36847

Массивы и матрицы. Решение задач линейной алгебры

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

9000 Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой а строки разделяются между собой точкой с запятой: nme=[x11 x12 . xmn;] Обратиться к элементу матрицы можно указав после имени матрицы в круглых скобках через запятую номер строки и номер столбца на пересечении которых элемент расположен: nmeиндекс1 индекс2 Листинг 3. Пример обращения к элементам матрицы =[1 2 3;4 5 6;7 8 9] = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12^22 33 ns = 3.

Русский

2013-09-23

121.5 KB

5 чел.

Лабораторная работа № 4

Массивы и матрицы. Решение задач линейной алгебры

Ввод и формирование массивов и матриц

Задать одномерный массив в Scilab можно следующим образом:

name=Xn:dX:Xk

где

name - имя переменной, в которую будет записан сформированный массив,

Xn - значение первого элемента массива,

Xk - значение последнего элемента массива,

dX - шаг, с помощью которого формируется каждый следующий элемент массива, т.е. значение второго элемента составит Xn+dX, третьего Xn+ dX+dX и так далее до Xk.

Если параметр dX в конструкции отсутствует, это означает, что по умолчанию он принимает значение, равное единице, т.е. каждый следующий элемент массива равен значению предыдущего плюс один:

name=Xn:Xk

Переменную, заданную как массив, можно использовать в арифметических выражениях и в качестве аргумента математических функций. Результатом работы таких операторов являются массивы:

Листинг 3.1. Примеры работы с массивами

--> Xn=-3.5;dX=1.5;Xk=4.5;

--> X=Xn:dX:Xk

X =

-3.5000 -2.0000 -0.5000 1.0000 2.5000 4.0000

--> Y=sin(X/2)

Y =

-0.9840 -0.8415 -0.2474 0.4794 0.9490 0.9093

--> A=0:5

A =

0 1 2 3 4 5

--> 0:5

ans =

0 1 2 3 4 5

--> ans/2+%pi

ans =

3.1416 3.6416 4.1416 4.6416 5.1416 5.6416

Еще один способ задания векторов и матриц в Scilab - это их поэлементный ввод.

Так, для определения вектора-строки следует ввести имя массива, а затем после знака присваивания, в квадратных скобках через пробел или запятую, перечислить элементы массива:

name=[x1 x2 ... xn] или name=[x1, x2, ..., xn]

Пример ввода вектора-строки:

Листинг 3.2. Определение вектора-строки

--> V=[1 2 3 4 5]

V =

1 2 3 4 5

--> W=[1.1,2.3,-0.1,5.88]

W =

1.1000 2.3000 -0.1000 5.8800

Элементы вектора-столбца вводятся через точку с запятой:

name=[x1; x2; ...; xn]

Пример ввода вектора-столбца:

Листинг 3.3. Определение вектора-столбца

--> X=[1;2;3]

X =

1

2

3

Обратиться к элементу вектора можно, указав имя массива и порядковый номер элемента в круглых скобках:

name(индекс)

Например:

Листинг 3.4. Пример обращения к элементу массива

--> W=[1.1,2.3,-0.1,5.88];

--> W(1)+2*W(3)

ans = 0.9000

Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках, при этом элементы строки отделяются друг от друга пробелом или запятой, а строки разделяются между собой точкой с запятой:

name=[x11, x12, ..., x1n; x21, x22, ..., x2n; ...;

xm1, xm2, ..., xmn;]

Обратиться к элементу матрицы можно, указав после имени матрицы, в круглых скобках через запятую, номер строки и номер столбца на пересечении которых элемент расположен:

name(индекс1, индекс2)

Листинг 3.5. Пример обращения к элементам матрицы

--> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

--> A(1,2)^A(2,2)/A(3,3)

ans = 3.5556

Кроме того, матрицы и векторы можно формировать, составляя их из ранее заданных матриц и векторов:

Листинг 3.6. Пример конкатенации матриц

--> v1=[1 2 3]; v2=[4 5 6]; v3=[7 8 9];

--> //Горизонтальная конкатенация векторов-строк:

--> V=[v1 v2 v3]

V = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-->//Вертикальная конкатенация векторов-строк,

-->//результат матрица:

--> V=[v1; v2; v3]

V =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

-->//Горизонтальная конкатенация матриц:

--> M=[V V V]

