37809

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

4 Формула Симпсона Формула Симпсона записывается так: . Погрешность формулы Симпсона прямо пропорциональна в четвертой степени. На практике как и в случае метода трапеций расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле 5. Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие .

Русский

2013-09-25

248 KB

7 чел.

Лабораторная работа № 5

ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛЕННЫХ  ИНТЕГРАЛОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня широко применяемые на практике численные методы вычисления одномерных и кратных определенных интегралов, исследовать их на тестовых задачах.

Элементы теории

При решении задач радиофизики и электроники численное интегрирование применяется всякий раз, когда первообразная слишком сложна либо вообще не выражается через элементарные функции, а также в случае, когда подинтегральная функция задана таблично.

Методы численного интегрирования подразделяются на детерминированные и статистические. Детерминированные методы делятся на методы с равномерным и оптимальным распределением узлов интегрирования. Формулы численного интегрирования одномерных интегралов называются квадратурными, кратных – кубатурными.

Квадратурные формулы в общем виде записываются так:

 

где  – фиксированные узлы отрезка  , – постоянные коэффициенты, – погрешность квадратурной формулы. Строятся квадратурные формулы посредством интегрирования на отрезке  интерполяционной функции , которая аппроксимирует подинтегральную функцию  на всем отрезке  или на его отдельных частях. Широко используемые на практике формулы Ньютона – Котеса, являющиеся предметом исследования  данной лабораторной работы, основываются на интерполяции Лагранжа.

Формула трапеций

Формула трапеций имеет следующий вид:

. (5.1)

Она базируется на двух положениях: интервал интегрирования

покрывается равномерной сеткой , с шагом , подинтегральная функция на интервалах , заменяется линейной интерполянтой Лагранжа.

Погрешность формулы трапеций

, (5.2)

пропорциональна . Квадратичная зависимость погрешности интегрирования от шага сетки позволяет выбором шага сетки обеспечивать требуемую точность.

Вычисление определенного интеграла по формуле (5.1) в условиях ошибок округления сопровождается также  вычислительной ошибкой:

,

которая обратно пропорциональна , где – среднее по всем узлам сетки значение подинтегральной функции,  – ошибка округления на одной операции, которая не превосходит величины , здесь – число десятичных разрядов, отведенных под мантиссу. Именно ошибка округления ограничивает при уменьшении шага сетки достижимую точность вычисления определенного интеграла.

Использование для оценки погрешности формулы (5.2) вызывает определенные трудности вследствие необходимости вычисления . Поэтому на практике привлекают прием вычисления интеграла на сгущающихся сетках с шагом  и , где  и формулу Рунге для оценки главной составляющей погрешности:

, (5.3)

где  – порядок погрешности метода (степень в формуле погрешности). В случае правила трапеций , а значит  для  или  для . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом трапеций на сгущающихся сетках служит условие

. (5.4)

Формула Симпсона

Формула Симпсона записывается так:

. (5.5)

При ее построении также используется равномерная сетка , однако число интервалов разбиения теперь обязательно должно быть четным, что и подчеркивает запись . Подинтегральная функция  на интервалах содержа-щих три узла сетки, заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа второго порядка.

Погрешность формулы Симпсона

прямо пропорциональна  в четвертой степени.

На практике, как и в случае метода трапеций, расчеты ведут на сгущающихся сетках и оценку погрешности формулы Симпсона осуществляют по формуле (5.3), в которой . Критерием завершения процесса вычисления определенного интеграла с заданной точностью  методом Симпсона на сгущающихся сетках служит условие

. (5.6)

Кубатурная формула Симпсона

Вычисление двойных интегралов

в прямоугольной области можно также вести по формуле Симпсона, которая в этом случае принимает такой вид:

где  обозначает  .  

Если S – криволинейная область интегрирования, то для применения формулы Симпсона область S  заключают в прямоугольник    и пользуются вспомогательной функцией

Тогда

и для вычисления последнего интеграла привлекают метод Симпсона.

Задание

  1.  Разработать, программно реализовать и исследовать на задачах, предложенных преподавателем (см. табл. 5.1), алгоритмы интегрирования функций одной переменной методами трапеций, Симпсона на сгущающихся сетках с критерием завершения вычислительного процесса в виде (5.4) и (5.6) для ; двух переменных – методом Симпсона на заданной преподавателем сетке.

Содержание электронного  отчета

1 Алгоритмы.

  1.  Тексты программ.
  2.  Задачи, результаты их решения.

