36869

Решение нелинейных уравнений и систем

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде 0xn1xn−1 n−1xn = 0 где 0 0 n 1 и i коэффициенты алгебраического уравнения nй степени. Решение алгебраического уравнения в Scilb состоит из двух этапов. Примеры символьных операций с полиномами p1=poly[1 2]xc p1 = 1 2x p2=poly[3 7 2]xc p2 = 2 3 7x 2x p1p2 Сложение ns = 2 2 5x 2x p1p2 Вычитание ns = 2 4 9x 2x p1p2 Умножение ns = 2 3 3 13x 16x 4x p1 p2 Деление ns = 1 3 x p1^2 Возведение в...

Русский

2013-09-23

120.5 KB

12 чел.

Лабораторная работа № 7

Решение нелинейных уравнений и систем

Любое уравнение P(x) = 0, где P(x) - это многочлен, отличный от нулевого, называется алгебраическим уравнением или полиномом.

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an = 0,

где a0 <> 0, n > 1 и ai - коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени.

Решение алгебраического уравнения в Scilab состоит из двух этапов.

1. Необходимо задать полином P(x) с помощью функции poly.

2. Найти его корни, применив функцию roots.

Определение полиномов в Scilab осуществляет функция poly(a, "x ["fl"]), где a - это число или матрица чисел, x - символьная переменная, fl - необязательная символьная переменная, определяющая способ задания полинома. Символьная переменная fl может принимать только два значения – «roots» или «coeff» (соответственно «r» или «c»).

Если fl=c, то будет сформирован полином с коэффициентами, хранящимися в параметре a.

Если же fl=r, то значения параметра a воспринимаются функцией как корни, для которых необходимо рассчитать коэффициенты соответствующего полинома.

По умолчанию fl=r.

Следующий пример отражает создание полинома p, имеющего в качестве корня тройку, и полинома f с коэффициентом 3.

Листинг 7.1. Полиномы первой степени

-->p=poly(3,’x’,’r’);

-->f=poly(3,’x’,’c’);

-->p

p =

- 3 + x

-->f

f =

3

Далее приведены примеры создания более сложных полиномов.

Листинг 7.2. Использование функции poly

-->//Полином с корнями 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’)

ans =

2 3

2x - 3x + x

-->//Полином с коэффициентами 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’,’c’)

ans =

2

1 + 2x

Рассмотрим примеры символьных операций с полиномами:

Листинг 7.3. Примеры символьных операций с полиномами

-->p1=poly([-1 2],’x’,’c’)

p1 =

- 1 + 2x

-->p2=poly([3 -7 2],’x’,’c’)

p2 =

2

3 - 7x + 2x

-->p1+p2 //Сложение

ans =

2

2 - 5x + 2x

-->p1-p2 //Вычитание

ans =

2

4 + 9x - 2x

-->p1*p2 //Умножение

ans =

2 3

- 3 + 13x - 16x + 4x

-->p1/p2 //Деление

ans =

1

-----

- 3 + x

-->p1^2 //Возведение в степень

ans =

2

1 - 4x + 4x

-->p2^(-1) //Возведение в отрицательную степень

ans =

1

-----------

2

3 - 7x + 2x

Функция roots(p) предназначена для решения алгебраического уравнения.

Здесь p - это полином, созданный функцией poly и представляющий собой левую часть уравнения P(x) = 0.

Решим несколько алгебраических уравнений.

Задача 7.1. Найти корни полинома 2x4 − 8x3 + 8x2 − 1 = 0.

Для решения этой задачи необходимо задать полином p. Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V . В уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю:

Листинг 7.4. Формирование полинома

-->V=[-1 0 8 -8 2];

-->p=poly(V,’x’,’c’)

p =

1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4

Теперь найдем корни полинома:

Листинг 7.5. Использование функции roots

-->X=roots(p)

X =

! 0.4588039 !

! - 0.3065630 !

! 1.5411961 !

! 2.306563 !

Графическое решение задачи позволяет убедиться, что корни найдены верно.

Пересечение графиков функций F(x)= 1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4 и g(x)=0

Задача 7.2. Найти корни полинома x3 + 0.4x2 + 0.6x − 1 = 0.

Листинг 7.6. Решение задачи 7.2

-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],’x’,’c’))

ans =

! 0.7153636 !

! - 0.5576818 + 1.0425361i !

! - 0.5576818 - 1.0425361i !

Нетрудно заметить, что полином имеет один действительный и два комплексных корня.

Задача 7.3. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x4 − 18x2 + 6.

Листинг 7.7. Решение задачи 7.3

-->x=poly(0,’x’);

-->y=x^4-18*x^2+.6;

-->roots(y)

ans =

! 0.1827438 !

! - 0.1827438 !

! - 4.2387032 !

! 4.2387032 !

Приведите графическое решение данного уравнения.

Трансцендентные уравнения

Уравнение f(x) = 0, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением.

К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические и тригонометрические.

В общем случае аналитическое решение уравнения f(x) = 0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами.

Численное решение нелинейного уравнения проводят в два этапа.

  1.  В начале отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень. Эти промежутки называют интервалами изоляции корня, определить их можно, изобразив график функции f(x) или любым другим методом.
  2.  На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, или, иначе говоря, находят корни с заданной точностью.

Для решения трансцендентных уравнений в Scilab применяют функцию

fsolve(x0,f)

где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения y(x) = 0.

Рассмотрим применение этой функции на примерах.

