37809

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

4 Формула Симпсона Формула Симпсона записывается так: . Погрешность формулы Симпсона прямо пропорциональна в четвертой степени. На практике как и в случае метода трапеций расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле 5. Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие .

Русский

2013-09-25

248 KB

7 чел.

Лабораторная работа № 5

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ  ИНТЕГРАЛОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня широко применяемые на практике численные методы вычисления одномерных и кратных определенных интегралов, исследовать их на тестовых задачах.

Элементы теории

При решении задач радиофизики и электроники численное интегрирование применяется всякий раз, когда первообразная слишком сложна либо вообще не выражается через элементарные функции, а также в случае, когда подинтегральная функция задана таблично.

Методы численного интегрирования подразделяются на детерминированные и статистические. Детерминированные методы делятся на методы с равномерным и оптимальным распределением узлов интегрирования. Формулы численного интегрирования одномерных интегралов называются квадратурными, кратных – кубатурными.

Квадратурные формулы в общем виде записываются так:

 

где  – фиксированные узлы отрезка  , – постоянные коэффициенты, – погрешность квадратурной формулы. Строятся квадратурные формулы посредством интегрирования на отрезке  интерполяционной функции , которая аппроксимирует подинтегральную функцию  на всем отрезке  или на его отдельных частях. Широко используемые на практике формулы Ньютона – Котеса, являющиеся предметом исследования  данной лабораторной работы, основываются на интерполяции Лагранжа.

Формула трапеций

Формула трапеций имеет следующий вид:

. (5.1)

Она базируется на двух положениях: интервал интегрирования

покрывается равномерной сеткой , с шагом , подинтегральная функция на интервалах , заменяется линейной интерполянтой Лагранжа.

Погрешность формулы трапеций

, (5.2)

пропорциональна . Квадратичная зависимость погрешности интегрирования от шага сетки позволяет выбором шага сетки обеспечивать требуемую точность.

Вычисление определенного интеграла по формуле (5.1) в условиях ошибок округления сопровождается также  вычислительной ошибкой:

,

которая обратно пропорциональна , где – среднее по всем узлам сетки значение подинтегральной функции,  – ошибка округления на одной операции, которая не превосходит величины , здесь – число десятичных разрядов, отведенных под мантиссу. Именно ошибка округления ограничивает при уменьшении шага сетки достижимую точность вычисления определенного интеграла.

Использование для оценки погрешности формулы (5.2) вызывает определенные трудности вследствие необходимости вычисления . Поэтому на практике привлекают прием вычисления интеграла на сгущающихся сетках с шагом  и , где  и формулу Рунге для оценки главной составляющей погрешности:

, (5.3)

где  – порядок погрешности метода (степень в формуле погрешности). В случае правила трапеций , а значит  для  или  для . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом трапеций на сгущающихся сетках служит условие

. (5.4)

Формула Симпсона

Формула Симпсона записывается так:

. (5.5)

При ее построении также используется равномерная сетка , однако число интервалов разбиения теперь обязательно должно быть четным, что и подчеркивает запись . Подинтегральная функция  на интервалах содержа-щих три узла сетки, заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа второго порядка.

Погрешность формулы Симпсона

прямо пропорциональна  в четвертой степени.

На практике, как и в случае метода трапеций, расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле (5.3), в которой . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие

. (5.6)

Кубатурная формула Симпсона

Вычисление двойных интегралов

в прямоугольной области можно также вести по формуле Симпсона, которая в этом случае принимает такой вид:

где  обозначает  .  

Если S – криволинейная область интегрирования, то для применения формулы Симпсона область S  заключают в прямоугольник    и пользуются вспомогательной функцией

Тогда

и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.

Задание

  1.  Разработать, программно реализовать и исследовать на задачах, предложенных преподавателем (см. табл. 5.1), алгоритмы интегрирования функций одной переменной методами трапеций, Симпсона на сгущающихся сетках с критерием завершения вычислительного процесса в виде (5.4) и (5.6) для ; двух переменных – методом Симпсона на заданной преподавателем сетке.

Содержание электронного  отчета

1 Алгоритмы.

  1.  Тексты программ.
  2.  Задачи, результаты их решения.

