36869

Решение нелинейных уравнений и систем

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде 0xn1xn−1 n−1xn = 0 где 0 0 n 1 и i коэффициенты алгебраического уравнения nй степени. Решение алгебраического уравнения в Scilb состоит из двух этапов. Примеры символьных операций с полиномами p1=poly[1 2]xc p1 = 1 2x p2=poly[3 7 2]xc p2 = 2 3 7x 2x p1p2 Сложение ns = 2 2 5x 2x p1p2 Вычитание ns = 2 4 9x 2x p1p2 Умножение ns = 2 3 3 13x 16x 4x p1 p2 Деление ns = 1 3 x p1^2 Возведение в...

Русский

2013-09-23

120.5 KB

13 чел.

Лабораторная работа № 7

Решение нелинейных уравнений и систем

Любое уравнение P(x) = 0, где P(x) - это многочлен, отличный от нулевого, называется алгебраическим уравнением или полиномом.

Всякое алгебраическое уравнение относительно x можно записать в виде a0xn+a1xn−1+· · ·+an−1x+an = 0,

где a0 <> 0, n > 1 и ai - коэффициенты алгебраического уравнения n–й степени.

Решение алгебраического уравнения в Scilab состоит из двух этапов.

1. Необходимо задать полином P(x) с помощью функции poly.

2. Найти его корни, применив функцию roots.

Определение полиномов в Scilab осуществляет функция poly(a, "x ["fl"]), где a - это число или матрица чисел, x - символьная переменная, fl - необязательная символьная переменная, определяющая способ задания полинома. Символьная переменная fl может принимать только два значения – «roots» или «coeff» (соответственно «r» или «c»).

Если fl=c, то будет сформирован полином с коэффициентами, хранящимися в параметре a.

Если же fl=r, то значения параметра a воспринимаются функцией как корни, для которых необходимо рассчитать коэффициенты соответствующего полинома.

По умолчанию fl=r.

Следующий пример отражает создание полинома p, имеющего в качестве корня тройку, и полинома f с коэффициентом 3.

Листинг 7.1. Полиномы первой степени

-->p=poly(3,’x’,’r’);

-->f=poly(3,’x’,’c’);

-->p

p =

- 3 + x

-->f

f =

3

Далее приведены примеры создания более сложных полиномов.

Листинг 7.2. Использование функции poly

-->//Полином с корнями 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’)

ans =

2 3

2x - 3x + x

-->//Полином с коэффициентами 1, 0 и 2

-->poly([1 0 2],’x’,’c’)

ans =

2

1 + 2x

Рассмотрим примеры символьных операций с полиномами:

Листинг 7.3. Примеры символьных операций с полиномами

-->p1=poly([-1 2],’x’,’c’)

p1 =

- 1 + 2x

-->p2=poly([3 -7 2],’x’,’c’)

p2 =

2

3 - 7x + 2x

-->p1+p2 //Сложение

ans =

2

2 - 5x + 2x

-->p1-p2 //Вычитание

ans =

2

4 + 9x - 2x

-->p1*p2 //Умножение

ans =

2 3

- 3 + 13x - 16x + 4x

-->p1/p2 //Деление

ans =

1

-----

- 3 + x

-->p1^2 //Возведение в степень

ans =

2

1 - 4x + 4x

-->p2^(-1) //Возведение в отрицательную степень

ans =

1

-----------

2

3 - 7x + 2x

Функция roots(p) предназначена для решения алгебраического уравнения.

Здесь p - это полином, созданный функцией poly и представляющий собой левую часть уравнения P(x) = 0.

Решим несколько алгебраических уравнений.

Задача 7.1. Найти корни полинома 2x4 − 8x3 + 8x2 − 1 = 0.

Для решения этой задачи необходимо задать полином p. Сделаем это при помощи функции poly, предварительно определив вектор коэффициентов V . В уравнении отсутствует переменная x в первой степени, это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю:

Листинг 7.4. Формирование полинома

-->V=[-1 0 8 -8 2];

-->p=poly(V,’x’,’c’)

p =

1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4

Теперь найдем корни полинома:

Листинг 7.5. Использование функции roots

-->X=roots(p)

X =

! 0.4588039 !

! - 0.3065630 !

