36847

Массивы и матрицы. Решение задач линейной алгебры

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

9000 Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой а строки разделяются между собой точкой с запятой: nme=[x11 x12 . xmn;] Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы в круглых скобках через запятую номер строки и номер столбца на пересечении которых элемент расположен: nmeиндекс1 индекс2 Листинг 3. Пример обращения к элементам матрицы =[1 2 3;4 5 6;7 8 9] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12^22 33 ns = 3.

Русский

2013-09-23

121.5 KB

5 чел.

Лабораторная работа № 4

Массивы и матрицы. Решение задач линейной алгебры

Ввод и формирование массивов и матриц

Задать одномерный массив в Scilab можно следующим образом:

name=Xn:dX:Xk

где

name - имя переменной, в которую будет записан сформированный массив,

Xn - значение первого элемента массива,

Xk - значение последнего элемента массива,

dX - шаг, с помощью которого формируется каждый следующий элемент массива, т.е. значение второго элемента составит Xn+dX, третьего Xn+ dX+dX и так далее до Xk.

Если параметр dX в конструкции отсутствует, это означает, что по умолчанию он принимает значение, равное единице, т.е. каждый следующий элемент массива равен значению предыдущего плюс один:

name=Xn:Xk

Переменную, заданную как массив, можно использовать в арифметических выражениях и в качестве аргумента математических функций. Результатом работы таких операторов являются массивы:

Листинг 3.1. Примеры работы с массивами

--> Xn=-3.5;dX=1.5;Xk=4.5;

--> X=Xn:dX:Xk

X =

-3.5000 -2.0000 -0.5000 1.0000 2.5000 4.0000

--> Y=sin(X/2)

Y =

-0.9840 -0.8415 -0.2474 0.4794 0.9490 0.9093

--> A=0:5

A =

0 1 2 3 4 5

--> 0:5

ans =

0 1 2 3 4 5

--> ans/2+%pi

ans =

3.1416 3.6416 4.1416 4.6416 5.1416 5.6416

Еще один способ задания векторов и матриц в Scilab - это их поэлементный ввод.

Так, для определения вектора-строки следует ввести имя массива, а затем после знака присваивания, в квадратных скобках через пробел или запятую, перечислить элементы массива:

name=[x1 x2 ... xn] или name=[x1, x2, ..., xn]

Пример ввода вектора-строки:

Листинг 3.2. Определение вектора-строки

--> V=[1 2 3 4 5]

V =

1 2 3 4 5

--> W=[1.1,2.3,-0.1,5.88]

W =

1.1000 2.3000 -0.1000 5.8800

Элементы вектора-столбца вводятся через точку с запятой:

name=[x1; x2; ...; xn]

Пример ввода вектора-столбца:

Листинг 3.3. Определение вектора-столбца

--> X=[1;2;3]

X =

1

2

3

Обратиться к элементу вектора можно, указав имя массива и порядковый номер элемента в круглых скобках:

name(индекс)

Например:

Листинг 3.4. Пример обращения к элементу массива

--> W=[1.1,2.3,-0.1,5.88];

--> W(1)+2*W(3)

ans = 0.9000

Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки разделяются между собой точкой с запятой:

name=[x11, x12, ..., x1n; x21, x22, ..., x2n; ...;

xm1, xm2, ..., xmn;]

Обратиться к элементу матрицы можно, указав после имени матрицы, в круглых скобках через запятую, номер строки и номер столбца на пересечении которых элемент расположен:

name(индекс1, индекс2)

Листинг 3.5. Пример обращения к элементам матрицы

--> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

--> A(1,2)^A(2,2)/A(3,3)

ans = 3.5556

Кроме того, матрицы и векторы можно формировать, составляя их из ранее заданных матриц и векторов:

Листинг 3.6. Пример конкатенации матриц

--> v1=[1 2 3]; v2=[4 5 6]; v3=[7 8 9];

--> //Горизонтальная конкатенация векторов-строк:

--> V=[v1 v2 v3]

V = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-->//Вертикальная конкатенация векторов-строк,

-->//результат матрица:

--> V=[v1; v2; v3]

V =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

-->//Горизонтальная конкатенация матриц:

--> M=[V V V]

M =

1 2 3 1 2 3 1 2 3

4 5 6 4 5 6 4 5 6

7 8 9 7 8 9 7 8 9

-->//Вертикальная конкатенация матриц:

