37809

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

4 Формула Симпсона Формула Симпсона записывается так: . Погрешность формулы Симпсона прямо пропорциональна в четвертой степени. На практике как и в случае метода трапеций расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле 5. Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие .

Русский

2013-09-25

248 KB

10 чел.

Лабораторная работа № 5

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ  ИНТЕГРАЛОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня широко применяемые на практике численные методы вычисления одномерных и кратных определенных интегралов, исследовать их на тестовых задачах.

Элементы теории

При решении задач радиофизики и электроники численное интегрирование применяется всякий раз, когда первообразная слишком сложна либо вообще не выражается через элементарные функции, а также в случае, когда подинтегральная функция задана таблично.

Методы численного интегрирования подразделяются на детерминированные и статистические. Детерминированные методы делятся на методы с равномерным и оптимальным распределением узлов интегрирования. Формулы численного интегрирования одномерных интегралов называются квадратурными, кратных – кубатурными.

Квадратурные формулы в общем виде записываются так:

 

где  – фиксированные узлы отрезка  , – постоянные коэффициенты, – погрешность квадратурной формулы. Строятся квадратурные формулы посредством интегрирования на отрезке  интерполяционной функции , которая аппроксимирует подинтегральную функцию  на всем отрезке  или на его отдельных частях. Широко используемые на практике формулы Ньютона – Котеса, являющиеся предметом исследования  данной лабораторной работы, основываются на интерполяции Лагранжа.

Формула трапеций

Формула трапеций имеет следующий вид:

. (5.1)

Она базируется на двух положениях: интервал интегрирования

покрывается равномерной сеткой , с шагом , подинтегральная функция на интервалах , заменяется линейной интерполянтой Лагранжа.

Погрешность формулы трапеций

, (5.2)

пропорциональна . Квадратичная зависимость погрешности интегрирования от шага сетки позволяет выбором шага сетки обеспечивать требуемую точность.

Вычисление определенного интеграла по формуле (5.1) в условиях ошибок округления сопровождается также  вычислительной ошибкой:

,

которая обратно пропорциональна , где – среднее по всем узлам сетки значение подинтегральной функции,  – ошибка округления на одной операции, которая не превосходит величины , здесь – число десятичных разрядов, отведенных под мантиссу. Именно ошибка округления ограничивает при уменьшении шага сетки достижимую точность вычисления определенного интеграла.

Использование для оценки погрешности формулы (5.2) вызывает определенные трудности вследствие необходимости вычисления . Поэтому на практике привлекают прием вычисления интеграла на сгущающихся сетках с шагом  и , где  и формулу Рунге для оценки главной составляющей погрешности:

, (5.3)

где  – порядок погрешности метода (степень в формуле погрешности). В случае правила трапеций , а значит  для  или  для . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом трапеций на сгущающихся сетках служит условие

. (5.4)

Формула Симпсона

Формула Симпсона записывается так:

. (5.5)

При ее построении также используется равномерная сетка , однако число интервалов разбиения теперь обязательно должно быть четным, что и подчеркивает запись . Подинтегральная функция  на интервалах содержа-щих три узла сетки, заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа второго порядка.

Погрешность формулы Симпсона

прямо пропорциональна  в четвертой степени.

На практике, как и в случае метода трапеций, расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле (5.3), в которой . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие

. (5.6)

Кубатурная формула Симпсона

Вычисление двойных интегралов

в прямоугольной области можно также вести по формуле Симпсона, которая в этом случае принимает такой вид:

где  обозначает  .  

Если S – криволинейная область интегрирования, то для применения формулы Симпсона область S  заключают в прямоугольник    и пользуются вспомогательной функцией

Тогда

и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.

Задание

  1.  Разработать, программно реализовать и исследовать на задачах, предложенных преподавателем (см. табл. 5.1), алгоритмы интегрирования функций одной переменной методами трапеций, Симпсона на сгущающихся сетках с критерием завершения вычислительного процесса в виде (5.4) и (5.6) для ; двух переменных – методом Симпсона на заданной преподавателем сетке.

Содержание электронного  отчета

1 Алгоритмы.

  1.  Тексты программ.
  2.  Задачи, результаты их решения.

