37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26025. Тензометрия 246 KB
  Тензометрия (от лат tensus — напряжённый и греч. metron — мера) — способ измерения напряжённо-деформированного состояния конструкции. Базируется на определении напряжений и деформаций в наружных слоях детали. Прибор для измерения этих параметров называется тензометром; обычно основным элементом такого прибора является тензодатчик
26026. Основные направления реформы государственной службы Российской Федерации 42.5 KB
  Под реформой государственной службы ГС следует понимать осуществление целенаправленных преобразований результатом которых является постепенное формирование новой системы ГС либо появление у существующей системы новых качеств черт или существенных признаков. N 261 федеральная программа Реформированиеи развитие системы государственной службыРоссийской Федерации 2009 2013 годы Государственные заказчики мероприятий Программы: Министерство экономического развития Российской Федерации Министерство внутренних дел Российской Федерации...
26027. Федеральный закон «О системе государственной службы Российской Федерации»: общая характеристика и значение 64 KB
  N 25ФЗ О муниципальной службе в РФ Глава 4. На муниципальную службу вправе поступать граждане достигшие возраста 18 лет владеющие государственным языком Российской Федерации и соответствующие квалификационным требованиям установленным в соответствии с настоящим Федеральным законом для замещения должностей муниципальной службы при отсутствии обстоятельств указанных в статье 13 настоящего Федерального закона в качестве ограничений связанных с муниципальной службой. При поступлении на муниципальную службу гражданин представляет: 1...
26028. Понятие и значение государственной гражданской службы 50 KB
  Понятие и значение государственной гражданской службы. Федеральный закон О системе государственной службы Российской Федерации определяет государственную службу как профессиональную служебную деятельность граждан РФ по обеспечению исполнения полномочий: Российской Федерации и ее субъектов; федеральных органов государственной власти иных федеральных государственных органов федеральных государственных органов и органов государственной власти субъектов РФ иных государственных органов субъектов РФ государственных органов субъектов РФ;...
26029. Поступления на государственную гражданскую службу 45.5 KB
  21 Одним из принципов государственной гражданской службы является равный доступ граждан владеющих государственным языком Российской Федерации к гражданской службе и равные условия ее прохождения независимо от пола расы национальности происхождения имущественного и должностного положения места жительства отношения к религии убеждений принадлежности к общественным объединениям а также от других обстоятельств не связанных с профессиональными и деловыми качествами гражданского служащего. На гражданскую службу вправе поступать граждане...
26030. Должности государственной гражданской службы, их группы и категории 60 KB
  Должности государственной гражданской службы их группы и категории. Должности федеральной государственной гражданской службы учреждаются федеральным законом или указом Президента Российской Федерации в целях обеспечения исполнения полномочий государственного органа либо лица замещающего государственную должность. статьи 89 должности государственной гражданской службы подразделяются на четыре категории и пять групп. Должности государственной гражданской службы подразделяются на следующие группы: высшие должности; главные должности; ведущие...
26031. Служебный контракт на государственной гражданской службе: понятие, содержание и значение 66 KB
  Согласно статьи 23 Служебный контракт соглашение между представителем нанимателя и гражданином поступающим на гражданскую службу или гражданским служащим о прохождении гражданской службы и замещении должности гражданской службы. Представитель нанимателя обязуется предоставить гражданину поступающему на гражданскую службу возможность прохождения гражданской службы а также предоставить указанному гражданину или гражданскому служащему возможность замещения определенной должности гражданской службы обеспечить им прохождение гражданской...
26032. Должностной регламент государственного гражданского служащего 51 KB
  В должностной регламент включаются: 1 квалификационные требования к уровню и характеру знаний и навыков предъявляемые к гражданскому служащему замещающему соответствующую должность гражданской службы а также к образованию стажу гражданской службы государственной службы иных видов или стажу опыту работы по специальности; 2 должностные обязанности права и ответственность гражданского служащего за неисполнение ненадлежащее исполнение должностных обязанностей в соответствии с административным регламентом государственного органа...
26033. Права и обязанности гражданского служащего 55 KB
  № 79ФЗ О государственной гражданской службе Российской Федерации иными нормативными правовыми актами РФ и условиями служебного контракта; получение в установленном порядке информации и материалов необходимых для исполнения должностных обязанностей а также на внесение предложений о совершенствовании деятельности государственного органа; доступ в установленном порядке к сведениям составляющим государственную тайну необходимым для исполнения должностных обязанностей; доступ в установленном порядке в связи с исполнением должностных...