37832

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Метод Гаусса К необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ приводят многие прикладные задачи физики радиофизики электроники других областей науки и техники. Из прямых методов популярным у вычислителей является метод Гаусса исключения переменных с выбором главного максимального по модулю элемента в столбце.1 Процесс ее решения методом Гаусса делится на два этапа называемых соответственно прямым и обратным ходом.

Русский

2013-09-25

207.5 KB

99 чел.

Лабораторная работа № 1

РЕШЕНИЕ  систем  линейных

алгебраичЕских  уравнений  МЕТОДОМ

ГАУССА  С  ВЫБОРОМ  ГЛАВНОГО  ЭЛЕМЕНТА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Гаусса

К необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приводят многие прикладные задачи физики, радиофизики, электроники, других областей науки и техники. По этой причине разработке и исследованию методов решения СЛАУ уделяется повышенное внимание.

Для решения СЛАУ используются как прямые методы, позволяющие получить в случае отсутствия ошибок округления точное решение за конечное, заранее известное количество арифметических операций, так и итерационные методы. Итерационные методы используются для решения СЛАУ большого порядка, а также для уточнения решения, полученного прямыми методами.

Из прямых методов популярным у вычислителей является метод Гаусса (исключения переменных) с выбором главного (максимального по модулю) элемента в столбце. Поиск главного элемента позволяет, с одной стороны, ограничить рост коэффициентов на каждом шаге исключения и, следовательно, уменьшить влияние ошибок округления на точность решения, с другой, обеспечить для невырожденных систем выполнение условия  (отсутствие аварийных остановов вследствие деления на нуль).

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

 (1.1)

Процесс ее решения методом Гаусса делится на два этапа, называемых соответственно прямым и обратным ходом.

На первом этапе система (1.1) путем последовательного исключе-

ния переменных  сводится к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей коэффициентов:

 (1.2)

Исключение переменной  (k-й шаг прямого хода Гаусса) включает вычисление k-й строки треугольной матрицы:

 (1.3)

k-го свободного члена:

 (1.4)

преобразование уравнений системы (1.1) с номерами :

 (1.5)

В соотношениях (1.5) переменной внутреннего цикла является j, переменной внешнего цикла – i. Полное число шагов, за которое выполняется прямой ход Гаусса, равно n, т. е. расчеты по формулам (1.3) ÷ (1.5) выполняются для .

На втором этапе (обратный ход Гаусса) решают систему (1.2):

, (1.6)

последовательно определяя неизвестные

Описание алгоритма

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу выглядит следующим образом:

Алгоритм 1.1

1. Присвоить компонентам массива перестановок  IOR(k)  исходные значения:

принять, после этого, .

2. Найти индекс , для которого

Это можно сделать так:

2.1. Положить AKK=0;

2.2. Вычислить в цикле ():

2.2.1. ;

2.2.2. Если , то перейти к п. 2.2.1;

2.2.3. .

3. Поменять местами значения  и , если :

и выбрать ведущий элемент

.

Если , то выйти из программы с информацией об ошибке ().

4. Исключить переменную  с помощью соотношений (1.3) ÷ (1.5) (прямой ход Гаусса):

4.1.

4.2.

4.3. Вычислить в цикле по i ():

4.3.1.

4.3.2.

4.3.3. .

5. Увеличить значение  на единицу и вернуться к п. 2, если  , иначе завершить прямой ход, вычислив

Если , то выйти из программы с сообщением .

6. Выполнить в цикле для  (обратный ход Гаусса):

.

Сделаем комментарии к описанному алгоритму. Выбор ведущего элемента  предполагает перестановку строк системы (1.1). Программно это нетрудно сделать, переставляя соответствующие строки матрицы коэффициентов и соответствующие компоненты вектора свободных членов. Подобную операцию можно и не выполнять, если ввести вспомогательный одномерный массив перестановок .  Первоначально в пункте 1 алгоритма его элементам ,  присваиваются исходные значения . Обратиться к элементу  матрицы коэффициентов с привлечением массива перестановок, значит использовать элемент , так как первоначально . Если , то обращение к элементам , приводит к использованию коэффициентов го уравнения системы. Следовательно, вместо перестановок строк матрицы коэффициентов достаточно поменять местами  и . Такой подход реализован в приведенном алгоритме при выборе ведущего элемента.

