36775

Определение момента инерции махового колеса методом колебаний

Лабораторная работа

Физика

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями

Русский

2013-09-23

161.5 KB

259 чел.

Московский государственный университет

путей сообщения РФ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

Институт, группа       ИСУТЭ, АТС-141              К работе допущен____________________

                       (Дата, подпись преподавателя)

Студент                                  Бакин М.Е.                Работа выполнена____________________

                                     (ФИО студента)                   (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель                   Некрасов В.В.              Отчёт принят________________________                          (Дата, подпись преподавателя)

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №______6_______

        Определение момента инерции махового колеса методом колебаний      

(Название лабораторной работы)

_____________________________________________________________________________________________

  1.  Цель работы:

Ознакомление с методом измерения моментов инерции тел, обладающих осевой                       

симметрией                                                                                                                                       

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                              

2. Принципиальная схема установки (или её главных узлов):

   Рисунок 1- Принципиальная схема установки для измерения инерции махового колеса

3. Основные теоретические положения к данной работе (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Момент инерции тела I относительно некоторой оси является мерой инертности тела при вращении его вокруг этой оси. Для материальной точки момент инерции равен произведению ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I  mr2,

а для тела, которое можно представить в виде системы большого количества материальных точек (рис. 6.1.а), момент инерции относительно некоторой оси вращения равен сумме произведений масс всех материальных точек на квадраты их расстояний до этой оси:

Рис.2 I  .

       ri          mi                        r         dm            О        a         

                                                                                                    О

                                                              M                         

                                                                         О   I                  I0

а)                                      б)                                    в)      О

Для вычисления момента инерции сплошного тела его мысленно разбивают на бесконечное малые области с массами dm,  каждая из которых находится на своём расстоянии r от оси вращения (рис.2б).

Понятно, что момент инерции зависит не только от общей массы тела, но и от формы тела, а также – от распределения массы по его объёму (так, например, какие-то части тела могут быть изготовлены из более тяжёлого материала, а какие-то – из более лёгкого).

Ось вращения может проходить через центр масс тела, а может и находиться вне его (рис.2в).

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями:

                                       

                                               I = I0 + ma2.                                                (1)

В работе определяется момент инерции махового колеса К, ось симметрии которого параллельна поверхности земли. Колесо находится в состоянии безразличного равновесия, но после крепления к нему добавочного груза Г (рис. 1), колесо может колебаться относительно горизонтальной оси.

Маховое колесо начинает совершать колебания за счет сообщенной ему извне энергии. Добавочный груз Г, поднятый на высоту h относительно положения равновесия, обладает потенциальной энергией mgh (см. рис.3).

Рис.3

При прохождении системой (К и Г) положения равновесия потенциальная энергия груза Г преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения махового колеса К и добавочного груза Г. Таким образом,

                                                       mgh = ,                                                              (2)

где Iобщ сумма моментов инерции махового колеса I и добавочного груза IГ    

                относительно горизонтальной оси О, проходящий через центр махового колеса  

                вдоль стержня:

      

                                                       Iобщ  I  IГ,                                                                    (3)

где m  масса добавочного груза;

 g  ускорение силы тяжести;

 h  высота, на которую поднимается груз;

 макс  угловая скорость махового колеса с грузом при прохождении системой  

        положения равновесия.

Как следует из формул (2) и (3), для нахождения момента инерции махового колеса I нужно знать макс, т, h и IГ. Угловая скорость макс определяется из уравнения (2) после установления характера зависимости от времени t. Максимальное значение угловой скорости (по модулю) в момент прохождения системой положения равновесия равно:

                                                  макс  0.                                                            (4)

Высоту h поднятия центра инерции добавочного груза (см. рис.3) можно выразить так:

                                                        cos0,                                                           (5)

где R и r  радиусы махового колеса и добавочного груза соответственно.

Следовательно,

                                                        h  (R + r)(1  cos0).                                                    (6)

Подставляя в уравнение (2) найденные выражения для h и макс, получаем:

                                                 mg(R + r)(1  cos0)  .                                       (7)

Величина 0 неудобна для непосредственного измерения, поэтому исключим ее из уравнения (7). При малых углах, выраженных в радианной мере,

                                                        cos0   1  .                                                             (8)

Подставив это значение косинуса в левую часть уравнения (7), получим формулу для расчета Iобщ относительно оси О:

                                    Iобщ .                                                                  (9)   

Момент инерции добавочного груза Г относительно оси О (см. рис. 3) равен

                                              IГ    mr2 + m(R+r)2.                                                           (10)

Первый член правой части равенства момент инерции груза относительно оси О', проходящей через его центр масс параллельно оси О. Второе слагаемое – это произведение массы диска на квадрат расстояния между осями О и О'.

