36829

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Для создания таких массивов служит функция meshgrid. [XY]=meshgridxy – преобразует область заданную векторами x и y в двухмерные массивы X и Y которые могут быть использованы для вычисления значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Пример [XY]=meshgrid1:1:46:1:9 X = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Y = 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1. Пример [xy]=meshgrid3: .

Русский

2013-09-23

124.5 KB

30 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Цель работы

2.1.1. Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.

2.1.2. Исследование многомерных распределений теории вероятностей и

математической статистики с помощью средств Matlab.

2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых

многомерных распределений

2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N(A,R)

Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1,...,ξ m ) называется распределенным

по нормальному закону, если его плотность вероятности имеет вид

Здесь приняты следующие обозначения:  – m-мерный вектор

аргументов плотности вероятности;  – m-мерный вектор пара-

метров; R = (Ri, j ), i, j = 1,m, – симметричная положительно определенная

(m× m) -матрица параметров; R1 – матрица, обратная матрице R; R – опре-

делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-

тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются

соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-

тора ξ .

Уравнение

ϕ (X ) = (X A)T R1(X A) = c

определяет в Rm гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид.

При c = m +2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное

нормальное распределение. Многомерный (m-мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:

При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает

своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).

2.2.2. Двухмерное нормальное распределение

Если ξ = (ξ1,ξ 2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону, то мы имеем

Если здесь обозначить    и выразить коэффициент ковариа-

ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1,ξ 2) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле

R1,2 = R2,1 = r1,2σ 1σ 2 ,

то функцию ϕ (X ) можно представить в виде

а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде

Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые

уравнением

f ξ (x1, x2 ) = c1

или уравнением  ϕ (x1, x2 ) = c , где c1 и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение

ϕ (x1, x2 ) = 4

определяет эллипс рассеяния, площадь которого

Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ 2  на ξ 1

определяется выражением

а функция регрессии ξ 1 на ξ 2 – выражением

Многомерные распределения будем изучать с помощью средств трехмерной

графики системы программирования Matlab.

2.3. Средства Matlab для изучения многомерных распределений

2.3.1. Создание массивов трехмерной графики

Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных

z = f (x, y) . Специфика построения трехмерных графиков требует не просто за-

дания ряда значений x и y, то есть векторов x и y, а определения двухмерных

массивов X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid.

[X,Y]=meshgrid(x,y) – преобразует область, заданную векторами x и y, в

двухмерные массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления

значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Эта

функция формирует массивы X и Y таким образом, что строки выходного мас-

сива X являются копиями вектора x, а столбцы выходного массива Y – копиями

вектора y.

Пример

[X,Y]=meshgrid(1:1:4,6:1:9)

X =

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Y =

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по-

верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1.

2.3.2. Построение контурных графиков

Контурные графики являются попыткой отобразить на плоскость функцию

двух переменных z = f (x, y). Такую функцию можно представить в виде сово-

купности линий равного уровня, которые получаются, если трехмерная поверх-

ность пересекается рядом плоскостей, расположенных параллельно друг другу.

При этом контурный график представляет совокупность спроектированных на

плоскость xoy линий пересечения поверхности z = f (x, y) плоскостями.

Для построения контурных графиков используется команда contour.

contour(x,y,z,n) строит контурный график по данным матрицы z с указани-

ем спецификаций для x и y с заданием n линий равного уровня.

contour(x,y,z,v) строит линии равного уровня для высот, указанных значе-

ниями элементов вектора v.

Пример

[x,y]=meshgrid(-3: .2: 3, -3: .2: 3);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

grid on

По этой программе на экран монитора будет выведено восемь графиков

(рис. 2.1). Сетка на рисунок нанесена с помощью команды grid on.

