369

Решение вопросов теории вероятности на уроках математики

Дипломная

Педагогика и дидактика

Выделить основные цели и задачи изучения теории вероятностей в курсе школьной математики. Изучение и анализ научной учебно-методической литературы, программ по математике для общеобразовательных учреждений. Наблюдение за деятельностью учащихся, ее анализ.

Русский

2013-01-06

583 KB

210 чел.

Введение

Предмет теории вероятностей отличается большим своеобразием. Необычный характер теоретико-вероятностных понятий является причиной того, что долгое время подход к этим понятиям основывался только на интуитивных соображениях. Это и подрывало веру в правильность выводов теории вероятностей: многие ее положения носили расплывчатый характер и вызывали сомнения.

Теория вероятностей один из разделов, введенный в школьный курс, представляющий несомненную ценность для общего образования. Полезность получаемых знаний состоит как в том значении, которое имеют эти знания для понимания и познания закономерностей окружающего нас мира, так и возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизненной практике.

Теория вероятностей – это такой раздел математики, который позволяет обучать учащихся логике на практике. В процессе освоения теоретических фактов решается задача развития у учащихся навыков проведения логических рассуждений, способностей абстрагировать т.е. выделять в конкретной ситуации сущность вопроса, отвлекаясь от несущественных деталей. Изучая теорию вероятностей, учащиеся овладевают умениями анализировать рассматриваемый вопрос, обобщать, находить пути решения поставленной задачи. Все это формирует мышление учащихся и способствует развитию их речи, особенно таких качеств выражения мысли, как порядок, ясность, обоснованность.

Изучение теории вероятностей требует от каждого ученика больших усилий и немалого времени. Полученные при этом навыки учебного труда позволяет выпускникам школы в их дальнейшем жизненном пути эффективно овладевать навыками выполнения других видов труда и с должным пониманием относится к тому, что хорошее выполнение любой работы требует значительных усилий и ответственности.

Изучение теории вероятностей способствует развитию у учащихся наблюдательности, внимания и сосредоточенности, инициативы и настойчивости. Все это имеет большое значение для формирования их характера.

Несмотря на то, что теория вероятностей является важным разделом школьной математики, учебной математической литературы очень мало. Учебная литература резко разделяется на две категории: книги доступные лишь читателю с солидной математической подготовкой и книги, изучающие предмет на интуитивном уровне.

Анализ содержания учебно-методической литературы (журналов "Квант", "Математика в школе", газеты "Математика" приложения к газете "1сентября") показывает, что вопросами преподавания теории вероятностей уделяется в школе недостаточно внимания.

Все выше сказанное приводит к проблеме разработки методики обучения теоретико-вероятностным вопросам в школе.

Выделенная проблема обусловила основную цель дипломной работы: разработать методические рекомендации по изучению элементов теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики.

В качестве частных задач для достижения поставленной цели были приняты:

Изучить научные основы теории вероятностей;

Проанализировать математическую составляющую темы "Элементы теории вероятностей" в различных действующих учебных пособиях по математике для классов с углубленным изучением математики;

Выделить основные цели и задачи изучения теории вероятностей в курсе школьной математики;

Провести частичную апробацию разработанных дидактических материалов по изучению теоретико-вероятностных вопросов.

Основными методами решения задач являются:

Изучение и анализ научной учебно-методической литературы, программ по математике для общеобразовательных учреждений;

Наблюдение за деятельностью учащихся, ее анализ;

Беседы с учащимися и педагогоми;

Проведение опытной работы


Глава I. Психолого-педагогические аспекты обучения основам теории вероятностей

§1. Психолого-педагогическая характеристика подросткового возраста.

п.1 Возрастные критерии.

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей вообще и математики в частности к психолого–педагогическим проблемам, к психологическим знаниям. Этот интерес обусловлен тем, что учителя математики в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно разрешить лишь с учетом психолого–педагогических знаний, а также при условии глубокого психологического осмысления сущности этих проблем.

1. Ученик как объект и субъект процесса обучения.

В процессе обучения математике непосредственно участвуют с одной стороны — учитель, с другой — ученик. Роли их в этом процессе представляются, по крайней мере на первый взгляд, достаточно ясными: учитель организует, направляет и руководит процессом обучения математике, а ученик должен учиться, выполнять все требования учителя.

Вот как, например, определяется процесс обучения в одном из учебников по педагогике: «Обучением называется двусторонний процесс, состоящий из деятельности учителя, когда он ученикам объясняет, рассказывает, показывает, заставляет их выполнять упражнения, исправляет их ошибки и т.д., и из деятельности учеников, которые под руководством учителя усваивают знания и соответствующие умения и навыки».

Основная роль учителя математики в современных условиях — это воспитание личности учащихся, формирование их потребностно–мотивационной сферы, воспитание их способностей, нравственных идеалов и убеждений. Обучение знаниям умениям и навыкам по математике является составной частью этого воспитания и тем процессом, в котором это воспитание осуществляется.

2. Возрастные психологические особенности ученика как объекта обучения математике.

О том, что надо учитывать возрастные особенности учащихся, говорится всюду, но не всегда указывается, что это означает, какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать. Между тем, надо иметь в виду, что возрастные особенности — это не нечто неизменное и вечное, что присуще ученикам определённого возраста. Сами эти особенности довольно резко меняются со временем. Скажем, возрастные психологические особенности ученика младшего школьного возраста теперь и лет 30 тому назад совсем не одни и те же. Точно также современный подросток весьма существенно отличается от подростка довоенных лет.

Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике.

Ученик — это растущий, развивающийся человек. Придя в школу в 6-7 лет, он заканчивает её в 17-18 лет вполне сложившимся человеком юношеского возраста. За эти одиннадцать лет обучения ученик проходит огромный путь физического, психического и социально–нравственного развития.

Подростковый возраст — это весьма сложный, таящий в себе опасность кризисных явлений, период в жизни ученика. В этот период организм ребёнка претерпевает кардинальные изменения. Развёртывается процесс полового созревания. С этим процессом связано возникновение у подростка физического ощущения собственной взрослости. У него возникает представление о себе уже не как о ребёнке, он стремится быть и считаться взрослым. Отсюда у подростка возникает новая жизненная позиция по отношению к себе, к окружающим людям, к миру. Он становится социально активным, восприимчивым к усвоению норм ценностей и способов поведения, которые существуют, по его мнению, среди взрослых.

Поэтому период подросткового возраста характерен тем, что здесь происходит активное формирование морально–нравственных и социальных установок личности ученика, намечается общая направленность этой личности.

Подросток стремится к активному общению со своими сверстниками, и через это общение он познаёт самого себя, овладевает своим поведением, ориентируясь на образцы и идеалы, почерпнутые из книг, кинофильмов, телевидения в лучшем случае.

Подросток становится более независимым от взрослых ещё и потому, что у него возникают такие потребности, которые он должен удовлетворить только сам (потребность в общении со сверстниками, в дружбе, в любви). Родители и вообще взрослые при всём их желании не могут решить проблемы, встающие перед подростками в связи с возникновением у них новых потребностей, между тем как удовлетворение всех основных потребностей младших школьников зависит в основном, от родителей. Всё это зачастую болезненно сказывается на отношении учащихся к учению. Вот как характеризует это известный психолог Н.С. Лейтес: «Дети 12–13 лет в подавляющем большинстве своём относятся к учению в основном благодушно: не утруждают себя излишними раздумьями, выполняют только уроки в пределах заданного, часто находят поводы для развлечения… Ослабление связи с учителем, снижение его влияния особенно дают о себе знать в недостатках поведения учеников на уроках. Теперь учащихся не только иногда позволяют себе игнорировать получаемые замечания, но могут и активно им противостоять. В средних классах можно столкнутся с изобретательными шалостями и проявлением самого легкомысленного поведения».

Общая картина работы учащихся–подростков на уроках по сравнению с младшими классами ухудшается. Ранее примерные и аккуратные ученики позволяют себе не выполнять задания. Тетради ведутся неряшливо. У многих учащихся меняется почерк, он становится неразборчивым и небрежным. При решении математических задач многие подростки не проявляют нужной настойчивости и прилежания. Попытки учителя заинтересовать учеников занимательностью формы изложения или какими–либо другими способами зачастую не приносят ожидаемого результата.

В то же время эти же подростки весьма охотно участвуют в работе различных кружков, где, казалось бы, наиболее трудные подростки охотно выполняют все указания взрослого руководителя кружка, с интересом и усердием овладевают теоретическими знаниями, нужными для выполнения практических работ.

Если подростковый возраст есть начало внутреннего перехода ученика от положения объекта обучения и воспитания, которым он был в младшем школьном возрасте, к положению субъекта этого процесса, то в юношеском возрасте ученик становится (во всяком случае, должен становиться) уже подлинным субъектом своей деятельности в учебно–воспитательном процессе.

В то же время ученики ещё сохраняют материальную зависимость от родителей. Главным в их жизни становится подготовка к будущей самостоятельной, взрослой жизни, подготовка к труду, выбор жизненного пути, профессии.

В эти годы ученик пытается произвести глубокую оценку своей личности, своих способностей. Растёт и развивается рефлексия, познавательный интерес к философским проблемам, юноша пытается выяснить смысл жизни; оценить наблюдаемые явления с этой точки зрения.

Особо следует отметить стремление учеников старшего школьного возраста к автономии, к эмоциональной и ценностной самостоятельности, к независимости, к самоуважению, между тем как для подростков характерна зависимость от группы своих сверстников. Подросток весьма податлив влиянию сверстников. Внутренне отойдя от родителей, он ещё не пришёл к своей индивидуальности, которая обретается в юношеском возрасте. Если подростка волнует вопрос: «Неужели я не такой, как все?», то юношу: «Неужели я такой, как все?».

Учителю всё это надо иметь в виду и учитывать в своей работе.

3. Мотивация  процесса учения.

Выше мы установили, что ученик в процессе обучения математике из объекта этого обучения постепенно становится его субъектом. Что это значит? В чём выражается различие между объектом и субъектом обучения? Ведь в том и в другом случае ученик как–то учится, приобретает знания, умения.

