5.14)

где ,  - соответственно коэффициент передачи двигателя и электромеханическая постоянная времени, ,  .

Во втором случае разомкнутая цепь двигателя содержит одно интегрирующее звено, а в обратной связи -  последовательно включенные безынерционное звено с передаточной функцией , апериодическое звено и безынерционное звено с передаточной функцией . Применяя 2-е и 4-е правила преобразования структурных схем, получим

. (5.15)

 

5.4. Представление САУ в виде сигнальных графов.

Правило Мейсона при преобразовании структурных схем

Структура любой системы управления может быть представлена в виде сигнального графа (графа прохождения сигналов в САУ). Граф представляет собой некоторое множество определенным образом связанных элементов (вершин или, иначе, узлов графа) и ребер (дуг или, иначе,  ветвей графа). Основные свойства сигнального графа:

1. Каждая вершина графа отображает одну из переменных (координат состояния) системы, а, следовательно, элементы графа и элементы системы – понятия различные. Графическое изображение вершины графа – окружность или точка.

2. Каждое ребро (дуга) графа отображает, с одной стороны, направление прохождения сигнала, с другой – закон преобразования входной переменной в выходную. Это означает, что каждому ребру графа может быть поставлено в соответствие свое уравнение связи, например в виде передаточной функции. Графическое изображение ребра графа – линия со стрелкой.

3. Если к вершине графа подходит несколько ребер, то соответствующая ей величина равна сумме выходных величин входящих ребер, что делает ненужным использование в графах суммирующих элементов.

4. Если из вершины графа исходит несколько ребер, то входная величина для этих ребер будет одной и той же, что делает ненужным использование в графах точек разветвления.

К сигнальным графам линейных САУ применимы те же правила структурных преобразований, что и к структурным схемам. Например, параллельное соединение звеньев САУ и их преобразование может быть отображено графами, представленными на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Граф параллельно соединенных звеньев и его преобразование

Структурные преобразования сложных многосвязных линейных САУ, опирающиеся на аппарат структурных схем, являются весьма трудоемким процессом. Они требуют применения многочисленных рутинных промежуточных процедур объединения звеньев и установления их передаточных функций. Мейсоном был предложен альтернативный способ взаимосвязи между двумя произвольными переменными системы, опирающийся на теорию графов.

Введем необходимые определения.

Путь – это ребро или последовательность ребер, которые могут быть проведены от одной вершины к другой.

Прямой путь между двумя заданными вершинами – непрерывная последовательность ребер одного направления, при прохождении которой каждая вершина встречается не более одного раза.

Контур – это замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одной вершине, причем вдоль этого пути ни одна другая вершина не встречается дважды.

Некасающиеся контуры – контуры, не имеющие ни одной общей вершины.

В соответствие с правилом Мейсона передаточная функция (ребро) между двумя произвольными вершинами a и b определяется выражением

, (5.16)

где k – число прямых путей между вершинами a и b,

– передаточная функция k-го прямого пути, равная произведению передаточных функций, входящих в этот путь ребер,

– определитель графа,

k-й минор определителя графа.

Определитель графа находится по формуле

, (5.17)

где  – передаточные функции различных контуров, i – номер контура,

 – произведения передаточных функций некасающихся пар контуров (комбинаций из 2-х некасающихся контуров),

 – произведения передаточных функций некасающихся троек контуров (комбинаций из 3-х некасающихся контуров) и т. д.

Минор определителя графа  равен определителю графа при удалении k-го пути (всех ребер и вершин, лежащих на k-м пути).

В качестве примера составления сигнального графа САУ рассмотрим математическую модель электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря, рассмотренную в гл. 5.2, 5.3.  В качестве регулируемой координаты примем угол  поворота вала электродвигателя. Это означает, что выходная координата электродвигателя будет являться интегралом от угловой скорости  двигателя и в структурной схеме электродвигателя (см. рис. 5.5) на ее выходе добавится пятое звено с передаточной функцией .  Сигнальный граф электродвигателя приведен на рис. 5.7. Передаточные функции (ребра графа) имеют вид:

,  ,

, , .

Рис. 5.7. Сигнальный граф электродвигателя постоянного тока

Определим передаточную функцию (ребро графа) между двумя вершинами A и B с помощью формулы Мейсона, полагая момент нагрузки на валу двигателя Mc = 0.

Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами  A и  B,   т. е.  k =1, и один контур. Передаточные функции прямого пути и контура

,

.

Определитель графа в соответствие с (5.17) и минор определителя графа имеют вид

,  .

Передаточная функция электродвигателя соответствие с (5.16)

. (5.18)

В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по управлению со стороны цепи якоря после подстановки в (5.18) передаточных функций звеньев будет иметь вид

. (5.19)

Определим передаточную функцию между вершинами C и B, полагая напряжение на якоре двигателя Uя = 0.

Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами  C и  B   и один контур. Передаточные функции прямого пути и контура

,

.

Определитель графа и минор определителя графа имеют вид

,  .

Передаточная функция электродвигателя  . (5.20)

В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по моменту сопротивления на валу после подстановки в (5.20) передаточных функций звеньев будет иметь вид

. (5.21)

Заметим, что полученные с помощью сигнального графа передаточные функции (5.19, 5.21) электродвигателя соответствуют передаточным функциям (5.14, 5.15), полученным на основе дифференциальных уравнений.


6.  Метод частотных характеристик

Метод частотных характеристик основывается на исследовании в установившихся режимах реакции системы на синусоидальный тестовый сигнал. При этом изменяют частоту входного сигнала во всем возможном диапазоне и анализируют изменение амплитуды и фазы выходного сигнала. Метод является альтернативой исследования систем во временной области и оценки устойчивости и качества САУ по расположению полюсов и нулей передаточной функции на комплексной плоскости.

6.1. Частотные передаточные функции

Частотная передаточная функция является важнейшей характеристикой динамической системы управления. В теории автоматического управления она используется, когда необходимо получить частотные характеристики системы по ее передаточной функции.

Для однозначного преобразования некоторой непрерывной функции времени  в функцию частоты  служит прямое преобразование (изображение) Фурье [1, 2]

. (6.1)

Частотной передаточной функцией системы называется отношение изображения Фурье ее выходной переменной к изображению Фурье входной переменной.

Если непрерывная функция времени  равна  нулю  при t < 0, то частотная передаточная функция системы легко может быть найдена по ее передаточной функции при подстановке , где p – символ преобразования Лапласа, т. е.

 (6.2)

Функция  может быть представлена в показательной форме или в форме координат вектора на комплексной плоскости в следующем виде:

(6.3) где      - модуль частотной передаточной функции,

- аргумент  или  фаза  частотной  передаточной функции;

- соответственно вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.

Из теории комплексных чисел [1, 2] известны следующие выражения, позволяющие сделать переход из показательной формы комплексного числа в алгебраическую форму:

, (6.4)

. (6.5)

Изменение модуля и аргумента частотной передаточной функции при изменении частоты входного сигнала дает полезную информацию, необходимую для анализа и синтеза систем управления в частотной области.

Для анализа частотных свойств звеньев и синтеза корректирующих звеньев САУ используются так называемые частотные характеристики: амплитудная частотная характеристика (АЧХ), фазовая частотная характеристика (ФЧХ) и амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

6.2. Частотные характеристики САУ

Частотные характеристики системы характеризуют реакцию элементарного звена, объекта управления или всей системы на гармоническое воздействие в установившемся режиме.

Пусть на вход звена подано гармоническое воздействие:

(6.6) где     - амплитуда;

 - угловая частота этого воздействия.

Выходной сигнал линейного звена в установившемся режиме будет также представлять собой гармоническую функцию:

(6.7) где     - амплитуда;

   - угол сдвига выходного гармонического сигнала по отношению к входному (сдвиг по фазе).

С учетом введенных обозначений модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуды выходной сигнала к амплитуде входного в установившемся режиме, т. е.

, (6.8)

а аргумент частотной передаточной функции - сдвиг фазы выходной величины по отношению к входной величине на данной частоте.

Таким образом, амплитудная частотная характеристика (АЧХ)  отражает изменение амплитуды выходного сигнала звена при пропускании звеном входного сигнала различной частоты. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ)  показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах входного сигнала.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) строится в полярных координатах  на комплексной плоскости . Она представляет собой геометрическое место концов вектора (годограф), соответствующих частотной передаточной функции  при изменении частоты от нуля до бесконечности.

На рис. 6.1 в качестве примера приведена АФЧХ динамического звена (фильтра) третьего порядка. По оси абсцисс АФЧХ откладывается вещественная часть , а по оси ординат - мнимая часть . Годограф описывает изменение амплитуды  и фазы  выходного сигнала при изменении частоты  входного сигнала. Заметим, что при изменении частоты от нуля до бесконечности амплитуда годографа уменьшается от некоторого ненулевого значения до нуля, а фаза выходного сигнала стремится к величине -270˚ (вращение годографа против часовой стрелке принято положительным). Заметим также, что изменение частоты от нуля до минус бесконечности соответствует зеркальному отображению АФЧХ на комплексной плоскости относительно оси абсцисс.

Рис. 6.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика  динамического

звена третьего порядка

Диапазон изменения частоты  входного сигнала теоретически равен бесконечности. Поэтому часто при анализе и синтезе систем автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики (диаграмму Боде) - логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ), когда по оси абсцисс круговая частота  откладывается в логарифмическом масштабе. При этом ЛАЧХ определяют выражением

. (6.9)

В табл. 6.1 приведены соотношения, связывающие модуль частотной передаточной функции  и ее логарифмический эквивалент , выражаемый в децибелах.

Таблица 6.1

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

-60

-40

-20

0

20

40

60

В качестве примера рассмотрим простейшее инерционное звено (апериодический фильтра 1-го порядка), описываемое передаточной функцией

, (6.10) где T –  постоянная времени фильтра.  

Частотная передаточная функция этого звена

. (6.11)

Домножая числитель и знаменатель (6.11) на комплексно сопряженное знаменателю выражение и выделяя действительную и мнимую части, получим

(6.12) или в показательной форме

, (6.13) где   - модуль частотной характеристики,

- аргумент частотной характеристики.

Выражение для ЛАЧХ апериодического фильтра

. (6.14)

АФЧХ апериодического фильтра можно получить, используя выражения (6.12) или (6.13) при изменении частоты от нуля до бесконечности. Она  имеет вид полуокружности с центром в точке (1/2, 0) комплексной плоскости (рис. 6.2).

Рис. 6.2. АФЧХ

апериодического звена

6.3. Диаграмма Боде.

Асимптотические частотные характеристики

На рис 6.3 приведена диаграмма Боде рассматриваемой выше частотной передаточной функции (6.11) апериодического звена. Это диаграммы ЛАЧХ и ЛФЧХ, рассматриваемые в едином масштабе изменения частоты .

Сплошными линиями на рис. 6.3 изображены фактические ЛАЧХ и ЛФЧХ, а пунктирными – так называемые асимптотические частотные характеристики.

Частоту , при которой происходит изменение наклона асимптотической ЛАЧХ, называют частотой излома или сопрягающей частотой. Для  рассматриваемого апериодического звена наклон асимптотической ЛАЧХ уменьшается на 20 децибел на декаду (-20дБ/дек). Декадой называют расстояние между двумя частотами, отличающимися в 10 раз. Заметим, что фактическое изменение ЛАЧХ (см. рис. 6.3) на частоте излома  составит

дБ.

Фаза частотной характеристики апериодического звена на частоте излома составляет половину максимального изменения, т. е. выходной сигнал на сопрягающей частоте отстает от входного сигнала на угол .

Основным преимуществом логарифмических частотных характеристик и диаграмм Боде на их основе состоит в том, что сомножители вида , входящие в частотную передаточную функцию, позволяют легко строить ЛАЧХ и ЛФЧХ путем простого алгебраического сложения характеристик, соответствующих каждому отдельному сомножителю.

Действительно, пусть частотная передаточная функция имеет достаточно общий вид

       Рис 6.3. Диаграмма Боде для частотной передаточной функции (6.11)

.  (6.15)

Эта передаточная функция имеет M отрицательных нулей, N полюсов в начале координат, Q отрицательных полюсов на действительной оси и R пар комплексно-сопряженных полюсов. Выражение для ее ЛАЧХ имеет вид

(6.16)

ЛФЧХ САУ получается аналогично путем алгебраического сложения характеристик, соответствующих ЛФЧХ отдельных сомножителей, т. е.

