36775

Определение момента инерции махового колеса методом колебаний

Лабораторная работа

Физика

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями

Русский

2013-09-23

161.5 KB

257 чел.

Московский государственный университет

путей сообщения РФ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

Институт, группа       ИСУТЭ, АТС-141              К работе допущен____________________

                       (Дата, подпись преподавателя)

Студент                                  Бакин М.Е.                Работа выполнена____________________

                                     (ФИО студента)                   (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель                   Некрасов В.В.              Отчёт принят________________________                          (Дата, подпись преподавателя)

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №______6_______

        Определение момента инерции махового колеса методом колебаний      

(Название лабораторной работы)

_____________________________________________________________________________________________

  1.  Цель работы:

Ознакомление с методом измерения моментов инерции тел, обладающих осевой                       

симметрией                                                                                                                                       

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                              

2. Принципиальная схема установки (или её главных узлов):

   Рисунок 1- Принципиальная схема установки для измерения инерции махового колеса

3. Основные теоретические положения к данной работе (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Момент инерции тела I относительно некоторой оси является мерой инертности тела при вращении его вокруг этой оси. Для материальной точки момент инерции равен произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I  mr2,

а для тела, которое можно представить в виде системы большого количества материальных точек (рис. 6.1.а), момент инерции относительно некоторой оси вращения равен сумме произведений масс всех материальных точек на квадраты их расстояний до этой оси:

Рис.2 I  .

       ri          mi                        r         dm            О        a         

                                                                                                    О

                                                              M                         

                                                                         О   I                  I0

а)                                      б)                                    в)      О

Для вычисления момента инерции сплошного тела его мысленно разбивают на бесконечное малые области с массами dm,  каждая из которых находится на своём расстоянии r от оси вращения (рис.2б).

Понятно, что момент инерции зависит не только от общей массы тела, но и от формы тела, а также – от распределения массы по его объёму (так, например, какие-то части тела могут быть изготовлены из более тяжёлого материала, а какие-то – из более лёгкого).

Ось вращения может проходить через центр масс тела, а может и находиться вне его (рис.2в).

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями:

                                       

                                               I = I0 + ma2.                                                (1)

В работе определяется момент инерции махового колеса К, ось симметрии которого параллельна поверхности земли. Колесо находится в состоянии безразличного равновесия, но после крепления к нему добавочного груза Г (рис. 1), колесо может колебаться относительно горизонтальной оси.

Маховое колесо начинает совершать колебания за счет сообщенной ему извне энергии. Добавочный груз Г, поднятый на высоту h относительно положения равновесия, обладает потенциальной энергией mgh (см. рис.3).

Рис.3

При прохождении системой (К и Г) положения равновесия потенциальная энергия груза Г преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения махового колеса К и добавочного груза Г. Таким образом,

                                                       mgh = ,                                                              (2)

где Iобщ сумма моментов инерции махового колеса I и добавочного груза IГ    

                относительно горизонтальной оси О, проходящий через центр махового колеса  

                вдоль стержня:

      

                                                       Iобщ  I  IГ,                                                                    (3)

где m  масса добавочного груза;

 g  ускорение силы тяжести;

 h  высота, на которую поднимается груз;

 макс  угловая скорость махового колеса с грузом при прохождении системой  

        положения равновесия.

Как следует из формул (2) и (3), для нахождения момента инерции махового колеса I нужно знать макс, т, h и IГ. Угловая скорость макс определяется из уравнения (2) после установления характера зависимости от времени t. Максимальное значение угловой скорости (по модулю) в момент прохождения системой положения равновесия равно:

                                                  макс  0.                                                            (4)

Высоту h поднятия центра инерции добавочного груза (см. рис.3) можно выразить так:

                                                        cos0,                                                           (5)

где R и r  радиусы махового колеса и добавочного груза соответственно.

Следовательно,

                                                        h  (R + r)(1  cos0).                                                    (6)

Подставляя в уравнение (2) найденные выражения для h и макс, получаем:

                                                 mg(R + r)(1  cos0)  .                                       (7)

Величина 0 неудобна для непосредственного измерения, поэтому исключим ее из уравнения (7). При малых углах, выраженных в радианной мере,

                                                        cos0   1  .                                                             (8)

Подставив это значение косинуса в левую часть уравнения (7), получим формулу для расчета Iобщ относительно оси О:

                                    Iобщ .                                                                  (9)   

Момент инерции добавочного груза Г относительно оси О (см. рис. 3) равен

                                              IГ    mr2 + m(R+r)2.                                                           (10)

Первый член правой части равенства момент инерции груза относительно оси О', проходящей через его центр масс параллельно оси О. Второе слагаемое – это произведение массы диска на квадрат расстояния между осями О и О'.

