38014

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов. Строки 13 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2013-09-25

190 KB

44 чел.

2

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА: k = 1 + 3,333 × lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

1. Измерить сопротивления 100 резисторов одинакового номинала, данные занести в Таблицу 1 в порядке поступления (составить простой статистический ряд).       Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

...

21

...

41

...

61

...

81

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

20

...

40

...

60

...

80

...

100

...

2. Составить вариационный ряд, расположив данные в порядке возрастания с учетом повторяемости.     Таблица 2.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

3. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107-108 [108-109 [... и т.д., т.е. DRi=1,0 м

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 3 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения.

4. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала DR=1 Ом, а его высота (hi) = относительной  частоте, деленной на длину интервала.

- плотность относительной частоты, но так как DR=1 Ом, то плотность относительной частоты будет равна по своему численному значению .

Значения hi занести в Таблицу 3 (строка 4).

Таблица 3.

№1

J

107-108

108-109

109-110

110-111

111-112

112-113

113-114

2

mi

2

10

25

29

21

11

2

3

0,02

0,10

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

4

0,02

0,1

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

5

107,6

108,37

109,36

110,36

111,40

112,36

113,4

6

Zi

2,16

1,55

0,78

0,00

0,81

1,56

2,38

7

j (Zi)

0,0387

0,12

0,2943

0,3989

0,2874

0,1182

0,0235

8

0,030

0,094

0,230

0,312

0,225

0,092

0,018

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е.

5. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что распределенная случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению <Rв>, а среднее квадратичное - выборочному  среднему квадратичному, т.е.

= .  (1);

(2);

 (3);

6. По формуле (2) пункта 5 находят <Ri> для каждого интервала и вносят в строку таблицы 3.

Выражение закона для данных параметров будет иметь вид:

7. По следующей формуле (1) определить для всей выборки , т. е. искомое :

8. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

Ом

9. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 3.

С учетом известных Zi функция плотности вероятности примет вид:

10. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 3.

11. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

12. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

13. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25299. Філософський доробок С.Семковського 93 KB
  Тут він заснував першу в Україні кафедру марксизму і марксознавства яка потім перетворилася на Український інститут марксизму в якому до 1931 р. інституті марксизмуленінізму був створений філсоціолог. марксизму У 1918 р. кафедру марксизму і марксознавства яка потім перетв.
25300. В.Юринець та його філософський спадок 28.5 KB
  Юринець та його філософський спадок Юринець Володимир Олександрович 18911937.
25301. Слуховой анализатор 48.5 KB
  Средняя сосудистая оболочка в передней части глаза образует ресничное тело и радужную оболочку обуславливающую цвет глаз. Внутренняя сетчатая оболочка сетчатка или ретина содержит фоторецепторы глаза палочки и колбочки и служит для преобразования световой энергии в нервное возбуждение. Светопреломляющие среды глаза преломляя световые лучи обеспечивают четкое изображение на сетчатке. Основными преломляющими средами глаза человека являются роговица и хрусталик.
25302. Вкусовой и обонятельный анализатор 23.5 KB
  Хеморецепторы вкуса представляют собой вкусовые луковицы расположенные в эпителии языка задней стенке глотки и мягкого неба. Микроворсинки рецепторных клеток выступают из луковицы на поверхность языка и реагируют на растворенные в воде вещества. Рецепторы разных частей языка воспринимают четыре основных вкуса: горького задняя часть языка кислого края языка сладкого передняя часть языка и соленого яердняя часть и края языка.
25303. РОЛЬ СЕНСОРНЫХ СИСТЕМ В УПРАВЛЕНИИ ДВИЖЕНИЯМИ. СОМАТОСЕНСОРНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И КОРРЕКЦИЯ ДВИЖЕНИЙ 35.5 KB
  СОМАТОСЕНСОРНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ И КОРРЕКЦИЯ ДВИЖЕНИЙ Выполнение движений сопряжено с растягиванием кожи и давлением на отдельные ее участки поэтому кожные рецепторы оказываются включенными в анализ движений. Эта функциональная связь является физиологической основой комплексного кинестетического анализа движений при котором импульсы кожных рецепторов дополняют мышечную проприоцептивную чувствительность. Благодаря проприоцепции возможны коррекция уточнение движений в соответствии с текущими потребностями выполнения произвольного действия....
25304. Физиологические реакции живого организма 39 KB
  Раздражение Раздражителем живой клетки или организма как целого может оказаться любое изменение внешней среды или внутреннего состояния организма если оно достаточно велико возникло достаточно быстро и продолжается достаточно долго. Клетки значительно более чувствительны по отношению к своим адекватным раздражителям чем к неадекватным. Возбудимость Некоторые клетки и ткани нервная мышечная и железистая специально приспособлены к осуществлению быстрых реакций на раздражение.
25305. Стресс 33.5 KB
  0004 ГОМЕОСТАЗ Внутренняя среда организма в которой живут все его клетки это кровь лимфа межтканевая жидкость. Ее характеризует относительное постоянство гомеостаз различных показателей так как любые ее изменения приводят к нарушению функций клеток и тканей организма особенно высокоспециализированных клеток центральной нервной системы. Способность сохранять гомеостаз в условиях постоянного обмена веществ и значительных колебаний факторов внешней среды обеспечивается комплексом регуляторных функций организма. существовать и двигаться...
25306. Адаптация 28 KB
  У человека адаптация выступает как свойство организма которое обеспечивается автоматизированными самонастраивающимися саморегулирующимися системами сердечнососудистой дыхательной выделительной и др. Адаптация это эффективная и экономная адекватная приспособительная деятельность организма к воздействию факторов внешней среды. Чем выше уровень интеграции координированности сложных регуляторных процессов тем эффективнее адаптация.
25307. Природа потенциала покоя 28.5 KB
  Согласно этой теории биоэлектрические потенциалы обусловлены неодинаковой концентрацией ионов К' N3' СГ внутри и вне клетки и различной проницаемостью для них поверхностной мембраны. Протоплазма нервных и мышечных клеток содержит в 3050 раз больше ионов калия в 810 раз меньше ионов натрия и в 50 раз меньше ионов хлора чем внеклеточная жидкость. На структурных элементах мембраны фиксируются различные ионы что придает стенкам ее пор тот или иной заряд и тем самым затрудняет или облегчает прохождение через них ионов. Так предполагается...