36852

Численные методы решения задач линейной алгебры

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Численные методы решения задач линейной алгебры specM вычисляет собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы M. specM Собственные числа матрицы ns = 1. Х собственные векторы соответствующие собственным значениям из матрицы Y. Использование функции inv Пример вычисления обратной матрицы.

Русский

2013-09-23

44.5 KB

6 чел.

Лабораторная работа 4а.

Численные методы решения задач линейной алгебры

spec(M) - вычисляет собственные значения и собственные векторы  квадратной матрицы M.

Листинг 3.34. Использование функции spec

-->M=[3 -2;-4 1]

M =

3. - 2.

- 4. 1.

-->spec(M) //Собственные числа матрицы

ans =

- 1.

5.

//Х - собственные векторы,

-->соответствующие собственным значениям из матрицы Y.

-->[X,Y]=spec(M)

Y =

! - 1. 0 !

! 0 5. !

X =

! 0.4472136 - 0.7071068 !

! 0.8944272 0.7071068 !

inv(A) - вычисляет матрицу, обратную к A;

Листинг 3.35. Использование функции inv

-->//Пример вычисления обратной матрицы.

-->A=[1 2 3 5;0 1 3 2;4 2 1 1;2 3 0 1];

-->inv(A)

ans =

! 0.0285714 - 0.1428571 0.3428571 - 0.2 !

! - 0.1428571 0.2142857 - 0.2142857 0.5 !

! - 0.2 0.5 0.1 - 0.1 !

! 0.3714286 - 0.3571429 - 0.0428571 - 0.1 !

-->//При умножении обратной матрицы на исходную,

-->//получилась матрица, близкая к единичной.

-->inv(A)*A

ans =

1. - 1.110D-16 0. 0.

0. 1. - 5.551D-17 5.551D-17

0. 0. 1. 1.388D-17

0. 0. 6.939D-17 1.

-->//При попытке обратить вырожденную матрицу

-->//(определитель равен или близок к нулю)

-->//пользователь получит сообщение об ошибке.

-->B=[1 2 3;1 4 5;1 6 7];

-->inv(B)

!--error 19

Problem is singular

pinv(A[,tol]) - вычисляет псевдообратную матрицу для матрицы A с точностью tol (необязательный параметр);

Листинг 3.36. Использование функции pinv

-->pinv(A)

ans =

0.0285714 - 0.1428571 0.3428571 - 0.2

- 0.1428571 0.2142857 - 0.2142857 0.5

- 0.2 0.5 0.1 - 0.1

0.3714286 - 0.3571429 - 0.0428571 - 0.1

linsolve(A,b) - решает систему линейных алгебраических уравнений вида

.

Листинг 3.37. Пример использования функции linsolve

-->//Решение системы линейных уравнений

-->//{x1+2x2-7=0; x1+x2-6=0}.

-->//Свободные коэффициенты вводятся как вектор-столбец

-->//и с учетом знаков.

-->A=[1 2;1 1];b=[-7;-6];

-->x=linsolve(A,b)

x =

5.

1.

-->//Результатом операции A*x+b является вектор, достаточно

-->//близкий к нулю, это значит, что система решена верно.

-->A*x+b

ans =

1.0D-14 *

- 0.6217249

0.0888178

-->//Решение системы {x1+x2-1=0; x1+x2-3=0}

-->A=[1 1;1 1]; b=[-1;-3];

-->//Система не имеет решений:

-->linsolve(A,b)

WARNING:Conflicting linear constraints!

ans =

[]

-->//Решение системы {3x1-x2-1=0; 6x1-2x2-2=0}.

-->//В случае, когда система имеет бесконечное

-->//множество решений, SCILAB выдаст одно из них.

-->A=[3 -1;6 -2];

-->b=[-1;-2];

-->x=linsolve(A,b)

x =

0.3

- 0.1

-->//Проверка неверна

-->A*x+b

ans =

1.0D-15 *

- 0.1110223

- 0.2220446

rref(A) - осуществляет приведение матрицы A к треугольной форме, используя метод исключения Гаусса;

Листинг 3.38. Пример использования функции rref

--> A=[3 -2 1 5;6 -4 2 7;9 -6 3 12]

A =

3 -2 1 5

6 -4 2 7

9 -6 3 12

--> rref(A)

ans =

1.0000 -0.6667 0.3333 0

0 0 0 1.0000

0 0 0 0

lu(М) - выполняет треугольное разложение матрицы M;

M = C · L · U, где L и U - соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы, все четыре матрицы квадратные и одного порядка. Такие вычисления называют LU-разложением.

