38429

Исследование теории робастного управления и применение ее методов к решению задачи стабилизации бокового движения ЛА

Дипломная

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

На современном этапе основными объектами управления являются системы работающие в условиях неопределенности т. Системы автоматического и полуавтоматического управления полетом относятся в настоящее время к числу наиболее важных и стремительно развивающихся систем летательных аппаратов ЛА. Системы управления самолетов вертолетов и других пилотируемых ЛА все в большой мере становятся комплексными обеспечивающими все основные этапы полета.

Русский

2013-09-28

2.34 MB

40 чел.

Оглавление:

Введение

Основной идеей, определяющей развитие теории управления, была и остается идея оптимизации. На современном этапе основными объектами управления являются системы, работающие в условиях неопределенности, т.е. в условиях неполной априорной информации, что в значительной степени усложняет задачу оптимизации.

Системы  автоматического и полуавтоматического управления полетом относятся в настоящее время к числу наиболее важных и стремительно развивающихся систем летательных аппаратов (ЛА). Системы управления самолетов, вертолетов и других пилотируемых ЛА  все в большой мере становятся комплексными, обеспечивающими все основные этапы полета.

Стремление к созданию средств автоматизации управления полетом возникло вместе с зарождением авиации. Многие образцы самолетов раннего этапа развития авиации снабжались регуляторами прямого действия в идее маятников или флюгеров, воздействующим на руль высоты или другого орган управления. Это было обусловлено плохой устойчивостью и управляемостью первых самолетов. Простейшие автоматы имели целью восполнить недостатки устойчивости и управляемости первых ЛА. Однако развитие авиации шло непрерывно. Увеличивалась дальность  и продолжительность полета, усложнялись метеорологические условия полетов -  как следствие разрабатывались беспилотные ЛА. В связи с этим  вновь возрастает интерес  к автоматизации управления полетом и прежде всего к созданию систем стабилизации углового положения – автопилотов. Расширение диапазонов изменения  параметров полета, увеличение скорости и максимальной высоты, невозможность достижения приемлемых летно-технических характеристик только за счет конструкций ЛА, многофункциональность и всережимность, неуклонное повышение требований к точности управления создали условия, при которых современные и перспективные пилотируемые ЛА немыслимы без высокосовешенных систем автоматического и полуавтоматического  управления. Автоматизируется  управление всеми этапами полета, начиная от взлета и кончая приземлением, автоматизируется  выполнение отдельных последовательностей операций, определенных программ. За человеком остаются функции контроля, опознавания, принятия решений на включение той или ной программы.

Свойства  пилотируемых ЛА  как объектов автоматического управления  также усложняются. Это вызвано возрастанием нестационарности характеристик, влиянием аэроупругости, жидкого топлива и рядом других факторов, проявляющихся наиболее сильно в перспективных конструкциях ЛА.

Применение аналитических методов конструирования к подобным задачам не дает реализуемых на практике решений. Возникает необходимость развития таких методов, которые не требовали бы детального знания всего пространства состояния системы управления и ее взаимодействия с внешней средой, а базировались только на анализе ее входных процессов и внешнего поведения. При этом система должна быть организована таким образом, чтобы, используя текущую информацию, по мере уменьшения априорной неопределенности, улучшать функционирование системы в смысле заданного критерия качества.  Таким образом необходимо использовать такие методы управления, синтезом которых  будет такой регулятор, который бы обеспечивал хорошее качество управления, если  управляемый объект отличается от расчетного или его математическая модель неизвестна. Одно из актуальных направлений развития методов теории управления и обработки информации связано с применением робастного подхода. Поэтому суть робастного подхода состоит в том, чтобы построить законы управления и алгоритмы обработки информации, которые компенсируют возмущения в полосе частот доминирующих внешних возмущений, сохраняя при этом значение критерия управления близким к оптимальному.

Таким образом, задачей робастного управления по отношению к множеству целей, функционалу качества, множеству допустимых управлений, множеству состояний объекта, его состоянию в момент начала управления и множеству возможных значений параметров и характеристик элементов объекта является отыскание управления, принадлежащего допустимому множеству управляющих воздействий, минимизирующего заданный функционал и обеспечивающего перевод системы из начального состояния в заданное множество целей при любых значениях параметров и характеристик элементов объекта, принадлежащих множеству возможных значений. Системы, обладающие свойством робастности, называются робастными (грубыми) системами.

Целью дипломной работы является исследование теории робастного управления  и применение ее методов к решению задачи стабилизации  бокового движения ЛА.

В работе будут рассмотрены методы построения робастных систем управления нестационарным объектом. Будет проведено моделирование робастной системы управления боковым движением ЛА (в общем случае боковое движение представляет собой совокупность движения по крену, рысканию и скольжению) на примере упрощенной модели самолета.

В главе 1 дипломной работы приводится математическая модель объекта управления, которая затем сопоставляется с канонической линейной системой дифференциальных уравнений первого порядка, для которой проделываются все теоретические выкладки.

Глава 2 посвящена синтезу робастного регулятора с использованием минимаксного подхода, а также нахождению области допустимых значений возмущений, при которых робастный регулятор может справиться с задачей стабилизации объекта.

В главе 3 рассматриваются два альтернативных подхода к построению наблюдателя в условиях  параметрической неопределенности: робастный фильтр Калмана, в основу которого положено модифицированное уравнение Винера-Хопфа.

