37959

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Лабораторная работа

Физика

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 1. Цель работы Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел. Момент инерции. Теорема Штейнера Моментом инерции материальной точки...

Русский

2013-09-25

284.5 KB

36 чел.

Содержание

                                                                                                                          стр.   

1.

Цель работы…………………………………………………………

4

2.

Теоретическая часть………………………………………………..

4

3.

Приборы и принадлежности……………………………………….

9

4.

Требования по технике безопасности……………………………..

9

5.

Порядок выполнения работы………………………………………

9

6.

Требования к отчёту………………………………………………..

14

7.

Контрольные вопросы……………………………………………...

14

Список литературы…………………………………………………

15

                        

                                                                                                            

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОМЕНТОВ  ИНЕРЦИИ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ

МЕТОДОМ  ТРИФИЛЯРНОГО  ПОДВЕСА

1.   Цель  работы

  1.  Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.
  2.  Проверка теоремы Штейнера.

2.   Теоретическая  часть

2.1.  Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки  mi  на квадрат ее расстояния до оси  

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело

.                                      (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько угодно малых частей объемом dV и массы  dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

,                                                      (2.2)

где  r  - расстояние  от  элемента  тела  объемом   dV  до  оси,  относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как  dm =  dV, где - плотность тела в данной области dV, то

.

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

.

Наиболее просто определяются моменты инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции  сплошного однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1).

Выделим элемент тела объемом dV и массы dm, длиной  dr, шириной rd и высотой h, где h- толщина диска отстоящий на расстоянии r от оси  OO, масса этого элемента  dm =  dV =  h dS =  h r d dr.

Момент инерции диска

                                            ρr3hdrd ,

                                           .                 (2.3)

     

            

                        Рис. 2.1  

Из (2.3) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.3) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент  инерции    тела относительно

любой    параллельной  оси можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера, согласно которой момент инерции I тела относительно произ-                                                                                             вольной оси равен сумме момента инерции тела  относительно оси,

параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения

массы тела m на квадрат расстояния а между осями

                                                    .                                          (2.4)

 Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

2.2. Метод трифилярного подвеса                                  

В настоящей работе моменты инерции твердых тел определяются с помощью трифилярного подвеса, представляющего собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса  r  (рис. 2.2). Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные  колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO.

                        r

             L

                      C   

                    R

                     Рис. 2.2

При повороте нижнего диска на угол вокруг оси OO его перемещение равно h (рис.2.3), а приращение потенциальной энергии                                                   

Eп=mgh ,

где  m - масса нижнего диска.

Колеблющийся диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его кинетическая

энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

,

где   I  - момент инерции диска относительно оси OO,

         - угловая скорость диска,

 v - скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол  его поворота изменяется со временем по закону

              ,

где  - амплитуда углового смещения,

      T – период колебаний;

а изменение потенциальной энергии диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где  - угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Отсюда момент инерции диска

                                                   .                                     (2.5)

Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

              .

Следовательно, максимальная угловая скорость   равна

  .                                                  (2.6)

Высоту h,  на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)

                                                    .                                    (2.7)

                                  О

                            r         

         L                                        

                                                                          l1             l                                                                                                                                         

                                                                                                       

А                    

       A1                                                             h

                R

Но

          (2.8)                                                                

С учетом уравнения (2.8) уравнение (2.7) запишем в виде

.

При малых углах        а  .  

Таким образом

.                                                    (2.9)

Подставляя (2.6) и (2.9) в (2.5) получим

                              .                                           (2.10)

Уравнение (2.10) можно применять не только для расчета момента инерции диска ( ) относительно оси OO, но и для расчета момента инерции диска с грузами ( I ). Момент инерции груза (  ) можно найти

                                                   .                                             (2.11)

3.  Приборы и принадлежности

Приборы и принадлежности:

- трифилярный подвес;

- набор тел (2 сплошных цилиндра, параллелепипед, полый цилиндр);

- электросекундомер;

- линейка.

  1.  Требования по технике безопасности

4.1. Прежде чем приступить к работе, внимательно ознакомьтесь с заданием и лабораторной установкой.

