37958

Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

Лабораторная работа

Физика

Момент инерции.1] Список литературы Лабораторная работа № 1 Определение моментов инерции твердых тел методом трифилярного подвеса 1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции.

Русский

2013-09-25

318.5 KB

20 чел.

Содержание

[1] 1. Цель работы

[2] 2. Теоретическая часть

[2.1] 2.1. Момент инерции. Теорема Штейнера

[2.2] 2.2. Метод трифилярного подвеса

[3] 3. Приборы и принадлежности

[4] 4. Требования по технике безопасности

[5] 5. Порядок выполнения работы

[6] 6. Требования к отчету

[7] 7. Контрольные вопросы

[7.1] Список литературы


Лабораторная работа № 1

Определение моментов инерции твердых тел

методом трифилярного подвеса

1. Цель работы

1.1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.

1.2. Проверка теоремы Штейнера.

2. Теоретическая часть

2.1. Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки mi на квадрат ее расстояния до оси

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело

. (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

, (2.2)

где r – расстояние от элемента тела объемом dV до оси, относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как dm =  dV, где – плотность тела в данной области dV, то .

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

. (2.3)

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной  и радиуса . Объем такого слоя равен , где  – толщина диска.

С учетом (2.3) момент инерции диска

.

Вынесем за знак интеграла постоянный множитель

.

Введя массу диска , как произведение плотности  на объем диска , получим

. (2.4)

Из (2.4) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.4) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции тела относительно любой параллельной оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера. Согласно теореме Штейнера, момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями

. (2.5)

Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

2.2. Метод трифилярного подвеса

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса r (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO. При повороте нижнего диска на угол вокруг оси OO его перемещение равно h (рис. 2.3), а приращение потенциальной энергии

Eпm g h,

где m – масса нижнего диска.

Колеблющийся диск совершает вращательное движение, поэтому его кинетическая энергия равна

,

где J  момент инерции диска относительно оси OO,   угловая скорость диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол его поворота изменяется со временем по закону

,

где   амплитуда углового смещения,  период колебаний,

а изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота  равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где  – угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Отсюда момент инерции диска

. (2.6)

Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

.

Следовательно, максимальная угловая скорость  равна

. (2.7)

Высоту h, на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)

. (2.8)

Но

(2.9)

С учетом уравнений (2.9) уравнение (2.8) запишем в виде

.

При малых углах   , а  .

Таким образом

. (2.10)

Подставляя (2.7) и (2.10) в (2.6) получим

. (2.11)

Уравнение (2.11) можно применять не только для расчета момента инерции диска () относительно оси OO, но и для расчета момента инерции диска с грузами (J). Момент инерции груза () можно найти

. (2.12)

3. Приборы и принадлежности

Приборы и принадлежности:

- трифилярный подвес;

- набор тел (2 сплошных цилиндра, параллелепипед);

- электросекундомер;

- линейка.

4. Требования по технике безопасности

1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой.

2. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Обесточьте электросекундомер.

5. Порядок выполнения работы

В работе определяются моменты инерции:

- ненагруженного диска;

- диска с грузами;

- грузов.

Задание 5.4 выполняется по указанию преподавателя.

5.1. Определение момента инерции ненагруженного диска

1. Измерить радиус R нижнего диска, радиус r верхнего диска и длину L нитей. Масса диска = (0,8885±0,0001) кг.

2. Повернуть диск на угол 5-6 градусов вокруг оси OO и измерить электросекундомером время 20 полных колебаний.

3. Повторить измерения еще 2 раза и результаты записать в табл. 5.1.

4. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний период колебаний  

,

где n – число колебаний.

5. По формуле (2.11) вычислить момент инерции ненагруженного диска.

6. Рассчитать относительную и абсолютную погрешности измерения момента инерции диска .

Таблица 5.1

, кг

R, м

r, м

l, м

, с

,cp, с

, с

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

1

2

3

5.2. Определение момента инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Расположить исследуемое тело на диске так, чтобы его ось симметрии совпала с осью OO (рис. 2.3).

2. Повернув диск на 5-6 градусов вокруг оси OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний.

