37399

Моделирование движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях

Контрольная

Физика

В дерева dd physics выберите Mthemtics Mthemticl Prticle Trcing pt. В дереве выберите Preset Studies Time Dependent. Построение геометрической модели Задание области в корой движутся частицы В окне Model Builder щелкните ПКМ Model 1 Geometry 1 и выберите Cylinder Перейдите к окну Settings для Cylinder. Выберите размер и форму сечения.

Русский

2013-09-24

690 KB

56 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT22

Моделирование движения заряженных частиц в электрических и магнитных полях.

Расчеты осуществить с помощью модуля Mathematical Particle Tracing. Рассмотреть движение ядер атома водорода и гелия. Индукция магнитного поля  Тл. Скорость ионов в направлении перпендикулярном к магнитному полю м/с, начальные координаты . Рассмотреть случай, когда начальная скорость имеет  и не имеет составляющей вдоль оси . Рассмотреть две геометрии магнитного поля: однородное (направленное вдоль оси ) и неоднородное (обладающее цилиндрической симметрией) магнитное поле. Неоднородное магнитное поле имеет следующие компоненты: 1) ,  , , м. Для однородного магнитного поля определить шаг винтовой линии и радиус циклотронной траектории  (циклотронный радиус равен  ).  Построить силовые линии неоднородного магнитного поля.


Физическая модель.

При попадании заряженной частицы в однородное магнитное поле она движется по окружности  с фиксированным радиусом, который называется ларморовским или циклотронным радиусом  (пир условии, что скорость перпендикулярна магнитному полю). Циклотронный радиус может быть рассчитан по формуле:

                                                                                                        (1)

где  – компонента скорости перпендикулярная к магнитному полю, Z – зарядовое число частицы,  –элементарный заряд,   –индукция магнитного поля. Если скорость частицы направлена под непрямым углом к магнитному полю, то траекторией частицы является винтовая линия.

В данной работе производится вычисление траектории ионов в однородном магнитном поле с помощью  формулировки Ньютона, Лагранжа и Гамильтона, которые доступны в интерфейсе Mathematical Particle Tracing.

Математическая модель

Уравнение движения заряда в магнитном поле может быть определено из уравнения Лагранжа:

                                                                                        (2)

де  –  скорость частицы,  – координата частицы.   –лагранжиан, который при движения частицы в магнитном поле имеет следующий вид:

                                                                           (3)

Уравнение  (3) справедливо при условии, что скорость частиц много меньше скорости света. Вкладом электрического потенциала пренебрегаем. Гамильтониан выражается через Лагранжиан следующим образом:

                                                                                     (4)

Вводя обобщенный  импульс частицы  ,   Гамильтониан можно записать в виде:

                                                                               (5)

Для получения уравнения движения в  Ньютоновской формулировке, преобразуем правую часть (2) к виду

                              (6)

Левая часть (2) будет иметь вид:                                 (7)

Выполнив сокращения с использованием  (6)  и (7) получим для случая неподвижного магнитного поля:                                                                                                   (8)

Здесь индукция магнитного поля выражается через векторный потенциал:

                                                                                          (9)

Когда скорость частицы мала по сравнению со скоростью света ( 8) сводится к классическому уравнению движения для заряженной частицы в стационарном однородном магнитном поле:

                                                                           (10)

Построение модели

  1.  Перейдите в окно Model Wizard window.
  2.   Нажмите кнопку Next.
  3.   В дерева Add physics  выберите Mathematics > Mathematical Particle Tracing (pt).
  4.  Нажмите кнопку Add Selected.
  5.  Нажмите кнопку Next.
  6.  Найдите подраздел Studies. В дереве выберите Preset Studies>Time Dependent.
  7.  Нажмите Finish.

Построение геометрической модели

Задание области в корой движутся частицы

  1.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Model 1>Geometry 1 и выберите Cylinder
  2.  Перейдите к окну Settings для Cylinder.
  3.   Выберите размер и форму сечения. В поле редактирования Radius ввести  2е-3.
  4.   В поле Height  ввести 2е-3.
  5.   В окне Model Builder, щелкните ПКМ Geometry 1 и выберите команду Build All. 

