37832

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Метод Гаусса К необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ приводят многие прикладные задачи физики радиофизики электроники других областей науки и техники. Из прямых методов популярным у вычислителей является метод Гаусса исключения переменных с выбором главного максимального по модулю элемента в столбце.1 Процесс ее решения методом Гаусса делится на два этапа называемых соответственно прямым и обратным ходом.

Русский

2013-09-25

207.5 KB

99 чел.

Лабораторная работа № 1

РЕШЕНИЕ  систем  линейных

алгебраичЕских  уравнений  МЕТОДОМ

ГАУССА  С  ВЫБОРОМ  ГЛАВНОГО  ЭЛЕМЕНТА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Гаусса

К необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приводят многие прикладные задачи физики, радиофизики, электроники, других областей науки и техники. По этой причине разработке и исследованию методов решения СЛАУ уделяется повышенное внимание.

Для решения СЛАУ используются как прямые методы, позволяющие получить в случае отсутствия ошибок округления точное решение за конечное, заранее известное количество арифметических операций, так и итерационные методы. Итерационные методы используются для решения СЛАУ большого порядка, а также для уточнения решения, полученного прямыми методами.

Из прямых методов популярным у вычислителей является метод Гаусса (исключения переменных) с выбором главного (максимального по модулю) элемента в столбце. Поиск главного элемента позволяет, с одной стороны, ограничить рост коэффициентов на каждом шаге исключения и, следовательно, уменьшить влияние ошибок округления на точность решения, с другой, обеспечить для невырожденных систем выполнение условия  (отсутствие аварийных остановов вследствие деления на нуль).

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

 (1.1)

Процесс ее решения методом Гаусса делится на два этапа, называемых соответственно прямым и обратным ходом.

На первом этапе система (1.1) путем последовательного исключе-

ния переменных  сводится к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей коэффициентов:

 (1.2)

Исключение переменной  (k-й шаг прямого хода Гаусса) включает вычисление k-й строки треугольной матрицы:

 (1.3)

k-го свободного члена:

 (1.4)

преобразование уравнений системы (1.1) с номерами :

 (1.5)

В соотношениях (1.5) переменной внутреннего цикла является j, переменной внешнего цикла – i. Полное число шагов, за которое выполняется прямой ход Гаусса, равно n, т. е. расчеты по формулам (1.3) ÷ (1.5) выполняются для .

На втором этапе (обратный ход Гаусса) решают систему (1.2):

, (1.6)

последовательно определяя неизвестные

Описание алгоритма

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу выглядит следующим образом:

Алгоритм 1.1

1. Присвоить компонентам массива перестановок  IOR(k)  исходные значения:

принять, после этого, .

2. Найти индекс , для которого

Это можно сделать так:

2.1. Положить AKK=0;

2.2. Вычислить в цикле ():

2.2.1. ;

2.2.2. Если , то перейти к п. 2.2.1;

2.2.3. .

3. Поменять местами значения  и , если :

и выбрать ведущий элемент

.

Если , то выйти из программы с информацией об ошибке ().

4. Исключить переменную  с помощью соотношений (1.3) ÷ (1.5) (прямой ход Гаусса):

4.1.

4.2.

4.3. Вычислить в цикле по i ():

4.3.1.

4.3.2.

4.3.3. .

5. Увеличить значение  на единицу и вернуться к п. 2, если  , иначе завершить прямой ход, вычислив

Если , то выйти из программы с сообщением .

6. Выполнить в цикле для  (обратный ход Гаусса):

.

Сделаем комментарии к описанному алгоритму. Выбор ведущего элемента  предполагает перестановку строк системы (1.1). Программно это нетрудно сделать, переставляя соответствующие строки матрицы коэффициентов и соответствующие компоненты вектора свободных членов. Подобную операцию можно и не выполнять, если ввести вспомогательный одномерный массив перестановок .  Первоначально в пункте 1 алгоритма его элементам ,  присваиваются исходные значения . Обратиться к элементу  матрицы коэффициентов с привлечением массива перестановок, значит использовать элемент , так как первоначально . Если , то обращение к элементам , приводит к использованию коэффициентов го уравнения системы. Следовательно, вместо перестановок строк матрицы коэффициентов достаточно поменять местами  и . Такой подход реализован в приведенном алгоритме при выборе ведущего элемента.

