38014

Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Составить интервальную таблицу частот статистический интервальный ряд распределения: а Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов. Строки 13 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Русский

2013-09-25

190 KB

43 чел.

2

ЛАБОРАТОРНАЯ   РАБОТА  № 1

ТЕМА: Изучение нормального закона распределения случайных величин (закон Гаусса) на основе опытных данных

ЦЕЛЬ: Изучить статистические закономерности распределения случайных отклонений величины сопротивления резисторов от их номинала

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия резисторов, то качественным признаком может служить стандартность резистора, а количественным - контролируемое сопротивление резистора.

Изучение случайной величины связано с выполнением ряда независимых опытов (измерений), в которых она принимает определённые значения. Полученные опытные значения случайной величины представляют простой статистический ряд.

Генеральной совокупностью называют совокупность, включающая в себя все члены или объекты данной статистической совокупности, которые могут быть отнесены к этой совокупности.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 резисторов отобрали для обследования 100, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.

Пусть для изучения количественного признака R (сопротивления резисторов) из генеральной совокупности извлекается выборка  R1, R2, R3, …, Ri ,… объемом, равным n. Наблюдавшиеся значения Ri признака R называют вариантами, а последовательность вариант,  записанную в возрастающем порядке, вариационным рядом.

Число mi наблюдений некоторого признака R = Ri называют частотами, а их отношение к объему выборки n - относительными частотами: .

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

В случае большого количества вариант и непрерывности признака статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого весь диапазон значений случайных величин разбивают на k интервалов. Число интервалов определяют по формуле СТЕРДЖЕССА: k = 1 + 3,333 × lg n,

где n – объем выборки.

Ширину интервала находят по формуле: .

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

1. Измерить сопротивления 100 резисторов одинакового номинала, данные занести в Таблицу 1 в порядке поступления (составить простой статистический ряд).       Таблица 1.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

...

21

...

41

...

61

...

81

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

20

...

40

...

60

...

80

...

100

...

2. Составить вариационный ряд, расположив данные в порядке возрастания с учетом повторяемости.     Таблица 2.

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

R, Ом

1

107,5

21

109,1

41

110,0

61

110,8

81

111,5

2

107,7

22

109,2

42

110,0

62

110,8

82

111,5

3

108,0

23

109,3

43

110,1

63

110,8

83

111,6

4

108,1

24

109,3

44

110,1

64

110,8

84

111,8

5

108,2

25

109,4

45

110,1

65

110,8

85

111,9

6

108,2

26

109,4

46

110,2

66

110,9

86

111,9

7

108,3

27

109,4

47

110,2

67

111,0

87

111,9

8

108,4

28

109,6

48

110,2

68

111,0

88

112,0

9

108,5

29

109,6

49

110,2

69

111,0

89

112,1

10

108,5

30

109,6

50

110,2

70

111,1

90

112,1

11

108,7

31

109,6

51

110,3

71

111,2

91

112,1

12

108,8

32

109,6

52

110,3

72

111,2

92

112,2

13

109,0

33

109,7

53

110,3

73

111,2

93

112,3

14

109,0

34

109,7

54

110,3

74

111,3

94

112,4

15

109,0

35

109,8

55

110,4

75

111,3

95

112,5

16

109,0

36

109,8

56

110,4

76

111,3

96

112,5

17

109,0

37

109,9

57

110,5

77

111,4

97

112,9

18

109,0

38

110,0

58

110,5

78

111,4

98

112,9

19

109,0

39

110,0

59

110,5

79

111,5

99

113,3

20

109,1

40

110,0

60

110,6

80

111,5

100

113,5

3. Составить интервальную таблицу частот (статистический интервальный ряд распределения):

а) Разбить весь диапазон случайных величин на k интервалов:

[107-108 [108-109 [... и т.д., т.е. DRi=1,0 м

б) Подсчитать число случайных величин вошедших в каждый интервал (определить частоту событий mi).

в) Найти относительную частоту событий: .

г) Данные занести в Таблицу 3 (строки 1-3). Строки 1-3 Таблицы 3 называют статистическим интервальным рядом распределения.

4. Интервальный ряд распределения изобразить графически в виде гистограммы.

Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат на каждом интервале следует построить прямоугольник, площадь которого равна  – относительной частоте данного интервала. Для этого основание прямоугольника, в выбранном масштабе, должно быть равно длине интервала DR=1 Ом, а его высота (hi) = относительной  частоте, деленной на длину интервала.

- плотность относительной частоты, но так как DR=1 Ом, то плотность относительной частоты будет равна по своему численному значению .

Значения hi занести в Таблицу 3 (строка 4).

Таблица 3.