Зададим массу частицы, индукцию магнитного поля, начальные скорости и ларморовский радиус.

  1.  В Model Builder window щелкните ПКМ Global Definitions и выберите Parameters.
  2.  Перейдите к окну Settings для Parameters.
  3.  Найдите раздел Parameters. В таблице параметров, введите следующие значения:

NAME

EXPRESSION

DESCRIPTION

mp

0.04[kg/mol]/N_A_const

масса иона

B

2[T]

Индукция магнитного поля

v0

2E3[m/s]

Скорости частиц, перпендикулярных к магнитному полю

rL

mp*v0/(e_const*B)

Ларморовский радиус

Теперь определим аналитические выражения для магнитного векторного потенциала, в результате чего в однородном магнитном поле в направлении Z.
Задание векторного потенциала и индукции магнитного поля

  1.  Щелкните ПКМ Model 1>Definitions  и выберите Variables.
  2.  Перейдите в окно настроек для Variables.
  3.  Найдите раздел Variables. В таблице Variables, введите следующие величины

NAME

EXPRESSION

DESCRIPTION

Ax

1[Wb/m]*y[1/m]

Магнитный векторный потенциал, х-компонента

Ay

-1[Wb/m]*x[1/m]

Магнитный векторный потенциал, у-компонента

Az

0[Wb/m]

Магнитный векторный потенциал, z-компонента

Bx

d(Az,y)-d(Ay,z)

Индукция магнитного поля, х-компонента

By

d(Ax,z)-d(Az,x)

Индукция магнитного поля, y-компонента

Bz

d(Ay,x)-d(Ax,y)

Индукция магнитного поля, z-компонента

Испускание одной частицы осуществляется в начале системы отсчета с начальной скоростью в направлении оси х. В этом случае сила Лоренца отлична от нуля. Кроме того необходимо добавить небольшую начальную скорость в z-направлении, чтобы было видно траекторию частицы, полученную в результате численного решения.

Настройка модуля расчета траектории движения частиц

  1.  В окне Model Builder разверните ветвь  Model 1>Mathematical Particle Tracing. 
  2.  Щелкните ПКМ Mathematical Particle Tracing и выберите Release from Grid.
  3.  Перейдите к окну  Settings и выберите Release from Grid.
  4.  Найдите раздел Initial Velocity. Укажите вектор  как

v0

x

0

y

1e2

Z

Вначале проведем расчеты с использованием формулировки Лагранжа. Лагранжиан для частицы в магнитном поле равен сумме кинетической энергии частицы (которая здесь определена как pt.Ep) и скалярного произведения скорости частицы на магнитный потенциал, умноженный на заряд частицы.

  1.  В окне Model Builder window нажмите Mathematical Particle Tracing.
  2.  Перейдите к окну Settings для Mathematical Particle Tracing.
  3.  Найдите раздел Formulation. С списка Formulation выберите Lagrangian.

Задание свойств частиц

  1.  В окне Model Builder window нажмите кнопку Particle Properties 1.
  2.   Перейдите к окну Settings для Particle Properties 1.
  3.   Найдите раздел Particle Mass. В поле  введите  mp.
  4.  Найдите раздел Lagrangian.  В поле редактирования L  введите Ep + e_const * (pt.vx*Ax + pt.vy *Ay + pt.vz *A z).

Генерация расчетной сетки

  1.  В окне Model Builder window нажмите Model 1>Mesh 1.
  2.  Перейдите к окну Settings для Mesh.
  3.  Найти  раздел Mesh Settings. Из списка Element size выбрать Extra fine.
  4.  Нажмите кнопку Build All.

Настройка решателя

  1.  В окне Model Builder window развернуть ветвь  Study 1,  затем нажмите Step 1: Time Dependent.
  2.  Перейдите в окно Settings для Time Dependent.
  3.  Найдите раздел Study Settings. В поле Time ввести  range(0,5.0 Е-8, 2.0e-5).

Выполнение расчетов

  1.  Щелкните ПКМ Study 1 и выберите Compute.

Изменение имени решателя

  1.  В окне Model Builder window, щелкните ПКМ Study 1 и выберите Rename
  2.  Перейдите в диалоговое окно Rename Study и наберите Lagrangian Study поле New name.
  3.  Нажмите OK.