. (6.17)

Диаграммы Боде служат для оценки абсолютной устойчивости и относительной устойчивости системы (запасов устойчивости по модулю и фазе). Они применяются также для синтеза САУ методом частотных характеристик [1-5], определения полосы пропускания, резонансных частот и др. Кроме того, по экспериментально полученным частотным характеристикам можно определить передаточную функцию системы (идентифицируемая САУ предположительно должна принадлежать классу линейных систем управления).

В системе программирования MATLAB имеется специальная функция bode, позволяющая построить графики логарифмических частотных характеристик.

Пусть разомкнутая система описывается передаточной функцией второго порядка в виде колебательного звена

.

Запишем простой скрипт Matlab для построения диаграммы Боде:

>> num=10;

>> den=[1 0.5 1];

>> sys=tf(num,den);

>> bode(sys).

На рис. 6.4 приведена диаграмма Боде данного звена.

Рис. 6.4. Диаграмма Боде колебательного звена

Заметим, что на частоте собственных колебаний, равной 1 рад/с, имеет место увеличение коэффициента усиления системы и увеличение фазового сдвига.

Для приближенной оценки устойчивости и качества САУ используют асимптотические частотные характеристики.

При построении асимптотических амплитудных частотных характеристик принимают, что на частотах излома, соответствующих полюсам передаточных функций происходит завал ЛАЧХ на 20 децибел на декаду, т. е. на

-20дБ/дек, а на частотах излома, соответствующих нулям передаточных функций происходит подъем ЛАЧХ на 20 децибел на декаду (+20дБ/дек). При этом интегрирующее звено в передаточной функции разомкнутой ЛАЧХ обеспечивает линейное спадание ЛАЧХ с наклоном -20 дБ на декаду, а дифференцирующее звено – линейный подъем ЛАЧХ на +20 дБ на декаду.

При построении асимптотических фазовых частотных характеристик принимают, что на частотах излома, соответствующих полюсам передаточных функций, фазовое запаздывание соответствует -45˚, а  на частотах излома, соответствующих нулям передаточных функций, опережение по фазе составляет +45˚. Таким образом, общий фазовый сдвиг, вносимый соответственно нулями и полюсами, соответствует ±90˚ на две декады.

На низких частотах, определяющих установившиеся режимы работы САУ, фазовый сдвиг определяется наличием и числом интегрирующих и дифференцирующих звеньев. При их отсутствии фазовый сдвиг равен нулю. На высоких частотах фазовое запаздывание равно разности полюсов и нулей, умноженной на 90˚.  

Для основных типовых сомножителей передаточных функций асимптотические частотные характеристики приведены в табл. 6.2.

         Таблица 6.2

Сомножитель

ЛАЧХ

ЛФЧХ

1

2

3

1. Константа

2. Нуль

3. Полюс

      

Таблица 6.2 (продолжение)

Сомножитель

ЛАЧХ

ЛФЧХ

1

2

3

4. Полюс

в начале

координат

5. Два комплексных

полюса


7.  Устойчивость линейных систем управления

 Устойчивость САУ – одно из необходимых, но не достаточных условий ее функционирования. Проблема неустойчивости системы, как правило, обусловлена стремлением обеспечить качество САУ (достаточное условие функционирования) за счет введения корректирующих звеньев и обратных связей по контролируемым координатам. Вместе с тем, в ряде случаев именно введение обратной связи делает устойчивой систему, неустойчивую в разомкнутом состоянии.

Поскольку большинство реальных САУ являются нелинейными, то необходимо четко представлять, когда оценка устойчивости линеаризованной модели системы является правомочной. А. М. Ляпуновым сформулированы следующие условия устойчивости системы по ее линеаризованной модели:

1) если линейная система устойчива, то устойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут изменить ее устойчивости;

2) если линейная система неустойчива, то неустойчива и реальная САУ; при этом никакие отброшенные при линеаризации члены не могут сделать ее устойчивой;

3) если линейная система находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости реальной САУ нельзя, и необходим анализ отброшенных при линеаризации членов.

Необходимо различать устойчивость “в малом” и устойчивость “в большом”. Система является устойчивой “в малом”, если она обладает ограниченной реакцией на ограниченное входное воздействие (задающее или возмущающее). Система устойчива “в большом”, если она устойчива при любых значениях входных воздействий.

7.1. Характеристическое уравнение линейной САУ

Устойчивость линейных систем не зависит от величины входных воздействий. Если линейная система устойчива, то в такой системе свободный (собственный) процесс, как отмечалось в разделе 5.2, с течением времени стремится к нулю.

Свободный процесс определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего замкнутую линейную систему, или корнями характеристического уравнения передаточной функции замкнутой САУ.

Дифференциальное уравнение свободного движения одномерной линейной системы имеет вид

. (7.1)

Решение этого уравнения представляет собой сумму затухающих экспонент

, (7.2)

где - постоянные, определяемые начальными условиями,

- корни характеристического уравнения системы

. (7.3)

Рассмотрим подробнее понятие характеристического уравнения, оперируя понятием передаточной функции.

Любую одноконтурную замкнутую линейную САУ можно представить в виде передаточной функции

, (7.4)

где  - передаточная функция прямого канала САУ (от входного воздействия до выхода),

; (7.5)

- передаточная функция канала обратной связи (от выхода до входного воздействия),

. (7.6)

Обозначим передаточную функцию разомкнутой САУ как , т. е.

. (7.7)

Тогда с учетом (7.2) – (7.4) характеристическое уравнение  замкнутой САУ будет иметь вид

. (7.8)

Очевидно, что полином (7.8) знаменателя передаточной функции замкнутой САУ можно представить в виде (7.1), полученном непосредственно по модели САУ в форме дифференциального уравнения.

Аналитическая формулировка условий устойчивости САУ по корням характеристического полинома дана А. М. Ляпуновым в следующем виде.

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции (7.4) имели отрицательные действительные части или все корни ее характеристического уравнения (7.8) были левыми. Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости, система неустойчива. Если имеется пара корней, расположенных на мнимой оси, а остальные корни принадлежат левой полуплоскости, то система находится на границе устойчивости.

Для суждения об устойчивости САУ нет необходимости в вычислении корней ее характеристического уравнения, достаточно лишь определить характер их расположение на комплексной плоскости или соотношения между коэффициентами характеристического уравнения. Правила, позволяющие оценить устойчивость САУ без нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости линейных САУ.

 

7.2. Алгебраические критерии устойчивости

К алгебраическим критериям устойчивости линейных САУ относятся критерии А. Гурвица и Э. Рауса.

7.2.1. Критерий Гурвица

Формулировка критерия: автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением n-го порядка

, (7.9)

устойчива, если при a0>0 положительны все диагональные определители (определители Гурвица) ∆1, ∆2, …, ∆n , т. е.

, (7.10) где  ∆1=a1,  ∆2 = a1a2 - a0a3,  ∆3 = a3(a1a2 - a0a3),… .   

Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п= 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим применение критерия Гурвица для оценки устойчивости линейных систем 1…4 порядка. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1)  условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.  

2. Для уравнения второго порядка (n=2)  условие устойчивости:

.

Таким образом, для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3) условие устойчивости:

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

Таким образом, для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Гурвица ∆п-1 были положительными.

Запасом устойчивости САУ по алгебраическому критерию Гурвица считается некоторая величина , при которой самый минимальный определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины, т. е. при  .

Критерий Гурвица удобно применять для систем не выше 4-го порядка. При n>4 целесообразно применять критерий Рауса.

7.2.2. Критерий Рауса

Для оценки устойчивости системы по этому критерию составляется матрица Рауса, представляющая собой таблицу

. (7.11)

Формулировка критерия: САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включая а0 и а1), рассчитываемые по выражению:

, (7.12)

где i – номер строки, j – номер столбца.

Если хотя бы один коэффициент первого столбца отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

Рассмотрим пример.

Пусть характеристическое уравнение системы 5-го порядка имеет вид:

(7.13)

В соответствие с (7.12) имеем:

Все коэффициенты первого столбца таблицы (7.11) положительны, что означает - система устойчива.

Проверим полученный результат с помощью системы программирования Matlab, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения. Для этого воспользуемся функцией “pole”. Ниже приведен скрипт и результат вычисления корней, а также их расположение на комплексной плоскости (рис. 7.1).

>> num1=[1]; den1=[1024 1024 512 128 16 0]; sys1=tf(num1,den1);

>> sys=feedback(sys1,[1])

>> Transfer function:

                       1

--------------------------------------------------

1024 s^5 + 1024 s^4 + 512 s^3 + 128 s^2 + 16 s + 1

>> pole(sys)

ans =

 -0.2804 + 0.3267i

 -0.2804 - 0.3267i

 -0.2500          

 -0.0946 + 0.1101i

 -0.0946 - 0.1101i

>> pzmap(sys).

       Рис. 7.1. Расположение корней характеристического полинома

(7.13) на комплексной плоскости

Как видим, корни имеют отрицательные действительные части, а, значит, система устойчива.

Рассмотрим еще один пример. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

(7.14)

В соответствие с (7.12) имеем:

  

 

Система неустойчива, причем имеет место две перемены знака среди коэффициентов 1-го столбца таблицы Рауса, а, следовательно, два корня с правыми корнями. Ниже приведены скрипт Matlab и картина расположения корней на комплексной плоскости (рис. 7.2).

>> num=[1];

>> den=[1 1 2 8];

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

        1

-------------------

s^3 + s^2 + 2 s + 8

>> pole(sys)

ans =

 -2.0954          

  0.5477 + 1.9988i

  0.5477 - 1.9988i

>> pzmap(sys).

          Рис. 7.2. Расположение корней характеристического полинома

  (7.14) на комплексной плоскости

7.3. Частотные критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости для систем выше четвертого-пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления и не обладают наглядностью. Поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости, такие как критерий Михайлова и критерий Найквиста. Эти критерии базируются на применении частотных характеристик и принципа аргумента. Частотные критерии позволяют не только определить устойчивость системы, но и оценить ее относительную устойчивость (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), а также подсказать, как следует изменять параметры системы для повышения относительной устойчивости.

7.3.1. Критерий Михайлова

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (7.9). Заменим в нем оператор  p на . Тогда кривой Михайлова будет называться функция вида

. (7.15)

Выделим в (7.15) действительную и мнимую части:

(7.16)

Разложим  на множители

,

где  li – корни данного уравнения, i=1…n.

Рассмотрим суть принципа аргумента. Каждому корню li на комплексной плоскости соответствует некоторая точка Ai. Если соединить эту точку с нулем, то можно говорить о векторе  (рис. 7.3). Длина вектора равна модулю комплексного числа li, а угол, образуемый положительной действительной осью и вектором li, есть аргумент комплексного числа li.

Рис. 7.3. Размещение корня

характеристического уравнения

на комплексной плоскости

Рассмотрим, как будет вести себя вектор  при изменении частоты от -∞ до +∞. Считаем движение против часовой стрелки положительным. Заметим, что , а  (см. рис. 7.3). Тогда для корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты , вектор описывает угол +p . Для корней, находящихся в правой полуплоскости, вектор  при изменении частоты  опишет угол -p .

Будем полагать, что порядок системы равен п, причем m корней положительно. Тогда остальные п-т корней будут отрицательны. Суммарный угол поворота всех векторов будет определяться выражением:

. (7.17)

Очевидно, что при изменении частоты от 0 до +∞ приращение аргумента будет вдвое меньше:

. (7.18)

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все правые корни были равны нулю и отсутствовали чисто мнимые корни, а значит для устойчивости системы необходимо соблюдение условий

 (7.19)

(7.20)

Выражения (7.19) и (7.20) представляют собой математическую формулировку критерия Михайлова.

Конформное (подобное) отображение кривой Михайлова на комплексной плоскости Re(ω), Im(ω) носит название годографа Михайлова. Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ∞, начав свое движение с положительной полуоси, последовательно проходил n квадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в ноль (рис. 7.4).

Как следствие из критерия Михайлова вытекает, что корни уравнений (7.16) устойчивых САУ должны чередоваться, поскольку вещественная и мнимая координатные оси должны пересекаться годографом поочередно.

Очевидно, что, если годограф Михайлова не проходит последовательно n квадрантов или начинается не на положительной вещественной полуоси, то система неустойчива.

       

Рис. 7.4. Годографы Михайлова          устойчивых САУ 1…4 порядка

7.3.2. Критерий Найквиста

В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения замкнутой системы, критерий Г. Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФЧХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.

Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле

, (7.21)

где - частотная передаточная функция разомкнутого контура.

Для физически реализуемых САУ степень полинома  не выше степень полинома . Тогда степени числителя и знаменателя в (7.21) одинаковы и равны n.

