37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31264. (ДИПЛОМНАЯ РАБОТА) МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ 116.5 KB
  Объект работы - это правовое явление, одно из направлений юридической деятельности, совокупность общественных отношений, являющаяся источником информации о рассматриваемой сфере. Предмет работы должен характеризовать тему выпускной квалификационной работы и включать в себя свойства и стороны объекта, которые следует рассмотреть в обозначенной теме, установив пределы рассмотрения.
31265. Методичні вказівки щодо практичних занять з навчальної дисципліни "Вступ до електромеханіки" для студентів денної форми навчання з напряму 6.050702 – «Електромеханіка» 12.37 MB
  5 Практичне заняття № 2 Розрахунок потужності приводного двигуна типових промислових механізмів. 17 Практичне заняття № 3 Розрахунок потужності приводного двигуна електромеханічної системи за тахограмою. 39 Практичне заняття № 6 Механічні характеристики й розрахунок опорів двигуна постійного струму. Розрахунок приведених моментів інерції та моментів опору електромеханічних систем Мета: опанувати методи і набути навичок розрахунків характеристик сумісної роботи двигуна й робочого механізму...
31266. ВИПРОБУВАННЯ, РЕМОНТ, ДІАГНОСТИКА ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНОГО ОБЛАДНАННЯ 13.6 MB
  50 Лабораторна робота № 5 Налагоджувальні роботи для двигунів постійного і змінного струму . Мегомметр – пристрій який застосовується для вимірювання опору ізоляції електроустаткування проводів і кабелів постійному струму. Мегомметр складається з ґенератора постійного струму та вимірювального приладу що міститься в одному корпусі. Усі вони призначені для вимірювання напруги постійного та змінного струмів величини струму та опору постійному струму.
31267. Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни “Елементи електроприводу та тренажери електромеханічних комплексів” 15.81 MB
  5 Лабораторна робота № 2 Дослідження датчиків струму і напруги. 12 Лабораторна робота № 3 Дослідження блоку датчиків струму і напруги. 20 Лабораторна робота № 4 Дослідження тиристорних реґуляторів постійної та змінної напруги . Під час проведення лабораторних занять студенти повинні визначати швидкість обертання за допомогою електромашинного та фотоелектричного датчиків швидкості; вимірювати струм і напругу за допомогою датчиків розраховувати якісні показники струму і напруги; працювати з системою імпульснофазового...
31268. Методичні вказівки щодо виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни “Елементи електропривода та тренажери електромеханічних комплексів” (частина ІІ) 8.45 MB
  Під час проведення лабораторних занять студенти повинні визначати швидкість обертання за допомогою електромашинного та фотоелектричного датчиків швидкості; вимірювати струм і напругу за допомогою датчиків розраховувати якісні показники струму і напруги; працювати з системою імпульснофазового керування тиристорами; набувати навичок керування двигунами постійного струму за допомогою тиристорних перетворювачів реверсивних та нереверсивних широтноімпульсних перетворювачів. Короткі теоретичні відомості Одним із способів реґулювання напруги...
31269. ЕЛЕМЕНТИ ЕЛЕКТРОПРИВОДА ТА ТРЕНАЖЕРИ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ КОМПЛЕКСІВ 329 KB
  Рекомендації щодо вивчення матеріалу Під час вивчення цього розділу студенту необхідно розглянути побудову та принцип дії систем збору та обробки даних призначених для обробки інформації в системах автоматичного електропривода. Студент ознайомиться з принципами побудови та прикладами використання датчиків АЦП та ЦАП засвоїть необхідність використання гальванічної розв’язки і нормування сигналів у інформаційній частині ЕП. Рекомендації щодо вивчення матеріалу Вивчаючи дану тему студенту необхідно ознайомитись з принципом дії основних типів...
31270. ЕЛЕКТРОНІКА ТА МІКРОСХЕМОТЕХНІКА 951 KB
  050702 ЕЛЕКТРОМЕХАНІКА КРЕМЕНЧУК 2011 Методичні вказівки щодо виконання курсової роботи з навчальної дисципліни “ Електроніка та мікросхемотехніка †для студентів усіх форм навчання за напрямками 6. Сергієнко ЗМІСТ Вступ 4 1 Мета та задачі курсового проектування 4 2 Тематика курсових робіт 4 3 Порядок виконання курсової роботи 4 4 Структура курсової роботи 6 5 Порядок захисту курсової роботи 7 6 Критерії оцінювання курсової роботи 7 7 Зміст курсової роботи 8 8 Вимоги що до оформлення курсової роботи 9 ДОДАТОК А. Виконання курсової...
31271. ЕЛЕМЕНТИ ЕЛЕКТРОПРИВОДА ТА ТРЕНАЖЕРИ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ КОМПЛЕКСІВ 8.84 MB
  Перелік практичних робіт 5 Практична робота № 1 Обробка експериментальних даних в пакеті MthCD 5 Практична робота № 2 Дослідження схем та принципу дії перетворювачів частотанапруга і напругачастота 9 Практична робота № 3 Дослідження схем включення та основних параметрів датчиків струму та напруги. Наведено приклад обробки експериментальних даних сигналів датчиків швидкості струму напруги. Обробка експериментальних даних у пакеті MthCD Мета: набуття навичок обробки експериментальних даних за допомогою математичного...
31272. Складання схеми електропостачання цеху 1.7 MB
  На вибір схеми і конструктивне виконання цехової мережі впливають такі фактори як категорія надійності живлення ПЕЕ розміщення на території цеху номінальні струми і напруги. Такі схеми виконують за допомогою комплектних шинопроводів типу ШРА на струми до 630А додатки 1 табл.8 Визначення повної розрахункової потужності і розрахункового струму : . Застосовування вимикачів навантаження які здатні відключати робочі струми трансформаторів замість силових вимикачів невеликої та середньої потужності здійснюється з метою зниження...