--> M=[V;V]

M =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Важную роль при работе с матрицами играет знак двоеточия «:». Указывая его вместо индекса при обращении к массиву, можно получать доступ к группам его элементов. Например:

Листинг 3.7. Примеры использования операции «:»

-->//Пусть задана матрица А

--> A=[5 7 6 5; 7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]

--> //Выделить из матрицы А второй столбец

--> A(:,2)

ans =

7

10

8

7

--> //Выделить из матрицы А третью строку

--> A(3,:)

ans = 6 8 10 9

--> //Выделить из матрицы А подматрицу М

--> M=A(3:4,2:3)

M =

8 10

7 9

--> //Удалить из матрицы А второй столбец

--> A(:,2)=[]

A =

5 8 10

7 7 9

6 10 9

5 9 10

--> //Удалить из матрицы А третью строку

--> A(3,:)=[]

A =

5 8 10

7 7 9

5 9 10

--> //Представить матрицу М в виде вектора-столбца

--> v=M(:)

v =

8

7

10

9

-->//Выделить из вектора v элементы со второго по четвертый

--> b=v(2:4)

b =

7

10

9

--> //Удалить из массива b второй элемент

--> b(2)=[];

Действия над матрицами

Для работы с матрицами и векторами в Scilab предусмотрены следующие операции:

+ - сложение;

- - вычитание (Операции сложения и вычитания определены для матриц одной размерности или векторов одного типа, т.е. суммировать (вычитать) можно либо векторы-столбцы, либо векторы-строки одинаковой длины)1;

’ – транспонирование (Если в некоторой матрице заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица);

* - матричное умножение (Операция умножения вектора на вектор определена только для векторов одинакового размера, причем один из них должен быть вектором-столбцом, а второй вектором-строкой. Матричное умножение выполняется по правилу «строка на столбец» и допустимо, если количество строк во второй матрице совпадает с количеством столбцов в первой. Кроме того, переместительный закон на произведение матриц не распространяется);

* - умножение на число;

ˆ - возведение в степень (Возвести матрицу в n-ю степень значит умножить ее саму на себя n раз. При этом целочисленный показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае выполняется алгоритм умножения матрицы на себя указанное число раз, во втором умножается на себя матрица, обратная к данной);

\ - левое деление ((A\B) ) (A−1B), операция может быть применима для решения матричного уравнения вида A · X = B, где X-неизвестный вектор);

/  - правое деление ((B/A) ) (B · A−1), используют для решения матричных уравнений вида X · A = B);

.* - поэлементное умножение матриц;

.ˆ - поэлементное возведение в степень;

.\ - поэлементное левое деление;

./ - поэлементное правое деление.

Листинг 3.8. Примеры матричных операций

-->A=[1 2 0;-1 3 1;4 -2 5];

-->B=[-1 0 1;2 1 1;3 -1 -1];

-->//Вычислить (AT+B)2 - 2A(0.5BT-A)

-->(A’+B)^2-2*A*(1/2*B’-A)

ans =

10. 8. 24.

11. 20. 35.

63. - 30. 68.

--> //Решить матричные уравнения А•Х=В и Х•A=B.

-->A=[3 2;4 3];

-->B=[-1 7;3 5];

-->//Решение матричного уравнения AX=B:

-->X=A\B

X =

- 9. 11.

13. - 13.

-->//Решение матричного уравнения XA=B:

-->X=B/A

X =

- 31. 23.

- 11. 9.

-->//Проверка

-->X*A-B

ans =

0. 0.

0. 0.

Кроме того, если к некоторому заданному вектору или матрице применить математическую функцию, то результатом будет новый вектор или матрица той же размерности, но элементы будут преобразованы в соответствии с заданной функцией:

Листинг 3.9. Пример применения функции к массиву

--> x=[0.1 -2.2 3.14 0 -1];

--> sin(x)

ans =

0.0998 -0.8085 0.0016 0 -0.8415

Специальные матричные функции

Для работы с матрицами и векторами в Scilab существуют специальные функции. Рассмотрим наиболее часто используемые из них.

Функции определения матриц:

matrix(A [,n,m]) - преобразует матрицу A в матрицу другого размера;

Листинг 3.10. Использование функции matrix

-->D=[1 2;3 4;5 6];

-->matrix(D,2,3)

ans =

1. 5. 4.