Задача 7.4. Найти решение уравнения

Определим интервал изоляции корня заданного уравнения. Воспользуемся графическим методом отделения корней. Если выражение, стоящее в правой части уравнения, представить в виде разности двух функций f(x) − g(x) = 0, то абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) - корень данного уравнения. В нашем случае .

Корень данного уравнения лежит в интервале [0; 1].

Выберем ноль в качестве начального приближения, зададим функцию, описывающую уравнение и решим его:

Листинг 7.8. Решение задачи 7.4

-->deff(’[y]=f1(x)’,’y1=((x-1)^2)^(1/3),y2=(x^2)^(1/3),y=y1-y2’)

-->fsolve(0,f1)

ans = 0.5

Задача 7.5. Найти корни уравнения f(x) = ex/5 − 2(x − 1)2.

На рисунке видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение имеет три корня.

Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, получим все решения заданного уравнения:

Листинг 7.9. Решение задачи 7.5

-->deff(’[y]=f(x)’,’y=exp(x)/5-2*(x-1)^2’)

-->x(1)=fsolve(0,f);x(2)=fsolve(2,f);x(3)=fsolve(5,f);

-->x

x = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора, и тогда функцию можно вызвать один раз:

Листинг 7.10. Решение задачи 7.5 (альтернативный способ)

-->fsolve([0;2;5],f)

ans = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Задача 7.6. Вычислить корни уравнения sin(x) − 0.4x = 0 в диапазоне [−5π; 5π].

Решение задачи представлено в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Решение задачи 7.6

-->deff(’[y]=fff(x)’,’y=-0.4+sin(x)’)

-->V=[-5*%pi:%pi:5*%pi]; X=fsolve(V,fff);

-->X //Множество решений

X = !-16.11948 -12.154854 -9.8362948 -5.8716685 -3.5531095

0.4115168 2.7300758 6.6947022 9.0132611 12.977887 15.296446!

Задача 7.7. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x5 − x3 + 1.

Решить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54992. Потребление и сбережение. Факторы, определяющие уровень и динамику потребления, и сбережения 18.45 KB
  Изменение величины потребления вследствие изменений в доходе называется предельной склонностью к потреблению, т. е. это отношение любого изменения в потреблении к тому изменению в величине дохода, которое привело к изменениям потребления.
54993. Подготовка учителя к уроку истории. Тематическое и поурочное планирование. Определение целей урока 68.5 KB
  Годовой план – расположение учебного материала по четвертям. Чтобы составить годовой план, учитель должен изучить учебную программу, учесть число недель в каждой четверти и число учеников в каждом классе. При составлении годового плана учитель должен предусмотреть определенный резерв времени
54994. Дифференцированный подход к обучению на уроках русского языка как средство активизации познавательной деятельности учащихся 82.5 KB
  Цели урока: познакомить учащихся с признаками сложноподчинённых предложений с придаточными причины и цели научить находить в тексте и самостоятельно конструировать сложноподчинённые предложения с придаточными причины и цели отрабатывая пунктуационные навыки. Знать: признаки сложноподчинённых предложений с придаточными причины и цели. Уметь: находить в тексте правильно расставлять знаки препинания и самостоятельно конструировать сложноподчинённые предложения с придаточными причины...
54995. Подорож до весняного лісу 43.5 KB
  Під спокійну музику заходять діти у кімнати. Вихователь: Діти нам час вирушати на прогулянку до лісу діти йдуть по канату один за одним звучить аудіо запис співу птахів. Діти що за звуки ви почули Спів пташок Чому радіють пташки Тому що наступила весна Діти підходять до дерева на якому сидять граки а також шпак біля шпаківні. Шпак Діти а хто знає вірш про шпака Дитина : Прилетіли шпаки дорогі співаки Прилетіли весну зустрічати У шпаківнях нових...
54996. Подорож нашою країною 45.5 KB
  Програмовий зміст: формувати уявлення дітей про нашу державу, місто, право людей на вибір місця проживання. Закріпити та поглибити знання дітей про Україну; розширити знання про народні символи, річки, гори, моря, українську мову, професії (гончар, швачка, вишивальниця), український посуд та національний одяг.
54997. Казкова подорож (з використанням казок В. Сухомлинського) 43 KB
  Матеріал: малюнок із зображенням весняних квітів метелик аркуші з завданням з зображенням метеликів і бджілосінні листочки сніжинка склянки з водою та соломинки по кількості дітей сніжки корзина амулети серветки. Відповіді дітей слідкувати щоб діти відповідали повним реченням вірно вимовляли...
54998. Подорож до зимового лісу 37 KB
  Програмовий зміст: продовжувати ознайомлення малят з особливостями зимової пори року; розширити знання про зміни в природі, пов’язані з приходом зими. Розширити та узагальнити знання дітей про диких тварин, вміння виділяти й характеризувати особливості зовнішнього вигляду, способу їх життя.
54999. Рушаймо в подорож цікаву, рушаймо й пізнаваймо світ... Франція 41 KB
  На відміну від традиційного підходу до вивчення іноземних мов в межах окремої країни, сучасний вчитель має враховувати відношення України з іншими країнами світу та її спрямованість в європейську співдружність.
55000. ЦІКАВИМИ СТЕЖИНАМИ ПО КРАЇНІ МІЦНОГО ЗДОРОВ’Я 191.5 KB
  Мета: виховувати у дітей ціннісне ставлення до власного здоровя та стимулювати бажання дбати про нього; сприяти усвідомленню учнями необхідності ведення здорового способу життя; нагадати корисні звички які допоможуть зміцнити здоровя; прищеплювати інтерес до занять фізичною культурою і спортом.