37959

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Лабораторная работа

Физика

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 1. Цель работы Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции. Теорема Штейнера Моментом инерции материальной точки...

Русский

2013-09-25

284.5 KB

29 чел.

Содержание

                                                                                                                          стр.   

1.

Цель работы…………………………………………………………

4

2.

Теоретическая часть………………………………………………..

4

3.

Приборы и принадлежности……………………………………….

9

4.

Требования по технике безопасности……………………………..

9

5.

Порядок выполнения работы………………………………………

9

6.

Требования к отчёту………………………………………………..

14

7.

Контрольные вопросы……………………………………………...

14

Список литературы…………………………………………………

15

                        

                                                                                                            

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОМЕНТОВ  ИНЕРЦИИ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ

МЕТОДОМ  ТРИФИЛЯРНОГО  ПОДВЕСА

1.   Цель  работы

  1.  Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.
  2.  Проверка теоремы Штейнера.

2.   Теоретическая  часть

2.1.  Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки  mi  на квадрат ее расстояния до оси  

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело

.                                      (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы  dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

,                                                      (2.2)

где  r  - расстояние  от  элемента  тела  объемом   dV  до  оси,  относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как  dm =  dV, где - плотность тела в данной области dV, то

.

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

.

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции  сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1).

Выделим элемент тела объемом dV и массы dm, длиной  dr, шириной rd и высотой h, где h- толщина диска отстоящий на расстоянии r от оси  OO, масса этого элемента  dm =  dV =  h dS =  h r d dr.

Момент инерции диска

                                            ρr3hdrd ,

                                           .                 (2.3)

     

            

                        Рис. 2.1  

Из (2.3) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.3) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент  инерции    тела относительно

любой    параллельной  оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера, согласно которой момент инерции I тела относительно произ-                                                                                             вольной оси равен сумме момента инерции тела  относительно оси,

параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения

массы тела m на квадрат расстояния а между осями

                                                    .                                          (2.4)

 Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

2.2. Метод трифилярного подвеса                                  

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса  r  (рис. 2.2). Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные  колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO.

                        r

             L

                      C   

                    R

                     Рис. 2.2

При повороте нижнего диска на угол вокруг оси OO его перемещение равно h (рис.2.3), а приращение потенциальной энергии                                                   

Eп=mgh ,

где  m - масса нижнего диска.

Колеблющийся диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его кинетическая

энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

,

где   I  - момент инерции диска относительно оси OO,

         - угловая скорость диска,

 v - скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол  его поворота изменяется со временем по закону

              ,

где  - амплитуда углового смещения,

      T – период колебаний;

а изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где  - угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Отсюда момент инерции диска

                                                   .                                     (2.5)

Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

              .

Следовательно, максимальная угловая скорость   равна

  .                                                  (2.6)

Высоту h,  на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)

                                                    .                                    (2.7)

                                  О

                            r         

         L                                        

                                                                          l1             l                                                                                                                                         

                                                                                                       

А                    

       A1                                                             h

                R

Но

          (2.8)                                                                

С учетом уравнения (2.8) уравнение (2.7) запишем в виде

.

При малых углах        а  .  

Таким образом

.                                                    (2.9)

Подставляя (2.6) и (2.9) в (2.5) получим

                              .                                           (2.10)

Уравнение (2.10) можно применять не только для расчета момента инерции диска ( ) относительно оси OO, но и для расчета момента инерции диска с грузами ( I ). Момент инерции груза (  ) можно найти

                                                   .                                             (2.11)

3.  Приборы и принадлежности

Приборы и принадлежности:

- трифилярный подвес;

- набор тел (2 сплошных цилиндра, параллелепипед, полый цилиндр);

- электросекундомер;

- линейка.

  1.  Требования по технике безопасности

4.1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой.

4.2. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Обесточьте электросекундомер.

  1.  Порядок выполнения работы

В работе определяются моменты инерции:

- ненагруженного диска;

- диска с грузами;

- грузов.

  Задания 5.4 и 5.5 выполняются по указанию преподавателя.

5.1. Определение момента инерции ненагруженного диска

1. Измерить радиус R нижнего диска, радиус r верхнего диска и длину L нитей. Масса диска  =(0,8885±0,0001) кг.

2. Повернуть диск на угол 5-6  градусов  вокруг оси OO и измерить электросекундомером время 20 полных колебаний.

3. Повторить измерения еще 2 раза и результаты записать в табл. 5.1.

4. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний период колебаний   

 ,

где n - число колебаний.

5. По формуле (2.10) вычислить момент инерции ненагруженного диска.

6. Рассчитать относительную и абсолютную погрешности измерения момента инерции диска .