4.2. По окончании работы приведите в порядок свое рабочее место. Обесточьте электросекундомер.

  1.  Порядок выполнения работы

В работе определяются моменты инерции:

- ненагруженного диска;

- диска с грузами;

- грузов.

  Задания 5.4 и 5.5 выполняются по указанию преподавателя.

5.1. Определение момента инерции ненагруженного диска

1. Измерить радиус R нижнего диска, радиус r верхнего диска и длину L нитей. Масса диска  =(0,8885±0,0001) кг.

2. Повернуть диск на угол 5-6  градусов  вокруг оси OO и измерить электросекундомером время 20 полных колебаний.

3. Повторить измерения еще 2 раза и результаты записать в табл. 5.1.

4. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний период колебаний   

 ,

где n - число колебаний.

5. По формуле (2.10) вычислить момент инерции ненагруженного диска.

6. Рассчитать относительную и абсолютную погрешности измерения момента инерции диска .

Таблица 5.1

,

кг

R,  м

r,  м

l,  м

 ,  с

,cp,  с

 ,  с

,

кгм2

,

кгм2

ε, %

1

2

5.2. Определение  момента  инерции  сплошного  цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Расположить исследуемое тело на диске так, чтобы его ось симметрии совпала с осью OO (рис. 2.3).

2. Повернув диск на 5-6 градусов и OO 3 раза измерить время 20 полных колебаний.

3. Рассчитать среднее время и определить средний период колебаний Т нагруженного диска

   .                                                         (5.1)

4. По формуле 2.10 вычислить момент инерции Ic1 системы, принимая массу m равной сумме масс исследуемого тела и диска.

5. По формуле 2.11 определить момент инерции I1 цилиндра.

6. Рассчитать погрешности измерения момента инерции цилиндра.

7. Рассчитать момент инерции сплошного цилиндра относительно оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

  теорцил,

где mцил - масса цилиндра,

      r - радиус цилиндра.

8. Сравнить значения момента инерции сплошного цилиндра, полученные экспериментально и теоретически.

9. Внести результаты измерений и расчетов в табл. 5.2.

                                                                                                         Таблица 5.2

m,  кг

mцил,

кг

T,  с

tcp,  с

   ,

кгм2

   ,

кгм2

,

кгм2

ε, %

I1теор,

кгм2

1

2

3

5.3. Проверка теоремы Штейнера

1. Расположить строго симметрично на диске два цилиндра.

2. Повернув диск с цилиндрами на 5-6 градусов и OO, 3 раза измерить время 20 полных колебаний. По среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний нагруженного диска.

3. По формуле (2.10) рассчитать момент инерции  системы, принимая массу m, равной массе диска и двух цилиндров (цил).

4. Определить момент инерции I2 одного цилиндра по формуле

.

5. Рассчитать погрешности измерения.

6. Теоретическое значение момента инерции цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, определить по формуле

теорцилцил,

где r - радиус цилиндра,

    mцил- масса цилиндра,

    d - расстояние от оси вращения до центра тяжести цилиндра.

7. Результаты измерений внести в табл. 5.3.

Таблица 5.3

m,  кг

t,  с

tср,  с 

T, с 

 ,  

кгм2

 ,  

кгм2

,

кгм2

ε, %

теор,

кгм2

1

2

3

8. Сравнить экспериментальное значение момента инерции сплошного цилиндра, расположенного на расстоянии d от оси вращения, с теоретически рассчитанным значением.

5.4. Проверка  зависимости  момента  инерции  от  распределения                                                                                массы тела относительно оси.

1. Расположить параллелепипед основанием на диске так, чтобы ось симметрии проходила через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, принимая массу m, равной массе диска и параллелепипеда (m=m+ mпар).

4. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

  Iпар = - ,

5. Расположить параллелепипед боковой гранью на диске так, чтобы параллелепипед был расположен симметрично относительно диаметра диска, а ось вращения проходила бы через его центр тяжести.

6. Три раза определить время t , за которое происходит 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний Т.

7. По формуле (2.10) вычислить момент инерции I  нагруженного диска, используя значение периода Т.