Задачи

Таблица 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

1

[0.8; 1.762]

2

[1.3; 2.621]

3

[0.6; 1.724]

4

[3.0; 4.254]

Продолжение табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

5

[0; 1.234]

6

[0; 1.047]

7

[1.2; 2.471]

8

[1.0; 2.835]

9

[1.0; 2.631]

10

[2.0; 3.104]

11

[0; 1.075]

12

[0; 4.0]

13

[0; π/2]

14

[0; π/4]

15

[0; 1.0]

16

[3.0; 29.0]

17

[0; ln5]

18

[1.0; 4.0]

19

[0; π]

20

[0; π/2]

21

[-1.0; 1.0)

22

[-1.0; 1.0)

23

[0; 1.0]

24

[0; 1.0]

25

[0; 1.0]

26

[0; 1.0]

Окончание табл. 5.1

Подинтегральная функция

либо

Интервал

Интервал

27

[0; 1.0]

28

[0; 1.0]

29

[0; 4.0]

[1.0; 2.0]

30

[3.0; 4.0]

[1.0; 2.0]

31

[0; 2.0]

[0; 1.0]

32

[-1.0; 1.0]

[-1.0; 1.0]

33

[0; π/2]

[0; π/4]

34

[0; 1.0]

[1.0; 2.0]

35

[0; 2.0]

[0.5; 1.5]

ЛИТЕРАТУРА

1. Мулярчик С. Г.  Численные методы. Мн., 2001.

2. Вержбицкий В. М. Численные методы. М., 2000.

37


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58540. Сценка «Урок математики» 26.5 KB
  Что никто не сделал Все: Мы не поняли Учитель: Да что тут понимать Каждое частное решение дифференциального уравнения является некоторой функцией одной переменной которой в системе координат соответствует некоторая линия называемая интегральной кривой данного дифференциального уравнения. Понятно Все: с готовностью Ага Учитель: Так теперь вопрос на засыпку: Как возвести число в квадрат Ученица 1 выпаливает: Чтобы возвести число в квадрат...
58541. Читання, запис, порівняння чисел. Одноцифрові та двоцифрові числа. Попереднє і наступне число до даного числа. Додавання і віднімання одиниці 55.5 KB
  Мета: продовжувати ознайомлювати учнів з одноцифровим та двоцифровими числами, їх записом, утворенням і читанням; формувати вміння утворювати числа шляхом додавання одиниці до наступного числа і віднімання одиниці від наступного; формувати вміння правильно називати попереднє та наступне число до даного...
58542. Умножение как действие, заменяющее сложение равных чисел. Знак умножения 93.5 KB
  Сколько цветов растет на 3 клумбах при помощи графической модели решим эту задачу. Сколько было клумб 3 Сколько цветов было на каждой клумбе. Сколько групп по 5 точек получилось 3 Сколько всего точек...
58543. Нахождение неизвестного вычитаемого. Нахождение значений выражений 54 KB
  Цель: совершенствовать вычислительные навыки и умение решать задачи; развивать логическое мышление и умение сравнивать, воображение. Формировать активность детей на уроке; повышать мотивацию обучения, интерес к математике...
58544. Організація навчання математики у початкових класах 239.5 KB
  Цій роботі відводять більшу частину уроку при цьому інші частини уроку також підпорядковані вивченню нового. Структура згаданого типу уроку може бути така: 1. Завдання до дому; Послідовність структури елементів може бути і іншою але основна частина уроку присвячена вивченню нового матеріалу. Структура цього уроку схожа на структуру уроку закріплення знань.
58545. Закрепление сложения и вычитания связанных с нумерацией чисел прямой угол. Задачи на нахождение третьего неизвестного слагаемого 60.5 KB
  Пропишем цифры 1 и 3 Какие числа можно составить из этих цифр 13 и 31 Сколько десятков в числе 13 один А единиц три сколько всего единиц тринадцать сколько десятков в числе 31 три а единиц одна Сколько всего едиництридцать одна Это чётные или не четные числа не чётные Открываем тетради....
58546. Числа от 20 до 100 79 KB
  Цели урока. Закрепить навык счета в пределах 100, формировать вычислительные навыки, упражняться в решении простых задач, в нахождении периметра геометрических фигур, в решении логических задач; воспитывать чувство взаимопомощи; развивать интерес к математике...
58547. Урок - основная форма организации обучения математики 64 KB
  Поэтому это влияет на построение урока математики и методики его проведения. Специфика уроков математики обуславливается особенностями освоения детьми материала: абстрактный характер материала требует тщательного отбора наглядных средств методов...