Действительно, и когда ученик является лишь объектом обучения математике, и когда он становится субъектом этого процесса он выполняет задания учителя, решает задачи, повторяет изученный материал и т.д., т.е. он учится. Все различия между учением ученика в роли объекта и его же учением в роли субъекта состоят в том, ради чего он это делает.

Человек, ученик есть деятельное существо. Он всегда что–то делает, участвует в какой–то деятельности. Но ученик участвует во многих различных видах деятельности, совершает разные действия. Для того чтобы ученик эффективно учился, он должен совершать не любые действия, а вполне определённые. Встаёт вопрос: почему ученик совершает именно эти действия, а не другие, что побуждает совершать эти действия, что направляет и регулирует его деятельность в процессе обучения? Иными словами, что мотивирует — побуждает и направляет — деятельность ученика.

Только разобравшись в этом, мы сможем понять, в чём различия между объектом и субъектом процесса обучения. Кроме того, в этом надо разобраться ещё и потому, а может быть главным образом потому, что учитель должен научиться управлять деятельностью учащихся в процессе обучения, а для этого он должен формировать у них нужную мотивацию. Ведь в противном случае, если этого не делать, становится вполне реальной опасность, о которой говорил В.А.Сухомлинский:

«Все наши замыслы, все поиски и построения превращаются в прах, если нет у учащихся желания учиться.»

Поэтому учитель должен вызвать у учащихся такое желание, а это значит, что он должен формировать у них соответствующую мотивацию.

Что такое мотивация, как она формируется у человека? Под мотивацией понимают обычно совокупность побуждений к деятельности.

Однако когда деятельность уже началась, то она имеет определённую цель. Цель —  это то, чего сознательно хочет достигнуть человек в результате этой деятельности. Но между целью деятельности и её побуждениями не всегда существует полное соответствие. Когда оно имеется, то говорят, что эта деятельность имеет смысл; в противном случае, когда цель деятельности и вызвавшие эту деятельность побуждения не соответствуют друг другу, то говорят, что деятельность не имеет смысла, лишена для данного человека смысла.

Например, ученики решают задачу. Цель у них одна — научиться решать подобные задачи. Побуждения же могут быть самые различные. Так, одни из них решают задачу потому, что привыкли выполнять требования учителя, у них ещё имеется достаточно стойкая установка на выполнение требований учителя, но некоторые из них, кроме того, хотят получить хорошую отметку, похвалу. Для других главное — получить хорошую отметку; третьи решают задачу ещё и потому, что их интересует сам процесс решения, он приносит эмоциональное удовольствие; наконец, есть и такие, у которых, кроме перечисленных побуждений, есть ещё и стремление овладеть общим способом решения подобных задач. Возможно, что у некоторых учащихся и другие побуждения.

Однако независимо от мотивов, которые побуждают учащихся решать задачу, объективно эта деятельность направлена на какие–то учебные цели, например, на то, чтобы каждый из них научился решать подобные задачи. Заметим, что сама задача с психологической точки зрения выступает лишь как материал, как средство этой деятельности.

Итак, ученик всегда является объектом деятельности в процессе обучения, а субъектом этой деятельности он становится тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности за свои личные цели. Очевидно, что в последнем случае обучение является наиболее эффективном, только в этом случае учитель может легко и с удовольствием полностью осуществить цели и задачи обучения.

Учителю желательно стремиться к тому, чтобы каждый ученик становился субъектом деятельности в процессе обучения. А для этого нужно, чтобы все стороны учебно–воспитательного процесса, его содержание, организация и методы содействовали такому становлению, были прямо направлены на воспитание ученика — субъекта своей деятельности. К описанию одного из путей построения процесса повторения математики мы и переходим.

п.2. Повышение уровня обобщенности изучаемых знаний.

В настоящее время школьный курс математики далеко отстаёт от математики как науки по уровню обобщённости знаний. Если в современной математике уровень обобщённости очень высок, то в школьном курсе математики он пока ещё весьма низок. Его повышение (в разумных пределах) приведёт к повышению информационной ценности изучаемых знаний, и также к резкому сокращению времени на их усвоение.

Следует особо отметить, что только на этом пути можно избавиться от пресловутой перегрузки учащихся, ибо общими понятиями современный школьный курс математики, не только не перегружен, но явно не догружен.

Проблема развития самостоятельности мышления учащихся в процессе обучения математике является острой, ещё не разрешённой проблемой методики преподавания математики.

Анализ характера умственной деятельности учеников на различных уроках, в разных классах показал, что лишь 15–20% учебного времени тратится на самостоятельную работу, чем старше класс, тем самостоятельных работ меньше.

Создаётся ненормальное положение: с возрастом учащиеся, конечно, становятся более способными к самостоятельной работе, а им предоставляют для этого всё меньше времени.

Если в числе тренировочных упражнений преобладают однотипные, при решении которых ученик ограничивается лишь получением ответа и сверкой его с готовым ответом, то такие упражнения не направляют усилия ученика на разрешение иных нешаблонных заданий, с чем ему придётся встречаться в жизни.

Знания ученика будут прочными, если они приобретены не одной памятью, не заучены механически, а являются продуктом собственных размышлений и закрепились в результате его собственной творческой деятельности над учебным материалом.

Не случайно Леонард Эйлер полагал, что кроме описания результатов своих исследований, обогативших науку, ему надобно для общей пользы чистосердечно изложить ещё и процесс искания истины со всеми его затруднениями.

Действующие учебники математики мало, чем могут помочь развитию творческих начал: в них по меткому выражению профессора Б.В Гнеденко, спрятаны все концы, дана уже готовая схема, знания представлены в статистическом состоянии, в завершённых формах.

Под обобщением мы будем понимать распространение, какого–либо суждения от частого понятия к общему (например, от «четырёхугольника» до «трапеции, ромба…»).

Суждения полученные по аналогии, будут проблематическими и подлежат дальнейшему исследованию и доказательству.

Умозаключения по аналогии являются непременной составной частью творческого мышления, так как этим путём мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному.

Умственное развитие учащихся, которые должны подготавливаться уже в период школьного обучения к роли творчески мыслящих активных деятелей, не может быть полноценным, если их не научат в школе специально применению приёма аналогии.

Простое применение аналогии даёт упражнение подобное, однопорядковое с исходным. От него следует отличать составление задачи обобщением, когда новая задача оказывается в том или ином отношении сложнее исходной.

Процесс обобщения основывается на применении аналогии, но не сводится полностью к ней.

Применение обобщения связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием; оно есть одно из самых важных средств самообучения, то есть, самостоятельного расширения и углубления имеющихся знаний.

Для достижения глубокого усвоения нового понятия, способа решения нельзя обходиться задачами одного уровня трудности, а нужно предложить обобщённую задачу, а ещё лучше дать учащимся возможность самим обобщить решённую задачу, чтобы затем решить таковую, видоизменяя, если нужно прежний способ.

В практике обучения общее классное задание рассчитано на среднего ученика, а для расширения познавательных способностей более сильных учащихся нужны дополнительные задания по самостоятельному обобщению и решению составленных задач.

Если, скажем готовую задачу, решают все учащиеся в основном одинаковой последовательностью рассуждений, то с обобщением уже справляется не всякий. Результат обобщения зависит не столько от суммы знаний, примерно одинаковой для всех учащихся класса, а от умения комбинировать, связывать эти знания по–новому, заглядывать дальше обычных пределов.

Характер упражнений, выполняемых в классе, должен отразиться и на характере контрольных и проверочных работ; чему обучают, то и следует проверять.

Всякая математическая задача неисчерпаема в своих связях с другими задачами; после решения задачи почти всегда можно найти предмет размышления, найти несколько направлений, в которых удаётся обобщить задачу, и найти затем решение созданных таким образом новых проблем.

Время и усилия, затраченные на обобщение знаний, окупаются той большой экономией времени в результате развития мышления, в последующем, которые достигаются благодаря единообразным методам усвоения материала.

§2. Основные цели изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

Математические школы и классы с углубленным изучением математики были созданы в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснялась необходимость в подготовке специалистов, умеющих использовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров-конструкторов, физиков, экономистов и других.

В настоящее время в математических школах и класса с углубленным изучением математики обучение ведется по программам разработанным коллективом ученых и преподавателей ВУЗов.

Содержание обучения теме "элементы теории вероятностей", выделены в "программе для общеобразовательных учреждений. Математика" [18] обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.

1. Продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.

А) построить систему определений основных понятий;

Б) выявить дополнительные свойства введенных понятий;

В) установить связи введенных и ранее изученных понятий.

2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.

3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.

Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:

1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)

2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.

3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности и формул Байеса.

4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий

а) по классическому определению вероятности;

б) по теории сложения и умножения;

в) по формуле полной вероятности;

г) по формуле Байеса.

Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.

Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей.

Развивающие цели:

формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности;

в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области;

самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач;

применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах;

развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая);

учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений.

Воспитательные цели:

формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе;

формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций;

воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.

§3. Анализ вероятностно-статистической линии в школьных учебниках.

При введении любой новой темы, в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.

Построение вероятностно-статистической линии в курсе математики основной школы  в учебниках:

Под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина [18,19,20,21,22]

«Математика5», «Математика6»,  «Математика7», «Математика8» и «Математика 9».

5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.  

В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.

В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни   

6 класс начинаем с повторения  таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого).

Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

Завершается учебник главой - «вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий

7 класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. В заключительной главе продолжено изучение вероятности и частоты случайных событий.

В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика – медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.

Рассматриваются геометрические вероятности.

В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления  результатов – полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

В учебнике рассматриваются 3 примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.

Изучив, данный комплект учебников, можно отметить несколько моментов. Во-первых, курс рассчитан на 5- 9 классы, в то время, как большинство других учебных пособий предлагает рассматривать эти вопросы лишь с 7 по 9 классы. Во-вторых, что тоже отличает предложенный в этих учебниках курс от других, это параллельное изложение вероятностной и статистической линий.

 Зубарева И.И., Мордкович А.Г.  «Математика 5», «Математика 6». [9.10]

В 5 классе последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6 классе  авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.

