36829

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Для создания таких массивов служит функция meshgrid. [XY]=meshgridxy преобразует область заданную векторами x и y в двухмерные массивы X и Y которые могут быть использованы для вычисления значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Пример [XY]=meshgrid1:1:46:1:9 X = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Y = 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1. Пример [xy]=meshgrid3: .

Русский

2013-09-23

124.5 KB

31 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Цель работы

2.1.1. Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.

2.1.2. Исследование многомерных распределений теории вероятностей и

математической статистики с помощью средств Matlab.

2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых

многомерных распределений

2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N(A,R)

Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1,...,ξ m ) называется распределенным

по нормальному закону, если его плотность вероятности имеет вид

Здесь приняты следующие обозначения:  – m-мерный вектор

аргументов плотности вероятности;  – m-мерный вектор пара-

метров; R = (Ri, j ), i, j = 1,m, – симметричная положительно определенная

(m× m) -матрица параметров; R1 – матрица, обратная матрице R; R – опре-

делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-

тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются

соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-

тора ξ .

Уравнение

ϕ (X ) = (X A)T R1(X A) = c

определяет в Rm гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид.

При c = m +2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное

нормальное распределение. Многомерный (m-мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:

При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает

своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).

2.2.2. Двухмерное нормальное распределение

Если ξ = (ξ1,ξ 2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону, то мы имеем

Если здесь обозначить    и выразить коэффициент ковариа-

ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1,ξ 2) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле

R1,2 = R2,1 = r1,2σ 1σ 2 ,

то функцию ϕ (X ) можно представить в виде

а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде

Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые

уравнением

f ξ (x1, x2 ) = c1

или уравнением  ϕ (x1, x2 ) = c , где c1 и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение

ϕ (x1, x2 ) = 4

определяет эллипс рассеяния, площадь которого

Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ 2  на ξ 1

определяется выражением

а функция регрессии ξ 1 на ξ 2 – выражением

Многомерные распределения будем изучать с помощью средств трехмерной

графики системы программирования Matlab.

2.3. Средства Matlab для изучения многомерных распределений

2.3.1. Создание массивов трехмерной графики

Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных

z = f (x, y) . Специфика построения трехмерных графиков требует не просто за-

дания ряда значений x и y, то есть векторов x и y, а определения двухмерных

массивов X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid.

[X,Y]=meshgrid(x,y) – преобразует область, заданную векторами x и y, в

двухмерные массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления

значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Эта

функция формирует массивы X и Y таким образом, что строки выходного мас-

сива X являются копиями вектора x, а столбцы выходного массива Y – копиями

вектора y.

Пример

[X,Y]=meshgrid(1:1:4,6:1:9)

X =

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Y =

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по-

верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1.

2.3.2. Построение контурных графиков

Контурные графики являются попыткой отобразить на плоскость функцию

двух переменных z = f (x, y). Такую функцию можно представить в виде сово-

купности линий равного уровня, которые получаются, если трехмерная поверх-

ность пересекается рядом плоскостей, расположенных параллельно друг другу.

При этом контурный график представляет совокупность спроектированных на

плоскость xoy линий пересечения поверхности z = f (x, y) плоскостями.

Для построения контурных графиков используется команда contour.

contour(x,y,z,n) строит контурный график по данным матрицы z с указани-

ем спецификаций для x и y с заданием n линий равного уровня.

contour(x,y,z,v) строит линии равного уровня для высот, указанных значе-

ниями элементов вектора v.

Пример

[x,y]=meshgrid(-3: .2: 3, -3: .2: 3);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

grid on

По этой программе на экран монитора будет выведено восемь графиков

(рис. 2.1). Сетка на рисунок нанесена с помощью команды grid on.

Рис. 2.1. Контурные графики, построенные с помощью функции contour

2.3.3. Построение графиков трехмерных поверхностей

Команда plot3(…) является аналогом команды plot(…), но относится к

функции двух переменных z = f (x, y). Она строит аксонометрическое изобра-

жение трехмерных (3D) поверхностей.

plot3(X,Y,Z) вычерчивает различные строки, полученные из столбцов

двухмерных массивов X,Y,Z одинаковой размерности. Массивы X и Y можно

получить с помощью meshgrid.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

plot3(x,y,z)

grid on

По этой программе будет выведена фигура, представленная на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Трехмерный график, построенный с помощью функции plot3

Однако более наглядными являются сеточные графики трехмерных поверх-

ностей с заданной или функциональной окраской. Такие графики выполняются

командой mesh.

mesh(X,Y,Z,C) – выводит в графическое окно сетчатую поверхность с цветами узлов поверхности, заданных массивом С.

mesh(X,Y,Z) – аналог предшествующей команды при C=Z, с использованием функциональной окраски, при которой цвет задается высотой поверхности.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z)

В результате выполнения этой программы на экран будет выведена фигура,

представленная на рис. 2.3. Рисунок представлен в черно-белой палитре, хотя в

действительности он формируется в цветной палитре.

Рис. 2.3. Трехмерный график, построенный с помощью функции meshgrid

2.3.4. Продолжение построений графиков

Во многих случаях желательно построение ряда наложенных друг на друга

графиков в одном и том же окне. Такую возможность обеспечивает команда

продолжения графических построений hold.

hold on обеспечивает продолжение вывода графиков в текущее окно графи-

ки, что позволяет добавлять последующие графики к уже существующему.

hold off отменяет режим продолжения графических построений.