Листинг 3.39. Использование функции lu

-->A=[2 -1 5;3 2 -5;1 1 -2]

A =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

-->[L,U]=lu(A)

U =

3. 2. - 5.

0. - 2.3333333 8.3333333 !

0. 0. 0.8571429 !

L =

0.6666667 1. 0.

1. 0. 0.

0.3333333 - 0.1428571 1.

-->LU=L*U

LU =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

qr(М) - выполняет разложение матрицы М на ортогональную и верхнюю треугольную матрицы;

M = Q · R, где Q - ортогональная матрица, а R - верхняя треугольная матрица. Этот

процесс называют QR-разложением.

Листинг 3.40. Использование функции qr

-->[Q,R]=qr(A)

R =

- 3.7416574 - 1.3363062 1.8708287

0. - 2.0528726 7.0632734

0. 0. 0.7811335

Q =

- 0.5345225 0.8350668 0.1301889

- 0.8017837 - 0.4523279 - 0.3905667

0.2672612 - 0.3131501 0.9113224

-->Q*R

ans =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

svd(М) - выполняет сингулярное разложение размером n×m; результатом работы функции может быть либо сингулярное разложение, либо вектор, содержащий сингулярные значения матрицы.

M = U · S · VT, где U и V-ортогональные матрицы размером m × m и n × n соответственно, а S-диагональная матрица, на диагонали которой расположены сингулярные числа матрицы M

Листинг 3.41. Использование функции svd

-->[U,S,V]=svd(A)

V =

- 0.1725618 0.9641403 - 0.2016333

- 0.3059444 0.1421160 0.9413825

0.9362801 0.2241352 0.2704496

S =

7.8003308 0. 0.

0. 3.6207331 0.

0. 0. 0.2124427

U =

0.5951314 0.8028320 0.0357682

- 0.7449652 0.5678344 - 0.3501300

- 0.3014060 0.1817273 0.9360180

-->U*S*V’

ans =

2. - 1. 5.

3. 2. - 5.

1. 1. - 2.

-->s=svd(A)

s =

7.8003308

3.6207331

0.2124427

kernel(М[,tol[,fl]]) - определение ядра матрицы М, параметры tol и fl являются необязательными. Первый задает точность вычислений, второйиспользуемый при вычислении алгоритм и принимает значения ’qr’ или ’svd’.

Ядро матрицы - это множество векторов X. Поиск ядра матрицы сводится к решению однородной системы линейных уравнений AX = 0. Если при вызове функции X=kernel(A) матрица X окажется непустой, то действительно AX = 0.

Листинг 3.42. Использование функции kernel

-->A=[4 1 -3 -1;2 3 1 -5;1 -2 -2 3]

A =

4. 1. - 3. - 1.

2. 3. 1. - 5.

1. - 2. - 2. 3.

-->X=kernel(A)

