37843

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод среднеквадратического приближения функций заданных набором экспериментальных данных называется методом наименьших квадратов МНК. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для среднеквадратического приближения функции полиномом степени . Метод наименьших квадратов наиболее просто применить когда искомые параметры входят в аппроксимирующую зависимость линейно.

Русский

2013-09-25

304 KB

100 чел.

Лабораторная работа № 4

ПРИБЛИЖЕНИЕ  ФУНКЦИЙ  МЕТОДОМ  НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить и программно реализовать на языке высокого уровня метод наименьших квадратов, исследовать его на тестовых задачах.

Элементы теории

В вычислительной практике часто возникает задача восстановления функции  на отрезке  , если известны ее значения  в отдельных фиксированных  точках  отрезка. Такая задача имеет место при табличном задании функции. Значения  в этом случае –  продукт измерения физической величины на наборе  аргумента . Чтобы приближенно восстановить функцию на всем отрезке , строят аппроксимирующую функцию , расчеты по которой в определенном смысле приближаются к экспериментально полученным значениям.

К табличному заданию функции прибегают также в том случае, когда аналитический вид функции  известен, но сложен и требует большого объема вычислений для определения ее отдельных значений. Над такой функцией, кроме того, трудно выполнить математические операции дифференцирования и интегрирования. Замена  приближенной функцией  позволяет упростить вычисления. Для этого по известному выражению  вычисляют небольшую таблицу ее значений и по ним, как и ранее, строят аппроксимирующую функцию .

В качестве аппроксимирующей функции  наиболее часто используют степенной полином

 (4.1)

при этом порядок полинома . Такую аппроксимацию называют полиномиальной. Она очень удобна, так как степенные полиномы просты по форме, легко вычисляются, дифференцируются и интегриру-  ются.

Для  периодической функции  в качестве  выбирают тригонометрические многочлены. Если аппроксимируемая функция обращается в бесконечность в заданных точках или вблизи них, то строят в классе рациональных функций.

Рассмотрим теперь, как вычисляются коэффициенты в (4.1) при полиномиальной аппроксимации.  Если значения  заданы точно, то коэффициенты  выбираются таким образом, чтобы значения полинома  в точках   совпадали с заданными значениями . Такую аппроксимацию назы-вают интерполяцией. Порядок полинома при интерполяции однозначно определяется количеством узлов интерполяции (так называют точки ):

.

Искомые коэффициенты полинома являются решением системы

 

число уравнений в которой совпадает с количеством неизвестных коэффициентов и узлов интерполяции.

При табличном задании функции приближенными значениями, полученными из эксперимента, не имеет смысла привлекать интерполяцию и  требовать совпадения  и  в точках. Ошибки измерения  функции  в узловых точках  будут внесены в интерполяционный полином и исказят истинную картину ее поведения. Как показывает практика,  в этом случае лучше аппроксимируют функции, построенные по методу среднеквадратического приближения.

При среднеквадратическом приближении за меру близости функций  и  принимается величина

,

где  – заданная неотрицательная весовая функция, учитывающая неодинаковую точность измерения  в точках .

Метод среднеквадратического приближения функций, заданных набором экспериментальных данных, называется методом наименьших квадратов (МНК).  МНК широко используется для обработки результатов измерения, оценки параметров известной зависимости, подбора вида зависимости, сглаживания и дифференцирования результатов наблюдений, идентификации и оценки параметров систем.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для среднеквадратического приближения функции  полиномом  степени .  Пусть  – приближенные значения функции  в точках . Среди многочленов степени  найдем многочлен, обеспечивающий минимум выражению

 

Для определения значений коэффициентов полинома, обращающих  в минимум, приравняем к нулю частные производные от  по т. е.

 (4.2)

После несложных преобразований соотношений  (4.2) получим систему линейных алгебраических уравнений – го порядка (эти уравнения называют нормальными) относительно неизвестных коэффициентов :  (4.3)

Анализ системы (4.3) свидетельствует о том, что для ее формирования необходимо вычислить и запомнить в одномерном массиве  сумм вида

, (4.4)

являющихся значениями коэффициентов нормальных уравнений, и  таких сумм, как

,

представляющих правые части этих уравнений. Используя элементы одномерного массива, хранящего суммы (4.4), нетрудно сформировать матрицу коэффициентов системы (4.3), учитывая, что матрица коэффициентов имеет одинаковые значения вдоль каждой восходящей диагонали.

