37959

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Лабораторная работа

Физика

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 1. Цель работы Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции. Теорема Штейнера Моментом инерции материальной точки...

Русский

2013-09-25

284.5 KB

26 чел.

Содержание

                                                                                                                          стр.   

1.

Цель работы…………………………………………………………

4

2.

Теоретическая часть………………………………………………..

4

3.

Приборы и принадлежности……………………………………….

9

4.

Требования по технике безопасности……………………………..

9

5.

Порядок выполнения работы………………………………………

9

6.

Требования к отчёту………………………………………………..

14

7.

Контрольные вопросы……………………………………………...

14

Список литературы…………………………………………………

15

                        

                                                                                                            

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОМЕНТОВ  ИНЕРЦИИ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ

МЕТОДОМ  ТРИФИЛЯРНОГО  ПОДВЕСА

1.   Цель  работы

  1.  Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.
  2.  Проверка теоремы Штейнера.

2.   Теоретическая  часть

2.1.  Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки  mi  на квадрат ее расстояния до оси  

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело

.                                      (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы  dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

,                                                      (2.2)

где  r  - расстояние  от  элемента  тела  объемом   dV  до  оси,  относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как  dm =  dV, где - плотность тела в данной области dV, то

.

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

.

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции  сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1).

Выделим элемент тела объемом dV и массы dm, длиной  dr, шириной rd и высотой h, где h- толщина диска отстоящий на расстоянии r от оси  OO, масса этого элемента  dm =  dV =  h dS =  h r d dr.

Момент инерции диска

                                            ρr3hdrd ,

                                           .                 (2.3)

     

            

                        Рис. 2.1  

Из (2.3) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.3) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент  инерции    тела относительно

любой    параллельной  оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера, согласно которой момент инерции I тела относительно произ-                                                                                             вольной оси равен сумме момента инерции тела  относительно оси,

параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения

массы тела m на квадрат расстояния а между осями

                                                    .                                          (2.4)

 Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

2.2. Метод трифилярного подвеса                                  

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса  r  (рис. 2.2). Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные  колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO.

                        r

             L

                      C   

                    R

                     Рис. 2.2

При повороте нижнего диска на угол вокруг оси OO его перемещение равно h (рис.2.3), а приращение потенциальной энергии                                                   

Eп=mgh ,

где  m - масса нижнего диска.

Колеблющийся диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его кинетическая

энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

,

где   I  - момент инерции диска относительно оси OO,

         - угловая скорость диска,

 v - скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол  его поворота изменяется со временем по закону

              ,

где  - амплитуда углового смещения,

      T – период колебаний;

а изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где  - угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Отсюда момент инерции диска

                                                   .                                     (2.5)

Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

              .

Следовательно, максимальная угловая скорость   равна

  .                                                  (2.6)

Высоту h,  на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)

                                                    .                                    (2.7)

                                  О

                            r         

         L                                        

                                                                          l1             l                                                                                                                                         

                                                                                                       

А                    

       A1                                                             h

                R

Но

          (2.8)                                                                

С учетом уравнения (2.8) уравнение (2.7) запишем в виде

.

При малых углах        а  .  

Таким образом

.                                                    (2.9)

Подставляя (2.6) и (2.9) в (2.5) получим

                              .                                           (2.10)

Уравнение (2.10) можно применять не только для расчета момента инерции диска ( ) относительно оси OO, но и для расчета момента инерции диска с грузами ( I ). Момент инерции груза (  ) можно найти

                                                   .                                             (2.11)

3.  Приборы и принадлежности

Приборы и принадлежности:

- трифилярный подвес;

- набор тел (2 сплошных цилиндра, параллелепипед, полый цилиндр);

- электросекундомер;

- линейка.

  1.  Требования по технике безопасности

4.1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой.

4.2. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Обесточьте электросекундомер.

  1.  Порядок выполнения работы

В работе определяются моменты инерции:

- ненагруженного диска;

- диска с грузами;

- грузов.