№1

J

107-108

108-109

109-110

110-111

111-112

112-113

113-114

2

mi

2

10

25

29

21

11

2

3

0,02

0,10

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

4

0,02

0,1

0,25

0,29

0,21

0,11

0,02

5

107,6

108,37

109,36

110,36

111,40

112,36

113,4

6

Zi

2,16

1,55

0,78

0,00

0,81

1,56

2,38

7

j (Zi)

0,0387

0,12

0,2943

0,3989

0,2874

0,1182

0,0235

8

0,030

0,094

0,230

0,312

0,225

0,092

0,018

По данным строк 1 и 4 в выбранном масштабе построить гистограмму (см. рис. 1).

Всю совокупность  полученных полосок  ограничим сверху  ломаной  ступенчатой линией. Эта линия и называется гистограммой и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений. Площадь всех прямоугольников будет равна единице, т.е.

5. Для определения закона распределения случайной величины предположим, что распределенная случайная величина R подчиняется нормальному закону, т.е. её плотность распределения её вероятности задается формулой:

Один из методов определения неизвестных параметров состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание было равно выборочному среднему значению <Rв>, а среднее квадратичное - выборочному  среднему квадратичному, т.е.

= .  (1);

(2);

 (3);

6. По формуле (2) пункта 5 находят <Ri> для каждого интервала и вносят в строку таблицы 3.

Выражение закона для данных параметров будет иметь вид:

7. По следующей формуле (1) определить для всей выборки , т. е. искомое :

8. Определить выборочное среднее квадратическое отклонение:

Ом

9. Для определения частных значений функции распределения  следует предварительно вычислить значение Zi по формуле:

и занести в строку 6 Таблицы 3.

С учетом известных Zi функция плотности вероятности примет вид:

10. Выделим функцию , тогда .

Значения функции  определить из таблицы Приложения 1 (Лобоцкая Н. Л. Высшая математика, 1987 – стр. 295) и поместить в соответствующую строку Таблицы 3.

11. Определить значение функции

и заполнить последнюю строку таблицы.

12. По данным строк 5 и 8 Таблицы 2 в координатных осях рисунка 1 построить точки с координатами (; ) и соединить их плавной кривой.

13. Сравнить площади под гистограммой и кривой распределения, сделать заключения о характере распределения исследуемой случайной величины.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68596. ИМПУЛЬСИВНОСТЬ/РЕФЛЕКТИВНОСТЬ: К ПРОБЛЕМЕ ЭФФЕКТА МОБИЛЬНОСТИ КОГНИТИВНЫХ СТИЛЕЙ СТУДЕНТОВ 73.5 KB
  Установлено что одним из факторов вызывающим эффект мобильности импульсивности рефлективности молодых людей выступает когнитивный стиль преподавателя с которым они в данный момент находятся в ситуации учебного взаимодействия. Впервые термин когнитивный стиль появился...
68598. Программирование рекурсивных алгоритмов 38.5 KB
  Если функция вызывает себя в стеке создается копия значений ее параметров как и при вызове обычной функции после чего управление передается первому исполняемому оператору функции. При завершении функции соответствующая часть стека освобождается и управление передается вызывающей функции выполнение...
68599. Исследование способов работы с функциями 60.5 KB
  В данной функции значения переменных x и y являющихся формальными параметрами меняются местами но поскольку эти переменные существуют только внутри функции chnge значения фактических...
68600. Использование функций для решения прикладных задач 61.5 KB
  Цель занятия: Совершенствование навыков разработки программ в среде программирования MS Visual C++ Совершенствование навыков использования циклов и ветвлений в программах Получение начальных навыков в объявлении и использовании функций.
68601. Обработка одномерных массивов. Организация ввода-вывода и обработки массива 43 KB
  Освоение способов описания массива, приобретение навыков организации ввода-вывода и обработки массива. Выполнение работы: в соответствии с вариантом составить и реализовать программы. Задание I Даны два массива разных размеров. Определить, какие элементы первого массива и сколько раз встречаются во втором массиве.
68602. Рулевое управление грузовых автомобилей с встроенным гидроусилителем 57.59 KB
  1 Усилитель тормозного привода 2 Крышка со встроенным контактом предупредительного сигнала при аварийном падении уровня тормозной жидкости F34 3 Бачок для тормозной жидкости гидравлического тормозного привода 4 Уплотнительное кольцо 5 Гайка самоконтрящаяся 20 Нм6 Штифт 7 Главный тормозной цилиндр...
68603. Рулевое управление грузовых авто с отдельно-расположенным ГУР 81.25 KB
  Конструктивные особенности Распределитель состоит из корпуса 13 и золотника 30. На внутренней поверхности корпуса золотника имеются три кольцевые канавки. Корпус золотника прикреплен к фланцу корпуса 6 шарниров. Буртик в крайних положениях упирается в торец корпуса 13 распределителя и в торец корпуса...
68604. Тормозные механизмы 64.22 KB
  Барабанный тормозной механизм состоит из следующих основных компонентов рис. Тормозной щит жестким креплением монтируется на колесной балке; на щите закреплен рабочий тормозной цилиндр. Несколько иную конструкцию имеет дисковый тормозной механизм. тормозной диск; тормозной суппорт...