Таблица 5.1

,

кг

R,  м

r,  м

l,  м

 ,  с

,cp,  с

 ,  с

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

1

2

5.2. Определение  момента  инерции  сплошного  цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Расположить исследуемое тело на диске так, чтобы его ось симметрии совпала с осью OO (рис. 2.3).

2. Повернув диск на 5-6 градусов и OO 3 раза измерить время 20 полных колебаний.

3. Рассчитать среднее время и определить средний период колебаний Т нагруженного диска

   .                                                         (5.1)

4. По формуле 2.10 вычислить момент инерции Ic1 системы, принимая массу m равной сумме масс исследуемого тела и диска.

5. По формуле 2.11 определить момент инерции I1 цилиндра.

6. Рассчитать погрешности измерения момента инерции цилиндра.

7. Рассчитать момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

  теорцил,

где mцил - масса цилиндра,

      r - радиус цилиндра.

8. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученные экспериментально и теоретически.

9. Внести результаты измерений и расчетов в табл. 5.2.

                                                                                                         Таблица 5.2

m,  кг

mцил,

кг

T,  с

tcp,  с

   ,

кгм2

   ,

кгм2

,

кгм2

ε, %

I1теор,

кгм2

1

2

3

5.3. Проверка теоремы Штейнера

1. Расположить строго симметрично на диске два цилиндра.

2. Повернув диск с цилиндрами на 5-6 градусов и OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний. По среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний нагруженного диска.

3. По формуле (2.10) рассчитать момент инерции  системы, принимая массу m, равной массе диска и двух цилиндров (цил).

4. Определить момент инерции I2 одного цилиндра по формуле

.

5. Рассчитать погрешности измерения.

6. Теоретическое значение момента инерции цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, определить по формуле

теорцилцил,

где r - радиус цилиндра,

    mцил- масса цилиндра,

    d - расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра.

7. Результаты измерений внести в табл. 5.3.

Таблица 5.3

m,  кг

t,  с

tср,  с 

T, с 

 ,  

кгм2

 ,  

кгм2

,

кгм2

ε, %

теор,

кгм2

1

2

3

8. Сравнить экспериментальное значение момента инерции сплошного цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, с теоретически рассчитанным значением.

5.4. Проверка  зависимости  момента  инерции  от  распределения                                                                                массы тела относительно оси.

1. Расположить параллелепипед основанием на диске так, чтобы ось симметрии проходила через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, принимая массу m, равной массе диска и параллелепипеда (m=m+ mпар).

4. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

  Iпар = - ,

5. Расположить параллелепипед боковой гранью на диске так, чтобы параллелепипед был расположен симметрично относительно диаметра диска, а ось вращения проходила бы через его центр тяжести.

6. Три раза определить время t , за которое происходит 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний Т.

7. По формуле (2.10) вычислить момент инерции I  нагруженного диска, используя значение периода Т.

8. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

  Iпар = I  - ,

9. Рассчитать погрешности измерений.

10. Результаты измерений и вычислений внести в таблицу 5.4.

Таблица 5.4

m, кг

t,  с

tcp,  с

T, с

t,   c

tcp,

c

,

кгм2

Iпар,

кгм2

ΔIпар,

кгм2

I ,

 кгм2

Iпар,

кгм2

ΔIпар,

 кгм2

1

2

3

11. Сравнить значения Iпар и Iпар .

5.5. Определение момента инерции полого цилиндра относительно оси,   проходящей через центр масс тела

1. Расположить цилиндр основанием на диске так, чтобы ось симметрии  цилиндра через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, , принимая массу m, равной массе диска и полого цилиндра (цил).

4. Рассчитать момент инерции  полого цилиндра по формуле (2.11).

5. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.5.

Таблица 5.5

m,  кг

mцил,

кг

T,  с

tcp,  с

 

кгм2

,

кгм2

, 

кгм2

ε, %

I1теор,

кгм2

1

2

3

6. Формулу для расчета теоретического значения момента инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр симметрии, вывести самостоятельно. По полученной формуле рассчитать момент инерции исследуемого тела, выполнив предварительно необходимые измерения.

7. Сравнить экспериментальное значение момента инерции полого  цилиндра   с теоретически рассчитанным.

  1.  Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) номер и название лабораторной работы;

б) основные формулы для выполнения расчетов;

в) таблицы с результатами измерений и вычислений;

г) формулы для расчета погрешностей измерений;

д) выводы.

7.   Контрольные вопросы

1. Что называется моментом  инерции  материальной  точки  относительно оси? Что называется моментом  инерции  тела относительно оси?

2. В чем суть теоремы Штейнера?

3. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально?

4. В  какие  моменты  времени  абсолютное  значение  угловой  скорости диска будет максимальным?