Пример

t=-3:0.2:3;

[x,y]=meshgrid(t,t);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

hold on

v=2*t;

plot(t,v,'k.-')

grid on

hold off

В этом примере на контурный график функции z = x2 + y2 наносится график прямой линии y = 2x (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Два графика в одном графическом окне

2.4. Порядок выполнения работы

2.4.1. Вывести на экран монитора графики поверхностей и линии равных

уровней плотностей вероятности приведенных выше двухмерных распределений (при k =2) и исследовать их зависимость от параметров распределений.

2.4.2. Для нормального распределения в одно графическое окно вывести эллипс рассеяния и две функции регрессии. Исследовать зависимость формы и площади эллипса рассеяния от коэффициента корреляции при заданных дисперсиях компонент случайного вектора. Исследовать взаимное расположение функций регрессии и осей эллипса рассеяния (совпадают ли функции регрессии с осями эллипса?).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79288. Высвобождение персонала 55.85 KB
  Высвобождение персонала Высвобождение персонала это вид управленческой деятельности предусматривающий комплекс мероприятий по соблюдению правовых норм и организационно-психологической поддержки со стороны администрации при увольнении работников. Виды высвобождения персонала из организации приведены на рис. тот вид высвобождения который практически не прогнозируется администрацией и как правило происходит для нее неожиданно. Однако с точки зрения работника это наиболее мягкий вид высвобождения: работник готов покинуть организацию и...
79289. Управление социальным развитием организации 11.87 KB
  Управление социальным развитием организации Говоря об управлении социальным развитием организации можно использовать термин Социальная политика организации которая характеризуется как часть политики управления персоналом и включающая в себя все цели и мероприятия связанные с добровольными социальными услугами организации. Социальная политика организации означает уважение признание заслуг и поощрение людей. Соответственно этому система дополнительных социальных льгот должна быть не только привлекательной для сотрудника но и...
79290. Организация обучения персонала 19.09 KB
  Организация обучения персонала. Следует различать три вида обучения. Отечественный и зарубежный опыт выработал три концепции обучения квалифицированных кадров: Концепция специализированного обучения ориентирована на сегодняшний день или ближайшее будущее и имеет отношение к соответствующему рабочему месту. Концепция многопрофильного обучения является эффективной с экономической точки зрения так как повышает внутрипроизводственную и внепроизводственную мобильность работника.
79291. Аттестация персонала 13.3 KB
  Аттестация персонала организаций основного звена управления процедура определения квалификации уровня знаний практических навыков деловых и личностных качеств работников качества труда и его результатов и установления их соответствия несоответствия занимаемой должности. Аттестация персонала служит юридической основой для переводов продвижения по службе награждения определения размера заработной платы а также понижения в должности и увольнения. Аттестация направлена на улучшение качественного состава персонала определение степени...
79292. Управление деловой карьерой, служебно-профессиональным продвижением 353.73 KB
  Деловая карьера поступательное продвижение личности в какойлибо сфере деятельности изменение навыков способностей квалификационных возможностей и размеров вознаграждения связанных с деятельностью; продвижение вперед по однажды выбранному пути деятельности достижение известности славы обогащения. Планирование и контроль деловой карьеры заключаются в том что с момента принятия работника в организацию и до предполагаемого увольнения с работы необходимо организовать планомерное горизонтальное и вертикальное продвижение работника по...
79293. Работа с кадровым резервом 17.89 KB
  Работа с кадровым резервом Принципы формирования и источники кадрового резерва Формирование кадрового резерва основывается на следующих принципах: актуальность резерва потребность в замещении должностей должна быть реальной; соответствие кандидата должности и типу резерва требования к квалификации кандидата при работе в определенной должности; перспективность кандидата ориентация на профессиональный рост требования к образованию возрастной ценз стаж работы в должности и динамичность карьеры в целом состояние здоровья. Источниками...
79294. Теории мотивации трудовой деятельности 43.01 KB
  Различают первичные и вторичные потребности. Потребности можно удовлетворить вознаграждениями. Маслоу существует пять основных типов потребностей: физиологические потребности уровень 1; потребность в безопасности уровень 2; социальные потребности уровень 3; потребность в уважении и самоутверждении уровень 4; потребность в самовыражении уровень 5. Маслоу Эти потребности образуют иерархическую структуру которая определяет поведение человека причем потребности высшего уровня не мотивируют человека пока хотя бы частично не...
79295. Мотивация и стимулирование трудовой деятельности персонала 45.96 KB
  Мотивация и стимулирование трудовой деятельности персонала Система стимулирования труда персонала: общие положения и составные части. Система материального стиулирования труда и ее элементы. Основным компонентом материального стимулирования труда является система его оплаты которая осуществляется в двух формах повременной и сдельной рис. Формы оплаты труда Система оплаты труда комплекс взаимосвязанных принципов и методов определления уровня оплаты труда персонала на основе учета количественных и или качественных характеристик...
79296. Оценка результатов труда персонала организации 16.86 KB
  Оценка результатов труда персонала организации Оценка результатов труда одна из функций по управлению персоналом направленная на определение уровня эффективности выполнения работы. Оценка результатов труда является составной частью деловой оценки персонала наряду с оценкой его профессионального поведения и личностных качеств и состоит в определении соответствия результатов труда работника поставленным целям запланированным показателям нормативным требованиям. Оценка труда мероприятия по определению соответствия количества и качества...