Коэффициенты  вычисляются путем решения системы линейных алгебраических уравнений (4.3), например, методом Гаусса. Являясь функцией случайных величин, эти коэффициенты также будут случайными, т. е. полученные значения  будут только оценками истинных значений. Для того, чтобы найти их точность, необходимо определить числовые характеристики их законов распределений.

Качество МНК-аппроксимации принято характеризовать остаточной дисперсией

 (4.5)

где – число степеней свободы. Из (4.5) следует, что из  наблюдений для определения коэффициентов полинома с помощью условных уравнений (4.3) достаточно использовать только  наблюдений. Остальные  наблюдения используются для уточнения оценок коэффициентов, т. е. уменьшения их рассеяния вокруг истинного значения – математического ожидания и уменьшения степени их взаимосвязи – коэффициентов ковариации, отражающих то обстоятельство, что оценки получены по одному и тому же статистическому материалу.

Замечание. Метод наименьших квадратов наиболее просто применить, когда искомые параметры входят в аппроксимирующую зависимость линейно. Более сложные приближающие функции сводят к многочленным путем  замены переменных (если это возможно). Например, зависимость  преобразуют  к  заменой .

Описание алгоритма

Алгоритм МНК-аппроксимации реализуется следующим образом:

Алгоритм 4.1

  1.  Ввести табличные данные  (если аппроксимирующая функция  нелинейна относительно коэффициентов аппроксимации, то предварительно следует линеаризовать ее путем походящей замены переменных).
  2.  Ввести число измерений  и степень аппроксимирующего полинома
  3.  Вычислить суммы  и разместить их в одномерном массиве размером .
  4.  Сформировать  матрицу коэффициентов  размером  путем выполнения операции присваивания:
  5.  Сформировать правые части системы (4.3) по правилу:

  1.  Определить коэффициенты , решив методом Гаусса сформированную систему (4.3).
  2.  Вычислить по соотношению (4.5) остаточную дисперсию и на этой  основе среднеквадратическое отклонение .
  3.  Пересчитать коэффициенты, если это необходимо для перехода к исходной нелинейной аппроксимирующей функции , и напечатать их.
  4.  Вывести в графическом виде построенную функцию .

Задание

  1.  Написать, отладить и исследовать на задаче, предложенной преподавателем (см. ниже перечень задач), программу приближения функций методом наименьших квадратов.

Содержание электронного  отчета

1.  Текст программы.

  1.  Задача, результаты ее решения, графики функций  и , таблица  

Задачи

1. Аппроксимировать искомую зависимость атмосферного давления (в мм. рт. ст.) от барометрической высоты (в км) функцией , используя экспериментальные данные:

H (км)

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

P (мм.р.с.)

760.0

674.8

598.0

528.9

466.6

410.6

360.2

2. Найти по методу наименьших квадратов приближенное представление многочленом 4-й степени функции по ее значениям в точках

3. Аппроксимировать многочленом второй степени такие данные:

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

3

87

156

210

238

252

239

211

158

90

-5

4. В теории резания зависимость скорости резания  (м/мин) от площади поперечного сечения стружки  (мм2) выражается эмпирической формулой  . Найти коэффициенты  и  методом наименьших квадратов, если заданы следующие значения   и :

F    (мм2)

1.1

1.4

1.7

2.1

2.6

4.7

6.1

v   (м/мин)

25.0

22.7

22.1

19.8

17.0

12.3

10.7

F    (мм2)

7.0

10.0

12.8

16.5

20.8

40.6

-

 (м/мин)

10.0

8.2

6.7

5.6

5.0

3.5

-

5. Зависимость коэффициента трения в подшипнике от температуры  выражается формулой  Найти  и  методом наименьших квадратов, если измерения дали такие результаты:

t

60

70

80

90

100

110

120

μ

0.0148

0.0124

0.0102

0.0085

0.0071

0.0059

0.0051

6. Результаты измерения сопротивления медного стержня при изменении температуры приведены в таблице:

19.1

25.0

30.1

36.0

40.0

45.1

50.0

76.30

77.80

79.75

80.80

82.35

83.90

85.0

Найти зависимость  методом наименьших квадратов.

