37809

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

4 Формула Симпсона Формула Симпсона записывается так: . Погрешность формулы Симпсона прямо пропорциональна в четвертой степени. На практике как и в случае метода трапеций расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле 5. Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие .

Русский

2013-09-25

248 KB

9 чел.

Лабораторная работа № 5

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ  ИНТЕГРАЛОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня широко применяемые на практике численные методы вычисления одномерных и кратных определенных интегралов, исследовать их на тестовых задачах.

Элементы теории

При решении задач радиофизики и электроники численное интегрирование применяется всякий раз, когда первообразная слишком сложна либо вообще не выражается через элементарные функции, а также в случае, когда подинтегральная функция задана таблично.

Методы численного интегрирования подразделяются на детерминированные и статистические. Детерминированные методы делятся на методы с равномерным и оптимальным распределением узлов интегрирования. Формулы численного интегрирования одномерных интегралов называются квадратурными, кратных – кубатурными.

Квадратурные формулы в общем виде записываются так:

 

где  – фиксированные узлы отрезка  , – постоянные коэффициенты, – погрешность квадратурной формулы. Строятся квадратурные формулы посредством интегрирования на отрезке  интерполяционной функции , которая аппроксимирует подинтегральную функцию  на всем отрезке  или на его отдельных частях. Широко используемые на практике формулы Ньютона – Котеса, являющиеся предметом исследования  данной лабораторной работы, основываются на интерполяции Лагранжа.

Формула трапеций

Формула трапеций имеет следующий вид:

. (5.1)

Она базируется на двух положениях: интервал интегрирования

покрывается равномерной сеткой , с шагом , подинтегральная функция на интервалах , заменяется линейной интерполянтой Лагранжа.

Погрешность формулы трапеций

, (5.2)

пропорциональна . Квадратичная зависимость погрешности интегрирования от шага сетки позволяет выбором шага сетки обеспечивать требуемую точность.

Вычисление определенного интеграла по формуле (5.1) в условиях ошибок округления сопровождается также  вычислительной ошибкой:

,

которая обратно пропорциональна , где – среднее по всем узлам сетки значение подинтегральной функции,  – ошибка округления на одной операции, которая не превосходит величины , здесь – число десятичных разрядов, отведенных под мантиссу. Именно ошибка округления ограничивает при уменьшении шага сетки достижимую точность вычисления определенного интеграла.

Использование для оценки погрешности формулы (5.2) вызывает определенные трудности вследствие необходимости вычисления . Поэтому на практике привлекают прием вычисления интеграла на сгущающихся сетках с шагом  и , где  и формулу Рунге для оценки главной составляющей погрешности:

, (5.3)

где  – порядок погрешности метода (степень в формуле погрешности). В случае правила трапеций , а значит  для  или  для . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом трапеций на сгущающихся сетках служит условие

. (5.4)

Формула Симпсона

Формула Симпсона записывается так:

. (5.5)

При ее построении также используется равномерная сетка , однако число интервалов разбиения теперь обязательно должно быть четным, что и подчеркивает запись . Подинтегральная функция  на интервалах содержа-щих три узла сетки, заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа второго порядка.

Погрешность формулы Симпсона

прямо пропорциональна  в четвертой степени.

На практике, как и в случае метода трапеций, расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле (5.3), в которой . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие

. (5.6)

Кубатурная формула Симпсона

Вычисление двойных интегралов

в прямоугольной области можно также вести по формуле Симпсона, которая в этом случае принимает такой вид:

где  обозначает  .  

Если S – криволинейная область интегрирования, то для применения формулы Симпсона область S  заключают в прямоугольник    и пользуются вспомогательной функцией

Тогда

и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.

Задание

  1.  Разработать, программно реализовать и исследовать на задачах, предложенных преподавателем (см. табл. 5.1), алгоритмы интегрирования функций одной переменной методами трапеций, Симпсона на сгущающихся сетках с критерием завершения вычислительного процесса в виде (5.4) и (5.6) для ; двух переменных – методом Симпсона на заданной преподавателем сетке.

Содержание электронного  отчета

1 Алгоритмы.

  1.  Тексты программ.
  2.  Задачи, результаты их решения.

Задачи

Таблица 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

1

[0.8; 1.762]

2

[1.3; 2.621]

3

[0.6; 1.724]

4

[3.0; 4.254]

Продолжение табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

5

[0; 1.234]

6

[0; 1.047]

7

[1.2; 2.471]

8

[1.0; 2.835]

9

[1.0; 2.631]

10

[2.0; 3.104]

11

[0; 1.075]

12

[0; 4.0]

13

[0; π/2]

14

[0; π/4]

15

[0; 1.0]

16

[3.0; 29.0]

17

[0; ln5]

18

[1.0; 4.0]

19

[0; π]

20

[0; π/2]

21

[-1.0; 1.0)

22

[-1.0; 1.0)

23

[0; 1.0]

24

[0; 1.0]

25

[0; 1.0]

26

[0; 1.0]

Окончание табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

27

[0; 1.0]

28

[0; 1.0]

29

[0; 4.0]

[1.0; 2.0]

30

[3.0; 4.0]

[1.0; 2.0]

31

[0; 2.0]

[0; 1.0]

32

[-1.0; 1.0]

[-1.0; 1.0]

33

[0; π/2]

[0; π/4]

34

[0; 1.0]

[1.0; 2.0]

35

[0; 2.0]

[0.5; 1.5]

ЛИТЕРАТУРА

1. Мулярчик С. Г.  Численные методы. Мн., 2001.