3. Рассчитать среднее время и определить период колебаний Т нагруженного диска

. (5.1)

4. По формуле 2.11 вычислить момент инерции Jc1 системы, принимая массу m равной сумме масс исследуемого тела и диска.

5. По формуле 2.12 определить момент инерции J1 цилиндра.

6. Рассчитать погрешности измерения момента инерции цилиндра.

7. Рассчитать момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

теорцил,

где mцил  масса цилиндра, r  радиус цилиндра.

8. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученные экспериментально и теоретически.

9. Внести результаты измерений и расчетов в табл. 5.2.

Таблица 5.2

m, кг

mцил, кг

t, с

tcp, с

T, с

,

кгм2

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

J1теор,

кгм2

1

2

3

5.3. Проверка теоремы Штейнера

1. Расположить строго симметрично на диске два цилиндра.

2. Повернув диск с цилиндрами на 5-6 градусов вокруг оси OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний. По среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний нагруженного диска.

3. По формуле (2.11) рассчитать момент инерции  системы, принимая массу m, равной массе диска и двух цилиндров (цил).

4. Определить момент инерции J2 одного цилиндра по формуле

.

5. Рассчитать погрешности измерения.

6. Теоретическое значение момента инерции цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, определить по формуле

теорцилцил,

где r  радиус цилиндра, mцил  масса цилиндра, d  расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра.

7. Результаты измерений внести в табл. 5.3.

8. Сравнить экспериментальное значение момента инерции сплошного цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, с теоретически рассчитанным значением.

Таблица 5.3

m, кг

t, с

tср, с 

T, с 

,

кгм2

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

теор,

кгм2

1

2

3

5.4. Проверка зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси

1. Расположить параллелепипед основанием на диске так, чтобы ось симметрии проходила через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, принимая массу m, равной массе диска и параллелепипеда (= m+ mпар).

4. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

Jпар =  ,

5. Расположить параллелепипед боковой гранью на диске так, чтобы параллелепипед был расположен симметрично относительно диаметра диска, а ось вращения проходила бы через его центр тяжести.

6. Три раза определить время t, за которое происходит 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний Т.

7. По формуле (2.11) вычислить момент инерции  нагруженного диска, используя значение периода Т.

8. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

Jпар =   ,

9. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.4.

10. Сравнить значения Jпар и Jпар.

Таблица 5.4

m, кг

t, с

tcp, с

T, с

t, c

tcp, c

,

кгм2

Jпар,

кгм2

,

 кгм2

Jпар,

кгм2

1

2

3

6. Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) номер и название лабораторной работы;

б) основные формулы для выполнения расчетов;

в) таблицы с результатами измерений и вычислений;

г) формулы для расчета погрешностей измерений;

д) выводы.

7. Контрольные вопросы

1. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси? Что называется моментом инерции тела относительно оси?

2. В чем суть теоремы Штейнера?

3. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально?

4. В какие моменты времени абсолютное значение угловой скорости диска будет максимальным?

5. Какой закон сохранения применяется при выводе формулы для определения момента инерции экспериментальным путем? Сформулируйте его.

6. Выведите формулу для расчета момента инерции сплошного цилиндра относительно оси симметрии.

Список литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 1. - М.: Наука, 1998.

2. Детлаф А.Н., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2002.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2004.

