36853

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: x = b где x вектор неизвестных матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы b вектор свободных членов системы или вектор правых частей. Совокупность всех решений системы x1 x2 . xn называется множеством решений или просто решением системы. Если определитель ∆ = det матрицы системы из n уравнений с n неизвестными x = b отличен от нуля то система имеет единственное решение x1 x2 .

Русский

2013-09-23

87 KB

5 чел.

Лабораторная работа № 4в.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Система m уравнений с n неизвестными вида:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 ,

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем xj - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные коэффициенты (i = 1 . . .m, j = 1 . . . n).

Система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A · x = b, где x - вектор неизвестных, A - матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, b - вектор свободных членов системы или вектор правых частей.

Совокупность всех решений системы (x1, x2, . . . , xn) называется множеством решений или просто решением системы.

Правило Крамера заключается в следующем.

Если определитель ∆ = detA матрицы системы из n уравнений с n неизвестными

A· x = b отличен от нуля,

то система имеет единственное решение x1, x2, . . . , xn, определяемое по формулам Крамера:

xi = i/,

где i - определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

Текст файла-сценария с решением задачи по формулам Крамера:

Листинг 3.46. Текст файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

//Матрица коэффициентов:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

b=[8;9;-5;0]; //Вектор свободных коэффициентов

A1=A;A1(:,1)=b; //Первая вспомогательная матрица

A2=A;A2(:,2)=b; //Вторая вспомогательная матрица

A3=A;A3(:,3)=b; //Третья вспомогательная матрица

A4=A;A4(:,4)=b; //Четвертая вспомогательная матрица

D=det(A); //Главный определитель

//Определители вспомогательных матриц:

d(1)=det(A1); d(2)=det(A2); d(3)=det(A3); d(4)=det(A4);

x=d/D //Вектор неизвестных

P=A*x-b //Проверка

Результаты работы файла-сценария:

Листинг 3.47. Вызов файла-сценария решения СЛАУ методом Крамера

-->exec(’Н:Своя папка\kramer.sce’);disp(’exec done’);

x =

3.

- 4.

- 1.

1.

P = 1.0D-14 *

0.1776357

0.

- 0.0888178

0.1554312

exec done

Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными A · x = b, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x = A−1 · b.

Текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.48. Решение СЛАУ с использованием функции inv

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];b=[8;9;-5;0];

x=inv(A)*b //Решение системы

//Результаты работы файла-сценария:

--> x =

3.

- 4.

- 1.

1.

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основывается на том, что от заданной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная система.

Метод Гаусса состоит из двух этапов.

Первый этап - это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразовывают так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, n + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений. Далее приведен текст файла-сценария и результаты его работы:

Листинг 3.49. Использование функции rref для решения СЛАУ

//Матрица и вектор свободных коэффициентов системы:

A=[2 -1 1;3 2 -5;1 3 -2]; b=[0;1;4];

//Приведение расширенной матрицы к треугольному виду:

C=rref([A b]);

//Определение размерности расширенной матрицы:

[n,m]=size(C); //m- номер последнего столбца матрицы С

//Выделение последнего столбца из матрицы С:

x=C(:,m) //x - решение системы

//Результаты работы программы:

--> x =

0.4642857

1.6785714

0.75


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80331. Економічна ефективність сільськогосподарського виробництва 106.5 KB
  Все ж наближено про досягнутий рівень соціальної ефективності можна судити за таким узагальнюючим показником визначеним у динаміці як питома вага прибутку спрямованого на соціальні доходи у загальній масі чистого прибутку а також величина цього прибутку на одного середньооблікового працівника. Для оцінки рівня екологічної ефективності можуть бути використані такі показники: – частка чистого прибутку підприємства що направляється на заходи екологічного спрямування і його абсолютна величина в динаміці; – частка сільськогосподарської...
80332. Земельні ресурси та ефективність їх використання 145.5 KB
  Земля - головна умова існування людського суспільства і найважливіше джерело національного багатства, найперша передумова і природна основа суспільного виробництва, універсальний фактор будь-якої діяльності людини.
80333. Матеріально-технічна база в сільському господарстві 44.52 KB
  Машинотракторний парк та ефективність його використання. Транспортні засоби та ефективність їх використання. Це потребує додаткових витрат і впливає на ефективність використання матеріальнотехнічних засобів. Останні визначаються ростом і розвитком живих організмів і суттєво впливають на ефективність використання всіх інших засобів виробництва.
80334. Основні фонди та оборотні засоби сільськогосподарського підприємства 148 KB
  Амортизація основних фондів підприємства. Показники використання основних виробничих фондів підприємства. При цьому засоби праці знаходять своє вираження в основних фондах підприємства а предмети праці – в оборотних фондах. До основних виробничих фондів належать такі фонди які беруть безпосередню участь у процесі виробництва і формуванні собівартості продукції.
80335. Персонал підприємства, продуктивність і оплата праці в сільському господарстві 144 KB
  Продуктивність праці і методика її визначення. Оплата праці персоналу підприємства. Із розвитком продуктивних сил чисельність працівників аграрного сектора економіки зменшується.
80336. Витрати виробництва і собівартість продукції 146.5 KB
  Вони й утворюють витрати підприємства. Тому витрати операційної діяльності виправдано трактувати як грошовий вираз ресурсів використаних виробничоспожитих у процесі виробництва і збуту продукції надання послуг виконання робіт та організації управління ним на всіх його ієрархічних рівнях. У даному випадку йдеться про поточні операційні витрати які підприємства здійснюють постійно для забезпечення безперервності виробництва.
80337. Економіка рослинництва. Економіка виробництва картоплі, овочів, плодів та ягід 66.5 KB
  Вирішальне значення для розвитку всіх галузей сільського господарства має нарощування виробництва зерна. На корм використовується і побічна продукція зернових – солома полова відходи переробки зерна. Валове виробництво зерна у 2011 році – 56747 тис тонн що порівняно із 1990 роком більше на 112 .
80338. Економіка тваринництва 85.5 KB
  Показниками ефективності галузі скотарства є: Технологічна ефективність: середньорічний надій молока від однієї корови; середньодобовий та річний приріст живої ваги ВРХ; затрати кормів на 1 ц молока та на 1 ц приросту живої ваги ВРХ. Економічна ефективність: трудомісткість виробництва 1ц молока та 1 ц приросту живої ваги ВРХ. собівартість виробництва 1 ц молока 1 ц приросту живої ваги ВРХ та 1 ц живої ваги ВРХ. середня ціна реалізації 1 ц молока 1 ц живої ваги ВРХ.
80339. ВІДШКОДУВАННЯ ШКОДИ У КРИМІНАЛЬНОМУ ПРОВАДЖЕННІ 66.24 KB
  Поняття та види шкоди яка підлягає відшкодуванню у кримінальному провадженні. Поняття значення предмет та підстави цивільного позову про відшкодування майнової моральної шкоди завданої кримінальним правопорушенням. Відшкодування майнової моральної шкоди завданої незаконними рішеннями діями чи бездіяльністю правоохоронних органів та суду.