2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М., 2000.

37


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28687. Мероприятия партии и правительства по проведению коллективизации: плюсы и минусы 12.53 KB
  началась массовая коллективизация заготовительная компания приняла насильственный характер рыночные механизмы были сломлены. сплошная коллективизация должна была завершиться на Северном Кавказе Нижнем и Среднем Поволжье. Принудительная коллективизация вызвала забой скота и падение урожаев а выкачивание хлеба из села выросло.
28688. Попытка установления парламентской монархии в 1-ом десятилетии XX в 14.11 KB
  Об учреждении Госой думы и Положение о выборах в нее Манифест 17 окт. Об усовершенствовании госного порядка и Осные законы от 23 апр. Согласно августовским Манифесту и Положению Гос. К компетенции Думы относились: разработка и обсуждение законов обсуждение госго бюджета и др.
28689. Изменение в государственном строе России в результате первой русской буржуазной революции. Новые избирательные законы 13.43 KB
  Изменение в государственном строе России в результате первой русской буржуазной революции. Основным событием явилось создание представительного органа Государственной думы. был подписан Манифест об учреждении Госной думы. В законе указывалось что она формируется для предварительной разработки и обсуждения законопроектов коте в дальнейшем должны поступать в Госный совет.
28690. Государственные Думы и их классовый состав. Обсуждение аграрного вопроса на них 13.76 KB
  Государственные Думы и их классовый состав. Первое заседание Государственной думы состоялось 27 апреля 1906 года в Таврическом дворце СанктПетербурга. Обсуждались 2 проекта по аграрному вопросу: от кадетов 42 подписи и от депутатов трудовой группы Думы 104 подписи. Трудовики требовали для обеспечя крестьян отвести им участки по трудовой норме за счет казенных удельных монастырских и частновладельческих земель превышающих трудовую норму введение уравнительнотрудового землепользя объявления политой амнистии ликвидации Госного...
28691. Столыпинская аграрная реформа и ее сущность 12.71 KB
  Столы́пинская агра́рная рефо́рма реформа крестьянского надельного землевладения в России проходившая с 1906 по 1917 гг. укрепление Крестьянского банка принудительное землеустройство законы от 14 июня 1910 и 29 мая 1911 и усиление переселенческой политики перемещение сельского населения центральных районов России на постоянное жительство в малонаселенные окраинные местности Сибирь Дальний Восток и Степной край как средство внутр. колонизации были направлены на ликвидацию крестьянского малоземелья интенсификацию хозной деятсти...
28692. Российская империя в годы первой мировой войны (1914-1918 гг.) 13.05 KB
  Российская империя в годы первой мировой войны 19141918 гг. В годы войны в составе правительства происходили частные смены как отдельных министров так и председателя Совета министров. Еще в начальный период войны патриотический подъем вызвал создание Всероссийского земского союза помощи раненым и Всероссийского союза городов.
28693. Изменение в государственном аппарате России в годы первой мировой войны: особые совещания, военно-промышленные комитеты, из роль и значение 13.13 KB
  Изменение в государственном аппарате России в годы первой мировой войны: особые совещания военнопромышленные комитеты из роль и значение. В качве новых форм управления промышленностью и капиталами были созданы военнопромышленные комитеты в задачи которых входило распределение военных заказов установление внутренней и внешней ценовой политики. было образовано более 200 областных и местных военнопромх комитетов во главе котх стоял Центральный военнопромышленный комитет. В состав Центрго военнопромго комитета входили представители...
28694. Февральская буржуазно-демократическая революция 1917 г. Установление двоевластия, его причины и сущность 13.63 KB
  Инициатива создания Советов исходила снизу от народа но позднее их возглавила социалистическая партия. Избранный Петроградский Совет возглавил систему Советов коте позже составили конкуренцию ВП. Советы возникали по всей стране в городах селах гарнизонах воинских частях на основе выборов проходивших на съездах Советов. Исполнитми органами Советов являлись испные комитеты волостные уездные губернские.
28695. I Всероссийский съезд Советов: состав и основные вопросы, рассмотренные на нем 11.63 KB
  I Всероссийский съезд Советов: состав и основные вопросы рассмотренные на нем. Важная роль в становлении Советского государства и государственного аппарата принадлежала Всероссийскому съезду Советов рабочих и солдатских депутатов. Съезд начал свою работу уже вечером 25 октября и провозгласил себя высшим органом власти в России. Съезд по расчетам большевиков должен был официально признать и легализовать захват власти Советами.