По-моему мнению, рассматриваемые комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов, взяты не совсем удачно. Для первого знакомства с задачами на перебор возможных вариантов лучше взять более простые задачи.   

Еще одним недостатком, на мой взгляд, является то, что авторами вводится лишь классическое определение вероятности и абсолютно не рассматривается понятие частоты. А более логично и целесообразно вводить классическое определение на основе частотного.

Некоторые учебные комплекты пополнились дополнительными учебными пособиями, содержащими материал по стохастике.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.   [14]

«Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей».

Под редакцией Теляковского С.А.

Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники:  Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.

          Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

В 7 классе (§1) материал объединен в параграф «статистические характеристики», который знакомит с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах).  Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.

Материал, изучаемый в 8 классе (§2) также объединен в один параграф «Статистические исследования», где рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами

Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Здесь есть 2 параграфа.

 §3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

  1.  Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.
  2.  Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.
  3.  Размещения.  Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.
  4.  Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

§4 «Начальные сведения из теории вероятностей».

Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф  завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.  

В данном пособии некоторые элементы вводятся таким же образом, как и в учебном комплекте Дорофеева. Но материал сокращен, за исключением комбинаторики, которая содержит больше  и теории и практических упражнений. По моему мнению, комбинаторика и начальные сведения из теории вероятностей предлагается изучать слишком поздно. Как уже отмечалось выше, начинать обучать комбинаторике и формировать первые вероятностные представления лучше как можно раньше.

Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Макарычева и Миндюка [15],[16],[17]. А также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и   Фадеевой [33], которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником.

Ткачева М.В.  [36]

«Элементы статистики и вероятность».

Это учебное пособие для 7-9 классов и оно дополняет учебники Алимова Ш.А. «Алгебра 7,8,9».

1 Глава «Введение в комбинаторику» (7 класс) начинается с исторических комбинаторных задач о магических и латинских квадратах и другие. Затем рассматриваются различные комбинации из трех элементов, т.е. сочетания, перестановки и размещения, но вводить сами термины не обязательно. Рассматривается таблица подсчета вариантов, которая подводит к правилу умножения. Также рассматриваются графы, но лишь как средство подсчета возможных вариантов. Эта глава имеет и дополнительные параграфы – перестановки и разбиение на две группы, выдвижение гипотез.

2 Глава «Случайные события» (8 класс).

Сначала рассматриваются события: достоверные, невозможные, случайные, совместные и несовместные, равновозможные. В следующем пункте вводится сразу классическое определение вероятности, после чего рассматривается решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. Дальше как дополнительный пункт рассматривается геометрическая вероятность. Вводится понятие противоположных событий и их вероятность. Понятие относительной частоты и статистическое определение вероятности вводится уже в конце главы. И завершается дополнительным пунктом  - тактика игр.

3 глава «Случайные величины» (9 класс).

Вводятся понятия случайной величины – дискретной и непрерывной. Рассматриваются таблицы распределения значений случайной величины и его графическое представление (полигоны). Далее рассматриваются такие понятия как генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах. А завершается глава дополнительными  параграфами, в которых рассматриваются отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и правило трех сигм

На мой взгляд, изложение некоторых вопросов в этом учебном пособии  не совсем удачно. Во-первых, классическое определение вероятности вводится до того как рассматривается понятие частоты и статистическое определение вероятности, что, по моему мнению, как я уже отмечала не совсем логично. Во-вторых, в главе о случайных величинах с простейшими статистическими характеристиками знакомят уже в последнюю очередь, а ведь именно их учащийся может использовать при анализе статистической информации. В-третьих, в учебнике вообще мало внимания уделено работе со статистическими данными.

В конце учебника содержатся краткие методические рекомендации для учителя. Также методические рекомендации к первой главе данного учебного пособия можно найти  в статье Ткачевой [38].

На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник Мордковича, к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов:

Мордкович А.Г., Семенов П.В.   [23]

«События, вероятности, статистическая обработка данных».

Первые два параграфа посвящены комбинаторике. Начинается с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов.

Следующий параграф – выбор нескольких элементов, в котором рассматриваются сочетания. Сначала выводится формула для 2-ух элементов, затем для трех, а потом общая для п элементов.    

Третий параграф – случайные события и их вероятность. Вводится классическое определение вероятности.

Четвертый параграф посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения  и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана). Следующий пункт – экспериментальные данные и вероятности событий, в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.

И завершает учебник параграф, содержащий материал по следующим вопросам: схема Бернулли (при рассмотрении двух возможных исходов)., вычисление вероятности с помощью функции φ, закон больших чисел.

Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и деревья вариантов. Эти пункты необходимы, так как именно таблицы и деревья вариантов учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных. Так же в этом учебнике удачно вводится формула сочетаний сначала для двух элементов, затем для трех и обобщается для n элементов.

По комбинаторике  материал изложен так же удачно.  Замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой [32].

Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. и др.   [39]

«Теория вероятностей и статистика».

Это пособие для учащихся 7-9 классов, в котором исследуемая линия реализуется в следующем порядке. Первые две главы посвящены  таблицам и диаграммам. Рассматриваются статистические данные в таблицах, идет обучение работе с таблицами (поиск информации, вычисления в таблицах, занесение результатов подсчетов и измерений в таблицы). Рассматриваются столбиковая, круговая и диаграмма рассеивания.

В третьей главе кроме основных статистических характеристик вводятся также понятия отклонения и дисперсии.

Четвертая глава – случайная изменчивость, содержит ряд примеров изменчивых величин (температура воздуха каждый день, рост или вес человека и т.п.). А затем в 5 главе переходим к изучению случайных событий и их вероятностей. Вероятность случайного события определяется здесь, как числовая мера его правдоподобия. После определения вероятности рассматривается частота и эксперименты с монетой и игральной костью. Дальше вероятностная линия продолжается, и рассматриваются элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей.

После этого идет блок комбинаторики, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).

Следующие несколько глав посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике. Дается определение частоты, и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.  

Приложение включает в себя вопросы: формула Бинома-Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ, по предложенному материалу.

Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и диаграммы. Этот пункт необходим, так как именно таблицы и диаграммы учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных.

Немало внимания уделено случайным величинам и вероятностям, но, я считаю, что  некоторые пункты можно рассматривать как дополнительные. А понятия дисперсии и математическое ожидание лучше перенести для изучения в старшие классы.  Комбинаторные формулы в данном пособии рассматриваются, как средство для подсчета вероятности и даются после определения вероятности. Но основной целью изучения комбинаторики является развитие мышления, и ее нельзя рассматривать только как средство для подсчета вероятности.

Бунимович Е.А., Булычев В.А.   [3]

«Вероятность и статистика. 5-9 классы».

Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводиятся статистическое определение вероятности, а затем и классическое.

В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности.  А в пункте «точка тоже бывает  случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.

В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.

Я считаю, что в данном пособии удачным является введение понятия вероятности. Последовательность изложения вопросов по данной линии вполне логична.

Последний пункт имеет практическое значение, так как показывает практическую пользу из подсчета вероятности. Содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью.


Глава II. Научные основы теории вероятностей

§1. История развития теории вероятностей 

Теорию вероятностей можно описательно определить как математическую теорию случайных явлений.

В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д. "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего, мы на всю неделю поедем в деревню", "это совершенно невероятно!", "есть шанс, что успешно сдам экзамен" и т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие.

Вероятность математическая – числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторятся неограниченное число раз условиях.

Во второй половине XIX века вероятность вошла в физику в процессе разработки молекулярно-кинетической теории.

Понятие вероятности разрабатывается наукой уже в течении двух столетий, а многие ученые-исследователи указывают на его незавершенность и неясность. "Все говорят о вероятности, но никто не может сказать что это такое" [Биркгар, 1952]

С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением частиц (молекул), встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятностных) и т.п. еще в древности делались попытки сбора и анализа некоторых статистических материалов – все это создавало почву для выработки новых научных понятий, в том числе и понятия вероятности. Но античная наука не дошла до выделения этого понятия.

В средневековье мы наблюдаем разрозненные попытки осмыслить встречающиеся вероятностные рассуждения.

В работах Л. Пачоли, Н. Тарталья и в первую очередь Д. Кардано уже делались попытки выделить новые понятия – отношения шансов – при решении ряда специфических задач, прежде всего комбинаторных.

К середине XVII в. вероятностные вопросы и проблемы привлекли внимание ученых Б. Паскаля, П. Ферма, Х. Гюйгенса. В этот период были выработаны первые понятия, такие как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), установлены первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения.

Развитие теории вероятностей в начале XX века привело к необходимости пересмотра и уточнения ее логических основ. Возникла необходимость аксиоматизации теории вероятностей и ее основного понятия - вероятности.

Первые работы того периода связанны с именами С.Н. Берштейна, Мизеса, Э. Бореля. окончательное становление аксиоматики произошло в 30-е годы XX века. Это произошло благодаря А.Н. Колмогорову. В этот период понятие вероятности проникает почти во все сферы человеческой деятельности, становясь одним из основных понятий современной науки.

§2. Виды событий

События в материальном мире можно разбить на три категории – достоверные, невозможные и случайные. Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5, а при подбрасываниях будут выпадать другие значения очков: 1,2,3,4 или 6.

Определение 1. Случайными событиями называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти. 

Пример № 1. Выпадение герба при бросании одной монеты.

Пример № 2. Выпадение четырех очков при бросании игральной кости – случайные события.

Определение 2. Случайное событие, которое обязательно наступит, называется достоверным событием и обозначается буквой И .

Пример № 3. Выпадение герба или цифры при подбрасывании одной монеты;

Пример № 4. Выигрыш, проигрыш или ничья в матче двух футбольных команд – достоверные события.

Определение 3. Событие определяется невозможным, если оно не содержит никакого множества исходов и обозначается Ø.

При любом исходе испытания это событие не происходит. Иными словами, невозможное событие состоит из пустого множества исходов.

Пример № 5. Выпадение более 6 очков при подбрасывании игрального кубика;

Пример № 6. Выпадение цифры и герба одновременно при подбрасывании одной монеты – невозможные события.

