36749

Обработка результатов косвенных измерений: классическая задача о методе наименьших квадратов

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: изучение задачи и методов обработки результатов измерений; исследование в системе Mtlb задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов. Результаты измерений показания приборов функционально связаны с параметрами вектором параметров: 3. где известные скалярные функции; ошибки измерений; входные переменные которые измеряются точно или отсутствуют.

Русский

2013-09-23

134.5 KB

10 чел.

Лабораторная работа № 3

Обработка результатов косвенных измерений:

классическая задача  о методе наименьших квадратов

3.1. Цель работы:

-  изучение задачи и методов обработки результатов измерений;

-  исследование в системе Matlab задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов.

3.2. Теоретические положения. Классическая задача о методе наименьших квадратов (МНК).

Результаты измерений (показания приборов)  функционально связаны с параметрами  вектором параметров:

,     (3.1.)

где   - известные скалярные функции;

  - ошибки измерений;

  - входные переменные, которые измеряются точно или отсутствуют.

Требуется по результатам измерений  найти оценки  неизвестных параметров .

Задача формулируется и решается с использованием векторно-матричного подхода: зависимости (3.1) записываются в векторной форме:

,         (3.2)

где ; ;;

; .

Вектор ошибок Е считается распределенным по нормальному закону: .

Требуется по результатам измерений  найти оценку  вектора параметров .

После линеаризации функции  в окрестности некоторой опорной точки получают МНК-оценку в виде

,    (3.3)

где

,         (3.4)

а ковариационная матрица оценки определяется выражением

.

3.3. Постановка задачи оценивания координат объекта по измерениям пеленгов

Из М базовых точек (позиций) с координатами  измеряются углы на объект с координатами . В результате измерений получают значения углов  (рисунок). Величины  независимы и распределены по нормальному закону , где аi – точное значение i-го угла, - дисперсия ошибок измерений углов. Координаты базовых  точек (позиций) являются известными. На рисунке показан частный случай, когда  для всех . По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта .

3.4. Алгоритм расчета МНК-оценки вектора координат объекта

Уравнение для МНК-оценки имеет вид (3.3), которое содержит результаты измерения углов Z. Соотношения (3.1) в данном случае будут

,      (3.5)

так что

.     (3.6)

В векторной форме запись (3.2) будет иметь следующие обозначения:

.

Поскольку ошибки измерений имеют одну и ту же дисперсию σ2, то ковариационная матрица вектора Е равна , где I – единичная (ММ) матрица.

В этом случае оценка (3.3) приводится к виду

,     (3.7)

где – опорная точка.

Матрица Q в соответствии с формулами (3.4), (3.6) формируется в виде

.

где

,

,

.

Таким образом, в выражении (3.7) – векторы-столбцы, Q – (М2)-матрица и QТ – (2М)-матрица.

3.5. Средства Matlab для выполнения задания

Для транспонирования матрицы применяется символ «’» (кавычка), так что А’ – это транспонированная матрица А. «+» или «–» – для сложения или вычитания матриц, «» – для умножения матриц, «/» или «\» – для деления матриц. Например, А\В означает левое деление В на А, соответствующее математическому произведению А-1В, где А-1 – обратная матрица. Запись А/В означает правое деление матрицы А на матрицу В, что соответствует произведению АВ-1.

3.6. Порядок выполнения работы

3.6.1. Выполнить статистическое компьютерное моделирование задачи, используя 10 базовых точек (М = 10), расположенных на оси абсцисс с равномерным шагом l = 10, так что

     (3.8, 3.9)

Для объекта с координатами (xc, yc) = (75, 100) вычислить 10 оценок

     (3.10)

Координаты опорной точки (x0, y0) для получения каждой МНК-оценки рассчитать по первым двум пеленгам, приняв их : 1 = 450 (0,7854 рад),         2 = 430 (0,7525 рад). Формулы для расчета координат опорной точки:

;      (3.11)

.      (3.12)

Дисперсию ошибок измерений принять σ2 = 0,001 рад.

