37836

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Лабораторная работа

Физика

Метод Ньютона Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения систем нелинейных алгебраических уравнений СНАУ или в векторной форме 2. Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Построение k1го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы 2.3 при этом вектор поправки находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений 2.

Русский

2013-09-25

247 KB

25 чел.

Лабораторная работа № 2

РЕШЕНИЕ  СИСТЕМ  НЕЛИНЕЙНЫХ  АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ  МЕТОДОМ  НЬЮТОНА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод Ньютона, исследовать его точность и эффективность на тестовых задачах.

Метод Ньютона

Многие прикладные задачи радиофизики и электроники требуют решения  систем нелинейных алгебраических  уравнений (СНАУ)

или в векторной форме

, (2.1)

где – вектор-столбец переменных, – вектор-столбец функций, – n-мерное векторное пространство.

Для численного решения таких систем используются итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательности сходящейся при  к точному решению .

Различают одношаговые и многошаговые итерационные методы. В m-шаговом итерационном методе при построении приближения  используются приближения  на m предыдущих шагах. Общую схему наиболее распространенных на практике так называемых неявных одношаговых методов можно представить в виде

,

при этом – [nxn]-неособенная матрица, задающая итерационный процесс, – числовой параметр. Построение (k+1)-го приближения в этой схеме осуществляется посредством решения линейной системы

, (2.2)

где

.

Если  для всех , здесь– [nxn]-единичная матрица, то итерационный метод называют явным, так как в этом случае  Метод является стационарным, когда  и  не зависят от номера итерации, и нестационарным в противном случае.

Качество итерационных методов оценивают по скорости сходимости, определяя ее как степень уменьшения нормы вектора погрешности при выполнении одного итерационного шага:

,

где – коэффициент сжатия, – порядок метода. Если , то итерационный метод имеет линейную сходимость, при – квадратичную сходимость.

Наиболее часто применяемым на практике при решении систем нелинейных алгебраических уравнений является метод Ньютона, который сочетает в себе квадратичную сходимость с удобством реализации. Он основан на линеаризации системы (2.1) с помощью разложения  в ряд Тейлора.

Предположим, что известно k-е приближение  к точному решению  системы (2.1). Следующее (k+1)-е приближение в методе Ньютона вычисляется как

,  (2.3)

при этом вектор поправки  находится путем решения системы линейных алгебраических уравнений

, (2.4)

где  – [nxn]-матрица Якоби, определяемая следующим образом:

.

Из сравнения соотношений (2.2) и (2.4) следует, что метод Ньютона является одношаговым, неявным, нестационарным итерационным правилом.

На каждом шаге итерационного ньютоновского процесса необходимо вычислить вектор невязки , матрицу Якоби , решить систему линейных алгебраических уравнений (2.4) относительно вектора-поправки , определить новое приближение  по уточняю-щей формуле (2.3).

Критерием завершения итерационного процесса является одновременное выполнение условий:

     и   , (2.5)

где

,

– константы, определяющие погрешность решения (они задаются в качестве исходных данных). Эти условия свидетельствуют о том, что в точке приближенного решения задачи становятся меньше заданных как норма вектора невязки, так и норма вектора изменения решения на одной итерации.

Для предотвращения зацикливания следует задать также предельное число итераций, по достижению которого необходимо принудительно  завершить вычисления с сообщением . Причиной зацикливания может быть погрешность решения линейной системы, не позволяющая достичь требуемую  точность.

Описание алгоритма

Алгоритм решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона реализуется следующим образом:

Алгоритм 2.1

  1.  Ввести начальное приближение , параметры  и , предельное число итераций  и положить .
  2.  Вывести на экран шапку таблицы, содержащей информацию о сходимости метода: номер итерации,  и .
  3.  Вычислить вектор невязки:

.

  1.  Вычислить матрицу Якоби:

.

  1.  Решить систему линейных алгебраических уравнений

.

  1.  Уточнить решение:

.

  1.  Вычислить по формулам (2.5) и вывести на экран текущие значения  и , текущий номер итерации.
  2.  Проверить критерий (2.5) завершения итерационного процесса. Если этот критерий выполняется, то выйти из программы.
  3.  Проверить условие . Если это условие имеет место, то выйти из итерационного процесса с сообщением .

10. Положить  и перейти к п. 3.

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (табл. 2.1), программу численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона. Вычисления выполнить для  от начального приближения, приведенного в таблице в порядке .

Содержание электронного  отчета

  1.  Текст  программы.
  2.  Задача, результаты ее решения, характеристики , представленные таблично:

1

2

Таблица 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

1

(1;   1)

2

(0.5;   0.2)

3

(-1.5;   1.5)

(-1;   1)

4

(1;   0)

5

(1;   1)

(2;   1.5)

(-3;   -1.5)

6

(1;   1)

7

(1;   -1)

(-1;   1)

8

(3;   2)

(3;   -2)

9

(1;   1)

10

(1;   1)

11

(1;   1); (-1;   -1)

12

(1;   0)

13

(1;   1);  (1;   -1)

14.