В главе 4 демонстрируется применение робастного регулятора путем моделирования движения объекта управления при помощи программной среды Simulink, входящей в состав пакета программ Matlab 7.14. В роли управления выступает элероны и отклонения руля высоты.

 Глава 1. Математическая модель самолета как объекта управления

Математическая модель объекта управления является основой

описания и исследования процессов в контурах управления и основой синтеза этих контуров. Математическая модель строится для описания определенной группы свойств реального неограниченно сложного объекта управления.

§1.1 Уравнения пространственного движения самолета как твердого    тела

В аэродинамике самолета приняты следующие прямоугольные правые системы координат (рис.1.1). Земная система координат, ось  которой направлена вертикальна, оси , имеют неизменную в горизонтальной плоскости ориентацию. Для обычных задач управления полетом самолетов влиянием вращения Земли на динамику движения можно пренебречь и считать систему инерциальной.

Промежуточная (земная центральная) система координат с

осями, параллельными осям земной системы и центром О, совмещенным с центром массы самолета.

Связанная система координат . Оси этой системы координат

обычно совпадают с главными центральными осями инерции самолета. Ось  совпадает с продольной главной осью инерции,  ось  лежит в плоскости симметрии, ось  близка к плоскости крыла или совпадает с ней.

Скоростная система координат . Ось  этой системы ориентирована по вектору воздушной скорости самолета, ось  лежит в плоскости симметрии самолета (ось подъемной силы).

Угол  , образуемый продольной осью самолета с горизонтальной

плоскостью, носит название угла тангажа. Угол  между  проекцией продольной оси на горизонтальную плоскость и заданным направлением  называется углом рысканья, курсом или путевым углом. Угол , соответствующий повороту самолета вокруг продольной оси  относительно положения, при котором поперечная ось  горизонтальна, именуется углом крена.

Положение вектора воздушной скорости относительно связанных осей самолета характеризуется углом атаки α и углом скольжения  β. Угол атаки – это угол между проекцией вектора воздушной скорости на плоскости симметрии самолета и продольной осью, угол скольжения – угол, образуемый вектором воздушной скорости  с плоскостью симметрии.

Рис.1.1 системы координат

Движение самолета как твердого тела в связанной системе координат

описываются уравнениями Эйлера:

,                                                         (1.1)         

,                                                  (1.2)

,                                                 (1.3)

,                                                                        (1.4)

,                                                                        (1.5)

,                                                                       (1.6)

где - компоненты вектора путевой скорости в связанной системе

координат;  - компоненты вектора угловой скорости в связанной системе координат; X1, Y1, Z1, Mx1, My1, Mz1 – силы и моменты   в связанной

сиситеме координат; Ix, Iy, Iz- моменты инерции  относительно главных осей; m- масса, g- ускорение силы тяжести. Математическая модель, представленная уравнениями (1.1) - (1.6), соответствует любому твердому телу с шестью степенями свободы и применительно к самолету требует дальнейшего дополнения.

Эта конкретизация модели заключается прежде всего, в раскрытии

зависимостей сил и моментов от аэродинамических и иных параметров движения (координат), отклонений органов управления и возмущающих воздействий, что составляет предмет аэродинамики самолетов.  В рамках стационарной аэродинамики  силы и моменты, действующие на ЛА, выражаются  функциями параметров полета и отклонений органов управления. Момент силы Му1 выражается функцией угловой скорости рысканья , угла скольжения β. Угловой скорости  крена, отклонения руля направления , отклонения элеронов , скоростного напора  (- плотность воздуха, V- воздушная скорость при отсутствии ветра совпадающая с путевой скорости), числа Маха М. При более детальном рассмотрении (большие углы атаки, β≠0) момент My1  оказывается зависящим также от угла атаки α:

My1=My1 .                                                           (1.7)  

Силы и моменты являются не функциями, а операторами параметров полета. Однако  инерционность соответствующих  операторов  сопоставимы с временем движения частиц воздуха относительно поверхности, создающий силу или момент, и малы. Поэтому нестационарность аэродинамики в большинстве случаев  приближено можно учесть путем введения первых временных производных. Так. Момент относительно поперечной оси с учетом запаздывания скоса потока на стабилизаторе принимается функцией не только угла атаки, но производной угла атаки

Mz1=Mz1                                                                    (1.8)

где  - отклонение руля высоты или стабилизатора. Детальный учет нестационарной аэродинамики необходим при  рассмотрении некоторых явлений аэроупругости. В дальнейшем рассмотрение будет осуществляться  в рамках стационарной аэродинамики.

Система уравнений (1.1)- (1.6) даже при отсутствии отклонений

Органов управления не является замкнутой системой. Направляющие косинусы связанной системы координат относительно земной выражаются через углы   согласно формулам, приведенным в таблице 1.1.

=cos

=coscos

                                                                                                               Таблица 1.1

Направляющие косинусы углов между скоростными  осями

приведены в таблице 1.2.

