36829

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Для создания таких массивов служит функция meshgrid. [XY]=meshgridxy преобразует область заданную векторами x и y в двухмерные массивы X и Y которые могут быть использованы для вычисления значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Пример [XY]=meshgrid1:1:46:1:9 X = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Y = 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1. Пример [xy]=meshgrid3: .

Русский

2013-09-23

124.5 KB

31 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Цель работы

2.1.1. Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.

2.1.2. Исследование многомерных распределений теории вероятностей и

математической статистики с помощью средств Matlab.

2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых

многомерных распределений

2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N(A,R)

Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1,...,ξ m ) называется распределенным

по нормальному закону, если его плотность вероятности имеет вид

Здесь приняты следующие обозначения:  – m-мерный вектор

аргументов плотности вероятности;  – m-мерный вектор пара-

метров; R = (Ri, j ), i, j = 1,m, – симметричная положительно определенная

(m× m) -матрица параметров; R1 – матрица, обратная матрице R; R – опре-

делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-

тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются

соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-

тора ξ .

Уравнение

ϕ (X ) = (X A)T R1(X A) = c

определяет в Rm гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид.

При c = m +2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное

нормальное распределение. Многомерный (m-мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:

При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает

своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).

2.2.2. Двухмерное нормальное распределение

Если ξ = (ξ1,ξ 2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону, то мы имеем

Если здесь обозначить    и выразить коэффициент ковариа-

ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1,ξ 2) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле

R1,2 = R2,1 = r1,2σ 1σ 2 ,

то функцию ϕ (X ) можно представить в виде

а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде

Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые

уравнением

f ξ (x1, x2 ) = c1

или уравнением  ϕ (x1, x2 ) = c , где c1 и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение

ϕ (x1, x2 ) = 4

определяет эллипс рассеяния, площадь которого

Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ 2  на ξ 1

определяется выражением

а функция регрессии ξ 1 на ξ 2 – выражением

Многомерные распределения будем изучать с помощью средств трехмерной

графики системы программирования Matlab.

2.3. Средства Matlab для изучения многомерных распределений

2.3.1. Создание массивов трехмерной графики

Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных

z = f (x, y) . Специфика построения трехмерных графиков требует не просто за-

дания ряда значений x и y, то есть векторов x и y, а определения двухмерных

массивов X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid.

[X,Y]=meshgrid(x,y) – преобразует область, заданную векторами x и y, в

двухмерные массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления

значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Эта

функция формирует массивы X и Y таким образом, что строки выходного мас-

сива X являются копиями вектора x, а столбцы выходного массива Y – копиями

вектора y.

Пример

[X,Y]=meshgrid(1:1:4,6:1:9)

X =

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Y =

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по-

верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1.

2.3.2. Построение контурных графиков

Контурные графики являются попыткой отобразить на плоскость функцию

двух переменных z = f (x, y). Такую функцию можно представить в виде сово-

купности линий равного уровня, которые получаются, если трехмерная поверх-

ность пересекается рядом плоскостей, расположенных параллельно друг другу.

При этом контурный график представляет совокупность спроектированных на

плоскость xoy линий пересечения поверхности z = f (x, y) плоскостями.

Для построения контурных графиков используется команда contour.

contour(x,y,z,n) строит контурный график по данным матрицы z с указани-

ем спецификаций для x и y с заданием n линий равного уровня.

contour(x,y,z,v) строит линии равного уровня для высот, указанных значе-

ниями элементов вектора v.

Пример

[x,y]=meshgrid(-3: .2: 3, -3: .2: 3);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

grid on

По этой программе на экран монитора будет выведено восемь графиков

(рис. 2.1). Сетка на рисунок нанесена с помощью команды grid on.

Рис. 2.1. Контурные графики, построенные с помощью функции contour

2.3.3. Построение графиков трехмерных поверхностей

Команда plot3(…) является аналогом команды plot(…), но относится к

функции двух переменных z = f (x, y). Она строит аксонометрическое изобра-

жение трехмерных (3D) поверхностей.

plot3(X,Y,Z) вычерчивает различные строки, полученные из столбцов

двухмерных массивов X,Y,Z одинаковой размерности. Массивы X и Y можно

получить с помощью meshgrid.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

plot3(x,y,z)

grid on

По этой программе будет выведена фигура, представленная на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Трехмерный график, построенный с помощью функции plot3

Однако более наглядными являются сеточные графики трехмерных поверх-

ностей с заданной или функциональной окраской. Такие графики выполняются

командой mesh.

mesh(X,Y,Z,C) – выводит в графическое окно сетчатую поверхность с цветами узлов поверхности, заданных массивом С.

mesh(X,Y,Z) – аналог предшествующей команды при C=Z, с использованием функциональной окраски, при которой цвет задается высотой поверхности.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z)

В результате выполнения этой программы на экран будет выведена фигура,

представленная на рис. 2.3. Рисунок представлен в черно-белой палитре, хотя в

действительности он формируется в цветной палитре.