Полюса этой передаточной функции являются полюсами разомкнутой САУ, а нули - полюсами замкнутой системы. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все нули (7.21) располагались в левой половине комплексной плоскости.

Согласно теореме Коши [5] необходимо на комплексной плоскости выбрать контур (контур Найквиста), который охватывал бы всю ее правую половину, и исследовать, не находятся ли внутри ее какие-либо нули функции (7.21). Конформное отображение контура Найквиста в плоскость  сводится к построению на комплексной плоскости вектора (годографа Найквиста), начало которого находится в точке (-1, j0), а конец скользит при изменении частоты от 0 до ∞ по АФЧХ разомкнутой системы .

Аргумент частотной передаточной функции (7.21) при изменении частоты от 0 до ∞ определяется формулой

.  (7.22)

Рассмотрим три случая.

  1.  Система в разомкнутом состоянии устойчива.

Тогда для устойчивости замкнутой системы в соответствие с (7.22) необходимо, чтобы

.

Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции j(jw) при изменении частоты от 0 до ¥ составит ноль.

Критерий Найквиста для первого случая:

замкнутая система будет устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не пересекает отрезок (-¥; -1), т.е. не охватывает критическую точку (-1; j0).

На рисунке 7.5а изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на 7.5б – неустойчивой системы.

Рис. 7.5. Годографы Найквиста устойчивой (а) и неустойчивой (б) системы

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы, хотя бы один раз пересечет точку (-1; j0).

2. Разомкнутая система неустойчива, причем число ее правых корней равно m.

Замкнутая система устойчива, если изменение аргумента при изменение частоты от 0 до ¥ представляется формулой:

.

При анализе устойчивости системы будем считать положительным переходом годографа при изменении частоты от 0 до ¥ пересечение им отрезка вещественной оси (-¥, -1) сверху вниз, отрицательным - снизу вверх. Если АФЧХ начинается на отрезке (-¥, -1), то будем считать это за 0,5 перехода с соответствующим знаком. Тогда критерий Найквиста звучит так:

если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка  действительной оси будет равна m/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок  в положительном направлении m/2  раз.

3. Система в разомкнутом состоянии устойчива, однако введение обратной связи делает ее неустойчивой.

Замкнутая система неустойчива, если изменение аргумента при изменении частоты от 0 до ¥ представляется формулой:

.

Критерий Найквиста для данного случая звучит так:

если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии неустойчива, то годограф пересекает отрезок  в отрицательном направлении m/2 раз.

Объединяя все три случая можно дать следующее определение критерия Найквиста:

система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка  действительной оси будет равна m/2, где т – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости.

Диаграмму Найквиста можно построить вручную для нескольких значений частоты ¥. Вместе с тем, построение диаграммы Найквиста существенно упрощается при использовании функции nyquist системы программирования Matlab.

Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция устойчивой разомкнутой САУ имеет вид:

. (7.23)

Запишем скрипт Matlab:

>> num=[0.4]; den=[1 2 1 0.6]; den1=[1 2 1 1];

>> sys=tf(num,den);

ans =

>> roots(den)

 -1.6104          

 -0.1948 + 0.5785i

 -0.1948 - 0.5785i

>> roots(den1)

ans =

 -1.7549          

 -0.1226 + 0.7449i

 -0.1226 - 0.7449i

>> nyquist(sys).

Команда roots(den) возвращает значения корней разомкнутой САУ, а команда roots(den1) определяет корни замкнутой САУ. Как видим, все три  корня замкнутой САУ имеют отрицательные вещественные части, а, значит, система устойчива.

На рис. 7.6 приведена диаграмма Найквиста, которая, как видим, не охватывает точку (-1, j0) комплексной плоскости. Это позволяет говорить об устойчивости замкнутой САУ без нахождения корней характеристического уравнения.

Рис. 7.6. Пример применения функции nyquist системы MATLAB

для первого случая

Поскольку функция nyquist применена без указания параметров, то диаграмма строится автоматически для всего диапазона изменения частоты  и полный годограф Найквиста симметричен относительно действительной оси.

Рассмотрим еще один пример. Пусть разомкнутая САУ 4-го порядка (n=4) устойчива и имеет передаточную функцию

. (7.24)

Определим устойчивость замкнутой САУ по критерию Найквиста. Запишем скрипт Matlab:

>> num=[4];

>> den=[1 2 3 4 1];

>> den1=[1 2 3 4 5];

>> sys=tf(num,den);

>> roots(den)

ans =

 -0.1018 + 1.4711i

 -0.1018 - 1.4711i

 -1.4873          

 -0.3092           

>> roots(den1)

ans =

  0.2878 + 1.4161i

  0.2878 - 1.4161i

 -1.2878 + 0.8579i

 -1.2878 - 0.8579i

>> nyquist(sys).

Все корни разомкнутой системы являются левыми, т. е. m=0, а в замкнутой САУ имеется два правых корня, что свидетельствует об ее неустойчивости.

Аналогичный вывод можно сделать, рассматривая диаграмму Найквиста (рис. 7.7). Годограф Найквиста охватывает точку (-1, j0). Согласно критерию Найквиста система в замкнутом состоянии будет неустойчива, поскольку разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка  действительной оси равна единице (имеется один отрицательный переход действительной оси) при m/2=0.

Рис. 7.7. Пример применения функции nyquist системы MATLAB

для третьего случая

7.3.3. Структурно устойчивые и структурно

неустойчивые системы. Понятие D-разбиения

Структурно устойчивой системой называется система, устойчивости которой можно добиться, изменяя параметры звеньев. При этом тип звеньев и их соединения, т. е. структура САУ, остаются неизменными.

Структурно неустойчивой системой называется система, устойчивость которой может быть достигнута только при изменении структуры (заменой типов звеньев и характеров соединений).

Теория устойчивости позволяет не только определить устойчивость системы, но и влияние некоторых параметров системы на ее устойчивость и качество. Данное влияние определяется с помощью процедуры D-разбиения. Рассмотрим влияние какого-либо одного параметра на устойчивость системы (D-разбиение по одному параметру).

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (7.9). Допустим также, что в системе есть некоторый, в общем случае комплексный, параметр k, который можно изменять и который входит линейно в характеристическое уравнение.

Тогда характеристическое уравнение (7.9) можно разбить на 2 части:

.

Отобразим в плоскость k мнимую ось  плоскости корней pi, определяющую границу области устойчивости системы, заменив p на . Тогда

(7.25)

где  М(р) – члены характеристического уравнения, не содержащие параметр k, а D(p) – члены характеристического уравнения, содержащие параметр k линейно.

Непрерывно увеличивая  от -¥ до +¥ построим в плоскости комплексного переменного k кривую D-разбиения. При этом левую часть кривой, обозначающую границу области устойчивости системы, будем штриховать. Только замкнутая область D определяет пределы изменения данного параметра, при которых система является устойчивой. На рис. 7.8 приведен пример построения кривой D-разбиения. Если подобных областей разбиения не оказывается, то система считается структурно неустойчивой и ввести ее в установившееся состояние возможно, лишь изменив структуру.

Если изменяемый параметр k является вещественным, то область его значений, при которых САУ остается устойчивой, принадлежит отрезку

(a, b), т. е. .

Рис. 7.8. Построение области D-разбиения

7.3.4. Логарифмический критерий устойчивости

Логарифмический критерий устойчивости применяется как для оценки устойчивости системы, так и при проектировании корректирующих звеньев, выводящих исходную систему из неустойчивого в устойчивое состояние. В основе логарифмического критерия устойчивости лежит критерий устойчивости Найквиста.

По критерию Найквиста базовая точка (-1; j0) в комплексной плоскости, определяющая границу устойчивости, характеризуется параметрами

Рассмотрим частотные характеристики разомкнутой системы (диаграммы Боде) для двух случаев.

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива.

Это означает, что годограф Найквиста (рис 7.9а) такой системы не пересекает отрезок . САУ в замкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза ωc логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы меньше частоты, при которой логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) достигает значения -p, т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ЛФЧХ не должна достигать угла -p. Диаграмма Боде устойчивой системы приведена на рис. 7.9б.

Рис. 7.9. Годограф Найквиста и логарифмические частотные характеристики

устойчивой системы при отсутствии правых корней разомкнутой САУ

2. Разомкнутая система неустойчива.

Логарифмический критерий устойчивости заключается в следующем: для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза, количество переходов прямой -p  ЛФЧХ было равно нулю (т.е. количество положительных переходов должно быть равно количеству отрицательных переходов). Годограф Найквиста и диаграмма Боде устойчивой системы приведены на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Годограф Найквиста и логарифмические частотные характеристики

устойчивой системы при наличии правых корней разомкнутой САУ

7.3.5. Относительная устойчивость. Запасы устойчивости

Как уже отмечалось, устойчивость системы является необходимым, но не достаточным условием ее функционирования. Важно знать степень устойчивости системы, т. е. ее относительную устойчивость. При различных критериях оценки устойчивости понятие относительной устойчивости будет также разным.

Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица - некоторая величина , которую должен превышать минимальный определитель Гурвица, определяемый выражением (7.10), т. е. .

При частотных критериях устойчивости различают два критерия относительной устойчивости – запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде (модулю) определяется степенью удаленности точки пересечения годографом разомкнутой системы отрицательной действительной оси от критической точки (-1, j0). В численном значении - это длина отрезка [0a] (рис. 7.11).

Рис. 7.11. Запасы устойчивости САУ

Нормированная величина запаса устойчивости по модулю:

.

Если , то система устойчивая.

Если , то система находится на границе устойчивости.

Если , то система неустойчива.

На практике считается допустимым иметь запас по амплитуде в логарифмическом  масштабе  .

Таким образом, для определения запаса устойчивости по амплитуде необходимо:

построить годограф АФХ разомкнутой системы.

определить ближайшую точку пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке (-1, j0).

рассчитать нормированный запас устойчивости по формуле: .

Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает запасу устойчивости по амплитуде, в противном случае не обладает.

Запасом устойчивости по фазе называется минимальный угол γ (рис. 7.11), образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат.

На практике допустимым запасом устойчивости по фазе считается угол .

Если , то система обладает запасом устойчивости.

Если , то система не обладает запасом устойчивости.

Запасы устойчивости системы можно определить также по диаграмме Боде (рис. 7.9б). Запас по модулю обозначен ΔL и соответствует сдвигу по фазе разомкнутой системы на угол –π . Запас по фазе обозначен  Δφ. Он определяется на частоте среза и соответствует коэффициенту усиления разомкнутой системы, равному единице (0 дБ).

Относительную устойчивость системы можно определить по диаграмме Боде с помощью функции margin системы MATLAB. Оценим относительную устойчивость системы, представленной передаточной функцией (7.23). Запишем скрипт Matlab:

>> num=[0.4];

>> den=[1 2 1 0.6];

>> sys=tf(num,den)

Transfer function:

        0.4

---------------------

s^3 + 2 s^2 + s + 0.6

>> margin(sys).

Диаграмма Боде этой системы с показателями относительной устойчивости приведена на рис. 7.12.

Рис. 7.12. Диаграмма Боде с показателями относительной устойчивости

Как видим, на диаграмме обозначены запасы устойчивости системы: 10,9 дБ по амплитуде и 73,9 градуса по фазе.

7.3.6. Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания

Многие технологические процессы характеризуются запаздыванием по времени в каналах измерения (контроля) координат или управления. Такое запаздывание называют транспортным запаздыванием или временем идеального (чистого) запаздывания.

Передаточная функция звена чистого запаздывания имеет вид

, (7.26)

где T – время чистого запаздывания.

Системы со звеньями чистого запаздывания не могут быть непосредственно представлены в виде дробно-рациональных передаточных функций, поэтому они не поддаются анализу алгебраическими критериями устойчивости. Наиболее подходящим для анализа устойчивости таких систем является частотный метод Найквиста. Множитель (7.26) не приводит к появлению дополнительных полюсов и нулей в передаточной функции разомкнутой системы, однако вносит дополнительный отрицательный фазовый сдвиг

. (7.27)

Этот фазовый сдвиг должен быть добавлен к фазовому сдвигу исходной разомкнутой системы. Графически это означает дополнительное закручивание годографа АФХ разомкнутой системы на угол  по часовой стрелке или соответствующий дополнительный завал ЛФЧХ на диаграмме Боде, а, значит, снижение запаса устойчивости по фазе.

При достаточно больших значениях  система может потерять устойчивость. Если нет возможностей уменьшения времени чистого запаздывания, то для приведения системы в устойчивое состояние необходимо снижать коэффициент усиления разомкнутого контура. Неизбежной расплатой за это является увеличение статической ошибки регулирования.

