36852

Численные методы решения задач линейной алгебры

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Численные методы решения задач линейной алгебры specM вычисляет собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы M. specM Собственные числа матрицы ns = 1. Х собственные векторы соответствующие собственным значениям из матрицы Y. Использование функции inv Пример вычисления обратной матрицы.

Русский

2013-09-23

44.5 KB

6 чел.

Лабораторная работа 4а.

Численные методы решения задач линейной алгебры

spec(M) - вычисляет собственные значения и собственные векторы  квадратной матрицы M.

Листинг 3.34. Использование функции spec

-->M=[3 -2;-4 1]

M =

3. - 2.

- 4. 1.

-->spec(M) //Собственные числа матрицы

ans =

- 1.

5.

//Х - собственные векторы,

-->соответствующие собственным значениям из матрицы Y.

-->[X,Y]=spec(M)

Y =

! - 1. 0 !

! 0 5. !

X =

! 0.4472136 - 0.7071068 !

! 0.8944272 0.7071068 !

inv(A) - вычисляет матрицу, обратную к A;

Листинг 3.35. Использование функции inv

-->//Пример вычисления обратной матрицы.

-->A=[1 2 3 5;0 1 3 2;4 2 1 1;2 3 0 1];

-->inv(A)

ans =

! 0.0285714 - 0.1428571 0.3428571 - 0.2 !

! - 0.1428571 0.2142857 - 0.2142857 0.5 !

! - 0.2 0.5 0.1 - 0.1 !

! 0.3714286 - 0.3571429 - 0.0428571 - 0.1 !

-->//При умножении обратной матрицы на исходную,

-->//получилась матрица, близкая к единичной.

-->inv(A)*A

ans =

1. - 1.110D-16 0. 0.

0. 1. - 5.551D-17 5.551D-17

0. 0. 1. 1.388D-17

0. 0. 6.939D-17 1.

-->//При попытке обратить вырожденную матрицу

-->//(определитель равен или близок к нулю)

-->//пользователь получит сообщение об ошибке.

-->B=[1 2 3;1 4 5;1 6 7];

-->inv(B)

!--error 19

Problem is singular

pinv(A[,tol]) - вычисляет псевдообратную матрицу для матрицы A с точностью tol (необязательный параметр);

Листинг 3.36. Использование функции pinv

-->pinv(A)

ans =

0.0285714 - 0.1428571 0.3428571 - 0.2

- 0.1428571 0.2142857 - 0.2142857 0.5

- 0.2 0.5 0.1 - 0.1

0.3714286 - 0.3571429 - 0.0428571 - 0.1

linsolve(A,b) - решает систему линейных алгебраических уравнений вида

.

Листинг 3.37. Пример использования функции linsolve

-->//Решение системы линейных уравнений

-->//{x1+2x2-7=0; x1+x2-6=0}.

-->//Свободные коэффициенты вводятся как вектор-столбец

-->//и с учетом знаков.

-->A=[1 2;1 1];b=[-7;-6];

-->x=linsolve(A,b)

x =

5.

1.

-->//Результатом операции A*x+b является вектор, достаточно

-->//близкий к нулю, это значит, что система решена верно.

-->A*x+b

ans =

1.0D-14 *

- 0.6217249

0.0888178

-->//Решение системы {x1+x2-1=0; x1+x2-3=0}

-->A=[1 1;1 1]; b=[-1;-3];

-->//Система не имеет решений:

-->linsolve(A,b)

WARNING:Conflicting linear constraints!

ans =

[]

-->//Решение системы {3x1-x2-1=0; 6x1-2x2-2=0}.

-->//В случае, когда система имеет бесконечное

-->//множество решений, SCILAB выдаст одно из них.

-->A=[3 -1;6 -2];

-->b=[-1;-2];

-->x=linsolve(A,b)

x =

0.3

- 0.1

-->//Проверка неверна

-->A*x+b

ans =

1.0D-15 *

- 0.1110223

- 0.2220446

rref(A) - осуществляет приведение матрицы A к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса;

Листинг 3.38. Пример использования функции rref

--> A=[3 -2 1 5;6 -4 2 7;9 -6 3 12]

A =

3 -2 1 5

6 -4 2 7

9 -6 3 12

--> rref(A)

ans =

1.0000 -0.6667 0.3333 0

0 0 0 1.0000

0 0 0 0

lu(М) - выполняет треугольное разложение матрицы M;

M = C · L · U, где L и U - соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы, все четыре матрицы квадратные и одного порядка. Такие вычисления называют LU-разложением.

Листинг 3.39. Использование функции lu

-->A=[2 -1 5;3 2 -5;1 1 -2]

A =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

-->[L,U]=lu(A)

U =

3. 2. - 5.

0. - 2.3333333 8.3333333 !

0. 0. 0.8571429 !

L =

0.6666667 1. 0.

1. 0. 0.

0.3333333 - 0.1428571 1.

-->LU=L*U

LU =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

qr(М) - выполняет разложение матрицы М на ортогональную и верхнюю треугольную матрицы;

M = Q · R, где Q - ортогональная матрица, а R - верхняя треугольная матрица. Этот

процесс называют QR-разложением.