X =

0.3464102

0.5773503

0.4618802

0.5773503


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40079. Радиолинии и системы передачи сообщений с радиоканалами 45.28 KB
  Антенны подключаются к приемопередающему оборудованию при помощи фидерных трактов Ф. Пространственная избирательность достигается за счет использования антенны обеспечивающей прием нужных радиосигналов с одного направления и ослабление радиосигналов с других направлений от посторонних источников. Антенны и фидеры Антенна представляет собой элемент сопряжения между передающим или приемным оборудованием и средой распространения радиоволн. Антенны имеющие вид проводов или поверхностей обеспечивают излучение электромагнитных колебаний при...
40080. Принципы построения радиорелейных (РРЛ) и спутниковых систем связи (ССС) 38.88 KB
  Цепочку радиорелейной линии составляют радиорелейные станции трех типов: оконечные радиорелейные станции ОРС промежуточные радиорелейные станции ПРС узловые радиорелейные станции УРС.1 Радиорелейная линия связи На оконечной радиорелейной станции начинается и заканчивается тракт передачи. Аппаратура ОРС осуществляет преобразование сигналов поступающих от разных источников информации телефонные сигналы от междугородней телефонной станции телевизионные сигналы от междугородней телевизионной аппаратной и т. Радиосигналы ОРС с помощью...
40081. РРЛ прямой видимости и тропосферные 14.75 KB
  3 признака РРсв: 1наличие ретрансляции радио сигналов 2использование диапазона УКВ 3наземная радио связь Для обеспечения РРсв строятся РРЛ. Принцип РРЛ связи заключается в последовательной передачи сообщений от одной к другой РР станции для обеспечения заданной дальности. РРЛ называют совокупность техн.
40082. Принципы построения локальных сетей (Ethernet) 14.93 KB
  Наиболее широко используемой технологией является технология Ethernet и специализированный стандарт IEEE 802.3 При работе сети Ethernet используется топология звезда в которой каждый узел устройство соединен по сети с другим узлом с помощью активного сетевого оборудования такого как коммутатор. Типы сетей Ethernet Fst Ethernet Fst Ethernet это сеть Ethernet предназначенная для передачи данных со скоростью 100 Мбит с.
40083. Стандарты цифровых и аналоговых систем подвижной связи 14.48 KB
  К аналоговым ССПС относятся следующие стандарты: MPS усовершенствованная мобильная ТЛФ служба диапазон 800 МГц – США Канада Центральная и Южная Америка Австралия; это наиболее распространенный стандарт в мире; используется в России в качестве регионального стандарта. TCS общедоступная система связи диапазон 900 МГц – Англия Италия Испания Австрия Ирландия; второй по распространенности среди аналоговых; NМT – 450 и N МT – 900 мобильный телефон северных стран –...
40084. Принципы построения наземных и спутниковых систем телевизионного и звукового вещания 73.77 KB
  От недостатков земных радиорелейных линий свободны спутниковые системы связи ССС. В основе построения спутниковой системы связи лежит идея размещения ретранслятора на космическом аппарате КА. Принцип спутниковой связи заключается в ретрансляции аппаратурой спутника сигнала от передающих наземных станций к приёмникам. Благодаря этому обстоятельству в настоящее время почти все спутники связи предназначенные для коммерческого использования находятся на геостационарной орбите.
40085. ССС: геостационарные, низкие и средневысотные орбиты - принципы построения и их параметры 18.08 KB
  В системах спутниковой связи ССС основными показателями определяющим размеры зоны обслуживания качество и энергетику радиолиний являются тип орбиты и ее характеристики. Системы использующие КА на GEO MEO и LEOорбитах Показатель Геостац средне низкие Высота орбиты км 36 000 500015 000 5002000 Количество КА в ОГ 3 812 4866 Зона покрытия одного КА угол радиовидимости 50 от поверхности Земли 34 2528 37 Время пребывания КА в зоне радиовидимости в сутки 24 ч 152 ч 1015 мин Задержка при передаче речи мс Региональная связь...
40086. Параметры первичных сигналов 26.89 KB
  Основными первичными сигналами электросвязи являются: телефонный звукового вещания телевизионный телеграфный передачи данных. Основными параметрами телефонного сигнала являются: мощность телефонного сигнала PТЛФ. Согласно данным МСЭТ средняя мощность телефонного сигнала в точке с нулевым измерительным уровнем на интервале активности составляет 88 мкВт. С учетом коэффициента активности 025 средняя мощность телефонного сигнала PСР равна 22 мкВт.
40087. Теорема Шеннона для оценки производительности канала связи 17.5 KB
  Зато снизу к этому пределу можно подойти сколь угодно близко обеспечивая соответствующим кодированием информации сколь угодно малую вероятность ошибки при любой зашумленности канала. пропускная способность канала означающая теоретическую верхнюю границу скорости передачи данных которые можно передать с данной средней мощностью сигнала через аналоговый канал связи подверженный аддитивному белому гауссовскому шуму мощности равна: где пропускная способность канала бит с; полоса пропускания канала Гц; полная мощность сигнала над...