36749

Обработка результатов косвенных измерений: классическая задача о методе наименьших квадратов

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: изучение задачи и методов обработки результатов измерений; исследование в системе Mtlb задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов. Результаты измерений показания приборов функционально связаны с параметрами вектором параметров: 3. где известные скалярные функции; ошибки измерений; входные переменные которые измеряются точно или отсутствуют.

Русский

2013-09-23

134.5 KB

10 чел.

Лабораторная работа № 3

Обработка результатов косвенных измерений:

классическая задача  о методе наименьших квадратов

3.1. Цель работы:

-  изучение задачи и методов обработки результатов измерений;

-  исследование в системе Matlab задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов.

3.2. Теоретические положения. Классическая задача о методе наименьших квадратов (МНК).

Результаты измерений (показания приборов)  функционально связаны с параметрами  вектором параметров:

,     (3.1.)

где   - известные скалярные функции;

  - ошибки измерений;

  - входные переменные, которые измеряются точно или отсутствуют.

Требуется по результатам измерений  найти оценки  неизвестных параметров .

Задача формулируется и решается с использованием векторно-матричного подхода: зависимости (3.1) записываются в векторной форме:

,         (3.2)

где ; ;;

; .

Вектор ошибок Е считается распределенным по нормальному закону: .

Требуется по результатам измерений  найти оценку  вектора параметров .

После линеаризации функции  в окрестности некоторой опорной точки получают МНК-оценку в виде

,    (3.3)

где

,         (3.4)

а ковариационная матрица оценки определяется выражением

.

3.3. Постановка задачи оценивания координат объекта по измерениям пеленгов

Из М базовых точек (позиций) с координатами  измеряются углы на объект с координатами . В результате измерений получают значения углов  (рисунок). Величины  независимы и распределены по нормальному закону , где аi – точное значение i-го угла, - дисперсия ошибок измерений углов. Координаты базовых  точек (позиций) являются известными. На рисунке показан частный случай, когда  для всех . По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта .

3.4. Алгоритм расчета МНК-оценки вектора координат объекта

Уравнение для МНК-оценки имеет вид (3.3), которое содержит результаты измерения углов Z. Соотношения (3.1) в данном случае будут

,      (3.5)

так что

.     (3.6)

В векторной форме запись (3.2) будет иметь следующие обозначения:

.

Поскольку ошибки измерений имеют одну и ту же дисперсию σ2, то ковариационная матрица вектора Е равна , где I – единичная (ММ) матрица.

В этом случае оценка (3.3) приводится к виду

,     (3.7)

где – опорная точка.

Матрица Q в соответствии с формулами (3.4), (3.6) формируется в виде

.

где

,

,

.

Таким образом, в выражении (3.7) – векторы-столбцы, Q – (М2)-матрица и QТ – (2М)-матрица.

3.5. Средства Matlab для выполнения задания

Для транспонирования матрицы применяется символ «’» (кавычка), так что А’ – это транспонированная матрица А. «+» или «–» – для сложения или вычитания матриц, «» – для умножения матриц, «/» или «\» – для деления матриц. Например, А\В означает левое деление В на А, соответствующее математическому произведению А-1В, где А-1 – обратная матрица. Запись А/В означает правое деление матрицы А на матрицу В, что соответствует произведению АВ-1.

3.6. Порядок выполнения работы

3.6.1. Выполнить статистическое компьютерное моделирование задачи, используя 10 базовых точек (М = 10), расположенных на оси абсцисс с равномерным шагом l = 10, так что

     (3.8, 3.9)

Для объекта с координатами (xc, yc) = (75, 100) вычислить 10 оценок

     (3.10)

Координаты опорной точки (x0, y0) для получения каждой МНК-оценки рассчитать по первым двум пеленгам, приняв их : 1 = 450 (0,7854 рад),         2 = 430 (0,7525 рад). Формулы для расчета координат опорной точки:

;      (3.11)

.      (3.12)

Дисперсию ошибок измерений принять σ2 = 0,001 рад.

3.6.2. В одно окно вывести графическую иллюстрацию, включающую: базовые точки (3.8, 3.9); опорную точку (3.11), (3.12); лучи пеленгов из базовых точек на объект под углами (3.5); точки оценки координат объекта (3.7), (3.10).

Лучи пеленгов можно построить следующим образом. Поскольку уравнение прямой, выходящей из точки (xi, 0) под углом i  имеет вид

,

то выбрав yl получим .

Лучи проводятся с помощью функции  plot через две точки  (xi, 0)  и    (хl, yl), то есть по векторам  и .