В инженерной практике при исследовании систем управления со звеном чистого запаздывания это звено обычно приводят к дробно-рациональному виду путем разложение его в ряд Паде

. (7.28)

В частности, при T=1 и при аппроксимации звена чистого запаздывания рядом Паде 2-го порядка аппроксимирующая передаточная функция будет иметь вид

. (7.29)

Скрипт Matlab, позволяющий сформировать ряд Паде 2-го порядка и описывающий переходный процесс в соответствующем звене, имеет вид:

>> [num,den]=pade(1,2); %  Формирование ряда Паде;

>> sys=tf(num,den); % Формирование передаточной функции;

>> t=[0:0.01:5]; % Задание параметров переходного процесса;

>> [y,T]=step(sys,t); % Расчет переходного процесса;

>> plot(T,y); % Отображение графика переходного процесса.

Переходный процесс в таком звене представлен на рис. 7.13. Как видим, ряд Паде 2-го порядка весьма грубо отражает процессы, обусловленные чистым запаздыванием. Увеличения числа членов разложения в ряде Паде, например в 20 раз, позволяет заметно повысить точность аппроксимации, однако в зоне транспортного запаздывания наблюдаются высокочастотные пульсации (рис. 7.14). Это предполагает, что исследуемая система должна обладать свойствами низкочастотного фильтра.

Рис. 7.13. Переходный процесс в звене чистого запаздывания,

аппроксимированном рядом Паде 2-го порядка

Рис. 7.14. Переходный процесс в звене чистого запаздывания,

аппроксимированном рядом Паде 40-го порядка


8. Качество систем управления

Любая САУ кроме устойчивости должна обеспечивать заданные качественные показатели управления. Качество управления (регулирования) оценивается количественными показателями, отражающими близость фактического процесса управления к желаемому. Задача обеспечения качества системы решается на этапе ее синтеза за счет формирования необходимой структуры устройства управления, введения обратных связей по координатам состояния и включения корректирующих звеньев в структуру устройства управления (см. гл. 10). Поскольку промышленные системы управления относятся к динамическим системам, их качество оценивают по поведению как в переходном, так и в установившихся режимах. Требования к установившимся режимам работы САУ, расчет статической ошибки регулирования, понятия статических и астатических систем рассмотрены в гл. 4.2. Ниже будут рассмотрены требования к качеству систем управления и способы оценки качественных показателей, прежде всего, в динамических, т. е. переходных режимах.

Различают прямые и косвенные показатели качества регулирования.

8.1. Прямые показатели качества регулирования

 

Прямые показатели качества определяются по виду переходных характеристик. При этом качество систем стабилизации оценивают по виду переходной характеристики по отношению к возмущающим воздействиям, качество систем программного управления – по отношению к задающим воздействиям, качество следящих САУ оценивают как по отношению к возмущающим, так и задающим воздействиям.

При анализе качественных показателей систем во временной области помимо ступенчатого воздействия к типовым тестовым воздействиям относят также линейное, параболическое и импульсное воздействия. Реакцию на один тестовый сигнал можно всегда выразить через реакцию на другой тестовый сигнал. Поскольку ступенчатый входной сигнал является наиболее простым, то именно он обычно выбирается в качестве тестового сигнала. Реакция системы на импульсный тестовый сигнал представляет интерес только в тех случаях, если в реальных условиях система подвержена воздействию очень коротких импульсов с достаточно большой амплитудой.

Графики переходных процессов получают экспериментально или путем решения дифференциального уравнения, описывающего систему в координатах “вход-выход”.

За основные показатели качества регулирования по виду переходных процессов принимают (рис. 8.1):

Рис. 8.1. Прямые показатели качества регулирования

1) время регулирования tр (время установления, время переходного процесса) – момент времени, после которого переходная характеристика остается внутри зоны, отличающейся от ступенчатого входного воздействия xвх на ±δ%; эта зона установления переходного процесса принимается, как правило, равной (2…5)%;

2) время нарастания регулирования tнр – время первого согласования переходной характеристики с входным воздействием;

3) время максимума tм переходной характеристики – момент времени, при котором переходная характеристика достигает своего максимального значения ymax ;

4) перерегулирование – относительная величина, рассчитываемая по формуле

; (8.1)

  1.  квазипериод колебаний T0 – усредненный период колебаний;

6) число колебаний m за время регулирования tр, определяемое по формуле

.

Проведение экспериментальных исследований для определения прямых оценок качества регулирования не всегда допустимо по условиям технологии, а численное решение дифференциального уравнения может оказаться достаточно трудоемкой задачей и требует применения вычислительной техники. В связи с этим в инженерной практике широкое применение нашли косвенные оценки качества.

8.2. Косвенные показатели качества регулирования

Косвенными оценками качества называют некоторые количественные величины, в той или иной мере характеризующие прямые показатели качества регулирования. К косвенным оценкам качества относят, в частности, рассмотренные выше показатели относительной устойчивости системы - запасы устойчивости по модулю и фазе, однако их недостаточно для суждения о таких важных показателях качества регулирования, как быстродействие, время нарастания регулирования, наличие и величина перерегулирования, число колебаний и др. Ниже рассмотрены некоторые методы косвенной оценки таких показателей качества регулирования. К ним относят корневые, частотные и интегральные оценки качества.

8.2.1. Оценка качества регулирования по расположению

корней характеристического уравнения

Одним из косвенных показателей качества систем управления является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой САУ от мнимой оси комплексной плоскости. Пусть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни устойчивой системы имеют значение

. (8.1)

Расстояние  (рис. 8.2) ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных корней называется степенью устойчивости системы.

Угол φ, образуемый лучами, проведенными из начала координат через эти корни, характеризует колебательность системы. Степенью колебательности системы (коэффициентом затухания колебаний) называют количественную характеристику, определяемую выражением

. (8.2)

Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения должны вписываться в угол 2φ (см. рис. 8.2). Для большинства систем управления допустимое перерегулирование  не должно превышать (10…20)%, что соответствует m=0,2…0,5.

Рис. 8.2. Область расположения корней

с заданными показателями  и

При корневых методах оценки качества системы, т. е. по расположению корней характеристического полинома, исходят из следующих соображений.

Решение однородного уравнения, характеризующего свободное движение системы, представляет собой сумму затухающих экспонент вида (7.2). Полагая, что качество САУ в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем или ближайшей к мнимой оси парой комплексно-сопряженных корней (доминирующих корней), можно записать

.

Полагая, что зона δ установления переходного процесса составляет (2…5)% от установившегося значения , можно найти требуемое соотношение степени устойчивости  системы и времени регулирования tр:

. (8.3)

Следовательно, задаваясь временем регулирования, можно рассчитать минимальное (по модулю) значение вещественных частей корней характеристического уравнения.

Аналогично можно связать степень колебательности m системы со степенью затухания колебаний. Пусть по условиям технологии требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний затухала в k раз по сравнению с предыдущей. Тогда

. (8.4)

Пусть k=10, тогда в соответствие с (8.4) получим m=0,336 и

.

Таким образом, задаваясь временем регулирования  и соотношением амплитуд колебаний k, можно определить допустимую область расположения корней на комплексной плоскости или решить обратную задачу расчета параметров  и k переходного процесса по расположению доминирующих корней характеристического уравнения. Следует отметить, что данный подход дает приемлемую точность оценки качества регулирования, если действительные части остальных корней характеристического уравнения больше действительной части доминирующих корней, по крайней мере, в 5 раз [2].

Для построения в плоскости параметров областей, обеспечивающих требуемые показатели качества регулирования целесообразно использовать метод D-разбиения. В качестве примера используем уравнение Вышнеградского, описывающего в параметрической форме характеристический полином 3-го порядка,

. (8.5)

где  A и B – обобщенные параметры характеристического уравнения.

Подставим выражение для комплексного корня  в (8.5). Тогда получим

.

Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим

,  (8.6)

Полагая   в (8.6), получим границу области устойчивости системы в параметрической форме

(8.7)

или

- уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1, рис. 8.3).

Рис. 8.3. Границы областей устойчивости,

      колебательности и апериодичности на

            диаграмме Вышнеградского

Полагая  в (8.6), получим границу области апериодичности системы в параметрической форме (кривые 2 и 3 на рис. 8.3)

.

Поскольку на кривой 1 ω ≠ 0, а на кривых 2 и 3 ω = 0, то области I и III являются областями комплексных, а область II – вещественных корней (см. рис. 8.3). Следовательно, если параметры A, B принадлежат области II, то переходные процессы имеют апериодический характер, причем, чем эти параметры больше, тем процессы более затянуты. Если параметры принадлежат области I, то переходные процессы имеют колебательный характер, причем, чем больше A и меньше B, тем выше колебательность. Область III является областью монотонности решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего (8.5), а, следовательно, переходные процессы, имея колебательный характер, тем не менее, затухают монотонно (без перерегулирования).

Диаграмма Вышнеградского [1, 2] помимо приведенных кривых содержит кривые равных вещественных частей комплексных корней (равной степени устойчивости), причем для двух случаев расположения корней, когда ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни и, когда ближайшим к мнимой оси расположен вещественный корень (на рис. 8.3 эти кривые не показаны). В частности, на границе областей I и III (кривая 4) все три корня равно удалены от мнимой оси.

Требования повысить быстродействие и одновременно снизить перерегулирование в системе являются противоречивыми друг другу, что заставляет искать компромисс. В общем случае, с точки зрения переходного процесса наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения n-го порядка равны друг другу (на практике редко реализуется), т. е.

,  i=1, 2, 3…n.

В этом случае перерегулирование не превышает 10%, а время нарастания регулирования является минимальным.

Если все корни являются вещественными, то система характеризуется отсутствием перерегулирования, т. е. апериодическими переходными процессами. Время регулирования будет тем меньше, чем меньше среднегеометрический корень  или, иначе, чем ближе к мнимой оси расположен центр корней.

При анализе качества системы корневыми методами необходимо учитывать влияние нулей передаточной функции на переходный процесс.

Прежде всего, нужно проверить, насколько близки нули к полюсам.

Если нуль и полюс совпадают, то их нужно сократить, и они не будут влиять на качество системы. Порядок системы при этом, естественно, будет понижен.

Если полюсы и нули передаточной функции не совпадают, то полюсы определяют отдельные составляющие переходного процесса (апериодические и гармонические), а нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. Чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-либо полюсу, тем меньше его вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей данному полюсу.

8.2.2. Частотные методы оценки качества

Эти методы базируются на преобразовании Фурье и основаны на том, что переходный процесс при заданном входном (задающем или возмущающем) воздействии однозначно связан с видом АФЧХ замкнутой системы.

Как уже отмечалось, наиболее часто в качестве внешнего воздействия на систему принимают единичное ступенчатое воздействие. Разложение этой ступенчатой функции в непрерывный гармонический ряд осуществляется с помощью интеграла Дирихле

. (8.8)

Пусть АФЧХ замкнутой системы имеет вид:

. (8.9)

Тогда реакция системы (переходная функция) на внешнее воздействие в виде ступенчатой функции (8.8) может быть вычислена по одной из формул:

, (8.10)

. (8.11)

Наиболее часто в основе частотных методов исследования качества системы применяют формулу (8.10), т. е. оценку качества переходного процесса ведут по вещественной частотной характеристике (ВЧХ).

Различают прямые и косвенные частотные методы оценки показателей качества. Прямые методы оценки показателей качества системы основываются на построении переходного процесса  в зависимости от  или  с помощью специальных методов (Брауна, Кэмпбела, Воронова, Солодовникова и др.) [1, 2]. Косвенные методы позволяют по виду  приближенно оценить качество переходного процесса h(t).

Приведем сначала основные положения косвенных частотных методов оценки качества САУ:

1) близким ВЧХ  соответствуют близкие переходные характеристики ;

2) начало ВЧХ (низкочастотная ветвь) соответствует окончанию переходного процесса (установившемуся режиму) и, наоборот, конец ВЧХ (высокочастотная ветвь) соответствует началу переходного процесса, т. е.