0

                                                                                                              Таблица 1.2

Компоненты скорости в земной системе координат через

направляющие косинусы таблицы 1.1 связаны с величинами Vx,Vy,Vz:

                                                                 (1.9)

C другой стороны, согласно данным таблицы 1.2 компоненты путевой скорости в связанных осях при отсутствии ветра связаны с углом атаки и углом скольжения формулами

                                                                          (1.10)

Производные углов тангажа, крена и рысканья описываются выражениями

                                                        (1.11)

Система уравнений (1.1)-(1.6), (1.09),(1.10),(1.11) при раскрытых зависимостях сил и моментов от параметров полета становится полностью замкнутой системой уравнений ЛА как объекта управления, если известна зависимость плотности воздуха  и скорости звука а (или температуры) от высоты Н=, т.е  известна модель атмосферы. Замкнутость системы уравнений объекта означает, что его движение при заданных отклонения органов управления полностью определяется этой системой уравнений.

Математическая модель пространственного движения ЛАкак

твердого тела представленная вышеперечисленными уравнениями и моделью атмосферы, несимметрична и довольна громоздка. Однако эта модель является традиционной, по крайней мере как ступень перехода к более простым моделям. Широкое распространение данной модели обусловлена тем, что она основана  на стандартных угловых координатах: углах крена, рысканья, тангажа, скольжения и атаки.

Если воспользоваться в качестве координат углового  положения

непосредственно направляющими косинусами   и выразить аэродинамические силы и моменты и тягу двигателя в виде функций проекций воздушной скорости на связанные оси и других параметров, то система уравнений пространственного движения ЛА принимает более симметричный вид:

       (1.12)

Здесь  - величина, характеризующая  управление тягой двигателей.

При пренебрежении инерционностью управления тягой (неограниченная приемистость двигателя) величина  будет совпадать с отклонением ручки управления двигателем (двигателями).

§ 1.2 Линейная модель бокового движения  самолета в спокойной атмосфере

Многие задачи управляемого и неуправляемого полета могут быть

решены на основе линейных моделей движения, справедливых для небольших отклонений возмущенного движения от невозмущенного. Методика получения соответствующих линейных уравнений с дифференцируемыми функциями общеизвестна.

Пусть исходная система уравнений имеет вид

                                                 (1.13)

(i=1,2,…,n)

где -  координаты,  - управляющие воздействия,  - возмущающие воздействия. В векторной форме уравнение (1.19) записывают в виде

                                                                                 (1.14)

где  - векторы, - векторная функция. Невозмущенное воздействие

 

должно удовлетворять уравнению (1.20) при :

Возмущенное  движение, представленное в виде

,

также удовлетворяют уравнению (1.20), причем 1,

Таким образом,

                                (1.15)

Уравнение первого (линейного) приближения имеет вид

                                               (1.16)

 где        

       

- матрицы первых частных производных, взятых в точке, невозмущенного движения или состояния. Запишем уравнения первого приближения для системы (1.1)-(1.6). В качестве невозмущенного  движения примем прямолинейный горизонтальный полет с постоянной скоростью, в котором:

                             (1.17)

Учтем следующие зависимости сил и моментов от параметров от полета  в рамках определенной (стандартной) модели атмосферы:

                                                            (1.18)

В соответствии с (1.15) из (1.1)-(1.6), (1.17), (1.18) получаем

                 (1.19)

                      (1.20)

где коэффициенты пропорциональны соответствующим частным производным:

 

Уравнения (1.20) совместно  с соотношением

 

образуют систему линейных уравнений бокового движения.

Выводы: 

В главе 1 представлена математическая модель движения объекта управления (летательного аппарата) в виде системы дифференциальных уравнений, в полном и упрощенном варианте. Таким образом, она сводится к канонической системе линейных дифференциальных уравнений, применяемой в классической постановке линейно-квадратичной задачи оптимального управления.

                                                                                                                        

                 

             

Глава 2. Робастное управление нестационарными линейными объектами

§2.1 Оптимальное управление нестационарным линейным объектом при полной информации о параметрах и состоянии

Рассмотрим линейную управляемую динамическую систему с переменными параметрами

                                                   (2.1)

и функционал качества

,                             (2.2)

где - состояние системы; - управляющий вход системы; , матрицы ,,,, имеют соответствующие размерности:  .

Требуется найти достаточно экономичное управление, которое удерживало бы систему вблизи нуля. Будем считать, что управление  не ограничено, время  задано, матрицы  и  положительно полуопределены, матрица  положительно определена.

Предположим, что для любых начальных условий  оптимальное управление существует. Построим гамильтониан

.              (2.3)  

Дополнительный вектор  является решением дифференциального уравнения

,                                           (2.4)

.                                             (2.5)

Вдоль оптимальной траектории должно быть

,

откуда

.                                                             (2.6)

Предположение относительно положительной определенности матрицы  при любом  гарантирует существование  при .

Оптимальное управление должно минимизировать гамильтониан . Для того чтобы экстремальное управление (1.6) доставляло гамильтониану минимум, матрица  размера  должна быть положительно определена. Нетрудно заметить, что для рассматриваемой задачи

.                                                                      (2.7)

Следовательно, поскольку  выбирается положительно определенной, управление , определяемое уравнением (2.6), минимизирует гамильтониан .

Полученные уравнения (2.4) и (2.5) совместно с дифференциальными уравнениями, описывающими линейную динамическую систему (2.1), образуют двухточечную краевую задачу.

Подставив (2.6) в (2.1), получим

.                                        (2.8)

Уравнения (2.4) и (2.8) можно записать в виде

,                                        (2.9)

где ,  – краевые условия.