Из выражений (9) и (10) получаем, что момент инерции махового колеса

                                            I  Iобщ  IГ     .                 (11)

Таким образом, определение момента инерции махового колеса в данной работе удалось свести к измерению массы добавочного груза т, радиусов махового колеса R и добавочного груза r, а также – периода колебаний махового колеса Т.

Для того, чтобы подтвердить утверждение о высокой точности данного метода измерения момента инерции, предлагается сравнить полученное значение I с теоретическим (IТ), которое для махового колеса – однородного диска можно вычислить по формуле:

                                                          IТ   m0 R2,                                                            (12)

где m0  масса махового колеса.

Учитывая, что маховое колесо и добавочный груз диски одинаковой толщины, изготовленные из одного и того же материала (заметим, что для самого метода измерения момента инерции эти факторы несущественны), можно получить равенство  m0 /m   R2/r2.

Таким образом, массы дисков относятся, как их объемы или (при одинаковой толщине) – как квадраты их радиусов. Выразив из последнего уравнения массу m0 и подставив её в формулу (12), получим

                                                         IТ  mR4/r2.                                                             (13)

Необходимо измерить диаметры махового колеса D и добавочного груза d, а также время t десяти полных колебаний. Масса груза m и ускорение свободного падения считаются заданными с известной степенью точности. Используя эти обозначения, окончательно запишем:

                                         I    ,                                      (14)

                                               

                                                        IТ   mD4 / d2.                                                           (15)

4. Таблицы и графики1.

Таблица 1- Приборные погрешности    

Приборные погрешности

Масса

добавочного груза m, кг

штангенциркуля x, м

секундомера , с

0,0005

0,01

0,46

Таблица 2 – Данные вычислений 

Номер

измерения

1

2

3

4

5

Средние

значения

Диаметр махового колеса D, м

0,24

0,2

0,23

0,24

0,2

Dср   0,22

Диаметр добавочного груза d, м

0,06

0,058

0,061

0,06

0,059

dср   0,06

Время десяти полных колебаний t, с

15,1

15,7

15,4

15,8

16,3

tср  15,66

Период колебаний T, с

1,51

1,57

1,54

1,58

1,63

Tср   1,57

Момент инерции махового колеса I, кгм2

0,029

0,027

0,024

0,027

0,026

Iср  0,027

IТ   0,037


5. Расчёт погрешностей измерений
 

(указать метод расчёта погрешностей).

В данной работе необходимо измерить погрешности штангенциркуля и секундомера.

Погрешность измерения секундомера () принимаем равной половине цены деления, т.е. (цена деления штангенциркуля составляет 0,01м).

Приборная погрешность секундомера () определяется аналогичным образом:

()=0,01м.

Вычисления по данной работе.

1.  где N - число полных оборотов;

  [Т]=с.

   (с);

    Т2=1,57с;

Т3=1,54с;

Т4=1,58с;

Т5=1,63с.

2.

 I2=0,027 м*с2;

       I3=0,024 м*с2;

       I4=0,027 м*с2;

       I5=0,026 м*с2.

3.

0,037 кг*м2.

6. Окончательные результаты:

I=Iср.+I;

I=0,027+0,0014=0,0284(м*с2).

IT=0,037м*с2.

Подпись студента:

                 

Лист – вкладыш

5. Расчёт погрешностей измерений (продолжение):

4.     I    T ;

.                                           

       T  .

         

       

                                                      


7. Дополнительная страница

(для размещения таблиц, теоретического материала и дополнительных сведений).

Поскольку в эксперименте непосредственно измеряются лишь D, d и t, а величина момента инерции определяется косвенным образом из расчетов по формуле (14), для вычисления ошибки измерения I необходимо пользоваться формулами для расчета ошибок косвенных измерений. Окончательный результат должен быть записан в виде

                                                           I  Icp ± I,                                                                (16)

где I  абсолютная ошибка измерения момента инерции махового колеса.