Визуализация траектории частицы

Визуализировать траекторию частицы можно, нарисовав у-координату частицы как функцию цвета:

  1.  В окне Model Builder развернуть Results>Particle Trajectories (pt), затем нажмите Particle Trajectories 1.
  2.  Перейдите в окно Settings для траекторий частиц.
  3.  Найдите раздел Coloring and Style. Найдите подраздел Line style. В списке Type выберите Tube.
  4.  Найдите подраздел Point style. В списке Type выберите None.
  5.  Найдите подраздел Line style.  В поле Tube radius expression ввести  0,001.
  6.  В окне Model Builder развернуть Particle Trajectories 1, а затем щелкните Color Expression 1.
  7.  Перейдите в окно Settings  для  color Expression.
  8.  Найдите раздел Expression. В поле Expression edit field введите qу/2.
  9.  В окне Model Builder нажмите Lagrangian Results.
  10.  Перейти в окно Settings для 3D Plot Group.
  11.  Найдите раздел Plot Settings. Снять флажок Plot data set edges.
  12.  Нажмите кнопку.
  13.  Нажмите кнопку Zoom Extents на панели инструментов Graphics.
  14.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Results>Particle Trajectories (pt) и выберите Rename.
  15.  Перейдите в диалоговое окно Rename 3D Plot Group и наберите Lagrangian Results   в поле New name.
  16.  Нажмите OK.

Создадим новый набор данных, который позволяет вычислить ларморовский радиус частиц. Для выполнения операции по интегрированию необходимо установить уровень точки.

Задать операцию интегрирования

  1.  В окне Model Builder развернуть Results>Data Sets.
  2.  Щелкните ПКМ Data Sets и выберите Evaluation>Integral.
  3.  Перейдите к окну для Integral.
  4.  Найдите раздел Data section. Из списка Data set выберите Particle 1.
  5.  Найдите  раздел Settings. Из списка Geometry level выберите Point

Расчет ларморовского радиуса.

  1.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Results>Derived Values и выберите Point Evaluation.
  2.  Выберите  только  Point 2.
  3.  Перейдите в окно Settings для  Point Evaluation.
  4.  Найдите раздел Data Series Operation. В списке Operation  выберите Maximum.
  5.  Найдите раздел Expression. В поле Expression введите rL.
  6.  Щелкните ПКМ Point Evaluation 1 и выбрать Evaluate>New Table.
  7.  Щелкните ПКМ Derived Values и выберите Point Evaluation.
  8.  Перейдите в окно  Settings для Point Evaluation.
  9.  Найдите раздел Data. Из списка Data set выберите Integral 1.
  10.  Найдите раздел Expression section. В поле Expression наберите qу/2.
  11.  Найдите раздел Data Series Operation. В списке Operation list выберите Maximum.
  12.  Щелкните ПКМ Point Evaluation 2 и выбрать >Table 1 - Point Evaluation 1 (rL).

Использование формулировки Гамильтона.

При использовании формулировки Гамильтона для описания движения частиц вместо скорости используется импульс (вектор количества движения). Импульс имеет компоненты: рх, ру, рz

Настройка математической модели

  1.  В окне Model Builder нажать  Model 1>Mathematical Particle Tracing.
  2.  Перейдите к окну Settings для Mathematical Particle Tracing.
  3.  Найдите раздел Formulation. Из списка Formulation выберите Hamiltonian.


Задание Гамильтониана

  1.  В окне Model Builder нажмите Particle Properties 1.
  2.  Перейдите к окну Settings для  Particle Properties.
  3.  Найдите раздел Hamiltonian. В поле H наберите ((px-e_const * Ах)^2 + (py-e_const * Ау)^2 + (pz-e_const * z)^2) / (2 * pt.mp).

Добавление решателя

  1.  В окне Model Builder щелкните ПКМ на корневом узле дерева модели и выберите Add Study.
  2.  Перейдите к окну Model Wizard.
  3.  Найдите подраздел Studies. В дереве выберите Preset Studies>Time Dependent.
  4.  Нажмите Finish.


Настройка решателя для формулировки Гамильтона.