8. Рассчитать момент инерции параллелепипеда по формуле

  Iпар = I  - ,

9. Рассчитать погрешности измерений.

10. Результаты измерений и вычислений внести в таблицу 5.4.

Таблица 5.4

m, кг

t,  с

tcp,  с

T, с

t,   c

tcp,

c

,

кгм2

Iпар,

кгм2

ΔIпар,

кгм2

I ,

 кгм2

Iпар,

кгм2

ΔIпар,

 кгм2

1

2

3

11. Сравнить значения Iпар и Iпар .

5.5. Определение момента инерции полого цилиндра относительно оси,   проходящей через центр масс тела

1. Расположить цилиндр основанием на диске так, чтобы ось симметрии  цилиндра через ось OO.

2. Три раза определить время t 20 полных колебаний и по среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний.

3. По формуле (2.10) вычислить момент инерции  нагруженного диска, , принимая массу m, равной массе диска и полого цилиндра (цил).

4. Рассчитать момент инерции  полого цилиндра по формуле (2.11).

5. Результаты измерений и вычислений внести в табл. 5.5.

Таблица 5.5

m,  кг

mцил,

кг

T,  с

tcp,  с

 

кгм2

,

кгм2

, 

кгм2

ε, %

I1теор,

кгм2

1

2

3

6. Формулу для расчета теоретического значения момента инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр симметрии, вывести самостоятельно. По полученной формуле рассчитать момент инерции исследуемого тела, выполнив предварительно необходимые измерения.

7. Сравнить экспериментальное значение момента инерции полого  цилиндра   с теоретически рассчитанным.

  1.  Требования к отчету

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

а) номер и название лабораторной работы;

б) основные формулы для выполнения расчетов;

в) таблицы с результатами измерений и вычислений;

г) формулы для расчета погрешностей измерений;

д) выводы.

7.   Контрольные вопросы

1. Что называется моментом  инерции  материальной  точки  относительно оси? Что называется моментом  инерции  тела относительно оси?

2. В чем суть теоремы Штейнера?

3. Как теорема Штейнера проверяется экспериментально?

4. В  какие  моменты  времени  абсолютное  значение  угловой  скорости диска будет максимальным?

  1.  Какой  закон  сохранения   применяется  при  выводе  формулы  для определения момента инерции экспериментальным путем? Сформулируйте его.

Выведите формулы для расчета моментов инерции полого (не тонкостенного) и сплошного цилиндров  относительно оси симметрии.

Список литературы 

  1.  Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. 1. - М.: Наука, 1998.- 336 с.

2. Детлаф А.Н., Яворский Б.М.  Курс физики. - М.: Высшая школа, 2000.-

  718 с.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1994.- 542 с.

        


Составитель РАБЧУК Людмила Васильевна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ                 

МЕТОДОМ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе №  1по курсу общей физики

                Редактор Соколова О.А.

       ЛР №      от     

Подписано к печати                      . Формат 60 х 84  1/16.

Бумага оберточная. Печать плоская. Times New Roman Cyr.

Усл. печ. л.  1,0.Усл. кр.-отт.  1,0. Уч-изд.л. 0,9.

Заказ №             . Тираж   300  экз.

Уфимский  государственный  авиационный  технический  университет

Уфимская типография № 2 Министерства печати и массовой информации Республики Башкортостан

