37715

Двуфакторний аналіз

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Суму квадратів всіх дослідів 18 4. суму квадратів сум по стовпцях поділену на число дослідів в стовпцю 19 5. суму квадратів сум по стрічках поділену на число дослідів в стрічці 20 6. суму квадратів для стовпця SS=SS2SS4; 22 8.

Украинкский

2013-09-25

51.84 KB

1 чел.

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Медико-інженерний факультет

Лабораторна робота

З математичного моделювання

Двуфакторний аналіз

Виконав:

студент гр. ЛД-71

Лучицький Р.Ю.

Київ 2010

Теоретичні відомості

Двофакторний дисперсійний аналіз

Вивчаючи вплив на процес одночасно двох факторів А та В. Фактор А вивчається на рівнях а1, а<SUB2< sub>, ..., аk, фактор В – на рівнях b1, b2,…, bm. При проведенні дисперсійного аналізу в умовах лінійної моделі зручно використовувати наступний алгоритм розрахунку. Знаходимо:
1. суми по стовпцях

(16)

2. суми по стрічках

(17)

3. суму квадратів всіх дослідів

(18)

4. суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число дослідів в стовпцю,

(19)

5. суму квадратів сум по стрічках, поділену на число дослідів в стрічці,

(20)

6. квадрат загальної суми, поділений на число всіх дослідів (коректуючий член),

(21)

7. суму квадратів для стовпця

SSA=SS2-SS4;

(22)

8. суму квадратів для стрічки

SSB=SS3-SS4;

(23)

9. загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх дослідів та коректуючим членом

SSзаг.=SS1-SS4;

(24)

10. залишкову суму квадратів

SSзал.=SSзаг.-SSA-SSB=SS1-SS2-SS3+SS4;

(25)

11. дисперсію sA2

(26)

12. дисперсію sB2

(27)

13. дисперсію s2пом.

(28)

результати дисперсного аналізу зручно представляти у вигляді таблиці дисперсного аналізу (табл. 3).

Таблиця 3

Двофакторний дисперсійний аналіз (без паралельних дослідів)

Джерело дисперсії

Число ступ. вільності

Сума квадратів

Середній квадрат

Мат. сподівання середнього квадрату

А

k-1

SSA

sA2

B

m-1

SSB

sB2

Залишок

(k-1)(m-1)

SSзал.

s2пом.

2пом.

Загальна сума

km-1

SSзаг.

Встановивши за допомогою дисперсійного аналізу значення впливу даного фактора, виясняють потім за допомогою критерію Стюдента чи рангового критерію Дункана, які саме середні значення у різняться.

Лінійна модель справедлива, коли між факторами А та В немає взаємодії. В протилежному випадку цій взаємодії як фактору присутня своя дисперсія 2АВ. Взаємодія АВ, 2АВ є мірою того, наскільки вплив фактора А залежить від рівня фактора В, та навпаки, наскільки вплив фактора В залежить від рівня А. В наведено вище алгоритмі при наявності взаємодії між факторами 2АВ, як складова частина, входить в дисперсію s2пом. Виділити 2АВ можна тільки при наявності паралельних дослідів.

При проведенні дисперсійного аналізу при нелінійній моделі зручно користуватись наступним алгоритм розрахунку. Знаходимо:
1. Суми спостережень в кожній комірці

(29)

2. Квадрат суми спостережень в кожній комірці

(30)

3. Суми по стовпцях

(31)

4. Суми по стрічках

(32)

5. Суму всіх спостережень (загальна сума)

(33)

6. Суму квадратів всіх спостережень

(34)

7. Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці

(35)

8. Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці

(36)

9. Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член)

(37)

10. Суму квадратів для стовпця

SSA=SS2-SS4;

(38)

11. Суму квадратів для стрічки

SSB=SS3-SS4;;

(39)

12. Суму квадратів для дисперсії відтворення

(40)

13. Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом

SSзаг.=SS1-SS4;

(41)

14. Залишкову суму квадратів відхилень для ефекту взаємодії АВ

SSAB=SSзаг.-SSA-SSB-SSпом.;

(42)

15. Дисперсію sA2

(43)

16. Дисперсію sB2

(44)

17. Дисперсію s2AB

(45)

18. Дисперсію відтворення

(46)

Перевірку гіпотези про значимість взаємодії факторів А та В проводять по F-критерію однаково для моделей з випадковими і фіксованими рівнями. Але перевірку гіпотези про значимість факторів А і В проводять неоднаково для різних моделей. В табл. 4 приведений двофакторний дисперсійний аналіз з паралельними дослідами для моделі з випадковими рівнями.

