3828

Колебательные движения физического маятника

Контрольная

Физика

Физический маятник 1.Параметры колебательного движения Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция сов...

Русский

2014-09-23

110.6 KB

11 чел.

Физический маятник

1.Параметры колебательного движения

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция совершает гармонические колебания.

Смещение из положения равновесияотклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени.

Амплитуда колебаний А – наибольшее отклонение колеблющейся величины от ее среднего значения.

ω t + α – фаза колебаний

α - начальная фаза колебаний

Мгновенная скорость частицы – векторная физическая величина, равная отношению перемещения Δ, совершенного частицей за очень малый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

υ = dx / dt = - Aωsin (ωt + α) = Aωcos (ωt + α + π/2)

υmax = Aω – амплитуда скорости

Средняя скорость частицы векторная физическая величина, равная отношению перемещения, совершенного частицей за время t, к этому времени.

Ускорение материальной частицы – векторная физическая величина, равная пределу к которому стремится отношение изменения скорости, произошедшего за малый промежуток времени к этому промежутку времени.

a = / dt = - Aω2cos (ωt + α) = Aω2sin (ωt + α + π)

amax = Aω2 – амплитуда ускорения

Период колебаний Т – время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота колебаний ν - физическая величина, показывающая число колебаний, совершаемых за 1 с.

Циклическая (или круговая) частота ω – это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

ω = 2 ∙ π / Т = 2 ∙ π ∙ ν

Уравнение гармонических колебаний для колебаний груза на пружине.

Гармонические колебания совершает тело массы m, на которое действует только квазиупругая сила F = - kx,

где х – отклонение колеблющегося тела от положения равновесия, k – коэффициент упругости.

Уравнение движения:

ma = - kx

     ∙∙

a = d2 x / d t2 = x

     ∙∙

m ∙ x + k ∙ x = 0

∙∙

x + k / mx = 0

k / m = ω2

∙∙

x + ω2  x = 0 – дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

x = Acos (ωt + α) – решение уравнения.

Закон изменения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы.

Полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения.

При прохождении системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения.

Кинетическая энергия Ек = mυ2 / 2 = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ sin2 (ω ∙ t + α)

Потенциальная энергия Еп = kx2 / 2 = kA2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α)

Полная энергия Е = Ек + Еп = mA2 ∙ ω2 / 2 = kA2 / 2

Eк = Е ∙ sin2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 – cos 2(ωt + α))

Eп = Е ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 + cos 2(ωt + α))

2.Уравнение колебаний математического и физического маятника.

Под маятником в физике понимают твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают математический  и физический маятник.

Математическим маятником называют систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mgl sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

где m – масса маятника, l – длина маятника, φ – угол, образованный нитью с вертикалью, - характеризует отклонение маятника от положения равновесия.

Основное уравнение вращательного движения М = I ∙ ε

            ∙∙

Угловое ускорение  ε = d2φ / d t2 = φ

Момент инерции I = ml2

Уравнение движения примет вид:

∙∙

ml2 ∙ φ = - mglφ

Частота колебаний ω2 = g / l

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ l / g

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.

C – центр масс,  lс – расстояние от точки подвеса до центра масс.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mglс sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

Основное уравнение вращательного движения

    ∙∙

М = I ∙ ε = Iφ

Уравнение движения примет вид:

   ∙∙

I ∙ φ + mglcφ = 0

∙∙

φ + mglc / Iφ = 0

Частота колебаний ω2 = mg  lc / I

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ I / mglc

Период, частота колебаний и приведённая длина физического маятника.

Частота колебаний ω = √ mglc / I

Период колебаний Т = 2 ∙ π √ I / mglc = 2 ∙ π √ Lпр / g

Приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Lпр = I / m ∙ lc

Lпр > lc


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3190. Микропроцессоры и цифровая обработка сигналов Знакомство с интегрированной средой программирования KEIL-C 103 KB
  Микропроцессоры и цифровая обработка сигналов Знакомство с интегрированной средой программирования KEIL-C Цель работы 1. Изучить интегрированную среду программирования keil-C. 2. Получить навыки работы с текстовым редактором этой среды программирова...
3191. Литейный участок для получения слитков из алюминиевого деформируемого сплава АМГ3 6.66 MB
  Описательная часть.Состав, свойства, применение сплава. Алюминиевомагниевые сплавы относятся к группе термически, неупрочняемых алюминиевых деформируемых сплавов. В настоящее время в промышленности нашла применение большая группа сплавов этой...
3192. Создание позитивного имиджа модельной студии 18.25 MB
  Введение Состояние развития модельного бизнеса в России в настоящее время находится лишь на начальной стадии. Модельные организации работают в условиях конкурентной борьбы за клиента. Обострение конкурентной борьбы между организациями приводит к том...
3193. Разработка малогабаритной рентгеновской трубки для структурного анализа с полной защитой от неиспользуемого излучения 2.39 MB
  Основным элементом аппаратов для структурного анализа является источник рентгеновского излучения – рентгеновская трубка, параметры которой во много определяют технические возможности и функциональность рентгеновского аппарата. В связи с этим ак...
3194. Снижение магнитных и диэлектрических потерь в иттрий-железистом гранате 2.97 MB
  Элементы и устройства на основе феррита со структурой иттрий-железистого граната (ИЖГ) нашли широкое применение в различных областях современной электроники, радиотехники, и пр. Улучшение магнитных свойств ИЖГ посредством отжига в атмосфере кислорода эффективно используется в различных технологических процессах.
3195. Разработка автоматизированной системы расчета оптимального маршрута между городскими объектами для курьерской компании 1.94 MB
  Введение Тенденция к сближению мобильных и навигационных технологий сегодня заметна как никогда. Решение вопроса предоставления конечному пользователю мобильных устройств возможности получения, использования и обработки информации, связанной с их ме...
3196. Формирования и распределение прибыли предприятия 3.1 MB
  Изучение понятия категории «прибыль», рассмотрение факторов, влияющих на величину прибыли, рассмотрение прибыли, как показатель деятельности предприятия, а также методов планирования прибыли, анализ формирования и использования прибыли, рассмотрение действующей системы использования прибыли на объекте исследования.
3197. Анализ управления и разработка рекомендаций для повышения управления ООО Зебра 711 KB
  В настоящее время, проблема управления персоналом в условиях сокращения численности и неполного финансирования весьма актуальна для ситуации, в которой оказалась экономика – для периода мирового экономического кризиса Реформирование ро...
3198. Применение сенсоров и мультисенсорных систем в анализе ароматобразующих веществ в процессе переработки подсырной сыворотки 1.27 MB
  К отличительным особенностям питания населения России, относится высокая энергоемкость пищевого рациона. С учетом снижения физических нагрузок населения, увеличивается тенденция к малоподвижному образу жизни, а также росту доли умственного...