Пусть  – фундаментальная матрица решений системы (2.9) размера . Если  – начальное значение дополнительной переменной, то решение уравнения (2.9) может быть получено в форме Коши:

.

Следовательно, при  должно быть

.                                         (2.10)

Разделим фундаментальную матрицу решений  размером  на четыре блока размером :

.                               (2.11)

Тогда уравнение (2.10) с учетом (2.11) можно записать в виде

,                              (2.12)

.                            (2.13)

Из уравнений (2.12), (2.13) после алгебраических преобразований можно получить

                          (2.14)

при условии, что обратная матрица существует. Рассмотрим выражение (2.14) при . Известно, что , и поэтому справедливы соотношения , , , . С учетом этого выражение (2.14) при  принимает вид

,

т.е. получено уравнение (2.13). Следовательно, уравнение (2.14) справедливо при . Можно показать, что обратная матрица  существует при любом .

Выражение (2.14) можно переписать в виде

,                                                  (2.15)

т.е.

.                            (2.16)

В общем случае, когда система (2.1) нестационарна, получить аналитическое выражение для фундаментальной матрицы  невозможно. Следовательно, невозможно найти в общем случае , используя уравнение (2.14).

Для того чтобы найти матрицу , продифференцируем соотношение (2.15):

.                                        (2.17)

С другой стороны,  определяется соотношением (2.4). Приравнивая (2.17) и (2.4), а также подставляя значения  и , после алгебраических преобразований получим

,  . (2.18)

Так как уравнение (2.18) должно выполняться при любом начальном состоянии , а  есть решение однородного уравнения (2.1), то уравнение (2.18) должно быть справедливым при любом значении . Это означает, что матрица  должна удовлетворять матричному дифференциальному уравнению

.                        (2.19)

Найдем граничные условия для уравнения (2.19). При  уравнение (2.15) имеет вид

.                                                           (2.20)

С другой стороны,  было определено соотношением (2.5). Приравнивая (2.5) и (2.20), получим

при любом  (которое не задано) и, следовательно,

.                                 (2.21)

Покажем симметричность матрицы . Транспонируем уравнение (2.19):

,

поскольку матрицы и симметричные.

Но для любой матрицы справедливо

.

Следовательно,  и  являются решением одного и того же дифференциального уравнения. При   имеем

,

так как  - симметричная матрица (по условию задачи).

Получаем, что  и  есть решение одного и того же дифференциального уравнения при одинаковых граничных условиях. Из единственности решений дифференциальных уравнений следует, что , т.е. матрица  симметричная.

Таким образом, оптимальное управление существует, единственно и определяется уравнением

,                                                   (2.22)

где  – симметричная матрица, являющаяся решением дифференциального  уравнения типа Риккати (2.19) с граничным условием (2.21).

Состояние оптимальной системы есть решение линейного дифференциального уравнения

                                       (2.23)

Найдем значение функционала качества, принимаемое при оптимальном управлении и соответствующей ему оптимальной траектории. Для этого в подынтегральную часть функционала качества (2.2) добавим выражение , компенсировав вне интеграла выражением . С учетом уравнений (2.19) и (2.21), получим

.

Аналогичный результат мы получим, если начнем управление системой не в момент времени , а в любой момент . Добавив выражение  в подынтегральную часть функционала качества, компенсировав вне интеграла выражением  и учитывая уравнения (2.19) и (2.21), получим

.

Таким образом, оптимальное значение функционала качества зависит от состояния системы в момент начала управления и от структурно-параметрической характеристики системы, сосредоточенной в матрице .

Докажем положительную определенность матрицы . Допустим, что при  матрица  не является положительно определенной. Тогда существует  такое, что . При этом, очевидно, нарушается положение: если , то , которое следует из положительной полуопределенности матриц  и  и положительной определенности матрицы . Следовательно, матрица  должна быть положительно определенной.

Итак, были получены выражения для оптимального управления, оптимальной траектории и оптимального значения функционала качества в задаче стабилизации нестационарного линейного объекта при полной информации о параметрах и состоянии.

§2.2Робастное управление нестационарным линейным объектом.  Постановка задачи

Достаточно большое количество объектов управления можно описать с помощью систем линейных дифференциальных уравнений с неполной информацией о параметрах и векторе состояния. При этом критерий качества управления во многих случаях представляет собой квадратичную форму.    

Пусть управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный  динамический объект описывается системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

                                                         (2.24)

где

На управление наложены ограничения вида

.                                                                                                       (2.25)

Начальное условие принадлежит заранее известному подмножеству

.                                                                                                    (2.26)

Матрицы  содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям. (Для определенности будем считать, что размерности матриц   и  -  и  соответственно.)

Предполагается, что нестационарные матрицы

измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом (2.24) в множестве  и почти всюду на  удовлетворяют включению

,                                                           (2.27)

где   - заданные матрицы, а символ “co” обозначает выпуклую оболочку.