§3. Вероятностное пространство

Представим, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали (рис 1) на n прямоугольных пронумерованных карточек ei (i=1,2,3,... .,n). допустим, после хорошей перестановки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки. При такой операции:

одно из событий "вытащена одна карточка" непременно произойдет;

e5

ei

 

e17

при одном испытании вытаскивание любой из карточек появляется в одном и только одном исход; например, если была вытащена карточка 17, т.е. произошло событие е17, то в это же время не могло произойти событие е5, состоящее в вытаскивании карточки с номером 5

Рис. 1.

События ei, состоящие в появлении карточки с номером i (i=1,2,3,…. n), могут послужить примером элементарных событий, а прямоугольник Е – примером пространства элементарных событий, связанных с реализацией испытания S – вытаскиванием одной карточки после разреза прямоугольника Е на маленькие прямоугольники и вытаскивания случайной карточки после тщательной перестановки.

Определение 1. Пространство элементарных событий (полная группа событий) множество таких событий, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет события, где еi выпало n очков (n=1,2,3,4,5,6)

Рассмотрим события (рис 2):

e1

e2

e3

e4

e5

e6


Рис. 2.

А-"выпало четное число очков"

В-"выпало не меньше 2 очков"

С-"выпало не больше 2 очков"

А произошло, если произошло одно из элементарных событий е2, е4, е6. Поскольку е2, е4, е6 есть некоторые из элементов пространства Е={е1, е2, е3, е4, е5, е6}, эту тройку удобно назвать подпространством (частью) пространства Е значит, событие А можно рассматривать как пространство ему благоприятствующих элементарных событий {е2; е4; е6}, событие В – как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {е2, е3, е4, е5, е6}, событие С - как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {е1, е2}.  

Реализация испытаний S однозначно определяет пространство элементарных событий Е. Любое случайное событие Н связанное с испытанием S, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Е. Изобразить его можно некоторой фигурой, построенной из клеточек, символизирующих элементарные события, благоприятствующие событию Н.

Например, событие Н1-"выпало меньше трех очков"-может быть изображено одной заштрихованной фигурой (рис. 3), а событие Н2 -"выпало больше 2, но меньше 5 очков" - двумя фигурами (рис. 4).

е1

е2

е3

е4

е5

е6

Рис. 3

е1

е2

е3

е4

е5

е6

Рис. 4

§4. Операции над случайными событиями

п.1. Отношения между событиями.

Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости, В - появление четного числа очков при бросании игральной кости.

Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.

Событие А является частью события В, которое состоит в осуществлении трех элементарных событий: "появление 2 очков", "появление 4 очков", "появление 6 очков", а событие А - одним из них – "появление двух очков".

Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием А, включает А, А является частью В) и обозначают это символом А В (или ВА), если все исходы, составляющие А, входят и в В. 

Сопоставим следующие события: А-"появление герба при подбрасывании монеты", В - "не появление цифры при подбрасывании монеты".

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.

Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АВ и ВА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.

п.2. Объединение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события  е1, е2, е3, е4 а событию В элементарные события е5, е6, е7, е8.

е3

е1

е2

е4

е5

е6

е7

е8

рис.7

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события е1 … е4,  е5 … е8. Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.

Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 – элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).

И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4 благоприятсвуют и А1, и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.

Обобщим и то и другое вместе.

Определение 3. Объединением (или суммой) событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.

Такое соотношение принято обозначать символом U: С = А U В.

В общем случае:

Определение 4. Объединением (или суммой) событий А1, А2, А3,…. Аn  называется событие А, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех. 

Символически А=А1 U А2 U А3 U... . U Аn.

Для случайных событий имеют место закономерности:

А U В = В U А

U В) U С = А UU С)

Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.

Например, во второй закономерности (А U В) U С означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.

п.3. Пересечение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В – элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события e3 e4 e5.

Логично событие С назвать пересечением (или произведением) событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.

В таком случае применяется символ ∩: С = А ∩ В.

В общем случае пересечение событий определяется так:

Определение 5. Пересечением (или произведением) событий А1, A2, А3, …, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.

Символически: А = А1 ∩ А2 ∩... ... ∩ Аn.

е1

е2

е3

е4

е5

е6

е7

Рис.8.

Примеры:

1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"

В-"входящий в подъезд человек светловолосый"

С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"

Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С = А ∩ В.

2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:

А – "выбранные числа кратны 2"

В – "выбранные числа кратны 3"

С – "выбранные числа кратны 6

Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В – е5, е6, е7 (рис 9)

е1

е2

 

е3

е4

е5

е6

е7

А  В = Ø


Рис.9.

Ясно, что совместное осуществление А и В невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.

Определение 6. Два события А и В, пересечение которых – невозможное событие (А ∩ В = Ø), называются несовместимыми событиями.

Определение 7. Два события А и В называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.

Рассмотрим следующие пары событий:

А1 -"выпадение герба при подбрасывании монеты"

А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"

В1 -"выздоровление больного"

В2 -"невыздоровление больного"

С1 -"появление новой кометы в текущем году"

С2 -"непоявление новой кометы в текущем году"

Естественно события в каждой из пар считать противоположными.

Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:

1. Объединение событий каждой из пары – достоверное событие:
А
1 U А2 = И

В1 U В2 = И

С1 U С2 =  И

2. Пересечение событий каждой из пары – несовместное событие:

А1 ∩ А2 = Ø

В1 ∩ В2 = Ø

С1 ∩ С2 =  Ø

Определение 8. Несовместные события А и В называются противоположными, если их объединение является достоверным событием. Пишут В=Ā или А=. 

На языке пространства элементарных событий противоположное событие В представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).

 

А

В

Рис.10.

Примеры.

5) А - попадание при выстреле;

Ā - промах при выстреле;

6) В - выпадение герба при бросании монеты;

- выпадение цифры при бросании монеты – противоположные события.

§5. Понятие вероятности события

п.1. Классическое понятие вероятности события.

Проведем эксперимент, который будет заключаться в однократном бросании игральной кости. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Конечно, можно предположить, что эти события равновозможные, когда кость является правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеального однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих "когда" так много, что трудно всех их учесть.

Определение 1. Равновозможными элементарными событиями будем считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом, т.е. не появляется чаще другого при многократных испытаниях, производимых в одинаковых условиях.

В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью.

Таблица 1.

Обозначение

События

Содержание события

Кол-во элементарных событий благоприятствующих данному событию

А

Выпало четное число очков

3

В

Выпало меньше трех очков

2

С

Выпало менее пяти очков

4

D

Выпало не более пяти очков

5

G

Выпало не менее трех очков

4

U

Выпало более шести очков

0

И

Выпало не более шести очков

6

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2, 4, ….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1 - "номер черного шара, кратный 3", событие В1 - "номер белого шара не больше 5".

Какое из этих событий более возможно?

Событию А1 благоприятствует три равновозможных события {6,12,18}, событию В1 тоже три {1,3,5}. Может быть А1 и B1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:

Таблица 2.

Событие

Содержание события

Число элементарных событий всего пространства

Число элементарных событий благоприятствующих данному событию

Отношение

А1

Появление числа кратного 3

На черном шаре

10

3

0,30

В1

Появление числа не большего 5, на белом шаре

8

3

0,375

Из таблицы 2 (представленной выше) можно сделать следующие выводы:

А) событие В1 более возможное, чем событие А1;

Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н (число элементарных событий всего пространства).

Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.

Определение 2. Вероятностью случайного события называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это классическое определение вероятности случайного события.

Р(И)=n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.

Р(Ø)=0/n=0, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.

п.2. Статистическое определение вероятности

При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен от геометрического центра.

Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?

Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1/6.

Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение m/n назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1 раз; статистическая частота Р1 = m1/n;

при подбрасывании кости n+1 раз шестерка выпала m2 раз: статистическая частота Р2 = m2 /(n+1);

при подбрасывании кости N раз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN = mN /N.

Заметим, что для статистических частот р1, р2, р3,…. РN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1/6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметим такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1/6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.

Пусть m1/n; m2/(n+1); ... .; mN/N – статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)

Определение 3. Вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это – статистическое определение вероятности случайного события.

п.3. Геометрическое определение вероятности.

Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник АВС. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А)=m/n.

На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Определение 3. Вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

п.4. Аксиомотическое определение вероятности

Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А .

§6. Теоремы сожжения вероятностей

Определение 1. Несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если никакие два из них не могут появится вместе.

Примеры.

1 появление 1,2,4  очков при бросании игральной кости;

2) попадание и промах при одном выстреле – несовместимые события.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятности этих событий:

Р(АВ) =Р(А) +Р(В) (1)

Докажем эту теорему для двух случаев.

Пусть возможные исходы опыта сходятся к совокупности n случаев.

Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k событию В. Тогда Р(А) =m/n; P(B) =k/n.

Так как события А и В несовместны, то Р(АВ) = (m+k)/n.

Подставим полученные выражения в формулу (1) получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая события АВ буквой  D и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что: Р(АВС) =Р(DС) =Р(D) +Р(С) =Р(АВ) +Р(С) =

=Р(А) +Р(В) +Р(С).

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Предположим, что она справедлива для n событий: А1, А2,..., Аn, и докажем, что она будет справедлива для n+1 событий: А1, А2,..., Аn, An+1

Обозначим: А12+...+ Аn =C

Имеем: Р(А1А2...АnAn+1) =P(CAn+1) =P(C) +P(An+1).

Но т. к. для n событий теорема справедлива, то Р(С) =Р(А1) +Р(А2) +…+Р(Аn), откуда Р(А1А2...АnAn+1) =P(A1) +P(A2) +...+P(An) +P(An+1), что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому конечному числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде: Р(Аi) =∑P(Ai) i=1…n.

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 2. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры.

3) выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

4) попадание и промах при выстреле – полные группы событий.

Следствие 1. Если события А1, А2,..., Аn, образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: ∑P(Ai) =1. 

Доказательство. Так как события А1, А2,..., Аn образуют полную группу, это появление хотя бы одного из них – достоверное событие.

