38018

ИЗУЧЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Лабораторная работа

Физика

Ознакомление с физическим и математическим маятниками изучение периодического движения маятников как примера колебаний в системах с одной степенью свободы. Измерение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника. Измерение периода колебаний физического маятника и сравнение его с расчётным значением. Измерение момента инерции тела сложной формы с помощью физического маятника.

Русский

2013-09-25

98.63 KB

43 чел.

11

ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

ИЗУЧЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО И

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

г. Калининград

2001

       1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

        1.1. Ознакомление с физическим и математическим маятниками, изучение периодического движения маятников как примера колебаний в системах с одной степенью свободы.

        1.2. Измерение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника.

        1.3. Измерение периода колебаний физического маятника и сравнение его с расчётным значением.

        1.4. Измерение момента инерции тела сложной формы с помощью физического маятника.

       ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ РЕКВИЗИТ:  груз, ручной секундомер (при необходимости).

2. ВВЕДЕНИЕ

Колебаниями называются периодические изменения состояния некоторой системы, обладающей положением устойчивого равновесия (покоя) и характеризующейся собственной частотой колебаний.

Частным случаем (и наиболее наглядным) являются механические системы (устройства), в которых могут возникать периодические движения (поступательное, вращательное, плоское и т.д.), т.е. колебания, когда через равные интервалы времени повторяются значения координат, скоростей, ускорений, энергий и т.п. тел (точек), образующих данную систему.

Если положение механической системы в пространстве можно определить с помощью одного параметра (линейной либо угловой координаты), тогда такая система называется системой с одной степенью свободы.

В данной работе будут рассмотрены механические системы с одной степенью свободы, обладающие положением устойчивого равновесия и собственной  частотой колебаний.

Частотой (обыкновенной) νо называется число одинаковых состояний в единицу времени. Единица измерения νо -  Гц. Однако при изучении колебаний оказывается удобным использовать также другой интервал времени Δt = 2π сек. и, соответственно, применять другое значение частоты КО, как числа одинаковых состояний за время 2π сек. Частота КО   называется собственной циклической частотой данной системы, её размерность [КО] =  c-1  и она связана с частотой  νо соотношением КО =  2π νо.Необходимость введения двух значений частот объясняется тем, что обыкновенную частоту νо можно найти из опыта, измеряя число одинаковых состояний на некотором промежутке времени; циклическую частоту КО можно вычислить теоретически, зная параметры системы.       Периодом колебаний ТО называется интервал времени между двумя ближайшими одинаковыми состояниями. Очевидно:  c  и   c.

Физическим маятником    называется устройство, содержащее твёрдое тело, подвешенное  в гравитационном поле на оси, не проходящей через центр масс тела (рис. 1).

D - точка на оси подвеса

С - центр масс

|DC|  = l 

d - плечо силы

Рис. 1

D

C

φ

d


       Согласно рис. 1, подвешенное в точке D тело будет покоиться (находиться в состоянии устойчивого равновесия), если  точки D и C будут расположены на одной вертикали. В этом случае сила тяжести G  уравновешена силой реакции N оси подвеса. Кроме того, все моменты сил относительно оси подвеса равны нулю.

Однако, если тело отклонить на некоторый  угол φ (показан на рис. 1), тогда появляется момент силы тяжести, численно равный

                                             φ,

где   φ  =  d  (момент силы реакции остается нулевым, т.к. эта сила приложена в точке подвеса).

Учитывая направления проекции вектора момента , получаем следующее уравнение вращательного движения тела вокруг оси в точке  D:

                                           φ,                                               (1)      

            где      -  момент инерции тела относительно оси подвеса;

                         -  масса тела;

                          -  ускорение силы тяжести.

                                              

Будем  считать угол отклонения φ малым, чтобы выполнялось условие

                                                φ ≈ φ

Тогда уравнение (1)  запишется в виде:

                                            φ                                                   (2)            

Преобразуем уравнение (2), перенося все его члены в левую часть и разделив на коэффициент при первом члене:

                                            = 0                                                   (3)       

Обозначим:

                                            = К02

и получим

                                         φ  = 0                                                   (3а)         

В математике уравнения типа (3а) называются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Заметим, что линейность этого уравнения в данном случае обусловлена малостью отклонений от положения устойчивого равновесия. В теории дифференциальных уравнений доказано, что решением уравнения (3а) является функция  

                                     ,                                                (4)

где    -  амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия);

  -  начальная фаза, т.е. параметр, характеризующий начальное положение тела;

 -  собственная циклическая частота колебаний.

