3828

Колебательные движения физического маятника

Контрольная

Физика

Физический маятник 1.Параметры колебательного движения Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция сов...

Русский

2014-09-23

110.6 KB

11 чел.

Физический маятник

1.Параметры колебательного движения

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция совершает гармонические колебания.

Смещение из положения равновесияотклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени.

Амплитуда колебаний А – наибольшее отклонение колеблющейся величины от ее среднего значения.

ω t + α – фаза колебаний

α - начальная фаза колебаний

Мгновенная скорость частицы – векторная физическая величина, равная отношению перемещения Δ, совершенного частицей за очень малый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

υ = dx / dt = - Aωsin (ωt + α) = Aωcos (ωt + α + π/2)

υmax = Aω – амплитуда скорости

Средняя скорость частицы векторная физическая величина, равная отношению перемещения, совершенного частицей за время t, к этому времени.

Ускорение материальной частицы – векторная физическая величина, равная пределу к которому стремится отношение изменения скорости, произошедшего за малый промежуток времени к этому промежутку времени.

a = / dt = - Aω2cos (ωt + α) = Aω2sin (ωt + α + π)

amax = Aω2 – амплитуда ускорения

Период колебаний Т – время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота колебаний ν - физическая величина, показывающая число колебаний, совершаемых за 1 с.

Циклическая (или круговая) частота ω – это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

ω = 2 ∙ π / Т = 2 ∙ π ∙ ν

Уравнение гармонических колебаний для колебаний груза на пружине.

Гармонические колебания совершает тело массы m, на которое действует только квазиупругая сила F = - kx,

где х – отклонение колеблющегося тела от положения равновесия, k – коэффициент упругости.

Уравнение движения:

ma = - kx

     ∙∙

a = d2 x / d t2 = x

     ∙∙

m ∙ x + k ∙ x = 0

∙∙

x + k / mx = 0

k / m = ω2

∙∙

x + ω2  x = 0 – дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

x = Acos (ωt + α) – решение уравнения.

Закон изменения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы.

Полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения.

При прохождении системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения.

Кинетическая энергия Ек = mυ2 / 2 = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ sin2 (ω ∙ t + α)

Потенциальная энергия Еп = kx2 / 2 = kA2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α)

Полная энергия Е = Ек + Еп = mA2 ∙ ω2 / 2 = kA2 / 2

Eк = Е ∙ sin2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 – cos 2(ωt + α))

Eп = Е ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 + cos 2(ωt + α))

2.Уравнение колебаний математического и физического маятника.

Под маятником в физике понимают твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают математический  и физический маятник.

Математическим маятником называют систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mgl sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

где m – масса маятника, l – длина маятника, φ – угол, образованный нитью с вертикалью, - характеризует отклонение маятника от положения равновесия.

Основное уравнение вращательного движения М = I ∙ ε

            ∙∙

Угловое ускорение  ε = d2φ / d t2 = φ

Момент инерции I = ml2

Уравнение движения примет вид:

∙∙

ml2 ∙ φ = - mglφ

Частота колебаний ω2 = g / l

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ l / g

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.

C – центр масс,  lс – расстояние от точки подвеса до центра масс.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mglс sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

Основное уравнение вращательного движения

    ∙∙

М = I ∙ ε = Iφ

Уравнение движения примет вид:

   ∙∙

I ∙ φ + mglcφ = 0

∙∙

φ + mglc / Iφ = 0

Частота колебаний ω2 = mg  lc / I

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ I / mglc

Период, частота колебаний и приведённая длина физического маятника.

Частота колебаний ω = √ mglc / I

Период колебаний Т = 2 ∙ π √ I / mglc = 2 ∙ π √ Lпр / g

Приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Lпр = I / m ∙ lc

Lпр > lc


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79280. Маркетинг персонала 14.68 KB
  Маркетинг персонала это вид деятельности который направлен на выявление потребности в персонале а также удовлетворение этих потребностей то есть покрытие потребности организации в персонале. С одной стороны маркетинг персонала можно рассматривать как философию организации и стратегию управления человеческими ресурсами компании а с другой стороны маркетинг персонала это одна из функций кадровой службы организации. Однако маркетинг персонала подходит к вопросу определения и покрытия потребности в персонале с точки зрения рыночного...
79281. Планирование и прогнозирование потребности в персонале 13.31 KB
  Планирование потребностей в персонале как и любой хороший план базируется на предпосылках которые позволяют делать предположения относительно будущего. Если Вы разрабатываете планы потребностей в персонале Вам скорее всего понадобятся три вида прогнозов: один для разработки Ваших требований к персоналу другой для поиска кандидатов со стороны и третий для поиска кандидатов внутри организации. Прогнозирование потребности в персонале строится на основе анализа прогнозов спроса и предложения для определения перспективной нехватки или...
79282. Планирование производительности труда и показателей по труду 14.55 KB
  Производительность труда это плодотворность продуктивность производственной деятельности людей. Планирование производительности труда определение уровня производительности труда и темпов ее роста обеспечивающих конкурентоспособность организации. На уровень и динамику производительности труда влияет множество факторов.
79283. Нормирование труда и расчет численности персонала 44.89 KB
  Расчет численности персонала: Необходимая численность Чн это количество работников требующихся для выполнения производственного задания в установленный период времени в заданных организационно-технических условиях. Расчет численности на основе норм времени где Т∑ совокупная трудоемкость работ в плановом...
79284. Наем, отбор и прием персонала 19.63 KB
  Наем отбор и прием персонала Наем на работу представляет собой деятельность по привлечению специалистов обладающих профессиональными квалификационными качествами в соответствии с требованиями вакантных рабочих мест и должностей. Наиболее часто источники найма персонала группируются как внешние и внутренние активные и пассивные низко и высокозатратные кратко и долгосрочные. Как источники найма на работу могут рассматриваться: случай средние школы техникумы ПТУ ВУЗы в виде практик стажировок направлений клиенты и поставщики...
79285. Деловая оценка персонала 16.2 KB
  Делова оценка персонала– анализ соответствия профессиональных и личных характеристик (компетенций) индивида требованиям должности, которую он занимает или на которую он претендует, при помощи определенных критериев.
79286. Профориентация и трудовая адаптация персонала 13.38 KB
  Профориентация и трудовая адаптация персонала Профессиональная ориентация и адаптация выступают важным составным элементом системы подготовки кадров и являются регулятором связи между системой образования и производством. Профессиональная ориентация представляет собой систему мер по профинформации профконсультации профподбору и профадаптации которая помогает человеку выбирать профессию наиболее соответствующую потребностям общества и его личным способностям и особенностям. Сложились следующие формы профориентационной работы: ...
79287. Основы организации труда персонала 15 KB
  Основы организации труда персонала Модель организации труда как и модель любой организации может быть представлена в трех основных аспектах. Вопервых организация труда как структура. Она определенным образом располагает соединяет моменты труда орудия груда предметы труда и сам труд. Вовторых организация труда как динамическая система т.
79288. Высвобождение персонала 55.85 KB
  Высвобождение персонала Высвобождение персонала это вид управленческой деятельности предусматривающий комплекс мероприятий по соблюдению правовых норм и организационно-психологической поддержки со стороны администрации при увольнении работников. Виды высвобождения персонала из организации приведены на рис. тот вид высвобождения который практически не прогнозируется администрацией и как правило происходит для нее неожиданно. Однако с точки зрения работника это наиболее мягкий вид высвобождения: работник готов покинуть организацию и...