Выпуклые многогранники в (2.27) задают структуру параметрической неопределенности в описании системы (2.24). Ее частным случаем является интервальная неопределенность

                                                                 (2.28)

Задача управления объектом (2.24) заключается в построении такой стратегии , при которой минимизируется функционал

.                                 (2.29)

Согласно полученным ранее результатам, управление для объекта (2.24), минимизирующее функционал (2.29), при отсутствии ограничений и  при полной наблюдаемости состояния объекта имеет вид:

,                             (2.30)

где положительно определенная матрица  есть решение уравнения:

   (2.31)

Функционал (2.29) при управлении (2.30) принимает минимальное значение

.                                               (2.32)

Однако реализовать оптимальное управление (2.30) не удастся, так как на интервале управления неизвестны значения параметров, подвергающихся возмущениям, и для его реализации требуется знание состояния объекта .

В данной постановке задача управления будет решаться не для одной точно заданной системы, а для целого семейства систем, параметры которых допускают значительные отклонения в их описании и принадлежат заранее заданным множествам. Соответствующая проблема имеет название задачи робастного управления.

Определение 2.1. Робастным будем считать управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (2.24)-(2.29) при начальных условиях из заданного подмножества , любых неизвестных значениях параметрических возмущений из определенной параметрической области  и удовлетворяющее наложенным на него ограничениям .

Определение 2.2. Будем называть систему робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (2.24) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого  к  при .

Определение 2.3. Будем называть систему d-робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (2.24) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого , при заданных для некоторых компонент вектора состояния системы целевых условиях  и заданном интервале управления .

Здесь  - фиксированные неотрицательные постоянные. Очевидно, что в общем случае время  должно зависеть от начального состояния  и параметров системы.

§2.3 Минимаксное управление линейным объектом

Рассмотрим задачу робастного управления с использованием аппарата, применяемого в задачах о минимаксе.

Перепишем уравнение, описывающее нестационарный объект (2.24), в виде

                                              (2.33)

где

   ;                                                          (2.34)

;                                      (2.35)

,.                                                                   (2.36)

Для оценки эффективности управления  при возмущающем воздействии  зададим функционал качества:

                (2.37)

где матрицы ,  были ранее заданы  в функционале (2.29). Условия выбора матриц  и  будут определены ниже.

В силу полученных ранее результатов, оптимальные антагонистические управления  и  определяются соотношениями

                           (2.38)

где положительно определенная матрица  –  решение уравнения:

                       (2.39)

Соответствующая траектория  является решением следующего дифференциального уравнения:

                            (2.40)

Минимальное значение функционала (2.37) при стратегиях (2.38) будет иметь вид

.                             (2.41)

Найдем условия, которым должен отвечать выбор матриц  и для выполнения равенства

                             (2.42)

Очевидно, что для равенства оптимальных значений функционалов необходимо, прежде всего, чтобы ,  .

Пусть

.                                 (2.43)

Для получения равенства  назначим  так, чтобы выполнялось

.                            (2.44)

Сравнивая уравнения (2.34) и (2.38), получим:

.                            (2.45)

Последнее равенство должно выполняться на всем интервале управления объектом. Поэтому

.                                  (2.46) Учитывая, что матрица  обратима, умножим полученное выражение справа на  и получим условие назначения матрицы :

.                            (2.47)

Умножая (2.46) слева на матрицу  и учитывая (2.44), найдем матрицу :

.                             (2.48)

Таким образом, матрица  определяется следующим соотношением:

.                            (2.49)

Отметим, что условием положительной определенности матрицы

является положительная определенность матрицы .

При таком выборе матриц  и  обеспечивается выполнение равенства , а значит и выполнение (2.42):

.          

Полученные условия выбора матриц  и  и условия положительной определенности матрицы, являющейся решением уравнения типа Риккати, ограничивают область возможных параметрических возмущений. Параметрические возмущения, принадлежащие этой области, должны быть такими, что:

  1.  матрица  должна быть положительно определенной для   (из условия назначения матрицы );
  2.  матрица  должна быть положительно определенной для  (из условия назначения матрицы );
  3.  матрица  должна быть положительно определенной (из условия, гарантирующего наличие положительно определенной матрицы в решении уравнения типа Риккати).

Таким образом, с учетом того, что , можно сделать заключение, что при  выполнении сформулированных выше требований к множеству параметрических возмущений и при стабилизирующих управлениях (2.38) и (2.30) оптимальные траектории объектов (2.24) и (2.35) совпадают, т.е.  для .

Полученные результаты можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 2.1. Эквивалентной задачей об управлении объектом

заключающейся в построении такой стратегии , при которой будет достигаться минимум функционала

,

где - положительно определенные матрицы, является задача линейной дифференциальной игры с объектом:

   

где  ; ,

и функционалом, оценивающим выбранную стратегию:

где матрицы  и  должны быть такими, чтобы выполнялись условия:

,

.

Теорема 2.2. Задача о робастной стабилизации нестационарного объекта вида (2.24) с регулятором вида (2.30) имеет решение, если матрица  положительно определена.

Нетрудно показать, что справедливо следующее соотношение:

,                                               (2.50)

где

Рассмотрим вначале ситуацию, когда . В этом случае объект (2.33) и функционал (2.37) будут иметь вид

.

При управлении , где  определяется решением уравнения (2.39), функционал будет иметь вид

.                        (2.51)

Рассмотрим ситуацию, когда . В этом случае объект (2.33) и функционал (2.37) будут иметь вид

.

