36869

Решение нелинейных уравнений и систем

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде 0xn1xn−1 n−1xn = 0 где 0 0 n 1 и i коэффициенты алгебраического уравнения nй степени. Решение алгебраического уравнения в Scilb состоит из двух этапов. Примеры символьных операций с полиномами p1=poly[1 2]xc p1 = 1 2x p2=poly[3 7 2]xc p2 = 2 3 7x 2x p1p2 Сложение ns = 2 2 5x 2x p1p2 Вычитание ns = 2 4 9x 2x p1p2 Умножение ns = 2 3 3 13x 16x 4x p1 p2 Деление ns = 1 3 x p1^2 Возведение в...

Русский

2013-09-23

120.5 KB

12 чел.

Лабораторная работа № 7

Решение нелинейных уравнений и систем

Любое уравнение P(x) = 0, где P(x) - это многочлен, отличный от нулевого, называется алгебраическим уравнением или полиномом.

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an = 0,

где a0 <> 0, n > 1 и ai - коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени.

Решение алгебраического уравнения в Scilab состоит из двух этапов.

1. Необходимо задать полином P(x) с помощью функции poly.

2. Найти его корни, применив функцию roots.

Определение полиномов в Scilab осуществляет функция poly(a, "x ["fl"]), где a - это число или матрица чисел, x - символьная переменная, fl - необязательная символьная переменная, определяющая способ задания полинома. Символьная переменная fl может принимать только два значения – «roots» или «coeff» (соответственно «r» или «c»).

Если fl=c, то будет сформирован полином с коэффициентами, хранящимися в параметре a.

Если же fl=r, то значения параметра a воспринимаются функцией как корни, для которых необходимо рассчитать коэффициенты соответствующего полинома.

По умолчанию fl=r.

Следующий пример отражает создание полинома p, имеющего в качестве корня тройку, и полинома f с коэффициентом 3.

Листинг 7.1. Полиномы первой степени

-->p=poly(3,’x’,’r’);

-->f=poly(3,’x’,’c’);

-->p

p =

- 3 + x

-->f

f =

3

Далее приведены примеры создания более сложных полиномов.

Листинг 7.2. Использование функции poly

-->//Полином с корнями 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’)

ans =

2 3

2x - 3x + x

-->//Полином с коэффициентами 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’,’c’)

ans =

2

1 + 2x

Рассмотрим примеры символьных операций с полиномами:

Листинг 7.3. Примеры символьных операций с полиномами

-->p1=poly([-1 2],’x’,’c’)

p1 =

- 1 + 2x

-->p2=poly([3 -7 2],’x’,’c’)

p2 =

2

3 - 7x + 2x

-->p1+p2 //Сложение

ans =

2

2 - 5x + 2x

-->p1-p2 //Вычитание

ans =

2

4 + 9x - 2x

-->p1*p2 //Умножение

ans =

2 3

- 3 + 13x - 16x + 4x

-->p1/p2 //Деление

ans =

1

-----

- 3 + x

-->p1^2 //Возведение в степень

ans =

2

1 - 4x + 4x

-->p2^(-1) //Возведение в отрицательную степень

ans =

1

-----------

2

3 - 7x + 2x

Функция roots(p) предназначена для решения алгебраического уравнения.

Здесь p - это полином, созданный функцией poly и представляющий собой левую часть уравнения P(x) = 0.

Решим несколько алгебраических уравнений.

Задача 7.1. Найти корни полинома 2x4 − 8x3 + 8x2 − 1 = 0.

Для решения этой задачи необходимо задать полином p. Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V . В уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю:

Листинг 7.4. Формирование полинома

-->V=[-1 0 8 -8 2];

-->p=poly(V,’x’,’c’)

p =

1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4

Теперь найдем корни полинома:

Листинг 7.5. Использование функции roots

-->X=roots(p)

X =

! 0.4588039 !

! - 0.3065630 !

! 1.5411961 !

! 2.306563 !

Графическое решение задачи позволяет убедиться, что корни найдены верно.

Пересечение графиков функций F(x)= 1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4 и g(x)=0

Задача 7.2. Найти корни полинома x3 + 0.4x2 + 0.6x − 1 = 0.

Листинг 7.6. Решение задачи 7.2

-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],’x’,’c’))

ans =

! 0.7153636 !

! - 0.5576818 + 1.0425361i !

! - 0.5576818 - 1.0425361i !

Нетрудно заметить, что полином имеет один действительный и два комплексных корня.

Задача 7.3. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x4 − 18x2 + 6.

Листинг 7.7. Решение задачи 7.3

-->x=poly(0,’x’);

-->y=x^4-18*x^2+.6;

-->roots(y)

ans =

! 0.1827438 !

! - 0.1827438 !

! - 4.2387032 !

! 4.2387032 !

Приведите графическое решение данного уравнения.

Трансцендентные уравнения

Уравнение f(x) = 0, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением.

К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические и тригонометрические.

В общем случае аналитическое решение уравнения f(x) = 0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами.

Численное решение нелинейного уравнения проводят в два этапа.

  1.  В начале отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень. Эти промежутки называют интервалами изоляции корня, определить их можно, изобразив график функции f(x) или любым другим методом.
  2.  На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, или, иначе говоря, находят корни с заданной точностью.

Для решения трансцендентных уравнений в Scilab применяют функцию

fsolve(x0,f)

где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения y(x) = 0.

Рассмотрим применение этой функции на примерах.

Задача 7.4. Найти решение уравнения

Определим интервал изоляции корня заданного уравнения. Воспользуемся графическим методом отделения корней. Если выражение, стоящее в правой части уравнения, представить в виде разности двух функций f(x) − g(x) = 0, то абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) - корень данного уравнения. В нашем случае .