Выбор ведущего элемента по столбцу обеспечивает выполнение условия , если матрица решаемой системы не вырождена. Сообщение  в пунктах 3 и 5 алгоритма свидетельствует о вырожденности матрицы.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задачах (табл. 1.1), предложенных преподавателем, программу численного решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
  2.  Вычислить для каждой задачи вектор невязки  (для этого до начала выполнения прямого хода Гаусса матрицу  и вектор  необходимо сохранить)

и  оценить его норму

.

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст программы.
  2.  Задачи, результаты их решения, вычисленные значения нормы вектора невязки.

Таблица 1.1

Матрица коэффициентов A

Вектор b

1

6

13

-17

13

29

-38

-17

-38

50

2

4

-5

2

1

-1

0

2

-2

1

1

2

1

1

1

2

3

2.30

3.50

1.70

5.70

-2.70

2.30

-0.80

5.30

-1.80

-6.49

19.20

-5.09

4

2.75

3.28

1.15

1.78

0.71

2.70

1.11

1.15

3.58

15.71

43.78

37.11

5

8.64

-6.39

4.21

1.71

4.25

7.92

5.42

1.84

-3.41

10.21

 3.41

12.29

6

21.547

10.223

51.218

-95.510

-91.065

12.264

-96.121

 -7.343

86.457

-49.930

-12.465

 60.812

7

2.60

3.00

-6.00

-4.50

3.00

3.50

-2.00

4.30

3.00

19.07

 3.21

-18.25

8

2.31

4.21

3.49

31.49

22.42

 4.85

1.52

3.85

28.72

40.95

30.24

42.81

9

2.50

-3.50

-6.50

-3.00

2.60

-3.50

4.60

1.50

7.30

-1.05

-14.46

-17.73

10

0.14

1.07

0.64

0.24

-0.83

0.43

-0.84

0.56

-0.38

1.11

0.48

-0.83

11

2.74

1.12

0.81

-1.18

0.83

1.27

3.17

-2.16

0.76

2.18

-1.15

3.23

12

1.80

3.10

4.51

2.50

2.30

-1.80

4.60

-1.20

3.60

2.20

3.60

-1.70

Продолжение табл. 1.1

Матрица коэффициентов A

Вектор b

13

2.0

0.4

0.3

1.0

1.0

0.5

-1.0

0.2

-0.1

4.0

1.0

2.5

1.0

-8.5

5.2

-1.0

1.0

2.0

3.0

-1.0

14

2.21

8.30

3.92

3.77

3.65

2.62

8.45

7.21

1.69

4.10

7.78

8.04

6.99

1.90

2.46

2.28

-8.35

-10.65

12.21

15.45

15

3.81

2.25

5.31

9.39

0.25

1.32

6.28

2.45

1.28

4.58

0.98

3.35

0.75

0.49

1.04

2.28

4.21

6.47

2.38

10.48

16

7.90

8.50

4.30

3.20

5.60

-4.80

4.20

-1.40

5.70

0.80

-3.20

-8.90

-7.20

3.50

9.30

3.30

6.68

9.95

8.60

1.00

17

0.1582

0.1968

0.2368

1.1161

1.1675

0.2071

0.2471

0.1254

0.1768

1.2168

0.2568

0.1397

0.1871

0.2271

1.2671

0.1490

1.6471

1.7471

1.8471

1.5471

18

4.11

-1.26

3.18

1.29

-1.26

2.00

-1.97

3.81

-5.99

4.00

0.49

-1.56

1.29

0.00

-1.00

0.00

-0.75

1.08

3.38

0.87

19

1

1

2

3

1

2

0

1

1

-2

1

2

1

3

0

2

10

11

5

19

20

2

1

2

1

3

1

1

1

11

5

3

3

5

2

2

4

2

1

-3

-3

9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30607. Понятие творчества в работах Бахтина 28 KB
  Он утверждал что слово является непосредственным фактом жизнедеятельности то есть слово поступок. По сути это переход от формулы слово и дело к формуле и слово есть дело . Для журналиста это принципиально важно ведь для нас господа слово действительно дело. Бахтин изучал даже не столько само слово сколько границы звучащего слова.
30608. Характеристика творчества в работах Пришвина 38.5 KB
  Всякое живое существо говорит о себе не только словами но и формой своего поведения в жизни никто не безмолвствует. Для каждого своего блина артист должен готовить новую сковороду. Человеком по мнению таких людей можно назвать только того кто смотрит на проходящие волны из глубины своего дня. А живым остается в своей наивной простоте доказывать перед современностью наличие жизненности своего существа.