Выбор ведущего элемента по столбцу обеспечивает выполнение условия , если матрица решаемой системы не вырождена. Сообщение  в пунктах 3 и 5 алгоритма свидетельствует о вырожденности матрицы.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задачах (табл. 1.1), предложенных преподавателем, программу численного решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
  2.  Вычислить для каждой задачи вектор невязки  (для этого до начала выполнения прямого хода Гаусса матрицу  и вектор  необходимо сохранить)

и  оценить его норму

.

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст программы.
  2.  Задачи, результаты их решения, вычисленные значения нормы вектора невязки.

Таблица 1.1

Матрица коэффициентов A

Вектор b

1

6

13

-17

13

29

-38

-17

-38

50

2

4

-5

2

1

-1

0

2

-2

1

1

2

1

1

1

2

3

2.30

3.50

1.70

5.70

-2.70

2.30

-0.80

5.30

-1.80

-6.49

19.20

-5.09

4

2.75

3.28

1.15

1.78

0.71

2.70

1.11

1.15

3.58

15.71

43.78

37.11

5

8.64

-6.39

4.21

1.71

4.25

7.92

5.42

1.84

-3.41

10.21

 3.41

12.29

6

21.547

10.223

51.218

-95.510

-91.065

12.264

-96.121

 -7.343

86.457

-49.930

-12.465

 60.812

7

2.60

3.00

-6.00

-4.50

3.00

3.50

-2.00

4.30

3.00

19.07

 3.21

-18.25

8

2.31

4.21

3.49

31.49

22.42

 4.85

1.52

3.85

28.72

40.95

30.24

42.81

9

2.50

-3.50

-6.50

-3.00

2.60

-3.50

4.60

1.50

7.30

-1.05

-14.46

-17.73

10

0.14

1.07

0.64

0.24

-0.83

0.43

-0.84

0.56

-0.38

1.11

0.48

-0.83

11

2.74

1.12

0.81

-1.18

0.83

1.27

3.17

-2.16

0.76

2.18

-1.15

3.23

12

1.80

3.10

4.51

2.50

2.30

-1.80

4.60

-1.20

3.60

2.20

3.60

-1.70

Продолжение табл. 1.1

Матрица коэффициентов A

Вектор b

13

2.0

0.4

0.3

1.0

1.0

0.5

-1.0

0.2

-0.1

4.0

1.0

2.5

1.0

-8.5

5.2

-1.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

14

2.21

8.30

3.92

3.77

3.65

2.62

8.45

7.21

1.69

4.10

7.78

8.04

6.99

1.90

2.46

2.28

-8.35

-10.65

12.21

15.45

15

3.81

2.25

5.31

9.39

0.25

1.32

6.28

2.45

1.28

4.58

0.98

3.35

0.75

0.49

1.04

2.28

4.21

6.47

2.38

10.48

16

7.90

8.50

4.30

3.20

5.60

-4.80

4.20

-1.40

5.70

0.80

-3.20

-8.90

-7.20

3.50

9.30

3.30

6.68

9.95

8.60

1.00

17

0.1582

0.1968

0.2368

1.1161

1.1675

0.2071

0.2471

0.1254

0.1768

1.2168

0.2568

0.1397

0.1871

0.2271

1.2671

0.1490

1.6471

1.7471

1.8471

1.5471

18

4.11

-1.26

3.18

1.29

-1.26

2.00

-1.97

3.81

-5.99

4.00

0.49

-1.56

1.29

0.00

-1.00

0.00

-0.75

1.08

3.38

0.87

19

1

1

2

3

1

2

0

1

1

-2

1

2

1

3

0

2

10

11

5

19

20

2

1

2

1

3

1

1

1

11

5

3

3

5

2

2

4

2

1

-3

-3

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53658. Прием вычитания с переходом через десяток 58.5 KB
  Записать на доске пример 124 Как можно вычесть 4 Можно вычесть 4 по частям. Убрать два круга из нижнего ряда Сколько мы вычли из 12 Сколько осталось кругов Записать 122=10 А нам надо вычесть 4. Дополнить первую запись 12 4 2 Затем убрать с наборного полотна еще два круга и записать: 12 2 2 Сколько кругов осталось Как мы из...
53659. Письменное сложение двузначных чисел с переходом через разряд 41 KB