  1.  В окне Model Builder нажмите Study 2>Step 1: Time Dependent.
  2.  Перейдите к окну Settings для Time Dependent.
  3.  Найдите раздел  Study Settings. В поле Times наберите range(0,5.0 Е-8, 2.0e-5).
  4.  Щелкните ПКМ Study 2 и выберите Compute.
  5.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Study 2 и выберите Rename.
  6.  Перейдите в диалоговое окно Rename Study  наберите  Hamiltonian Study  в поле New name.
  7.  Нажмите OK.

Визуализация результатов

Траектория частиц.

  1.  В окне Model Builder window, щелкните ПКМ  Results>Particle Trajectories (pt).
  2.  Перейдите в окно Settings для 3D Plot Group.
  3.  Найдите раздел Plot Settings. Снимите флажок  Plot data set edges  нажмите  box.
  4.  В окне Model Builder развернуть Results>Particle Trajectories (pt), а затем нажмите Particle Trajectories 1.
  5.  Перейдите в окно Settings для Particle Trajectories.
  6.  Найдите раздел Coloring and Style. Найти  подраздел Point style. В списке Type выберите None.
  7.  Найти раздел  Line style subsection. В списке Type выберите  Tube.
  8.  В  поле Tube radius expression наберите  0,001.
  9.  В окне Model Builder развернуть ветвь Particle Trajectories 1 и затем щелкните Color Expression 1.
  10.  Перейти в окно Settings для Color Expression.
  11.   Найдите раздел Expression section. В поле Expression набрать qy/2.
  12.   Нажмите кнопку  Plot.
  13.    Нажмите кнопку Go to Default 3D View на панели инструментов Graphics.
  14.   В окне Model Builder щелкните ПКМ Results>Particle Trajectories (pt) и выберите Rename.
  15.  Перейдите в диалоговое окно Rename 3D Plot Group и набрать Hamiltonian Results в поле New name.
  16.   Нажмите OK

Задание интегрирования

  1.  В окне Model Builder развернуть Results>Data Sets.
  2.  Щелкните ПКМ Data Sets и выберите Evaluation>Integral.
  3.  Перейдите к окну Settings для Integral.
  4.  Найдите раздел Data. Из списка Data set выберите Particle 2.
  5.  Найдите раздел Settings. Из списка Geometry level выберите Point.

Расчет ларморовского радиуса.

  1.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Results>Derived Values и выберите Point Evaluation.
  2.  Перейдите в окно Settings для  Point Evaluation.
  3.  Перейдите в окно  Settings для Point Evaluation.
  4.  Найдите раздел Data. Из списка Data set выберите Integral 2.
  5.  Найдите раздел Expression section. В поле Expression наберите qу/2.
  6.  Найдите раздел Data Series Operation. В списке Operation list выберите Maximum.
  7.  Щелкните ПКМ Point Evaluation 3 и выбрать >Table 1 - Point Evaluation 1 (rL).

Расчет задачи в формулировке Ньютона
Задание типа формулировки.

  1.  В окне Model Builder нажмите Model 1>Mathematical Particle Tracing
  2.  Перейдите в окно Settings для  Mathematical Particle Tracing.
  3.  Найдите раздел Formulation. В списке Formulation  выберите Newtonian.


Задать силу Лоренца

  1.  Щелкнуть ПКМ Model 1>Mathematical Particle Tracing и выбрать Force.
  2.  Выберите только область 1.
  3.  Перейдите окно  Settings для  Force.
  4.  Найти раздел Force. Задать вектор силы :

e_const * (Bz * pt.vy-By * pt.vz)

x

 e_const * (-Bz* pt.vx + Bx * pt.vz)

y

e_const * (By * pt.vx-Bx * pt.vy)

Z

 

Добавление решателя для формулировки Ньютона

  1.  В окне Model Builder щелкните ПКМ root node и выберите Add Study.
  2.  Перейти в окно Model Wizard.
  3.  Найдите подраздел Studies. В дереве модели выберите Preset Studies>Time Dependent.
  4.  Нажмите Finish.

