38014

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов. Строки 13 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2013-09-25

190 KB

43 чел.

2

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА: k = 1 + 3,333 × lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

1. Измерить сопротивления 100 резисторов одинакового номинала, данные занести в Таблицу 1 в порядке поступления (составить простой статистический ряд).       Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

...

21

...

41

...

61

...

81

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

20

...

40

...

60

...

80

...

100

...

2. Составить вариационный ряд, расположив данные в порядке возрастания с учетом повторяемости.     Таблица 2.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

3. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107-108 [108-109 [... и т.д., т.е. DRi=1,0 м

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 3 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения.

4. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала DR=1 Ом, а его высота (hi) = относительной  частоте, деленной на длину интервала.

- плотность относительной частоты, но так как DR=1 Ом, то плотность относительной частоты будет равна по своему численному значению .

Значения hi занести в Таблицу 3 (строка 4).

Таблица 3.

№1

J

107-108

108-109

109-110

110-111

111-112

112-113

113-114

2

mi

2

10

25

29

21

11

2

3

0,02

0,10

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

4

0,02

0,1

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

5

107,6

108,37

109,36

110,36

111,40

112,36

113,4

6

Zi

2,16

1,55

0,78

0,00

0,81

1,56

2,38

7

j (Zi)

0,0387

0,12

0,2943

0,3989

0,2874

0,1182

0,0235

8

0,030

0,094

0,230

0,312

0,225

0,092

0,018

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е.

5. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что распределенная случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению <Rв>, а среднее квадратичное - выборочному  среднему квадратичному, т.е.

= .  (1);

(2);

 (3);

6. По формуле (2) пункта 5 находят <Ri> для каждого интервала и вносят в строку таблицы 3.

Выражение закона для данных параметров будет иметь вид:

7. По следующей формуле (1) определить для всей выборки , т. е. искомое :

8. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

Ом

9. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 3.

С учетом известных Zi функция плотности вероятности примет вид:

10. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 3.

11. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

12. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

13. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36833. НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ 110.57 KB
  Научные положения дисциплины «Неразрушающий контроль и диагностика электрооборудования» сформулированы на основе теории электромагнитных полей, специальных разделов математики, таких как теория функций комплексных чисел, конформных преобразований, теории рядов, теории симметрии. При изучении дисциплины необходимо знание высшей математики, основ теории поля, основ программирования.
36834. web-сайта для Парка культуры и отдыха имени М. Горького 2.78 MB
  Суть нашего дипломного проекта облегчить жителям Ростова-на-Дону и приезжим гостям поиск мест проведения досуга. На сайте они смогут узнать месторасположение Парка им. М. Горького, проводимые мероприятия в парке и время их проведения
36835. Изменение сопротивления гальванометра методом мостиковой схемы (Уинстона) 22.65 KB
  №1 А сила тока на однородном участке цепи прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально электрическому сопротивлению этого участка. I= I=Сила тока U=напряжение R= сопротивление в замкнутой цепи. R А v...
36836. Зависимость полезной мощности и коэффициент полезного действия источника тока от сопротивления внешней нагрузки 18.02 KB
  А 2011 Цель: На практике экспериментально проверить четкие выводы о зависимости полезной мощности и коэффициент полезного действия источника тока от сопротивления внешней нагрузки а следовательно и силы тока в цепи . №1 А сила тока на однородном участке цепи прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально электрическому сопротивлению этого участка....
36837. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЁМА И ПЛОТНОСТИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ 257.5 KB
  Определение линейных размеров объёмов и плотностей твёрдых тел. Действительно все великие открытия в физике были выполнены с помощью измерений. Однако измерения необходимы не только в научноисследовательской работе.
36838. РЕАКЦИИ ОБМЕНА МЕЖДУ РАСТВОРАМИ ЭЛЕКТРОЛИТОВ, ИДУЩИХ ДО КОНЦА, ИСПЫТАНИЕ РАСТВОРОВ СОЛЕЙ НА ИНДИКАТОРЫ 66.5 KB
  Тема: РЕАКЦИИ ОБМЕНА МЕЖДУ РАСТВОРАМИ ЭЛЕКТРОЛИТОВ ИДУЩИХ ДО КОНЦА ИСПЫТАНИЕ РАСТВОРОВ СОЛЕЙ НА ИНДИКАТОРЫ. Умения: Обосновывать мероприятия по внедрению методик качественного анализа проводя реакции ионного обмена между растворами электролитов. Перечень заданий: Случаи течения реакции до конца. Теоретические основы:...
36840. Планировка площадки производится бульдозером Д-385 581 KB
  Вид разрабатываемого грунта – песок 3. Дальность транспортирования грунта 7. Среднее расстояние перемещения грунта в пределах площадки 2.Предварительный выбор технологии производства планировочных работ Так как то разработку и перемещение грунта из выемки в насыпь будем производить бульдозером.
36841. КОМПЬЮТЕРНАЯ СИСТЕМА PROJECT EXPERT. РАЗРАБОТКА СТРАТЕГИИ ФИНАНСИРОВАНИЯ ПРОЕКТА 48 KB
  РАЗРАБОТКА СТРАТЕГИИ ФИНАНСИРОВАНИЯ ПРОЕКТА Цель: изучить систему команд Project Expert формирования и анализа различных источников финансирования проекта. На основе анализа собственного и заемного капитала разработать стратегии финансирования проекта выплаты дивидендов использования свободных денежных средств. В процессе разработки стратегии финансирования проекта пользователь имеет возможность промоделировать объем и периодичность выплачиваемых дивидендов а также стратегию использования свободных денежных средств например размещение...