;

3) качество САУ определяется преимущественно низкочастотной и среднечастотной областью ВЧХ , т. е. оценивается в пределах полосы пропускания системы  (области существенных частот);

4) ВЧХ, охватывающим большую площадь соответствует более быстрый переходный процесс, т. е. чем шире , тем меньше время переходного процесса ;

5) сжатию характеристики  по оси  соответствует пропорциональное растяжение характеристики  по оси t и, соответственно ;

6) для монотонности, т. е. апериодического характера процесса  (кривая 1 на рис. 8.4) достаточно, чтобы характеристика  была монотонно убывающей положительной функцией (кривая 1 на рис. 8.5), т. е. должны выполняться условия

;

Рис. 8.4. Апериодический (1)

и колебательные (2, 3) переходные процессы

Рис. 8.5. Монотонно убывающая (1),

невозрастающая (2)

и колебательная (3)

ВЧХ замкнутых систем

длительность переходного процесса в этом случае определяют по формуле , где  ω01 – верхняя граница области существенных частот для данной системы;

7) чтобы перерегулирование не превышало 18% (кривая 2 на рис. 8.4), достаточно чтобы характеристика  была невозрастающей положительной функцией (кривая 2 на рис. 8.5), т. е. должны выполняться условия

;

длительность переходного процесса для этого случая  ;

8) если перерегулирование выше 18% (кривая 3 на рис. 8.4), характеристика  имеет выраженный максимум (кривая 3 на рис. 8.5);

длительность переходного процесса для этого случая  , где - частота, при которой ВЧХ замкнутой системы становится менее нуля;

чем выше , тем больше амплитуда в переходной характеристике ;

9) если  обращается в бесконечность при некоторой частоте , то система является неустойчивой.

Прямые частотные методы оценки качества позволяют уточнить оценки качества переходного процесса, и основаны на построении графика  переходного процесса по ВЧХ  замкнутой системы. Точное решение этой задачи требует численного решения уравнений (8.10) или (8.11) с применением средств вычислительной техники. В связи с этим в инженерной практике получили приближенные методы построения переходного процесса по виду ВЧХ. Наиболее распространенным способом приближенного построения  является метод Солодовникова (метод трапеций) [1, 2], суть которого заключается в следующем:

1)  заменяют ломаной кусочно-линейной линией (штриховые линии на рис. 8.6а);

2) выделяют прямоугольные трапеции (рис. 8.6б), для каждой из которых определяют параметры:

P0i – высота i-й трапеции;

- частота пропускания;

- частота равномерного пропускания;

- коэффициент наклона трапеции; ;

3) для каждой трапеции строят переходный процесс xi (t) (рис. 8.7) по формуле

Рис. 8.6. Процесс аппроксимации ВЧХ ломаной линией и выделение трапеций

Рис. 8.7. Построение переходного процесса с помощью

                                               трапецеидальных ВЧХ

, (8.12)

где τ – табличное время, связанное с истинным временем соотношением  ;

- табулированная функция (h-функция), определяемая по специальным таблицам [1, 2] в зависимости от χ и τ;

4) определяют  (см. рис. 8.7) как сумму составляющих xi (t), т. е. , где  n – число трапеций.

8.2.3. Оценка качества по ЛАЧХ разомкнутой САУ

Оценка качества замкнутой системы по ЛАЧХ разомкнутой системы производится путем сопоставления ее фактической ЛАЧХ с так называемой желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, при которой обеспечиваются переходные процессы в системе, близкие к оптимальным. При построении такой желаемой ЛАЧХ руководствуются следующими соображениями:
1) участок низких частот ЛАЧХ определяет допустимую установившуюся ошибку в системе, а, следовательно, ее коэффициент передачи в разомкнутом состоянии и порядок астатизма;
2) участок средних частот определяет запас устойчивости системы  (на этом участке расположена частота среза ЛАЧХ);
3) высокочастотный участок определяет начало переходного процесса и мало влияет на показатели качества системы.
На рис. 8.8 приведен примерный вид желаемых ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (желаемой диаграммы Боде).
Если система статическая, то на участке низких частот ЛАЧХ должна идти параллельно оси абсцисс и иметь ординату 20lgk. Коэффициент передачи разомкнутой системы определяется из выражения (4.3) с учетом допустимой установившейся ошибки регулирования при подаче на вход системы единичного ступенчатого воздействия.
Если система должна иметь астатизм 1-го порядка, то на участке низких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -20дБ/дeк (см. полужирную пунктирную линию на рис. 8.8). Если порядок астатизма должен быть выше, то на участке низких частот ЛАЧХ должна иметь наклон -40дБ/дeк или даже -60дБ/дeк (см. полужирную штрихпунктирную линию на рис. 8.8). При ω = 1 ЛАЧХ должна проходить через точку с ординатой 20lgk как статической, так и астатической систем.
Частота среза участка средних частот выбирается с учетом заданных времени регулирования tp и перерегулирования σ%. Между временем регулирования и частотой среза имеется следующая приближенная зависимость:

Рис. 8.8. Примерный вид желаемой диаграммы Боде
, (8.13)
где  β - коэффициент, зависящий от перерегулирования σ% (рис. 8.9) [1].
 
 
Рис. 8.9. Приближенная зависимость
β = f(σ%)
Система имеет наиболее благоприятный переходный процесс при наклоне ЛАЧХ  -20 дБ/дек в интервале частот ωк1 < ωс < ωк2 .
Имеется несколько рекомендаций по выбору сопрягающих частот ωк1 и ωк2 [1, 5] .
Интервалы частот между частотой среза ωс и ωк1 , ωк2 рекомендуют выбирать равными (0,5…0,9) дек [1].
Эти интервалы частот также можно выбирать по значениям ЛАЧХ на частотах ωк1 и ωк2.
Значение L1 ЛАЧХ в начале этого интервала ωк1 выбирают из условия, чтобы значение ЛФЧХ (рис. 8.8) на этой частоте было не менее φ1=40°. При этом значение ЛФЧХ при частоте среза ωс должно быть равно требуемому запасу устойчивости по фазе φ (ωс) = γ = 30º…45º.
Значение L2 ЛАЧХ в конце интервала ωк2 выбирают равным требуемому запасу устойчивости системы по модулю в децибелах L2 = 10дБ...20дБ. Иногда запас устойчивости системы по модулю рекомендуют выбирать в зависимости от допустимого перерегулирования в системе по графику, приведенному на рис. 8.10 [1].
Рис. 8.10. Приближенная зависимость
L2 = f(σ %)
С учетом изложенного рекомендуется следующий порядок построения желаемой ЛАЧХ:
1) с учетом требуемой статической ошибки регулирования выбирается коэффициент передачи разомкнутой системы k или порядок астатизма; через точку (20lgk, 1) проводится участок низкочастотной ЛАЧХ с нулевым наклоном к оси абсцисс (для статической системы) или с наклоном -20дБ/дек, -40дБ/дек или -60дБ/дек (для астатической системы 1-го, 2-го или 3-го порядка);
2) исходя из требуемого времени регулирования tр по формуле (8.13) определяется частота среза ωс:
3) через точку (0, ωс) проводится участок среднечастотной ЛАЧХ с наклоном -20дБ/дек;
4) определяются сопрягающие частоты ωк1 и ωк2 по требуемым значениям φ(ωк1) ЛФЧХ на частоте ωк1 и L2к2) ЛАЧХ на частоте ωк2;
5) через точку (L2, ωк2) проводится прямая с наклоном -40дБ/дек или -60дБ/дек, определяющая характер ЛАЧХ в области высоких частот.
Наклон ЛАЧХ в интервале частот ω1<ω<ωк1 и ω>ωк2 выбирается из условия наиболее простой практической реализации ЛАЧХ, так как характер ЛАЧХ в этих интервалах частот существенного влияния на переходный процесс в системе не оказывает. После построения желаемой ЛАЧХ системы путем изменения параметров настройки регулятора (корректирующего устройства) добиваются удовлетворительного совпадения фактической ЛАЧХ системы с желаемой.
Показатели качества регулирования (перерегулирование, время регулирования, колебательность и т. д.) после определения структуры и параметров регулятора определяются по фактической ЛАЧХ системы. Методы определения структуры и параметров оптимальных регуляторов, т. е. решение задачи синтеза системы, рассмотрены в гл. 10.

8.2.4. Интегральные оценки качества

В основе интегральных оценок качества лежит предположение, что качество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой переходного процесса и заданным значением регулируемой переменной. Интегральные оценки качества являются строгой математической формулировкой понятия качества системы, и их минимизация позволяет определить оптимальные параметры системы управления, т. е. решить задачу параметрического синтеза системы. Для этой цели применяются процедуры безусловной и условной оптимизации [1, 2, 5].

Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [1, 5]:

; (8.14)

; (8.15)

; (8.16)

; (8.17)

, (8.18)

где  - текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени,

С – некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а, следовательно, выходной координаты в переходном процессе.  

В критерии (8.14) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования и такая оценка применяется только для апериодического переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.

Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (8.15) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сменой знака ошибки регулирования.  Интегральная квадратичная оценка (8.16) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.

Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) – (8.17), позволяющем учесть смену знака подынтегральной функции.

Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (8.17) и учесть связанную с этим ошибку была предложена [5] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (8.18).

Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы 2-го порядка имеет вид:

, (8.19)

где  - коэффициент затухания.

Нормированное значение собственной частоты принято . На рис. 8.11 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента затухания .

 

Рис. 8.11. Интегральные оценки

качества системы второго порядка

Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выраженный минимум (хорошую избирательность), соответствующий = 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.

Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра n-го порядка:

. (8.20)

Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (n=1…4), описываемых передаточными функциями (8.20), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 8.1. Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний .

На рис. 8.12 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.

Таблица 8.1

Порядок

системы

Полином знаменателя

передаточной функции

n=1

n=2

n=3

n=4

Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний . На рис. 8.12 приведены кривые переходных процессов, соответствующие оптимизации фильтров первого-четвертого порядка по критерию ИВМО.

Рис. 8.12. Переходные характеристики, соответствующие

оптимизации систем по ИВМО

Графики построены в зависимости от нормированного времени .

Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления применяются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащие в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления (см. гл. 10.4).


9. Метод пространства состояний

 

Широкое распространение компьютеров и мощных систем программирования побуждает к исследованию САУ во временной области, а, следовательно, к непосредственному использованию описания динамических систем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно-матричные формы описания и исследования применимы не только к одномерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомерных, нелинейных и нестационарных САУ.

Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме лежит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.

9.1. Векторно-матричное описание САУ

Состояние системы – это совокупность значений переменных системы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние переменные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущающие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о состоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить будущие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разрабатывающий и эксплуатирующий технические системы управления, оперирует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим переменным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, расход, температуру, уровень и т. п.  Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные - напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю возможность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат состояния  САУ.

Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационарной САУ записывается в виде

,

, (9.1)  

где X(t), U(t), F(t), Y(t) – соответственно векторы состояния, управления, возмущения и выходных (управляемых) координат системы,

 – вектор первых производных координат состояния,

 – нелинейные, нестационарные функции координат состояния, управления и возмущения системы.

В уравнении (9.1) вектор управления U(t) является, в общем случае,  некоторой нелинейной нестационарной функцией задающих координат, координат состояния и возмущения САУ и призван обеспечить оптимальное управление системой. Описание многомерных, нелинейных, нестационарных САУ в форме (9.1) не позволяет, как правило, получить инженерное решение задачи структурно-параметрического синтеза оптимального управления U(t) или такое решение приводит к неоправданным затратам на реализацию (в техническом или экономическом аспектах). В большинстве случаев такие модели сводят к одномерным или многомерным линейным (линеаризованным) квазистационарным моделям,  для которых имеются развитые методы и инженерные методики синтеза оптимального управления.

 Линейную (линеаризованную) модель многомерной стационарной (квазистационарной) САУ представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

,

, (9.2)

……………………………………………………

.

Эту же систему дифференциальных уравнений можно представить в векторно-матричной форме:

, (9.3)

где  - векторы (векторы-столбцы) соответственно состояния и управления САУ,

,  ;

 - символ транспонирования (иногда для обозначения транспонирования применяют буквенный символ “т”);

 - стационарные матрицы соответственно состояния и управления,

,  .

В общем случае, на объект управления помимо управляющих воздействий действуют возмущающие воздействия. В этом случае векторно-матричную модель системы представляют в виде

, (9.4)

где  - вектор-столбец возмущающих воздействий САУ, C – стационарная матрица возмущений,

,

.

Выходные (управляемые) переменные не всегда непосредственно принадлежат вектору состояния. В линейных САУ они линейно связаны с переменными состояния, управляющими и возмущающими переменными. В этом случае к уравнениям (9.3), (9.4) присоединяют алгебраические линейные уравнения

(9.5)

или , (9.6)

где  - вектор выходных переменных САУ, ;

 K, L, M – стационарные матрицы соответственно размерностей (rn), (rm), (rd).