  Задания 5.4 и 5.5 выполняются по указанию преподавателя.

5.1. Определение момента инерции ненагруженного диска

1. Измерить радиус R нижнего диска, радиус r верхнего диска и длину L нитей. Масса диска  =(0,8885±0,0001) кг.

2. Повернуть диск на угол 5-6  градусов  вокруг оси OO и измерить электросекундомером время 20 полных колебаний.

3. Повторить измерения еще 2 раза и результаты записать в табл. 5.1.

4. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний период колебаний   

 ,

где n - число колебаний.

5. По формуле (2.10) вычислить момент инерции ненагруженного диска.

6. Рассчитать относительную и абсолютную погрешности измерения момента инерции диска .

Таблица 5.1

,

кг

R,  м

r,  м

l,  м

 ,  с

,cp,  с

 ,  с

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

1

2

5.2. Определение  момента  инерции  сплошного  цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Расположить исследуемое тело на диске так, чтобы его ось симметрии совпала с осью OO (рис. 2.3).

2. Повернув диск на 5-6 градусов и OO 3 раза измерить время 20 полных колебаний.

3. Рассчитать среднее время и определить средний период колебаний Т нагруженного диска

   .                                                         (5.1)

4. По формуле 2.10 вычислить момент инерции Ic1 системы, принимая массу m равной сумме масс исследуемого тела и диска.

5. По формуле 2.11 определить момент инерции I1 цилиндра.

6. Рассчитать погрешности измерения момента инерции цилиндра.

7. Рассчитать момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

  теорцил,

где mцил - масса цилиндра,

      r - радиус цилиндра.

8. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученные экспериментально и теоретически.

9. Внести результаты измерений и расчетов в табл. 5.2.

                                                                                                         Таблица 5.2

m,  кг

mцил,

кг

T,  с

tcp,  с

   ,

кгм2

   ,

кгм2

,

кгм2

ε, %

I1теор,

кгм2

1

2

3

5.3. Проверка теоремы Штейнера

1. Расположить строго симметрично на диске два цилиндра.

2. Повернув диск с цилиндрами на 5-6 градусов и OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний. По среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний нагруженного диска.

3. По формуле (2.10) рассчитать момент инерции  системы, принимая массу m, равной массе диска и двух цилиндров (цил).

4. Определить момент инерции I2 одного цилиндра по формуле

.

5. Рассчитать погрешности измерения.

6. Теоретическое значение момента инерции цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, определить по формуле

теорцилцил,

где r - радиус цилиндра,

    mцил- масса цилиндра,

    d - расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра.

7. Результаты измерений внести в табл. 5.3.

Таблица 5.3

m,  кг

t,  с

tср,  с 

T, с 

 ,  

кгм2

 ,  

кгм2

,

кгм2

ε, %

теор,

кгм2

1

2

3

8. Сравнить экспериментальное значение момента инерции сплошного цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, с теоретически рассчитанным значением.

5.4. Проверка  зависимости  момента  инерции  от  распределения                                                                                массы тела относительно оси.

1. Расположить параллелепипед основанием на диске так, чтобы ось симметрии проходила через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, принимая массу m, равной массе диска и параллелепипеда (m=m+ mпар).

4. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

  Iпар = - ,

5. Расположить параллелепипед боковой гранью на диске так, чтобы параллелепипед был расположен симметрично относительно диаметра диска, а ось вращения проходила бы через его центр тяжести.

6. Три раза определить время t , за которое происходит 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний Т.

7. По формуле (2.10) вычислить момент инерции I  нагруженного диска, используя значение периода Т.

8. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

  Iпар = I  - ,

9. Рассчитать погрешности измерений.

10. Результаты измерений и вычислений внести в таблицу 5.4.

Таблица 5.4

m, кг

t,  с

tcp,  с

T, с

t,   c

tcp,

c

,

кгм2

Iпар,

кгм2

ΔIпар,

кгм2

I ,

 кгм2

Iпар,

кгм2

ΔIпар,

 кгм2

1

2

3

11. Сравнить значения Iпар и Iпар .