3.6.2. В одно окно вывести графическую иллюстрацию, включающую: базовые точки (3.8, 3.9); опорную точку (3.11), (3.12); лучи пеленгов из базовых точек на объект под углами (3.5); точки оценки координат объекта (3.7), (3.10).

Лучи пеленгов можно построить следующим образом. Поскольку уравнение прямой, выходящей из точки (xi, 0) под углом i  имеет вид

,

то выбрав yl получим .

Лучи проводятся с помощью функции  plot через две точки  (xi, 0)  и    (хl, yl), то есть по векторам  и .

3.6.3. Исследовать зависимость точности оценивания: от дисперсии ошибок измерений углов σ2; от выбора опорной точки  (x0, y0), предусмотрев ее произвольный выбор; от расположения на плоскости оцениваемого объекта по отношению к базовым точкам.


y

100

80

60

40

20

x

0           20           40          60          80         100        120        140

M

1

i

C(x c, y c)

xo,yo


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79910. Козацькі розваги 47.5 KB
  Добрий день вам, друзі щирі! Хай живеться вам у мирі. Не минайте нашу хату, Бо у нас сьогодні свято. Сьогодні, гадаєм, якраз буде вчасно, Щоб був у вас дійсно чудовий настрій, Упоравшись з ділом, хіба вам не варто Зустрітися з силою, піснею, жартом.
79911. Козацькі розваги. Свято 59 KB
  Хай буде доля на все роздолля А до того літ пребагато На добро і згоду Хай не буде переводу козацькому роду Козаки були вільні і безстрашні люди. Часом козаки віддавали перевагу смерті ніж ганебному рабству.
79912. Розваги вдома 144.5 KB
  Сьогодні ми познайомимось з тим як можна розважатися вдома чим можна гратися а від чого треба знаходитися подалі. Всі ці знання вам необхідні для того щоб ігри і розваги вдома приносили лише радість задоволення а не були причиною травм пожеж і біди.
79913. Сценарій виступу агітбригади юних інспекторів руху 44.5 KB
  Мета: пропаганда вивчення правил дорожнього руху, засудження безвідповідального ставлення до свого життя та життя інших людей, просвітницька діяльність серед дітей та молоді, попередження ДТП. Обладнання: костюми світлофорів, шлагбаум, автомобіль, костюм інспектора ДАІ, дорожні знаки.
79914. УСНИЙ ЖУРНАЛ «ДВАДЦЯТИЛІТНІЙ ШЛЯХ НА ГОЛГОФУ» 112.5 KB
  Мета: ознайомити учнів із життєвим шляхом поета світового рівня, борця за справедливість; навчати розумінню, що таке добро і зло, в чому сенс людського життя, щастя; переконати, що правдиве слово митця будило совість нації; формувати високі моральні якості; виховувати національну гідність і свідомість.
79915. Виховна година «Хто вам сказав, що я слабка...» 161 KB
  Викладач Ні я жива Я буду вічно жити Я в серці маю те що не вмирає Так писала відома українська поетеса Леся Петрівна Косач. На шлях я вийшла ранньою весною І тихий спів несмілий заспівала Леся Українка пройшла великий шлях перемоги духу над стражданням тіла і проявами буденності життя.
79916. Счастливый случай 1.84 MB
  Все вопросы заданы скорее в шутку. Однако даже самые трудные из этих вопросов все равно предназначены для забавы. Участники быстро отвечают на вопросы. Вы слушайте вопросы Ни пуха ни пера Любой предмет в физике.
79917. Рідна школа, рідна сім’я – тут зростає доля моя… 473 KB
  Посібник містить тести для батьків, які допомагають діагностувати проблеми сімей, виявити характер стосунків, взаєморозуміння між членами родини, дає практичні рекомендації щодо підготовки дитини до школи, кращої її адаптації.
79918. Сценарій виховного заходу «Школа – країна дивовижних мрій» 67 KB
  У школі сьогодні свято Зібралось гостей багато. Розмова дітей А моя мама вчилася в нашій школі. І моя мама працює у нашій школі вчителем. А мій тато шахтар а мій водій а мій програміст Вчитель: Діти тихо тихо Так і є багато ваших батьків вчилися в нашій школі а тепер вони стали дорослі стали батьками...