  1.  Какой  закон  сохранения   применяется  при  выводе  формулы  для определения момента инерции экспериментальным путем? Сформулируйте его.

Выведите формулы для расчета моментов инерции полого (не тонкостенного) и сплошного цилиндров  относительно оси симметрии.

Список литературы 

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 1. - М.: Наука, 1998.- 336 с.

2. Детлаф А.Н., Яворский Б.М.  Курс физики. - М.: Высшая школа, 2000.-

  718 с.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1994.- 542 с.

        


Составитель РАБЧУК Людмила Васильевна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ                 

МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе №  1по курсу общей физики

                Редактор Соколова О.А.

       ЛР №      от     

Подписано к печати                      . Формат 60 х 84  1/16.

Бумага оберточная. Печать плоская. Times New Roman Cyr.

Усл. печ. л.  1,0.Усл. кр.-отт.  1,0. Уч-изд.л. 0,9.

Заказ №             . Тираж   300  экз.

Уфимский  государственный  авиационный  технический  университет

Уфимская типография № 2 Министерства печати и массовой информации Республики Башкортостан

450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24870. Сущность и назначение Экономически добавленная стоимость 33.5 KB
  EVA = NOPAT – WACC IC NOPAT – чистая прибыль после уплаты налогов и до уплаты процентов за кредит. NOPAT=EBIT1T EBITоперац прибыль до выплаты и налогов IC=TANP TАактивы NP безпроцентные тек обязва WACC=KsWsKdWd1T WACC ICсколько должны заплатить за капитал Сущность концепции EVA заключается в том что ставка доходности на вложенный капитал должна покрывать все риски акционеров прдприятия связанные с инвестированием в эту компанию. Предприятие создает добавленную стоимость только в том случае если EVA принимает...
24871. Сущность понятий «цена капитала» и «отдача на капитал» 28.5 KB
  Факторы влияющие на цену капитала: 1 Общее состояние финансовой среды в том числе финансовых рынков. Общая стоимость капитала предприятия складывается из стоимостей его отдельных компонент. На практике основная сложность заключается в определении стоимости отдельных компонент капитала полученных из соответствующих источников.
24872. Теоретические и практические подходы к формированию дивидендной политики 31.5 KB
  Сигнальная теория;6.1 Теория нерелевантности дивидендов. 2 Теория предпочтения дивидендов. 3 Теория налоговых асимметрий.
24873. Целевая структура капитала 32.5 KB
  Под целевой структурой капитала понимается такое соотношение собственного и заемного капитала которое фиксирует менеджер при принятии инвестиционных и финансовых решений. Собственный капитал состоит из уставного добавочного и резервного капитала нераспределенной прибыли и целевых специальных фондов. Добавочный капитал может быть использован на увеличение уставного капитала погашение балансового убытка за отчетный год а также распределен между учредителями предприятия и на другие цели.
24874. Цели и задачи управления капиталом 28 KB
  Практически каждый человек обладающий тем или иным капиталом стремится к тому чтобы его какимлибо образом сохранить и приумножить. В этом собственно и заключается основная задача управления капиталом. Первоначальная задача управления капиталом сводится к наиболее точному определению его размера и возможностей.
24875. ЭФР и особенности его использования 27 KB
  ставку налога на П ЭR – СРСП – дифференциал финанс рычага СРСП – средн. рычага чем больше проценты и чем меньше прибыль тем больше сила финансового рычага и тем выше финансовый риск. Если заемные средства не привлекаются то сила воздействияфинансового рычага равна единице.
24876. Анализ структуры капитала компании 24.5 KB
  Составляющими собственного капитала являются: уставный капитал и нераспределенная прибыль. Под структурой капитала понимают соотношение собственного и заемного капитала фирмы. Под величинами собственного и заемного капитала чаще всего понимают значения сальдо соответствующих счетов правой части баланса.
24877. Базовые подходы к обоснованию ставки дисконтирования 27.5 KB
  ставка дисконта я ставка использая д перерасчета будх потоков Д в единую величину тек. смысле в роли ставки дисконта выступает требуемая инвестми ставка Д на вложенный К сопостав. ее как стоим привлеч п п К из различн источник ставка дисконтир = WAСС.
24878. Влияние структуры капитала на рентабельность собственных средств и стоимость обыкновенных акций 32.5 KB
  Первая концепция финансового рычага. Эффект финансового рычага DFL – это увеличение чистой рентабельности собственного капитала за счет использования предприятием заемных средств несмотря на платность последних. Величину DFL можно рассчитать по следующей формуле: DFL = [D E ] х [ ROA – i] х [1 – t] Где t – ставка налога на прибыль; E – собственные средства предприятия; D – заемные средства ROA –рентабельность активов; Соотношение заемных и собственных средств носит название плечо финансового рычага разница между экономической...