Из выражений (9) и (10) получаем, что момент инерции махового колеса

                                            I  Iобщ  IГ     .                 (11)

Таким образом, определение момента инерции махового колеса в данной работе удалось свести к измерению массы добавочного груза т, радиусов махового колеса R и добавочного груза r, а также – периода колебаний махового колеса Т.

Для того, чтобы подтвердить утверждение о высокой точности данного метода измерения момента инерции, предлагается сравнить полученное значение I с теоретическим (IТ), которое для махового колеса – однородного диска можно вычислить по формуле:

                                                          IТ   m0 R2,                                                            (12)

где m0  масса махового колеса.

Учитывая, что маховое колесо и добавочный груз диски одинаковой толщины, изготовленные из одного и того же материала (заметим, что для самого метода измерения момента инерции эти факторы несущественны), можно получить равенство  m0 /m   R2/r2.

Таким образом, массы дисков относятся, как их объемы или (при одинаковой толщине) – как квадраты их радиусов. Выразив из последнего уравнения массу m0 и подставив её в формулу (12), получим

                                                         IТ  mR4/r2.                                                             (13)

Необходимо измерить диаметры махового колеса D и добавочного груза d, а также время t десяти полных колебаний. Масса груза m и ускорение свободного падения считаются заданными с известной степенью точности. Используя эти обозначения, окончательно запишем:

                                         I    ,                                      (14)

                                               

                                                        IТ   mD4 / d2.                                                           (15)

4. Таблицы и графики1.

Таблица 1- Приборные погрешности    

Приборные погрешности

Масса

добавочного груза m, кг

штангенциркуля x, м

секундомера , с

0,0005

0,01

0,46

Таблица 2 – Данные вычислений 

Номер

измерения

1

2

3

4

5

Средние

значения

Диаметр махового колеса D, м

0,24

0,2

0,23

0,24

0,2

Dср   0,22

Диаметр добавочного груза d, м

0,06

0,058

0,061

0,06

0,059

dср   0,06

Время десяти полных колебаний t, с

15,1

15,7

15,4

15,8

16,3

tср  15,66

Период колебаний T, с

1,51

1,57

1,54

1,58

1,63

Tср   1,57

Момент инерции махового колеса I, кгм2

0,029

0,027

0,024

0,027

0,026

Iср  0,027

IТ   0,037


5. Расчёт погрешностей измерений
 

(указать метод расчёта погрешностей).

В данной работе необходимо измерить погрешности штангенциркуля и секундомера.

Погрешность измерения секундомера () принимаем равной половине цены деления, т.е. (цена деления штангенциркуля составляет 0,01м).

Приборная погрешность секундомера () определяется аналогичным образом:

()=0,01м.

Вычисления по данной работе.

1.  где N - число полных оборотов;

  [Т]=с.

   (с);

    Т2=1,57с;

Т3=1,54с;

Т4=1,58с;

Т5=1,63с.

2.

 I2=0,027 м*с2;

       I3=0,024 м*с2;

       I4=0,027 м*с2;

       I5=0,026 м*с2.

3.

0,037 кг*м2.

6. Окончательные результаты:

I=Iср.+I;

I=0,027+0,0014=0,0284(м*с2).

IT=0,037м*с2.

Подпись студента:

                 

Лист – вкладыш

5. Расчёт погрешностей измерений (продолжение):

4.     I    T ;

.                                           

       T  .

         

       

                                                      


7. Дополнительная страница

(для размещения таблиц, теоретического материала и дополнительных сведений).

Поскольку в эксперименте непосредственно измеряются лишь D, d и t, а величина момента инерции определяется косвенным образом из расчетов по формуле (14), для вычисления ошибки измерения I необходимо пользоваться формулами для расчета ошибок косвенных измерений. Окончательный результат должен быть записан в виде

                                                           I  Icp ± I,                                                                (16)

где I  абсолютная ошибка измерения момента инерции махового колеса.

В данной работе основную роль в возникновении ошибки определения момента инерции играет случайная ошибка измерения периода колебаний; случайными же погрешностями измерения диаметров махового колеса и добавочного груза, а также приборными ошибками штангенциркуля и секундомера можно пренебречь.

Используя формулу (14), получим, что

                                               I    T .                                           (17)

Таким образом, вычисление I в данной работе сводится к определению случайной ошибки измерения периода колебаний T:

                                                T  ,                                                         (18)

 

где   коэффициент Стьюдента, значения которого можно найти в таблице, имеющейся

в лаборатории (таблица приведена также в методических указаниях [3]). Величину доверительной вероятности при выборе коэффициента Стьюдента по этой таблице примите равной 0,95.