M =

1 2 3 1 2 3 1 2 3

4 5 6 4 5 6 4 5 6

7 8 9 7 8 9 7 8 9

-->//Вертикальная конкатенация матриц:

--> M=[V;V]

M =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Важную роль при работе с матрицами играет знак двоеточия «:». Указывая его вместо индекса при обращении к массиву, можно получать доступ к группам его элементов. Например:

Листинг 3.7. Примеры использования операции «:»

-->//Пусть задана матрица А

--> A=[5 7 6 5; 7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]

--> //Выделить из матрицы А второй столбец

--> A(:,2)

ans =

7

10

8

7

--> //Выделить из матрицы А третью строку

--> A(3,:)

ans = 6 8 10 9

--> //Выделить из матрицы А подматрицу М

--> M=A(3:4,2:3)

M =

8 10

7 9

--> //Удалить из матрицы А второй столбец

--> A(:,2)=[]

A =

5 8 10

7 7 9

6 10 9

5 9 10

--> //Удалить из матрицы А третью строку

--> A(3,:)=[]

A =

5 8 10

7 7 9

5 9 10

--> //Представить матрицу М в виде вектора-столбца

--> v=M(:)

v =

8

7

10

9

-->//Выделить из вектора v элементы со второго по четвертый

--> b=v(2:4)

b =

7

10

9

--> //Удалить из массива b второй элемент

--> b(2)=[];

Действия над матрицами

Для работы с матрицами и векторами в Scilab предусмотрены следующие операции:

+ - сложение;

- - вычитание (Операции сложения и вычитания определены для матриц одной размерности или векторов одного типа, т.е. суммировать (вычитать) можно либо векторы-столбцы, либо векторы-строки одинаковой длины)1;

’ – транспонирование (Если в некоторой матрице заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица);

* - матричное умножение (Операция умножения вектора на вектор определена только для векторов одинакового размера, причем один из них должен быть вектором-столбцом, а второй вектором-строкой. Матричное умножение выполняется по правилу «строка на столбец» и допустимо, если количество строк во второй матрице совпадает с количеством столбцов в первой. Кроме того, переместительный закон на произведение матриц не распространяется);

* - умножение на число;

ˆ - возведение в степень (Возвести матрицу в n-ю степень значит умножить ее саму на себя n раз. При этом целочисленный показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае выполняется алгоритм умножения матрицы на себя указанное число раз, во втором умножается на себя матрица, обратная к данной);

\ - левое деление ((A\B) ) (A−1B), операция может быть применима для решения матричного уравнения вида A · X = B, где X-неизвестный вектор);

/  - правое деление ((B/A) ) (B · A−1), используют для решения матричных уравнений вида X · A = B);

.* - поэлементное умножение матриц;

.ˆ - поэлементное возведение в степень;

.\ - поэлементное левое деление;

./ - поэлементное правое деление.

Листинг 3.8. Примеры матричных операций

-->A=[1 2 0;-1 3 1;4 -2 5];

-->B=[-1 0 1;2 1 1;3 -1 -1];

-->//Вычислить (AT+B)2 - 2A(0.5BT-A)

-->(A’+B)^2-2*A*(1/2*B’-A)

ans =

10. 8. 24.

11. 20. 35.

63. - 30. 68.

--> //Решить матричные уравнения А•Х=В и Х•A=B.

-->A=[3 2;4 3];

-->B=[-1 7;3 5];

-->//Решение матричного уравнения AX=B:

-->X=A\B

X =

- 9. 11.

13. - 13.

-->//Решение матричного уравнения XA=B:

-->X=B/A

X =

- 31. 23.

- 11. 9.

-->//Проверка

-->X*A-B

ans =

0. 0.

0. 0.

Кроме того, если к некоторому заданному вектору или матрице применить математическую функцию, то результатом будет новый вектор или матрица той же размерности, но элементы будут преобразованы в соответствии с заданной функцией:

Листинг 3.9. Пример применения функции к массиву

--> x=[0.1 -2.2 3.14 0 -1];

--> sin(x)

ans =

0.0998 -0.8085 0.0016 0 -0.8415

Специальные матричные функции

Для работы с матрицами и векторами в Scilab существуют специальные функции. Рассмотрим наиболее часто используемые из них.