Таблиця 4

Двофакторний дисперсійний аналіз для моделі з випадковими рівнями
(з паралельними дослідами)

Джерело дисперсії

Число ступ. вільності

Сума квадратів

Середній квадрат

Мат. сподівання середнього квадрату

А

k-1

SSA

sA2

nm2А+n2АВ+2пом.

B

m-1

SSB

sB2

nk2В+n2АВ +2пом.

АВ

(k-1)(m-1)

SSAB

s2AB

n2АВ+2пом.

Залишок (помилка)

mk(n-1)

SSпом.

s2пом.

2пом.

Загальна сума

mkn-1

SSзаг.

З табл. 4 видно, що для оцінки значимості фактора А необхідно скласти дисперсійне відношення виду

.

(47)

Вплив фактора А признається значимим, коли

,

(48)

де р –рівень значимості; f1=k-1; f2=(k-1)(m-1). Аналогічно, вплив фактора В вважається значимим, коли

,

(49)

де р –рівень значимості; f1=m-1; f2=(k-1)(m-1).

Коли нерівності (48) та (49) не виконуються, вплив факторів А та В слід рахувати незначним.

Для математичної моделі з фіксованими рівнями члени, що відповідають взаємодії, зникають з сум квадратів відхилень SSA та SSB [3].

Внаслідок цього для оцінки значимості фактора А складають дисперсійне відношення виду

,

(50)

в знаменнику котрого стоїть оцінка для дисперсії відтворення. Одержане дисперсійне відношення порівнюється з табличним F1-p(f1, f2) для чисел степенів вільності f1=k-1, f2=mk(n-1). Аналогічно, для оцінки фактора В розглядають відношення

,

(51)

яке порівнюють з табличним F1-p(f1, f2) для чисел степенів вільності f1=m-1, f2=mk(n-1).

Якщо дисперсійні відношення (50) і (51) більше табличних

та

(52)

,

вплив факторів А та В слід рахувати значним.

Для перевірки значимості ефекту взаємодії складають дисперсійне відношення виду

(53)

і порівнюють його з табличним F1-p(f1, f2) для рівня значимості р та чисел степенів вільності f1=(m-1)(k-1), f2=mk(n-1). Якщо одержане дисперсійне відношення більше табличного, то вплив ефекту взаємодії факторів слід вважати значним, в противному випадку – вплив ефекту взаємодії вважають несуттєвим.

Чутливістю називається здатність критерію виявити відмінності. Чутливість залежить від величини відмінностей, від розкиду даних і об'єму вибірки. Найбільш важливим є об'єм вибірок: чим він більше, тим критерій чутливіше. При достатньо великих вибірках навіть мала відмінність виявляється статично значущою. І навпаки, якщо вибірки малі, навіть великі відмінності статистично незначущі. Знаючи ці закономірності, можна наперед визначити чисельність вибірок, необхідну, для виявлення ефекту.