450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса, 12

PAGE  5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33637. Актуальность проблемы обеспечения безопасности сетевых информационных технологий 13.99 KB
  Отставание в области создания непротиворечивой системы законодательноправового регулирования отношений в сфере накопления использования и защиты информации создает условия для возникновения и широкого распространения компьютерного хулиганства и компьютерной преступности. Особую опасность представляют злоумышленники специалисты профессионалы в области вычислительной техники и программирования досконально знающие все достоинства и слабые места вычислительных систем и располагающие подробнейшей документацией и самыми совершенными...
33638. Основные понятия информационной безопасности 31 KB
  В связи с бурным процессом информатизации общества все большие объемы информации накапливаются хранятся и обрабатываются в автоматизированных системах построенных на основе современных средств вычислительной техники и связи. Автоматизированная система АС обработки информации организационнотехническая система представляющая собой совокупность взаимосвязанных компонентов: технических средств обработки и передачи данных методов и алгоритмов обработки в виде соответствующего программного обеспечения информация массивов наборов баз...
33639. Классификация уязвимостей 37.5 KB
  Некоторые уязвимости подобного рода трудно назвать недостатками скорее это особенности проектирования. В Уязвимости могут быть следствием ошибок допущенных в процессе эксплуатации информационной системы: неверное конфигурирование операционных систем протоколов и служб использование нестойких паролей пользователей паролей учетных записей по умолчанию и др. по уровню в инфраструктуре АС К уровню сети относятся уязвимости сетевых протоколов стека TCP IP протоколов NetBEUI IPX SPX. Уровень операционной системы охватывает уязвимости...
33640. Основные механизмы защиты компьютерных систем 39 KB
  Основные механизмы защиты компьютерных систем Для защиты компьютерных систем от неправомерного вмешательства в процессы их функционирования и несанкционированного доступа НСД к информации используются следующие основные методы защиты защитные механизмы: идентификация именование и опознавание аутентификация подтверждение подлинности субъектов пользователей и объектов ресурсов компонентов служб системы; разграничение доступа пользователей к ресурсам системы и авторизация присвоение полномочий пользователям; регистрация и...
33641. Криптографические методы защиты информации, Контроль целостности программных и информационных ресурсов 37 KB
  Криптографические методы защиты информации Криптографические методы защиты основаны на возможности осуществления специальной операции преобразования информации которая может выполняться одним или несколькими пользователями АС обладающими некоторым секретом без знания которого с вероятностью близкой к единице за разумное время невозможно осуществить эту операцию. В классической криптографии используется только одна единица секретной информации ключ знание которого позволяет отправителю зашифровать информацию а получателю расшифровать...
33642. Защита периметра компьютерных сетей 48 KB
  В межсетевых экранах применяются специальные характерные только для данного вида средств методы защиты. Основные из них: трансляция адресов для сокрытия структуры и адресации внутренней сети; фильтрация проходящего трафика; управление списками доступа на маршрутизаторах; дополнительная идентификация и аутентификация пользователей стандартных служб на проходе; ревизия содержимого вложений информационных пакетов выявление и нейтрализация компьютерных вирусов; виртуальные частные сети для защиты потоков данных передаваемых по...
33643. Сетевые анализаторы и снифферы 63 KB
  Главный недостаток технологии Ethernet незащищенность передаваемой информации Метод доступа положенный в основу этой технологии требует от узлов подключенных к сети непрерывного прослушивания всего трафика. Узлы такой сети могут перехватывать информацию адресованную своим соседям. В общем смысле слово сниффер обозначает устройство подключенное к компьютерной сети и записывающее весь ее трафик подобно телефонным жучкам записывающим телефонные разговоры. В то же время сниффером программа запущенная на подключенном к сети узле и...
33644. Защита на канальном уровне 549.5 KB
  Технология создания защищенного виртуального канала по протоколу PPTP предусматривает как аутентификацию удаленного пользователя так и зашифрованную передачу данных. Программное обеспечение удаленного доступа реализующее PPTP может использовать любой стандарт криптографического закрытия передаваемых данных. Например сервер удаленного доступа Windows использует стандарт RC4 и в зависимости от версии 40 или 128разрядные сеансовые ключи которые генерируются на основе пароля пользователя. В протоколе PPTP определено три схемы его...
33645. ПРОТОКОЛЫ РАЗРЕШЕНИЯ АДРЕСОВ ARP 35.5 KB
  ПРОТОКОЛЫ РАЗРЕШЕНИЯ АДРЕСОВ RP. Для доставки дейтаграммы в локальной сети нужно определить физический адрес узла назначения. Именно для этого существует процедура автоматического определения физических адресов. Протокол разрешения адресов ddress Resolution Protocol RP обеспечивает метод динамической трансляции между IPадресом и соответствующим физическим адресом на основе широковещательных рассылок.