Функции определения матриц:

matrix(A [,n,m]) - преобразует матрицу A в матрицу другого размера;

Листинг 3.10. Использование функции matrix

-->D=[1 2;3 4;5 6];

-->matrix(D,2,3)

ans =

1. 5. 4.

3. 2. 6.

-->matrix(D,3,2)

ans =

1. 2.

3. 4.

5. 6.

-->matrix(D,1,6)

ans =

1. 3. 5. 2. 4. 6.

-->matrix(D,6,1)

ans =

1.

3.

5.

2.

4.

6.

• ones(m,n) - создает матрицу единиц из m строк и n столбцов (результатом работы функции ones(n1,n2...,nn) будет многомерная матрица единиц);

Листинг 3.11. Использование функции ones

-->ones(1,3) //Формируется вектор-строка

ans =

1. 1. 1.

-->ones(2,2) //Формируется квадратная матрица

ans =

1. 1.

1. 1.

-->m=3; n=2;

-->X=ones(m,n) //Формируется матрица размерности m на n

X =

1. 1.

1. 1.

1. 1.

-->M=[1 2 3;4 5 6]

M =

1. 2. 3.

4. 5. 6.

-->//Формируется матрица Y, состоящая из единиц,

-->//той же размерности, что и матрица M

-->Y=ones(M)

Y =

1. 1. 1.

1. 1. 1.

zeros(m,n) - создает нулевую матрицу  из m строк и n столбцов;

Листинг 3.12. Использование функции zeros

-->zeros(3,2)

ans =

0. 0.

0. 0.

0. 0.

-->M=[1 2 3 4 5];

-->Z=zeros(M)

Z =

0. 0. 0. 0. 0.

eye(m,n) - формирует единичную матрицу из m строк и n столбцов;

Листинг 3.13. Примеры использования функции eye

-->eye(3,3)

ans =

1. 0. 0.

0. 1. 0.

0. 0. 1.

-->eye(5,1)

ans = 

1.

0.

0.

0.

0.

-->m=3; n=4;

-->E=eye(m,n)

E =

1. 0. 0. 0.

0. 1. 0. 0.

0. 0. 1. 0.

-->M=[0 1;2 3];

-->//Формируется единичная матрица E

-->//той же размерности, что и матрица M

-->E=eye(M)

E =

1. 0.

0. 1.

-->//Функцию можно использовать без параметров eye().

-->//В этом случае задается матрица с неопределенными

-->//размерами, которые будут определены после суммирования

-->//с другой, определенной ранее, матрицей.

-->M=[1 2;3 4;5 6]; E=eye();

-->A=E+M

A =

2. 2.

3. 5.

5. 6.

-->M-E

ans =

0. 2.

3. 3.

5. 6.

rand(n1,n2,...nn[,fl]) - формирует многомерную матрицу случайных чисел. Необязательный параметр p - это символьная переменная, с помощью которой можно задать тип распределения случайной величины (’uniform’ - равномерное, ’normal’ -гауссовское);

rand(m,n) - формирует матрицу m на n случайных чисел;

rand(M) - формирует матрицу случайных чисел, размер которой совпадает с размером матрицы М;

результат функции rand() - случайное скалярное число;

Листинг 3.14. Примеры использования функции rand

-->rand(2,2)//Матрица 2 на 2 случайных чисел

ans =

0.2113249 0.0002211

0.7560439 0.3303271

--> R=rand(2,2,2)//Многомерный массив случайных чисел

R(:,:,1) =

0.9355 0.4103

0.9169 0.8936

R(:,:,2) =

0.0579 0.8132

0.3529 0.0099

-->rand()//Случайное число

ans =

0.6653811

• sparse([i1 j1;i2 j2;...;in jn],[n1,n2,...,nn]) - формирует разреженную матрицу. Для создания матрицы такого типа необходимо указать индексы ее ненулевых элементов - [i1 j1,i2 j2,...,in jn], и их значения - [n1,n2,...,nn].

Индексы одного элемента отделяются друг от друга либо пробелом, либо запятой, а пары индексов - соответственно точкой с запятой, значения элементов разделяются запятыми.

При попытке просмотреть матрицу подобного типа пользователю будет предоставлено сообщение о ее размерности, а также значения ненулевых элементов и их местоположение в матрице.

full(M) - вывод разреженной матрицы М в виде таблицы;

Листинг 3.15. Использование функций sparse и full

-->A=sparse([1 3;3 2;3 5],[4,5,6])

A =

( 3, 5) sparse matrix

( 1, 3) 4.

