37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80831. ОСОБЕННОСТИ И МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ И ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ОРГАНАХ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ВЛАСТИ И МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ 44.64 KB
  На основе анализа ситуации и определения критериев разрабатывается как можно большее количество возможных вариантов решений из которых составляется база данных. Методы принятия решений: 1 индивидуальный решения принимаются непосредственно ответственным лицом руководителем; 2 коллективный решения принимаются в процессе делового совещания мозгового штурма или руководитель сформулировав проблему в письменном виде дает приказание специалистам способным привнести существенный вклад в ее разрешение внести свои предложения. Для этого...
80832. УПРАВЛЯЕМЫЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И ПОЛИТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ИХ СВЯЗИ И ОСОБЕННОСТИ, КЛАССИФИКАЦИЯ 44.67 KB
  В социальноэкономических и политических процессах особый интерес представляют управляемые процессы т. Социальные управляемые процессы включают в себя: деятельность направленную на сохранение жизни и здоровья человека его физическое развитие организацию дошкольного и специального трудового воспитания на создание жилищных коммунальных торговых и бытовых условий обеспечение коммуникациями и поддержание других важных составляющих в которых выражаются эти процессы воспроизводства и общения человека. Экономические управляемые процессы...
80833. ОБЩЕНАУЧНЫЕ И КОНКРЕТНО-ПРЕДМЕТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ПОЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 49.34 KB
  Общенаучные методы исследования можно разделить на две большие группы: эмпирические и мыслительнологические методы.мыслительнологические методы: формализация исследование объектов когда их содержание познается с помощью выявленных элементов его формы; аналогия сходство предметов в каких либо свойствах или признаках причем в целом эти предметы различны; абстрагирование процесс мысленного выделения определенных свойств признаков и отношений некоторых объектов явлений и процессов; доказательство процесс установления истинности...
80834. ПРОГРАММА И ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ И ПОЛИТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 46.59 KB
  Программа исследования – комплекс основных положений определяющих проведение исслед. актуальность исследования цели и задачи объект и предмет рабочая гипотеза научный подход методы исслед. ресурсное обеспечение предполагаемый результат и ожидаемая эффективность исслед.
80835. ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКА ЗВЕНЬЕВ ФИНАНСОВО-КРЕДИТНОЙ СИСТЕМЫ ГОСУДАРСТВА 46.87 KB
  В бюджетную систему России входят бюджеты трех уровней являясь ее самостоятельными частями. К ним относятся государственные бюджеты двух уровней: а Федеральный бюджет; б Бюджеты субъектов Федерации – республиканские бюджеты республик в составе РФ; краевые областные бюджеты краев и областей городские бюджеты городов Москвы и СанктПетербурга областной бюджет автономной области и окружные бюджеты автономных округов. Третий уровень – местные бюджеты к которым относятся бюджеты муниципальных образований бюджеты районов городов и других...
80836. ФИНАНСОВЫЙ БАЛАНС МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 46.41 KB
  Баланс финансовых ресурсов составляется в соответствии с БК РФ и используется при составлении проекта бюджета. Показатели баланса фин ресурсов формируются на основе прогноза социальноэкономического развития и отчетного баланса фин ресурсов за предыдущий год. Баланс финресурсов позволяет выявить действительный объем и движение всех финансовых ресурсов отразить последовательно и во взаимосвязи их движение включая образование финресурсов передачу в централизованные фонды государства федеральный и региональный уровни получение ресурсов...
80837. ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ЭТАПОВ БЮДЖЕТНОГО ПРОЦЕССА ГОСУДАРСТВА 45.96 KB
  главные администраторы администраторы доходов бюджета; 10. главные администраторы администраторы источников финансирования дефицита бюджета. Основные задачи бюджетного процесса: выявление материальных и финансовых резервов государства; максимально приближенный к реальности расчет доходов бюджетов; максимально точный расчет расходов бюджетов; обеспечение максимальной сбалансированности бюджетов; согласование бюджетов с реализуемой экономической программой; осуществление бюджетного регулирования в целях перераспределения источников...
80838. ЗАКОНОМЕРНОСТИ, ПРИНЦИПЫ И ФАКТОРЫ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 44.34 KB
  Производительные силы – система субъективных человек и вещественных элементов осуществляющих обмен веществ между человеком и природой в процессе общественного производства. Для современного состояния экономического развития особое значение приобретает рациональное размещение производительных сил позволяющее обеспечивать нам наибольшую эффективность производства получать максимальную прибыль при бережном рациональном использовании природноресурсного потенциала сохранении и улучшении экологических условий жизни населения. Современное...
80839. РЕГИОНАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА ГОСУДАРСТВА, ЦЕЛИ И ПОКАЗАТЕЛИ СОЦИАЛЬНО – ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНОВ 50.53 KB
  развития регионов является улучшение качества жизни населения. Среди тактических целей развития региона города можно назвать: привлечение новых видов бизнеса; расширение существующего бизнеса развитие малого бизнеса центра города сферы услуг повышение уровня занятости населения региона привлечение средств нас. развития региона: 1 Индекс Развития Человеческого Потенциала.