5.5. Определение момента инерции полого цилиндра относительно оси,   проходящей через центр масс тела

1. Расположить цилиндр основанием на диске так, чтобы ось симметрии  цилиндра через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, , принимая массу m, равной массе диска и полого цилиндра (цил).

4. Рассчитать момент инерции  полого цилиндра по формуле (2.11).

5. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.5.

Таблица 5.5

m,  кг

mцил,

кг

T,  с

tcp,  с

 

кгм2

,

кгм2

, 

кгм2

ε, %

I1теор,

кгм2

1

2

3

6. Формулу для расчета теоретического значения момента инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр симметрии, вывести самостоятельно. По полученной формуле рассчитать момент инерции исследуемого тела, выполнив предварительно необходимые измерения.

7. Сравнить экспериментальное значение момента инерции полого  цилиндра   с теоретически рассчитанным.

  1.  Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) номер и название лабораторной работы;

б) основные формулы для выполнения расчетов;

в) таблицы с результатами измерений и вычислений;

г) формулы для расчета погрешностей измерений;

д) выводы.

7.   Контрольные вопросы

1. Что называется моментом  инерции  материальной  точки  относительно оси? Что называется моментом  инерции  тела относительно оси?

2. В чем суть теоремы Штейнера?

3. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально?

4. В  какие  моменты  времени  абсолютное  значение  угловой  скорости диска будет максимальным?

  1.  Какой  закон  сохранения   применяется  при  выводе  формулы  для определения момента инерции экспериментальным путем? Сформулируйте его.

Выведите формулы для расчета моментов инерции полого (не тонкостенного) и сплошного цилиндров  относительно оси симметрии.

Список литературы 

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 1. - М.: Наука, 1998.- 336 с.

2. Детлаф А.Н., Яворский Б.М.  Курс физики. - М.: Высшая школа, 2000.-

  718 с.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1994.- 542 с.

        


Составитель РАБЧУК Людмила Васильевна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ                 

МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе №  1по курсу общей физики

                Редактор Соколова О.А.

       ЛР №      от     

Подписано к печати                      . Формат 60 х 84  1/16.

Бумага оберточная. Печать плоская. Times New Roman Cyr.

Усл. печ. л.  1,0.Усл. кр.-отт.  1,0. Уч-изд.л. 0,9.

Заказ №             . Тираж   300  экз.

Уфимский  государственный  авиационный  технический  университет

Уфимская типография № 2 Министерства печати и массовой информации Республики Башкортостан

