36749

Обработка результатов косвенных измерений: классическая задача о методе наименьших квадратов

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Цель работы: изучение задачи и методов обработки результатов измерений; исследование в системе Mtlb задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов. Результаты измерений показания приборов функционально связаны с параметрами вектором параметров: 3. где известные скалярные функции; ошибки измерений; входные переменные которые измеряются точно или отсутствуют.

Русский

2013-09-23

134.5 KB

10 чел.

Лабораторная работа № 3

Обработка результатов косвенных измерений:

классическая задача  о методе наименьших квадратов

3.1. Цель работы:

-  изучение задачи и методов обработки результатов измерений;

-  исследование в системе Matlab задачи оценивания местоположения объекта по измерениям пеленгов.

3.2. Теоретические положения. Классическая задача о методе наименьших квадратов (МНК).

Результаты измерений (показания приборов)  функционально связаны с параметрами  вектором параметров:

,     (3.1.)

где   - известные скалярные функции;

  - ошибки измерений;

  - входные переменные, которые измеряются точно или отсутствуют.

Требуется по результатам измерений  найти оценки  неизвестных параметров .

Задача формулируется и решается с использованием векторно-матричного подхода: зависимости (3.1) записываются в векторной форме:

,         (3.2)

где ; ;;

; .

Вектор ошибок Е считается распределенным по нормальному закону: .

Требуется по результатам измерений  найти оценку  вектора параметров .

После линеаризации функции  в окрестности некоторой опорной точки получают МНК-оценку в виде

,    (3.3)

где

,         (3.4)

а ковариационная матрица оценки определяется выражением

.

3.3. Постановка задачи оценивания координат объекта по измерениям пеленгов

Из М базовых точек (позиций) с координатами  измеряются углы на объект с координатами . В результате измерений получают значения углов  (рисунок). Величины  независимы и распределены по нормальному закону , где аi – точное значение i-го угла, - дисперсия ошибок измерений углов. Координаты базовых  точек (позиций) являются известными. На рисунке показан частный случай, когда  для всех . По имеющимся измерениям необходимо оценить вектор координат объекта .

3.4. Алгоритм расчета МНК-оценки вектора координат объекта

Уравнение для МНК-оценки имеет вид (3.3), которое содержит результаты измерения углов Z. Соотношения (3.1) в данном случае будут

,      (3.5)

так что

.     (3.6)

В векторной форме запись (3.2) будет иметь следующие обозначения:

.

Поскольку ошибки измерений имеют одну и ту же дисперсию σ2, то ковариационная матрица вектора Е равна , где I – единичная (ММ) матрица.

В этом случае оценка (3.3) приводится к виду

,     (3.7)

где – опорная точка.

Матрица Q в соответствии с формулами (3.4), (3.6) формируется в виде

.

где

,

,

.

Таким образом, в выражении (3.7) – векторы-столбцы, Q – (М2)-матрица и QТ – (2М)-матрица.

3.5. Средства Matlab для выполнения задания

Для транспонирования матрицы применяется символ «’» (кавычка), так что А’ – это транспонированная матрица А. «+» или «–» – для сложения или вычитания матриц, «» – для умножения матриц, «/» или «\» – для деления матриц. Например, А\В означает левое деление В на А, соответствующее математическому произведению А-1В, где А-1 – обратная матрица. Запись А/В означает правое деление матрицы А на матрицу В, что соответствует произведению АВ-1.

3.6. Порядок выполнения работы

3.6.1. Выполнить статистическое компьютерное моделирование задачи, используя 10 базовых точек (М = 10), расположенных на оси абсцисс с равномерным шагом l = 10, так что

     (3.8, 3.9)

Для объекта с координатами (xc, yc) = (75, 100) вычислить 10 оценок

     (3.10)

Координаты опорной точки (x0, y0) для получения каждой МНК-оценки рассчитать по первым двум пеленгам, приняв их : 1 = 450 (0,7854 рад),         2 = 430 (0,7525 рад). Формулы для расчета координат опорной точки:

;      (3.11)

.      (3.12)

Дисперсию ошибок измерений принять σ2 = 0,001 рад.

3.6.2. В одно окно вывести графическую иллюстрацию, включающую: базовые точки (3.8, 3.9); опорную точку (3.11), (3.12); лучи пеленгов из базовых точек на объект под углами (3.5); точки оценки координат объекта (3.7), (3.10).

Лучи пеленгов можно построить следующим образом. Поскольку уравнение прямой, выходящей из точки (xi, 0) под углом i  имеет вид

,

то выбрав yl получим .

Лучи проводятся с помощью функции  plot через две точки  (xi, 0)  и    (хl, yl), то есть по векторам  и .

