36829

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Для создания таких массивов служит функция meshgrid. [XY]=meshgridxy преобразует область заданную векторами x и y в двухмерные массивы X и Y которые могут быть использованы для вычисления значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Пример [XY]=meshgrid1:1:46:1:9 X = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Y = 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1. Пример [xy]=meshgrid3: .

Русский

2013-09-23

124.5 KB

31 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Цель работы

2.1.1. Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.

2.1.2. Исследование многомерных распределений теории вероятностей и

математической статистики с помощью средств Matlab.

2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых

многомерных распределений

2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N(A,R)

Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1,...,ξ m ) называется распределенным

по нормальному закону, если его плотность вероятности имеет вид

Здесь приняты следующие обозначения:  – m-мерный вектор

аргументов плотности вероятности;  – m-мерный вектор пара-

метров; R = (Ri, j ), i, j = 1,m, – симметричная положительно определенная

(m× m) -матрица параметров; R1 – матрица, обратная матрице R; R – опре-

делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-

тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются

соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-

тора ξ .

Уравнение

ϕ (X ) = (X A)T R1(X A) = c

определяет в Rm гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид.

При c = m +2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное

нормальное распределение. Многомерный (m-мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:

При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает

своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).

2.2.2. Двухмерное нормальное распределение

Если ξ = (ξ1,ξ 2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону, то мы имеем

Если здесь обозначить    и выразить коэффициент ковариа-

ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1,ξ 2) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле

R1,2 = R2,1 = r1,2σ 1σ 2 ,

то функцию ϕ (X ) можно представить в виде

а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде

Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые

уравнением

f ξ (x1, x2 ) = c1

или уравнением  ϕ (x1, x2 ) = c , где c1 и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение

ϕ (x1, x2 ) = 4

определяет эллипс рассеяния, площадь которого

Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ 2  на ξ 1

определяется выражением

а функция регрессии ξ 1 на ξ 2 – выражением

Многомерные распределения будем изучать с помощью средств трехмерной

графики системы программирования Matlab.

2.3. Средства Matlab для изучения многомерных распределений

2.3.1. Создание массивов трехмерной графики

Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных

z = f (x, y) . Специфика построения трехмерных графиков требует не просто за-

дания ряда значений x и y, то есть векторов x и y, а определения двухмерных

массивов X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid.

[X,Y]=meshgrid(x,y) – преобразует область, заданную векторами x и y, в

двухмерные массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления

значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Эта

функция формирует массивы X и Y таким образом, что строки выходного мас-

сива X являются копиями вектора x, а столбцы выходного массива Y – копиями

вектора y.

Пример

[X,Y]=meshgrid(1:1:4,6:1:9)

X =

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Y =

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по-

верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1.

2.3.2. Построение контурных графиков

Контурные графики являются попыткой отобразить на плоскость функцию

двух переменных z = f (x, y). Такую функцию можно представить в виде сово-

купности линий равного уровня, которые получаются, если трехмерная поверх-

ность пересекается рядом плоскостей, расположенных параллельно друг другу.

При этом контурный график представляет совокупность спроектированных на

плоскость xoy линий пересечения поверхности z = f (x, y) плоскостями.

Для построения контурных графиков используется команда contour.

contour(x,y,z,n) строит контурный график по данным матрицы z с указани-

ем спецификаций для x и y с заданием n линий равного уровня.

contour(x,y,z,v) строит линии равного уровня для высот, указанных значе-

ниями элементов вектора v.

Пример

[x,y]=meshgrid(-3: .2: 3, -3: .2: 3);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

grid on

По этой программе на экран монитора будет выведено восемь графиков

(рис. 2.1). Сетка на рисунок нанесена с помощью команды grid on.

Рис. 2.1. Контурные графики, построенные с помощью функции contour

2.3.3. Построение графиков трехмерных поверхностей

Команда plot3(…) является аналогом команды plot(…), но относится к

функции двух переменных z = f (x, y). Она строит аксонометрическое изобра-

жение трехмерных (3D) поверхностей.

plot3(X,Y,Z) вычерчивает различные строки, полученные из столбцов

двухмерных массивов X,Y,Z одинаковой размерности. Массивы X и Y можно

получить с помощью meshgrid.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

plot3(x,y,z)

grid on

По этой программе будет выведена фигура, представленная на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Трехмерный график, построенный с помощью функции plot3

Однако более наглядными являются сеточные графики трехмерных поверх-

ностей с заданной или функциональной окраской. Такие графики выполняются

командой mesh.

mesh(X,Y,Z,C) – выводит в графическое окно сетчатую поверхность с цветами узлов поверхности, заданных массивом С.

mesh(X,Y,Z) – аналог предшествующей команды при C=Z, с использованием функциональной окраски, при которой цвет задается высотой поверхности.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z)

В результате выполнения этой программы на экран будет выведена фигура,

представленная на рис. 2.3. Рисунок представлен в черно-белой палитре, хотя в

действительности он формируется в цветной палитре.

Рис. 2.3. Трехмерный график, построенный с помощью функции meshgrid

2.3.4. Продолжение построений графиков

Во многих случаях желательно построение ряда наложенных друг на друга

графиков в одном и том же окне. Такую возможность обеспечивает команда

продолжения графических построений hold.

hold on обеспечивает продолжение вывода графиков в текущее окно графи-

ки, что позволяет добавлять последующие графики к уже существующему.

hold off отменяет режим продолжения графических построений.