(1;   1)

Продолжение табл. 2.1

Система уравнений

Начальное приближение

15

(1.2;   1.3)

16

(0;   1)

17

(1;   1)

18

(1;   1)

(-1.;   1)

19

(1;   1)

(-1;   -1)

20

(0;   0;   0)

21

(1;   1;   1)

22

(1;   2.2;   2)

23

(1;   1;   1)

24

(1;   1;   1;   1)

(10; 10; 10; 10)

(100;  100;

100;  100)

14


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26269. Регулирование минерального питания растений в процессе вегетации 109 KB
  Цель тканевой диагностики выявление необходимости ранней азотной подкормки. Азотные подкормки проводят при показаниях прибора ОАП1 от 1 до 4 баллов или при бледнорозовой окраске индикаторной бумаги. При 41 55 балла применение поздней азотной некорневой подкормки улучшает качество зерна. Необходимость подкормки для улучшения качества зерна определяют по количеству общего азота в листьях пшеницы в фазы колошения цветения.
26270. Особенности почвенно-ландшафтного картографирования и формирования агроГИС для проектирования агротехнологий 72.5 KB
  Сформировать представление о почвенноландшафтном картографировании земель и умение пользоваться агроГИС для проектирования агротехнологий. Ключевые слова: агропроизводственные группировки почв; почвенноландшафтные карты АгроГИС электронные картслои лцифровка GPS Геоморфологическая карта карта СПП карта видов земель базы данных. Разработать карту агроэкологических видов земель в агроГИС на основе материалов почвенноландшафтного картографирования и набора тиматических электронных карт земельного массива фонды кафедры почвоведения...
26271. Абиотические и биотические факторы стресса, влияющие на продуктивность растений 602 KB
  Лекция: Абиотические и биотические факторы стресса влияющие на продуктивность растений Цели и задачи. Технологические повреждения растений. Под стрессом понимают нагрузку на организм которая вызывает сначала дестабилизацию потом нормализацию и повышение устойчивости а при превышении приспособляемости адаптируемости и способности соответствующих механизмов к компенсации отрицательного влияния отмирание целых растений или их частей. С одной стороны стресс мешает максимальной реализации генетического потенциала культурных растений но с...
26272. Применение сенсорной техники при дифференцированном внесении гербицидов (сенсоры сорняков) 120 KB
  Если имеется гетерогенное распределение сорняков при периодической борьбе с сорняками дифференциация расхода гербицида приносит экономические преимущества экономия производственных средств. Внесение гербицидов по потребности требует при дозировке ориентироваться на наличие сорняков. Это предполагает мелкоплощадное установление наличия сорняков.
26273. Точное земледелие 418 KB
  GPSприёмник и бортовой компьютер с программным обеспечением. Например с помощью мобильного радиоуправляемого самолета смонтированных на нем GPSприемника и видеокамеры можно получить информацию о распределении сорняков в пределах заданного поля. Наличие же GPSприемников совершенно необходимо для рассмотренного выше режима offline . Этапы 12 выполняются по стандартным методикам с использованием мобильного GPSнавигатора.
26274. Урожайность яровой пшеницы (т/га) на выщелоченных черноземах в производственных опытах СибНИИЗХим, Новосибирская область 263.5 KB
  Порядок формирования технологий возделывания сельскохозяйственных культур, их региональные и федеральные регистры. Наборы технологий разрабатывают применительно к различным агроэкологическим группам земель, для разных уровней интенсификации производства и категорий товаропроизводителей на основе нормативов.
26275. Архивное законодательство в 2000-е гг 56 KB
  Последнему непосредственно подчинены 15 федеральных государственных архивов Архивы в системе архивной службы РФ Федеральному архивному агентству непосредственно подчиняются 15 федеральных государственных архивов Всероссийский научноисследовательский институт документоведения и архивного дела ВНИИДАД и 1 обслуживающая организация.2004 Положение о ФАА положение регламентирует отношения сроки сферу использования сеть архивов обязанности сторон отраслевые фонды имеющие право постоянного хранения документов. принимает решение о выдаче...
26276. Организация комплектования Архивного Фонда Российской Федерации и других архивных документов 21.85 KB
  Целью комплектования является наиболее полная концентрация в архиве профильных ему документов. Мероприятия входящие в понятие комплектования: Определение состава источников; ЭЦД и НТО; Прием документов в государственные муниципальные архивы. Понятие источник комплектования появилось в 1940ые годы это учреждения или лица непосредственно передающие документы в государственные или ведомственные архивы.
26277. Теоретические основы и организация проведения экспертизы ценности документов Архивного Фонда Российской Федерации и других архивных документов 33.06 KB
  Отбор документов на гос.выделение документов к уничтожению 5. Систему составляют три группы критериев: происхождение документов их содержание и внешние особенности.