3.6.3. Исследовать зависимость точности оценивания: от дисперсии ошибок измерений углов σ2; от выбора опорной точки  (x0, y0), предусмотрев ее произвольный выбор; от расположения на плоскости оцениваемого объекта по отношению к базовым точкам.


y

100

80

60

40

20

x

0           20           40          60          80         100        120        140

M

1

i

C(x c, y c)

xo,yo


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31747. Сегментарна структура ринку фінансових послуг 133.5 KB
  Сегментарна структура ринку фінансових послуг 1. Методологічні підходи до вирішення проблеми структуризації ринку фінансових послуг 2. Методи структуризації ринку фінансових послуг 3. Поняття сегментації ринку фінансових послуг 4.
31748. ФІНАНСОВІ ПОСЛУГИ НА ГРОШОВОМУ РИНКУ 97.5 KB
  Організація та особливості функціонування депозитного ринку Залучення коштів вкладників та інших кредиторів – це основний вид пасивних операцій банків. Максимальний розмір залучених коштів залежить від власного капіталу банків. Поточні пасиви формуються залишками коштів на розрахункових поточних і кореспондентських рахунках. Операції пов'язані із залученням грошових коштів на вклади називаються депозитними.
31749. ФІНАНСОВІ ПОСЛУГИ НА ВАЛЮТНОМУ РИНКУ 137.5 KB
  Конверсійні операції це угоди агентів валютного ринку щодо обміну обумовлених сум грошової одиниці однієї країни на валюту іншої країни за узгодженим курсом на певну дату. Споткурс курс спот ціна валюти однієї країни виражена у валюті іншої країни. spot готівкова є угодою купівліпродажу валюти за курсом зафіксованим в угоді відповідно до якої обмін валют між банкамиконтрагентами проводиться як правило протягом 2х робочих днів не враховуючи дня укладення угоди. Валютний курс і котировки Поточним конверсійним операціям...
31750. ФІНАНСОВІ ПОСЛУГИ НА РИНКУ ПОЗИК 113.5 KB
  Пряма чи опосередкована участь банку у капіталі будьякого підприємства установи не повинна перевищувати 15 відсотків капіталу банку. Сукупні інвестиції банку не повинні перевищувати 60 відсотків розміру капіталу банку. Це обмеження не застосовується у разі якщо: 1 акції та інші цінні папери придбані банком у зв'язку з реалізацією права заставодержателя і банк не утримує їх більше одного року; 2 банком з метою створення фінансової холдингової групи придбані акції емітентом яких є інший банк; 3 цінні папери знаходяться у власності...
31751. ФІНАНСОВІ ПОСЛУГИ НА ФОНДОВОМУ РИНКУ 66 KB
  Саморегулівна організація професійних учасників фондового ринку неприбуткове об’єднання учасників фондового ринку що провадять професійну діяльність на фондовому ринку з торгівлі цінними паперами управління активами інституційних інвесторів депозитарну діяльність діяльність реєстраторів та зберігачів утворене відповідно до критеріїв та вимог установлених Державною комісією з цінних паперів та фондового ринку. Професійна діяльність на фондовому ринку діяльність юридичних осіб з надання фінансових та інших послуг у сфері розміщення та...
31752. ФІНАНСОВІ ПОСЛУГИ З перейняття РИЗИКУ 119.5 KB
  ФІНАНСОВІ ПОСЛУГИ З перейняття РИЗИКУ 1. Ймовірніснопсихологічні аспекти проблеми ризику в економіці 2. Місце валютних ризиків в системі комерційних ризиків. Підходи до вибору стратегії захисту від валютних ризиків 3.
31753. ІНФРАСТРУКТУРА РИНКУ ФІНАНСОВИХ ПОСЛУГ 108.5 KB
  ІНФРАСТРУКТУРА РИНКУ ФІНАНСОВИХ ПОСЛУГ 1. Поняття та елементи ринкової інфраструктури ринку фінансових послуг 2. Розміщення інфраструктури фінансового ринку: аналітичний аспект 3. Сегментний аналіз розвитку ринку фінансових послуг 4.
31754. ДЕРЖАВНЕ РЕГУЛЮВАННЯ ОСНОВНИХ СЕГМЕНТІВ 107 KB
  ДЕРЖАВНЕ РЕГУЛЮВАННЯ ОСНОВНИХ СЕГМЕНТІВ РИНКУ ФІНАНСОВИХ ПОСЛУГ 1. Необхідність державного регулювання ринку фінансових послуг на етапі становлення його функціональної системи 2. Національний банк як орган державного регулювання ринку фінансових послуг 3. Методи регулювання банківської діяльності 4.