P( А1 А2... Аn) =1

Т. к. А1, А2,..., Аn – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей.

P( А1 А2... Аn) =P(A1) +P(A2) +... . +P(An) = ∑P(Ai),

откуда ∑P(Al) =1, что и требовалось доказать.

Перед тем, как ввести второе следствие теоремы сложения, определим понятие  "противоположных событиях".

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. Вспомним для доказательства, что А Ā=И, Р(И) =1, АĀ= ǿ, Тогда по теореме 1 получаем:

1=Р(И) =Р(А Ā) =Р(А) +Р(Ā), что и требовалось доказать.

Это следствие есть частный случай следствия 1. оно важно в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события Ā, чем вероятность прямого события А. в этих случаях вычисляют Р(А) и находят Р(А) =1-Р(Ā).

Теорема 2. Для любых двух событий справедливо равенство: Р(АВ) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ) (2)

Доказательство. Положим всего исходов N, благоприятствующих событию А – К? благоприятствующих событию В – L, а благоприятствующих совместному появлению А и В – М. Следовательно благоприятных исходов для события АВ : K+L-M. Откуда вероятность события А+В:

§7. Теорема умножения вероятностей

Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.

Перед тем как излагать теорему пересечения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.

Определение 1. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.

Определение 2. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А изменяется в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет. 

Примеры.

1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

А – «появления герба на первой монете»

В - «появление герба на второй монете»

В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.

2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:

А – «появление белого шара у первого лица»

В - «появление белого шара у второго лица»

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна , если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной , из чего заключаем что событие А зависит от события В.

Определение 3. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).

Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) = Р(А).

Сформулируем теорему умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)

Доказательство.

Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям.

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события А и В несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L.      Тогда Р(АВ) =  =L/n; P(A) =m/n

Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.

Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L\m.

Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.

При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. 

Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В) (2).

Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А).

Будем предполагать, что Р(А) ≠0.

Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:

Р(АВ) =Р(А)*Р(В/А),

Р(АВ) =Р(В)*Р(А/В), откуда

Р(А)*Р(В/А) =Р(В)*Р(А/В) или согласно условию (2)

Р(А)*Р(В/А) =Р(В)*Р(А).

Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:

Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство: Р(АВ) =Р(А)*Р(В) (3)

Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)

По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(А)*Р(А/В). (5)

Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(А), то придем к (3), причем  если Р(В) ≠ 0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) и (5) следует, Р(А)*Р(В) = Р(А/В)*Р(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.

Пример 2.

В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение:

А - появление двух белых шаров.

Событие А представляет собой произведение двух событий:

А=А1А2, где А1 - появление белого шара, при первом вынимании, А2 - появление белого шара при втором вынимании.

По теоремам умножения вероятности Р(А)=Р(А1)*Р(А21) =2\5*1\4=0,1.

Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.

Определение 4. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. 

§8. Формула полной вероятности. Теорема гипотез 

п.1. Формула полной вероятности.

Следствием обеих основных теорем – теорем сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ∑P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,... n)  (1)

Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

Формула (1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез.:

А=Н1АН2АНnA.

Так как гипотезы Н1, Н2, …, Нn, несовместны, то комбинации Н1А, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А)=Р(Н1А)+Р(Н2А)+…+Р(НnA)=∑P(Hi)*P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) что и требовалось доказать.

Пример 1.

Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.

Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение:

Рассмотрим три гипотезы:

Н1  - выбор первой урны

Н2 - выбор второй урны

Н3 - выбор третьей урны

Н1Н2Н3 - полная группа несовместных событий.

Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3) =1\3

Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =2\3; Р(А/Н2) =3\4; Р(А/Н3) =1/2.

По формуле полной вероятности

Р(А) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36

Ответ: 23\36

п.2. Теорема гипотез.

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).

Поставим следующею задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменится вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?

Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.

Из теоремы умножения имеем:

Р(AНi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) или, отбрасывая левую часть

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)

Откуда P(Hi/A) =P(Hi)*P(A/Hi)/P(A),(i=1,2,3,... . n)

Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем

P(Hi/A) =P(Hi)*P(A/Hi)/∑P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,3,... . n) (2)

Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез

Пример 2. На фабрике 30% продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции – машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?

Решение.

Введем обозначения для событий.

А-выбранное изделие оказалось браком

Н1 - изделие произведено машиной I

H2 - изделие произведено машиной II

H3 - изделие произведено машиной III

P(H1)=0,30; Р(Н2)=0,25; Р(Н3)=0,45

Р(А/Н1)=0,01,

Р(А/Н2)=0,015

Р(А/Н3)=0,02

Р(А)=0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,01575,

Р(Н1/А)=(0,01*0,30)/0,015=0, 20

Ответ: 20% всех бракованных изделий выпускается машиной I.

§ 9. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p = p(A) , а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q = P(Ā) = 1-p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения

Глава III. Методические особенности изучения основ теории вероятностей

§1. Методические особенности изучения основ теории вероятностей в классах с углубленным изучением математики

п.1. Виды событий

Изучение теории вероятностей начинается с введения понятий событий: достоверных, невозможных и случайных. Это можно сделать следующим образом: в жизни вы часто слышали или употребляли в разговоре следующие фразы: "Важное событие", "Вот это событие", и т.д. А что же такое событие? Как вы понимаете это слово? Приведите примеры событий. После этого учитель может подвести итог, введя определенные события (это исход наблюдения или опыта).

Рассмотрим следующие события:

1) при понижении температуры до 0° вода превращается в лед;

2) при понижении температуры вода закипает;

3) при бросании монеты выпал герб.

Охарактеризуем эти события: насколько достоверно каждое из них? Вероятно ли то, что они утверждают? Первое верно, т. к вода обязательно замерзнет, если понизить температуру, поэтому это событие называется достоверным. Второе никогда не произойдет, поэтому оно называется невозможным. К какому же виду событий следует отнести третье? Всегда ли оно имеет место? Нет! Может случится, что выпадет решка и сто выпадет герб. Поэтому это событие называется случайным. Вводится определение случайного события (это такой исход наблюдения или эксперимента, который может произойти, а может не произойти).

После беседы учащимся целесообразно предложить устную работу. Ее содержание может быть следующим:

1. Определить вид следующих событий.

При нагревании проволоки ее длина увеличилась;

При бросании игральной кости выпало 4 очка;

При бросании монеты выпала решка;

При осмотре почтового найдены 3 письма;

При бросании игральной кости количество выпавших очков есть натуральное число;

При стрельбе по мишени стрелок дважды попал в цель.

2. Являются ли следующие события невозможными?

Получение всеми учениками вашего класса отличных оценок за очередную контрольную работу по математике;

Замена всех завтрашних уроков просмотром приключенческого фильма.

3. Приведите примеры событий, которые вы считаете:

Достоверными;

Невозможными

Случайными

Целесообразно подготовить сообщения учеников на темы:

1) Теория вероятности как наука.

2) Применение теории вероятности.

Цель: показать учащимся обширность областей применения теории вероятностей, ее значимость в науке и в жизни.

Для ознакомления учащихся с понятием частоты появления какого-либо события в длинной серии испытаний рекомендуется выполнение ряда упражнений, которые требуют ответа на вопрос: "Какое из событий вероятней? ".

Учителю необходимо пояснить учащимся, что сравнивать события следует по их вероятностям.

Например. Что вероятнее – появление герба при бросании монеты или появления нечетного числа очков при бросании игральной кости?

Решение.

Вероятность появления герба при бросании монеты равна 1\2, а появление нечетного числа очков при бросании игральной кости равна 3\6 или 1\2.

Следовательно, эти события равновероятные.

После изучения данного материала, ученики должны уметь:

Приводить примеры достоверных, невозможных и случайных событий;

Уметь классифицировать события на достоверные, невозможные и случайные;

Из нескольких событий выделять наиболее вероятное, объяснять свой выбор.

п.2. Вероятностное пространство

При введении понятия "вероятностное пространство" ученики сталкиваются с понятием опыта или испытания. Но этому понятию нельзя дать математическое определение. Ученики должны понимать, что значат слова: "подбросим монету и посмотрим упала она вверх гербом и цифрой" или "зажжем свечу и посмотрим, когда она сгорит". Ученикам следует объяснить, что существенно лишь то, что данное испытание может иметь различные исходы. Для простоты удобно рассматривать лишь случаи, когда множество исходов конечно.

Для того, чтобы ученики убедились в том, что действительно при испытании возможны различные исходы, т.е. множество исходов, проведем эксперимент.

Для эксперимента потребуется игральная кость и свободный стол, на котором будет производиться испытание.

Один из учеников несколько раз подбрасывает игральную кость и каждый раз на доске записывает результат.

В конце испытания полезно подвести итог о возможных множествах исходов:

1. {A1,A2,A3,A4,A5,A6}, Аkвыпадение k очков;

2. {В0, В1}, В0 - выпадение четного числа очков, В1 - выпадение нечетного числа очков;

3. {C1,C2}, С1 - выпадение очков меньше или равно 4, С2 -выпадение очков больше или равно 5.

Учителю рекомендуется предложить еще несколько возможных множеств исходов, например, множество {A1,A2}, где Аk выпадение k очков, или множество {В1, С2}, где В1 - выпадение нечетного числа очков, С2 - выпадение очков больше или равно 5 и предложить учащимся выяснить: являются ли эти множества исходов множествами исходов данного опыта!

Для того, чтобы можно было выразить вероятность каждого исхода числом, потребуется выбрать "единицу измерения". Можно сказать ученикам, что математики договорились, что сумма вероятностей всех исходов равна 1.

С ребятами рекомендуется обратиться к проведенному эксперименту и выяснить, какой из исходов имеет возможность происходить чаще других.

Выяснив, что ни один из исходов не отвечает этому требованию, учитель делает вывод, что все элементарные исходы равно возможны, а т. к. их сумма равна 1, то вероятность каждой из них равна 1/n, где n - число исходов.

Следует пояснить учащимся, что этот подход называется классической схемой теории вероятностей.

Полезно выполнить следующие упражнение:

Вероятностное пространство задано следующей таблицей:

Исход

Х1

Х2

Х3

Х4

Вероятность

0,2

0,1

0,5

0,4

Во сколько раз исход Х3 вероятнее исхода Х2. какие исходы равно вероятностны?