  Работа одного ученика у доски остальные в тетрадях. Что нам нужно сделать Работают возле доски. Работа одного ученика возле доски остальные в тетрадях. Теперь что нам нужно сделать Какое действие будем выполнять Работа одного ученика возле доски остальные в тетрадях.
53660. Страна музыкальных инструментов 73 KB
  Цель урока: показать многообразие музыкальных инструментов; познакомить детей с различными видами музыкальных инструментов; освоить игру на детских музыкальных инструментах. Русский наигрыш полянка Слушание Исполнение песни детьми Слушание Слушание Слушание Игра детей на детских музыкальных инструментах закрепление материала...
53661. Что такое экология? 79.5 KB
  Формировать УУД: Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности. Регулятивные УУД: умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; понимать учебную задачу урока; высказывать своё предположение; контролировать свои действия в процессе выполнения задания и исправлять ошибки делать выводы отвечать на итоговые вопросы урока и оценивать свои достижения; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; Воспитывать культуру поведения при фронтальной работе при...
53662. ДИСПЛЕИ, МОНИТОР 288 KB
  В большинстве систем это взаимодействие осуществляется при помощи клавиатуры и или манипуляторов и экрана дисплея. Возникла необходимость оптимизировать характеристики экрана добиться более чёткого и устойчивого изображения чтобы избежать излишней утомляемости. Отличие алфавитноцифровых иногда говорят знакоместных и графических дисплеев состоит в том что: первые способны воспроизводить только ограниченный набор символов причём символы могут выводиться только в определенные позиции экрана чаще всего на экран можно вывести 24 или...
53663. Ученик и его окружение ( Schüleraustausch.internationale Jugendprojekte. Wollt ihr mitmachen?) 37.5 KB
  Könnt ihr einige nennenУченики называют организации по защите окружающей среды. Ученики отвечают положительно. 9 А Ученики читают текст чтобы ознакомиться с проблемой вырубка леса в Канадетакже комментарии к нему понимают его содержание используя словари. Работа с упр 10 Ученики делятся на 3 группы собирают пословицы;Такая форма работы важна для старшеклассниковтак как идет активное межличностное взаимодействие среди учеников.
53664. Страна изучаемого языка ( Schon einige Jahre Deutsch. Was wissen wir das chon alles? Was können wir schon.Wiederholung) 37.5 KB
  временах Prtizip II Pssiv. Wiederholung Основная цель урока: формирование грамматических навыков Pssiv практическая задача: распознавание и употребление конструкции WERDEN в разл. временах Prtizip II Pssiv. Языковой материал: лексические единицы прошлых уроков Wörter die mit dem Begriff die Stdt verbunden sind Грамматический материал: конструкция Pssiv Оснащение урока: учебник.
53665. Спорт 54 KB
  Cricket is a popular British game. It is often played in schools, colleges, universities, and by club teams all over the country. Cricket is a typically English sport which foreigners cannot understand. Men and boys, women and girls play cricket.
53666. Помни твёрдо, что режим людям всем необходим 42 KB
  Показ презентации и объяснение учителя Каким же должен быть режим дня школьника Слайд 1.20 утренняя гимнастика слайд 2 водные процедуры слайд 3.40 завтрак слайд 4.00 дорога в школу слайд 5.