37958

Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

Лабораторная работа

Физика

Момент инерции.1] Список литературы Лабораторная работа № 1 Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса 1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции.

Русский

2013-09-25

318.5 KB

20 чел.

Содержание

[1] 1. Цель работы

[2] 2. Теоретическая часть

[2.1] 2.1. Момент инерции. Теорема Штейнера

[2.2] 2.2. Метод трифилярного подвеса

[3] 3. Приборы и принадлежности

[4] 4. Требования по технике безопасности

[5] 5. Порядок выполнения работы

[6] 6. Требования к отчету

[7] 7. Контрольные вопросы

[7.1] Список литературы


Лабораторная работа № 1

Определение моментов инерции твердых тел

методом трифилярного подвеса

1. Цель работы

1.1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.

1.2. Проверка теоремы Штейнера.

2. Теоретическая часть

2.1. Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки mi на квадрат ее расстояния до оси

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело

. (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

, (2.2)

где r – расстояние от элемента тела объемом dV до оси, относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как dm =  dV, где – плотность тела в данной области dV, то .

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

. (2.3)

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной  и радиуса . Объем такого слоя равен , где  – толщина диска.

С учетом (2.3) момент инерции диска

.

Вынесем за знак интеграла постоянный множитель

.

Введя массу диска , как произведение плотности  на объем диска , получим

. (2.4)

Из (2.4) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.4) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера. Согласно теореме Штейнера, момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями

. (2.5)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

2.2. Метод трифилярного подвеса

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса r (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO. При повороте нижнего диска на угол вокруг оси OO его перемещение равно h (рис. 2.3), а приращение потенциальной энергии

Eпm g h,

где m – масса нижнего диска.

Колеблющийся диск совершает вращательное движение, поэтому его кинетическая энергия равна

,

где J  момент инерции диска относительно оси OO,   угловая скорость диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол его поворота изменяется со временем по закону

,

где   амплитуда углового смещения,  период колебаний,

а изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота  равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где  – угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Отсюда момент инерции диска

. (2.6)

Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

.

Следовательно, максимальная угловая скорость  равна

. (2.7)

Высоту h, на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)

. (2.8)

Но

(2.9)

С учетом уравнений (2.9) уравнение (2.8) запишем в виде

.

При малых углах   , а  .

Таким образом

. (2.10)

Подставляя (2.7) и (2.10) в (2.6) получим

. (2.11)

Уравнение (2.11) можно применять не только для расчета момента инерции диска () относительно оси OO, но и для расчета момента инерции диска с грузами (J). Момент инерции груза () можно найти

. (2.12)

3. Приборы и принадлежности

Приборы и принадлежности:

- трифилярный подвес;

- набор тел (2 сплошных цилиндра, параллелепипед);

- электросекундомер;

- линейка.

4. Требования по технике безопасности

1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой.

2. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Обесточьте электросекундомер.

5. Порядок выполнения работы

В работе определяются моменты инерции:

- ненагруженного диска;

- диска с грузами;

- грузов.

Задание 5.4 выполняется по указанию преподавателя.

5.1. Определение момента инерции ненагруженного диска

1. Измерить радиус R нижнего диска, радиус r верхнего диска и длину L нитей. Масса диска = (0,8885±0,0001) кг.

2. Повернуть диск на угол 5-6 градусов вокруг оси OO и измерить электросекундомером время 20 полных колебаний.

3. Повторить измерения еще 2 раза и результаты записать в табл. 5.1.

4. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний период колебаний  

,

где n – число колебаний.

5. По формуле (2.11) вычислить момент инерции ненагруженного диска.

6. Рассчитать относительную и абсолютную погрешности измерения момента инерции диска .

Таблица 5.1

, кг

R, м

r, м

l, м

, с

,cp, с

, с

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

1

2

3

5.2. Определение момента инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Расположить исследуемое тело на диске так, чтобы его ось симметрии совпала с осью OO (рис. 2.3).

2. Повернув диск на 5-6 градусов вокруг оси OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний.