3. 2. 6.

-->matrix(D,3,2)

ans =

1. 2.

3. 4.

5. 6.

-->matrix(D,1,6)

ans =

1. 3. 5. 2. 4. 6.

-->matrix(D,6,1)

ans =

1.

3.

5.

2.

4.

6.

• ones(m,n) - создает матрицу единиц из m строк и n столбцов (результатом работы функции ones(n1,n2...,nn) будет многомерная матрица единиц);

Листинг 3.11. Использование функции ones

-->ones(1,3) //Формируется вектор-строка

ans =

1. 1. 1.

-->ones(2,2) //Формируется квадратная матрица

ans =

1. 1.

1. 1.

-->m=3; n=2;

-->X=ones(m,n) //Формируется матрица размерности m на n

X =

1. 1.

1. 1.

1. 1.

-->M=[1 2 3;4 5 6]

M =

1. 2. 3.

4. 5. 6.

-->//Формируется матрица Y, состоящая из единиц,

-->//той же размерности, что и матрица M

-->Y=ones(M)

Y =

1. 1. 1.

1. 1. 1.

zeros(m,n) - создает нулевую матрицу  из m строк и n столбцов;

Листинг 3.12. Использование функции zeros

-->zeros(3,2)

ans =

0. 0.

0. 0.

0. 0.

-->M=[1 2 3 4 5];

-->Z=zeros(M)

Z =

0. 0. 0. 0. 0.

eye(m,n) - формирует единичную матрицу из m строк и n столбцов;

Листинг 3.13. Примеры использования функции eye

-->eye(3,3)

ans =

1. 0. 0.

0. 1. 0.

0. 0. 1.

-->eye(5,1)

ans = 

1.

0.

0.

0.

0.

-->m=3; n=4;

-->E=eye(m,n)

E =

1. 0. 0. 0.

0. 1. 0. 0.

0. 0. 1. 0.

-->M=[0 1;2 3];

-->//Формируется единичная матрица E

-->//той же размерности, что и матрица M

-->E=eye(M)

E =

1. 0.

0. 1.

-->//Функцию можно использовать без параметров eye().

-->//В этом случае задается матрица с неопределенными

-->//размерами, которые будут определены после суммирования

-->//с другой, определенной ранее, матрицей.

-->M=[1 2;3 4;5 6]; E=eye();

-->A=E+M

A =

2. 2.

3. 5.

5. 6.

-->M-E

ans =

0. 2.

3. 3.

5. 6.

rand(n1,n2,...nn[,fl]) - формирует многомерную матрицу случайных чисел. Необязательный параметр p - это символьная переменная, с помощью которой можно задать тип распределения случайной величины (’uniform’ - равномерное, ’normal’ -гауссовское);

rand(m,n) - формирует матрицу m на n случайных чисел;

rand(M) - формирует матрицу случайных чисел, размер которой совпадает с размером матрицы М;

результат функции rand() - случайное скалярное число;

Листинг 3.14. Примеры использования функции rand

-->rand(2,2)//Матрица 2 на 2 случайных чисел

ans =

0.2113249 0.0002211

0.7560439 0.3303271

--> R=rand(2,2,2)//Многомерный массив случайных чисел

R(:,:,1) =

0.9355 0.4103

0.9169 0.8936

R(:,:,2) =

0.0579 0.8132

0.3529 0.0099

-->rand()//Случайное число

ans =

0.6653811

• sparse([i1 j1;i2 j2;...;in jn],[n1,n2,...,nn]) - формирует разреженную матрицу. Для создания матрицы такого типа необходимо указать индексы ее ненулевых элементов - [i1 j1,i2 j2,...,in jn], и их значения - [n1,n2,...,nn].

Индексы одного элемента отделяются друг от друга либо пробелом, либо запятой, а пары индексов - соответственно точкой с запятой, значения элементов разделяются запятыми.

При попытке просмотреть матрицу подобного типа пользователю будет предоставлено сообщение о ее размерности, а также значения ненулевых элементов и их местоположение в матрице.

full(M) - вывод разреженной матрицы М в виде таблицы;

Листинг 3.15. Использование функций sparse и full

-->A=sparse([1 3;3 2;3 5],[4,5,6])

A =

( 3, 5) sparse matrix

( 1, 3) 4.

( 3, 2) 5.

( 3, 5) 6.