Это задание предложено с целью формирования у учащихся умений выявлять вероятностное пространство, а так же умений выделять равновероятностные исходы, сравнивая их.

Необходимо пояснить учащимся, что существует несколько подходов к определению вероятности.

1. Классическое определение вероятности.

Урок можно провести в форме лекции-диалога [Гл.1§5] т. к. это определение фиксирует долю благоприятных для данного события исходов среди всех равновозможных, необходимо научить определять число всех равновозможных исходов. После определения вероятности рекомендуется решить несколько задач на непосредственное нахождение вероятностей событий согласно классическому определению, тем саамы выявить алгоритм решения таких задач.

Алгоритм:

1) обозначить событие (Н1)

2) сосчитать число всех исходов (n)

3) сосчитать число исходов благоприятствующих данному событию m

4) найти отношение благоприятствующих исходов к числу всех исходов

На отработку алгоритма предлагается решить следующие задачи.

Задача 1. В урне 3 красных шара, 2 белых и 4 синих. Какова вероятность того, что с первого раза вынут красный шар?

Задача 2. При броске игральной кости вычислить вероятность следующих событий

"выпало 3 очка"

"выпало 6 очков"

"выпало четное число очков"

"выпало простое число очков"

"число выпавших очков кратно 3".

Задача 3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее на удачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Задача 4. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал герб, а на другой цифра?

Для запоминания учащимися формулы Р(Н) =m\n, полезно придать ей наглядную иллюстрацию. (рис.15)

Р(Н) =

Рис.15.

Н - случайное событие, n-число всех равновозможных элементарных событий, m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию Н.

Затем следует перейти к изучению свойств вероятности и совместно с учащимися установить, что:

1) если А некоторое событие, то 0≤Р(А) ≤1;

2) P(И) =1, где И-достоверное событие;

3) P(V) =0, где V-невозможное событие.

2. Статистическое определение вероятности.

Главное, чтобы учащиеся поняли, что при статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Ученикам следует пояснить, что существует еще геометрическое определение вероятности и существует аксиоматическое определение вероятности события.

п.3. Теоремы сложения

Прежде чем приступать к формулированию и доказательству этих теорем, необходимо вспомнить определение суммы и произведения событий; совместных и несовместных событий.

Вначале на примере задачи следует дать учащимся представление о формулировке теоремы 1.

Задача 1. Экзаменационные работы абитуриентов зашифрованы целыми числами от 1 до 90 включительно. Какова вероятность того, что номер наудачу взятой работы кратен 10 или 11?

Решение.

Пусть событие А – номер работы кратный 10. Событие В-номер работы кратный 11, тогда событие АВ состоит в том, что номер работы кратен 10 или 11. Легко видеть это Р(А) =9\90 (1), и Р(В) =8\90 (2), а т. к. число исходов благоприятствующих событию А+В равно 17 и, следовательно Р(АВ) =17\90 (3).

Сравнивая (3) с (1) и (2), видим что вероятность события АВ и сумма вероятностей событий А и В равны между собой, т. е Р(АВ) =Р(А) +Р(В)

Формулировка теоремы достаточно проста, поэтому учащиеся могут самостоятельно ее сформулировать.

Решение задачи может быть использовано для выявления способа доказательства сформулированной теоремы. Достаточно обратить внимание на основные моменты решения.

1) подсчет числа всех исходов испытания

2) нахождение числа исходов испытания, благоприятствующих появлению событий А; В;

3) отыскание числа исходов испытания, благоприятствующих появлению события АВ.

Полная аналогия доказательства теоремы с решением задачи позволяет учащимся самостоятельно ее доказать. Можно предложить специальную запись доказательства в виде таблицы, клетки которой заполняются учащимися.

n - число всех исходов испытания.

Р(АВ) =Р(А) +Р(В)

События

Число исходов испытания, благоприятствующих появлению события

Вероятность события

А

m

m\n

B

k

k\n

AB

m+k

(m+k)\n

Важно, чтобы ученики видели необходимость обоснования шагов доказательства и умели это делать, ссылаясь на определение несовместных событий и классическое определение вероятности.

После доказательства теоремы целесообразно дать геометрическую интерпретацию выведенной формулы и пояснить: m,n,k – величины площадей нарисованных фигур.

 P(AB)=

В тетрадях учащимся рекомендуется зафиксировать правило, которое выражается последним равенством и может быть распространено на любое конечное число попарно несовместных событий: вероятность объединение попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для закрепления этой формулы ученикам предлагается решить ряд задач.

Задача 2. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 по 25 рублей и 1000 выигрышей по 5 рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 рублей?

Решение задачи предполагается учащимися оформить в таблицу, с целью формирования навыка решать задачи по алгоритму.

Алгоритм

Конкретное соответствующие задание заданному алгоритму

Ввести обозначение для заданных величин

А - выигрыш не менее 25 рублей

А1 - выигрыш равен 25 рублям

А2 - выигрыш равен 100 рублям

А3 - выигрыш равен 200 рублям

Подобрать формулу

Т. к. куплен один билет, то А=А1UA2UA3

Где события А1, А2, А3 попарно несовместимы, поэтому

Р(А) =Р(А1UA2UA3) =P(A1) +P(A2) +P(A3)

P(A1) =0.05; P(A2) =0.01; P(A3) =0.001

P(A) =0.05+0.01+0.001=0.061

Ответ

0,061

С целью выявления разнообразных способов решение задач на применение теоремы сложения вероятностей событий предлагаем рассмотреть следующие задачи:

Задача 3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?

Решая эту задачу по известной схеме учащиеся приходят к выводу, что формула Р(АUB) = P(A) +P(B) не применима, т. к. события в этом испытании совместны.

Для решения в сложившийся ситуации учителю рекомендуется предложить учащимся избрать другой путь решения, а именно:

1) обозначить событие Ā - "выпадение герба не состоялось"

2) найти вероятность этого события Р(Ā) = ?

3) И = AUĀ - достоверное событие

4) Р(И) = Р(AUĀ) = P(A) +P(Ā) =1 - по теореме 1.

5) Р(A) =1 - Р(Ā) = 1 - 1\4 =3\4.

Таким образом, учащиеся с помощью учителя устанавливают связь между вероятностями противоположных событий: сумма вероятности двух противоположных событий равна единице.

Доказательство в общем виде учащимся предлагается выполнить самостоятельно, использовать для этого решение задачи.

С целью формирования умения решать задачи с помощью доказанной формулы предлагается решить задачу.

Задача 4. Стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность попадания первого выстрела равна 0,4; второго 0,5; третьего 0,7. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание.

Изучение теории о вероятности объединения совместных событий целесообразно провести следующим образом.

Пусть m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующие событию В. Среди m+k событий содержится в таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n-общее число равновозможных элементарных событий, то учащиеся без труда по классическому определению вероятности найдут:

Р(А) =m\n, P(B) =k\n, P(AB) =L\n.

Ученикам необходимо пояснить, что запись AUB означает: "произойдет или событие А, или событие В, или и то и другое вместе" и что такому событию благоприятствуют (m+k-L) поэтому P(AUB) =m+k-L\n=m\n+k\n-L\n Подставляя значения получим:

P(AUB) =P(A) +P(B) - P(A∩B)

Школьники должны понять, что эта формула представляет собой обобщение формулы Р(AUB) =P(A) +P(B)

Зафиксировав доказательство теоремы в тетрадь целесообразно дать геометрическую интерпретацию полученной формулы.

Р(AUB) =

Где m,k,L,n - величины площадей изображенных фигур.

Вернемся к задаче 3 и решим ее, пользуясь теоремой о вероятности объединения совместных событий.

Будем продолжать работать по алгоритму.

Алгоритм

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

Ввести обозначения для заданных величин

А-появление герба при подбрасывании монеты;

В-появление герба при подбрасывании второй монеты. Найти С=AUB

Подобрать формулу

Т. к. АиВ - совместные события, то Р(С) =Р(AUB) =P(A) +P(B) - P(AB)

P(A) =1\2,P(B) =1\2,P(AB) =1\4

P(C) =1\2+1\2-1\4=3\4

Ответ

3\4

Для того, чтобы показать, что доказанная теорема справедлива не только для двух совместных событий можно предложить следующие задание.

Задача 5. А, В, С-совместные события. Доказать Р(АUBUC) =P(A) - P(B) - P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) +P(ABC)

Это задание способствует формированию умений учащихся доказывать вероятностные формулы.

Предлагаем систему задач, основной функцией которой является иллюстрация и закрепление положений теорий (теория о сумме вероятностей совместных событий).

I. (на применении теоремы о вероятности суммы не совместных событий).

1. в урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. Стрелок стрелял по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,25. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую.

3. Консультационный пункт института получает пакеты С контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А = 0,7; из города В = 0,2. найти вероятность того, сто очередной пакет будет получен из города С.

II. (на применение теоремы о вероятности противоположного события)

1. Вероятность того, что день будет дождливый р равна 0,7. найти вероятность того, что день будет ясным.

2. В денежно-вещевой лотереи на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

3. Берется на удачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?

III. (на применение теоремы о вероятности суммы событий, которые могут быть совместными)

1. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) двух орудий.

2. Подбрасываются две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

После изучения теорем о вероятности суммы событий учащиеся должны уметь: вычислять вероятность случайного события, используя правила вычисления вероятностей одних событий по известным вероятностям других событий, с ним связанных.

Для этого удобно пользоваться алгоритмом, который ученикам рекомендуется зафиксировать в тетрадь:

1. Ввести обозначение для всех количеств. Присвоить имена событиям, участвующим в задании. Те вероятности, которые указаны в задаче явно, сразу выписать (если доля задана в процентах – заданные проценты поделить на 100).

2. Те вероятности, которые заданы не в явном виде сосчитать и выписать.

Указание к шагу.

Считать вероятности по следующим правилам.