При управлении  функционал будет иметь вид

.                      (2.52)

В ситуации, когда , объект описывается уравнением (2.33) и функционал имеет вид

и при управлениях   и  принимает значение

.                             (2.53)

Сравнивая (2.51), (2.52) и (2.53), получаем соотношение (2.50).

Рассмотрим теперь задачу d-робастной стабилизации.

Для объекта (2.33) условие на правом конце зададим в виде

                             (2.54)

Для того, чтобы можно было завершить игру за время  , необходимо, чтобы

.                              (2.55)

Действительно, поскольку игра должна быть завершена независимо от возмущений , при любом фиксированном  должно выполняться неравенство

,                             (2.56)

а отсюда следует, что существует  такое, что выполняется условие (2.54).

Условие (2.55) является достаточным, если для любого   найдется такое управление , что

,

где  - значение , достигаемое при конкретном управлении , где .

В задачах робастного управления (расчете системы на «худший случай»), реализуемого с использованием минимаксного подхода, в общем случае точка минимакса не является седловой точкой, т.е. перестановочные операции  и  могут дать несовпадающие результаты. Однако минимакс обладает свойством, которым не обладает седло, а именно, если минимакс существует, то по определению функционал  гарантированно имеет максимум по  для каждого , а не только для оптимального управления, как это гарантируется определением седловой точки.

Отметим, что для робастного минимаксного управления справедливо следующее соотношение:

.                               (2.57)

Найдем условия, при которых игра будет завершена в момент .

Пусть  – фундаментальная матрица решений системы (2.33),  т.е. , где  - единичная матрица. Тогда

.                         (2.58)

Введем в рассмотрение оператор  такой, что . И пусть - вектор из  : . Тогда условие (2.54) можно переписать в виде

.                     (2.59)

Примечание. Здесь и далее под сравнением векторов будем понимать их покоординатное сравнение.

Множества  и ограниченные. Ограниченность множества , в силу постановки задачи о робастном управлении, следует из ограниченности множества . Поэтому  покажем, что множество

                   (2.60)

ограниченное.

Пусть  Тогда

Таким образом, множество  воздействий , где , ограничено. В силу ограниченности множества V множество U также ограничено. Предположим, что множества U и V выпуклы. Обозначим через  множество

Аналогично положим

Оба множества ограничены и выпуклы. Более того, они замкнуты. Действительно,  пусть

,

а так как множество U ограничено, то можно выбрать последовательность , слабо сходящуюся в к некоторому элементу  (также принадлежащему U почти всюду) и

Аналогично можно убедиться в замкнутости множества .  

Сформулируем необходимые и достаточные условия возможности завершения игры за время .

Пусть еRk - произвольный единичный вектор.

Теорема 2.3. Для того чтобы можно было завершить игру к моменту Т, начиная из состояния  в момент , необходимо и достаточно, чтобы для любого единичного вектора  выполнялось неравенство

.                    (2.61)

Здесь - фиксированная неотрицательная величина.

Из (2.61) следует, что при отсутствии параметрических возмущений () управление  должно быть таким, что

.

Условие (2.61) перепишем в виде:

                                                          (2.62)

Необходимость. Предположим, что игру можно завершить за время , но при этом условие (2.62) не выполняется. Это означает, что для некоторого единичного вектора е

      

т.е. множество V содержит такое , что

при любом допустимом управлении , а это противоречит сделанному предположению, что игру можно завершить за время .

Достаточность. Докажем, что условие (2.62) достаточно, для того чтобы игру можно было завершить за время . Предположим, что это не так. Это предположение означает, что можно найти такое , что множество

ни при каком допустимом управлении  не пересекается с областью , представляющей собой шар радиуса  с центром в начале координат пространства . Тогда с шаром не пересекается и замкнутое выпуклое множество

.

Это значит, что расстояние между этими множествами строго больше нуля и, следовательно, они сильно отделимы. Другими словами найдется такой единичный вектор , что

   

откуда что противоречит условию (2.62).

Множество U, которое содержит управляющие воздействия, при которых игра будет завершена за время  при любых наперед заданных множествах начальных условий и возмущений параметров, свяжем с определением значения матрицы R функционала (2.37).

Пусть , т.е. они представляют собой наихудшие параметрические возмущения, при которых целевые условия управления выполняются. Тогда, учитывая (2.38) и (2.47), система (2.35) может быть записана в виде

                         (2.63)

где положительно определенная матрица  является решением уравнения типа Риккати

.

Положим, что матрица  не зависит от времени – это позволит нам построить регулятор с постоянными параметрами. В таком случае матрица  находится из уравнения Риккати-Лурье:

.                                                 (2.64)

Решение уравнения (2.63), записанное  в форме Коши, будет иметь вид

.                          (2.65)

Здесь .

Запишем условие d-робастной стабилизации (2.54) с учетом (2.65):

,

откуда

.                      (2.66)

При отсутствии параметрических возмущений () управление должно быть таким, что

.                                               (2.67)

Применяя к правой части неравенства (2.66) неравенство Коши - Буняковского – Шварца, получаем

                      (2.68)

Очевидно, что условие d-робастной стабилизации будет выполняться, если значения матриц параметрических возмущений  и  таковы, что правая часть неравенства (2.68) при фиксированной матрице  и вычисленной матрице   принимает максимальное  значение.

Из структуры неравенства (2.68) видно, что граничные значения параметров матриц  должны обеспечивать максимальное значение нормы , следовательно, .

