37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45002. Прибыль организации 776 KB
  Экономическое содержание функции и виды прибыли Методы планирования прибыли. Факторы роста прибыли Распределение использование прибыли на предприятии
45003. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 296.5 KB
  Сущность и физические основы метода Спектральный анализ это способ определения химического состава и концентрации отдельных элементов в веществе по его спектру излучения или поглощения. Спектры излучения или поглощения представляют собой распределения интенсивности испускаемого или поглощаемого веществом излучения по длинам волн или частотам. При исследовании спектров понятие интенсивности употребляют чаще как величину пропорциональную мощности излучения приходящейся на рассматриваемую спектральную линию и выражают ее в относительных...
45004. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА 224.5 KB
  Снять зависимость задерживающего напряжения от частоты излучения. Поглощение оптического излучения веществом часто сопровождается электрическими явлениями которые получили название фотоэлектрического фотоэффекта. ВНЕШНИМ ФОТОЭФФЕКТОМ называется явление испускания электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Характер зависимости фототока I от разности потенциалов между анодом и катодом U при постоянной интенсивности падающего на фотокатод монохроматического излучения приведен на Рис .
45005. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА 493.5 KB
  Измерить показатели преломления материала призмы для различных длин волн спектра ртутной лампы. Построить зависимость показателя преломления материала призмы от длины волны света.Показатель преломления. Абсолютный показатель преломления вещества равен отношению фазовой скорости света в вакууме к фазовой скорости света в веществе: n = c v.
45006. ОСНОВЫ РЕФРАКТОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 295 KB
  Изучение законов преломления и отражения света и методики измерения показателя преломления.Определение зависимости показателя преломления от концентрации глицерина поваренной соли в водном растворе. Законы преломления и отражения света. Аналогично вводятся угол отражения угол β и угол преломления угол γ.
45007. ОПТИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГОНИОМЕТРА Г-5 542 KB
  Измерить углы между гранями стеклянной призмы. Измерение углов призмы методом отражения. Схема измерения углов призмы методом отражения углы между нормалями к граням призмы. Призму устанавливают таким образом чтобы пучок света идущий из коллиматора отражаясь от одной из граней призмы давал в перекрестии сетки окуляра изображение щели...
45008. ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ 412 KB
  Атомы излучают световые волны независимо друг от друга поэтому световая волна излучаемая телом в целом в течение некоторого времени наблюдения характеризуется всевозможными равновероятными колебаниями светового вектора рис. рис. Волна называется поляризованной по кругу или волной с циркулярной поляризацией если конец вектора E описывает в фиксированной плоскости перпендикулярной направлению распространения волны окружность рис. Рис.
45009. АНАЛИЗ ПОЛЯРИЗАЦИИ ЛАЗЕРНОГО СВЕТА 664 KB
  Изучить типы поляризации света и методы их описания. Ознакомиться с методикой анализа поляризации света. Провести анализ поляризации лазерного излучения. Определить угол Брюстера и показатель преломления стекла на длине волны излучения лазера.
45010. Дифракция Фраунгофера 481 KB
  Цель работы: изучение дифракции Фраунгофера на одной щели и на дифракционной решетке. Основные положения дифракции света. Необходимо отметить также что при дифракции за препятствием возникает перераспределение светового потока. Однако принцип Гюйгенса не дает информации об интенсивности волн распространяющихся в различных направлениях и не объясняет перераспределение светового потока при дифракции.