Подчеркнём, что частота    может быть вычислена заранее, если известны момент инерции, масса и положение центра масс тела.

Согласно выражению (4) угол поворота будет периодически изменяться с течением времени, т.е. тело, подвешенное, как показано на рис. 1, начнет поочерёдно отклоняться то влево, то вправо от вертикали, повторяя свои положения через равные промежутки времени. Таким образом, возникают колебания, в процессе которых будут повторяться  также значения угловых скоростей и ускорений, кинетической и потенциальной энергий и т.д. Само же тело при этом совершает частный вид механического движения - вращение вокруг оси подвеса.

Математическим  маятником  называется некоторое идеализированное устройство, содержащее материальную точку, подвешенную в гравитационном поле на жёстком невесомом стержне, способном вращаться на оси, проходящей через точку подвеса.

Очевидно, что математический маятник - это частный случай физического маятника при условии, что центр массы подвешенного тела расположен в его нижней точке. Следовательно, момент инерции в  такой конструкции равен   

J =  ml2 ,    где  l  -  расстояние до оси подвеса.

Уравнение (3) запишется в виде:

 

                                                                       

или                                            φ  = 0,                                                   (5)          

                                 где          

Решением уравнения (5) попрежнему будет функция вида (4). Но при этом частота К0 определяется только длиной  l, т.е. расстоянием от оси подвеса до точки, где сосредоточена масса системы.

3.   ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка  показана на рис. 2 и совмещает два типа маятников: физический и математический.

С помощью поворотного кронштейна  3  можно поочерёдно проводить измерения с математическим и физическим маятниками, измеряя периоды их колебаний миллисекундомером  4.

Устройство и принцип действия миллисекундомера рассмотрены ниже.

Математический маятник  представляет собой шарик, подвешенный на двух нитях (бифилярный подвес), разведённых под некоторым углом, что обеспечивает сохранение  плоскости качания. Длина подвеса шарика регулируется колесиком 7, на которое намотана часть нити.

 3    

 5    

 6    

10    

7

9    

8    

3    

4  

1  

       Рис. 2.

                                         

                                                     Рис.2

1 -  основание на регулируемых опорах; 2 -  вертикальная стойка;

3 -  поворотный кронштейн; 4 -  миллисекундомер; 5 -  шарик (деталь математического маятника); 6 -  две нити (бифилярный подвес в математическом маятнике);

7  -  регулятор длины математического маятника; 8  -  круглый стержень (деталь математического маятника); 9  -  опорная призма (деталь физического маятника);

10  -  груз, закрепляемый на стержне 8.

Физический маятник   представляет собой тонкий стержень массой mст= =  (370 ± 3) г и полной длиной Lст = (0,590 ± 0,002) м.   На стержне нанесены кольцевые риски на расстоянии 1 см.

Стержень подвешивается на кронштейне 3 с помощью призмы 9, опирающейся в углубления на кронштейне, что обеспечивает сохранение оси поворота при качаниях стержня.

На стержень может быть насажен дополнительный груз 10 массой mгр = (1100 ± 5) г.

Миллисекундомер включает в себя фотоэлектрический датчик, а также  прибор с цифровой индикацией времени опыта и количества периодов колебания маятника (рис. 3).

Табло числа периодов

Табло времени

Рис. 3.

      «Сеть»     « Стоп»  «Сброс»

Фотоэлектрический датчик содержит осветитель,  дающий световой луч, попадающий на фотоэлемент (рис. 4).

фотоэлемент              луч света          осветитель       

Ф

Рис. 4

Прерывание светового луча даёт сигнал, поступающий на прибор с цифровой индикацией. Физический и математический маятники в опыте должны быть установлены таким образом, чтобы при движении конец стержня либо  шарик двигались в зазоре фотоэлектрического датчика, прерывая луч, направленный от осветителя к фотоэлементу. Счётная схема прибора выполнена таким  образом, что каждое второе прерывание луча отмечается на табло числа периодов колебаний.

При выполнении эксперимента необходимо:

 

        3.1. В соответствии с заданием  поворотом кронштейна 3 установить математический или физический маятник в зазоре фотоэлектрического датчика.