3. Рассчитать среднее время и определить период колебаний Т нагруженного диска

. (5.1)

4. По формуле 2.11 вычислить момент инерции Jc1 системы, принимая массу m равной сумме масс исследуемого тела и диска.

5. По формуле 2.12 определить момент инерции J1 цилиндра.

6. Рассчитать погрешности измерения момента инерции цилиндра.

7. Рассчитать момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

теорцил,

где mцил  масса цилиндра, r  радиус цилиндра.

8. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученные экспериментально и теоретически.

9. Внести результаты измерений и расчетов в табл. 5.2.

Таблица 5.2

m, кг

mцил, кг

t, с

tcp, с

T, с

,

кгм2

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

J1теор,

кгм2

1

2

3

5.3. Проверка теоремы Штейнера

1. Расположить строго симметрично на диске два цилиндра.

2. Повернув диск с цилиндрами на 5-6 градусов вокруг оси OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний. По среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний нагруженного диска.

3. По формуле (2.11) рассчитать момент инерции  системы, принимая массу m, равной массе диска и двух цилиндров (цил).

4. Определить момент инерции J2 одного цилиндра по формуле

.

5. Рассчитать погрешности измерения.

6. Теоретическое значение момента инерции цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, определить по формуле

теорцилцил,

где r  радиус цилиндра, mцил  масса цилиндра, d  расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра.

7. Результаты измерений внести в табл. 5.3.

8. Сравнить экспериментальное значение момента инерции сплошного цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, с теоретически рассчитанным значением.

Таблица 5.3

m, кг

t, с

tср, с 

T, с 

,

кгм2

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

теор,

кгм2

1

2

3

5.4. Проверка зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси

1. Расположить параллелепипед основанием на диске так, чтобы ось симметрии проходила через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, принимая массу m, равной массе диска и параллелепипеда (= m+ mпар).

4. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

Jпар =  ,

5. Расположить параллелепипед боковой гранью на диске так, чтобы параллелепипед был расположен симметрично относительно диаметра диска, а ось вращения проходила бы через его центр тяжести.

6. Три раза определить время t, за которое происходит 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний Т.

7. По формуле (2.11) вычислить момент инерции  нагруженного диска, используя значение периода Т.

8. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

Jпар =   ,

9. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.4.

10. Сравнить значения Jпар и Jпар.

Таблица 5.4

m, кг

t, с

tcp, с

T, с

t, c

tcp, c

,

кгм2

Jпар,

кгм2

,

 кгм2

Jпар,

кгм2

1

2

3

6. Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) номер и название лабораторной работы;

б) основные формулы для выполнения расчетов;

в) таблицы с результатами измерений и вычислений;

г) формулы для расчета погрешностей измерений;

д) выводы.

7. Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси? Что называется моментом инерции тела относительно оси?

2. В чем суть теоремы Штейнера?

3. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально?

4. В какие моменты времени абсолютное значение угловой скорости диска будет максимальным?

5. Какой закон сохранения применяется при выводе формулы для определения момента инерции экспериментальным путем? Сформулируйте его.

6. Выведите формулу для расчета момента инерции сплошного цилиндра относительно оси симметрии.

Список литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 1. - М.: Наука, 1998.

2. Детлаф А.Н., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2002.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2004.