( 3, 2) 5.

( 3, 5) 6.

-->full(A)

ans =

0. 0. 4. 0. 0.

0. 0. 0. 0. 0.

0. 5. 0. 0. 6.

• hypermat(D[,V]) - создание многомерной матрицы с размерностью, заданной вектором D и значениями элементов, хранящихся в векторе V (использование параметра V необязательно);

Листинг 3.16. Использование функции hypermat

-->//Пример создания матрицы М,

-->//состоящей из трех матриц размерности два на два,

-->//каждый элемент матрицы - член последовательности

-->//целых чисел от 0 до 11.

-->M=hypermat([2 2 3],0:11)

M =

(:,:,1)

0. 2.

1. 3.

(:,:,2)

4. 6.

5. 7.

(:,:,3)

8. 10.

9. 11.

diag(V[,k]) - возвращает квадратную матрицу с элементами V на главной или на k-й диагонали; функция diag(A[,k]), где A - ранее определенная матрица, в качестве результата выдаст вектор-столбец, содержащий элементы главной или k-ой диагонали матрицы А;

Листинг 3.17. Использование функции diag

--> V=[1,2,3];

--> diag(V)//Диагональная матрица, V на главной диагонали

ans = 1 0 0

0 2 0

0 0 3

-->//Диагональная матрица,

-->//V на первой диагонали (выше главной)

--> diag(V,1)

ans = 0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0

-->//Диагональная матрица,

-->//V на первой диагонали (ниже главной)

--> diag(V,-1)

ans = 0 0 0 0

1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

--> A=[-1 2 0 ;2 1 -1 ;2 1 3]

A =

-1 2 0

2 1 -1

2 1 3

--> diag(A) //Главная диагональ матрицы А

ans =

-1

1

3

cat(n, A, B, [C, ...]) - объединяет матрицы А и В или все входящие матрицы, при n=1 по строкам, при n=2 по столбцам; то же что [A; B] или [A, B];

Листинг 3.18. Использование функции cat

--> A=[1 2;3 4]; B=[5 6 ;7 8];

--> cat(2,A,B)//Объединение матриц

ans =

1 2 5 6

3 4 7 8

--> cat(1,A,B) //Объединение матриц

ans =

1 2

3 4

5 6

7 8

tril(A[,k]) - формирует из матрицы А нижнюю треугольную матрицу, начиная с главной или с k-й диагонали;

Листинг 3.19. Использование функции tril

--> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

A =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

-->//Нижняя треугольная матрица, начиная с главной диагонали

--> tril(A)

ans =

1 0 0

4 5 0

7 8 9

--> tril(A,0)//Тоже что и tril(A)

ans =

1 0 0

4 5 0

7 8 9

--> tril(A,1)//Нижняя треугольная матрица,

--> //начиная с первой диагонали (выше главной)

ans =

1 2 0

4 5 6

7 8 9

--> tril(A,-2) )//Нижняя треугольная матрица,

--> //начиная со второй диагонали (ниже главной)

ans =

0 0 0

0 0 0

7 0 0

triu(A[,k]) - формирует из матрицы А верхнюю треугольную матрицу1, начиная с главной или с k-й диагонали;

Листинг 3.20. Использование функции triu

--> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

--> triu(A)//Верхняя треугольная матрица

ans =

1 2 3

0 5 6

0 0 9

--> triu(A,2) )//Верхняя треугольная матрица,

--> //начиная со второй диагонали (выше главной)

ans =

0 0 3

0 0 0

0 0 0

--> triu(A,-1) )//Верхняя треугольная матрица,

--> //начиная с первой диагонали (ниже главной)

ans =

1 2 3

4 5 6

0 8 9

sort(X) - выполняет упорядочивание массива X; если X - матрица, сортировка выполняется по столбцам;

Листинг 3.21. Использование функции sort

-->b=[2 0 1]; sort(b) //Сортировка по убыванию

ans =

2. 1. 0.

-->-sort(-b) //Сортировка по возрастанию

ans =

0. 1. 2.

-->A=[1 2 0;-1 3 1;4 -2 5];

-->sort(A) //Сортировка матрицы

ans =

5. 2. 0.

4. 1. - 1.

3. 1. - 2.