Задачи

Таблица 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

1

[0.8; 1.762]

2

[1.3; 2.621]

3

[0.6; 1.724]

4

[3.0; 4.254]

Продолжение табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

5

[0; 1.234]

6

[0; 1.047]

7

[1.2; 2.471]

8

[1.0; 2.835]

9

[1.0; 2.631]

10

[2.0; 3.104]

11

[0; 1.075]

12

[0; 4.0]

13

[0; π/2]

14

[0; π/4]

15

[0; 1.0]

16

[3.0; 29.0]

17

[0; ln5]

18

[1.0; 4.0]

19

[0; π]

20

[0; π/2]

21

[-1.0; 1.0)

22

[-1.0; 1.0)

23

[0; 1.0]

24

[0; 1.0]

25

[0; 1.0]

26

[0; 1.0]

Окончание табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

27

[0; 1.0]

28

[0; 1.0]

29

[0; 4.0]

[1.0; 2.0]

30

[3.0; 4.0]

[1.0; 2.0]

31

[0; 2.0]

[0; 1.0]

32

[-1.0; 1.0]

[-1.0; 1.0]

33

[0; π/2]

[0; π/4]

34

[0; 1.0]

[1.0; 2.0]

35

[0; 2.0]

[0.5; 1.5]

ЛИТЕРАТУРА

1. Мулярчик С. Г.  Численные методы. Мн., 2001.

2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М., 2000.

37


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46451. Уголовное право и процесс в 1930-е годы. Советское законодательство о государственных и имущественных преступлениях как юридическая основа массовых репрессий 16.12 KB
  Основная цель уголовного права в 1930е гг. Принципы уголовного процесса: 1 неприкосновенность личности; 2 гласность; 3 участие защитника и представителей общественности в судебном разбирательстве только на стадии судебного разбирательства; 4 всестороннее и объективное исследование обстоятельств по делу; 5 свободная оценка судом доказательств. Стадии уголовного процесса: 1 возбуждение уголовного дела; 2 дознание и предварительное следствие; 3 предание суду; 4 судебное разбирательство; 5 вынесение приговора; 6 кассационное...
46452. Основные ступени в образовании понятий 16.16 KB
  Первая ступень проявляется в поведении ребенка раннего возраста образование неоформленного и неупорядоченного множества выделение кучи какихлибо предметов которые выделяются ребенком без достаточного внутреннего основания. Первый этап образования синкретического нерасчлененного образа или кучи предметов. Группа новых предметов берется ребенком наугад с помощью отдельных проб которые сменяют друг друга тогда когда обнаруживается их ошибочность. Второй этап синкретический образ или куча предметов образуется на основе...
46454. Культура речи – необходимое условие профессиональной деятельности 16.27 KB
  Эмоциональная культура включает умение регулировать свое психическое состояние понимать эмоциональное состояние собеседника управлять своими эмоциями снимать волнение преодолевать нерешительность устанавливать эмоциональный контакт. Культура профессиональной речи включает: владение терминологией данной специальности; умение строить выступление на профессиональную тему; умение организовать профессиональный диалог и управлять им; умение общаться с неспециалистами по вопросам профессиональной деятельности. Знание терминологии...
46456. Анализ и диагностика затрат предприятия 16.34 KB
  Затраты образующие себестоимость продукции группируются в соответствии с их экологическим содержанием по следующим элементам: материальные затраты; затраты на оплату труда; отчисления на социальные нужды; амортизация основных фондов; Материальные затраты наиболее крупный элемент затрат на производство. Их доля в общей сумме затрат составляет 6080 лишь в добывающих отраслях промышленности она невелика. Состав материальных затрат неоднороден и включает расходы на сырье материалы за вычетом стоимости возвратных отходов по цене их...
46457. Фразеология как раздел языкознания: виды фразеологических словосочетаний (сращения, единства, сочетания) и принципы их выделения 16.4 KB
  Фразеология как раздел языкознания: виды фразеологических словосочетаний сращения единства сочетания и принципы их выделения. Эти слова образуют свободные сочетания. Другие слова имеют ограничения в возможностях сочетания. Такие сочетания называют фразеологизмами.
46458. СССР в середине 60-х — середине 80-х гг. (неосталинизм, застой, кризис системы) 16.42 KB
  Экономическая реформа разработка и реализация которой была связана с именем Председателя Совета Министров СССР А. Тупик опасный ибо отрыв развитых экономик мира от экономики СССР неуклонно увеличивался. Их идеологическим обоснованием стала концепция развитого социализма согласно которой медленное планомерное постепенное совершенствование реального социализма построенного в СССР полностью и окончательно займет целую историческую эпоху. эта концепция была законодательно закреплена в преамбуле новой Конституции СССР.
46459. Процедуры банкротства 16.43 KB
  Наблюдение является процедурой направленной на обеспечение сохранности имущества должника и проведение тщательного анализа его финансового состояния для поиска возможности восстановления платежеспособности предприятия. Данная процедура вводится с момента принятия Арбитражным судом заявления о признании должника банкротом на срок до 7 месяцев. исполнительные документы выданные на основании судебных решений; запрещается выплата дивидендов; не допускается прекращение денежных обязательств должника путем зачета встречного...