Корень данного уравнения лежит в интервале [0; 1].

Выберем ноль в качестве начального приближения, зададим функцию, описывающую уравнение и решим его:

Листинг 7.8. Решение задачи 7.4

-->deff(’[y]=f1(x)’,’y1=((x-1)^2)^(1/3),y2=(x^2)^(1/3),y=y1-y2’)

-->fsolve(0,f1)

ans = 0.5

Задача 7.5. Найти корни уравнения f(x) = ex/5 − 2(x − 1)2.

На рисунке видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение имеет три корня.

Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, получим все решения заданного уравнения:

Листинг 7.9. Решение задачи 7.5

-->deff(’[y]=f(x)’,’y=exp(x)/5-2*(x-1)^2’)

-->x(1)=fsolve(0,f);x(2)=fsolve(2,f);x(3)=fsolve(5,f);

-->x

x = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора, и тогда функцию можно вызвать один раз:

Листинг 7.10. Решение задачи 7.5 (альтернативный способ)

-->fsolve([0;2;5],f)

ans = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Задача 7.6. Вычислить корни уравнения sin(x) − 0.4x = 0 в диапазоне [−5π; 5π].

Решение задачи представлено в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Решение задачи 7.6

-->deff(’[y]=fff(x)’,’y=-0.4+sin(x)’)

-->V=[-5*%pi:%pi:5*%pi]; X=fsolve(V,fff);

-->X //Множество решений

X = !-16.11948 -12.154854 -9.8362948 -5.8716685 -3.5531095

0.4115168 2.7300758 6.6947022 9.0132611 12.977887 15.296446!

Задача 7.7. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x5 − x3 + 1.

Решить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29645. Метод наблюдения в социологическом исследовании. Виды наблюдения. Опыт использования в социологии 36.5 KB
  Виды наблюдения. Метод наблюдения в соцом исследовании используется в 2х смыслах широком и узком . В узком смысле наблюдения конкретезированный метод соц.
29646. Основные цели и задачи деятельности ИПБ 26 KB
  Активное участие в создании и деятельности ИПБ принимает Минфин РФ. ИПБ РФ объединяет аттестованных профессиональных бухгалтеров и аудиторов. ИПБ России имеет на территории страны свои филиалы и представительства которые являются его обособленными подразделениями.
29647. Особенности бухгалтерского дела на начальной стадии функционирования предприятия 29 KB
  Деятельность организации начинается с ее государственной регистрации. В небольших организациях процедуру регистрации часто проходит именно бухгалтер. Государственная регистрация осуществляется в срок не более чем 5 рабочих дней со дня представления документов в регистрирующий орган. Момент внесения записи регистрирующим органом в государственный реестр признается моментом государственной регистрации.
29648. Особенности бухгалтерского дела на стадии ликвидации 35.5 KB
  Согласно закону несостоятельность признанная арбитражным судом неспособность должника в полном объеме удовлетворять требования кредиторов по денежным обязательствам и или исполнить обязанность по уплате обязательных платежей. Лицами участвующими в деле о банкротстве являются: должник; арбитражный управляющий; конкурсные кредиторы; уполномоченные органы; федеральные органы исполнительной власти а также органы исполнительной власти субъектов Российской Федерации и органы местного самоуправления по месту нахождения должника в случаях...
29649. Особенности бухгалтерского дела на стадии реорганизации организации 42 KB
  № 283 Министерство финансов РФ утвердило Методические указания по формированию бухгалтерской отчетности при осуществлении реорганизации организаций Приказ от 20 мая 2003 г. Решение о реорганизации принимает высший орган управления юридического лица. При добровольной реорганизации собственники юридических лиц акционеры участники пайщики и т.
29650. Международные бухгалтерские профессиональные организации 27 KB
  Был создан для разработки стандартов которые можно было бы распространить на все страны мира. в настоящее время в него входят представители более 100 бухгалтерских организации из 75 стран. Членами Федерации являются представители профессиональных организаций более 70 стран.Объединяет правительства 24 стран включая большинство индустриально развитых государств: Австралию Австрию Канаду Францию германию Японию и др.
29651. Национальная Федерация консультантов и аудиторов 33.5 KB
  Предметом деятельности Федерации являются: проведение конгрессов конференций семинаров и других мероприятий для обмена мнениями по актуальным вопросам развития аудиторскоконсультационной деятельности; участие в подготовке нормативноправовых актов регулирующих аудиторскую и консультационную деятельность; организация взаимодействия с органами законодательной и исполнительной власти Российской Федерации по вопросам касающимся профессиональной деятельности Федерации; содействие внедрению в организацияхчленах Федерации...
29652. Организация автоматизированного рабочего места бухгалтера 26 KB
  При проектировании и создании АРМ бухгалтера можно выделить два основных вида обеспечения: техническое и программное. С вводом в эксплуатацию АРМ бухгалтера на базе ПК происходит распределение функций и операций между бухгалтером и персональным компьютером. Кроме того использование в качестве технического средства АРМ бухгалтера современных персональных ЭВМ дает возможность одновременно с децентрализованной обработкой учетных данных обеспечить интеграцию информационной базы сократить время обработки; ликвидировать разрыв во времени между...
29653. Организация бухгалтерского учета на предприятии 29 KB
  Основные правила организации и ведения бухгалтерского учета для всех предприятий едины. Ведение бухгалтерского учета регламентируется законами нормативными актами и положениями по бухгалтерскому учету. Такие вопросы как организация форма и техника ведения бухгалтерского учета предприятие решает самостоятельно.