36869

Решение нелинейных уравнений и систем

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде 0xn1xn−1 n−1xn = 0 где 0 0 n 1 и i коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени. Решение алгебраического уравнения в Scilb состоит из двух этапов. Примеры символьных операций с полиномами p1=poly[1 2]’x’’c’ p1 = 1 2x p2=poly[3 7 2]’x’’c’ p2 = 2 3 7x 2x p1p2 Сложение ns = 2 2 5x 2x p1p2 Вычитание ns = 2 4 9x 2x p1p2 Умножение ns = 2 3 3 13x 16x 4x p1 p2 Деление ns = 1 3 x p1^2 Возведение в...

Русский

2013-09-23

120.5 KB

12 чел.

Лабораторная работа № 7

Решение нелинейных уравнений и систем

Любое уравнение P(x) = 0, где P(x) - это многочлен, отличный от нулевого, называется алгебраическим уравнением или полиномом.

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an = 0,

где a0 <> 0, n > 1 и ai - коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени.

Решение алгебраического уравнения в Scilab состоит из двух этапов.

1. Необходимо задать полином P(x) с помощью функции poly.

2. Найти его корни, применив функцию roots.

Определение полиномов в Scilab осуществляет функция poly(a, "x ["fl"]), где a - это число или матрица чисел, x - символьная переменная, fl - необязательная символьная переменная, определяющая способ задания полинома. Символьная переменная fl может принимать только два значения – «roots» или «coeff» (соответственно «r» или «c»).

Если fl=c, то будет сформирован полином с коэффициентами, хранящимися в параметре a.

Если же fl=r, то значения параметра a воспринимаются функцией как корни, для которых необходимо рассчитать коэффициенты соответствующего полинома.

По умолчанию fl=r.

Следующий пример отражает создание полинома p, имеющего в качестве корня тройку, и полинома f с коэффициентом 3.

Листинг 7.1. Полиномы первой степени

-->p=poly(3,’x’,’r’);

-->f=poly(3,’x’,’c’);

-->p

p =

- 3 + x

-->f

f =

3

Далее приведены примеры создания более сложных полиномов.

Листинг 7.2. Использование функции poly

-->//Полином с корнями 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’)

ans =

2 3

2x - 3x + x

-->//Полином с коэффициентами 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’,’c’)

ans =

2

1 + 2x

Рассмотрим примеры символьных операций с полиномами:

Листинг 7.3. Примеры символьных операций с полиномами

-->p1=poly([-1 2],’x’,’c’)

p1 =

- 1 + 2x

-->p2=poly([3 -7 2],’x’,’c’)

p2 =

2

3 - 7x + 2x

-->p1+p2 //Сложение

ans =

2

2 - 5x + 2x

-->p1-p2 //Вычитание

ans =

2

4 + 9x - 2x

-->p1*p2 //Умножение

ans =

2 3

- 3 + 13x - 16x + 4x

-->p1/p2 //Деление

ans =

1

-----

- 3 + x

-->p1^2 //Возведение в степень

ans =

2

1 - 4x + 4x

-->p2^(-1) //Возведение в отрицательную степень

ans =

1

-----------

2

3 - 7x + 2x

Функция roots(p) предназначена для решения алгебраического уравнения.

Здесь p - это полином, созданный функцией poly и представляющий собой левую часть уравнения P(x) = 0.

Решим несколько алгебраических уравнений.

Задача 7.1. Найти корни полинома 2x4 − 8x3 + 8x2 − 1 = 0.

Для решения этой задачи необходимо задать полином p. Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V . В уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю:

Листинг 7.4. Формирование полинома

-->V=[-1 0 8 -8 2];

-->p=poly(V,’x’,’c’)

p =

1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4

Теперь найдем корни полинома:

Листинг 7.5. Использование функции roots

-->X=roots(p)

X =

! 0.4588039 !

! - 0.3065630 !

! 1.5411961 !

! 2.306563 !

Графическое решение задачи позволяет убедиться, что корни найдены верно.

Пересечение графиков функций F(x)= 1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4 и g(x)=0

Задача 7.2. Найти корни полинома x3 + 0.4x2 + 0.6x − 1 = 0.

