36869

Решение нелинейных уравнений и систем

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде 0xn1xn−1 n−1xn = 0 где 0 0 n 1 и i коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени. Решение алгебраического уравнения в Scilb состоит из двух этапов. Примеры символьных операций с полиномами p1=poly[1 2]’x’’c’ p1 = 1 2x p2=poly[3 7 2]’x’’c’ p2 = 2 3 7x 2x p1p2 Сложение ns = 2 2 5x 2x p1p2 Вычитание ns = 2 4 9x 2x p1p2 Умножение ns = 2 3 3 13x 16x 4x p1 p2 Деление ns = 1 3 x p1^2 Возведение в...

Русский

2013-09-23

120.5 KB

9 чел.

Лабораторная работа № 7

Решение нелинейных уравнений и систем

Любое уравнение P(x) = 0, где P(x) - это многочлен, отличный от нулевого, называется алгебраическим уравнением или полиномом.

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an = 0,

где a0 <> 0, n > 1 и ai - коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени.

Решение алгебраического уравнения в Scilab состоит из двух этапов.

1. Необходимо задать полином P(x) с помощью функции poly.

2. Найти его корни, применив функцию roots.

Определение полиномов в Scilab осуществляет функция poly(a, "x ["fl"]), где a - это число или матрица чисел, x - символьная переменная, fl - необязательная символьная переменная, определяющая способ задания полинома. Символьная переменная fl может принимать только два значения – «roots» или «coeff» (соответственно «r» или «c»).

Если fl=c, то будет сформирован полином с коэффициентами, хранящимися в параметре a.

Если же fl=r, то значения параметра a воспринимаются функцией как корни, для которых необходимо рассчитать коэффициенты соответствующего полинома.

По умолчанию fl=r.

Следующий пример отражает создание полинома p, имеющего в качестве корня тройку, и полинома f с коэффициентом 3.

Листинг 7.1. Полиномы первой степени

-->p=poly(3,’x’,’r’);

-->f=poly(3,’x’,’c’);

-->p

p =

- 3 + x

-->f

f =

3

Далее приведены примеры создания более сложных полиномов.

Листинг 7.2. Использование функции poly

-->//Полином с корнями 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’)

ans =

2 3

2x - 3x + x

-->//Полином с коэффициентами 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’,’c’)

ans =

2

1 + 2x

Рассмотрим примеры символьных операций с полиномами:

Листинг 7.3. Примеры символьных операций с полиномами

-->p1=poly([-1 2],’x’,’c’)

p1 =

- 1 + 2x

-->p2=poly([3 -7 2],’x’,’c’)

p2 =

2

3 - 7x + 2x

-->p1+p2 //Сложение

ans =

2

2 - 5x + 2x

-->p1-p2 //Вычитание

ans =

2

4 + 9x - 2x

-->p1*p2 //Умножение

ans =

2 3

- 3 + 13x - 16x + 4x

-->p1/p2 //Деление

ans =

1

-----

- 3 + x

-->p1^2 //Возведение в степень

ans =

2

1 - 4x + 4x

-->p2^(-1) //Возведение в отрицательную степень

ans =

1

-----------

2

3 - 7x + 2x

Функция roots(p) предназначена для решения алгебраического уравнения.

Здесь p - это полином, созданный функцией poly и представляющий собой левую часть уравнения P(x) = 0.

Решим несколько алгебраических уравнений.

Задача 7.1. Найти корни полинома 2x4 − 8x3 + 8x2 − 1 = 0.

Для решения этой задачи необходимо задать полином p. Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V . В уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю:

Листинг 7.4. Формирование полинома

-->V=[-1 0 8 -8 2];

-->p=poly(V,’x’,’c’)

p =

1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4

Теперь найдем корни полинома:

Листинг 7.5. Использование функции roots

-->X=roots(p)

X =

! 0.4588039 !

! - 0.3065630 !

! 1.5411961 !

! 2.306563 !

Графическое решение задачи позволяет убедиться, что корни найдены верно.

Пересечение графиков функций F(x)= 1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4 и g(x)=0

Задача 7.2. Найти корни полинома x3 + 0.4x2 + 0.6x − 1 = 0.

Листинг 7.6. Решение задачи 7.2

-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],’x’,’c’))

ans =

! 0.7153636 !

! - 0.5576818 + 1.0425361i !

! - 0.5576818 - 1.0425361i !

Нетрудно заметить, что полином имеет один действительный и два комплексных корня.

Задача 7.3. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x4 − 18x2 + 6.

Листинг 7.7. Решение задачи 7.3

-->x=poly(0,’x’);

-->y=x^4-18*x^2+.6;

-->roots(y)

ans =

! 0.1827438 !

! - 0.1827438 !

! - 4.2387032 !

! 4.2387032 !

Приведите графическое решение данного уравнения.

Трансцендентные уравнения

Уравнение f(x) = 0, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением.

К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические и тригонометрические.

В общем случае аналитическое решение уравнения f(x) = 0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами.

Численное решение нелинейного уравнения проводят в два этапа.

  1.  В начале отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень. Эти промежутки называют интервалами изоляции корня, определить их можно, изобразив график функции f(x) или любым другим методом.
  2.  На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, или, иначе говоря, находят корни с заданной точностью.

Для решения трансцендентных уравнений в Scilab применяют функцию

fsolve(x0,f)

где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения y(x) = 0.

Рассмотрим применение этой функции на примерах.

Задача 7.4. Найти решение уравнения

Определим интервал изоляции корня заданного уравнения. Воспользуемся графическим методом отделения корней. Если выражение, стоящее в правой части уравнения, представить в виде разности двух функций f(x) − g(x) = 0, то абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) - корень данного уравнения. В нашем случае .