Завдання

 

A1

A2

 

B1

B2

B3

B1

B2

B3

 

2

5

7

4

11

9

5

8

3

4

1

10

8

3

5

2

6

4

Xi

3,5

7,75

5,3

2,5

6,5

4

Ni

2

4

3

2

4

3

Xср

4,93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сx

60,64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Czi

4,5

26,75

12,67

4,5

29

8

Cz

85,42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cyi

8,59

58,55

13,15

16,32

38,85

10,60

Cy

146,059

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ηxкв

0,42

ηxкв

0,58

 

 

Ka

2

n

18

Kb

3

Xср А1

5,53

 

 

Xср А2

4,33

n'x

5

 

 

n'z

12

XсрВ1

 

σxкв

12,13

σzкв

7,12

F

1,70

Ca

6,42

Cb1

36,38

Cb2

24,27


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73382. Картини довколишнього світу, природи в поезіях Т. Шевченка — інша, художня реальність, створена уявою митця за допомогою засобів образної мови 70.07 KB
  Навчальна: ознайомити учнів із цікавими сторінками біографії автора; проаналізувати ліричні твори; визначити художні засоби та образність. Виховна: прищеплювати приязне ставлення до краси навколишнього світу. Розвивальна: розвивати творчу уяву, логічне мислення, вміння висловлювати свою думку.
73383. Павло Тичина. Цікаві відомості про автора. Його поетичні збірки та майстерне відтворення краси природи, патріотичних почуттів засобами художнього слова 244.41 KB
  Народився Павло Тичина в сімї сільського дяка й регента Григорія Тимофійовича Тичини. Першим навчальним закладом була бурса в Чернігові де Тичина співав у хорі Єлецького монастиря а потім у Троїцькому хорі. Тичина не став ані художником ані музикантом хоча певний час у Чернігові керував...
73384. Література рідного краю. Поезія М. Побеляна 65.3 KB
  Чарівний мрії світ — дитинство! Дитинство — пора, коли збуваються всі бажання, коли немає нічого неможливого. Пора радісного сміху, ніжної маминої колискової, перших батьківських повчань, першої прочитаної книжки. Саме змалечку в дитячій душі засівається зерно любові до книжки — на всі літа.
73385. Є. Гуцало. «Зірка», «Чарівники», «Журавлі високі пролітають...» 430.45 KB
  Лірична стихія творчості Є. Гуцала стала формою суспільної опозиції. Переживши жахи повоєнного сільського побуту, автор по-своєму почав сприймати світ людей. Але саме в ліриці він почувається найбільш невимушено, розкуто, живописуючи красу природи й людей, охоче фіксуючи улюблений ним стан осяяння...
73386. М. Рильський. Основні відомості про поета, його вміння бачити красу рідної природи і створювати красу засобами поетичної мови 197.33 KB
  Максим Тадейович Рильський народився 19 березня 1895 року. Рильський студент Київського університету медичного факультету через два роки продовжить навчання на історикофілологічному але революція громадянська війна змусить його перервати освіту і переїхати в село де він вчителюватиме...
73387. Повторення й узагальнення матеріалу, вивченого упродовж навчального року 564.86 KB
  Навчальна: систематизувати та узагальнити вивчений учнями матеріал упродовж II семестру. Виховна: прищеплювати любов до рідної літератури та її митців. Розвивальна: розвивати концентрацію уваги, творчу уяву, логічне мислення, кмітливість.
73388. Походження (етимологія) слова. Етимологічний словник української мови 95.06 KB
  Походження етимологія слова. Як це цікаво проникати в багатоколірний світ слова досліджувати розбирати і вивчати його. Старі слова набувають нового сенсу: мишка пристрій без якого не обійтися при роботі за компютером кішка спеціальні крюки у верхолазів кінь і козел гімнастичні снаряди.
73389. Урок розвитку комунікативних умінь. Ділові папери. Лист рідним, друзям, адреса 55.77 KB
  Мета: навчальна: ознайомити учнів з основними правилами листування будовою листа його мовним оформленням вимогами до оформлення адреси на поштовому конверті; на основі опрацьованого теоретичного матеріалу вдосконалити творчі вміння аналізувати листи з точки зору стилістичного й мовного оформлення...
73390. Фонетичний розбір слова 65.75 KB
  Мета: навчальна: повторити та поглибити знання учнів про звуки мови та мовлення; формувати вміння розрізняти звуки робити фонетичний аналіз передавати слова звукописом використовуючи здобуті знання на практиці; розвивальна: розвивати фонематичний слух увагу слухову...