Выполнение условия d-робастной стабилизации зависит не только от значений параметрических возмущений, но и от начального состояния системы  и интервала управления .

Если при выполнении условия (2.67) условие (2.68) не выполняется, то это означает, что ограничения на управления, сформулированные в виде назначения матрицы , настолько «жесткие»,  а возможные параметрические возмущения и начальные условия  настолько велики, что поставленная задача при этих условиях неразрешима.

В этом случае при заданных наихудших параметрических  возмущениях и заданных начальных условиях  следует вернуться к функционалу качества и внести, если это возможно по самой постановке задачи, изменения в значения матриц  и  (что повлечет изменение матрицы ) так, чтобы удовлетворялось условие (2.68).

Если при постановке задачи было заданы:

  •  критическое значение функционала качества , которое не должно быть превышено,
  •  область допустимых управляющих воздействий ,

то условие (2.68) можно использовать для нахождения положительно определенной матрицы , при которой эти условия выполняются при заданном интервале управления, заданных границах параметрических возмущений, заданной точности выполняемой задачи управления и затем проверить: выполняются ли  условия

.                              (2.69)

Таким образом, робастная система «объект - регулятор» описывается дифференциальным уравнением

                          (2.70)

§2.4. Робастная стабилизация линейных нестационарных систем

Рассмотрим снова управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный  динамический объект (2.24):

       

Матрицы  содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям.

Нестационарные матрицы

     

измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом (2.24) в множестве и почти всюду на  удовлетворяют включению

,       

где  - заданные матрицы, а символ  обозначает выпуклую оболочку.

Частный случай такой параметрической неопределенности -интервальная неопределенность вида:

Управление для объекта (2.24) будем синтезировать на модели

           (2.71)

с функционалом

,                  (2.72)

где задан интервал управления , матрицы  и  – положительно определены, а положительно определенная матрица  является решением уравнения Риккати – Лурье:

.           (2.73)

Оптимальное управление для модели (2.72) определяется соотношением

,                     (2.74)

где матрица , соответствует решению уравнения Риккати

Учитывая (2.73), положим, что , т.е.  для .

Матрицы  и  назначаются так, чтобы управление (2.74) обеспечивало бы приемлемое поведение модели на интервале управления  и соответствующее этому поведению значение функции качества.

Согласно полученным ранее результатам, оптимальное значение функционала будет определяться соотношением

.

Определим множество  значений матриц  при открытом интервале управления, при которых объект (2.24) стабилизируем с управлением

,                                                          (2.75)

где матрица  является решением уравнения (2.73). Для этого введем в рассмотрение функцию Ляпунова

.                               (2.76)

Тогда

Пусть  таковы, что

                    (2.77)

т.е. множество значений матриц  образуют границу замыкания  множества . Тогда для всех , при которых матрица  отрицательно определена, система (2.24), (2.75) стабилизируема.

Учитывая, что третье слагаемое в (2.77) принимает минимальное значение при , а первые два слагаемых принимают максимальное значение при , то можно сделать следующее заключение. Система (2.24) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением

,                                                (2.78)

где матрица  является решением уравнения (2.73), робастно стабилизируема,  если матрица

                         (2.79)

отрицательно определена.

Замечание. Существенно, что  должно быть таким, чтобы  .

Рассмотрим задачу d-робастной стабилизации с заданным интервалом управления и заданной областью возможных терминальных значений состояния системы. Пусть состояние системы на правом конце должно подчиняться условию

.          (2.80)

Пусть ,  образуют границу замыкания  множества , на котором выполняется условие (2.80), т.е. , где  : . Тогда уравнение динамики системы  с управлением (2.75) будет иметь вид

        (2.81)

Запишем решение уравнения (2.81):

.        (2.82)

Применим к обеим частям уравнения (2.82) введенный ранее оператор   такой, что . В явном виде  представляет собой умножение слева на матрицу размерности , у которой на главной диагонали с первой до -й строки стоят единицы, а все остальные элементы – нули.

Тогда (2.82) примет вид

.       (2.83)

Умножим обе части равенства (2.83) справа на :

.      (2.84)

Если - вектор из : , то

Учитывая, что , получим

.     (2.85)

Прологарифмировав (2.85), получим выражение, определяющее границу множества :

.      (2.86)

Пусть , тогда

     (2.87)

Из условия (2.87) видно, что наихудшими возможными значениями параметрических возмущений являются , .

Будем называть систему (2.24) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением (2.75) d-робастно стабилизируемой, если выполняется условие: матрица , где

,      (2.88)

отрицательно полуопределена.

 Отметим, что если условие отрицательной полуопреденности матрицы  не выполняется, следует, учитывая ограничения, наложенные на управляющие воздействия, назначить другие матрицы  и  в уравнении (2.73), решением которого является матрица .

Отметим, что робастное управление (2.75) требует для своей реализации знания всего состояния объекта, что делает его для многих практических задач нереализуемым. Конструирование нестационарной системы с неполной информацией о состоянии системы будет рассмотрено ниже.