В данной работе основную роль в возникновении ошибки определения момента инерции играет случайная ошибка измерения периода колебаний; случайными же погрешностями измерения диаметров махового колеса и добавочного груза, а также приборными ошибками штангенциркуля и секундомера можно пренебречь.

Используя формулу (14), получим, что

                                               I    T .                                           (17)

Таким образом, вычисление I в данной работе сводится к определению случайной ошибки измерения периода колебаний T:

                                                T  ,                                                         (18)

 

где   коэффициент Стьюдента, значения которого можно найти в таблице, имеющейся

в лаборатории (таблица приведена также в методических указаниях [3]). Величину доверительной вероятности при выборе коэффициента Стьюдента по этой таблице примите равной 0,95.

Результаты вычислений I  необходимо округлить до первой значащей цифры, после чего округлите полученные ранее (см. таблицу 2) значения Iср и IТ до того же разряда, что и I.

Окончательный численный результат записать в виде

                                                        I  Icp ± I,                                                                   (19)  

                                                            IТ  ……

Обратить внимание на правильность записи единиц измерения, в которых выражены полученные значения момента инерции махового колеса.

1 Графики выполняются на миллиметровой бумаге или в компьютерном виде с использованием программ построения графиков. Необходимо соблюдать правила построения графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17286. Синтетичні й аналітичні рахунки, їх взаємозвязок 42 KB
  Синтетичні й аналітичні рахунки їх взаємозв'язок Залежно від обсягів інформації і рівня узагальнення рахунки бухгалтерського обліку поділяють на синтетичні і аналітичні. Рахунки бухгалтерського обліку які відкриваються на підставі статей балансу для обліку господ...
17287. План рахунків бухгалтерського обліку 51.5 KB
  План рахунків бухгалтерського обліку Для забезпечення єдності порівнювання й узагальнення облікових даних необхідно щоб господарські операції однаково відображалися на рахунках бухгалтерського обліку підприємств незалежно від організаційноправових форм. Такої є
17288. Установка Java 2 SDK и технология программирования на языке Java в режиме командной строки 87.5 KB
  Лабораторная работа 01 Установка Java SDK и технология программирования на языке Java в режиме командной строки. Цель работы Целью работы является приобретение навыков программирования на языке программирования Java в режиме командной строки. Состав рабочего места ...
17289. КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Короткий конспект лекцій 3.51 MB
  Курс вищої математики. Частина 1.€ КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Короткий конспект лекцій ЧАСТИНА 1 2005 Комплексні числа. Визначення. Комплексним числом z називається вираз де a і b – дійсні числа i – уявна одиниця що визначається співвідношенням...
17290. КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ. Диференціальне числення функції однієї змінної 2.83 MB
  Курс вищої математики. Частина 2.€ КУРС ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ЧАСТИНА 2 2005 Диференціальне числення функції однієї змінної. Похідна функції її геометричний і фізичний зміст. Визначення. Похідної функції fx у точці х = х0 називається границя ...
17291. Основні поняття інформаційної безпеки 60.5 KB
  Лекція 1. Основні поняття інформаційної безпеки Під інформаційною безпекою розуміють стан захищеності оброблюваних даних та даних що зберігаються та передаються від незаконного ознайомлення перетворення і знищення а також стан захищеності інформаційних ресурсів
17292. Ідентифікація та автентифікація 136.5 KB
  Лекція 2. Ідентифікація та автентифікація Основні поняття і класифікація Застосування при міжмережевій взаємодії відкритих каналів передачі даних створює потенційну загрозу проникнення зловмисників порушників. Якщо пасивний порушник має нагоду тільки проглядати
17293. Моделі загроз та порушників безпеки 127.5 KB
  Лекція 3. Моделі загроз та порушників безпеки Поняття загрози інформації Безпечна або захищена система – це система із засобами захисту які успішно і ефективно протистоять визначеним загрозам безпеки. Виходячи із цього першим кроком в побудові захищеної системи є ід
17294. Політика безпеки 103.5 KB
  Лекція 4. Політика безпеки Поняття політики безпеки Фундаментальним поняттям захисту інформації є політика безпеки ПБ або політика захисту. Важливість цього поняття важко переоцінити – існують ситуації коли правильно сформульована політика є чи не єдиним механізм