7. В таблице приведены опытные данные зависимости теплоемкости воды C от температуры t (теплоемкость воды при  принята за единицу):

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

C

1.00762

1.00392

1.00153

1.00000

0.99907

0.99852

t

30

35

40

45

50

55

C

0.99826

0.99818

0.99828

0.99849

0.99878

0.99919

t

60.0

65.0

70.0

75.0

80.0

85.0

C

0.99967

1.00024

1.00091

1.00167

1.00253

1.00351

t

90.0

95.0

100.0

-

-

-

C

1.00461

1.00586

1.00721

-

-

-

Найти методом наименьших квадратов аппроксимирующий полином третьей степени.

8. Аппроксимировать полиномом второй степени по результатам десяти измерений зависимость скорости течения v (м/сек) от относительной глубины D:

D

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

v  (м/сек)

0.957

0.969

0.976

0.978

0.975

D

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

v  (м/сек)

0.968

0.954

0.939

0.918

0.894

9. При исследовании скорости истечения жидкости из щели получены данные (H напор жидкости, μ – коэффициент истечения):

H

0.164

0.328

0.656

0.984

1.312

1.640

μ

0.448

0.432

0.421

0.417

0.414

0.412

Найти методом наименьших квадратов коэффициенты уравнения

10. При падении парашюта в воздухе проведены измерения скорости падения v (м/с) и давления на поверхность парашюта P (кг/см2 ):

v (м/с)

2.40

3.50

5.00

6.89

10.00

P (кг/см2)

0.0141

0.0281

0.0562

0.1125

0.2250

Найти методом наименьших квадратов коэффициенты уравнения  P = a+ b v2.

11. В зависимости от времени t содержание влаги y в % от сухого остатка описывается экспериментальной зависимостью . По приведенным ниже данным эксперимента определить параметры a и b:

t (c)

0

20

40

60

80

100

y (%)

29.5

18.4

11.9

8.6

5.0

3.3

12. Зависимость коэффициента теплоотдачи γ (ккал/м2ּчасּград) от горизонтальной стенки к кипящей воде от разности температур Δt  стенки и кипящей воды выражается формулой  Найти коэффициенты a и b, располагая опытными данными:

Δt°C

6.10

7.50

8.88

11.10

12.20

γ

3185

5390

6860

10045

12740

13. При исследовании влияния температуры на ход хронометра получены такие результаты:

t

5.7

9.6

16.0

24.4

29.8

34.4

ω

2.60

2.01

1.34

0.94

1.06

1.25

Зависимость хода хронометра от температуры может быть представлена функцией ω=ω15+(t-15)β+(t-15)2γ. Найти методом наименьших квадратов значения ω15, β, γ.

14.В таблице помещены результаты измерения скоростей         (в км/сек) и расстояний  (в мегапарсеках) для десяти туманностей:

x, мегапарсек

1.20

1.82

3.31

7.24

8.92

v, км/сек

630

890

2350

3810

4630

x, мегапарсек

9.12

10.97

14.45

22.91

36.31

v, км/сек

4820

5230

7500

11800

19600

Полагая зависимость v от x линейной, т. е. , оценить методом наименьших квадратов коэффициенты a и b.

15.Данные таблицы показывают зависимость между потерей в весе  (в %) и температурой  (в 0С) для 16 проб почвы:

t, 0 C

37.8

40.6

43.3

46.1

49.4

55.6

62.2

67.2

y, %

3.71

3.81

3.86

3.93

3.96

4.20

4.34

4.51

t, 0 C

72.8

81.7

88.3

95.0

100.0

107.8

113.9

121.7

y, %

4.73

5.35

5.74

6.14

6.51

6.98

7.44

7.76

Построить аппроксимацию  в виде полинома третьей степени.

