3828

Колебательные движения физического маятника

Контрольная

Физика

Физический маятник 1.Параметры колебательного движения Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция сов...

Русский

2014-09-23

110.6 KB

11 чел.

Физический маятник

1.Параметры колебательного движения

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция совершает гармонические колебания.

Смещение из положения равновесияотклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени.

Амплитуда колебаний А – наибольшее отклонение колеблющейся величины от ее среднего значения.

ω t + α – фаза колебаний

α - начальная фаза колебаний

Мгновенная скорость частицы – векторная физическая величина, равная отношению перемещения Δ, совершенного частицей за очень малый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

υ = dx / dt = - Aωsin (ωt + α) = Aωcos (ωt + α + π/2)

υmax = Aω – амплитуда скорости

Средняя скорость частицы векторная физическая величина, равная отношению перемещения, совершенного частицей за время t, к этому времени.

Ускорение материальной частицы – векторная физическая величина, равная пределу к которому стремится отношение изменения скорости, произошедшего за малый промежуток времени к этому промежутку времени.

a = / dt = - Aω2cos (ωt + α) = Aω2sin (ωt + α + π)

amax = Aω2 – амплитуда ускорения

Период колебаний Т – время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота колебаний ν - физическая величина, показывающая число колебаний, совершаемых за 1 с.

Циклическая (или круговая) частота ω – это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

ω = 2 ∙ π / Т = 2 ∙ π ∙ ν

Уравнение гармонических колебаний для колебаний груза на пружине.

Гармонические колебания совершает тело массы m, на которое действует только квазиупругая сила F = - kx,

где х – отклонение колеблющегося тела от положения равновесия, k – коэффициент упругости.

Уравнение движения:

ma = - kx

     ∙∙

a = d2 x / d t2 = x

     ∙∙

m ∙ x + k ∙ x = 0

∙∙

x + k / mx = 0

k / m = ω2

∙∙

x + ω2  x = 0 – дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

x = Acos (ωt + α) – решение уравнения.

Закон изменения кинетической, потенциальной и полной энергии частицы.

Полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

В моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения.

При прохождении системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения.

Кинетическая энергия Ек = mυ2 / 2 = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ sin2 (ω ∙ t + α)

Потенциальная энергия Еп = kx2 / 2 = kA2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = mA2 ∙ ω2 / 2 ∙ cos2 (ω ∙ t + α)

Полная энергия Е = Ек + Еп = mA2 ∙ ω2 / 2 = kA2 / 2

Eк = Е ∙ sin2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 – cos 2(ωt + α))

Eп = Е ∙ cos2 (ω ∙ t + α) = Е / 2 ( 1 + cos 2(ωt + α))

2.Уравнение колебаний математического и физического маятника.

Под маятником в физике понимают твёрдое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают математический  и физический маятник.

Математическим маятником называют систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mgl sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

где m – масса маятника, l – длина маятника, φ – угол, образованный нитью с вертикалью, - характеризует отклонение маятника от положения равновесия.

Основное уравнение вращательного движения М = I ∙ ε

            ∙∙

Угловое ускорение  ε = d2φ / d t2 = φ

Момент инерции I = ml2

Уравнение движения примет вид:

∙∙

ml2 ∙ φ = - mglφ

Частота колебаний ω2 = g / l

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ l / g

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим.

C – центр масс,  lс – расстояние от точки подвеса до центра масс.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М:

М = - mglс sin φ = - mglφ (в случае малых колебаний),

Основное уравнение вращательного движения

    ∙∙

М = I ∙ ε = Iφ

Уравнение движения примет вид:

   ∙∙

I ∙ φ + mglcφ = 0

∙∙

φ + mglc / Iφ = 0

Частота колебаний ω2 = mg  lc / I

∙∙

φ + ω2 ∙ φ = 0 – дифференциальное уравнение относительно функции φ (t).

Решение этого уравнения φ = φ0cos (ω ∙ t + α),

где α – начальная фаза колебаний, ω – циклическая частота колебаний.

Период колебаний Т = 2 ∙ π / ω = 2 ∙ π ∙ √ I / mglc

Период, частота колебаний и приведённая длина физического маятника.

Частота колебаний ω = √ mglc / I

Период колебаний Т = 2 ∙ π √ I / mglc = 2 ∙ π √ Lпр / g

Приведённая длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Lпр = I / m ∙ lc

Lпр > lc


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37286. Автогенератор с автотрансформаторной обратной связью 815.67 KB
  Коэффициент обратной связи на резонансной частоте 8. Поэтому коэффициент обратной связи оказался независимым от частоты что справедливо при относительно невысоких частотах в половину меньших граничной частоты транзистора. С повышением частоты схема замещения автогенератора усложняется и коэффициент обратной связи должен рассматриваться с учетом перечисленных факторов. Амплитуда генерируемых колебаний определяется из уравнения баланса амплитуд Регулировка амплитуды колебаний производится изменением величины коэффициента обратной...
37287. Особенности ведения и учета налога на прибыль бюджетными организациями 432.5 KB
  Налоговый учет осуществляется для формирования полной и достоверной информации о порядке учета для целей налогообложения хозяйственных операций, осуществленных налогоплательщиком в течение отчетного (налогового) периода, а также обеспечения информацией внутренних и внешних пользователей для контроля за правильностью исчисления, полнотой и своевременностью исчисления и уплаты в бюджет налога.
37288. Расчеты сметы затрат на проектирование сегментов локальной вычислительной сети в здании ГВЦ ОАО НЛМК 175.5 KB
  Организуется автоматизированный документооборот электронная почта создаются различные массивы управленческой коммерческой и другой информации общего назначения и персонально используются вычислительные ресурсы всей сети а не только отдельного компьютера. Таким образом решится проблема окупаемости и рентабельности внедрения корпоративной сети. С внедрением на предприятии компьютерного оборудования и подключением к глобальной сети Internet организация получает практически неограниченные информационные возможности оперативное получение...
37289. Бюджетно-финансовая политика 141 KB
  Государственные финансы – это все финансовые средства государственных организаций. Они включают в себя государственный бюджет и внебюджетные денежные фонды, которые находятся в ведении государства (пенсионный фонд, фонд социального страхования, фонд обязательного медицинского страхования).
37290. Влияние копинг-поведения на уровень эмоционального выгорания медицинских сестер 234.71 KB
  Изучить феномен психического выгорания как социально-психологическую проблему; подобрать диагностический инструментарий; выявить особенности эмоционального выгорания медицинских сестер с различным типом копинг-поведения; разработать программу тренинга по формированию навыков снятия эффекта эмоционального выгорания.
37291. ПРИВОД ЛЕБЕДКИ 3.8 MB
  Привод лебедки. Целью курсового проекта по дисциплине Детали машин и основы конструирования является приобретение первых инженерных навыков по расчётам и конструированию деталей и узлов машин на основе полученных теоретических знаний.
37293. Социология. Шпаргалка 315 KB
  Принято считать что объектом социологического познания является вся совокупность свойств связей и отношений которые носят название социальных. В марксизме предметом социологического исследования является научное изучение общества как социальной системы и составляющих его структурных элементов личностей социальных обшностсй социальных институтов. Она предстает как система взаимосвязанных представлений понятий взглядов теорий о социальных процессах разных уровней жизнедеятельность отдельных людей социальных групп или...