36853

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: x = b где x вектор неизвестных матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы b вектор свободных членов системы или вектор правых частей. Совокупность всех решений системы x1 x2 . xn называется множеством решений или просто решением системы. Если определитель ∆ = det матрицы системы из n уравнений с n неизвестными x = b отличен от нуля то система имеет единственное решение x1 x2 .

Русский

2013-09-23

87 KB

5 чел.

Лабораторная работа № 4в.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Система m уравнений с n неизвестными вида:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 ,

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем xj - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные коэффициенты (i = 1 . . .m, j = 1 . . . n).

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A · x = b, где x - вектор неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, b - вектор свободных членов системы или вектор правых частей.

Совокупность всех решений системы (x1, x2, . . . , xn) называется множеством решений или просто решением системы.

Правило Крамера заключается в следующем.

Если определитель ∆ = detA матрицы системы из n уравнений с n неизвестными

A· x = b отличен от нуля,

то система имеет единственное решение x1, x2, . . . , xn, определяемое по формулам Крамера:

xi = i/,

где i - определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

Текст файла-сценария с решением задачи по формулам Крамера:

Листинг 3.46. Текст файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

//Матрица коэффициентов:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

b=[8;9;-5;0]; //Вектор свободных коэффициентов

A1=A;A1(:,1)=b; //Первая вспомогательная матрица

A2=A;A2(:,2)=b; //Вторая вспомогательная матрица

A3=A;A3(:,3)=b; //Третья вспомогательная матрица

A4=A;A4(:,4)=b; //Четвертая вспомогательная матрица

D=det(A); //Главный определитель

//Определители вспомогательных матриц:

d(1)=det(A1); d(2)=det(A2); d(3)=det(A3); d(4)=det(A4);

x=d/D //Вектор неизвестных

P=A*x-b //Проверка

Результаты работы файла-сценария:

Листинг 3.47. Вызов файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

-->exec(’Н:Своя папка\kramer.sce’);disp(’exec done’);

x =

3.

- 4.

- 1.

1.

P = 1.0D-14 *

0.1776357

0.

- 0.0888178

0.1554312

exec done

Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными A · x = b, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x = A−1 · b.

Текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.48. Решение СЛАУ с использованием функции inv

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];b=[8;9;-5;0];

x=inv(A)*b //Решение системы

//Результаты работы файла-сценария:

--> x =

3.

- 4.

- 1.

1.

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основывается на том, что от заданной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная система.

Метод Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап - это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразовывают так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, n + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений. Далее приведен текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.49. Использование функции rref для решения СЛАУ

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4];

//Приведение расширенной матрицы к треугольному виду:

C=rref([A b]);

//Определение размерности расширенной матрицы:

[n,m]=size(C); //m- номер последнего столбца матрицы С

//Выделение последнего столбца из матрицы С:

x=C(:,m) //x - решение системы

//Результаты работы программы:

--> x =

0.4642857

1.6785714

0.75


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35818. Экономическая теория (микроэкономика, макроэкономика) 1.42 MB
  Функция индивидуального спроса и предложения. Функция спроса и предложения определяет общее направление их изменения в зависимости от цены на товар но индивидуальные различия в характере и форме этого изменения могут быть весьма существенными. Чем более полого выглядит кривая спроса тем сильнее зависимость объема спроса от изменения цены. В случае если кривая спроса занимает горизонтальное положение d4 эта зависимость становится бесконечно большой.
35819. Макроэкономические показатели, их статистические и функциональные взаимосвязи 4.84 MB
  Так как ВВП измеряет объем национального годового производства он служит источником роста национального богатства страны которое представляет собой совокупную стоимость имущества активов принадлежащего частным физическим юридическим лицам а также государству. капитала D косвенные налоги Ткосв Метод добавленной стоимости ДС = В – С В – выручка С сырье и материалы Поскольку ВВП представляет собой денежную оценку произведенного годового объема производства получатся разные данные в...
35820. Строительные конструкции 4.1 MB
  ; незавершенное производство заготовки полуфабрикаты детали изделия не прошедшие все стадии производства; расходы будущих периодов стоимость расходов производимых в данный период но подлежащих оплате в будущем. Вопрос №1: Вопрос №2: Вариант с длинномерными настилами позволяет при заданной высоте помещения уменьшить общую высоту и объем здания площадь ограждающих конструкций уменьшить расходы на отопление и вентиляцию здания. Расходы на организацию и управление включают накладные расходы. Строительным организациям в качестве типовой...
35823. Будівельні робітники, їх професії, спеціальність, кваліфікація 2.5 MB
  З метою раціонального використання праці будівельників потрібно щоб кожен із них виконував лише ті роботи які властиві його фаху спеціальності та кваліфікації.Калькуляція трудових витрат її призначення методи розрахунку де Нв п норма витрат праці; V обсяг виконаних робіт. Норми витрат праці встановлюють у вигляді норм часу і виробітку. Норма часу Нч це час який встановлено на виготовлення одиниці продукції робітником відповідного фаху і кваліфікації за умов правильної організації праці й виробництва.
35824. Дискретная математика. Тестовые вопросы к экзамену 2.41 MB
  Функции алгебры логики. Булевы функции одной и двух переменных. Функциями алгебры логики или булевыми функциями называются а где б в Множество всех булевых функций от n переменных обозначают а б в г Булева функция существенно зависит от переменной xi если существует такой набор значений...
35825. Економічний аналіз 709.5 KB
  Зміст експлуатаційної фази життєвого циклу проекту. Концепція беззбитковості інвестиційного проекту. Мета завдання та зміст технічного аналізу проекту. Методологія аналізу динамічності проекту.
35826. Среда функционирования предприятия. Факторы внешней и внутренней рыночной среды и их влияние на эффективность функционирования предприятия. Конкурентоспособность предприятия и продукции 801 KB
  От качества его разработки в значительной мере зависит успех реализации проекта. Календарный план подписывается главным инженером проекта и заказчиком как согласовывающей инстанцией. Расчет показателей экономической эффективности инвестиционного проекта NPV PI IRR MIRR PP Проект связанный с реализацией полного цикла вложения инвестиций – от начала вложения капиталов до завершения работ – называется инвестиционным. По масштабам чаще всего масштаб проекта определяется размером инвестиций: малые проекты действие которых...