PAGE  13


r

r

Рис. 2.1

φ

 dr

h

В1

O

O

В

A1

А

R

l

l1

L

r

О

h

O

Рис. 2.3

С

LL

R


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29015. Уплотнение грунтов основания водопонижением. Ускорение процесса уплотнения с помощью электроосмоса 33.5 KB
  Площадь основания где намечено уплотнение грунтов окружается иглофильтрами или колодцами из которых производится откачка воды водопонизительными установками рис. Понижение уровня подземных вод приводит к тому что в пределах зоны водопонижения снимается взвешивающее действие воды на скелет грунта. При пропускании через грунт постоянного электрического тока происходит передвижение воды к иглофильтрукатоду и эффективный коэффициент фильтрации увеличивается в 10.
29016. Закрепление грунтов инъекциями цементных или силикатных растворов, битума, синтетических смол. Область применения указанных методов 34 KB
  Закрепление грунтов инъекциями цементных или силикатных растворов битума синтетических смол. Закрепление грунтов заключается в искусственном преобразовании строительных свойств грунтов в условиях их естественного залегания разнообразными физикохимическими методами. Это обеспечивает увеличение прочности грунтов снижение их сжимаемости уменьшение водопроницаемости и чувствительности к изменению внешней среды особенно влажности. Цементация грунтов.
29017. Термическое закрепление грунтов. Область применения и методы контроля качества работ 33.5 KB
  В результате этого образуются прочные водостойкие структурные связи между частицами и агрегатами грунта. Отметим что температура газов которыми производится обработка грунта не должна превышать 750.12 суток в результате чего получается упрочнённый конусообразный массив грунта диаметром поверху 15. Образуется как бы коническая свая из обожжённого непросадочного грунта с прочностью до 10 МПа.
29018. Что называется грунтом, его составные элементы 25 KB
  Структурные связи между частицами грунта. Грунтами называют любые горные породы коры выветривания земли сыпучие или связные прочность связей у которых между частицами во много раз меньше чем прочность самих минеральных частиц или эти связи между частицами отсутствуют вовсе. Вода и газы находятся в порах между твердыми частицами минеральными и органическими. Газообразные включения пары газы всегда в том или ином количестве содержатся в грунтах и могут находиться в следующих состояниях: замкнутом или защемленном располагаясь в...
29019. Назовите виды давления грунта на подпорную стенку в зависимости от ее поступательного движения. Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения 31.5 KB
  Какой вид имеет диаграмма давления грунта на стенку в зависимости от ее перемещения В зависимости от поступательного движения подпорной стенки на нее могут действовать следующие виды давления грунта: активное давление; пассивное давление; давление покоя. Активным называется минимальное из всех возможных для данной стенки давление на нее грунта проявляющееся в том случае если стенка имеет возможность переместиться в сторону от засыпки рис. Активное давление иногда называют распором. Пассивным называется максимальное из всех возможных...
29020. Напряжения, возникающие в массиве грунта от действия сооружения, накладываются на поле начальных напряжений, к которым относятся напряжения от собственного веса грунта 28 KB
  Напряжения возникающие в массиве грунта от действия сооружения накладываются на поле начальных напряжений к которым относятся напряжения от собственного веса грунта. Как вычислить вертикальные напряжения в массиве грунта от его собственного веса в следующих случаях: однородное основание; многослойное основание; при наличии в толще грунта уровня подземных вод; при наличии ниже уровня подземных вод водоупорного слоя. Вертикальное напряжение от собственного веса грунта σz представляют собой вес столба грунта над рассматриваемой точкой...
29021. От чего зависит глубина заложения фундамента 31.5 KB
  Глубина заложения фундаментов является одним из основных факторов обеспечивающих необходимую несущую способность и деформации основания не превышающие предельных по условиям нормальной эксплуатации здания или сооружения. От чего зависит глубина заложения фундамента Допускается ли закладывать подошвы соседних фундаментов на разных отметках Глубина заложения фундамента определяется: инженерногеологическими условиями площадки строительства физикомеханические свойства грунтов характер напластования и пр.; гидрогеологическими условиями...
29022. В чем заключается метод вытрамбовывания котлованов 32.5 KB
  В чем заключается метод вытрамбовывания котлованов Приведите несколько наиболее распространенных конструкций и способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Рекомендуемая область применения способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Применяется несколько конструкций и способов устройства фундаментов в вытрамбованных котлованах. Фундаменты в вытрамбованных котлованах используются при строительстве каркасных и бескаркасных зданий в первом случае обычно располагают один фундамент под каждой колонной.
29023. Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. Применяемые материалы и их выбор 43 KB
  Фундаменты мелкого заложения и их основные виды. К фундаментам мелкого заложения относятся фундаменты имеющие отношение их глубины заложения к ширине подошвы не превышающее 4 и передающие нагрузку на грунты основания преимущественно через подошву. Фундаменты мелкого заложения разделяются на следующие основные типы: отдельные ленточные сплошные и массивные см.2 Отдельные фундаменты устраивают под колонны опоры балок ферм и других элементов промышленных и гражданских зданий и сооружений.