36829

МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Для создания таких массивов служит функция meshgrid. [XY]=meshgridxy преобразует область заданную векторами x и y в двухмерные массивы X и Y которые могут быть использованы для вычисления значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Пример [XY]=meshgrid1:1:46:1:9 X = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Y = 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1. Пример [xy]=meshgrid3: .

Русский

2013-09-23

124.5 KB

31 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

2.1. Цель работы

2.1.1. Изучение многомерных распределений теории вероятностей и математической статистики.

2.1.2. Исследование многомерных распределений теории вероятностей и

математической статистики с помощью средств Matlab.

2.2. Теоретические положения. Плотности вероятностей некоторых

многомерных распределений

2.2.1. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение N(A,R)

Непрерывный случайный вектор ξ = (ξ1,...,ξ m ) называется распределенным

по нормальному закону, если его плотность вероятности имеет вид

Здесь приняты следующие обозначения:  – m-мерный вектор

аргументов плотности вероятности;  – m-мерный вектор пара-

метров; R = (Ri, j ), i, j = 1,m, – симметричная положительно определенная

(m× m) -матрица параметров; R1 – матрица, обратная матрице R; R – опре-

делитель матрицы R. Символ Т означает транспонирование, так что X – век-

тор-столбец, а X T – вектор-строка. Параметры А и R распределения являются

соответственно математическим ожиданием и ковариационной матрицей век-

тора ξ .

Уравнение

ϕ (X ) = (X A)T R1(X A) = c

определяет в Rm гиперповерхность, которая представляет собой эллипсоид.

При c = m +2 он называется эллипсоидом рассеяния нормального распределения. Содержательный смысл эллипсоида рассеяния состоит в том, что n-мерное равномерное в данном эллипсоиде распределение имеет то же математическое ожидание A и ту же ковариационную матрицу R , что и данное

нормальное распределение. Многомерный (m-мерный) объем эллипсоида рассеяния пропорционален корню квадратному из определителя ковариационной матрицы:

При заданных дисперсиях компонент случайного вектора этот объем достигает

своего максимума, когда компоненты не коррелированы (матрица R диагональная).

2.2.2. Двухмерное нормальное распределение

Если ξ = (ξ1,ξ 2 ) – двухмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону, то мы имеем

Если здесь обозначить    и выразить коэффициент ковариа-

ции R1,2 = R2,1 = cov(ξ1,ξ 2) через коэффициент корреляции r1,2 по формуле

R1,2 = R2,1 = r1,2σ 1σ 2 ,

то функцию ϕ (X ) можно представить в виде

а плотность вероятности двухмерного нормального распределения – в виде

Линии равного уровня двухмерной плотности вероятности, определяемые

уравнением

f ξ (x1, x2 ) = c1

или уравнением  ϕ (x1, x2 ) = c , где c1 и c – некоторые константы, представляют собой эллипсы в плоскости x1ox2 . Уравнение

ϕ (x1, x2 ) = 4

определяет эллипс рассеяния, площадь которого

Для двухмерного нормального распределения функция регрессии ξ 2  на ξ 1

определяется выражением

а функция регрессии ξ 1 на ξ 2 – выражением

Многомерные распределения будем изучать с помощью средств трехмерной

графики системы программирования Matlab.

2.3. Средства Matlab для изучения многомерных распределений

2.3.1. Создание массивов трехмерной графики

Трехмерные поверхности обычно описываются функцией двух переменных

z = f (x, y) . Специфика построения трехмерных графиков требует не просто за-

дания ряда значений x и y, то есть векторов x и y, а определения двухмерных

массивов X и Y. Для создания таких массивов служит функция meshgrid.

[X,Y]=meshgrid(x,y) – преобразует область, заданную векторами x и y, в

двухмерные массивы X и Y, которые могут быть использованы для вычисления

значений функции двух переменных и построения трехмерных графиков. Эта

функция формирует массивы X и Y таким образом, что строки выходного мас-

сива X являются копиями вектора x, а столбцы выходного массива Y – копиями

вектора y.

Пример

[X,Y]=meshgrid(1:1:4,6:1:9)

X =

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Y =

6 6 6 6

7 7 7 7

8 8 8 8

9 9 9 9

В этом примере формируются массивы X и Y для построения трехмерной по-

верхности при изменении x от 1 до 4 с шагом 1 и y от 6 до 9 с шагом 1.

2.3.2. Построение контурных графиков

Контурные графики являются попыткой отобразить на плоскость функцию

двух переменных z = f (x, y). Такую функцию можно представить в виде сово-

купности линий равного уровня, которые получаются, если трехмерная поверх-

ность пересекается рядом плоскостей, расположенных параллельно друг другу.

При этом контурный график представляет совокупность спроектированных на

плоскость xoy линий пересечения поверхности z = f (x, y) плоскостями.

Для построения контурных графиков используется команда contour.

contour(x,y,z,n) строит контурный график по данным матрицы z с указани-

ем спецификаций для x и y с заданием n линий равного уровня.

contour(x,y,z,v) строит линии равного уровня для высот, указанных значе-

ниями элементов вектора v.

Пример

[x,y]=meshgrid(-3: .2: 3, -3: .2: 3);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

grid on

По этой программе на экран монитора будет выведено восемь графиков

(рис. 2.1). Сетка на рисунок нанесена с помощью команды grid on.