Задачи

Таблица 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

1

[0.8; 1.762]

2

[1.3; 2.621]

3

[0.6; 1.724]

4

[3.0; 4.254]

Продолжение табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

5

[0; 1.234]

6

[0; 1.047]

7

[1.2; 2.471]

8

[1.0; 2.835]

9

[1.0; 2.631]

10

[2.0; 3.104]

11

[0; 1.075]

12

[0; 4.0]

13

[0; π/2]

14

[0; π/4]

15

[0; 1.0]

16

[3.0; 29.0]

17

[0; ln5]

18

[1.0; 4.0]

19

[0; π]

20

[0; π/2]

21

[-1.0; 1.0)

22

[-1.0; 1.0)

23

[0; 1.0]

24

[0; 1.0]

25

[0; 1.0]

26

[0; 1.0]

Окончание табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

27

[0; 1.0]

28

[0; 1.0]

29

[0; 4.0]

[1.0; 2.0]

30

[3.0; 4.0]

[1.0; 2.0]

31

[0; 2.0]

[0; 1.0]

32

[-1.0; 1.0]

[-1.0; 1.0]

33

[0; π/2]

[0; π/4]

34

[0; 1.0]

[1.0; 2.0]

35

[0; 2.0]

[0.5; 1.5]

ЛИТЕРАТУРА

1. Мулярчик С. Г.  Численные методы. Мн., 2001.

2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М., 2000.

37


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44479. Бойові властивості ЗМУ і запалювальних засобів 116 KB
  Стисла характеристика біологічних засобів та особливості ураження ними особового складу. Хімічна зброя ХЗ – одна з видів зброї масового ураження вражаюча дія якої основана на використанні бойових токсичних хімічних речовин БТХР. До бойових токсичних хімічних речовин відносяться отруйні речовини ОР і токсини що вражаюче впливають на організм людей і тварин а також фітотоксиканти які можуть застосовуватися в воєнних цілях для ураження різноманітних видів рослинності. В якості засобів доставки хімічної зброї до об’єктів ураження...
44480. Учёт краткосрочных активов и анализ эффективности их использования 768 KB
  Оценка и учёт денежных средств и их эквивалентов Признание оценка и учёт краткосрочных финансовых инвестиций Признание оценка и учёт краткосрочной дебиторской задолженности Признание оценка и учёт запасов АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КРАТКОСРОЧНЫХ АКТИВОВ ТОО ШАРЫКТАС Анализ движения денежных средств Анализ краткосрочных расчётов с дебиторами Анализ эффективности использования производственных запасов ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ВВЕДЕНИЕ...
44481. Разработка мероприятий по совершенствованию учета основных средств и повышению экономической эффективности их использования в ООО «Бельки» Касимовского района Рязанской области 696 KB
  ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ УЧЕТА И АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ АПК Экономическое содержание учета основных средств Анализ движения и экономической эффективности использования основных средств БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ
44482. Ауыз қуысы, бөлінуі, шекаралары, құрамы 15.3 KB
  Ауыз қуысы, топографиялық орналасуына және атқаратын қызметіне қарай ауыз кіреберісі, мен меншікті ауыз қуысына бөлінеді
44483. Христианская церковь в средние века 105.5 KB
  При Иннокентии IV 12451254 было объявлено что кардинал стоит выше епископов и должен носить красную шапку символизирующую что кардинал готов бороться в защиту святой римской церкви до последней капли крови. в западной церкви было сделано дополнение непризнанное грековизантийской церковью об исхождении святого духа не только от бога отца но и от...
44484. Шықшыт, жақсүйекасты, тіласты сілекей бездері, орналасуы, құрылысы, шығару жолдары 15.86 KB
  Без өзегі жақаралық кеңістікпен алға қарай бағытталып, төменгіжақтын тамырлы ойығы арқылы жақтың сыртқы бүйір бетіне шығады да...
44485. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ для виконання самостійної роботи з дисципліни «ХІМІЯ» 1.71 MB
  Методичні рекомендації розроблено з метою полегшення набуття та закріплення знань студентів шляхом самостійної роботи над програмним матеріалом. Містить питання, які виносяться на самостійне опрацювання, завдання для розвʼязання поставлених питань та тестові завдання для контролю знань з хімії...
44486. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОСТИ КАТУШКИ 2.14 MB
  В методических указаниях представлена следующая информация: название лабораторной работы, цель, краткие теоретические сведения, перечень оборудования, методика проведения эксперимента, методика обработки экспериментальных данных, контрольные вопросы, требования к содержанию отчета о лабораторной работе, список литературы, приложение со справочными материалами.