А) Если задано общее число исходов n и число благоприятных событию А исходов m (или их можно сосчитать), то Р(А) =m\n;

Б) Если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса - полное пространство событий Ω), то нарисовать ее, а внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятным событию А, вычислить площади фигур А и Ω, сосчитать отношение этих фигур P(А) =S(A) \S(Ω);

В) Если по заданным в задаче вероятностям надо сосчитать вероятность еще одного события (С), то надо выписывать формулу связи этого события с теми событиями, вероятность которых известны. (А, В,). После этого воспользоваться формулами: С=А=>Р(С) =1-Р(А);

С=А+В=>Р(С) =Р(А) +Р(В) - Р(АВ).

Для закрепления этого алгоритма в системе задач, следует предусмотреть задачи, связанные с геометрическим определением вероятности. Примером такой задачи может быть следующая.

Задача 6. в квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате – равновозможное, окажется внутри второго квадрата.

Согласно алгоритму, учащийся должен выполнить рисунок и заполнить таблицу, подобрав к алгоритму конкретное содержание.

Алгоритм

Конкретное соответствие задания заданному алгоритму

Ввести обозначения для заданных величин

а-длинна стороны квадрата;

а/2-длина стороны второго квадрата;

S(Ω) - площадь квадрата;

S(A) – площадь внутреннего квадрата;

А-точка попала во внутренний квадрат;

S(Ω) =а2, S(A) =a2\4, найти Р(А) ?

Подобрать формулу

Р(А) =S(A) \ S(Ω) = a2\4\a2=1\4=0.25

Ответ

0,25

На контрольно-коррекционном этапе изучения теорем о вероятности суммы независимых событий считаем возможным предложить самостоятельную работу, с целью проверки умения учащихся применять изученные формулы в конкретных ситуациях, атак же для выявления пробелов в знаниях.

Перед самостоятельной работой целесообразно провести устную работу с целью повторения правила сложения вероятностей событий и основных формул.

Обсуждение следует сориентировать:

на выяснение правила сложения вероятности несовместных событий;

на определение несовместных событий, с приведением учениками достаточного числа примеров;

на выяснение обобщенного правила сложения вероятностей;

на выяснение символической записи правила сложения вероятностей 2,3-несовместных (совместных) событий;

на выяснение формулы выражающей связь между вероятностями противоположных событий;

Содержание самостоятельной работы может быть следующим:

1. на военных учениях летчик получил задание "уничтожить" 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй 0,008, в третий 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

2. подбрасывается игральная кость. Чему равна вероятность того, что на гранях выпадет 4 и 6 очков.

3. найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате является равновозможным.

4. бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одной цифры.

Цель задания 3: выявить способности учащихся решать задачи, в которых события описываются с помощью геометрических фигур.

Цель задания 4: выявление пробелов в знании формулы сложения двух несовместных событий.

п.4. Условная вероятность. Формула умножения

Изучению формулы умножения следует предварить беседу о зависимости одного события от другого, и об условной вероятности. Это можно осуществить на опыте: из ящика в котором 5 белых и 3 черных шара, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность вынуть второй шар белый?

Проводя опыт, учащиеся сталкиваются с двумя ситуациями: когда вероятность вынуть второй шар белый зависит от того, вынут в первый раз шар белый или черный.

Следует пояснить учащимся, что в таком случае будем говорить, что одно событие зависит от другого, а вероятность появления зависимого события условная.

Пусть событие В зависит от события А. Уловную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р(В/А). и в дальнейшем встречаясь с такой записью, учащиеся без труда должны узнавать и понимать, что речь идет о вероятности события В, если произошло событие А.

При выведении формулы умножения вероятностей можно воспользоваться рисунком.

Событию А благоприятствуют m событий, событию В благоприятствуют k событий, событию А∩В благоприятствуют r событий.

Если событие А произошло, то событию В благоприятствуют r и только r событий Ai, благоприятствующих А∩В.

Р(В/А) =r\m=(r\n)\(m\n)=P(AB) \P(A);

По аналогии формулу Р(А/В) учащиеся могут ввести самостоятельно

Р(А/В) =r\k=(r\n)\(k\n)=P(AB) \P(B)

На основании этих формул делаем вывод: P(AB) =Р(В) *Р(А/В) =Р(А) *Р(В/А).

Учащимся следует обратить внимание на то, что выведенное правило умножения имеет место лишь в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместны.

На формирование умений у учащихся решать задачи с применением правила умножения вероятностей предлагается решить ряд задач.

1. Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

- вытянуты два валета;

- вытянуты две карты пиковой масти;

- вытянуты валет и дама;

2. В ящике 5 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

3. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все 3 вынутые детали окажутся стандартными.


§2. Описание опытной работы

В качестве основной цели опытно - экспериментальной работы была представлена апробация предложенных методических рекомендаций по изучению основных теоретико-вероятностных вопросов в школьном курсе математики в классах с углубленным изучением математике.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработать содержание цикла уроков по теории вероятностей;

- проверить целесообразность разработанных методических рекомендаций.

Основная гипотеза опытной работы: включение элементов в теории вероятностей в математическую подготовку учащихся способствует общему повышению интеллектуального уровня учащихся и качества их математической подготовки.

При проведении опытной работы мы пользовались следующими методами:

- наблюдение за процессом усвоения знаний учащимися;

- беседы с учителем математики этого класса и учениками;

- проведение диагностической контрольной работы;

количественная и качественная обработка полученных данных.

Эксперимент был проведен в средней школе № 156 города Москвы в 9 классе.

В классе 20 учащихся. Из них 5 имеют высокий уровень подготовки, материал усваивается ими без пробелов в знаниях; трое имеют низкий уровень подготовки, усвоение материала или происходят с большими трудностями; остальные учащиеся занимаются хорошо.

Ребята легко вступают в контакт с педагогом, проявляют интерес к получению знаний, охотно помогают учителю в подготовке и проведении занятий.

Учащиеся занимаются на повышенном уровне обучения математике. Для хорошо подготовленных учащихся учитель предусматривает индивидуальные задания, а со слабыми, занимается дополнительно.

При обучении учащихся математике учитель использует методы проблемного обучения, эмпирические методы (наблюдение, опыт, измерение), метод сравнения и аналогии. Часто на уроках педагог организует самостоятельную работу и придерживается индивидуализации в обучении.

Было проведено семь уроков. Ниже представлены основные содержательные компоненты теоретического материала темы, изученные на уроках;

- виды событий (достоверные, невозможные, случайные);

- вероятностное пространство;

- классическое определение вероятности;

- определение события;

- вероятность события;

- теоремы о сумме и произведений вероятности событий.

Дидактический процесс был ориентирован на усвоение выделенных теоретических основ и на формирования навыка решения типовых задач, представленных в Гл I §3.

Проектирование процесса обучения осуществлялось в направлении реализации следующих методических положений:

- в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задач целесообразно предварить постановкой опытов;

- формулировка определений основных теоретико-вероятностных понятий, формулы сложения и умножения вероятностей полезно, наряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

- решение систем задач определенного типа важно обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводится в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

- предварительное решение специально подобранных задач способствует самостоятельному открытию учащимися теорем, их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

- целесообразно использование различных форм проведения учебных занятий: лекций, уроков-практикумов и других.

На первом уроке проведенном в форме беседы с учащимися, были выделены 3 класса событий: достоверные, невозможные, случайные. Ребята с интересом приняли участие в беседе: приводили примеры событий, классифицировали предложенные учителем события, выделяли их в группы. На этом же уроке были представлены заранее подготовленные сообщения учеников на темы: "теория вероятностей как наука", "применение теории вероятностей". Было введено понятие вероятностного пространства. С целью подготовки введения этого понятия был проведен опыт, описанный в Гл III. §1.

По окончанию опыта ребята сами выдвигали гипотезу о возможных множествах вероятностного пространства одного и того же испытания. Урок был интересен учащимся, так как работа была нетрадиционной; каждому ученику, была дана возможность лично убедится, в справедливости теоретических фактов.

На втором уроке было рассмотрено классическое определение вероятности события. Урок был проведен в форме лекции, содержание которой составил материал, представленный в Гл. II. §5.

На уроке был выявлен алгоритм решения задач по классическому определению вероятности. Очень продуктивной оказалась работа по геометрическому представлению формулы нахождения вероятности события по классическому определению, что помогло учащимся хорошо ее запомнить. Дальнейшее аналогичное интерпретирование теоретического материала позволяет учащимся систематизировать свои знания по теории вероятностей и успешно применять их при решении задач.

Третий урок был посвящен решению задач по классическому определению вероятности. Дидактический материал представлен в Гл III. § 1.

На четвертом и пятом уроках были изучены теоремы о сумме и произведении вероятности событий. При проведении этих уроков были использованы дидактические материалы, представленные в Гл III. § 1.

На шестом уроке рассматривались решения задач на применение теории суммы и произведения вероятностей событий, дидактический материал для которого представлен в Гл III. § 1.

На последнем седьмом уроке была проведена разработанная контрольная работа, представленная в приложении, с целью проверки качества знаний учащихся по теме "элементы теории вероятностей".

Задания первого и второго уровней были предложены с целью проверки знаний формул теорем о сумме и произведении вероятностей событий.

Задание третьего уровня преследует цель анализа знаний по классификации событий на достоверные, невозможные и случайные.

Задание четвертого уровня направлено на проверку умения решать задачи по классическому определению вероятности.

Большинство учащихся (57%) справилось с работой на "отлично", 32% - "на хорошо", остальные 11% - "на удовлетворительно".

Анализируя результаты работы учеников, можно сделать вывод, что большая часть учащихся усвоила основные теоретико-вероятностные вопросы и умеет решать задачи с применением классического определения вероятности.

Такие результаты возможно связанны с применением в процессе обучения разработанных методических рекомендаций.


Заключение

На основе проведенного анализа психолого-педагогической и методической литературы, а так же проведенной опытно-экспериментальной работой можно сделать выводы.

1. Основной целью изучения темы "элементы теории вероятностей" в классах с углубленным изучением математики как дедуктивной системе знаний; систематизация некоторых способов решения задач; создание условий для понимания основной идеи практической значимости теории вероятностей.

2. Анализ содержания темы элементы теории вероятностей различных учебных пособий, предназначенных для изучения в школе, позволяет в качестве основного учебного пособия предложить любое пособие.