! 1.5411961 !

! 2.306563 !

Графическое решение задачи позволяет убедиться, что корни найдены верно.

Пересечение графиков функций F(x)= 1 + 8x2 - 8x 3+ 2x4 и g(x)=0

Задача 7.2. Найти корни полинома x3 + 0.4x2 + 0.6x − 1 = 0.

Листинг 7.6. Решение задачи 7.2

-->roots(poly([-1 0.6 0.4 1],’x’,’c’))

ans =

! 0.7153636 !

! - 0.5576818 + 1.0425361i !

! - 0.5576818 - 1.0425361i !

Нетрудно заметить, что полином имеет один действительный и два комплексных корня.

Задача 7.3. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x4 − 18x2 + 6.

Листинг 7.7. Решение задачи 7.3

-->x=poly(0,’x’);

-->y=x^4-18*x^2+.6;

-->roots(y)

ans =

! 0.1827438 !

! - 0.1827438 !

! - 4.2387032 !

! 4.2387032 !

Приведите графическое решение данного уравнения.

Трансцендентные уравнения

Уравнение f(x) = 0, в котором неизвестное входит в аргумент трансцендентных функций, называется трансцендентным уравнением.

К трансцендентным уравнениям принадлежат показательные, логарифмические и тригонометрические.

В общем случае аналитическое решение уравнения f(x) = 0 можно найти только для узкого класса функций. Чаще всего приходится решать это уравнение численными методами.

Численное решение нелинейного уравнения проводят в два этапа.

  1.  В начале отделяют корни уравнения, т.е. находят достаточно тесные промежутки, в которых содержится только один корень. Эти промежутки называют интервалами изоляции корня, определить их можно, изобразив график функции f(x) или любым другим методом.
  2.  На втором этапе проводят уточнение отделенных корней, или, иначе говоря, находят корни с заданной точностью.

Для решения трансцендентных уравнений в Scilab применяют функцию

fsolve(x0,f)

где x0 - начальное приближение, f - функция, описывающая левую часть уравнения y(x) = 0.

Рассмотрим применение этой функции на примерах.

Задача 7.4. Найти решение уравнения

Определим интервал изоляции корня заданного уравнения. Воспользуемся графическим методом отделения корней. Если выражение, стоящее в правой части уравнения, представить в виде разности двух функций f(x) − g(x) = 0, то абсцисса точки пересечения линий f(x) и g(x) - корень данного уравнения. В нашем случае .

Корень данного уравнения лежит в интервале [0; 1].

Выберем ноль в качестве начального приближения, зададим функцию, описывающую уравнение и решим его:

Листинг 7.8. Решение задачи 7.4

-->deff(’[y]=f1(x)’,’y1=((x-1)^2)^(1/3),y2=(x^2)^(1/3),y=y1-y2’)

-->fsolve(0,f1)

ans = 0.5

Задача 7.5. Найти корни уравнения f(x) = ex/5 − 2(x − 1)2.

На рисунке видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, т.е. уравнение имеет три корня.

Последовательно вызывая функцию fsolve с различными начальными приближениями, получим все решения заданного уравнения:

Листинг 7.9. Решение задачи 7.5

-->deff(’[y]=f(x)’,’y=exp(x)/5-2*(x-1)^2’)

-->x(1)=fsolve(0,f);x(2)=fsolve(2,f);x(3)=fsolve(5,f);

-->x

x = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Кроме того, начальные приближения можно задать в виде вектора, и тогда функцию можно вызвать один раз:

Листинг 7.10. Решение задачи 7.5 (альтернативный способ)

-->fsolve([0;2;5],f)

ans = ! 0.5778406 !

! 1.7638701 !

! 5.1476865 !

Задача 7.6. Вычислить корни уравнения sin(x) − 0.4x = 0 в диапазоне [−5π; 5π].

Решение задачи представлено в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Решение задачи 7.6

-->deff(’[y]=fff(x)’,’y=-0.4+sin(x)’)

-->V=[-5*%pi:%pi:5*%pi]; X=fsolve(V,fff);

-->X //Множество решений

X = !-16.11948 -12.154854 -9.8362948 -5.8716685 -3.5531095

0.4115168 2.7300758 6.6947022 9.0132611 12.977887 15.296446!