450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83913. Основы трансплантологии 52.47 KB
  Пути преодоления peкции отторжения Подбор наиболее совместимого по антигенным свойствам донора. Подавление реакиии отторжения. Подавление реакции отторжения возможно также с помощью антилимфоцитарного глобулина который оказывает супрессивное действие на лимфоциты играющие ключевую роль в реакции отторжения. Пациенты с пересаженными органами вынуждены принимать препараты пожизненно Хирургический путь борьбы с реакцией отторжения.
83914. Известные отечественные хирурги: Шевкуненко, Оппель, Греков и другие. Их вклад в развитие хирургии 53.31 KB
  Их вклад в развитие хирургии. Автор 50 научных трудов в том числе первого отечественного капитального руководства по оперативной хирургии в трех томах и руководства по топографической анатомии. Под его редакцией вышел Краткий курс оперативной хирургии с топографической анатомией 1951 переведённый на многие иностранные языки. Греков добился благодаря своим научным работам в области абдоминальной хирургии.
83915. Известные зарубежные хирурги: Бильрот, Кохер и другие. Развитие хирургии путём совершенствования оперативной хирургии 50.61 KB
  Развитие хирургии путём совершенствования оперативной хирургии. Бильрота связан ряд важных достижений хирургии в частности: первая эзофагэктомия первая ларингэктомия и что особо значимо первая успешная гастрэктомия по поводу рака желудка. Кроме того разработал ряд хирургических инструментов применяемых в хирургии в наши дни. Им опубликованы работы посвященные вопросам клинической хирургии в том числе костному туберкулезу и другим заболеваниям костей разработаны новые методы хирургических операций артротомия по Фолькману клиновидная...
83916. Н.И. Пирогов - вклад в развитие хирургии и топографической анатомии 46.6 KB
  Пирогов вклад в развитие хирургии и топографической анатомии. Пирогов – основоположник топографической анатомии. Пирогов занял место профессора госпитальной хирургической клиники Медико – хирургической академии СПб где с первых же дней стал читать знаменитый курс лекций по топографической анатомии он организовал анатомический институт в котором объединил практическую описательную и патологическую анатомию. Пирогов оформил все основные положения созданной им науки – топографической анатомии – в монументальном труде Полный курс анатомии...
83917. В.Н. Шевкуненко – создатель современного учения топографической анатомии на основе изменчивости 50.3 KB
  Геселевичем ввёл понятие типовой анатомии человека которая исследует распределение тканевых и системных масс в организме и расположение органов и частей тела с точки зрениях их развития. Типовая анатомия отмечает крайние типы строения и положения органов наблюдаемые у людей определённого телосложения. Шевкуненко исходными побуждающими моментами к таким исследованиям были: частое несоответствие формы и положения органов видимых во время операции с нормой описываемой в руководствах; несовершенство многих хирургических доступов при...
83918. Шовные материалы. Капрон, пролен, дексон, викрил и другие 50.37 KB
  Основные требования к шовному материалу: Биосовместимость – отсутствие токсического аллергенного и тератогенного влияния шовной нити на ткани организма. Прочность нити и сохранение её свойств до образования рубца. Необходимо учитывать прочность нити в узле Атравматичность зависит от структуры и вида нити её манипуляционных свойств эластичности и гибкости. Понятие атравматичности включает несколько свойств присущих шовным материалам: Поверхностные свойства нити: кручёные и плетёные нити имеют шероховатую поверхность и при прохождении...
83919. Современные хирургические инструменты для высоких технологий. Ультразвуковые, плазменные СВЧ – инструменты, сшивающие аппараты, лазеры в хирургии 53.42 KB
  Ультразвуковые приборы для разъединения тканей Такие приборы в большинстве случаев основаны на преобразовании электрического тока в ультразвуковую волну магнитострикционное или пьезоэлектрическое явление. Механизм воздействия ультразвука на ткани основан на том что высокочастотная вибрация приводит к механическому разрушению межклеточных связей; и на кавитационном эффекте создание за короткий промежуток времени в тканях отрицательного давления что приводит к закипанию внутри и межклеточной жидкости при температуре тела; образующийся пар...
83920. Выбор способа операции, хирургический риск, операции по стандарту и протоколу. Паллиативные и радикальные операции 48.39 KB
  Паллиативные и радикальные операции. Выбор способа операции зависит от органа на котором будет проводиться оперативное вмешательство от локализации нервных стволов и сосудов по отношению к данному органу и т. Хирургический операционный риск опасность для пациента во время операции представляют как сама оперативная травма и связанные с ней осложнения кровотечения перитонит и т.
83921. Топографическая анатомия подключичной вены и подключичной артерии. Техника пункции подключичной вены. Подключичная артерия, хирургическая тактика при ранении 195.94 KB
  Топография подключичной вены: Подключичная вена начинается от нижней границы 1 ребра огибает его сверху отклоняется кнутри вниз и немного вперёд у места прикрепления к 1 ребру передней лестничной мышцы и входит в грудную полость. Медиально за веной имеются пучки передней лестничной мышцы подключичная артерия и затем купол плевры который возвышается над грудинным концом ключицы. При надключичном доступе точку Иоффе определяют в углу образованном наружным краем латеральной головки грудинноключичнососцевидной мышцы и верхним краем...