3. При изучении теории вероятностей считаем целесообразным использование следующих методических рекомендаций:

- в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задачи предварить постановкой опытов;

- формулировки определений основных теоретико-вероятностных вопросов, формулы сложения и умножения возможностей на ряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

- решение систем задач определенного типа обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводить в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

- предварительно подбирать задачи, способствующие самостоятельному открытию учащимися теорем их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

- использовать различные формы проведения учебных занятий: лекций, уроков –практикумов и других.

Библиография

  1.  Бродский, Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе [Текст] / Я. Бродский
    // Математика: прил. к газ. "Первое сентября".–
     2004.– 23-29 авг.
    (№ 31).– С. 3-4.
  2.  Бунимович, Е.А. Вероятностно–статистическая линия в базовом школьном курсе математики [Текст] / Е.А. Бунимович
    // Математика в школе.– 2002.– № 4.– С. 52-58.
  3.  Бунимович, Е.А. Вероятность и статистика [Текст]: 5–9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Е.А. Бунимович, В.А. Булычев.– М.: Дрофа, 2002.– 160 с.
  4.  Бунимович, Е.А. Методические указания к теме «Статистические исследования» [Текст] / Е.А. Бунимович, С.Б. Суворова // Математика в школе.– 2003.– № 3.– С. 29-36.
  5.  Глеман, М. Вероятность в играх и развлечениях [Текст] / М. Глеман, Т. Варга – М.: Просвещение, 1979.– 176 с.
  6.  Глотов, Н.В. Вероятность и статистика в школе [Текст]: взгляд биолога / Н.В. Голотов, О.В. Голотова // Математика в школе.– 2002.– № 4.– С. 64-66.
  7.  Гольдфаин, И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии. [Текст] / И.И. Гольдфаин // Математика в школе.– 2003.– № 3.– С. 50-51
  8.  Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель.– М. Наука, 1969.– 576 с. 
  9.  Зубарева, И.И. Математика. 5 кл. [Текст] : учебник для общеобразовательных учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.– М.: Мнемозина, 2003.– 270 c.
  10.  Зубарева, И.И. Математика. 6 кл. [Текст] : учебник для общеобразоват. учреждений. / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович.– М.: Мнемозина, 2003.– 264 c.
  11.  Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики [Текст]: Программа для курсов повышения квалификации учителей / В.А. Булычев, Е.А. Бунимович // Математика в школе.– 2003.– № 4.– С. 59-63.
  12.  Кордемский, Б.А. Математика изучает случайности [Текст]: Пособие для учащихся / Б.А. Кордемский.– М.: Просвещение, 1975.– 223 c.
  13.  Лютикас, В.С. Факультативный курс по математике[Текст]: теория вероятностей: учебное пособие для 9–11 кл. сред. шк. / В.С. Лютикас.– М.: Просвещение, 1990.– 160 c.
  14.  Макарычев, Ю.Н. Алгебра [Текст]: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского.– М.: Просвещение.– 2003.– 80 c.
  15.  Макарычев, Ю.Н. Изучаем элементы статистики [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк // Математика в школе.– 2004.– № 5.–
    С. 59-62.
  16.  Макарычев, Ю.Н. Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк // Математика в школе.– 2004.– № 6.– С. 59-64.
  17.  Макарычев, Ю.Н. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. [Текст] / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк
    // Математика в школе.– 2004.– № 7.– С. 24-27.
  18.  Математика. 5 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений
    / Г.В. Дорофеев, И.Г. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Г. Шарыгина.– М.: Просвещение, 2000.– 302
    c.
  19.  Математика. 6 класс[Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, И.Г. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; под ред. Г.В. Дорофеева, И.Г. Шарыгина.– М.: Дрофа, 1997.– 302 c.
  20.  Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.– М.: Дрофа, 1997.– 288 c.
  21.  Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс [Текст]:  учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.– М.: Дрофа, 1999.– 112 c.
  22.  Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева.– М.: Дрофа, 2000.– 287 c.
  23.  Мордкович, А.Г. События. Вероятности. Статистическая обработка данных [Текст]: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов.– М.: Мнемозина, 2003.– 112 c.
  24.  Мостеллер, Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями [Текст] / Ф. Мостеллер.– М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1975.– 112 с. 
  25.  О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы [Текст] / отв. лицо: В.А. Болотов // Математика в школе – 2003.– № 9.– С. 2-3.
  26.  Плоцки, А. Вероятность в задачах для школьников [Текст]: Книга для учащихся / А. Плоцки.– М.: Просвещение, 1996.– 188 с.
  27.  Реньи, А. Трилогия о математике [Текст] / А. Реньи .– М.: Мир, 1980.– 376 с.
  28.  Сборник нормативных документов. Математика [Текст]
    / сост. Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев.– М.: Дрофа, 2004.– 80
    c.
  29.  Секей, Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике [Текст] / Г. Секей.– М.: Мир, 1990.– 240 c.
  30.  Селютин, В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике [Текст] / В.Д. Селютин // Математика в школе.– 2003.–
    № 4.– С. 63-68.
  31.  Селютин, В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений [Текст] / В.Д. Селютин // Математика в школе.– 2003.– № 3.– С. 51-56.
  32.  Студенецкая, В.Н. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы [Текст] / В.Н. Студенецкая, О.М. Фадеева
    // Математика в школе.– 2004.– № 7.– С. 66-72.
  33.  Студенецкая, В.Н. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы [Текст] / В.Н. Студенецкая, О.М. Фадеева
    // Математика в школе.– 2004.– № 6.– С. 64-70.
  34.  Тарасов, Л.В. Мир, построенный на вероятности [Текст]: Кн. для учащихся / Л.В. Тарасов.– М.: Просвещение, 1984.– 191 c.
  35.  Ткачева, М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других [Текст] / М.В. Ткачева // Математика в школе.– 2003.– № 5.– С. 41-48.
  36.  Ткачева, М.В. Элементы статистики и вероятность [Текст]: учебное пособие для учащихся 7–9 классов общеобразовательных учреждений
    / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова.– М.: Просвещение, 2004.– 112
    c.
  37.  Ткачева, М.В. О готовности учащихся к изучению стохастики [Текст] / М.В. Ткачева, Е.Н. Василькова, Т.В. Чуваева // Математика в школе.– 2003.– № 9.– С. 56-61.
  38.  Ткачева, М.В. Элементы стохастики в курсе математики VIIIX классов основной школы [Текст] / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова
    // Математика в школе.– 2003.–№ 3.– С. 36-50.
  39.  Тюрин, Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [Текст] / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий и др.– М.: МЦНМО: Моск. учеб., 2004.– 384 c.
  40.  Федосеев, В.Н. Элементы теории вероятностей для VIIVIII классов средней школы [Текст] / В.Н. Федосеев // Математика в школе.–
    2002.– № 4.– С. 58-64.
  41.  Шихова, А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе [Текст] / А.П. Шихова.– Киров, 1994.– 61 с.
  42.  Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы [Текст] / сост. В.И. Маркова.– Киров, 2004.– 57 с.


а

   а\2

Е                 A                                                                         B

n

     k

 m                   r

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2318. Культурологія. Курс лекцій 448.3 KB
  Сучасність як доба перехідності. Цивілізація XX століття й проблема людини. Давньокитайська духовна культура. Вино в системі античної культури. Духівництво в системі культури середньовіччя. Походження трагедії і комедії. Ренесанс як художній тип культури. Особливості культурного розвитку.
2319. Психологія та педагогіка. Конспект лекцій 1.23 MB
  Природа психіки і предмет психологічної науки. Емоційно-вольова характеристика людини. Періодизація психічного розвитку особистості. Дидактика як галузь педагогіки. Національно-патріотичне виховання української молоді. Вища освіта України і Болонський процес. Виховання і свобода людини.
2320. Аналіз солоності вод світового океану 790.9 KB
  Мета: встановити особливості хімічного складу океанської води, її солоності та закономірності розподілу солоності у Світовому океані. Завдання: ознайовитися з відмінностями у хімічному складі річкової та океанської води, визначити вплив солоності на замерзання води, дати просторовий і генетичний аналіз розподілу солоності по поверхні океану та з глибиною.
2321. Понятие и структура теории управления и власти 1.5 MB
  Деятельность человека и потребность в управлении. Содержание понятия управление. Содержание понятия теория управления и ее основные категории. Структура теории управления. Проведение экспертиз деятельности органов власти. Изучение статистических показателей деятельности органов власти.
2322. Токоприемник и штангоуловитель 586.15 KB
  Общая характеристика троллейбусов. Организация технического обслуживания и ремонта машин. Основная задача городского пассажирского транспорта заключается в бесперебойном обеспечении трудовых, деловых и культурно-бытовых поездок населения. Массовые перевозки в Минске осуществляют метрополитен, трамвай, автобусы и троллейбусы.
2323. Double pipe heat exchangers 319.5 KB
  The double pipe heat exchangers are quite simple exchangers for analysing. There are two possibilities: the use of a counter flow or parallel flow. In figure 1.2 we can see the development of the temperatures.
2324. Становление производящего хозяйства 91.61 KB
  Зарождение земледелия и животноводства. Человек начинает обрабатывать медь. Распространение производящего хозяйства по всей Западной Азии, проникновение его в Европу и Африку. Малая Азия в древности. Цивилизации древней Индии и Ирана.
2325. Урок английского языка 39.78 KB
  Найдите перевод слов списка А в списке В. Назовите главные и второстепенные члены подчеркнутых в тексте предложений и укажите части речи, которыми они выражены. Найдите в тексте прилагательные в превосходной степени и переведите их. Какие времена использованы в тексте.
2326. Облік грошових коштів на рахунках в банку 23.72 KB
  Мета практичного заняття: закріплення теоретичних знань з організації обліку грошових коштів на рахунках в банку в національній та іноземній валюті, порядком відкриття рахунків, набуття практичних навичок по оформленню банківських платіжних документів, опрацювання виписки банку та заповнення Журналу-ордеру № 1 с.-г. та відомість 1.2 с.-г.