3828

Колебательные движения физического маятника

Контрольная

Физика

Физический маятник 1.Параметры колебательного движения Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция сов...

Русский

2014-09-23

110.6 KB

11 чел.

Физический маятник

1.Параметры колебательного движения

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция совершает гармонические колебания.

Смещение из положения равновесияотклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени.

Амплитуда колебаний А – наибольшее отклонение колеблющейся величины от ее среднего значения.

ω t + α – фаза колебаний

α - начальная фаза колебаний

Мгновенная скорость частицы – векторная физическая величина, равная отношению перемещения Δ, совершенного частицей за очень малый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

υ = dx / dt = - Aωsin (ωt + α) = Aωcos (ωt + α + π/2)

υmax = Aω – амплитуда скорости

Средняя скорость частицы векторная физическая величина, равная отношению перемещения, совершенного частицей за время t, к этому времени.

Ускорение материальной частицы – векторная физическая величина, равная пределу к которому стремится отношение изменения скорости, произошедшего за малый промежуток времени к этому промежутку времени.

a = / dt = - Aω2cos (ωt + α) = Aω2sin (ωt + α + π)

amax = Aω2 – амплитуда ускорения

Период колебаний Т – время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота колебаний ν - физическая величина, показывающая число колебаний, совершаемых за 1 с.

Циклическая (или круговая) частота ω – это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

ω = 2 ∙ π / Т = 2 ∙ π ∙ ν

Уравнение гармонических колебаний для колебаний груза на пружине.

Гармонические колебания совершает тело массы m, на которое действует только квазиупругая сила F = - kx,

где х – отклонение колеблющегося тела от положения равновесия, k – коэффициент упругости.

Уравнение движения:

ma = - kx

     ∙∙

a = d2 x / d t2 = x

     ∙∙

m ∙ x + k ∙ x = 0

∙∙

x + k / mx = 0

k / m = ω2

∙∙

x + ω2  x = 0 – дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

x = Acos (ωt + α) – решение уравнения.

Закон изменения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы.

Полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения.

При прохождении системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения.

Кинетическая энергия Ек = mυ2 / 2 = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ sin2 (ω ∙ t + α)

Потенциальная энергия Еп = kx2 / 2 = kA2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α)

Полная энергия Е = Ек + Еп = mA2 ∙ ω2 / 2 = kA2 / 2

Eк = Е ∙ sin2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 – cos 2(ωt + α))

Eп = Е ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 + cos 2(ωt + α))

2.Уравнение колебаний математического и физического маятника.

Под маятником в физике понимают твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают математический  и физический маятник.

Математическим маятником называют систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mgl sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

где m – масса маятника, l – длина маятника, φ – угол, образованный нитью с вертикалью, - характеризует отклонение маятника от положения равновесия.

Основное уравнение вращательного движения М = I ∙ ε

            ∙∙

Угловое ускорение  ε = d2φ / d t2 = φ

Момент инерции I = ml2

Уравнение движения примет вид:

∙∙

ml2 ∙ φ = - mglφ

Частота колебаний ω2 = g / l

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ l / g

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.

C – центр масс,  lс – расстояние от точки подвеса до центра масс.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mglс sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

Основное уравнение вращательного движения

    ∙∙

М = I ∙ ε = Iφ

Уравнение движения примет вид:

   ∙∙

I ∙ φ + mglcφ = 0

∙∙

φ + mglc / Iφ = 0

Частота колебаний ω2 = mg  lc / I

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ I / mglc

Период, частота колебаний и приведённая длина физического маятника.

Частота колебаний ω = √ mglc / I

Период колебаний Т = 2 ∙ π √ I / mglc = 2 ∙ π √ Lпр / g

Приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Lпр = I / m ∙ lc

Lпр > lc


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13330. Проектування термоелектричного матеріалу для віток термоелемента на основі мікроскопічної теорії явищ перенесення 38 KB
  Звіт до лабораторної роботи № 3 Проектування термоелектричного матеріалу для віток термоелемента на основі мікроскопічної теорії явищ перенесення Мета роботи На основі макроскопічної теорії явищ перенесення навчитись моделювати напівпровідниковий матеріа
13331. Оптимізація однорідних термоелектричних матеріалів на основі мікроскопічної теорії явищ переносу 79 KB
  Звіт до лабораторної роботи № 4 Оптимізація однорідних термоелектричних матеріалів на основі мікроскопічної теорії явищ переносу Мета роботи Набути навички визначення оптимальних властивостей матеріалу віток при яких досягається максимальне значення параме
13332. Теоретичне дослідження параметрів термоелектричних речовин при наявності виродження електронного газу 88 KB
  Звіт до лабораторної роботи № 5 Теоретичне дослідження параметрів термоелектричних речовин при наявності виродження електронного газу Мета роботи Розрахувати основні параметри термоелектричних матеріалів при наявності виродження електронною газу. Методика...
13333. Комп’ютерне моделювання дискретно - неоднорідного термоелектричного матеріалу для секційних термоелементів 26.5 KB
  Звіт до лабораторної роботи № 6 Компютерне моделювання дискретно неоднорідного термоелектричного матеріалу для секційних термоелементів Мета роботи Використовуючи експериментальні температурні залежності коефіцієнтів Зеебека α електропровідності σ те
13334. Проектування ФГМ для термопарних генераторних елементів 27.5 KB
  Звіт до лабораторної роботи № 7 Проектування ФГМ для термопарних генераторних елементів Мета роботи Навчитись проводити комп'ютерне проектування оптимально неоднорідних матеріалів для генераторних термопарних елементів в режимі максимальної енергетичної еф
13335. Використання директив резервування та ініціалізації пам’яті 35.25 KB
  Лабораторна робота №1. Тема:Використання директив резервування та ініціалізації памяті. Мета:Набути навиків опису простих типів даних;вивчити принцип розміщення даних програми в памяті компютера. Короткі теоретичні відомості: Порядок створення програми на...
13336. Обробка масивів у мові асемблер 26.6 KB
  Лабораторна робота №2 Тема:Обробка масивів. Мета:Навчитися описувати масиви у мові асемблер; набути навиків використання масивів їх обробки та виводу на екран. Завдання згідно варіанту: Описати масив розмірністю N10 де N порядковий номер студента у журналі сто...
13337. Загальна будова, призначення КШМ. Конструкція та матеріали КШМ 622.97 KB
  Лабораторна робота №1 Тема: загальна будова призначення КШМ. Конструкція та матеріали КШМ. Мета: ознайомитись на практиці з призначенням і принципом роботи КШМ. Загальні поняття авто. Автомобільце транспортна безрейкова машина на колісному або пів гусеничному х
13338. Призначення та будова системи мащення 117.7 KB
  Лабораторна робота №4 Тема : Призначення та будова системи мащення Мета: Ознайомитися практично з призначеннями і схемами Загальні теоретичні відомості Система мащення призначена для подачі масла до деталей що труться часткового їх охолодження і видалення прод...