Листинг 3.40. Использование функции qr

-->[Q,R]=qr(A)

R =

- 3.7416574 - 1.3363062 1.8708287

0. - 2.0528726 7.0632734

0. 0. 0.7811335

Q =

- 0.5345225 0.8350668 0.1301889

- 0.8017837 - 0.4523279 - 0.3905667

0.2672612 - 0.3131501 0.9113224

-->Q*R

ans =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

svd(М) - выполняет сингулярное разложение размером n×m; результатом работы функции может быть либо сингулярное разложение, либо вектор, содержащий сингулярные значения матрицы.

M = U · S · VT, где U и V-ортогональные матрицы размером m × m и n × n соответственно, а S-диагональная матрица, на диагонали которой расположены сингулярные числа матрицы M

Листинг 3.41. Использование функции svd

-->[U,S,V]=svd(A)

V =

- 0.1725618 0.9641403 - 0.2016333

- 0.3059444 0.1421160 0.9413825

0.9362801 0.2241352 0.2704496

S =

7.8003308 0. 0.

0. 3.6207331 0.

0. 0. 0.2124427

U =

0.5951314 0.8028320 0.0357682

- 0.7449652 0.5678344 - 0.3501300

- 0.3014060 0.1817273 0.9360180

-->U*S*V’

ans =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

-->s=svd(A)

s =

7.8003308

3.6207331

0.2124427

kernel(М[,tol[,fl]]) - определение ядра матрицы М, параметры tol и fl являются необязательными. Первый задает точность вычислений, второйиспользуемый при вычислении алгоритм и принимает значения ’qr’ или ’svd’.

Ядро матрицы - это множество векторов X. Поиск ядра матрицы сводится к решению однородной системы линейных уравнений AX = 0. Если при вызове функции X=kernel(A) матрица X окажется непустой, то действительно AX = 0.

Листинг 3.42. Использование функции kernel

-->A=[4 1 -3 -1;2 3 1 -5;1 -2 -2 3]

A =

4. 1. - 3. - 1.

2. 3. 1. - 5.

1. - 2. - 2. 3.

-->X=kernel(A)

X =

0.3464102

0.5773503

0.4618802

0.5773503


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84404. Amir Temur (Tamerlane) (1336-1405) 128.66 KB
  Amir Temur was born in 8th April 1336 in Hodja Ilgor village (Yakkabag) near Kesh (Shahrisabz). His father emir Muhammad Taragaj was from notable family of a Turkic sort barlas. He was the influential person and had the big authority in Movarounnahr.
84405. DIE UKRAINE: LAND UND LEUTE 20.22 KB
  Die Ukraine ist ein verhältnismäßig junger Staat. Einst war sie eine der Sowjetrepubliken. Am 24. August 1991 wurde ihre Unabhängigkeit bekanntgegeben. Jetzt hat die Ukraine ihre eigene Verfassung, Regierung, den Obersten Rat und Währung — die Grywnja.
84406. LEHRERTÄTIGKEIT 19.92 KB
  Lehrer unterstützen und fördern die persönliche Entwicklung ihrer Schüler und vermitteln anderen ihr Fachwissen. Die Aufgaben eines Lehrers sind vielseitig. Es geht nicht nur um die Vermittlung von Bildungsinhalten und das Einhalten des vorgeschriebenen Lehrplans.
84407. SEHENSWÜRDIGKEITEN BERLINS 20.26 KB
  Berlin ist die Hauptstadt der Bundesrepublik Deutschland. Es wurde im 13. Jahrhundert gegründet. Im 19. Jahrhundert hatte sich Berlin zu einer der größten Städte Europas entwickelt. Berlin war bis 1945 das Kulturzentrum Europas.
84408. UMWELTSCHUTZ IN DEUTSCHLAND 18.21 KB
  Die räuberische Einmischung des Menschen in die Natur führte zur ökologischen Tragödie in der ganzen Welt. Es gibt viele Beispiele dazu: der sterbende Wald, verseuchtes Wasser, verpestete Luft, drohende Klimaveränderungen.
84409. Особливості прояву самостійності дітей старшого дошкільного віку 389 KB
  Вивчити та проаналізувати, з наукових джерел, погляди видатних педагогів і психологів минулого та сучасності на проблеми виховання самостійності дітей дошкільного віку. Означити ефективність методик визначення рівнів самостійності дітей дошкільного віку...
84410. DAS LEBEN DER DEUTSCHEN JUGEND 19.99 KB
  Ein Drittel der Bevölkerung in der BRD sind junge Menschen im Alter bis zu 25 Jahren. Die Jugend ist die Zukunft eines jeden Landes. In der Schule und später an Universitäten, Instituten werden die Jugendlichen nach den neuesten Methoden und mit modernster Technik ausgebildet.
84411. DIE WIRTSCHAFT DER BRD 20.33 KB
  Deutschland gehört zu den führenden Industrieländern der Welt. Mit ihren wirtschaftlichen Leistungen nimmt sie den dritten Platz und im Welthandel den zweiten Platz ein. Die Bundesrepublik Deutschland gehört zu der Gruppe dersieben großen westlichen Industrieländern.
84412. Wien. Die Geschichte Wiens 19.76 KB
  Der Stephansdom ist mit seiner Mischung von Stilen für Wein und sein Völker und Kulturgemisch symbolisch. Unter den zahlreichen Gebäuden und Kirchen Wiens sind drei, die man wegen ihren historischen und kulturellen Bedeutung kennen sollte: die Karlskirche...