3.2. Выполнить необходимые измерения длин и установку дополнительного груза на  физическом маятнике (для п. 4.3.).

3.3. Включить шнур электропитания.

3.4. Нажать кнопку “Сеть” на лицевой панели миллисекундомера, при этом должны загореться лампочка фотодатчика и цифровые индикаторы.

3.5. Отвести рукой маятник примерно на  100, нажать кнопку “Сброс”.

        3.6. Отпустить маятник, одновременно отпустив кнопку  “Сброс” миллисекундомера. Убедиться, что на табло регистрируется время и число периодов колебаний.

        3.7. В момент индикации цифры «9» быстро нажать  кнопку “Стоп”. При этом счёт времени и числа периодов прекращаются.

3.8. Записать показания на табло и повторить опыт согласно заданию.

3.9. По окончании измерений выключить прибор.

        3.10. Во всех расчётах случайных статистических погрешностей величину доверительной вероятности  р принять равной 0,9. Общие указания по расчёту погрешностей смотри в  методическом пособии № 100.

4. Экспериментальная часть и обработка результатов

  1.  Измерение ускорения силы тяжести с помощью математического маятника

4.1.1. Поворотом кронштейна 3 установить шарик математического маятника в зазоре фотодатчика 4, при этом стопорный винт нити должен располагаться вертикально.

4.1.2. Отрегулировать длину нитей, чтобы кольцевая риска на шарике располагалась горизонтально и находилась на одном уровне с лучом,  идущим от осветителя к фотоэлементу (проверяется по чёрной полоске на корпусе фотодатчика).

4.1.3. Измерить (по вертикали) длину маятника lм (до центра тяжести) и записать результат с учётом погрешности измерения.

4.1.4. Отклоняя маятник примерно на  100, измерить время 10 периодов колебаний. Измерения повторить 5 - 10 раз (по указанию преподавателя), записать полученные данные в таблицу. Таблицу для расчётных данных студент готовит самостоятельно.

                                                                                                                 

                                                                                                          Таблица

Колич.

имер.,

   n

      Общее время колебаний, с

        Период колебания (Т), с

Матем.

    Физич.

Физ. с груз.

 Матем.

   Физич.

Физ. с груз.

    1

«

Найти среднее экспериментальное значение периода Т и погрешность его измерения с учётом случайной статистической ошибки

Учитывая, что при колебаниях математического маятника имеем , определить ускорение силы тяжести и его погрешность как косвенного измерения.  При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями № 100.

  1.  Измерение периода колебаний физического маятника

  1. Закрепить призму подвеса на однородном стержне таким образом, чтобы опорный срез призмы находился на расстоянии  а = 6 см от верхнего конца стержня (см. рис. 5).

Поворотом кронштейна 3 установить подвешенный на призме стержень в зазоре фотодатчика 4. Проверить, чтобы конец стержня перекрывал линию светового луча в фотодатчике.

Отклоняя стержень примерно на  100, измерить время 10 периодов колебаний. Измерения повторить 5 -10 раз (по указанию преподавателя). Записать полученные данные в таблицу.

Найти среднее экспериментальное значение периода Т´ и погрешность его измерения с учётом случайной статистической ошибки.

4.2.2. Вычислить теоретическое значение периода колебаний физического маятника, состоящего из одного стержня, подвешенного способом, указанным в  п. 4.2.1. Для этого надо найти квадрат собственной циклической частоты согласно формуле:

,

где    lст      -      расстояние от оси подвеса стержня до его центра масс;

        J1D    -      момент инерции стержня относительно оси;

        g = 9,81 м·с-2.      

Примечания:  1.  В данном случае центр масс находится на середине стержня ввиду его однородности.

                2.  Момент инерции определяется теоремой Штейнера:

J1D = JC + mст lст 2,                                                  (6)

       где: JC =   - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс (Lст – полная длина стержня,  mст – его масса, см. л.7);

       lст  - расстояние от центра масс стержня до оси его подвеса.

                 3. Погрешность размера lст считать равной  Δℓст = ± 2 мм.

Затем учесть, что , и вычислить теоретическое значение периода колебаний Т´´ с учётом погрешности, определяемой погрешностями массы стержня и геометрических размеров. При этом погрешность вычисления момента инерции необходимо определить отдельным расчётом.

