36853

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: x = b где x вектор неизвестных матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы b вектор свободных членов системы или вектор правых частей. Совокупность всех решений системы x1 x2 . xn называется множеством решений или просто решением системы. Если определитель ∆ = det матрицы системы из n уравнений с n неизвестными x = b отличен от нуля то система имеет единственное решение x1 x2 .

Русский

2013-09-23

87 KB

5 чел.

Лабораторная работа № 4в.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Система m уравнений с n неизвестными вида:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 ,

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем xj - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные коэффициенты (i = 1 . . .m, j = 1 . . . n).

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A · x = b, где x - вектор неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, b - вектор свободных членов системы или вектор правых частей.

Совокупность всех решений системы (x1, x2, . . . , xn) называется множеством решений или просто решением системы.

Правило Крамера заключается в следующем.

Если определитель ∆ = detA матрицы системы из n уравнений с n неизвестными

A· x = b отличен от нуля,

то система имеет единственное решение x1, x2, . . . , xn, определяемое по формулам Крамера:

xi = i/,

где i - определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

Текст файла-сценария с решением задачи по формулам Крамера:

Листинг 3.46. Текст файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

//Матрица коэффициентов:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

b=[8;9;-5;0]; //Вектор свободных коэффициентов

A1=A;A1(:,1)=b; //Первая вспомогательная матрица

A2=A;A2(:,2)=b; //Вторая вспомогательная матрица

A3=A;A3(:,3)=b; //Третья вспомогательная матрица

A4=A;A4(:,4)=b; //Четвертая вспомогательная матрица

D=det(A); //Главный определитель

//Определители вспомогательных матриц:

d(1)=det(A1); d(2)=det(A2); d(3)=det(A3); d(4)=det(A4);

x=d/D //Вектор неизвестных

P=A*x-b //Проверка

Результаты работы файла-сценария:

Листинг 3.47. Вызов файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

-->exec(’Н:Своя папка\kramer.sce’);disp(’exec done’);

x =

3.

- 4.

- 1.

1.

P = 1.0D-14 *

0.1776357

0.

- 0.0888178

0.1554312

exec done

Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными A · x = b, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x = A−1 · b.

Текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.48. Решение СЛАУ с использованием функции inv

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];b=[8;9;-5;0];

x=inv(A)*b //Решение системы

//Результаты работы файла-сценария:

--> x =

3.

- 4.

- 1.

1.

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основывается на том, что от заданной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная система.

Метод Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап - это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразовывают так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, n + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений. Далее приведен текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.49. Использование функции rref для решения СЛАУ

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4];

//Приведение расширенной матрицы к треугольному виду:

C=rref([A b]);

//Определение размерности расширенной матрицы:

[n,m]=size(C); //m- номер последнего столбца матрицы С

//Выделение последнего столбца из матрицы С:

x=C(:,m) //x - решение системы

//Результаты работы программы:

--> x =

0.4642857

1.6785714

0.75


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40064. Язык как знаковая система 45 KB
  Ознакомиться с видами знаков. Приобрести навыки определения структуры знаков. Рассмотреть сферу применения знаков при создании информационных продуктов.
40065. Парадигматические отношения в ИПЯ 51.5 KB
  Ознакомиться с видами парадигматических отношений. Овладеть практическими навыками распознавания парадигматических отношений в ИПЯ. Перечень лексических единиц Месяц декабрь Искусственный язык специализированный язык Танец народный танец Библиографическая запись поле данных Самолет фюзеляж Алфавит ИПЯ знак Год месяц...
40066. Синтагматические отношения в ИПЯ 54.5 KB
  Ознакомиться с видами грамматических средств в ИПЯ. Овладеть навыками практического использования грамматических средств в ИПЯ. № документа Поисковый образ документа в индексах ИПЯ УДК ББК таблицы для областных библиотек ГРНТИ 1 16075.
40067. Создание лексико-семантической основы ИПЯ. Часть 1. Отбор и нормализация лексики 49 KB
  Требования к отчету: Итоги выполнения задания представить в виде таблицы 1 Таблица 1 Способы достижения однозначности лексических единиц в ИПЯ Наименование ИПЯ Наименование элемента организационной структуры Устранение синонимии Устранение многозначности 1. Выявить все использованные в заданном ИПЯ ссылки для устранения синонимии: см. Привести примеры использования в заданном ИПЯ различных способов устранения полисемии и омонимии: развертывание слова до словосочетания и лексикографический способ.
40068. Создание лексико-семантической основы ИПЯ. Часть 2. Систематизация лексических единиц. Построение классификационной схемы понятий 38 KB
  Построение классификационной схемы понятий Цель работы: Освоить методы систематизации лексических единиц. Овладеть правилами деления объема понятий; 2. Технология работы: Найти в словаре определения заданных понятий и проанализировать их с точки зрения указания в дефиниции на родовое делимое понятие. Требования к отчету: Итоги выполнения задания представить в виде классификационной схемы понятий: Системы классификации Комбинационные Перечислительные УДК ББК...
40069. Лингвистическое обеспечение сайтов 40 KB
  Сформировать умения определять состав лингвистического обеспечения сайтов. Задание 1: Проанализировать состав ИПЯ используемых для подготовки информационных продуктов и услуг информационных учреждений. Таблица 1 Состав ИПЯ используемых для подготовки информационных продуктов и услуг Наименование информационного продукта или услуги Наименование используемых ИПЯ Назначение функция ИПЯ 1 2 3 Технология работы: Проанализируйте структуру сайта заданного информационного учреждения...
40070. Объектно-признаковый язык 55 KB
  Таблица 1 Виды фактографической информации Лексическая единица Вид информации фактическая прогнозная количественная качественная Технология работы: Проанализировать лексическую единицу см. По результатам тематического поиска в базе данных Дипломные работы отобрано 34 документа; 4. Таблица 2 Типы лексических единиц Лексическая единица Тип лексической единицы Кемеровский государственный университет культуры и искусств номенклатурный знак Технология работы: Проанализировать...
40071. Государственный рубрикатор научно-технической информации как ИПЯ 48.5 KB
  Охарактеризовать ГРНТИ как ИПЯ. Овладеть навыками кодирования с помощью ГРНТИ. Определить сферу применения ГРНТИ.
40072. Технология расчета контрольного числа для кодов классификаторов технико-экономической и социальной информации 45.5 KB
  Рассмотреть методы расчета контрольного числа для кодов для кодов классификаторов ТЭСИ. Приобрести навыки расчета контрольного числа для кодов классификаторов ТЭСИ. Обеспечивающие средства: методика расчета контрольного числа перечни кодов.