37832

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Метод Гаусса К необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ приводят многие прикладные задачи физики радиофизики электроники других областей науки и техники. Из прямых методов популярным у вычислителей является метод Гаусса исключения переменных с выбором главного максимального по модулю элемента в столбце.1 Процесс ее решения методом Гаусса делится на два этапа называемых соответственно прямым и обратным ходом.

Русский

2013-09-25

207.5 KB

97 чел.

Лабораторная работа № 1

РЕШЕНИЕ  систем  линейных

алгебраичЕских  уравнений  МЕТОДОМ

ГАУССА  С  ВЫБОРОМ  ГЛАВНОГО  ЭЛЕМЕНТА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Гаусса

К необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приводят многие прикладные задачи физики, радиофизики, электроники, других областей науки и техники. По этой причине разработке и исследованию методов решения СЛАУ уделяется повышенное внимание.

Для решения СЛАУ используются как прямые методы, позволяющие получить в случае отсутствия ошибок округления точное решение за конечное, заранее известное количество арифметических операций, так и итерационные методы. Итерационные методы используются для решения СЛАУ большого порядка, а также для уточнения решения, полученного прямыми методами.

Из прямых методов популярным у вычислителей является метод Гаусса (исключения переменных) с выбором главного (максимального по модулю) элемента в столбце. Поиск главного элемента позволяет, с одной стороны, ограничить рост коэффициентов на каждом шаге исключения и, следовательно, уменьшить влияние ошибок округления на точность решения, с другой, обеспечить для невырожденных систем выполнение условия  (отсутствие аварийных остановов вследствие деления на нуль).

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

 (1.1)

Процесс ее решения методом Гаусса делится на два этапа, называемых соответственно прямым и обратным ходом.

На первом этапе система (1.1) путем последовательного исключе-

ния переменных  сводится к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей коэффициентов:

 (1.2)

Исключение переменной  (k-й шаг прямого хода Гаусса) включает вычисление k-й строки треугольной матрицы:

 (1.3)

k-го свободного члена:

 (1.4)

преобразование уравнений системы (1.1) с номерами :

 (1.5)

В соотношениях (1.5) переменной внутреннего цикла является j, переменной внешнего цикла – i. Полное число шагов, за которое выполняется прямой ход Гаусса, равно n, т. е. расчеты по формулам (1.3) ÷ (1.5) выполняются для .

На втором этапе (обратный ход Гаусса) решают систему (1.2):

, (1.6)

последовательно определяя неизвестные

Описание алгоритма

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу выглядит следующим образом:

Алгоритм 1.1

1. Присвоить компонентам массива перестановок  IOR(k)  исходные значения:

принять, после этого, .

2. Найти индекс , для которого

Это можно сделать так:

2.1. Положить AKK=0;

2.2. Вычислить в цикле ():

2.2.1. ;

2.2.2. Если , то перейти к п. 2.2.1;

2.2.3. .

3. Поменять местами значения  и , если :

и выбрать ведущий элемент

.

Если , то выйти из программы с информацией об ошибке ().

4. Исключить переменную  с помощью соотношений (1.3) ÷ (1.5) (прямой ход Гаусса):

4.1.

4.2.

4.3. Вычислить в цикле по i ():

4.3.1.

4.3.2.

4.3.3. .

5. Увеличить значение  на единицу и вернуться к п. 2, если  , иначе завершить прямой ход, вычислив

Если , то выйти из программы с сообщением .

6. Выполнить в цикле для  (обратный ход Гаусса):

.

Сделаем комментарии к описанному алгоритму. Выбор ведущего элемента  предполагает перестановку строк системы (1.1). Программно это нетрудно сделать, переставляя соответствующие строки матрицы коэффициентов и соответствующие компоненты вектора свободных членов. Подобную операцию можно и не выполнять, если ввести вспомогательный одномерный массив перестановок .  Первоначально в пункте 1 алгоритма его элементам ,  присваиваются исходные значения . Обратиться к элементу  матрицы коэффициентов с привлечением массива перестановок, значит использовать элемент , так как первоначально . Если , то обращение к элементам , приводит к использованию коэффициентов го уравнения системы. Следовательно, вместо перестановок строк матрицы коэффициентов достаточно поменять местами  и . Такой подход реализован в приведенном алгоритме при выборе ведущего элемента.