4.2.3. Сравнить экспериментальное Т´  и теоретическое Т´´  значения периодов колебаний физического маятника.

4.3. Измерение момента инерции тела сложной формы с помощью              физического маятника

       4.3.1. Если к физическому маятнику с известным моментом инерции J1D дополнительно прикрепить новое тело, тогда оказывается, что, измеряя период колебаний нового маятника, можно определить момент инерции дополнительного тела. При этом определяется момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси подвеса маятника.

       В данной работе предлагается закрепить дополнительный груз на стержне

как можно ниже, но чтобы он в процессе колебаний не задевал за кронштейн. 

       Положение призмы подвеса остаётся таким же, как в опыте 4.2. На рис. 5

показана схема новой конструкции физического маятника, состоящего из

стержня и груза с известными массами.

Момент инерции маятника относительно оси в точке D равен сумме двух

моментов инерции:

                                                     JD = J1D + J2D,                                                   (7)

где:   J1Dмомент инерции стержня, уже вычисленный в п.4;

        J2Dмомент инерции дополнительного груза, равный                                                                            ного груза, равный

                                                     J2D = J2C  +  mгр b2                                            (8)

       Здесь J2C  - искомый момент инерции  дополнительного груза.

       Следовательно, выполнив измерения  периода колебаний Т03 и учитывая,

что  

                                                     ,                                              (9)

можно теперь определить  неизвестный момент инерции J2C.

    

                    В формуле (9) необходимо учесть, что m = mст+ mгр.                 

Необходимо также учесть, что в формуле (9) расстояние от оси подвеса  

     до центра масс новой конструкции маятника, обозначенное  lC, требует дополни-

     тельного расчёта. На схеме рис. 5  обозначены точки С1 и С2  -  центры масс

     стержня  и груза. Для определения центра масс C всей конструкции рекомен-

     дуется использовать  формулу

                                   Хс =                                                      (10)

                    Здесь:  X1C и X2C  -  расстояния от верхнего конца стержня до точек С1 и С2;

                     XC  -   расстояние от верхнего конца стержня  до центра масс маят-

 ника,  состоящего из двух тел.

       Вычислив  XC  по формуле (10), затем легко  найти lC = XC - a,

где  а - заданное расстояние от конца стержня до точки D (см. п. 4.2.1).

             4.3.2. Закрепить дополнительный груз на стержне в соответствии с п.4.3.1.

             Измерить расстояние от оси подвеса до центра груза (с учётом погрешно-

     сти  ± 2 мм).

             Подвесить маятник на призме и, отклоняя стержень примерно на 100, изме-

     рить время 10 периодов колебаний. Измерения повторить 5 - 10 раз (по указа-

     нию  преподавателя). Записать полученные данные в таблицу.

       Найти среднее экспериментальное значение периода Т03 и погрешность его измерения с учётом случайной статистической ошибки.

       4.3.3. Используя данные  опыта и формулы  (7) - (10), определить неизвестный момент инерции J. Выполнить также расчёт погрешности измерения момента инерции J.

     

                                                         

                                                                                    а   

                                      Lст/2      

                                                             D

                                Xc                         •                              D - точка подвеса

                                                                       ст                           на кронштейне

                     Lст                                         C1

                                                                   •            c       b

Момент инерции маятника  отнори:

           JD = J1D + J2D,                       (7)

 

;

 J2D - момент инерции дополнительного груза, равный

J2D = J2C + m2b2.                            (8)

Здесь J2C  -  искомый момент инерции дополнительного груза.

Следовательно, выполнив измере   

                                                            C

                                                  

                                                  С2

                                                   •                         С2      

                                                                                Рис.5

     5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ПРИМЕРНЫЕ)

     5.1. Определение понятия колебаний. Частота и период колебаний.

     5.2. Понятия физического и математического маятников. Уравнение колебаний маятника и общий вид решения.

     5.3. Схема экспериментальной установки. Методика измерений в экспериментальных заданиях.

     5.4. Анализ результатов, полученных в опытах с физическим и математическим маятниками. Пояснения физических величин, используемых в расчётах.

     6. ЛИТЕРАТУРА

     6.1. Савельев И.А. Курс общей физики, т.1, Москва, «Наука», 1982г.

     6.2. Трофимова Т.И. Курс физики, Москва, «Высшая школа», 2003г.