37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40739. Реалізація та організація діяльності менеджера 107.55 KB
  Графік працездатності . Графік працездатності Працездатність кожної людини піддається визначеним коливанням що відбуваються в рамках природного ритму. Пік працездатності як правило припадає на першу половину дня коли шлунок підшлункова залоза селезінка і серце функціонують найбільш активно.
40740. Контроль як функція самоменеджменту 106.78 KB
  Контроль процесу . Контроль результатів . Самоконтроль .Контроль за результатами праці з погляду досягнення кінцевої мети (цільовий контроль) слід проводити після виконання задачі (підсумковий контроль).
40741. Інформація і комунікація 217.58 KB
  Час: 80 хв. Метод : Лекція Місце: Навчальна аудиторія ПЛАН Навчальні питання: Час викладуВступ .Заключна частина . Прийоми раціонального читання Приблизно 30 свого часу менеджери витрачають на читання.
40742. Організація роботи менеджера 244.83 KB
  Джерело світла повинно розташовуватися так щоб світло не сліпило очі. Найкраще щоб джерело світла знаходилося ліворуч. Джерело світла повинно розташовуватися так щоб світло не сліпило очі відбиваючись від блискучої поверхні стола. Раціональне розміщення робочих місць стосовно джерела світла.
40743. Налично-денежный оборот и денежное обращение 62.13 KB
  Наличный денежный оборот непрерывный процесс движения наличных денег в форме банкнот банковских билетов казначейских билетов металлических монет. Наличный оборот начинается с указания ЦБ о переводе наличных денег которое передается РКЦ из резервных фондов в оборотные кассы из которых наличные деньги направляются в операционные кассы кредитных организаций банков. Эмиссию наличных денег осуществляет ЦБ РФ. Часть этих денег обслуживает межбанковские расчеты часть направляется в качестве кредитов другим банкам но большая часть...
40744. Диагностирование и лечение кожных заболеваний 122.02 KB
  Гигантская крапивница похожа на обычную лихорадку отличие в том что при первой опухлость появляется под кожей а не на поверхности кожи. Гистамин – химическое вещество выделяемое определенными клетками которые расположены вдоль кровяных сосудов кожи. Дермографизм: сыпь возникающая после механического повреждения кожи удар царапание. Дерматиты Дерматиты воспалительные реакции кожи в ответ на воздействие раздражителей...
40745. Информация об интеллектуальной собственности 32.3 KB
  Патентные исследования патентные исследования это исследования технического уровня и тенденций развития объектов техники их патентоспособности патентной чистоты конкурентоспособности на основе патентной и другой информации. Патентные исследования проводят при: разработке научнотехнических прогнозов; разработке планов развития науки и техники; создании объектов техники; освоении и производстве продукции; определении целесообразности экспорта промышленной продукции и экспонировании ее образцов на международных выставках и...
40746. Наука як сфера людської діяльності 59.51 KB
  Поняття зміст і функції науки Курс: 1 Факультет: 4й медичний Поняття зміст і функції науки Актуальність теми. Необхідність надання загальних відомостей про завдання курсу а також про науку як систему знань і уявлень про сутність науки аналіз змісту та функцій науки диктується вимогами розвитку та становлення сучасної науки і є необхідною передумовою формування наукового світогляду необхідного майбутнім спеціалістам. Цілі лекції мета Навчальні: ознайомитись з...
40747. Філософія Середньовіччя, Відродження та Нового часу 49.79 KB
  Центральна проблема філософії – проблема взаємовідносин людини та світу – у середньовічній філософії набирає специфічного змісту: це взаємовідносин Бога людини та світу. Завдання людини – зробити правильний вибір між цими двома світами. Утверджуючи переконання що істинне буття людини – це її духовне буття християнська теософія від Теос – Бог скеровує увагу філософів середньовіччя на дослідження внутрішнього духовного світу людини на освоєння безмежних глибин людської душі. Якщо ж людина знає розуміє те в що вірить її віра...