Рис. 2.1. Контурные графики, построенные с помощью функции contour

2.3.3. Построение графиков трехмерных поверхностей

Команда plot3(…) является аналогом команды plot(…), но относится к

функции двух переменных z = f (x, y). Она строит аксонометрическое изобра-

жение трехмерных (3D) поверхностей.

plot3(X,Y,Z) вычерчивает различные строки, полученные из столбцов

двухмерных массивов X,Y,Z одинаковой размерности. Массивы X и Y можно

получить с помощью meshgrid.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

plot3(x,y,z)

grid on

По этой программе будет выведена фигура, представленная на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Трехмерный график, построенный с помощью функции plot3

Однако более наглядными являются сеточные графики трехмерных поверх-

ностей с заданной или функциональной окраской. Такие графики выполняются

командой mesh.

mesh(X,Y,Z,C) – выводит в графическое окно сетчатую поверхность с цветами узлов поверхности, заданных массивом С.

mesh(X,Y,Z) – аналог предшествующей команды при C=Z, с использованием функциональной окраски, при которой цвет задается высотой поверхности.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z)

В результате выполнения этой программы на экран будет выведена фигура,

представленная на рис. 2.3. Рисунок представлен в черно-белой палитре, хотя в

действительности он формируется в цветной палитре.

Рис. 2.3. Трехмерный график, построенный с помощью функции meshgrid

2.3.4. Продолжение построений графиков

Во многих случаях желательно построение ряда наложенных друг на друга

графиков в одном и том же окне. Такую возможность обеспечивает команда

продолжения графических построений hold.

hold on обеспечивает продолжение вывода графиков в текущее окно графи-

ки, что позволяет добавлять последующие графики к уже существующему.

hold off отменяет режим продолжения графических построений.

Пример

t=-3:0.2:3;

[x,y]=meshgrid(t,t);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

hold on

v=2*t;

plot(t,v,'k.-')

grid on

hold off

В этом примере на контурный график функции z = x2 + y2 наносится график прямой линии y = 2x (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Два графика в одном графическом окне

2.4. Порядок выполнения работы

2.4.1. Вывести на экран монитора графики поверхностей и линии равных

уровней плотностей вероятности приведенных выше двухмерных распределений (при k =2) и исследовать их зависимость от параметров распределений.

2.4.2. Для нормального распределения в одно графическое окно вывести эллипс рассеяния и две функции регрессии. Исследовать зависимость формы и площади эллипса рассеяния от коэффициента корреляции при заданных дисперсиях компонент случайного вектора. Исследовать взаимное расположение функций регрессии и осей эллипса рассеяния (совпадают ли функции регрессии с осями эллипса?).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84899. Технология производства светлого пива 899.41 KB
  Актуальность темы работы заключается в том, что во всем мире пиво пользуется большим спросом у населения благодаря приятному вкусу, тонизирующему и жаждоутоляющему действию. Пиво, являясь слабоалкогольным напитком, во многих странах выступает соперником крепких алкогольных изделий.
84900. Тоннель, сооружаемый щитовым способом 379 KB
  Инженерно-геологические изыскания осуществляются с полнотой, которая достаточна для оценки условий строительства и разработки прогноза взаимодействия геологической среды и подземного сооружения.
84903. Теплоснабжение жилого микрорайона в г. Хабаровск 130.13 KB
  Теплоснабжение – система обеспечения теплом зданий и сооружений, предназначенная для обеспечения теплового комфорта для находящихся в них людей или для возможности выполнения технологических норм. Система теплоснабжения состоит из следующих функциональных частей: источник производства тепловой энергии...
84904. Проект и разработка программного обеспечения продажи мотоциклов 3.42 MB
  При нажатии на кнопку «Перейти к покупкам», появляется имеющаяся база данных мотоциклов. Где покупатель и собственно выбирает себе мотоцикл на свой вкус, и когда покупатель определится с выбором мотоцикла, он выбирает его в списке, путем нажатия клавиши мыши и жмет кнопку «Купить» тем самым покупает его.
84905. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЗДРАВООХРАНЕНИЕМ В НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ 643.68 KB
  Современным объективным условием для существования, функционирования и развития сферы медицинской деятельности, является здравоохранение, которое можно представить как целую систему. Определяющее влияние социально-экономических факторов на показатели здоровья населения проявилось особенно...
84906. Лексико-грамматические особенности деловой документации в современном китайском языке 80.35 KB
  Целью данной работы является выявление лексических и грамматических особенностей составления деловой документации на китайском языке. Развитие партнерских китайско-российских отношений в последнее десятилетие привело к активизации сотрудничества в сферах экономики, торговли, туризма и т.д.
84907. Расчет основных параметров системы связи 1.03 MB
  Разработать структурную схему системы связи, предназначенной для передачи данных и передачи аналоговых сигналов методом ИКМ для заданного вида модуляции и способа приема сигналов. Рассчитать основные параметры системы связи. Указать и обосновать пути совершенствования разработанной системы связи.