-->full(A)

ans =

0. 0. 4. 0. 0.

0. 0. 0. 0. 0.

0. 5. 0. 0. 6.

• hypermat(D[,V]) - создание многомерной матрицы с размерностью, заданной вектором D и значениями элементов, хранящихся в векторе V (использование параметра V необязательно);

Листинг 3.16. Использование функции hypermat

-->//Пример создания матрицы М,

-->//состоящей из трех матриц размерности два на два,

-->//каждый элемент матрицы - член последовательности

-->//целых чисел от 0 до 11.

-->M=hypermat([2 2 3],0:11)

M =

(:,:,1)

0. 2.

1. 3.

(:,:,2)

4. 6.

5. 7.

(:,:,3)

8. 10.

9. 11.

diag(V[,k]) - возвращает квадратную матрицу с элементами V на главной или на k-й диагонали; функция diag(A[,k]), где A - ранее определенная матрица, в качестве результата выдаст вектор-столбец, содержащий элементы главной или k-ой диагонали матрицы А;

Листинг 3.17. Использование функции diag

--> V=[1,2,3];

--> diag(V)//Диагональная матрица, V на главной диагонали

ans = 1 0 0

0 2 0

0 0 3

-->//Диагональная матрица,

-->//V на первой диагонали (выше главной)

--> diag(V,1)

ans = 0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0

-->//Диагональная матрица,

-->//V на первой диагонали (ниже главной)

--> diag(V,-1)

ans = 0 0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

--> A=[-1 2 0 ;2 1 -1 ;2 1 3]

A =

-1 2 0

2 1 -1

2 1 3

--> diag(A) //Главная диагональ матрицы А

ans =

-1

1

3

cat(n, A, B, [C, ...]) - объединяет матрицы А и В или все входящие матрицы, при n=1 по строкам, при n=2 по столбцам; то же что [A; B] или [A, B];

Листинг 3.18. Использование функции cat

--> A=[1 2;3 4]; B=[5 6 ;7 8];

--> cat(2,A,B)//Объединение матриц

ans =

1 2 5 6

3 4 7 8

--> cat(1,A,B) //Объединение матриц

ans =

1 2

3 4

5 6

7 8

tril(A[,k]) - формирует из матрицы А нижнюю треугольную матрицу, начиная с главной или с k-й диагонали;

Листинг 3.19. Использование функции tril

--> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

-->//Нижняя треугольная матрица, начиная с главной диагонали

--> tril(A)

ans =

1 0 0

4 5 0

7 8 9

--> tril(A,0)//Тоже что и tril(A)

ans =

1 0 0

4 5 0

7 8 9

--> tril(A,1)//Нижняя треугольная матрица,

--> //начиная с первой диагонали (выше главной)

ans =

1 2 0

4 5 6

7 8 9

--> tril(A,-2) )//Нижняя треугольная матрица,

--> //начиная со второй диагонали (ниже главной)

ans =

0 0 0

0 0 0

7 0 0

triu(A[,k]) - формирует из матрицы А верхнюю треугольную матрицу1, начиная с главной или с k-й диагонали;

Листинг 3.20. Использование функции triu

--> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

--> triu(A)//Верхняя треугольная матрица

ans =

1 2 3

0 5 6

0 0 9

--> triu(A,2) )//Верхняя треугольная матрица,

--> //начиная со второй диагонали (выше главной)

ans =

0 0 3

0 0 0

0 0 0

--> triu(A,-1) )//Верхняя треугольная матрица,

--> //начиная с первой диагонали (ниже главной)

ans =

1 2 3

4 5 6

0 8 9

sort(X) - выполняет упорядочивание массива X; если X - матрица, сортировка выполняется по столбцам;

Листинг 3.21. Использование функции sort

-->b=[2 0 1]; sort(b) //Сортировка по убыванию

ans =

2. 1. 0.

-->-sort(-b) //Сортировка по возрастанию

ans =

0. 1. 2.

-->A=[1 2 0;-1 3 1;4 -2 5];

-->sort(A) //Сортировка матрицы

ans =

5. 2. 0.

4. 1. - 1.

3. 1. - 2.

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

size(V[,fl]) - определяет размер массива V; если V - двумерный массив, то size(V,1) или size(V,’r’) определяют число строк матрицы V, а size(V,2) или size(V,’c’) - число столбцов;

Листинг 3.22. Использование функции size

-->M=[1 2;3 4;5 6;7 8];

-->[n,m]=size(M)

m =

2.

n =

4.

