3840

Дослідження параметрів вільних коливань фізичного маятника

Конспект урока

Физика

Дослідження параметрів вільних коливань фізичного маятника Мета: вивчення закономірностей вільних коливань фізичного маятника. Використання комп’ютерного моделювання фізичних процесів у пакеті Interactive Physics...

Украинкский

2012-11-08

141.5 KB

34 чел.

Дослідження параметрів вільних коливань фізичного маятника

Мета: вивчення закономірностей вільних коливань фізичного маятника. Використання комп’ютерного моделювання фізичних процесів у пакеті Interactive Physics

Навчальні питання:

  1.  СТИСЛІ ТЕОРЕТИЧНІ ВКАЗІВКИ.
  2.  ЧЕРГОВІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ.
  3.  ЗМІСТ ЗВІТУ ПО РОБОТІ.
  4.  ЛІТЕРАТУРА.
  5.  КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ.
  6.  ДОДАТОК “Варіанти індивідуальних завдань.

1. СТИСЛІ ТЕОРЕТИЧНІ ВКАЗІВКИ:

  1.  Основні поняття.

Коливальним рухом (коливаннями) називається процес, при якому система багаторазово відхиляючись від стану рівноваги повертається до нього.

Періодичними коливаннями називаються рухи, що повторюються через рівні проміжки часу.

При періодичних коливаннях повторюються траєкторія, швидкість і прискорення матеріальної крапки в будь-якій крапці траєкторії.

Малюнок 1. Параметри механічних коливань:

Амплітуда - найбільше відхилення системи від положення рівноваги;

Період - час між двома послідовними проходженнями системи через те саме положення в тому самому напрямку;

Частота - число коливань системи за одиницю часу.

  1.  Гармонійні коливання.

Рух матеріальної крапки по окружності можна трактувати як коливання проекцій на осі X й Y біля центра окружності.

Малюнок 2. Рух крапки по окружності.

Якщо т. М у початковий момент не збігається з віссю x, то необхідно додати початковий кут , таким чином рівняння гармонійних коливань (закони руху крапок) мають вигляд:

Величина t + називається фазою коливання, -круговою частотою, -початковою фазою.

  1.  Маятник

Математичним маятником називають тіло невеликих розмірів, підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, маса якої пренебрежимо мала в порівнянні з масою тіла. У положенні рівноваги, коли маятник висить по схилі, сила ваги врівноважується силою натягу нитки При відхиленні маятника з положення рівноваги на деякий кут φ з'являється дотична складова сили ваги Fτ = –mg sin φ (мал.3.). Знак «мінус» у цій формулі означає, що дотична складова спрямована убік, протилежну відхиленню маятника.

1

Малюнок 3. Математичний маятник.

φ - кутове відхилення маятника від положення рівноваги,

x = lφ - зсув маятника по дузі.

Якщо позначити через x лінійний зсув маятника від положення рівноваги по дузі окружності радіуса l, то його кутовий зсув буде дорівнює φ = x / l. Другий закон Ньютона, записаний для проекцій векторів прискорення й сили на напрямок дотичної, дає:

 

Це співвідношення показує, що математичний маятник являє собою складну нелінійну систему, тому що сила, що прагне повернути маятник у положення рівноваги, пропорційна не зсуву x, а

Тільки у випадку малих коливань, коли приблизно  можна замінити на  математичний маятник є гармонійним осцилятором, тобто системою, здатної робити гармонійні коливання. Практично таке наближення справедливо для кутів порядку 15–20°; при цьому величина відрізняється від  не більше ніж на 2 %. Коливання маятника при більших амплітудах не є гармонійними. 

Для малих коливань математичного маятника другий закон Ньютона записується у вигляді

 

Таким чином, тангенціальне прискорення aτ маятника пропорційно його зсуву x, узятому зі зворотним знаком. Це саме та умова, при якому система є гармонійним осцилятором. За загальним правилом для всіх систем, здатних робити вільні гармонійні коливання, модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням і зсувом з положення рівноваги дорівнює квадрату кругової частоти:

 

Ця формула виражає власну частоту малих коливань математичного маятника. Отже,

Період коливання математичного маятника при гармонійних коливаннях не залежить від амплітуди коливань.

Будь-яке тіло, насаджене на горизонтальну вісь обертання, здатне робити в поле тяжіння вільні коливання й, отже, також є маятником. Такий маятник прийнятий називати фізичним (мал. 4). Він відрізняється від математичного тільки розподілом мас. У положенні стійкої рівноваги центр мас C фізичного маятника перебуває нижче осі обертання O на вертикалі, що проходить через вісь. При відхиленні маятника на кут ? виникає момент сили ваги, що прагне повернути маятник у положення рівноваги:

M = –mg sin φ)d.

 

Тут d - відстань між віссю обертання й центром мас C.

2

Малюнок 4. Фізичний маятник.

Знак «мінус» у цій формулі, як звичайно, означає, що момент сил прагне повернути маятник у напрямку, протилежному його відхиленню з положення рівноваги. Як й у випадку математичного маятника, що повертає момент M пропорційний sin φ. Це означає, що тільки при малих кутах φ, коли sin φ ≈ φ, фізичний маятник здатний робити вільні гармонійні коливання. У випадку малих коливань

M = –gdφ.

і другий закон Ньютона для фізичного маятника приймає вид:

Iε = M = –mgdφ.

де ? - кутове прискорення маятника, I - момент інерції маятника щодо осі обертання O. Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням і зсувом дорівнює квадрату кругової частоти:

Тут ω0 – власна частота малих коливань фізичного маятника. 