Листинг 7.6. Решение задачи 7.2

-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],’x’,’c’))

ans =

! 0.7153636 !

! - 0.5576818 + 1.0425361i !

! - 0.5576818 - 1.0425361i !

Нетрудно заметить, что полином имеет один действительный и два комплексных корня.

Задача 7.3. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x4 − 18x2 + 6.

Листинг 7.7. Решение задачи 7.3

-->x=poly(0,’x’);

-->y=x^4-18*x^2+.6;

-->roots(y)

ans =

! 0.1827438 !

! - 0.1827438 !

! - 4.2387032 !

! 4.2387032 !

Приведите графическое решение данного уравнения.

Трансцендентные уравнения

Уравнение f(x) = 0, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением.

К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические и тригонометрические.

В общем случае аналитическое решение уравнения f(x) = 0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами.

Численное решение нелинейного уравнения проводят в два этапа.

  1.  В начале отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень. Эти промежутки называют интервалами изоляции корня, определить их можно, изобразив график функции f(x) или любым другим методом.
  2.  На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, или, иначе говоря, находят корни с заданной точностью.

Для решения трансцендентных уравнений в Scilab применяют функцию

fsolve(x0,f)

где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения y(x) = 0.

Рассмотрим применение этой функции на примерах.

Задача 7.4. Найти решение уравнения

Определим интервал изоляции корня заданного уравнения. Воспользуемся графическим методом отделения корней. Если выражение, стоящее в правой части уравнения, представить в виде разности двух функций f(x) − g(x) = 0, то абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) - корень данного уравнения. В нашем случае .

Корень данного уравнения лежит в интервале [0; 1].

Выберем ноль в качестве начального приближения, зададим функцию, описывающую уравнение и решим его:

Листинг 7.8. Решение задачи 7.4

-->deff(’[y]=f1(x)’,’y1=((x-1)^2)^(1/3),y2=(x^2)^(1/3),y=y1-y2’)

-->fsolve(0,f1)

ans = 0.5

Задача 7.5. Найти корни уравнения f(x) = ex/5 − 2(x − 1)2.

На рисунке видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение имеет три корня.

Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, получим все решения заданного уравнения:

Листинг 7.9. Решение задачи 7.5

-->deff(’[y]=f(x)’,’y=exp(x)/5-2*(x-1)^2’)

-->x(1)=fsolve(0,f);x(2)=fsolve(2,f);x(3)=fsolve(5,f);

-->x

x = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора, и тогда функцию можно вызвать один раз:

Листинг 7.10. Решение задачи 7.5 (альтернативный способ)

-->fsolve([0;2;5],f)

ans = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Задача 7.6. Вычислить корни уравнения sin(x) − 0.4x = 0 в диапазоне [−5π; 5π].

Решение задачи представлено в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Решение задачи 7.6

-->deff(’[y]=fff(x)’,’y=-0.4+sin(x)’)

-->V=[-5*%pi:%pi:5*%pi]; X=fsolve(V,fff);

-->X //Множество решений

X = !-16.11948 -12.154854 -9.8362948 -5.8716685 -3.5531095

0.4115168 2.7300758 6.6947022 9.0132611 12.977887 15.296446!

Задача 7.7. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x5 − x3 + 1.