Пример

t=-3:0.2:3;

[x,y]=meshgrid(t,t);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

hold on

v=2*t;

plot(t,v,'k.-')

grid on

hold off

В этом примере на контурный график функции z = x2 + y2 наносится график прямой линии y = 2x (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Два графика в одном графическом окне

2.4. Порядок выполнения работы

2.4.1. Вывести на экран монитора графики поверхностей и линии равных

уровней плотностей вероятности приведенных выше двухмерных распределений (при k =2) и исследовать их зависимость от параметров распределений.

2.4.2. Для нормального распределения в одно графическое окно вывести эллипс рассеяния и две функции регрессии. Исследовать зависимость формы и площади эллипса рассеяния от коэффициента корреляции при заданных дисперсиях компонент случайного вектора. Исследовать взаимное расположение функций регрессии и осей эллипса рассеяния (совпадают ли функции регрессии с осями эллипса?).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75725. Порядок расследования одиночного несчастного случая на производстве 19.73 KB
  Порядок расследования одиночного несчастного случая на производстве. Производственный травматизм и профессиональные заболевания это сложные многофакторные явления обусловленные действием на человека в процессе его трудовой деятельности опасных вызывающих травмы и вредных вызывающих заболевание факторов. Расследование и учет несчастных случаев на производстве необходимы для разработки и осуществления мероприятий по профилактике травматизма улучшению состояния условий и охраны труда. Несчастный случай на производстве это случай...
75726. Порядок расследования тяжелого, группового несчастного случая и несчастного случая со смертельным исходом на производстве 15.81 KB
  Порядок расследования тяжелого группового несчастного случая и несчастного случая со смертельным исходом на производстве. Несчастные случаи подлежащие расследованию и учету Порядок проведения расследований несчастных случаев При расследовании каждого несчастного случая комиссия в предусмотренных случаях государственный инспектор труда самостоятельно проводящий расследование несчастного случая выявляет и опрашивает очевидцев происшествия лиц допустивших нарушения требований охраны труда получает необходимую информацию от работодателя...
75727. Порядок оформления акта по форме Н-1 о несчастном случае на производстве и учета несчастного случая на производстве 18.73 KB
  Указывается число месяц год и время проишетвиям несчастного случая количество полных часов от начала работы смены. Почтовый юридический адрес указывается в последовательности установленной правилами оказания услуг связи: почтовый индекс название и вид населенного пункта название улицы номер дома номер корпуса номер офиса если организация не занимает здание полностью. При наличии в организации нескольких ОКВЭД в акте указывается только основной вид экономической деятельности. Наименнование структурного подразделения организации...
75728. Методы изучения причин несчастных случаев на производстве 14.61 KB
  Методы изучения причин несчастных случаев на производстве. Вывешенные на стене такие планы постоянно сигнализируют напоминают о местах несчастных случаев. Повторение несчастных случаев в определенных местах будет свидетельствовать о неблагополучии с охраной труда на данных объектах. Путем дополнительного обследования указанных мест выявляют причины вызвавшие несчастные случаи и намечают текущие и перспективные мероприятия по устранению несчастных случаев для каждого отдельного объекта.
75729. Расчет показателей(коэф-ов) , характеризующих состояние производственного травматизма 101.75 KB
  Для характеристики уровня производственного травматизма в бригаде участке цехе предприятии отрасли и народном хозяйстве в целом а также для сопоставления состояния травматизма в этих структурных подразделениях используются относительные показатели коэффициенты частоты тяжести несчастных случаев и нетрудоспособности. Показатели рассчитываются на основе данных отчета о пострадавших при несчастных случаях.Показатель частоты несчастных случаев кч:...
75730. Статистический метод анализа причин производственного травматизма 14.48 KB
  Статистический метод анализа причин производственного травматизма Статистический метод анализа причин производственного травматизма служит сегодня пожалуй основным методом позволяющим вырабатывать политику действий и намечать конкретные меры по предотвращению этого печального и нежелательного явления. Для анализа собирают массив данных по всем изучаемым показателям. С помощью статистического анализа можно обнаруживать закономерности свойственные этим показателям изучать особенности возникновения несчастных случаев в отдельных...
75731. Условия и факторы производственной среды, вредно влияющие на организм человека. Нормативные документы, регламентирующие их параметры 36 KB
  Условия и факторы производственной среды вредно влияющие на организм человека. Производственная среда это часть окружающей человека среды включающая природно-климатические факторы и факторы связанные с профессиональной деятельностью шум вибрация токсичные пары газы пыль ионизирующие излучения и др. Опасными называются факторы способные при определенных условиях вызывать острое нарушение здоровья травму и гибель организма; вредными факторы отрицательно влияющие на работоспособность или вызывающие профессиональные заболевания и...
75732. Показатели, характеризующие метеорологические условия производственной среды. Понятие терморегуляции 43 KB
  В понятие метеорологических условий производственной среды или микроклимата входят: температура воздуха его влажность и скорость движения атмосферное давление и тепловое излучение от нагретых поверхностей. Исследования показывают что повышение температуры воздуха выше 2022С снижает работоспособность на 24 на каждый градус повышения температуры а при температуре в 30С и выше на 46 на каждый градус. При температуре воздуха более 30С и значительном тепловом излучении от нагретых поверхностей наступает нарушение терморегуляции...
75733. Оптимальные параметры микроклимата производственной среды. Организация и проведение контроля параметров микроклимата 47.5 KB
  В этих нормах отдельно нормируется каждый компонент микроклимата в рабочей зоне производственного помещения: температура относительная влажность скорость движения воздуха в зависимости от способности организма человека к акклиматизации в разное время года характера одежды интенсивности производимой работы и характера тепловыделений в рабочем помещении. Перепады температуры воздуха по высоте и по горизонтали а также изменения температуры воздуха в течение смены при обеспечении оптимальных величин микроклимата на рабочих местах не должны...