Рис. 2.1. Контурные графики, построенные с помощью функции contour

2.3.3. Построение графиков трехмерных поверхностей

Команда plot3(…) является аналогом команды plot(…), но относится к

функции двух переменных z = f (x, y). Она строит аксонометрическое изобра-

жение трехмерных (3D) поверхностей.

plot3(X,Y,Z) вычерчивает различные строки, полученные из столбцов

двухмерных массивов X,Y,Z одинаковой размерности. Массивы X и Y можно

получить с помощью meshgrid.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

plot3(x,y,z)

grid on

По этой программе будет выведена фигура, представленная на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Трехмерный график, построенный с помощью функции plot3

Однако более наглядными являются сеточные графики трехмерных поверх-

ностей с заданной или функциональной окраской. Такие графики выполняются

командой mesh.

mesh(X,Y,Z,C) – выводит в графическое окно сетчатую поверхность с цветами узлов поверхности, заданных массивом С.

mesh(X,Y,Z) – аналог предшествующей команды при C=Z, с использованием функциональной окраски, при которой цвет задается высотой поверхности.

Пример

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);

z=x.^2+y.^2;

mesh(x,y,z)

В результате выполнения этой программы на экран будет выведена фигура,

представленная на рис. 2.3. Рисунок представлен в черно-белой палитре, хотя в

действительности он формируется в цветной палитре.

Рис. 2.3. Трехмерный график, построенный с помощью функции meshgrid

2.3.4. Продолжение построений графиков

Во многих случаях желательно построение ряда наложенных друг на друга

графиков в одном и том же окне. Такую возможность обеспечивает команда

продолжения графических построений hold.

hold on обеспечивает продолжение вывода графиков в текущее окно графи-

ки, что позволяет добавлять последующие графики к уже существующему.

hold off отменяет режим продолжения графических построений.

Пример

t=-3:0.2:3;

[x,y]=meshgrid(t,t);

z=x.^2+y.^2;

contour(x,y,z,8)

hold on

v=2*t;

plot(t,v,'k.-')

grid on

hold off

В этом примере на контурный график функции z = x2 + y2 наносится график прямой линии y = 2x (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Два графика в одном графическом окне

2.4. Порядок выполнения работы

2.4.1. Вывести на экран монитора графики поверхностей и линии равных

уровней плотностей вероятности приведенных выше двухмерных распределений (при k =2) и исследовать их зависимость от параметров распределений.

2.4.2. Для нормального распределения в одно графическое окно вывести эллипс рассеяния и две функции регрессии. Исследовать зависимость формы и площади эллипса рассеяния от коэффициента корреляции при заданных дисперсиях компонент случайного вектора. Исследовать взаимное расположение функций регрессии и осей эллипса рассеяния (совпадают ли функции регрессии с осями эллипса?).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1905. ХОЛОКОСТ НА ЮГЕ РОССИИ В ПЕРИОД ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЫ (1941-1943 гг.) 1.22 MB
  Идеологическое обоснование гитлеровцами политики холокоста. Создание фабрик смерти для окончательного решения расового вопроса. Преследование евреев и других жертв холокоста в Краснодарском крае. Нацистский геноцид в Ростовской области. Холокост на территории Сталинградской области, Кабардино-Балкарии, Северной Осетии и Калмыкии
1906. Основы технической диагностики автомобилей 1.21 MB
  Разработка диагностической структурно-следственной модели. Диагностирование цилиндропоршневой группы и газораспределительного механизма двигателя внутреннего сгорания. Диагностирование электрооборудования прибором мод. Э-214. Проверка технического состояния свечей зажигания и высоковольтных проводов системы зажигания.
1907. Общие сведения по электроснабжению горных предприятий 77.22 KB
  Общие сведения по электроснабжению горных предприятий. Производство, передача и распределение электроэнергии. Электроснабжение горных предприятий. Рационализация электропотребления на горных предприятиях.
1908. Электрооборудование трансформаторных подстанций горных предприятий 175.51 KB
  Выбор силовых трансформаторов главное понизительной подстанции. Соображения по выбору числа и мощности цеховых подстанций. Конструкции распределительных устройств и цеховых трансформаторных подстанций. Аппараты высокого напряжения.
1909. ПРИНЦИП ВРЕМЕННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ КАНАЛОВ. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СП С ВРК 109.59 KB
  Непрерывный сигнал Сi(t) каждого из каналов поступает на ФНЧ, где проводится ограничение спектра частотой. Электронные ключи (ЭК) периодически замыкаются с частотой дискретизации fд на время длительности импульса.
1910. Равномерное квантование 63.22 KB
  Равномерным (линейным) называется квантование, если шаг квантования остается постоянным в допустимых пределах возможных значений.
1911. НЕРАВНОМЕРНОЕ КВАНТОВАНИЕ 60.88 KB
  Неравномерным называется квантование, если шаг квантования изменяется в допустимых пределах амплитудных значений, возрастая с увеличением уровня сигнала.
1912. Структура временного цикла и сверхцикла 32.45 KB
  В ЦСП цифровой групповой сигнал представляет собой непрерывную последовательность следующих друг за другом циклов.
1913. Регенератор однополярного цифрового сигнала 29.34 KB
  Искаженный ЦЛС подается на КУ, который обеспечивает частичную или полную коррекцию формы импульса. РУ построен в виде пороговой схемы, которая срабатывает, если уровень сигнала на его входе превышает пороговый уровень РУ.