36749

Обработка результатов косвенных измерений: классическая задача о методе наименьших квадратов

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: изучение задачи и методов обработки результатов измерений; исследование в системе Mtlb задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов. Результаты измерений показания приборов функционально связаны с параметрами вектором параметров: 3. где известные скалярные функции; ошибки измерений; входные переменные которые измеряются точно или отсутствуют.

Русский

2013-09-23

134.5 KB

10 чел.

Лабораторная работа № 3

Обработка результатов косвенных измерений:

классическая задача  о методе наименьших квадратов

3.1. Цель работы:

-  изучение задачи и методов обработки результатов измерений;

-  исследование в системе Matlab задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов.

3.2. Теоретические положения. Классическая задача о методе наименьших квадратов (МНК).

Результаты измерений (показания приборов)  функционально связаны с параметрами  вектором параметров:

,     (3.1.)

где   - известные скалярные функции;

  - ошибки измерений;

  - входные переменные, которые измеряются точно или отсутствуют.

Требуется по результатам измерений  найти оценки  неизвестных параметров .

Задача формулируется и решается с использованием векторно-матричного подхода: зависимости (3.1) записываются в векторной форме:

,         (3.2)

где ; ;;

; .

Вектор ошибок Е считается распределенным по нормальному закону: .

Требуется по результатам измерений  найти оценку  вектора параметров .

После линеаризации функции  в окрестности некоторой опорной точки получают МНК-оценку в виде

,    (3.3)

где

,         (3.4)

а ковариационная матрица оценки определяется выражением

.

3.3. Постановка задачи оценивания координат объекта по измерениям пеленгов

Из М базовых точек (позиций) с координатами  измеряются углы на объект с координатами . В результате измерений получают значения углов  (рисунок). Величины  независимы и распределены по нормальному закону , где аi – точное значение i-го угла, - дисперсия ошибок измерений углов. Координаты базовых  точек (позиций) являются известными. На рисунке показан частный случай, когда  для всех . По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта .

3.4. Алгоритм расчета МНК-оценки вектора координат объекта

Уравнение для МНК-оценки имеет вид (3.3), которое содержит результаты измерения углов Z. Соотношения (3.1) в данном случае будут

,      (3.5)

так что

.     (3.6)

В векторной форме запись (3.2) будет иметь следующие обозначения:

.

Поскольку ошибки измерений имеют одну и ту же дисперсию σ2, то ковариационная матрица вектора Е равна , где I – единичная (ММ) матрица.

В этом случае оценка (3.3) приводится к виду

,     (3.7)

где – опорная точка.

Матрица Q в соответствии с формулами (3.4), (3.6) формируется в виде

.

где

,

,

.

Таким образом, в выражении (3.7) – векторы-столбцы, Q – (М2)-матрица и QТ – (2М)-матрица.

3.5. Средства Matlab для выполнения задания

Для транспонирования матрицы применяется символ «’» (кавычка), так что А’ – это транспонированная матрица А. «+» или «–» – для сложения или вычитания матриц, «» – для умножения матриц, «/» или «\» – для деления матриц. Например, А\В означает левое деление В на А, соответствующее математическому произведению А-1В, где А-1 – обратная матрица. Запись А/В означает правое деление матрицы А на матрицу В, что соответствует произведению АВ-1.

3.6. Порядок выполнения работы

3.6.1. Выполнить статистическое компьютерное моделирование задачи, используя 10 базовых точек (М = 10), расположенных на оси абсцисс с равномерным шагом l = 10, так что

     (3.8, 3.9)

Для объекта с координатами (xc, yc) = (75, 100) вычислить 10 оценок

     (3.10)

Координаты опорной точки (x0, y0) для получения каждой МНК-оценки рассчитать по первым двум пеленгам, приняв их : 1 = 450 (0,7854 рад),         2 = 430 (0,7525 рад). Формулы для расчета координат опорной точки:

;      (3.11)

.      (3.12)

Дисперсию ошибок измерений принять σ2 = 0,001 рад.

3.6.2. В одно окно вывести графическую иллюстрацию, включающую: базовые точки (3.8, 3.9); опорную точку (3.11), (3.12); лучи пеленгов из базовых точек на объект под углами (3.5); точки оценки координат объекта (3.7), (3.10).

Лучи пеленгов можно построить следующим образом. Поскольку уравнение прямой, выходящей из точки (xi, 0) под углом i  имеет вид

,

то выбрав yl получим .