Результаты вычислений I  необходимо округлить до первой значащей цифры, после чего округлите полученные ранее (см. таблицу 2) значения Iср и IТ до того же разряда, что и I.

Окончательный численный результат записать в виде

                                                        I  Icp ± I,                                                                   (19)  

                                                            IТ  ……

Обратить внимание на правильность записи единиц измерения, в которых выражены полученные значения момента инерции махового колеса.

1 Графики выполняются на миллиметровой бумаге или в компьютерном виде с использованием программ построения графиков. Необходимо соблюдать правила построения графиков.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39533. Приборы СВЧ и оптического диапазона 184 KB
  Требуется определить как надо изменить другой параметр чтобы получить ту же выходную мощность или как при этом изменится режим усилителя. Во сколько раз надо изменить мощность возбуждения чтобы выходная мощность осталась неизменной Решение: см. найдём отношение: Поскольку сначала до изменения параметров клистрон работал в оптимальном режиме то по графику определяем : Электронная мощность изменяется при изменении тока и напряжения . Но параметры не изменяются при условиях задачи а мощность возбуждения значит результат...
39534. Аудит показателей бухгалтерского баланса в соответствии с МСФО 451.5 KB
  Трудности возникают и из-за несовпадения временных периодов, а также методики учета по окончании периода. Это связано с тем, что и в той и другой системах предусмотрено применение различных отчетных периодов, различных способов закрытия счета и т. д. При этом приходится закрывать счета в каждой базе данных.
39535. Математическое программирование (ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ) 2.42 MB
  Различные формы модели задачи линейного программирования . Формулировка основной задачи линейного программирования . Понятие допустимого решения области допустимых решений оптимального решения задачи линейного программирования . Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации .
39536. Двухэтажный жилой дом с гаражом 212.13 KB
  Условия организации и осуществления строительства Жилое двухэтажное здание с гаражом находится в районе города Луганск который относится к 1 климатическому району.56 Кладка внутренних стен при высоте этажа до 4 м.03 V=FF Кладка перегородок толщиной в 1:2 кирпича при высоте этажа до 4 м.
39537. Экстраполяция трендов. Модель спрос-предложение 86.28 KB
  Постановочный этап: определяются конечные цели исследования моделирования набор участвующих в модели факторов и показателей и их роли. 3 Этап параметризации и спецификации модели: собственно моделирование то есть выбор вида модели функции регрессии в том числе состава и формы входящих в нее связей между переменными. 5 Этап идентификации модели: статистическое оценивание неизвестных параметров модели по собранным данным статистический анализ модели. 6 Этап верификации модели: сопоставление фактических реальных данных и...
39538. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОКУМЕНТООБОРОТА В МНОГОПРОФИЛЬНОМ ОАО 1.47 MB
  Делопроизводство - это термин, используемый в конторской практике для набора правил работы с документами. Есть системы документооборота, которые настраиваются на правила делопроизводства. Есть системы, которые изначально ставят своей целью выполнение именно этих правил и содержат более общие функции в достаточной мере, чтобы их назвали системами документооборота.
39539. Разработка мероприятий по повышению финансовых результатов деятельности ООО «ПАРИТЕТ ПЛЮС» 641.96 KB
  Об абстрактности и конкретности философии государства и права. Попытки создать философию права как некую универсальную и всеобщую конструкцию исходящую из каких бы то ни было оснований антропологического материализма объективного или субъективного идеализма экзистенциализма или позитивизма на протяжении более чем двух столетий в Европе и России оказались несостоятельными. Оказалась не более чем иллюзией и сознательно разработанным мифом попытка представить право и полный свод правильных законов как способ решить все основные задачи по...
39540. Разработка методики проектирования и изготовления малошовной плетеной одежды с триаксиальной структурой, иммитирующей ткань «Шанель» 4.56 MB
  Сейчас получили распространение технические ткани с трехниточной структурой в которых все нити одного наклонного застила располагаются поверх нитей другого наклонного застила не образуя переплетения рисунок 1. Второй вид расположения нитей застилов отличается от наложения тем что нити одного из застилов попеременно располагаются под и над нитями другого застила рисунок 1. Третьим видом расположения нитей застилов является полотняное переплетение рисунок 1. а б...
39541. Гражданско-правовая характеристика и практическое применение гражданско-правовых норм касающихся недействительных сделок 337 KB
  В 1 главе рассматриваются понятие и основания недействительности сделок, рассматриваются понятия ничтожности и оспоримости сделки, а также основания недействительности части сделки. Во 2 главе дается характеристика различных пороков сделок. В 3 главе – правовые последствия признания сделок недействительными. В каждой главе приводятся примеры из судебной практики.