 Следует отметить, что приведенные уравнения (9.1)…(9.6) дают описание лишь объекта управления или разомкнутой системы, если вектор управления U(t) не является функцией координат состояния САУ. В замкнутых линейных САУ управление обычно формируют как линейную форму координат состояния и, в общем случае, возмущения САУ.

В качестве примера приведем векторно-матричное описание ранее рассматриваемого электродвигателя постоянного тока как объекта регулирования по цепи якоря. Пусть выходной (регулируемой) координатой является скорость вращения двигателя. Полагая, что напряжение возбуждения , а магнитный поток , математическую модель электродвигателя можно представить в виде:

,

. (9.7)

  

Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде (9.4), (9.5). Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде:

; ;  

 (9.8)

По уравнениям (9.7) найдем матрицы состояния, управления и возмущения:

;  ;  . (9.9)

Поскольку выходная переменная всего одна и ей является координата состояния  , уравнение выхода преобразуется к скалярной форме

. (9.10)

По описанию системы в форме векторно-матричных уравнений (ВМУ)  можно непосредственно получить эквивалентную передаточную функцию (ПФ) и, наоборот, зная ВМУ системы, можно получить ее ПФ. Для этого в системе Matlab имеется две функции: функция tf и функция  ss.

Пусть ВМУ системы имеет вид (9.3), (9.5). Применительно к системе Matlab ВМУ записывают в виде

 

Для получения ВМУ в системе Matlab необходимо определить функцию ss(A,B,C,D). Для преобразования ВМУ к ПФ системы необходимо записать

>> sys_ss=ss(A,B,C,D); % Формирование ВМУ системы;

>> sys_tf=tf(sys_ss), % Преобразование ВМУ к ПФ системы;

а для обратного преобразования записать

>> sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

>> sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы.

Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид

.

Тогда запишем скрипт преобразования ПФ к ВМУ и обратного преобразования ВМУ к ПФ:

>> num=[0.4];

>> den=[1 2 1 0.6];

>> sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;

>> sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы;

a =

          x1      x2      x3

  x1      -2    -0.5  -0.075

  x2       2       0       0

  x3       0       4       0

b =

        u1

  x1  0.25

  x2     0

  x3     0

c =

       x1   x2   x3

  y1    0    0  0.2

d =

      u1

  y1   0

>> sys_tf=tf(sys_ss) % Преобразование ВМУ к ПФ системы

Transfer function:

        0.4

---------------------      .

s^3 + 2 s^2 + s + 0.6

9.2. Схемы пространства состояний

Для графического отображения САУ, модель которых представлена в векторно-матричной форме, служат схемы пространства ее состояний. Эти схемы являются аналогом структурных схем систем (см. гл. 5), описание которых дано в операторной форме. Вместе с тем, принципиальным отличием схем пространства состояний от структурных схем является использование в них только идеальных интегрирующих и безынерционных (масштабирующих) звеньев, а также суммирующих звеньев.

Обобщенная схема пространства состояния непрерывной линейной САУ, отвечающей векторно-матричному уравнению (9.4), приведена на рис. 9.1.

Применение идеальных интеграторов на схемах пространства состояний обусловлено, во-первых, широко распространенной нормальной формой представления дифференциальных уравнений систем (формой Коши), а, во- вторых, удобством моделирования САУ с применением как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин.

Рис. 9.1. Обобщенная схема пространства состояния САУ

Кроме того, в условиях множественности выбора переменных состояния системы такой подход предполагает естественным в качестве координат состояния (компонент вектора состояния) принять выходные сигналы интеграторов.

Для составления схем переменных (пространства) состояния САУ применяют приемы непосредственного (прямого), последовательного и параллельного программирования [2, 4]. Очевидно, что множественность вариантов преобразований структурных схем при этом влечет за собой и множественность схем пространства состояний одной и той же САУ.

В качестве примера рассмотрим составление схемы переменных состояния электропривода постоянного тока, математическая модель которого представлена в виде (5.14), используя прием непосредственного программирования. Схема переменных состояния приведена на рис. 9.2.

 

Рис. 9.2. Схема переменных состояния электродвигателя

При составлении схемы принято, что .

Заметим, что схема пространства состояния электродвигателя (см. рис. 9.2) выглядит сложнее его структурной схемы (см. рис. 5.5), однако минимизация числа типовых звеньев (интегрирующих, масштабирующих и суммирующих) упрощает исследование динамических свойств САУ с применением аналоговых и цифровых вычислительных машин, а также широко распространенных математических систем программирования и их векторно-матричных пакетов расширения [2, 3, 5].

9.3. Понятие матрицы перехода (переходных состояний)

и ее применение для исследования САУ

Конечной целью исследования любой технической системы управления является определение соответствия ее заданным критериям качества управления. Эта задача в концепции современной теории управления решается путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной переменной САУ.

Если известно в момент времени t = 0 начальное состояние X(0) объекта управления и вектор управляющих воздействий U(0), то уравнение движения системы во времени t (здесь и далее полагается, что возмущения F(t), действующие на систему, равны нулю) определяется выражением [4, 5]:

. (9.12)

Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (9.12) отражает свободное движение многомерной линейной САУ. Оно аналогично скалярному выражению (4.11), описывающему свободное движение одномерной системы. Второе слагаемое в (9.12) отражает вынужденное движение многомерной линейной САУ и оно аналогично выражению (4.10), описывающему вынужденное движение одномерной системы.

Матрицу , определяющую динамические процессы в системе, называют переходной матрицей состояния или просто матрицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описании САУ как во временной области (в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного p (в  операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определения матрицы перехода во временной области используют матричную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограниченным числом  k () членов ряда [1-5]:

, (9.13)

где E – единичная  матрица,

!  – знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения (9.3) можно получить и в области комплексного переменного p, применив к (9.3) преобразование Лапласа:

, (9.14)

где  – преобразование Лапласа переходной матрицы состояния,

т. е. .

В частности, для свободного движения системы под действием ненулевого начального состояния X(0) можно записать

. (9.15)

В инженерной практике для нахождения переходной матрицы  состояния многомерных САУ применяют системы программирования, упомянутые в главе 5.4. Они базируются на численных методах решения уравнения (9.13) для заданного времени t = T перехода системы из некоторого начального состояния в последующее, отстоящее на время T, состояние.

В системе программирования MatLab 6.5  для расчета переходной матрицы состояния используется функция EXPM(A), где A - матрица состояния системы. В системе программирования MathCAD 11 необходимо записать оператор

,

где n - порядок системы,

identity(n) – встроенная функция формирования единичной матрицы размерности nn.

Число членов разложения ряда под знаком суммы принято двадцати. Это очень высокая, может быть, и неоправданная, точность вычисления матрицы перехода, однако это позволяет получить своего рода эталонное решение уравнений динамики системы.

В качестве примера рассмотрим нахождение матрицы перехода для рассматриваемого ранее объекта управления – электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря с помощью реверсивного преобразователя.

Пусть векторно-матричная модель объекта управления задана уравнениями (9.4), (9.8), (9.9).

Зададимся численными значениями параметров электродвигателя:

 Rэ=1 Ом;  Tэ=0, 02 Гн;  Kд=0,5 (Вс);  Jд = 1 .

В соответствие с (9.9) получим

;  ;  . (9.16)

Для расчета переходной матрицы состояния воспользуемся численной процедурой вычисления ряда (9.13), причем зададимся приращением времени перехода из начального состояния в последующее состояние системы T = 0,01 с.

Тогда, используя функцию EXPM(A) системы Matlab, получим

. (9.17)

Задаваясь некоторым ненулевым начальным состоянием объекта управления в момент времени  t = 0, например  iя(0) = 0 (А),  (рад/с), т. е. , получим численные значения компонент вектора состояния в момент времени t = 0,01 с:

.

Умножая полученный вектор  состояния на переходную матрицу состояния  можно получить вектор состояния в момент времени 0,02 с и т. д. Результатом операции по применению матрицы переходных состояний на интервале времени перехода системы в новое установившееся состояние является переходный процесс, отражающий свободное движение системы. На рис. 9.3 приведена таблица расчета переходного процесса на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя).

 

Рис. 9.3. Таблица расчета и графики свободного

движения электродвигателя

 

Как видим, свободное движение системы из заданного начального состояния представляет собой достаточно интенсивную остановку электродвигателя в режиме рекуперации энергии в сеть за время, близкое к одной секунде. Если в начальный момент времени просто разорвать цепь питания якоря, то свободное движение будет происходить в режиме свободного выбега под действием момента сопротивления на валу электродвигателя за значительно больше время.

Аналогичным образом определяется движение системы под действием ненулевого управляющего воздействия Uя, т. е. вынужденное движение системы. Пусть при нулевом векторе  начального состояния системы  на якорную обмотку подали напряжение Uя = 10 В. Для расчета реакции электродвигателя воспользуемся численным методом решения векторно-матричного уравнения (9.3). Такт расчета примем равным приращению времени перехода системы из одного состояния в следующее, задаваемого матрицей перехода, т. е. . На рис. 9.4 приведена таблица расчета реакции системы на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые вынужденного переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя). Установившееся значение скорости электродвигателя в данном случае является экстремальным и равно 5 рад/с, установившееся значение тока якоря равно нулю.

 Суммирование реакций САУ в соответствие с (9.11) дает результирующую реакцию системы (рис. 9.5).

Рис. 9.4. Таблица расчета и графики вынужденного

движения электродвигателя

Рис. 9.5. Таблица расчета и графики полного переходного

процесса в электродвигателе

Заметим, что время переходных процессов в режиме малых отклонений координат одинаково и не зависит от величины начальных условий и внешних воздействий, что свойственно всем линейным системам.

Сразу отметим, что эти реакции системы на управляющее воздействие, скорее всего, будут неудовлетворительными, что объясняется произволом выбора приращения управляющего воздействия (управление нами выбрано постоянным и равным 10 В на протяжении всего времени переходного процесса). Определение оптимального изменения во времени управляющего воздействия – задача структурно-параметрического синтеза системы управления. Этот вопрос рассматривается в гл. 10, 11.

9.4. Весовая или импульсная переходная матрица

    

Рассмотрим более подробно общее решение векторно-матричного уравнения детерминированной линейной непрерывной САУ, представленное уравнением (9.12). Первое слагаемое, обеспечивающее решение уравнения движения системы под действием ненулевых начальных условий (ненулевого вектора состояния системы), предполагает знание матрицы переходных состояний  системы. Эту матрицу перехода иногда называют матрицей Коши системы, являющейся частным видом фундаментальной матрицы перехода. К сожалению, в технической литературе имеет место неоднозначное и подчас нестрогое толкование понятий матрицы перехода, матрицы Коши и фундаментальной матрицы перехода [25]. В любом случае матрицы, элементами которых являются переходные функции, относят к матрицам переходных состояний. Матрицы, элементами которых являются весовые функции, относят к весовым матрицам (импульсным переходным) матрицам. Понятие весовых функций применительно к одномерным САУ было введено в главе 4.

К весовой матрице многомерных САУ можно отнести подынтегральное выражение общего решения уравнения движения как одномерных систем управления (4.4), так и многомерных САУ (9.12). В частности, для многомерных САУ весовая (импульсная переходная) матрица имеет вид

при ,  . (9.18)

Столбцы этой матрицы можно рассматривать как реакцию системы (9.3) на входные (управляющие) воздействия в виде импульсных -функций на каждом из входов системы при нулевых начальных условиях, т. е. . 

Заметим, что между передаточными и весовыми матрицами имеется однозначная связь, основанная на прямом преобразовании Лапласа:

. (9.19)

9.5. Управляемость и наблюдаемость САУ

Описание систем в пространстве состояний с успехом используется для синтеза (оптимальной коррекции) систем управления. Для этого оптимальное управление U(t) формируют как функцию доступных измерению координат состояния системы, т.е. реализуют оптимальный регулятор состояния. Возможность создания замкнутой по вектору состояния оптимальной системы управления предполагает, что она удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости.

Линейная стационарная система управления (9.3) является управляемой, если существует такое управление U(t) размерности , которое может перевести систему из произвольного начального состояния X(0) в заданное конечное состояние X(t). Это условие записывается в виде

, (9.20)

где H – гиперматрица управляемости порядка .

Условие (9.20) означает, что система (9.3) будет полностью управляемой, если ранг гиперматрицы H равен n, т. е. матрица управляемости содержит n независимых векторов-столбцов, а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если управление является скалярной функцией времени, т. е. U(t)=u(t), то гиперматрица H будет представлять собой квадратную матрицу порядка .

Управляемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от управляющего воздействия к каждой из переменных состояния.

Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую передаточной функцией

.      (9.21)

Ей соответствует сигнальный граф в переменных состояния, приведенный на рис. 9.6.

Видно, что существуют пути от управляющего воздействия u ко всем переменным состояния системы, следовательно, она является управляемой.

Для объекта (9.21) можно записать матричное дифференциальное уравнение

,

где X – вектор состояния системы, , n = 3.

Рис. 9.6. Сигнальный граф системы третьего порядка

Тогда матрица управляемости

,

а, следовательно, убеждаемся, что система является управляемой.

Понятие наблюдаемости системы связано с возможностью оценки ее переменных состояния.

Линейная стационарная система управления, описываемая уравнениями (9.3), (9.5) является наблюдаемой, если существует конечное время T такое, что в результате наблюдения выходной переменной Y(t), , может быть определено начальное состояние X(0) при заданном управлении U(t).

Это условие записывается в виде

,     (9.22)

где G – гиперматрица наблюдаемости порядка , q – размерность вектора Y(t).

Условие (9.22) означает, что система будет полностью наблюдаемой, если ранг гиперматрицы G равен n, т. е. матрица наблюдаемости содержит n независимых векторов-столбцов а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если объект управления одномерный, т. е. выходная переменная одна, то матрица K является вектором-строкой размерности , а матрица наблюдаемости G будет представлять собой квадратную матрицу порядка . Условие наблюдаемости для одномерных САУ можно записать в виде

.        (9.23)

Система будет наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование вектора выходных переменных Y(t).

Наблюдаемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от каждой переменной состояния к выходной переменной.

Для объекта (9.21) выходной переменной является координата y(t), равная переменной x1(t) , а, следовательно, матрица K имеет вид:

.

Условие наблюдаемости САУ (9.19) можно записать в виде:

.      

Система является наблюдаемой, поскольку ранг матрицы G полный и каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование выходной переменной y(t). Из рассмотрения графа системы (см. рис. 9.6) также следует, что от каждой координаты состояния имеются пути к выходной переменной, а, значит, система полностью наблюдаема.

10. Синтез линейных непрерывных САУ

10.1. Общая постановка задачи синтеза

Под синтезом САУ понимают нахождение ее структуры и параметров, обеспечивающих заданное качество управления при известных входных воздействиях.

Понятие качества САУ, как уже отмечалось, связано с прямыми или косвенными количественными оценками качества функционирования системы во временной или частотной области (временем регулирования, перерегулированием, полосой пропускания, запасами устойчивости по амплитуде и фазе, интегральными квадратичными критериями качества и др.).

На практике задачу синтеза начинают с того, что задают структуру и параметры неизменяемой части САУ. К неизменяемой части САУ относят объект управления, включающий все технические средства, преобразующие управляющее воздействие в выходную координату (силовые преобразователи энергии, приводы, передаточные механизмы, управляющие органы и др.), а также датчики измеряемых координат, устройства преобразования и передачи информации от объекта к устройству управления.

На предварительном этапе синтеза выбирают элементы объекта управления из числа типовых (серийно выпускаемых) изделий, основываясь на основных условиях его функционирования (временных диаграммах, средних или предельных значениях мощности, момента, скорости, ускорения и т. п.).  Далее составляется математическая модель объекта управления в той или иной форме, причем учитываются лишь его доминирующие свойства. Если порядок линейного (линеаризованного) объекта управления превышает трех-пяти, его целесообразно разбить на ряд подобъектов или описать упрощенной моделью. При этом используют известные методы декомпозиции сложных объектов, разделения движения объекта на медленные и быстрые движения, методы подобия, эквивалентирования и т. п. Следует отметить, что большинство технических объектов хорошо изучено и их математические модели с разной степенью детализации приведены в научно-технической литературе [4, 5].

После определения неизменяемой части объекта управления переходят к синтезу структуры и параметров устройства управления. При этом используют несколько подходов.

Первый подход базируется на задании конкретной структуры устройства управления (структуры регулятора или корректирующего устройства – в случае одноконтурной системы). Как правило, задаются типовыми регуляторами класса “вход-выход” (например, пропорционально-интегральными) или простейшими корректирующими звеньями (например, реальными пропорционально-дифференцирующими). Корректирующие звенья обычно размещают последовательно с объектом управления (в прямом канале регулирования), однако в ряде случаев хороший эффект дает установка их в канале обратной связи или на входе системы. Качество системы управления задают в виде требований к статической точности и оценок качества переходного процесса или частотных свойств САУ (см. гл. 8). Далее решается задача расчета параметров устройства управления (параметрического синтеза), удовлетворяющего требованиям к статике и динамике замкнутой САУ.

Второй подход основывается на составлении структурной схемы системы управления без задания собственно структуры регуляторов: выбирается число контуров регулирования, их соподчиненность, расположение регуляторов в структуре устройства управления и др. В основе подхода - избранные принципы управления и требования к статическим и динамическим показателям системы. В частности, при синтезе систем управления роботами часто используют кинематическую развязку движений и принцип автономного управления координатами линейных и угловых перемещений схвата манипулятора. При синтезе систем управления электроприводами доминирует принцип подчиненного регулирования координат (вложенных друг в друга контуров регулирования) и принцип последовательной коррекции динамических свойств контуров. Таким образом, при таком подходе последовательно решаются задачи структурного и параметрического синтеза регуляторов.

Третий подход основан на синтезе оптимальных САУ в смысле заданного критерия качества управления при заданных ограничениях на ресурсы управления. При таком подходе задается формальный критерий качества, например, интегральная квадратичная оценка (ИКО и решается задача его минимизации или максимизации. Результат синтеза – структура и параметры устройства управления (регулятора – в одноконтурных системах), удовлетворяющих требуемому критерию качества управления. Этот подход применяется при синтезе САУ методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР), синтезе модальных регуляторов состояния, апериодических регуляторов состояния и т. п.

Системы управления, синтезированные на основе двух первых подходов, часто называют системами со стабилизируемыми показателями качества управления. Системы управления, синтезированные на основе третьего подхода, называют системами с оптимизируемым показателем качества управления.

10.2. Типовые параметрически оптимизируемые регуляторы

(корректирующие звенья) класса “вход-выход”

В качестве регуляторов технических систем управления применяются электронные, механические, гидравлические, электропневматические и другие регуляторы с той или иной динамической характеристикой, позволяющей скорректировать динамику замкнутой САУ. Независимо от технологического назначения регуляторов (регуляторы скорости, положения рабочего органа, давления, расхода, температуры и т. п.) все они подразделяются на  2  больших класса: параметрические регуляторы класса “вход-выход” и  регуляторы состояния САУ.

В данном разделе рассматриваются типовые регуляторы 1-го класса. На функциональных схемах систем управления они обозначается в виде элементов, отражающих их переходные характеристики, на структурных схемах – в виде динамических звеньев, отражающих их передаточные функции. В качестве примера на рис. 10.1 приведена функциональная и структурная схема пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора.

Рис. 10.1. Функциональная (а) и структурная (б) схема

пропорционально-интегрального (ПИ) регулятора

Регуляторы класса “вход-выход” можно представить в виде усилительного звена - операционного усилителя (A1), с двумя комплексными сопротивлениями  Zвх  во входной цепи и Z0  в цепи  обратной связи операционного усилителя (рис. 10.2).

 

Рис. 10.2. Регулятор класса “вход-выход”     

на основе операционного усилителя

Математическую модель таких регуляторов чаще всего представляют либо в виде передаточной функции (структурной схемы), либо в виде дифференциальных уравнений (переходной функции). Входной сигнал Uвх представляет собой разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи по регулируемой координате и пропорционален ошибке регулирования. Алгебраическое суммирование этих сигналов осуществляется на инверсном входе усилителя, а, следовательно, выходной сигнал Uвых операционного усилителя будет противоположного знака.

Пренебрегая инверсией знака выходного сигнала регулятора, запишем его передаточную функцию:

. (10.1)

В качестве комплексных сопротивлений Zвх и Z0 обычно применяют различные RC – цепи, что позволяет получить регуляторы (корректирующие устройства) с различными структурами.   

В табл. 10.1 приведены принципиальные схемы, передаточные функции и переходные характеристики регуляторов класса “вход-выход” с типовыми структурами: пропорциональной (П),  интегральной (И),  дифференциальной (Д), пропорционально-интегральной (ПИ) и пропорционально-интегрально-дифференциальной (ПИД).

Помимо приведенных в табл. 10.1 регуляторов при построении систем управления применяют также пропорционально-дифференциальный (ПД) регулятор, интегрально-интегрально-пропорциональный () регулятор и др.

Передаточные функции ПИ- и ПИД-регуляторов часто представляют в виде изодромных звеньев соответственного 1-го и 2-го порядка:

(10.2)

- передаточная функция ПИ-регулятора,

где Tиз – постоянная времени изодромного звена первого порядка,

Tиз = R0C0 (см. принципиальную схему ПИ-регулятора, табл. 10.1);

 (10.3)

- передаточная функция ПИД- регулятора,

где Tиз1, Tиз2 – постоянные времени изодромного звена, Tиз1 = R0C0,

Tиз2 = RвхCвх (см. принципиальную схему ПИД-регулятора, табл. 10.1).

ПИ-регулятор в компенсационных системах управления обеспечивает компенсацию одной большой постоянной времени объекта управления, а ПИД-регулятор – двух больших постоянных времени, обеспечивая тем самым форсирование динамических процессов и улучшение динамики САУ.

Следует отметить, что на практике применяются более сложные схемы регуляторов, обеспечивающие ограничение полосы пропускания частот входного сигнала. Это осуществляется цепями внутренней или внешней коррекции частотной характеристики операционных усилителей. Реальная полоса пропускания даже пропорциональных регуляторов ограничивается сотнями Гц или единицами кГц. При этом дифференциальные регуляторы реализуют реальное дифференцирование входного сигнала, что позволяет повысить помехозащищенность системы управления.

 Таблица 10.1

Струк-тура

Принципиальная схема

регулятора

Передаточная функция

Переходная функция и переходный процесс

П

И

Д

ПИ

ПИД

Некоторые регуляторы могут содержать дополнительные цепи настройки их параметров (подстроечные резисторы), позволяющие  в некоторых  пределах подстраивать параметры контура регулирования, устанавливать допустимые уровни ограничения координат САУ, выполнять функции коррекции “дрейфа нуля” и защиты САУ при возникновении аварийных (нештатных) ситуаций.

Регуляторы включают, как правило, последовательно с объектом управления. Они призваны скорректировать динамику САУ с целью удовлетворения требованиям к ее статическим и динамическим показателям. При синтезе САУ вместо понятия “регулятор” часто применяют понятие “корректирующее устройство” (“корректирующее звено”), включаемое последовательно с объектом управления или в обратной связи по регулируемой координате.

В практических приложениях наибольшее распространение нашли корректирующие устройства, позволяющие варьировать и его полюсами, и его нулями [4]:

– реальное пропорционально-дифференцирующее звено первого порядка

, (10.4)

где a и  b – соответственно полюс и нуль передаточной функции, причем при |a| > |b| осуществляется коррекция системы с опережением по фазе, при  |b| > |a|  – коррекция системы с отставанием по фазе; проблема параметричес-кого синтеза корректирующих устройств сводится к определению параметров K, a, b;

– реальное пропорционально-дифференцирующее звено второго и более высокого порядка

, (10.5)

где aj, bi – соответственно полюса и нули корректирующего звена, выбором которых стремятся стабилизировать требуемые показатели качества скорректированной системы (m>1, n>1);

- апериодическое звено (фильтр) первого порядка

,  (10.6)

применяемое как для фильтрации сигналов измерительного тракта, так и в качестве предшествующего фильтра (фильтра на входе замкнутой системы управления) [4].

10.3. Последовательная коррекция САУ частотными методами

Качество замкнутой САУ можно оценить по ее частотным характеристикам, таким, как полоса пропускания, запас устойчивости по фазе, резонансная частота и др. Чтобы удовлетворить заданным требованиям к качеству системы в нее вводят корректирующее устройство. Для его синтеза применяют частотные характеристики в форме диаграммы Боде, диаграммы Никольса или корневой годограф [4]. При последовательной коррекции (наиболее распространенный в практических приложениях случай) предпочтительным является применение диаграммы Боде, т. к. в этом случае частотная характеристика скорректированной системы получается просто суммированием частотных характеристик исходной (нескорректированной) системы и корректирующего устройства (см. гл. 8.2.3).

Рассмотрим корректирующее устройство с передаточной функцией (10.4). Его частотную характеристику можно записать в виде

, (10.7)

где , , .

Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: K, a, b или Kку, , k.

Заметим, что коэффициент К совместно с коэффициентом передачи объекта управления определяет статическую точность системы, т. е. величину статической ошибки регулирования (см. выражения (4.6)…(4.9) и табл. 4.1).

Коэффициент k определяет кратность отношения полюса к нулю корректирующего устройства. При k >1 корректирующее устройство будет обладать опережением по фазе, при k <1  – отставанием по фазе.

10.3.1. Коррекция с опережением по фазе

 

На рис. 10.3 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 10.4 – диаграмма Боде корректирующего устройства (10.4) с опережением по фазе.  

Поскольку по модулю нуль меньше полюса асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон +20 дБ/дек в области средних частот, т.е. при . Фазовая характеристика в соответствие с (10.7) определяется уравнением

. (10.8)

Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте , определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля, т. е.

. (10.9)

 

Значение максимального фазового сдвига можно рассчитать по формуле [4]

. (10.10)

Заметим, что, чем далее отстоит полюс от нуля, т. е. чем больше k, тем больше максимальное значение фазового сдвига, однако практически одно пассивное корректирующее звено с опережением позволяет получить  не более . Это связано, прежде всего, с возможностями практической реализации таких корректирующих звеньев. На рис. 10.5 приведена схема пассивного четырехполюсника, обеспечивающего опережение по фазе. 

.

Передаточная функция такого пассивного четырехполюсника

, (10.11)

где ,  .

Заметим, что выражение (10.11) совпадает с (10.7) с точностью до коэффициента передачи. Практически реализуемое значение k находится в диапазоне 1…30, причем увеличение k, т. е. кратности отношения полюса к нулю, приводит к снижению коэффициента передачи четырехполюсника, что может потребовать установки дополнительного усилителя на выходе корректирующего устройства.

Гораздо большие возможности коррекции динамических свойств САУ предоставляют активные четырехполюсники на основе операционных усилителей в интегральном исполнении. Это связано с тем, что коэффициент передачи современных операционных усилителей в разомкнутом состоянии достигает нескольких сотен тысяч и даже миллионов, а в линейной зоне работы, т. е. в режиме масштабирующего звена, может достигать сотен-тысяч. Принципиальная схема корректирующего звена 1-го порядка, обеспечивающего практически любой коэффициент передачи, а также  реализующего либо опережение, либо отставание по фазе, приведена на рис. 10.6.

 

Рис. 10.6. Принципиальная схема

корректирующего звена 1-го порядка

на основе операционного усилителя

Передаточная функция этого корректирующего звена полностью совпадает с (10.7), т. е.

,     (10.12)

где Kку = R2 / R1, T1 = R1C1, T2 = R2C2, , k = T1 / T2 .

Как и для пассивного четырехполюсника, такое корректирующее устройство при k >1 будет обладать опережением по фазе, при k <1  – отставанием по фазе, однако в отличие от него имеется возможность выбора независимых друг от друга параметров , k и Kку, причем практически в неограниченных пределах.

 Синтез корректирующего устройства с опережением фазы выполняют в следующей последовательности.

1. Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректированной системе и вычислить необходимый коэффициент Kку корректирующего устройства.

2. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3. Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг  .

4. Вычислить параметр k по выражению (10.10).

5. Найти частоту , при которой ЛАЧХ корректирующего устройства имеет усиление 10lgk, т. е. частоту, при которой ЛАЧХ скорректированной системы имеет усиление 0 дБ (частоту среза ).

6. Вычислить значения полюса  и нуля b = a / k .

7. При использовании пассивного четырехполюсника скомпенсировать уменьшение коэффициента усиления, введя последовательно с корректирующим устройством усилительное звено с коэффициентом передачи k. 

8. Построить частотные характеристики скорректированной САУ, проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.

 Рассмотрим пример синтеза САУ с опережением по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют передаточные функции

,  (10.13)

. (10.14)

Тогда передаточная функция разомкнутой САУ

. (10.15)

Требуется, чтобы при линейном задающем воздействии X(t) относительная установившаяся динамическая ошибка составляла не более 5%, а запас по фазе составлял около 40.

В соответствие с (4.8) и табл. 4.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости

. (10.16)

Отсюда частотная передаточная функция нескорректированной САУ

. (10.17)

Фазовая характеристика нескорректированной САУ

. (10.18)

На рис. 10.7 диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена сплошной полужирной линией.

Частота среза нескорректированной САУ , а, значит, в соответствие с (10.18) фазовый сдвиг .

Рис. 10.7. Диаграмма Боде САУ при коррекции

с опережением по фазе

Таким образом, запас по фазе составляет  и требуется ввести корректирующее устройство, обеспечивающее опережение по фазе

. (10.19)

Найдем кратность отношения полюса к нулю корректирующего устройства, воспользовавшись (10.10):

, (10.20)

откуда k = 3.

Амплитудная характеристика корректирующего устройства на частоте  имеет значение 10lgk = 10lg3  4,8 дБ. Поскольку именно на столько повышается коэффициент передачи скорректированной САУ (частота , соответствующая , должна совпадать с частотой среза скорректированной САУ), то = 8,4 рад/с. Отсюда =14,5 рад/с, b = a / k = 4,85 рад/с.

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

. (10.21)

Если корректирующее устройство выполнено в виде пассивного четырехполюсника, то его коэффициент передачи необходимо увеличить в k раз.

Таким образом, передаточная функция  разомкнутой скорректированной САУ имеет вид

. (10.22)

Диаграмма Боде скорректированной САУ (штриховые полужирные линии) приведена на рис. 10.7. Фаза передаточной функции (10.22) на частоте среза

.

Тогда запас по фазе скорректированной САУ

, что отвечает исходным требованиям к САУ.

10.3.2. Коррекция с отставанием по фазе

Рассмотрим корректирующее устройство, выполненное на основе операционного усилителя (рис. 10.6) с передаточной функцией

, (10.23)

где Kку = R2 / R1, T1 = R1C1, T2 = R2C2, , k = T2 / T1, т. е. для  реализации отставания по фазе, как и для звена с опережением, должно выполняться условие: k > 1.

Его частотную характеристику можно записать в виде

, (10.24)

где , .

Таким образом, для данной структуры корректирующего устройства необходимо выбрать 3 параметра: Kку, , k.

На рис. 10.8 приведено расположение полюса и нуля на комплексной плоскости, а на рис. 10.9 – диаграмма Боде корректирующего устройства с отставанием по фазе.

Поскольку по модулю нуль больше полюса, асимптотическая ЛАЧХ имеет наклон -20 дБ/дек в области средних частот, т. е. при . Фазовая характеристика в соответствие с (10.24) определяется уравнением

. (10.25)

Отрицательный фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте , определяемой как среднегеометрическое значений полюса и нуля,

т. е.

. (10.26)

Чем больше кратность отношения нуля к полюсу, тем больше максимальный отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим устройством и больше его дестабилизирующее действие. Компенсация такого отрицательного явления, т. е. увеличение запаса по фазе, обеспечивается корректирующим устройством за счет снижения коэффициента усиления на

-20lgk. При этом происходит снижение частоты среза и, тем самым, полосы пропускания скорректированной САУ, а, значит, повышается помехозащищенность системы.

Синтез корректирующего устройства с отставанием фазы выполняют в следующей последовательности.

1. Определить требуемый коэффициент ошибки в нескорректированной системе и вычислить необходимый коэффициент Kку корректирующего устройства. Построить диаграмму Боде нескорректированной системы.

2. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе.

3. Сдвигая ЛАЧХ влево, выбрать частоту среза скорректированной САУ , на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе.

4. Выбрать частоту излома (сопрягающую частоту) , соответствующую нулю корректирующего устройства, на декаду левее  .

5. Определить, на сколько необходимо уменьшить усиление скорректированной САУ на частоте , чтобы ЛАЧХ скорректированной САУ на этой частоте имела единичный коэффициент усиления (уровень 0 дБ).

6. Вычислить параметр k, учитывая, что корректирующее устройство на частоте  вносит ослабление -20lgk.

7. Частоту излома  (сопрягающую частоту), соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на декаду левее частоты среза . Найти частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устройства, . 

8. Построить частотные характеристики скорректированной САУ, проверить полученные запасы по амплитуде и фазе.

 Рассмотрим пример синтеза САУ с отставанием по фазе. Пусть объект управления и звено обратной связи по регулируемой координате имеют передаточные функции (10.13), (10.14).

Будем полагать также, что к системе управления предъявляются те же требования, что и в предыдущем примере (относительная установившаяся динамическая ошибка – не более 5%, а запас по фазе – не менее 40).

В соответствие с (5.8) и табл. 5.1 коэффициент передачи разомкнутой САУ должен быть не менее коэффициента ошибки по скорости (), а частотная передаточная функция будет иметь вид (10.17). Диаграмма Боде нескорректированной САУ будет такой же, что и в рассмотренном выше примере. На рис. 10.10 ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной САУ представлены сплошными полужирными линиями.

Частота среза нескорректированной САУ , а значит в соответствие с (10.18) фазовый сдвиг .  Запас по фазе составляет .  Введем корректирующее устройство с передаточной функцией, обеспечивающего отставание по фазе.

Сначала определим частоту среза , обеспечивающую фазовый сдвиг ЛАЧХ , т. е. запас по фазе около . Частота среза  скорректированной САУ, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе, составит около 1,5 рад/с, а коэффициент усиления системы уменьшится на 20 дБ.

Учитывая, что корректирующее устройство на частоте  вносит ослабление -20lgk, получим 20дБ = 20lgk, откуда определим параметр k корректирующего устройства: k=10. Тогда частоты излома скорректированной ЛАЧХ, соответствующие нулю и полюсу корректирующего устройства, ,  .

ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ представлены на рис. 10.10 пунктирными кривыми, а ЛАЧХ корректирующего устройства - штрихпунктирной линией.

Таким образом, передаточная функция корректирующего устройства с опережением по фазе имеет вид

. (10.27)

Рис. 10.10. Диаграмма Боде САУ при коррекции

с отставанием по фазе

Корректирующее устройство (10.23) реализуют на основе операционного усилителя (рис. 10.6) при T2 > T1.

Таким образом, передаточная функция разомкнутой скорректированной САУ имеет вид

. (10.28)

Фаза частотной передаточной функции, соответствующей (10.28), на частоте среза 1,5 рад/c

.

Тогда запас по фазе скорректированной САУ

, что отвечает исходным требованиям к CАУ.

В отличие от САУ, имеющих коррекцию с опережением по фазе, полоса пропускания и, соответственно, быстродействие систем, имеющих коррекцию с отставанием по фазе, будет ниже, однако они менее подвержены влиянию внешних и внутренних шумов.

10.3.3. Коррекция введением интеграторов

Введение интеграторов в структуру устройства управления позволяет повысить точность системы в установившихся режимах за счет увеличения значений коэффициентов ошибок и повышения порядка астатизма САУ (см. гл. 4.2). В качестве регуляторов (корректирующих звеньев), обеспечивающих повышение статической точности САУ применяют интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ) или пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор. Структура применяемого регулятора зависит как от структуры объекта управления, так и от требований к точности САУ.

 

Рассмотрим пример коррекции САУ введением в структуру САУ последовательного с объектом корректирующего звена, содержащего интегратор. Пусть передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид

. (10.29)

Потребуем, чтобы при линейном задающем воздействии X(t) установившаяся динамическая ошибка отсутствовала, а при квадратичном во времени задающем воздействии составляла не более 2%. Потребуем также, чтобы запас по фазе составлял не менее 35.

Частотная передаточная функция нескорректированной САУ

. (10.30)

Диаграмма Боде нескорректированной САУ приведена на рис. 10.11 сплошными линиями.

В соответствие с (4.8), (4.9) и табл. 4.1 коэффициент ошибки по скорости САУ будет равен нулю, а коэффициент ошибки по ускорению будет отвечать заданной точности, если структура скорректированной разомкнутой САУ будет  содержать интегратор 2-го порядка, а коэффициент передачи разомкнутой САУ

. (10.31)

Объект управления (10.29) содержит один интегратор. Введение дополнительного интегратора (корректирующего устройства) в структуру САУ приводит к увеличению фазового запаздывания и резкому снижению запаса устойчивости. В связи с этим зададимся пропорционально-интегральной (ПИ) структурой корректирующего устройства, создающим опережение по фазе:

, (10.32)

где Kку = K2 = 50,

 Tку – постоянная времени корректирующего устройства, причем для создания опережения по фазе необходимо выбрать Tку>0,05 с.

Потребуем, чтобы скорректированн