Корень данного уравнения лежит в интервале [0; 1].

Выберем ноль в качестве начального приближения, зададим функцию, описывающую уравнение и решим его:

Листинг 7.8. Решение задачи 7.4

-->deff(’[y]=f1(x)’,’y1=((x-1)^2)^(1/3),y2=(x^2)^(1/3),y=y1-y2’)

-->fsolve(0,f1)

ans = 0.5

Задача 7.5. Найти корни уравнения f(x) = ex/5 − 2(x − 1)2.

На рисунке видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение имеет три корня.

Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, получим все решения заданного уравнения:

Листинг 7.9. Решение задачи 7.5

-->deff(’[y]=f(x)’,’y=exp(x)/5-2*(x-1)^2’)

-->x(1)=fsolve(0,f);x(2)=fsolve(2,f);x(3)=fsolve(5,f);

-->x

x = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора, и тогда функцию можно вызвать один раз:

Листинг 7.10. Решение задачи 7.5 (альтернативный способ)

-->fsolve([0;2;5],f)

ans = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Задача 7.6. Вычислить корни уравнения sin(x) − 0.4x = 0 в диапазоне [−5π; 5π].

Решение задачи представлено в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Решение задачи 7.6

-->deff(’[y]=fff(x)’,’y=-0.4+sin(x)’)

-->V=[-5*%pi:%pi:5*%pi]; X=fsolve(V,fff);

-->X //Множество решений

X = !-16.11948 -12.154854 -9.8362948 -5.8716685 -3.5531095

0.4115168 2.7300758 6.6947022 9.0132611 12.977887 15.296446!

Задача 7.7. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x5 − x3 + 1.

Решить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25242. Основні концепції історико-філософського процесу 29.5 KB
  Основні концепції історикофілософського процесу. Можна виділити 3 історикофілософські парадигми: негативістську класичнугегелівську та пост класичну. Він будує свою систему як свбоме усвідомлення всього попереднього історикофілософського досвіду. Стрижнем історикофілософського наслідування її внутрішнім механізмом є діалектичне заперечення яке одержує значення найважливішого методологічного принципу аналізу поступального руху філософського знання наступна філософська система не просто відкидає попередню а діалектично заперечує її...
25243. Співвідношення понять метафізики та діалектики 28 KB
  Співвідношення понять метафізики та діалектики. Предмет метафізики – надемпіричний. Кантівська критика метафізики: €œстара мф – це наука про надчуттєви принципи буття €œнова€ – умоглядна картина світу. Помилка старої метафізики – некритичне розповсюдження діяльності розсудку за межі можливого досвіду.
25244. Сучасна лінгвістична філософія 33 KB
  Ніцше: оманливість мови та критика незмінності і однаковості подвійного суб’єкта. Платон €œКратил€: Проблема називання об’єктів позначає початок витоків людської мови. Задля опису функціонування мови Сосюр розрізнив поняття мови загальної системи правил і мовлення конкретного застосування мови. Хомський: пристосовує картезіанську метафізику до структури мови.
25246. Поняття трансцендентальної єдності аперцепції у Канта 25.5 KB
  Зв’язок багатоманітного не міститься в чистій формі чуттєвого споглядання це дія виключно розсуду. – вищий принцип всякого застосування розсуду і об’єктивна умова всякого пізнання – це те завдяки чому все дане в спогляданні багатоманітне об’єднується в понятті про об’єкт.Ап застосування категорій розсуду до чуттєвого споглядання призводить до конструювання для люд. – другий вид синтезу чуттєвого матеріалу поруч з категоріями який є властивим розсуду.
25247. Поняття трансцендентальної єдності апперцепцій у філософії Канта 21.5 KB
  – є трансцендентальна єдність самосвідомості тобто така що передує досвіду і утв можливість апріорногодо досвідного пізнання. Кант поєднує в нову структуру суть якої – коли б свідомість була не єдиною а мозаїчною то окремі властивості об’єкта потрапляли б у різні її незалежні частини і синтез їх став би неможливим а саме в ньому і полягає пізнання. Синтетична єдність свідомості є об’єктивною умовою будьякого пізнання.
25248. Принципи і основні положення екзистенційної діалектики Кіркегора 27.5 KB
  Принципи і основні положення екзистенційної діалектики Кіркегора. Субєктивна екзистенціальна діалектика Кіркегора виростає як протиставлення системі Гегеля де людина підвладна анонімному принципу історичного розвитку втрачає свою індивідуальність. ЕД виявляється у Кіркегора способом зберегти особистісне відношення людини і Бога на шляху до якого людина проходить три стадії: естетичну етичну та релігійну.
25249. Філософія та світогляд 24 KB
  Філософія – форма теоретичного розвитку світогляду. Три типи світогляду: Буденний формується умовами життя та передається з покоління в покоління за допомогою досвіду. Отже філософія певний тип світогляду хоча всі люди мають світогляд але не кожна людина виходить на філософських рівень у світоглядних орієнтуваннях. Звідси випливає що філософія постає як теоретична форма світогляду.
25250. Філософія неокантіанства: основні течії 28 KB
  Основна його мета – розвиток і перетворення трансцендентальної філософії Канта. Розпочався близько 1860х років ініціаторами були представники академічних кіл зокрема: Герман Гольмгольц фізіолог та фізик Куно Фішер історик філософії Отто Літман професор філософії та ін. Зокрема Віндельюандт ґрунтуючись на філософії Канта зазначає що критична філософія – це наука про необхідні та загально значимі визначення цінностей. Вона запитує: чи існує наука якій із загальною значимістю притаманна цінність істини Чи існує мораль якій із...