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

size(V[,fl]) - определяет размер массива V; если V - двумерный массив, то size(V,1) или size(V,’r’) определяют число строк матрицы V, а size(V,2) или size(V,’c’) - число столбцов;

Листинг 3.22. Использование функции size

-->M=[1 2;3 4;5 6;7 8];

-->[n,m]=size(M)

m =

2.

n =

4.

-->size(M,1)

ans =

4.

-->size(M,2)

ans =2.

length(X) - определяет количество элементов массива X; если X - вектор, его длину; если X - матрица, вычисляет общее число ее элементов;

Листинг 3.23. Использование функции length

--> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1];//Вектор-строка

--> length(V)//Длина вектора

ans =

7

-->[1 2 3;4 5 6];//Матрица

-->length(ans)//Количество элементов матрицы

ans =

6.

sum(X[,fl]) - вычисляет сумму элементов массива X, имеет необязательный параметр fl.

Если параметр fl отсутствует, то функция sum(X) возвращает скалярное значение, равное сумме элементов массива.

Если fl=’r’ или fl=1, что тоже самое, то функция вернет строку, равную поэлементной сумме столбцов матрицы X.

Если fl=’с’ или fl=2, то результатом работы функции будет вектор-столбец, каждый элемент которого равен сумме элементов строк матрицы X.

Частный случай применения функции sum – это вычисление скалярного произведения векторов;

Листинг 3.24. Примеры использования функции sum

-->M=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

-->Y=sum(M) //Сумма элементов матрицы

Y = 45.

-->S1=sum(M,1) //Сумма элементов матрицы по столбцам

S1 =

12 15 18

-->S2=sum(M,2) // Сумма элементов матрицы по строкам

S2 =

6

15

24

--> V=[-1 0 3 -2 1 -1 1];

--> sum(V) //Сумма элементов вектора

ans = 1

-->//Частный случай. Вычисление скалярного произведения

--> a=[1 2 3];b=[2 0 1];

--> sum(a.*b)

ans = 5

prod(X[,fl]) - вычисляет произведение элементов массива X, работает аналогично функции sum;

Листинг 3.25. Использование функции prod

-->prod(M)

ans = 362880.

-->p1=prod(M,1)

p1 =

28 80 162

-->p2=prod(M,2)

p2 =

6

120

504

--> V=[1,2,3];

--> prod(V) //Произведение элементов вектора

ans = 6

max(M[,fl]) - вычисляет наибольший элемент в массиве M, имеет необязательный параметр fl.

Если параметр fl отсутствует, то функция max(M) возвращает максимальный элемент массива M;

если fl=’r’, то функция вернет строку максимальных элементов столбцов матрицы M;

если fl=’с’, то результатом работы функции будет вектор-столбец, каждый элемент которого равен максимальному элементу соответствующих строк матрицы M.

Функция [x, nom]=max(M[,fl]) вернет значение максимального элемента x и его номер в массиве nom;

Листинг 3.26. Использование функции max

-->M=[5 0 3;2 7 1;0 4 9];

-->max(M)

ans =

9.

-->max(M,’r’)

ans =

5. 7. 9.

-->max(M,’c’)

ans =

5.

7.

9.

-->[x,nom]=max(M)

nom =

3. 3.

x =

9.

min(M[,fl]) -  вычисляет наименьший элемент в массиве M, работает аналогично функции max;

Листинг 3.27. Использование функции min

-->A=[5 10 3 2 7 1 25 4 0];

-->[x,nom]=min(A)

nom =

7.

x =

25.

• mean(M[,fl]) - вычисляет среднее значение массива M; если M двумерный массив, то mean(M,1) или mean(M,’r’) определяют среднее значение строк матрицы M, а mean(M,2) или mean(M,’c’) - среднее значение столбцов;

Листинг 3.28. Использование функции mean

-->mean(M)

ans =

3.4444444

-->mean(M,1)

ans =

2.3333333 3.6666667 4.3333333

-->mean(M,2)

ans =

2.6666667

3.3333333

4.3333333

median(M[,fl]) - вычисляет медиану массива M, работает аналогично функции mean;

Листинг 3.29. Использование функции median

-->M=[5 0 3;2 7 1;0 4 9];

-->median(M)

ans = 3.

-->median(M,1)

ans =2. 4. 3.

-->median(M,2)

ans =

3.

2.

4.

det(M) - вычисляет определитель квадратной матрицы М;

Листинг 3.30. Использование функции det

-->M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

-->det(M)

ans = 17.