-->size(M,1)

ans =

4.

-->size(M,2)

ans =2.

length(X) - определяет количество элементов массива X; если X - вектор, его длину; если X - матрица, вычисляет общее число ее элементов;

Листинг 3.23. Использование функции length

--> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1];//Вектор-строка

--> length(V)//Длина вектора

ans =

7

-->[1 2 3;4 5 6];//Матрица

-->length(ans)//Количество элементов матрицы

ans =

6.

sum(X[,fl]) - вычисляет сумму элементов массива X, имеет необязательный параметр fl.

Если параметр fl отсутствует, то функция sum(X) возвращает скалярное значение, равное сумме элементов массива.

Если fl=’r’ или fl=1, что тоже самое, то функция вернет строку, равную поэлементной сумме столбцов матрицы X.

Если fl=’с’ или fl=2, то результатом работы функции будет вектор-столбец, каждый элемент которого равен сумме элементов строк матрицы X.

Частный случай применения функции sum – это вычисление скалярного произведения векторов;

Листинг 3.24. Примеры использования функции sum

-->M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

-->Y=sum(M) //Сумма элементов матрицы

Y = 45.

-->S1=sum(M,1) //Сумма элементов матрицы по столбцам

S1 =

12 15 18

-->S2=sum(M,2) // Сумма элементов матрицы по строкам

S2 =

6

15

24

--> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1];

--> sum(V) //Сумма элементов вектора

ans = 1

-->//Частный случай. Вычисление скалярного произведения

--> a=[1 2 3];b=[2 0 1];

--> sum(a.*b)

ans = 5

prod(X[,fl]) - вычисляет произведение элементов массива X, работает аналогично функции sum;

Листинг 3.25. Использование функции prod

-->prod(M)

ans = 362880.

-->p1=prod(M,1)

p1 =

28 80 162

-->p2=prod(M,2)

p2 =

6

120

504

--> V=[1,2,3];

--> prod(V) //Произведение элементов вектора

ans = 6

max(M[,fl]) - вычисляет наибольший элемент в массиве M, имеет необязательный параметр fl.

Если параметр fl отсутствует, то функция max(M) возвращает максимальный элемент массива M;

если fl=’r’, то функция вернет строку максимальных элементов столбцов матрицы M;

если fl=’с’, то результатом работы функции будет вектор-столбец, каждый элемент которого равен максимальному элементу соответствующих строк матрицы M.

Функция [x, nom]=max(M[,fl]) вернет значение максимального элемента x и его номер в массиве nom;

Листинг 3.26. Использование функции max

-->M=[5 0 3;2 7 1;0 4 9];

-->max(M)

ans =

9.

-->max(M,’r’)

ans =

5. 7. 9.

-->max(M,’c’)

ans =

5.

7.

9.

-->[x,nom]=max(M)

nom =

3. 3.

x =

9.

min(M[,fl]) -  вычисляет наименьший элемент в массиве M, работает аналогично функции max;

Листинг 3.27. Использование функции min

-->A=[5 10 3 2 7 1 25 4 0];

-->[x,nom]=min(A)

nom =

7.

x =

25.

• mean(M[,fl]) - вычисляет среднее значение массива M; если M двумерный массив, то mean(M,1) или mean(M,’r’) определяют среднее значение строк матрицы M, а mean(M,2) или mean(M,’c’) - среднее значение столбцов;

Листинг 3.28. Использование функции mean

-->mean(M)

ans =

3.4444444

-->mean(M,1)

ans =

2.3333333 3.6666667 4.3333333

-->mean(M,2)

ans =

2.6666667

3.3333333

4.3333333

median(M[,fl]) - вычисляет медиану массива M, работает аналогично функции mean;

Листинг 3.29. Использование функции median

-->M=[5 0 3;2 7 1;0 4 9];

-->median(M)

ans = 3.

-->median(M,1)

ans =2. 4. 3.

-->median(M,2)

ans =

3.

2.

4.

det(M) - вычисляет определитель квадратной матрицы М;

Листинг 3.30. Использование функции det

-->M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

-->det(M)

ans = 17.

-->Z=[1 2 2;0 1 3;2 4 4];

-->det(Z)

ans = 0.