Лучи проводятся с помощью функции  plot через две точки  (xi, 0)  и    (хl, yl), то есть по векторам  и .

3.6.3. Исследовать зависимость точности оценивания: от дисперсии ошибок измерений углов σ2; от выбора опорной точки  (x0, y0), предусмотрев ее произвольный выбор; от расположения на плоскости оцениваемого объекта по отношению к базовым точкам.


y

100

80

60

40

20

x

0           20           40          60          80         100        120        140

M

1

i

C(x c, y c)

xo,yo


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45768. Платон. Парменид 35.5 KB
  Однако следует принять во внимание тот факт что между логикой гипотез Платона и структурой логики Гегеля в движении идеи от бытия до понятия существует полное совпадение http: www. Первая гипотеза 137с 142а говорит о том что исходной категорией логики является всеобщее единое субстанция или бытие по Гегелю которое только по форме абстрактно бессодержательно. Вторая гипотеза 142b – 157а – это уже начало движения самой логики которая развёртывается из единого содержащего в снятом виде и субъект и все его предикаты....
45769. Розанов. Апокалипсис нашего времени 25 KB
  Две темы: христианство и пол половой вопрос. В человеке еситнечто принадлежащее полу. О человеке нельзя ничего сказать не ограничиваясь его полом. Человек наиболее характерен в сысле разделенности на пол.
45770. Ж.-П. Сартр. «Бытие и ничто» 33 KB
  Бытие и ничто В поисках бытия.2 Бытиедлясебя Ч. 4 обладание действие и бытие основное философское произведение Сартра развернуто и целостно излагающее и обосновывающее фундаментальные онтологические положения и методологические принципы его атеистического экзистенциализма проясняющее его предельные метафизические предпосылки и закладывающее основы сартровского метода экзистенциального психоанализа впоследствии оформившегося как метод биографического анализа. Построение трактата подчинено поиску в опыте эйдетической рефлексии ответов на...
45771. Часть первая. Добро в человеческой природе 73.5 KB
  Добро в человеческой природе Корень нравственности Соловьев усматривает в чувстве стыда. Другими основами нравственной жизни Соловьев называет жалость и благоговение. Разбирая понятие жалости Соловьев находит его источник в органической связи всех существ и альтруизме. Отсюда первобытной формой религии Соловьев считает культ умерших.
45772. Фейербах. Учение о психогенезисе религиозных миросозерцаний 31.5 KB
  Это учение навеяно отчасти Речами о религииШлейермахера. в понимании психологического и исторического происхождения религии. Тем не менее историческое значение религии было огромное так как она воплощала в себе лучшие идеи и чувства человечества объединяя в древнейший период все сферы знания искусства и практической деятельности. По Фейербаху её роль сыграна: мы познали научным путём ту метафизическую иллюзию которая лежит в основе религиозного творчества; секрет религиозных явлений отгадан идейная сторона религии утрачивает свой rison...
45773. Фейерабенд. Против метода и Наука в свободном обществе 26 KB
  Согласно его точке зрения наука выиграла бы больше всего от некоторой дозы анархизма в научной теории. Он также считал что анархизм в теории желателен потому что это более гуманистический подход чем другие научные системы поскольку он не навязывает учёным жёстких правил. Он указывает что настаивание на том чтобы новые теории последовательно продолжали старые теории даёт необоснованные преимущества старым теориям и что последовательность по отношению к старым теориям не приводит к тому что новая теория лучше описывает...
45774. Франк. Духовные основы общества 29 KB
  Существование бытия вне нас и бытия внутри нас в нашем сознании подтверждается тем что мы внутри бытия. Первичное очевидное бытие в бытии непосредственное проявление и самораскрытие бытия как такового которым мы онтологически обладаем как непосредственным переживанием. Все незнание все сознание все понятия это уже вторичная произвольная форма освоения бытия которая претворяет бытие в идеальную норму; Мы в нашем бытии и через него непосредственно связаны с бытием как таковым существуем в нем и обладаем им совершенно...
45775. Г. Фреге. «О смысле и значении» 36.5 KB
  Фреге в своей статье О смысле и значении 1892 противопоставил смысл нем. Если значение денотат это сам обозначаемый предмет то смысл это информация о предмете сигнификат или десигнат. Например выражения Вечерняя звезда и Утренняя звезда имеют одно и то же значение но отнюдь не одинаковый смысл. Вместе с тем смысл не есть представление поскольку несет в себе не просто субъективный образ предмета но некоторую общезначимую информацию[3].