36749

Обработка результатов косвенных измерений: классическая задача о методе наименьших квадратов

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: изучение задачи и методов обработки результатов измерений; исследование в системе Mtlb задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов. Результаты измерений показания приборов функционально связаны с параметрами вектором параметров: 3. где известные скалярные функции; ошибки измерений; входные переменные которые измеряются точно или отсутствуют.

Русский

2013-09-23

134.5 KB

10 чел.

Лабораторная работа № 3

Обработка результатов косвенных измерений:

классическая задача  о методе наименьших квадратов

3.1. Цель работы:

-  изучение задачи и методов обработки результатов измерений;

-  исследование в системе Matlab задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов.

3.2. Теоретические положения. Классическая задача о методе наименьших квадратов (МНК).

Результаты измерений (показания приборов)  функционально связаны с параметрами  вектором параметров:

,     (3.1.)

где   - известные скалярные функции;

  - ошибки измерений;

  - входные переменные, которые измеряются точно или отсутствуют.

Требуется по результатам измерений  найти оценки  неизвестных параметров .

Задача формулируется и решается с использованием векторно-матричного подхода: зависимости (3.1) записываются в векторной форме:

,         (3.2)

где ; ;;

; .

Вектор ошибок Е считается распределенным по нормальному закону: .

Требуется по результатам измерений  найти оценку  вектора параметров .

После линеаризации функции  в окрестности некоторой опорной точки получают МНК-оценку в виде

,    (3.3)

где

,         (3.4)

а ковариационная матрица оценки определяется выражением

.

3.3. Постановка задачи оценивания координат объекта по измерениям пеленгов

Из М базовых точек (позиций) с координатами  измеряются углы на объект с координатами . В результате измерений получают значения углов  (рисунок). Величины  независимы и распределены по нормальному закону , где аi – точное значение i-го угла, - дисперсия ошибок измерений углов. Координаты базовых  точек (позиций) являются известными. На рисунке показан частный случай, когда  для всех . По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта .

3.4. Алгоритм расчета МНК-оценки вектора координат объекта

Уравнение для МНК-оценки имеет вид (3.3), которое содержит результаты измерения углов Z. Соотношения (3.1) в данном случае будут

,      (3.5)

так что

.     (3.6)

В векторной форме запись (3.2) будет иметь следующие обозначения:

.

Поскольку ошибки измерений имеют одну и ту же дисперсию σ2, то ковариационная матрица вектора Е равна , где I – единичная (ММ) матрица.

В этом случае оценка (3.3) приводится к виду

,     (3.7)

где – опорная точка.

Матрица Q в соответствии с формулами (3.4), (3.6) формируется в виде

.

где

,

,

.

Таким образом, в выражении (3.7) – векторы-столбцы, Q – (М2)-матрица и QТ – (2М)-матрица.

3.5. Средства Matlab для выполнения задания

Для транспонирования матрицы применяется символ «’» (кавычка), так что А’ – это транспонированная матрица А. «+» или «–» – для сложения или вычитания матриц, «» – для умножения матриц, «/» или «\» – для деления матриц. Например, А\В означает левое деление В на А, соответствующее математическому произведению А-1В, где А-1 – обратная матрица. Запись А/В означает правое деление матрицы А на матрицу В, что соответствует произведению АВ-1.

3.6. Порядок выполнения работы

3.6.1. Выполнить статистическое компьютерное моделирование задачи, используя 10 базовых точек (М = 10), расположенных на оси абсцисс с равномерным шагом l = 10, так что

     (3.8, 3.9)

Для объекта с координатами (xc, yc) = (75, 100) вычислить 10 оценок

     (3.10)

Координаты опорной точки (x0, y0) для получения каждой МНК-оценки рассчитать по первым двум пеленгам, приняв их : 1 = 450 (0,7854 рад),         2 = 430 (0,7525 рад). Формулы для расчета координат опорной точки:

;      (3.11)

.      (3.12)

Дисперсию ошибок измерений принять σ2 = 0,001 рад.

3.6.2. В одно окно вывести графическую иллюстрацию, включающую: базовые точки (3.8, 3.9); опорную точку (3.11), (3.12); лучи пеленгов из базовых точек на объект под углами (3.5); точки оценки координат объекта (3.7), (3.10).

Лучи пеленгов можно построить следующим образом. Поскольку уравнение прямой, выходящей из точки (xi, 0) под углом i  имеет вид

,

то выбрав yl получим .

Лучи проводятся с помощью функции  plot через две точки  (xi, 0)  и    (хl, yl), то есть по векторам  и .

3.6.3. Исследовать зависимость точности оценивания: от дисперсии ошибок измерений углов σ2; от выбора опорной точки  (x0, y0), предусмотрев ее произвольный выбор; от расположения на плоскости оцениваемого объекта по отношению к базовым точкам.


y

100

80

60

40

20

x

0           20           40          60          80         100        120        140

M

1

i

C(x c, y c)

xo,yo


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4419. Эффективные способы осевого уравновешивания ротора центробежного насоса 4.3 MB
  Анализ существующих способов уравновешивания осевой силы в центробежных насосах. Оценка величины осевой силы, действующей на рабочее колесо Во время работы центробежного насоса на его ротор действует сложная система сил. В случае применения в н...
4420. Пейзаж в текстильном коллаже художников Санкт-Петербурга конца ХХ – начала ХХI века. 252 KB
  Введение. Диссертация посвящена истории возникновения текстильного коллажа, изучению творчества художников-текстильщиков Санкт-Петербурга конца ХХ – начала ХХI века, анализу методов и способов создания текстильных коллажей, а также выявлению ху...
4422. Технология производства котлет Московские мясной лавки ИП Иванов С.Г. г. Новочебоксарска Чувашской республики 251.42 KB
  Введение Мясная отрасль агропромышленного комплекса призвана снабжать население высококачественными продуктами питания: мясом, полуфабрикатами, готовыми быстрозамороженными блюдами. Кроме того, она выпускает лечебные препараты, изделия широкого потр...
4423. Факторинг как форма кредитования бизнеса в России на примере МФК ТРАСТ 878 KB
  Введение Проблема расширения рынков сбыта товаров, работ и услуг является одной из наиболее важных в современной экономике, но традиционные формы финансирования оборотного капитала не в полной мере соответствуют запросам предпринимателей. Дост...
4424. Осмотр места пожара. Методическое пособие 5.23 MB
  Рассмотрены организационные и технические вопросы осмотра места пожара с применением современных методов и технических средств, особенности осмотра и изъятия на исследование отдельных объектов. Описана техника фото- и видеосъемки места пожара. Прило...
4425. Государственная Дума РФ 164.5 KB
  Введение Правовой статус и структура Государственной Думы РФ Порядок формирования Государственной Думы РФ Полномочия Государственной Думы РФ Порядок внесения законопроектов в Государственную Думу РФ Процедура принятия федерального закона Особенности...
4426. Логистика производства Учебное пособие 1.02 MB
  Введение Логистика производства непосредственно связана с управлением материальными потоками в процессе производства материальных благ. Характерной чертой производства является его территориальная компактность. Однако объекты инфраструктуры производ...