Отже,

 

Більше строгий висновок формул для ω0 й T можна зробити, якщо взяти до уваги математичний зв'язок між кутовим прискоренням і кутовим зсувом: кутове прискорення ε є друга похідна кутового зсуву ? за часом:

 

Тому рівняння, що виражає другий закон Ньютона для фізичного маятника, можна записати у вигляді

Це рівняння вільних гармонійних коливань. Коефіцієнт у цьому рівнянні має сенс квадрата кругової частоти вільних гармонійних коливань фізичного маятника.

По теоремі про паралельний перенос осі обертання (теорема Штейнера, [1] §16) момент інерції I можна виразити через момент інерції IC щодо осі, що проходить через центр мас C маятника й паралельної осі обертання:

I = IC + md2

Остаточно для кругової частоти ω0 вільних коливань фізичного маятника виходить вираження:

При гармонійних коливаннях відбувається взаємне періодичне перетворення кінетичної й потенційної енергії маятника.

Механічна енергія маятника постійна й пропорційна квадрату амплітуди й квадрату частоти.

Система, виведена зі стану рівноваги й надана самої собі, робить вільні коливання.

Вільні коливання, чинені в середовищі без опору називаються власними коливаннями, частота яких визначається властивостями самої системи.

Якщо система витрачає енергію на подолання опору середовища, то амплітуда коливань зменшується - відбувається дісіпація енергії, тому що . Такі коливання називаються загасаючими. Для підтримки коливань необхідно заповнити втрати енергії ззовні, тобто впливати на систему періодично, що змінюється силою.

Коливання системи під дією зовнішньої періодичної сили називаються змушеними.

  1.  2. ЧЕРГОВІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

1. Створити модель фізичного маятника використовуючи данні з таблиці за допомогою пакета «Interactive Physic»,перевірити настроювання програми

2. Включити графічну візуалізацію векторів сил, швидкості й прискорення (виділити меню Define-Vectors вибрати пункти Velocity, Accelerarion, Total Force, Gravitational Force.

4. Одержати графіки швидкості й прискорення (виділити меню Measure- у пунктах Velocity й Acceleration вибрати All).

5. Визначити період Т коливань маятника , де - час n коливань, n -число коливань, (для збільшення точності коливань n повинне бути якнайбільше).

Визначити частоту коливань .

6. Розрахувати частоту та період коливань по формулі:

  

де d - відстань між віссю обертання й центром мас С. Відстань d виміряйте за допомогою меню Properties елемента Rope (взявши даний елемент від крапки центра мас і розтягши його до осі обертання), зробивши подвійного щиглика на ньому переглянути довжину.

 

J – момент інерції. J=Jc+md2, де Jc – момент інерції щодо минаючої через центр мас Із маятника.

Jc –подвійний клік на об’єкті - дивись графу moment

7. Створити таблицю вимірів вільної форми.

8. Зрівняти реальну частоту обертання й розрахункову

9. Схематично зобразити графіки швидкості й прискорення

10. Розв'язати обернену завдання: по заданому періоду побудувати математичний та фізичний маятники (використовувати данні з таблиці)

10. Зробити висновки по роботі й оформити звіт

3. ЗМІСТ ЗВІТУ ПО РОБОТІ.

  1.  Тема, ціль роботи.
  2.  Необхідні терміни й визначення. Основні робочі формули, пояснення до них.
  3.  Графічна схема вимірів.
  4.  Зображення графіків швидкості й прискорення фізичного маятника.
  5.  Висновки.


4. ЛІТЕРАТУРА.

[1] Трофимова Т. И. Курс фізики .- М: Вища школа, 1997.- § 16, 140-145.

[2] Савельєв И. В. Курс загальної фізики. - Кн. 1.- М: Наука.1998.

[3] Детлаф А. А. Яворский Б. М. Курс фізики. - М: Вища школа, 1999.

5. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ.

  1.  Що таке коливання? Які коливання є гармонійними?
    1.  Рівняння гармонійних коливань. Амплітуда, період, частота, циклічна частота, фаза, початкова фаза гармонійних коливань?
      1.  Що таке гармонійний осцилятор?
        1.  Коли амплітуда коливання максимальна, коли мінімальна?
        2.  Що таке наведена довжина фізичного маятника?
        3.  Момент інерції тіла. Теорема Штейнера.
        4.  Чому період коливань математичного маятника не залежить від маси маятника.
        5.  Як зміниться період коливань якщо центр мас і крапку підвісу поміняти місцями.
        6.  Пояснити, чому при гармонійних коливаннях відбувається взаємне періодичне перетворення кінетичної й потенційної енергії маятника.


  1.  ДОДАТОК “Варіанти індивідуальних завдань”.

№ варіанта за списком в журналі

Маса, кг

Форма фігури

Період, с

1

0.300

прямокутник

1

2

2.456

трикутник

2

3

6.000

неправильна форма

3

4

1.050

неправильна форма

2.5

5

2.000

трикутник

4.5

6

3.000

коло

5

7

0.790

прямокутник

1.5

8

0.432

прямокутник

1.7

9

0.890

коло

1.89

10

6.743

неправильна форма

2.3

11

1.666

неправильна форма

3.1

12

0.590

прямокутник

4

13

2.244

трикутник

5.5

14

2.667

трикутник

7.2

15

1.000

коло

1.7

16

3.878

неправильна форма

2.2

17

4.000

трикутник

3.4

18

0.100

неправильна форма

1.8

19

0.247

прямокутник

5.2

20

8.000

коло

3.6

21

1.987

коло

6.1

22

0.322

неправильна форма

7.4

23

5.900

трикутник

3.2

24

9.350

прямокутник

5.7

25

0.410

коло

6.4

26

0.700

неправильна форма

2.3

27

3.000

трикутник

3.4

28

4.431

прямокутник

2.5

29

5.800

коло

1.2

30

2.500

неправильна форма

2.8