Выбор ведущего элемента по столбцу обеспечивает выполнение условия , если матрица решаемой системы не вырождена. Сообщение  в пунктах 3 и 5 алгоритма свидетельствует о вырожденности матрицы.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задачах (табл. 1.1), предложенных преподавателем, программу численного решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
  2.  Вычислить для каждой задачи вектор невязки  (для этого до начала выполнения прямого хода Гаусса матрицу  и вектор  необходимо сохранить)

и  оценить его норму

.

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст программы.
  2.  Задачи, результаты их решения, вычисленные значения нормы вектора невязки.

Таблица 1.1

Матрица коэффициентов A

Вектор b

1

6

13

-17

13

29

-38

-17

-38

50

2

4

-5

2

1

-1

0

2

-2

1

1

2

1

1

1

2

3

2.30

3.50

1.70

5.70

-2.70

2.30

-0.80

5.30

-1.80

-6.49

19.20

-5.09

4

2.75

3.28

1.15

1.78

0.71

2.70

1.11

1.15

3.58

15.71

43.78

37.11

5

8.64

-6.39

4.21

1.71

4.25

7.92

5.42

1.84

-3.41

10.21

 3.41

12.29

6

21.547

10.223

51.218

-95.510

-91.065

12.264

-96.121

 -7.343

86.457

-49.930

-12.465

 60.812

7

2.60

3.00

-6.00

-4.50

3.00

3.50

-2.00

4.30

3.00

19.07

 3.21

-18.25

8

2.31

4.21

3.49

31.49

22.42

 4.85

1.52

3.85

28.72

40.95

30.24

42.81

9

2.50

-3.50

-6.50

-3.00

2.60

-3.50

4.60

1.50

7.30

-1.05

-14.46

-17.73

10

0.14

1.07

0.64

0.24

-0.83

0.43

-0.84

0.56

-0.38

1.11

0.48

-0.83

11

2.74

1.12

0.81

-1.18

0.83

1.27

3.17

-2.16

0.76

2.18

-1.15

3.23

12

1.80

3.10

4.51

2.50

2.30

-1.80

4.60

-1.20

3.60

2.20

3.60

-1.70

Продолжение табл. 1.1

Матрица коэффициентов A

Вектор b

13

2.0

0.4

0.3

1.0

1.0

0.5

-1.0

0.2

-0.1

4.0

1.0

2.5

1.0

-8.5

5.2

-1.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

14

2.21

8.30

3.92

3.77

3.65

2.62

8.45

7.21

1.69

4.10

7.78

8.04

6.99

1.90

2.46

2.28

-8.35

-10.65

12.21

15.45

15

3.81

2.25

5.31

9.39

0.25

1.32

6.28

2.45

1.28

4.58

0.98

3.35

0.75

0.49

1.04

2.28

4.21

6.47

2.38

10.48

16

7.90

8.50

4.30

3.20

5.60

-4.80

4.20

-1.40

5.70

0.80

-3.20

-8.90

-7.20

3.50

9.30

3.30

6.68

9.95

8.60

1.00

17

0.1582

0.1968

0.2368

1.1161

1.1675

0.2071

0.2471

0.1254

0.1768

1.2168

0.2568

0.1397

0.1871

0.2271

1.2671

0.1490

1.6471

1.7471

1.8471

1.5471

18

4.11

-1.26

3.18

1.29

-1.26

2.00

-1.97

3.81

-5.99

4.00

0.49

-1.56

1.29

0.00

-1.00

0.00

-0.75

1.08

3.38

0.87

19

1

1

2

3

1

2

0

1

1

-2

1

2

1

3

0

2

10

11

5

19

20

2

1

2

1

3

1

1

1

11

5

3

3

5

2

2

4

2

1

-3

-3

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21462. Прецизионные волоконно-оптические датчики 333 KB
  100 Мрад Последовательного и параллельного типа Распределение температуры и деформации Обратное рассеяние Релея Интенсивность обратного рассеяния Релея Многомодовое Разрешающая способность 1 м Условия реализации волоконных датчиков связаны с наличием оптической комплектации: оптическое волокно в различных спектральных диапазонах. Соединительные и разделительные фильтры Многослойники дифракционные решетки; модуляторы интенсивности на основе электрооптического эффекта ниобат лития обладающий электрооптическими свойствами которые...
21463. Импульсный оптический рефлектометр 479 KB
  Введение Импульсные оптические рефлектометры OTDR Opticl Time Domin Reflectometer различных типов широко используются практически на всех этапах создания волоконнооптических систем связи: от производства волокна и оптического кабеля до строительства волоконнооптических линий связи ВОЛС и их эксплуатации. Измерять средние потери оптического волокна на катушках равномерность распределения потерь в волокне и выявлять наличие локальных дефектов при производстве волокна. Обнаруживать постепенное или внезапное ухудшение качества волокна...
