37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76782. Мышцы живота 183.58 KB
  Мышцы передней брюшной стенки прямые: правая и левая – начинаются узкими длинными пучками от лобковых гребней и лобкового симфиза прикрепляются к наружной поверхности хрящей YYII ребер широкими лентовидными полосами; по своему ходу мышечные пучки прерываются 34 сухожильными поперечными перемычками которые срастаются с влагалищем прямых мышц; влагалище прямой мышцы образуется из апоневрозов косых и поперечных мышц живота так что передняя и задняя стенки его имеют неодинаковое строение: над межостистой линией обе стенки влагалища...
76783. Паховый канал 180.59 KB
  Его четыре стенки образуются: верхняя – нижними краями внутренней косой и поперечной мышц живота; нижняя – паховой связкой важным клиникоанатомическим ориентиром особенно при отличии паховой грыжи от бедренной и наоборот; передняя – апоневрозом наружной косой мышцы; задняя – поперечной фасцией рыхло прилежащей к париетальной брюшине. Медиальнонижняя оконечность кольца образована загнутой связкой из латеральной ножки апоневроза и паховой связки; латеральноверхняя округлость состоит из межножковых фиброзных волокон собственной...
76784. Диафрагма. Послойное строение диафрагмы 181.04 KB
  Послойное строение диафрагмы сверху вниз: диафрагмальная плевра: правая и левая между ними по средине – диафрагмальный листок перикарда; подплевральная клетчатка и верхняя диафрагмальная фасция часть внутригрудной фасции; мышца диафрагмы и ее сухожильное растяжение; нижняя диафрагмальная фасция – часть внутрибрюшной фасции; подбрюшинная клетчатка и диафрагмальная брюшина. Все три части в середине диафрагмы сходятся образуя фиброзное растяжение – сухожильный центр который со стороны грудной полости имеет в середине перикардиальное...
76785. Мышцы шеи 193.78 KB
  Поверхностная мышечная группа состоит из подкожной и грудино-ключично-сосцевидной мышц, окруженных поверхностной пластинкой шейной фасции. Средняя группа (мышцы, связанные с подъязычной костью) включает надподъязычные мышцы: челюстно-подъязычную, подбородочно-подъязычную, шилоподъязычную, двубрюшную и подподъязычные мышцы: лопаточно-подъязычную, грудино-подъязычную, грудино-щитовидную, щитоподъязычную.
76786. Мимические мышцы 181.98 KB
  В процессе развития мимические мышцы совершают большие миграции но сохраняют иннервацию от лицевого нерва. Лицевые мышцы сокращаясь формируют выражение лица мимику участвуют в регуляции дыхания артикуляции речи жевании. Мышцы свода черепа Надчерепная мышца состоит из трех частей: лобной затылочной и сухожильного шлема между ними который образует апоневроз затылочнолобной мышцы.
76787. Жевательные мышцы 184.17 KB
  Из промежуточной части – с началом от внутренней поверхности скуловой дуги и суставного бугорка височной кости и прикреплением к наружной поверхности ветви нижней челюсти ниже ее вырезки. Из глубокой части начинающейся от внутренней поверхности скуловой дуги и прикрепляющейся к наружной поверхности мыщелкового отростка и сухожилию височной мышцы. Височная мышца заполняет веерообразно височную яму и состоит: из поверхностного слоя начинающегося от верхней височной линии теменной кости височной фасции и прикрепляющегося к наружной...
76788. Мышцы и фасции плечевого пояса 183 KB
  Под мышцей в области большого плечевого бугра располагается поддельтовидная синовиальная сумка. Кровоснабжение – из торакоакромиальной пекторальной задней огибающей артерий которые анастомозируют в области плечевого сустава с артериями надлопаточной из подключичной окружающей лопатку из подмышечной образуя артериальную сеть. Дельтовидный мускул иннервируется от подмышечного нерва плечевого сплетения.
76789. Мышцы и фасции плеча 180.63 KB
  Функция: сгибание и приведение плеча поворот кнаружи. Двуглавая мышца плеча с короткой и длинной головками начало короткой от клювовидного отростка длинной – от надсуставного лопаточного бугорка. Обе головки на средине плеча сливаются в единое брюшко переходящее в сухожилие с прикреплением к бугристости лучевой кости.
76790. Мышцы и фасции предплечья 184.67 KB
  Плечелучевая мышца с началом от латерального надмыщелкового гребня плеча и латеральной межмышечной перегородки и с прикреплением длинного плоского сухожилия на латеральной поверхности дистального конца лучевой кости. Кровоснабжается лучевой артерией и ее возвратной ветвью коллатеральной лучевой артерией иннервируется лучевым нервом. Круглый пронатор с началом от медиального надмыщелка и медиальной межмышечной перегородки плеча фасции предплечья и от венечного отростка локтевой кости – с прикреплением к середине диафиза лучевой кости....