• rank(M[,tol]) - вычисление ранга матрицы M (максимальное число линейно независимых строк) с точностью tol.

Листинг 3.31. Использование функции rank

-->M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

-->rank(M)

ans = 3.

-->Z=[1 2 2;0 1 3;2 4 4];

-->rank(Z)

ans = 2.

norm(M[,fl]) - вычисление нормы квадратной матрицы М; тип нормы определяется необязательной строковой переменной fl, по умолчанию fl=2.

Функции norm(M) и norm(M,2) эквивалентны и вычисляют вторую норму матрицы М (вторая норма матрицы - ее наибольшее сингулярное значение).

Первая норма (наибольшая сумма по столбцам) определяется функцией norm(M,1).

Функции norm(M,’inf’) и norm(M,’fro’) вычисляют соответственно бесконечную (наибольшая сумма по строкам) и евклидову нормы (корень из суммы квадратов всех элементов матрицы).

Если V-вектор, то результатом работы функции norm(V,1) будет сумма модулей всех элементов вектора V.

С помощью функции norm(V,2) можно вычислить модуль вектора V (корень квадратный из суммы квадратов его элементов).

Значение norm(V,’inf’) равно модулю максимального элемента вектора по модулю;

Листинг 3.32. Использование функции norm

-->M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

-->norm(M,1)

ans = 5.

-->norm(M,2)

ans =

4.5806705

-->norm(M,’inf’)

ans = 6.

-->norm(M,’fro’)

ans = 5.3851648

-->X=[5 -3 4 -1 2];

-->norm(X,1)

ans = 15.

-->sum(abs(X))//То же, что и norm(X,1)

ans = 15.

-->norm(X,2)

ans = 7.4161985

-->sqrt(sum(X^2)) //То же, что и norm(X,2)

ans = 7.4161985

-->norm(X,’inf’)

ans =

5.

-->max(abs(X))//То же, что и norm(X,’inf’)

ans =

5.

сond(M) - вычисляет число обусловленности (число обусловленности равно произведению нормы исходной матрицы на норму обратной) матрицы М по второй норме;

Листинг 3.33. Использование функции cond

-->A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];

-->cond(A)

ans =2984.0927.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60589. Диагностика зависания и неисправностей компьютера 2.75 MB
  Если контакты погнуты аккуратно разогните их; проверьте правильно ли установлена видеоплата и снова включите дисплей а затем ПК; если дисплей работает нормально в течение процедуры самотестирования POST а при загрузке операционной системы Windows...
60590. Дидактические игры и упражнения на уроке математике для обучающихся с нарушениями интеллекта 78.5 KB
  Включенные в урок дидактические игры удовлетворяют требованиям обучения и воспитания сближают новую познавательную деятельность обучающегося с уже привычной для него игровой облегчая переход от игры к серьезной умственной работе.
60591. ВИКОРИСТАННЯ СОЦІАЛЬНИХ МЕРЕЖ У НАВЧАЛЬНО-ВИХОВНОМУ ПРОЦЕСІ В ЗАГАЛЬНО-ОСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАЙЛАДАХ 1.68 MB
  Соціальні мережі дають можливість безпосередньо підводити вихованців до тих чи інших дій. Корисного аналізу того чи іншого питання у неформальні обстановці. Соціальні мережі в певній мірі дають можливість оцінити особисте життя вихованців. Часто розміщені фото, окремі альбоми дозволяють встановити напрямки розвитку уподобань і схильностей учнів.
60592. Особенности развития речи у детей раннего возраста 316 KB
  Овладение речью как средством общения возможно лишь на основе достаточно развитого фонематического слуха, который осуществляет определенный анализ, отделяя высоту звуков от их фонематических особенностей, и тонкое дифференцирование самих фонематических различий.
60593. Игровые моменты и опорные конспекты на уроках истории 1.8 MB
  О первостепенном значении игры для естественного развития ребёнка свидетельствует тот факт что ООН провозгласила игру универсальным и неотъемлемым правом ребёнка. Включаясь в процесс игры дети научаются жить в нашем символическом...
60594. Побудова діаграм і графіків в електронних таблицях MS Excel 1.39 MB
  Пізнавальна мета уроку: закріпити навички роботи з ЕТ Excel; поглибити знання учнів по темі Діаграми; навчити учнів будувати різноманітні типи діаграм графіків у електронній таблиці...