37715

Двуфакторний аналіз

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Суму квадратів всіх дослідів 18 4. суму квадратів сум по стовпцях поділену на число дослідів в стовпцю 19 5. суму квадратів сум по стрічках поділену на число дослідів в стрічці 20 6. суму квадратів для стовпця SS=SS2SS4; 22 8.

Украинкский

2013-09-25

51.84 KB

1 чел.

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Медико-інженерний факультет

Лабораторна робота

З математичного моделювання

Двуфакторний аналіз

Виконав:

студент гр. ЛД-71

Лучицький Р.Ю.

Київ 2010

Теоретичні відомості

Двофакторний дисперсійний аналіз

Вивчаючи вплив на процес одночасно двох факторів А та В. Фактор А вивчається на рівнях а1, а<SUB2< sub>, ..., аk, фактор В – на рівнях b1, b2,…, bm. При проведенні дисперсійного аналізу в умовах лінійної моделі зручно використовувати наступний алгоритм розрахунку. Знаходимо:
1. суми по стовпцях

(16)

2. суми по стрічках

(17)

3. суму квадратів всіх дослідів

(18)

4. суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число дослідів в стовпцю,

(19)

5. суму квадратів сум по стрічках, поділену на число дослідів в стрічці,

(20)

6. квадрат загальної суми, поділений на число всіх дослідів (коректуючий член),

(21)

7. суму квадратів для стовпця

SSA=SS2-SS4;

(22)

8. суму квадратів для стрічки

SSB=SS3-SS4;

(23)

9. загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх дослідів та коректуючим членом

SSзаг.=SS1-SS4;

(24)

10. залишкову суму квадратів

SSзал.=SSзаг.-SSA-SSB=SS1-SS2-SS3+SS4;

(25)

11. дисперсію sA2

(26)

12. дисперсію sB2

(27)

13. дисперсію s2пом.

(28)

результати дисперсного аналізу зручно представляти у вигляді таблиці дисперсного аналізу (табл. 3).

Таблиця 3

Двофакторний дисперсійний аналіз (без паралельних дослідів)

Джерело дисперсії

Число ступ. вільності

Сума квадратів

Середній квадрат

Мат. сподівання середнього квадрату

А

k-1

SSA

sA2

B

m-1

SSB

sB2

Залишок

(k-1)(m-1)

SSзал.

s2пом.

2пом.

Загальна сума

km-1

SSзаг.

Встановивши за допомогою дисперсійного аналізу значення впливу даного фактора, виясняють потім за допомогою критерію Стюдента чи рангового критерію Дункана, які саме середні значення у різняться.

Лінійна модель справедлива, коли між факторами А та В немає взаємодії. В протилежному випадку цій взаємодії як фактору присутня своя дисперсія 2АВ. Взаємодія АВ, 2АВ є мірою того, наскільки вплив фактора А залежить від рівня фактора В, та навпаки, наскільки вплив фактора В залежить від рівня А. В наведено вище алгоритмі при наявності взаємодії між факторами 2АВ, як складова частина, входить в дисперсію s2пом. Виділити 2АВ можна тільки при наявності паралельних дослідів.

При проведенні дисперсійного аналізу при нелінійній моделі зручно користуватись наступним алгоритм розрахунку. Знаходимо:
1. Суми спостережень в кожній комірці

(29)

2. Квадрат суми спостережень в кожній комірці

(30)

3. Суми по стовпцях

(31)

4. Суми по стрічках

(32)

5. Суму всіх спостережень (загальна сума)

(33)

6. Суму квадратів всіх спостережень

(34)

7. Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці

(35)

8. Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці

(36)

9. Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член)

(37)

10. Суму квадратів для стовпця

SSA=SS2-SS4;

(38)

11. Суму квадратів для стрічки

SSB=SS3-SS4;;

(39)

12. Суму квадратів для дисперсії відтворення

(40)

13. Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом

SSзаг.=SS1-SS4;

(41)

14. Залишкову суму квадратів відхилень для ефекту взаємодії АВ

SSAB=SSзаг.-SSA-SSB-SSпом.;

(42)

15. Дисперсію sA2

(43)

16. Дисперсію sB2

(44)

17. Дисперсію s2AB

(45)

18. Дисперсію відтворення

(46)

Перевірку гіпотези про значимість взаємодії факторів А та В проводять по F-критерію однаково для моделей з випадковими і фіксованими рівнями. Але перевірку гіпотези про значимість факторів А і В проводять неоднаково для різних моделей. В табл. 4 приведений двофакторний дисперсійний аналіз з паралельними дослідами для моделі з випадковими рівнями.

Таблиця 4

Двофакторний дисперсійний аналіз для моделі з випадковими рівнями
(з паралельними дослідами)

Джерело дисперсії

Число ступ. вільності

Сума квадратів

Середній квадрат

Мат. сподівання середнього квадрату

А

k-1

SSA

sA2

nm2А+n2АВ+2пом.

B

m-1

SSB

sB2

nk2В+n2АВ +2пом.

АВ

(k-1)(m-1)

SSAB

s2AB

n2АВ+2пом.

Залишок (помилка)

mk(n-1)

SSпом.

s2пом.

2пом.

Загальна сума

mkn-1

SSзаг.

З табл. 4 видно, що для оцінки значимості фактора А необхідно скласти дисперсійне відношення виду

.

(47)

Вплив фактора А признається значимим, коли

,

(48)

де р –рівень значимості; f1=k-1; f2=(k-1)(m-1). Аналогічно, вплив фактора В вважається значимим, коли

,

(49)

де р –рівень значимості; f1=m-1; f2=(k-1)(m-1).

Коли нерівності (48) та (49) не виконуються, вплив факторів А та В слід рахувати незначним.

Для математичної моделі з фіксованими рівнями члени, що відповідають взаємодії, зникають з сум квадратів відхилень SSA та SSB [3].

Внаслідок цього для оцінки значимості фактора А складають дисперсійне відношення виду

,

(50)

в знаменнику котрого стоїть оцінка для дисперсії відтворення. Одержане дисперсійне відношення порівнюється з табличним F1-p(f1, f2) для чисел степенів вільності f1=k-1, f2=mk(n-1). Аналогічно, для оцінки фактора В розглядають відношення

,

(51)

яке порівнюють з табличним F1-p(f1, f2) для чисел степенів вільності f1=m-1, f2=mk(n-1).

Якщо дисперсійні відношення (50) і (51) більше табличних

та

(52)

,

вплив факторів А та В слід рахувати значним.

Для перевірки значимості ефекту взаємодії складають дисперсійне відношення виду

(53)

і порівнюють його з табличним F1-p(f1, f2) для рівня значимості р та чисел степенів вільності f1=(m-1)(k-1), f2=mk(n-1). Якщо одержане дисперсійне відношення більше табличного, то вплив ефекту взаємодії факторів слід вважати значним, в противному випадку – вплив ефекту взаємодії вважають несуттєвим.

Чутливістю називається здатність критерію виявити відмінності. Чутливість залежить від величини відмінностей, від розкиду даних і об'єму вибірки. Найбільш важливим є об'єм вибірок: чим він більше, тим критерій чутливіше. При достатньо великих вибірках навіть мала відмінність виявляється статично значущою. І навпаки, якщо вибірки малі, навіть великі відмінності статистично незначущі. Знаючи ці закономірності, можна наперед визначити чисельність вибірок, необхідну, для виявлення ефекту.