21464. Анализ современного состояния техники ранней диагностики ВОЛП 706 KB
  Очевидно что длины волн используемые для передачи данных и для рефлектометрического контроля волокна в этом случае должны быть разными. В этой точке устанавливается оптический коммутатор OTU который по очереди включает волокна всех направлений в оптический путь сигналов рефлектометра RTU. Другой подход предполагает одновременное распространение сигнала рефлектометра по всем ответвляющимся волокнам. Согласно данным фирмы Fujikur по степени опасности для волокна можно выделить три диапазона значений его относительного удлинения.
21465. Двухчастотные лазерные интерферометры 1.42 MB
  Все оснащение лазерной измерительной головки заключающееся в системе программного и инструментального обеспечения измерения предназначено для линейных и угловые измерений измерения плоскостности измерения прямолинейности измерения взаимоперпендикулярности и измерения скорости перемещения. Дискрет измерения равен  при статистической обработке сигнала fd его можно уменьшить в 10 раз. Таким образом дискретность измерения интерферометра не превышает 001 мкм. Чтобы исключить ошибку связанную с температурным расширением основания на...
21466. Частота и частотные характеристики лазерного излучения 168.5 KB
  Для одной моды в том случае когда реализуется одномодовый режим можно ввести такой параметр как ширина линии излучения . Время когерентности и длина когерентности вводятся также и для многочастотного излучения. Особенность свойств когерентности излучения фемтосекундного лазера.
21467. Стандарты частоты газовые 1.6 MB
  Лазеры точнее лазерное излучение позволили создать такие источники оптического излучения с такими узкими линиями излучения которые в принципе не могли существовать в естественных условиях. С развитием лазеров появилась возможность не только управлять но и стабилизировать частоту оптического излучения. В результате этого решения появилась возможность на базе лазеров у которых частота излучения и длина волны излучения в вакууме связаны простым соотношением создавать стандарты частоты и длины волны.
21468. Одночастотный лазерный интерферометр Майкельсона. Принципы измерения расстояний и линейных перемещений 395.5 KB
  1 Упрощенная схема интерферометра Майкельсона При рассмотрении двухлучевых интерферометров следует обратить внимание на временные и пространственные фазы излучения. Поскольку основным уравнением интерферометрии является уравнение для интенсивности излучения сформированного двумя полями 1 2...
21469. Лазерный доплеровский анемометр 610.5 KB
  Движущиеся вместе с газовым потоком частицы рассматриваются как приемники световых волн от неподвижного источника и одновременно как передатчикиретрансляторы оптического излучения к неподвижному наблюдателю. Частота рассеянного излучения в точке наблюдения равна: 1 где ν – частота излучения источника; с – скорость света; u – проекция скорости частицы в направлении на точку наблюдения. Итак Доплеровская частота сигнала на выходе фотоприемника зависит от длины волны лазерного излучения скорости частиц и геометрии оптической системы....
21470. Пример одночастотного лазерного интерферометра Майкельсона. Абсолютный баллистический гравиметр 10.6 MB
  3 Принцип определения ускорения свободного падения На практике калибруются только частота длина волны лазерного излучения и частота встроенного опорного стандарта частоты для измерения интервалов времени.1 нм что равно 1 17 от длины волны 633 нм лазерного излучения.5 Направления применения гравиметрической информации g Corrections: instrumentl nd geophysicl tides ocen loding polr motion Motion eqution of freeflling body in the grvity field: TTL signl longperiod seismometer or ctive vibroisoltion system t 633 nm or 532 nm FG5216...