3.6.3. Исследовать зависимость точности оценивания: от дисперсии ошибок измерений углов σ2; от выбора опорной точки  (x0, y0), предусмотрев ее произвольный выбор; от расположения на плоскости оцениваемого объекта по отношению к базовым точкам.


y

100

80

60

40

20

x

0           20           40          60          80         100        120        140

M

1

i

C(x c, y c)

xo,yo


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65681. ЛАНДШАФТНО-ГЕОГРАФІЧНІ ТА ЕКОЛОГІЧНІ ФАКТОРИ ДИФЕРЕНЦІАЦІЇ ПРИБЕРЕЖНО-МОРСЬКИХ ТЕРИТОРІЙ І АКВАТОРІЙ УКРАЇНИ 159.5 KB
  Актуальність теми обумовлена наростаючою потребою народногосподарського освоєння прибережноморських геосистем ПМГ України. Уперше на регіональному рівні виділені прибережноморські території і акваторії України як ПМГ які включають орогідрографічні системи суші системи шельфу з похованими палеорічковими долинами...
65682. МІФОТВОРЧІСТЬ СУЧАСНИХ МУСУЛЬМАНСЬКИХ ЕЛІТ ЯК СОЦІАЛЬНА ДІЯ 137 KB
  Внаслідок цього виникає необхідність філософського осмислення найважливіших суспільних процесів що відбуваються в сучасному мусульманському світі зокрема соціальної міфотворчості. За подібних обставин стає можливим підштовхування народних мас мобілізованих за допомогою міфотворчості до конфронтації...
65683. Гігієнічна оцінка процесів формування особливостей особистості студентів медичних вищих навчальних закладів та шляхи їх корекції 394.5 KB
  У цьому контексті надзвичайно важливим слід вважати наукове обґрунтування підходів до збереження і зміцнення здоров’я студентської молоді що засвоюють медичні спеціальності в умовах навчання у ВНЗ визначення закономірностей формування соціально і професійнозначущих особливостей особистості студентів...
65684. НАУКОВІ ОСНОВИ КОРОЗІЙНОГО МОНІТОРИНГУ І ПРОГНОЗУВАННЯ ЗАЛИШКОВОГО РЕСУРСУ ОБЛАДНАННЯ ХІМІЧНОЇ ТА НАФТОПЕРЕРОБНОЇ ПРОМИСЛОВОСТІ 18.14 MB
  Для виробництва обладнання і апаратури нафтопереробної та хімічної промисловості використовують низку сталей які експлуатуються у різних технологічних середовищах за різних температур тисків що часто змінюються навіть на різних ділянках одного апарата.
65685. АКТОПРОТЕКТОРНІ ВЛАСТИВОСТІ НОВИХ ПОХІДНИХ 4-ОКСО(АМІНО-)ХІНАЗОЛІНУ (ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ) 624.5 KB
  Оцінити актопротекторну дію на щурів сполуки лідера в умовах гіпокінезії за показниками плавальної проби бігу у третбані тесту із статичним навантаженням емоційно-поведінкових реакцій у відкритому полі та динамікою морфологічної картини внутрішніх органів та м'язів.
65686. Механізм банківського мікрокредитування малого підприємництва в Україні 279.5 KB
  У вітчизняній економічній літературі науковотеоретичному обґрунтування суті й об’єктивної необхідності розвитку малого підприємництва та мікрокредитування присвячені праці О. Однак проблема фінансового забезпечення малого підприємництва за допомогою мікрокредитування у вітчизняній літературі...
65687. ПОВЕДІНКА СПОЖИВАЧА В СИСТЕМІ УПРАВЛІННЯ КОНКУРЕНТНОЮ СТРАТЕГІЄЮ ПІДПРИЄМСТВА 207.5 KB
  Вирішення питання удосконалення конкурентної стратегії підприємства з урахуванням поведінки споживача є актуальним для всіх складових елементів його системи управління. З огляду на це необхідним є забезпечення інтеграції особливостей поведінки споживача до розробки системи стратегічного управління...
65688. КАТЕГОРІЙНА СЕМАНТИКА КРАТНОСТІ В СИСТЕМІ МОВИ ТА ХУДОЖНЬОМУ ТЕКСТІ 164 KB
  На жаль українське мовознавство тривалий час стояло осторонь опрацювання цієї проблеми тому багато питань вже розв’язаних для багатьох інших слов’янських мов в україністиці ще перебувають у стадії дослідження. При цьому кратність тлумачать як аспектуальне значення що характеризує дієслова...
65689. ОПТИМІЗАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ДІАГНОСТИКИ ДОБРОЯКІСНИХ ПУХЛИН ТА ПУХЛИНОПОДІБНИХ УТВОРЕНЬ ЯЄЧНИКІВ 266 KB
  Для досягнення мети поставлені такі задачі: Дати клінічну характеристику пацієнток із доброякісними новоутвореннями яєчників та оцінити діагностичну чутливість та специфічність ультразвукових методів трансабдомінальна трансвагінальна сонографія та допплерометрія...