Настройка решателя
Задание расчетного времени

  1.  В окне Model Builder нажмите Study 3>Step 1: Time Dependent.
  2.  Перейдите к окну Settings для Time Dependent.
  3.   Найдите раздел Study Settings section. В поле Times набрать range(0,5.0e-8,2.0e-5).
  4.  Щелкнуть ПКМ  Study 3 и выбрать Compute.
  5.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Study 3 и выберите Rename.
  6.  Перейдите в диалоговое меню Rename Study и набрать Newtonian Study в поле New name.
  7.  Нажмите OK.

Визуализация результатов

Визуализация траектории частиц.

  1.  В окне Model Builder window, щелкните ПКМ  Results>Particle Trajectories (pt).
  2.  Перейдите в окно Settings для 3D Plot Group.
  3.  Найдите раздел Plot Settings. Снимите флажок  Plot data set edges  нажмите  box.
  4.  В окне Model Builder развернуть Results>Particle Trajectories (pt), а затем нажмите Particle Trajectories 1.
  5.  Перейдите в окно Settings для Particle Trajectories.
  6.  Найдите раздел Coloring and Style. Найти  подраздел Line style. В списке Type выберите None.
  7.  Найти раздел  Line style subsection. В списке Type выберите  Tube.
  8.  В  поле Tube radius expression наберите  0.001.
  9.  Найти подраздел Point Style. Из списка Type выбрать None
  10.  В окне Model Builder развернуть ветвь Particle Trajectories 1 node, а затем щелкните Color Expression 1.
  11.  Перейти в окно Settings для Color Expression.
  12.   Найдите раздел Expression section. В поле Expression набрать qy/2.
  13.   Нажмите кнопку  Plot.
  14.    Нажмите кнопку Go to Default 3D View на панели инструментов Graphics.
  15.   В окне Model Builder щелкните ПКМ Results>Particle Trajectories (pt) и выберите Rename.
  16.  Перейдите в диалоговое окно Rename 3D Plot Group и набрать Newtonian Results в поле New name.
  17.   Нажмите OK

Задание интегрирования

  1.  В окне Model Builder  развернуть ветвь Results>Data Sets.
  2.  Щелкните ПКМ Data Sets и выберите Evaluation>Integral 
  3.  Перейдите в окно Settings для Integral.
  4.  Найдите Data section. Из списка Geometry level выберите Particle
  5.  Найдите раздел  Settings. Из списка Geometry level  выберите  Point.

Расчет ларморовского радиуса

  1.  В окне Model Builder щелкните ПКМ Results>Derived Values и выберите Point Evaluation.
  2.  Перейдите к окну Settings для Point Evaluation.
  3.  Найдите раздел Data. Из списка Data set выберите Integral 3.
  4.  Найдите раздел Data Series Operation. В списке Operation выберите Maximum.
  5.  Найдите раздел Expression. В поле Expression наберите  qy/2.

Рассчитанный ларморовский радиус хорошо согласуется с рассчитанным аналитически значением для всех трех формулировок.

Результаты и обсуждение

Модель решается в COMSOL помощью формулировок Лагранжа,  Гамильтона и Ньютона. Рассчитанный Ларморовский радиус хорошо согласуется с аналитическим решением (Таблица 1).Точность численного расчета не превышает 0,15%. Гамильтонова формулировка дает несколько результаты несколько хуже, из-за того, что он решается два дифференциальных уравнения первого порядка вместо одного уравнения второго порядка.

Таблица I: сравнительная  таблица ларморовского радиуса для различных формулировок

             Аналитические

Лагранжа

Гамильтона

Ньютона

Рад. Лар.(мкм) 414.57

414.36    

414.02

414.36

Траектории частиц при трех различных формулировках приведены ниже.

         

Рисунок 1: Формулировка Лагранжа.

Рисунок 2: Формулировка Гамильтона

Рисунок 3: Формулировка Ньютона

Из Рис.1,2,3 видно, что траектории являются практически одинаковыми. НЕобольшое отличие наблюдается при использовании формулировки Гамильтона.

Рисунок 4: Движение заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном поле.

На Рис.4 показана траектория движения положительно заряженной частицы в магнитном поле направленном вдоль оси  и электрическом поле направленном вдоль оси  . При этом Тл,  В/м. Видно, что частица дрейфует, двигаясь по окружности, в направлении противоположном оси (и перпендикулярно силе со стороны электрического поля).

