36853

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: x = b где x вектор неизвестных матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы b вектор свободных членов системы или вектор правых частей. Совокупность всех решений системы x1 x2 . xn называется множеством решений или просто решением системы. Если определитель ∆ = det матрицы системы из n уравнений с n неизвестными x = b отличен от нуля то система имеет единственное решение x1 x2 .

Русский

2013-09-23

87 KB

5 чел.

Лабораторная работа № 4в.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Система m уравнений с n неизвестными вида:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 ,

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем xj - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные коэффициенты (i = 1 . . .m, j = 1 . . . n).

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A · x = b, где x - вектор неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, b - вектор свободных членов системы или вектор правых частей.

Совокупность всех решений системы (x1, x2, . . . , xn) называется множеством решений или просто решением системы.

Правило Крамера заключается в следующем.

Если определитель ∆ = detA матрицы системы из n уравнений с n неизвестными

A· x = b отличен от нуля,

то система имеет единственное решение x1, x2, . . . , xn, определяемое по формулам Крамера:

xi = i/,

где i - определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

Текст файла-сценария с решением задачи по формулам Крамера:

Листинг 3.46. Текст файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

//Матрица коэффициентов:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

b=[8;9;-5;0]; //Вектор свободных коэффициентов

A1=A;A1(:,1)=b; //Первая вспомогательная матрица

A2=A;A2(:,2)=b; //Вторая вспомогательная матрица

A3=A;A3(:,3)=b; //Третья вспомогательная матрица

A4=A;A4(:,4)=b; //Четвертая вспомогательная матрица

D=det(A); //Главный определитель

//Определители вспомогательных матриц:

d(1)=det(A1); d(2)=det(A2); d(3)=det(A3); d(4)=det(A4);

x=d/D //Вектор неизвестных

P=A*x-b //Проверка

Результаты работы файла-сценария:

Листинг 3.47. Вызов файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

-->exec(’Н:Своя папка\kramer.sce’);disp(’exec done’);

x =

3.

- 4.

- 1.

1.

P = 1.0D-14 *

0.1776357

0.

- 0.0888178

0.1554312

exec done

Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными A · x = b, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x = A−1 · b.

Текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.48. Решение СЛАУ с использованием функции inv

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];b=[8;9;-5;0];

x=inv(A)*b //Решение системы

//Результаты работы файла-сценария:

--> x =

3.

- 4.

- 1.

1.

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основывается на том, что от заданной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная система.

Метод Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап - это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразовывают так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, n + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений. Далее приведен текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.49. Использование функции rref для решения СЛАУ

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4];

//Приведение расширенной матрицы к треугольному виду:

C=rref([A b]);

//Определение размерности расширенной матрицы:

[n,m]=size(C); //m- номер последнего столбца матрицы С

//Выделение последнего столбца из матрицы С:

x=C(:,m) //x - решение системы

//Результаты работы программы:

--> x =

0.4642857

1.6785714

0.75


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48634. Расчет параметров рабочего тела и энергетических характеристик газотурбинного двигателя 1.06 MB
  Цель работы: расчет параметров состояния рабочего тела и энергетических характеристик газотурбинного двигателя. В результате работы определены: характеристики воздуха на заданной высоте полета оптимальная степень сжатия воздуха в компрессоре состав продуктов сгорания и основные параметры в характерных точках цикла....
48636. Інформатика. Методичні рекомендації 273 KB
  Вступ Методична розробка призначена для використання у якості посібника в процесі виконання курсової роботи з дисципліни Інформатика протягом 2 семестру за фахом Курсове проектування є однією з форм самостійної роботи студента і сприяє засвоєнню теоретичних засад та отриманню студентами практичних навичок ефективного використання інформаційних технологій у професійній діяльності. Мета і задачі курсової роботи Основною метою даного курсового проектування є закріплення знань умінь і практичних навичок отриманих студентами під час...
48637. Расчет идеального цикла газотурбинного двигателя 1.22 MB
  Рассчитаны энергетические величины цикла в его процессах построен рабочий цикл ГТД в pv и TS координатах. Содержание Список условных обозначений Индексы Введение Расчёт состава рабочего тела цикла Расчёт состава воздуха Расчёт оптимального значения степени повышения давления в компрессоре ГТД. Расчёт основных параметров состояния рабочего тела в узловых точках цикла ГТД. Расчёт калорических величин цикла ГТД.
48638. РАСЧЕТ ИДЕАЛЬНОГО ЦИКЛА ТЕПЛОВОГО ДВИГАТЕЛЯ 487 KB
  Пояснительная записка СКОРОСТЬ ДАВЛЕНИЕ УДЕЛЬНЫЙ ОБЪЕМ ТЯГА ТЕМПЕРАТУРА ЭНТРОПИЯ УДЕЛЬНАЯ РАБОТА ЭНТАЛЬПИЯ ЧИСЛО МАХА КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛИТРОПЫ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВАЯ ПОСТОЯННАЯ КОЭФФИЦИЕНТ ИЗБЫТКА ВОЗДУХА УДЕЛЬНАЯ РАБОТА ТЕРМИЧЕСКИЙ КПД ЦИКЛА. Содержание Список условных обозначений Индексы Введение Расчёт состава рабочего тела цикла Расчёт состава воздуха Расчёт оптимального значения степени повышения давления в компрессоре ГТД Вычисление коэффициента избытка воздуха Расчёт состава продуктов сгорания...
48639. Расчет параметров состояния рабочего тела и энергетических характеристик газотурбинного двигателя 563.5 KB
  В результате работы определены: характеристики воздуха на заданной высоте полета оптимальная степень сжатия воздуха в компрессоре состав продуктов сгорания и основные параметры в характерных точках цикла. Определение коэффициента избытка воздуха . Количество топливасгорающего в 1 кг воздуха. 01 адиабатное сжатие воздуха в диффузоре.
48642. Расчет параметров состояния энергетических характеристик газотурбинного двигателя 1009 KB
  Рассчитаны параметры состояния в характерных и нескольких промежуточных точках идеализированного цикла ГТД, определены изменения внутренней энергии, энтальпии, энтропии, теплоты, удельные работы процессов и за цикл...