30609. Бытие, самопознание, творчество 26.81 KB
  категория обозначающая реальность существующую объективно вне и независимо от сознания человека. Эта трансформация выражавшая новый тип отношения человека к природе обусловленного развитием науки техники и материального производства подготовила концепции Б. u которых природа рассматривается вне отношения к ней человека как некоторый механизм действующий сам но себе. созданное деятельностью человека.
30610. Категории творчества в философии Ницше 29.5 KB
  Категории творчества в философии Ницше. Ницше РОЖДЕНИЕ ТРАГЕДИИ ИЗ ДУХА МУЗЫКИПРЕДИСЛОВИЕ К РИХАРДУ ВАГНЕРУ. Творчество по Ницше имеет в основе двойственность аполлонического и дионисического начал также как рождение стоит в зависимости от двойственности полов при непрестанной борьбе и лишь периодически наступающем примирении. В творчестве и творческой личности считает Ницше могут присутствовать либо то либо другое начала либо сочетаться в одном человеке одновременно.
30611. Шопенгауэр о творчестве 29.5 KB
  Интеллект слуга воли. Царство платоновских идей представляет собой высшую объективацию воли. Искусства иерархичны разные степени объективации воли: архитектура тяжесть садоводство и ландшафтный дизайн растительный мир скульптура животные живопись и поэзия чел. Но круче всех музыка она мистическое воплощение самой воли.
30612. Иосиф Бродский о творчестве (воспоминания) 19.1 KB
  Творчество вообще Для Бродского творчество это прежде всего процесс а не результат потому что последний невозможен без первого это он высказывает и в интервью и в речи нобелевского лауреата и в своих эссе например Кошачье мяу. Поэтическое творчество Язык это уникальный инструмент познания. Творчество учит частности человеческого существования. Поэзия не столько форма искусства сколько искусство форма к которой часто прибегает поэзия Творчество Бродского Всё что не относится к творческому процессу семья и...
30613. А. П. Чехов о журналистском творчетсве 28.87 KB
  Чехов о журналистском творчетсве.Первые опыты литературного творчества Чехова в юмористическом духе относятся к гимназическим годам. Чехов в воспоминаниях комунибудь подражая или когонибудь представляя.Так еще в гимназические годы проявляется у Чехова тяга к юмору и желание установить связь с юмористическими журналами.
30614. Сергей Довлатов: ремесло и творчество 44 KB
  Произведения Довлатовапрозаика не издавались в СССР. В Америке проза Довлатова получила широкое признание публиковалась в известнейших американских газетах и журналах. Через пять дней после смерти Довлатова в России была сдана в набор его книга Заповедник ставшая первым значительным произведения писателя изданным на родине.Основные произведения Довлатова: Зона 19641982 Невидимая книга 1978 Соло на ундервуде: Записные книжки 1980 Компромисс 1981 Заповедник 1983 Наши 1983 Марш одиноких 1985 Ремесло 1985 Чемодан...
30615. З. Фрейд: бессознательное и творчество 38 KB
  Если председатель палаты депутатов в первых же своих словах закрывает заседание вместо того чтобы его открыть мы склонны считать это ошибочное действие не лишенным смысла. Особый вид сна сны наяву является сырым материалом для поэтического творчества потому что сны наяву поэт использует в своих новеллах романах пьесах. Гёте на вопрос когда и где появляется национальный классический писатель он отвечает: Когда в образе мысли своих соотечественников он не видит недостатка в величии равно как и в...