ЛИТЕРАТУРА

  1.  COMSOL Multiphysics User’s Guide. COMSOL, Inc. 2011 Version  4.2, 1149 p.
  2.  Introduction to COMSOL Multiphysics. COMSOL, Inc. 2010 Version  4.1, 97 p.
  3.  Pryor, Roger W. Multiphysics modeling using COMSOL: a first principles approach.  Jones and Bartlett Publishers, 2011, 852 p.
  4.  В.И.Егоров Применение ЭВМ для решения задач теплопроводности. Учебное пособие. – СПб: СПб ГУ ИТМО, 2006. - 77 с.
  5.  Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.–Мир, 1984.–428 с.
  6.  Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.3  М.: Наука, 1983 (или любой другой год издания).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1213. Проектирование судна грузоподъемностью 3600 тонн 4.2 MB
  Анализ условий плавания проектируемого судна. Практика мирового судостроения. Водный путь Балтика - Чёрное море. Минимальные гарантированные габариты судового хода на Волго-Балтийском водном пути (в метрах). Таблица проектных уровней по опорным водомерным постам. Характеристики гидроузлов.
1214. Математическое моделирование в экономике 5.65 MB
  Микроэкономический и макроэкономический подход в моделировании. Модели закрытой и открытой экономики. Интенсивность естественного процесса воспроизводства трудовых ресурсов. Процедура вывода основного уравнения модели. Материализованный технический прогресс в модели Солоу. Стохастическое моделирование финансовых потоков. Мониторинг динамики финансового ресурса коммерческого банка.
1215. Теоретическая схемотехника 3 MB
  Приставки для образования кратных и дольных единиц измерения. Теорема об эквивалентном преобразовании источников (генераторов). RC-цепи: изменения во времени напряжения и тока. Использование эмиттерных повторителей в качестве стабилизаторов напряжения. Улучшенная модель транзистора: усилитель с передаточной проводимостью. Простая логическая схема на транзисторах и диодах.
1216. Железнодорожный транспорт и работа в его сфере 2.37 MB
  Общий курс железных дорог. Сооружения и устройства путевого хозяйства. Движение поездов. Подвижной состав и его содержание. Устройство и эксплуатация механического оборудования пассажирских вагонов. Меры для предотвращения заклинивания колесных пар. Санитарно - техническое оборудование. Комбинированный кипятильник непрерывного действия. ПТЭ, инструкции и безопасность движения.
1217. Внутренние трубопроводы и канализация 191.5 KB
  Производство, передача и распределение электроэнергии. Деятельность по обеспечению работоспособности котельных. Внутренний водопровод здания. Система канализации здания. Дневник прохождения практики. Временное устранение канализационной течи или течи из под резьбы. Замена сифона под умывальником в детском саду.
1218. Базы данных 1.62 MB
  Проектирование однотабличной базы данных. Создание и использование фильтров. Создание многотабличной базы данных. Установление взаимосвязей между таблицами. Создание экранной формы. Создание элементов управления на форме. Создание главной кнопочной формы. Создание отчета. Создание подчиненного отчета. Вычисления в отчетах. Создание и управление базой данных с помощью SQL – операторов.
1219. Основы работы с СУБД MS Access 1.51 MB
  Редактирование таблиц, создание форм и запросов в СУБД MS Access. Изменение структуры таблиц. Редактирование таблиц, сортировка и фильтрация записей. Создание в Конструкторе (самый сложный). Использование макросов, обмен данными между СУБД MS Access и MS Excel, создание сетевых приложений.
1220. Технологический процесс термической обработки деталей машин 1.5 MB
  Основные задачи и исходные данные для курсового проектирования. Общие методические указания к выполнению курсовой работы. Разработка технологического маршрута изготовления детали. Разработка технологического процесса термической обработки. Основные требования к оформлению расчетно-пояснительной записки и чертежей.
1221. Экономика и организация производства 1.01 MB
  Бизнес-план - основной документ для оценки и обоснования реализации проекта в условиях конкуренции. Требования к оформлению и защите курсовой работы. Цели и задачи курсовой работы.