-->Z=[1 2 2;0 1 3;2 4 4];

-->det(Z)

ans = 0.

• rank(M[,tol]) - вычисление ранга матрицы M (максимальное число линейно независимых строк) с точностью tol.

Листинг 3.31. Использование функции rank

-->M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

-->rank(M)

ans = 3.

-->Z=[1 2 2;0 1 3;2 4 4];

-->rank(Z)

ans = 2.

norm(M[,fl]) - вычисление нормы квадратной матрицы М; тип нормы определяется необязательной строковой переменной fl, по умолчанию fl=2.

Функции norm(M) и norm(M,2) эквивалентны и вычисляют вторую норму матрицы М (вторая норма матрицы - ее наибольшее сингулярное значение).

Первая норма (наибольшая сумма по столбцам) определяется функцией norm(M,1).

Функции norm(M,’inf’) и norm(M,’fro’) вычисляют соответственно бесконечную (наибольшая сумма по строкам) и евклидову нормы (корень из суммы квадратов всех элементов матрицы).

Если V-вектор, то результатом работы функции norm(V,1) будет сумма модулей всех элементов вектора V.

С помощью функции norm(V,2) можно вычислить модуль вектора V (корень квадратный из суммы квадратов его элементов).

Значение norm(V,’inf’) равно модулю максимального элемента вектора по модулю;

Листинг 3.32. Использование функции norm

-->M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

-->norm(M,1)

ans = 5.

-->norm(M,2)

ans =

4.5806705

-->norm(M,’inf’)

ans = 6.

-->norm(M,’fro’)

ans = 5.3851648

-->X=[5 -3 4 -1 2];

-->norm(X,1)

ans = 15.

-->sum(abs(X))//То же, что и norm(X,1)

ans = 15.

-->norm(X,2)

ans = 7.4161985

-->sqrt(sum(X^2)) //То же, что и norm(X,2)

ans = 7.4161985

-->norm(X,’inf’)

ans =

5.

-->max(abs(X))//То же, что и norm(X,’inf’)

ans =

5.

сond(M) - вычисляет число обусловленности (число обусловленности равно произведению нормы исходной матрицы на норму обратной) матрицы М по второй норме;

Листинг 3.33. Использование функции cond

-->A=[5 7 6 5;7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];

-->cond(A)

ans =2984.0927.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74780. Релятивистский закон сложения скоростей. Изменение массы со скоростью. Связь массы и энергии 56 KB
  Произведя соответствующие преобразования получаем релятивистский закон сложения скоростей специальной теории относительности: Закон взаимосвязи массы и энергии Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы.
74781. Термодинамический и статистический подход к изучению поведения систем. Термодинамические параметры. Статистическое и термодинамическое определение абсолютной температуры 30.5 KB
  Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этот метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы...
74782. Понятие идеального газа. Давление. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов 85 KB
  Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда...
74783. Внутренняя энергия системы. Внутренняя энергия идеального газа. Первое начало термодинамики. Примеры 35.5 KB
  Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: в форме работы и в форме теплоты. Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения и наоборот.
74784. Теплоемкость (полная, удельная, молярная). Теплоемкость идеального газа (при постоянном давление и объеме). Формула Майера 46.5 KB
  Выражение (53.6) называется уравнением Майера; оно показывает, что Ср всегда больше СV на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа...
74785. Первое начало термодинамики. Круговые, обратимые и необратимые процессы. Тепловая машина Карно и ее кпд 54 KB
  Внутренняя энергия системы может изменяться в результате различных процессов например совершения над системой работы или сообщения ей теплоты. С другой стороны температуру газа и его внутреннюю энергию можно увеличить за счет сообщения ему некоторого количества теплоты...
74786. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам 69 KB
  Среди равновесных процессов, происходящих с термодинамическими системами, выделяются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.
74787. Применение 1-го начала термодинамики к адиабатическому процессу. Уравнение адиабаты 32 KB
  Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между физической системой и окружающей средой. Близким к адиабатическим являются все быстро протекающие процессы.
74788. Энтропия. Связь энтропии и вероятности состояния. Флуктуация 36.5 KB
  Флуктуации — случайные отклонения от среднего значения физических величин, характеризующих систему из большого числа частиц; вызываются тепловым движением частиц или квантово-механическими эффектами.