Задача 7.7. Найти решение уравнения y(x) = 0, если y(x) = x5 − x3 + 1.

Решить самостоятельно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26675. Концепция развития туризма в Архангельской области на 2011-2014 годы 25.12 KB
  Концепция разработана в рамках реализации Стратегии социальноэкономического развития Архангельской области до 2030 года.1999 № 14923ОЗ О туризме в Архангельской области; Стратегия социальноэкономического развития Архангельской области до 2030 года. Характеристика современной туристской индустрии Архангельской области 1.
26676. КОНЦЕПЦИЯ РАЗВИТИЯ МОЛОДЕЖНОГО ТУРИЗМА 34.24 KB
  Другой аспект туризма туристский бизнес. Настоящий бум развития туризма в нашей стране был в 30е и 60е годы прошлого века. В настоящее время отсутствует комплексный подход к развитию туризма в стране в 90е годы руководство туризмом было разведено по 14 ведомствам и частному капиталу.
26677. Наследование при моно- и дигибридном скрещивании 14.38 KB
  Закон доминирования первый закон Менделя − это закон единообразия гибридов первого поколения. Это соотношение выражает второй закон Менделя или закон расщепления признаков у гибридов второго поколения в соотношении 3:1 по фенотипу. Закон чистоты гамет гамета содержит 1 и только 1 аллель от каждого гена. 3й закон Менделя: закон независимого наследования.
26678. Полиплоидия. Автополиплоидия, её фенотипические эффекты и генетика. Амфидиплоидия как механизм получения плодовитых аллополиплоидов. Значение полиплоидии в эволюции и селекции растений 13.47 KB
  Геномные мутации это мутации затрагивающие число хромосом изменяющие геномгаплоидный набор хромосом с локализми в них генами. Полиплоидия это изменение числа хромосом кратное гаплоидному. Умножение одного и того же гаплоидного числа хромосом генома назся автополиплоидией. Различают полиплоидию сбалансую с чётным числом наборов хромосом и несбалансую с нечётным.
26679. Строение митотической хромосомы 11.76 KB
  Она связана с тонкими фибриллами и телом хромосомы в области перетяжки. Обычно хромосома имеет только 1 центромеру но может встречаться дицентрические и полицентрические. Те ке хромосомы имеют вторичную перетяжку кя обычно располагается вблизи дистального конца хромосомы и отделяет маленький участок спутник.
26680. Сцепление генов. Группы сцепления. Генетический анализ сцепления генов. Сцепление и перекрест в экспериментах Моргана с дрозофилой 12.78 KB
  Генетический анализ сцепления генов. Число хромосом у разных видов невелико по сравнению с числом генов. У дрозофилы более тысячи генов на 4 пары хромосом.
26681. Транскрипция – синтез РНК 14.63 KB
  Транскрипция синтез всех типов РНК 1 этап экспрессии генов. РНКполимеразы: Транскрипцию осуществлт фермент РНКполимераза особть фия: не требует праймера начинает работать с 1 нуклда работает в направлении 5→3 У прокариот РНКполимза E δ70 имеет большое колво субц 2α взаимодт с промотором; 2β актив. РНКполимза сочетт в себе полимеразную и хеликазю активть.
26682. Трансляция 16.84 KB
  Трансляция - реализация ген.программы клеток,происходит перевод ген.информации,закодированной в структуре НК,в аминокислотную последовательность белков. Это перевод четырехбуквенного(по числу постоянно встречающихся в ДНК и РНК нуклеотидов)
26683. Понятие гена и генома. Генетический код. Регуляция активности генов на примере лактозного оперона 14.35 KB
  Регуляция активности генов на примере лактозного оперона. 2Является универсальным 3Вырожденность 1АК может кодироваться несколькими триплетами 4Неперекрывающийся то есть триплет кодирует только 1АК 5Стопкодоны 3 последовательности: УАА УАГ УГА Регуляция действия генов на примере лактозного оперона. Лактоза расщепляется на глюкозу и галактозу под действием фермента βгалактозидаза P lacI P O lacZ lacY lacC Строение лакоперона:1 P промотер который связывается с мРНК. Ген lacI не входит в состав оперона.