Рис. 2.3. Трехмерный график, построенный с помощью функции meshgrid

2.3.4. Продолжение построений графиков

Во многих случаях желательно построение ряда наложенных друг на друга

графиков в одном и том же окне. Такую возможность обеспечивает команда

продолжения графических построений hold.

hold on обеспечивает продолжение вывода графиков в текущее окно графи-

ки, что позволяет добавлять последующие графики к уже существующему.

hold off отменяет режим продолжения графических построений.

Пример

t=-3:0.2:3;

[x,y]=meshgrid(t,t);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

hold on

v=2*t;

plot(t,v,'k.-')

grid on

hold off

В этом примере на контурный график функции z = x2 + y2 наносится график прямой линии y = 2x (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Два графика в одном графическом окне

2.4. Порядок выполнения работы

2.4.1. Вывести на экран монитора графики поверхностей и линии равных

уровней плотностей вероятности приведенных выше двухмерных распределений (при k =2) и исследовать их зависимость от параметров распределений.

2.4.2. Для нормального распределения в одно графическое окно вывести эллипс рассеяния и две функции регрессии. Исследовать зависимость формы и площади эллипса рассеяния от коэффициента корреляции при заданных дисперсиях компонент случайного вектора. Исследовать взаимное расположение функций регрессии и осей эллипса рассеяния (совпадают ли функции регрессии с осями эллипса?).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5180. Характеристика генетического аппарата бактерий 4.97 MB
  Характеристика генетического аппарата бактерий Организация генома. Генетический аппарат бактерий представлен бактериальной хромосомой, внехромосомными факторами наследственности - плазмидами, а также входящими в их состав мобильными генетическ...
5181. Генетика и биополитический конфликт в 20 веке. Евгеника 50.5 KB
  Евгеника В 1883 году англичанин Фрэнсис Гальтон – кузен Чарльза Дарвина - заложил основы евгеники. Он считал, что большинство признаков у человека являются наследственными, и их можно улучшить путём контролируемых браков. В позитивной гене...
5182. Генетика и человек 241.5 KB
  Почему люди интересуются генетикой? Люди интересуются генетикой давно, правда, не всегда они называли вопросы наследования определенных признаков генетикой. Проще говоря, издревле человека интересовало, почему дети, как правило, похожи на своих роди...
5183. Генетика и эволюция. строение митотической хромосомы. Типы хромосом... 228.5 KB
  Строение митотической хромосомы. Типы хромосом, их число, размер. Кариотип и гиограмма. Хромосомы человека. Денверская классификация хромосом человека. В области первичной перетяжки располагается центромера – это пластинчатая структура, имею...
5185. Моногібридне та аналізуюче схрещування. Дигібридне схрещування. Інші лабораторні роботи 669.3 KB
  Моногібридне та аналізуюче схрещування. Дигібридне схрещування. Полігібридне схрещування. Взаємодія алельних генів. Взаємодія неалельних генів. Генетика статі. Успадкування ознак зчеплених зі статтю...
5186. Предмет генетики та її місце в системі природничих наук 1.24 MB
  Предмет генетики та її місце в системі природничих наук Предмет генетики та її місце в системі природничих наук Основні розділи генетики. Методи генетики. Гібридологічний аналіз, його значення. Історія генетики, її витоки, ет...
5187. Системы скрещивания. Гетерозис. Искусственный отбор 148 KB
  Системы скрещивания. Гетерозис. Искусственный отбор. План лекции: Классификация типов скрещивания. Родственное скрещивание (инбридинг). Неродственное скрещивание (аутбридинг). Отдаленная гибридизация...
5188. Генетика. Биоэкология. Методологические основы генетики. Курс лекций 644.5 KB
  Лекция 1. Методологические основы генетики Предмет генетики Понятие о наследственности и изменчивости Методы генетических исследований Значение генетики для практики Современные проблемы генетики Предмет генетики. Возра...