Завдання

 

A1

A2

 

B1

B2

B3

B1

B2

B3

 

2

5

7

4

11

9

5

8

3

4

1

10

8

3

5

2

6

4

Xi

3,5

7,75

5,3

2,5

6,5

4

Ni

2

4

3

2

4

3

Xср

4,93

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сx

60,64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Czi

4,5

26,75

12,67

4,5

29

8

Cz

85,42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cyi

8,59

58,55

13,15

16,32

38,85

10,60

Cy

146,059

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ηxкв

0,42

ηxкв

0,58

 

 

Ka

2

n

18

Kb

3

Xср А1

5,53

 

 

Xср А2

4,33

n'x

5

 

 

n'z

12

XсрВ1

 

σxкв

12,13

σzкв

7,12

F

1,70

Ca

6,42

Cb1

36,38

Cb2

24,27


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13633. Поэт бесконечно уступает художнику в изображении видимого, и музыканту - в изображении невидимого 14.72 KB
  Поэт бесконечно уступает художнику в изображении видимого и музыканту в изображении невидимого. Леонардо да Винчи И поэт и художник и музыкант являются творцами искусства. Мы знаем что искусство особый способ познания и отражения действительности посредством ...
13634. Проповедовать мораль легко, обосновать ее трудно 14.86 KB
  Проповедовать мораль легко обосновать ее трудно. А. Шопенгауэр.Что такое мораль И почему согласно Шопенгауэру обосновать ее трудно Мораль – это часть духовности форма общественного сознания это система норм регулирующих поведение людей основанная на общеприняты
13635. Кеннеди. У искусства есть враг, имя которому - невежество 15.65 KB
  У искусства есть враг имя которому невежество. Д. Кеннеди Автор считает что незнание не способность разбираться в чемлибо а тем более в искусстве может принести огромный вред искусству. И мы можем с этим согласиться. Невежество происходит от слова ведать знат
13636. Цивилизация есть стадия умирания культуры 14.68 KB
  Цивилизация есть стадия умирания культуры.О. ШпенглерРазвитие культуры и цивилизации неразрывно связаны: вне духовных ценностей созданных в процессе культурной деятельности людей не может сложиться и цивилизационная общность.Некоторые исследователи полностью ото...
13637. Щадя преступников, вредят честным людям 14.43 KB
  Щадя преступников вредят честным людямСенекаВыдающийся философ Сенека жил во времена Римской империи. Что же этой фразой он хотел сказать Не наказывая преступников вообще или не наказывая их должным образом мы наносим вред честнымзаконопослушным гражданам. И хотя...
13638. Ньютон. Я видел дальше других только потому, что стоял на плечах гигантов 14.11 KB
  Я видел дальше других только потому что стоял на плечах гигантов. И. Ньютон. Эти слова сложно было бы понять не зная их автора. Но зная что автором этого высказывания является Ньютон один из самых выдающихся ученых человечества мы можем понять их смысл. Я думаю гиганта
13639. Гордиться своей нацией – патриотизм, хвалиться своей национальностью - национализм 14.12 KB
  Гордиться своей нацией – патриотизм хвалиться своей национальностью национализм И.Н. Шевелев Эссе Шевелев в своем высказывании безусловно прав. Какое прекрасное чувство – патриотизм Гордость за свой народ и богатейшую историю нации уважение и почитание традиций...
13640. Карл Краус. Мы были достаточно цивилизованны, чтобы построить машину, но слишком примитивны, чтобы ею пользоваться 14.71 KB
  Мы были достаточно цивилизованны чтобы построить машину но слишком примитивны чтобы ею пользоваться Карл Краус Высказывание Карла Крауса австрийского писателя о том что мы были достаточно цивилизованны чтобы построить машину но слишком примитивны чтобы ею по...
13641. Национализм – это не любовь к своей нации, а ненависть к чужой 14.16 KB
  Национализм – это не любовь к своей нации а ненависть к чужой И.Н. ШевелевПрежде всего хочется характеризовать нацию как исторически высшую форму организации этносоциальных общностей. Для членов нации характерно национальное самосознание т.е. отражение в индивидуальн...