38014

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов. Строки 13 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2013-09-25

190 KB

44 чел.

2

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА: k = 1 + 3,333 × lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

1. Измерить сопротивления 100 резисторов одинакового номинала, данные занести в Таблицу 1 в порядке поступления (составить простой статистический ряд).       Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

...

21

...

41

...

61

...

81

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

20

...

40

...

60

...

80

...

100

...

2. Составить вариационный ряд, расположив данные в порядке возрастания с учетом повторяемости.     Таблица 2.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

3. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107-108 [108-109 [... и т.д., т.е. DRi=1,0 м

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 3 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения.

4. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала DR=1 Ом, а его высота (hi) = относительной  частоте, деленной на длину интервала.

- плотность относительной частоты, но так как DR=1 Ом, то плотность относительной частоты будет равна по своему численному значению .

Значения hi занести в Таблицу 3 (строка 4).

Таблица 3.

№1

J

107-108

108-109

109-110

110-111

111-112

112-113

113-114

2

mi

2

10

25

29

21

11

2

3

0,02

0,10

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

4

0,02

0,1

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

5

107,6

108,37

109,36

110,36

111,40

112,36

113,4

6

Zi

2,16

1,55

0,78

0,00

0,81

1,56

2,38

7

j (Zi)

0,0387

0,12

0,2943

0,3989

0,2874

0,1182

0,0235

8

0,030

0,094

0,230

0,312

0,225

0,092

0,018

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е.

5. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что распределенная случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению <Rв>, а среднее квадратичное - выборочному  среднему квадратичному, т.е.

= .  (1);

(2);

 (3);

6. По формуле (2) пункта 5 находят <Ri> для каждого интервала и вносят в строку таблицы 3.

Выражение закона для данных параметров будет иметь вид:

7. По следующей формуле (1) определить для всей выборки , т. е. искомое :

8. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

Ом

9. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 3.

С учетом известных Zi функция плотности вероятности примет вид:

10. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 3.

11. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

12. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

13. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21624. Оформление текста документа Word 606 KB
  Описаны основные характеристики шрифта размер гарнитура цвет начертание подчеркивание и способы их установки. Основы оформления текста документа Для оформления документа используют панель инструментов Форматирование и команды меню Формат рис. Рис. Панель инструментов и меню используемые для оформления документа Установка основных параметров шрифта Шрифт Шрифт определяет внешний вид символов текста рис.
21625. Расширенные возможности оформления текста документов Word 715.5 KB
  Для оформления документа используют панели инструментов Форматирование Таблицы и границы и команды меню Формат рис. контур отображение внутренней и внешней границы каждого знака. Использование смещения символов Установка границ Обрамление абзацев и текста Для выделения частей документа оформления заголовков и в некоторых других случаях применяются различные рамки границы. При обрамлении удобно воспользоваться панелью инструментов Таблицы и границы рис.
21626. Создание списка в Word 538 KB
  Оформление нумерованных списков При оформлении нумерованных списков следует иметь в виду что элементом списка может быть только абзац. Для создания простейшего нумерованного списка надо выделить нумеруемые абзацы и нажать кнопку Нумерованный список по умолчанию панели инструментов Форматирование рис. Создание простейшего нумерованного списка Для оформления нумерованного списка выполните команду Формат Список или команду Список контекстного меню.
21627. Создание и оформление таблиц в Word 1.13 MB
  Представлены способы создания таблиц добавления и удаления столбцов и строк таблицы. Общие сведения о таблицах Таблицы в документах Microsoft Word используют большей частью для упорядочивания и представления данных. В таблицах можно производить вычисления таблицы можно использовать для создания бланков документов. Для работы с таблицами используют команды меню Таблица элементы панелей инструментов Стандартная Форматирование Таблицы и границы и Базы данных рис.
21628. Создание теста документа в MS Word 586 KB
  Представлены приемы использования табуляции при создании текста документа. Использование табуляции О табуляции Табуляция используется для выравнивания текста в пределах строки. Позиции табуляции позволяют перемещать курсор по строке клавишей клавиатуры Tab на определенные расстояния от левого поля. В Microsoft Word всегда есть позиции табуляции установленные по умолчанию.
21629. Двигательные нарушения при ДЦП 51 KB
  Существует условное деление мышц на тонические обеспечивающие поддержание поз и фазические осуществляющие динамические движения. Разные функции мышц обеспечиваются составом входящих в мышцу разных двигательных единиц ДЕ. Преобладание быстрых ДЕ обеспечивает динамические движения например двуглавая и трехглавая мышцы плеча при баллистических движениях.
21630. Понятие о ДЦП: эпидемиология, классификация, этиология 44 KB
  Семеновой 1999 ДЦП на территории России в 1962 году составлял 04 случая на 1000 детского населения а в 1992 9 случаев на 1000 детского населения. В Украине как и во всем мире также растет численность детей страдающих ДЦП. ДЦП описан еще в трудах Гиппократа и К.
21631. Адаптивное физическое воспитание детей с ДЦП 153.5 KB
  Второй период реализуется в дошкольных учреждениях компенсирующего и комбинированного вида имеющих специализированные группы детей с ДЦП. Понятие о ДЦП: эпидемиология классификация этиология ДЦП органическое поражение мозга возникающее в период внутриутробного развития в родах и в период новорожденности и сопровождающееся двигательными речевыми и психическими нарушениями.Семеновой 1999 ДЦП на территории России в 1962 году составлял 04 случая на 1000 детского населения а в 1992 9 случаев на 1000 детского населения.