37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43663. Разработка web-сайта для организации, занимающейся продажей автомобилей 1.07 MB
  1 Язык разметки гипертекста HTML 4 1. Сайт разрабатывался с помощью языка разметки гипертекста HTML и каскадных таблиц стилей CSS.1 Язык разметки гипертекста HTML HyperText Mrkup Lnguge HTML является стандартным языком предназначенным для создания гипертекстовых документов в среде WEB. HTMLдокументы могут просматриваться различными типами WEBбраузеров.
43664. Cоздания температурно-комфортного режима в холодный и переходный периоды года 2.66 MB
  Система отопления и вентиляции необходима в гражданских зданиях для поддерживания требуемой воздушной среды в помещениях, особенно в тех где имеется присутствие человека. Для строителя – это необходимая часть конструктивного решения здания. Данный курсовой проект посвящает нас в основы проектирования отопления и ветиляции.
43665. Построение твердотельных моделей в системе Unigraphics 7.25 MB
  Добавляем бобышки с двух сторон затем ставим фаски на них. Добавляем отверстие с одной стороны. Добавляем фаски и отверстия. Добавляем фаски.
43666. Проектирование технологических процессов ремонта деталей вагонов 2.85 MB
  Технологический процесс технологическая операция наплавка электрод флюс коэффициент наплавки фрикционный клин. Цель работы: Разработать технологию ремонта фрикционного клина провести подбор оборудования для ремонта В курсовом проекте произведен выбор действующего типового технологического процесса – способа восстановления изношенной поверхности детали составлен технологический процесс ремонта и произведена разработка технологических операций рассчитаны параметры режима ручной дуговой наплавки и автоматической наплавки под плавленым...
43667. Функции программ MSPowerPoint и MSExcel 2.03 MB
  Например в виде презентации можно сделать более доступной сложную правовую информацию которой социальные работники информируют своих клиентов. Создание презентации на тему Дети это наше будущее Открыть MS Word В книге Excel выделить диаграмму Вызвать контекстное меню Копировать В документе MSWord вызвать контекстное меню Вставить Файл Печать Предварительный просмотр Создание презентации средствами MS Power Point на тему Дети это наше будущее Презентация это целенаправленный информационный процесс...
43668. РАЗРАБОТКА ДИЗАЙНА САЙТА ФИТНЕС-КЛУБА 15.44 MB
  Обратите внимание, как мы структурировали тэги по строкам (с помощью клавиши Enter) и какие сделали отступы (клавишей Tab). В принципе не важно, как вы структурируете ваш HTML-документ. Но, для облегчения чтения кода, настоятельно рекомендуем структурировать ваш HTML с помощью перевода строк и отступов, как в нашем примере.
43669. Изучение особенностей отражения в учете договоров финансовой аренды (лизинга) 1.2 MB
  Лизингодатель представляет собой хозяйствующий субъект (лизинговая компания, банк и т.п.) или индивидуального предпринимателя, осуществляющего лизинговую деятельность, т.е. передачу по договору в лизинг специально приобретенного для этого имущества. Иначе говоря, лизингодатель — это арендодатель данного имущества
43670. Підвищення надійності різання деревини за рахунок удосконалення електричної схеми шляхом впровадження сучасних енергозберігаючих технологій 4.8 MB
  Одним з основних видів різання деревини є пиляння. Це операція ділення деревини на частини багаторізцевими зубчастими інструментами  пилками, які здатні видаляти з колоди або заготовки шар деревини, перетворюючи її в стружку. Існує три основних види пил - рамні, стрічкові і дискові. Стрічкові пили представляють собою сталеву нескінченну (у вигляді кільця) смугу з зубами на одній (рідше двох) кромці.
43671. ОСОБЕННОСТИ ВОЕННО-ПАТРИОТИЧЕСКОГО ВОСПИТАНИЯ С МОЛОДЕЖЬЮ 14-18 ЛЕТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ 584.5 KB
  Психология юношеского возраста – один из самых сложных и наименее разработанных разделов возрастной психологии. Еще в 20-е годы Л.С. Выготский отмечал, что в психологии юношеского возраста значительно больше общих теорий, чем достоверно установленных фактов.