Решить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25025. Деятельность политического консультанта во время избирательной кампании 94.15 KB
  Избирательная кампания система агитационных мероприятий проводимых политическими партиями и независимыми кандидатами с целью обеспечить себе максимальную поддержку избирателей на предстоящих выборах. Другая причина обусловливающая необходимость психологического сопровождения клиента связана с крайне напряженным ритмом кампании и с тем что личность кандидата его время его работоспособность и самочувствие являются главным ресурсом кампании. Подготовка клиента к публичным выступлениям Полноценная подготовка заключается в написании речей...
25026. Историческое становление связей с общественностью 42.23 KB
  Под активизацией связей с общественностью он понимал наращивание усилий политических институтов для создания климата доверия в национальном масштабе. Значительную роль в развитии политических связей с общественностью сыграли PRтехнологии президента А. Они появились в Бостоне в 1900 году и в ближайшее десятилетие стали необходимым инструментом для многих сфер бизнеса проводили PRконсультирование в разных областях жизни отрабатывали новейшие PRтехнологии и во многом вытеснили юристов из традиционной сферы лоббирования интересов компаний...
25027. Паблик рилейшнз как социальный феномен 40.75 KB
  Паблик рилейшнз связи с общественностью как социальный феномен решает задачи коммуникативной организации в обществе. Целью работы связей с общественностью становится налаживание позитивных отношений между организацией и ее общественностью. Развитие паблик рилейшнз в России связывают с демократическими преобразованиями проведением политики гласности адекватной необходимостью установления взаимоотношений с общественностью. Ускоренный научнотехнический прогресс информационный бум стали причиной интенсификации различного рода коммуникаций и...
25028. Сферы функционирования связей с общественностью в современном обществе 15.88 KB
  Сферы функционирования связей с общественностью в современном обществе Поле функционирования паблик рилейшнз в современном обществе охватывает практически все виды общественных отношений и основные виды профессиональной деятельности как различных организаций так и отдельных лидеров имидж которых является важнейшим фактором их успеха в социальном взаимодействии. В современной России как и во всем цивилизованном мире связи с общественностью функционируют в различных сферах общественной жизни. Это приводит к снижению бума вокруг политического...
25029. Общественность и общественное мнение как главные объекты PR-деятельности 28.34 KB
  Общественность и общественное мнение как главные объекты PRдеятельности Объектом любой деятельности является та часть окружающей действительности в том числе и социальной которая подвергается целенаправленному воздействию со стороны субъекта с помощью определенных средств. Применительно к паблик рилейшнз ее объектом может быть либо общественное мнение либо общественность. В свою очередь признаками публичности являются: ♦ связь с какойлибо общностью людей в деятельностном аспекте общественное мнение общественные дела и т. Общественное...
25030. Характеристика информационных, имиджевых и корпоративных PR-документов 35.5 KB
  Бэкграундер – справочная информация по теме информация о компании статистика которая может быть использована СМИ при подготовке материалов. Самостоятельный документ направляется в СМИ или входит в состав пресскита; Справочная информация о компании и входит в состав прессрелиза. Бэкграундер содержит информацию о профиле работы компании о ее продуктах услугах успехах о новых направлениях деятельности. Структура бэкграундера: История и этапы развития компании Легенда Современное состояние Спонсорские программы Кризис и выход из...
25031. Виды рабочих мероприятий связей с общественностью: презентация, прием, выставка 23.79 KB
  Обычно все презентации подчиняются логической схеме: Встреча представление гостей и участников со стороны организации. Мини прессконференция – всем представителям организации предоставляется слово для краткого выступления примерно 25 минут. Презентация общественной организации фирмы акционерного общества корпорации и т. Целью такой презентации прежде всего является создание имиджа этой организации.
25032. Формы взаимодействия связей с общественностью со СМИ: пресс-прием, пресс-конференция, пресс-тур 30.09 KB
  Формы взаимодействия связей с общественностью со СМИ: прессприем прессконференция пресстур Существует несколько разновидностей прессмероприятий каждое из которых имеет свои отличительные признаки способы воздействия и границы применения. Прессприем Прессприем – неформальное мероприятие с относительно произвольным сценарием. Может проходить в формате прессланча или прессужина. Прессланч – специальное событие с участием первых лиц компании и ограниченного числа журналистов которые поддерживают постоянные контакты с организацией и...
25033. Управление кризисными ситуациями как функция связей с общественностью 30.35 KB
  Управление кризисными ситуациями как функция связей с общественностью Управление кризисными ситуациями представляет собой многогранный процесс который охватывает и объединяет различные сферы деятельности человека. Но если разразился кризис то становится очевидным что всё протекает не так как виделось ранее и каждый раз совершенно поиному. Кризис как явление настолько многогранен что его изучением занимаются представители различных научных направлений: историки политологи психологи философы экономисты юристы. Более того специально...