31


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83634. Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках 161 KB
  Для концентрации магнитного поля и придания ему желаемой конфигурации отдельные части электротехнических устройств выполняются из ферромагнитных материалов. Векторные величины характеризующие магнитное поле Наименование Обозначение Единицы измерения Определение Вектор магнитной индукции Тл тесла Векторная величина характеризующая силовое действие магнитного поля на ток по закону Ампера Вектор намагниченности А м Магнитный момент единицы объема вещества Вектор напряженности магнитного поля А м где Гн м магнитная постоянная Основные...
83635. Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей 128 KB
  При этом для наглядности можно составить эквивалентную электрическую схему замещения исходной магнитной цепи с использованием которой выполняется расчет. При расчете магнитных цепей на практике встречаются две типичные задачи: задача определения величины намагничивающей силы НС необходимой для создания заданного магнитного потока заданной магнитной индукции на каком либо участке магнитопровода задача синтеза или ldquo;прямаяldquo; задача; задача нахождения потоков магнитных индукций на отдельных участках цепи по заданным...
83636. Нелинейные цепи переменного тока в стационарных режимах 136.5 KB
  Когда постоянная времени нагрева τ одного порядка с Т соотношения между переменными составляюшими напряжения и тока являются более сложными определяющими сдвиг по фазе между ними. Другой важной особенностью нелинейных элементов в цепи переменного тока является вызываемое ими появление высших гармоник даже при наличии в цепи только источников синусоидального напряжения и или тока. На этом принципе строится например ряд умножителей частоты а также преобразователей формы тока или напряжения.
83637. Графический метод с использованием характеристик по первым гармоникам 130 KB
  Основные этапы расчета: строится график зависимости нелинейного элемента для первых гармоник; произвольно задаются амплитудой одной из переменных например связанной с нелинейным элементом и по характеристике последнего находят другую переменную определяющую режим работы нелинейного элемента после чего принимая все величины синусоидально изменяющимися во времени на основании построения векторной диаграммы определяется амплитуда первой гармоники переменной на входе цепи; путем построения ряда векторных диаграмм для различных...
83638. Метод кусочно-линейной аппроксимации 134 KB
  Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи. Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа линейных не представляет труда. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая изображающая точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике переходя через точки излома.
83639. Метод эквивалентных синусоид (метод расчета по действующим значениям) 181 KB
  Катушка с ферромагнитным сердечником Нелинейная катушка индуктивности изображена на рис. Различают параллельную и последовательную схемы замещения катушки с ферромагнитным сердечником. Схемы замещения уравнения и векторные диаграммы для катушки c ферромагнитным сердечником Схема замещения Уравнения и соотношения для параметров Векторная диаграмма Параллельная Последовательная где где Примечание. Трансформатор с ферромагнитным сердечником Трансформатор с ферромагнитным сердечником изображен на рис.
83640. Переходные процессы в нелинейных цепях 165 KB
  На нелинейные цепи не распространяется принцип суперпозиции поэтому основанные на нем методы в частности классический или с использованием интеграла Дюамеля для расчета данных цепей не применимы. Отсутствие общности подхода к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений обусловило наличие в математике большого числа разнообразных методов их решения нацеленных на различные типы уравнений. Применительно к задачам электротехники все методы расчета по своей сущности могут быть разделены на три группы: аналитические методы...
83641. Графические методы анализа переходных процессов в нелинейных цепях 196.5 KB
  По сравнению с рассмотренными выше аналитическими методами они обладают следующими основными преимуществами: отсутствием принципиальной необходимости в аналитическом выражении характеристики нелинейного элемента что устраняет погрешность связанную с ее аппроксимацией; возможностью проведения расчетов при достаточно сложных формах кривых нелинейных характеристик. Метод фазовой плоскости Метод позволяет осуществлять качественное исследование динамических процессов в нелинейных цепях описываемых дифференциальными уравнениями первого и...
83642. Цепи с распределенными параметрами 159.5 KB
  Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями линии электропередачи передачи информации обмотки электрических машин и аппаратов и т. уже при к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами. Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами другое название длинная линия введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности сопротивления емкости и проводимости. Уравнения однородной линии в стационарном режиме Под первичными параметрами линии...