PAGE  13


r

r

Рис. 2.1

φ

 dr

h

В1

O

O

В

A1

А

R

l

l1

L

r

О

h

O

Рис. 2.3

С

LL

R


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23586. Язык как деятельность. Опыт интерпретации концепции 1.38 MB
  Дается характеристика этого принципа и его места в философии и методологии рассматривается типология деятельностных представлений языка в лингвистике. Деятельностная ориентация в построении картины языка в ходе исторического пути лингвистической науки сменялась нередко прямо противоположной а иногда и сосуществовала с ней. После блистательного опыта деятельностной трактовки языка у Гумбольдта в лингвистике наблюдается охлаждение к деятельностному видению языка и попыткам построения теоретических концепций исходящих из понимания языка как...
23587. СЕМИОТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ (знак, схема, знание, семиотический организм, феномен человека). 440 KB
  Розин СЕМИОТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ знак схема знание семиотический организм феномен человека. Действительно возражая против социальнопсихологического подхода в семиотике ставящего природу знака в зависимость от понимания и других психических процессов человека Г. Дело в том что оно никак не учитывает роль актанта человека интерпретирующего и действующего. Это определение вызывает массу вопросов например стало ли нам понятнее от замены сходства на изоморфизм почему семиотические понятия Эко заменяет математическими и...
23588. Стереотипность и творчество в тексте: Межвузовский сборник С 79 научных трудов 934.5 KB
  ISBN 5794401192 Межвузовский тематический сборник посвящен актуальной и малоразработанной в функциональной стилистике проблеме стереотипности проявляющейся в разных функциональных стилях речи в частности конкретизации экстралингвистической основы развертывания текста некоторых подходов к изучению речевых жанров в текстах целых произведений а также средств и способов выражения устойчивых типов речи текстовых единиц и категорий в научных художественных публицистических разговорных и религиозных текстах. Сборник рассчитан на...
23589. Автоматизированные переводные словари. Принципы построения 11.5 KB
  Зона лексического грамматического класса ЛЕ по частям речи далее категоризация. Зона морфологической информации 4. Зона индекса надежности отражает степень общепринятости данного ПЭ: А официальный стандарт Б уважаемые словари В тетради новых терминов Г плавающие 6. Зона ПЭ при нескольких ПЭ у каждого свой номер 7.
23590. Лексикография как прикладная дисциплина. Внутренняя и внешняя типология словарей 19.5 KB
  Внутренняя и внешняя типология словарей. Лексикография прикладная лингвистическая дисциплина занимающаяся практикой и теорией составления словарей. Все многообразие различных типов словарей нормативные учебные переводные терминологические идеологические этимологические . Главная проблема в разработке оптимальной стратегии новых словарей проблема обоснованности словарей как с точки зрения их состава так и в плане адекватности подаваемой в них информации.
23591. Назначение и принципы организации Субд на ПЭВМ 19.5 KB
  Назначение и принципы организации Субд на ПЭВМ СУБД состоит из совокупности взаимосвязанных данных и набора программ обеспечивающих доступ к данным и манипуляцию ими. Совокупность взаимосвязанных данных принято называть БД. Концептуальный уровень содержит описание данных хранящихся в БД и отношений между ними. Модель данных представляет собой набор концептуальных инструментов для описания данных отношений между ними семантики данных и ограничений их целостности consistency constraints.
23592. Формальные модели синтаксической структуры предложения 19.5 KB
  Система составляющих это множество отрезков предложения которое обладает тем свойством что каждые два входящих в него отрезка либо не пересекаются либо один из них содержится в другом. При графическом изображении система составляющих тоже приобретает вид дерева дерева непосредственных составляющих ДНС. грамматика деревьев служит не для порождения предложений а для преобразования деревьев интерпретируемых как деревья подчинения или деревья составляющих например грамматика система правил преобразования деревьев интерпретируемых...
23593. Типы экспериментальных методов в лингвистике 17.5 KB
  Типы экспериментальных методов в лингвистике Экспериментальные методы в лингвистике это методы позволяющие изучать факты языка в условиях. что текст как таковой будучи данностью не может быть объектом ЭМ; именно поэтому ЭМ не применимы к изучению истории языка особенностей стиля автора и т. Объектом ЭМ является человек носитель языка порождающий текст воспринимающий тексты и выступающий как информант для исследователя. в лингвистическом эксперименте исследователь может иметь в качестве подобного объекта самого себя или других...
23594. Общенаучный метод моделирования и специфика его применения в лингвистике 11 KB
  Моделью можно назвать образ какоголибо объекта используемый в определенных условиях в качестве его заместителя фотография в паспорте модель человека. Свойства моделей: условность образ может быть не только материальным но и мысленным и передаваться посредством знаковой системы моделью может быть не только образ но и праобраз оригинала модель чаще всего является гомоморфной оригиналу то есть многим элементам оригинала соответствует меньшее количество элементов модели в отличие от изоморфизма Модель в лингвистике искусственно...