§2.5 Объект с параметрами, зависящими от состояния в задаче дифференциальной игры

Пусть нелинейный управляемый объект описывается векторным дифференциальным уравнением

                                  (2.89)

Здесь − интервал ;  − область (открытое связное множество) , содержащая начало;  − состояние системы; , − область возможных начальных состояний системы; , − выход системы; − управление, подлежащее нахождению; − неизвестное возмущение; матрицы  действительны и непрерывны. Предполагается, что пара  и  является управляемой, пара  − наблюдаемой. Кроме того, будем предполагать функции  достаточно гладкими, чтобы через любые  проходило одно и только одно решение (2.89)  и был единственный соответствующий выход системы .

Рассматривая задачу синтеза закона управления как дифференциальную игру двух игроков  и  на интервале , введем функционал

                        (2.90)

Здесь матрица   может быть положительно полуопределенной; матрицы − положительно определенные. Требования к значениям параметров матриц  будут определены далее. Задача заключается в построении оптимальной стратегии с обратной связью для игроков  и . Ограничения на управляющие воздействия учитываются при назначении матриц  и .

Оптимальные стратегии с обратной связью для игроков  и  на интервале , определяются выражениями:

,   ,                             (2.91)

где  − положительно определенная функция, отвечающая алгебраическому уравнению Гамильтона-Якоби:

                        (2.92)

Из условия положительной определенности функционала (2.34) следует, что назначения матриц  и  должны быть такими, чтобы матрица  была по крайней мере положительно полуопределенной.

Основная трудность реализации управлений в виде (2.91) заключается в нахождении вектора , удовлетворяющего скалярному уравнению (2.92). Одним из возможных способов нахождения робастного управления с использованием уравнения (2.92) является метод, основанный на аппроксимации этого уравнения рядом Тейлора вокруг точки равновесия. Однако метод, основанный на представлении неравенства с частными производными с использованием аппроксимации возле точки равновесия, не позволяет получить более общие решения.

Сделаем ряд предположений относительно матриц  и . Пусть, каково бы ни было , существуют такие  и , что

                                    (2.93)

где

, , , , ,           (2.94)

(2.95)

где ,  − управления, реализованные с использованием обратной связи.

Из условия (2.95) следует, что

, , ,  при  равномерно по . Таким образом, решение дифференциального уравнения (2.89), тождественно равное нулю, асимптотически устойчиво.

Из условий (2.94) можно сделать вывод, что

                               (2.96)

               (2.97)

или, объединив условия (4.4) и (4.5), будем иметь:

                                       (2.98)

Следует отметить, что представление матриц  в виде (2.93) не является единственным.

О п р е д е л е н и е. Представление управляемой и наблюдаемой системы (2.89) в виде

                                          (2.99)

является эквивалентным, если матрицы  и  образуют управляемые пары, а матрицы  образуют наблюдаемую пару при всех возможных .

Пусть  количество  возможных эквивалентных представлений исходной системы . Далее рассмотрим одну из систем вида (2.99), попадающую под введенное определение.

Пусть эквивалентная модель системы (2.89) имеет вид (2.99). Определим одну из возможных траекторий при  . Если

  •   измеримы на множестве  при любых фиксированных  и ;
  •   непрерывны по  при любых фиксированных  и ;
  •   при фиксированном  функции  непрерывны по совокупности переменных и ,

то существуют функции  и , интегрируемые по Лебегу на интервале , такие, что если  и ,  то

, .             (2.100)

Таким образом, параметры объекта  можно назвать «наихудшими» в том смысле, что

, т.е.  и

, т.е. .

Линейная модель с параметрами  имеет вид

                                              (2.101)

Перепишем функционал (2.90) для модели (2.101):

         (2.102)

Управления  и  будут иметь вид:

,   ,                 (2.103)

где  − положительно определенная функция, отвечающая алгебраическому уравнению Гамильтона-Якоби:

                                            (2.104)

Пусть , где − положительно определенная матрица. Тогда из (2.104) будем иметь:

                               (2.105)

Для синтеза управлений исходным объектом (2.1) введем функцию Ляпунова такую, что

,                                          (2.106)

где .

Законы управления должны быть такими, чтобы

.

Определим  скалярную функцию  в виде:

Здесь матрица  − по крайней мере положительно полуопределенная.

Тогда условие (2.106) примет вид

Т е о р е м а  2.1. При определенных выше функциях  и  система

                 (2.51)

равномерно асимптотически устойчива, если и только если

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Подставив в левую часть неравенства (2.106) управления, синтезированные с использованием модели (2.101)

  (2.108)

будем иметь:

   (2.109)

Из (2.53), принимая во внимание, что , следует, что «наихудшими» параметрами  модели (2.45) являются

, , , .

Т е о р е м а  2.2. Если  является решением дифференциального уравнения с постоянными параметрами

                  (2.110)

а  − возможные решения исходного нелинейного уравнения

где положительно определенная матрица  является решением алгебраического уравнения Риккати:

                                   (2.111)

то при всех возможных  справедливо соотношение .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Справедливость теоремы 5.2 следует из условия равномерной асимптотической устойчивости исходного объекта с управлениями вида (2.108), условия нахождения «наихудших» параметров исходного объекта и того факта, что выражение  − по крайней мере положительно полуопределенное.

Управления (2.108) описывают стратегию с обратной связью в дифференциальной игре для игроков  и , описываемой динамической системой (2.101). Отметим, что эквивалентное представление системы (2.89) в виде (2.99) приводит к различным управлениям вида (2.108), так как в уравнениях вида (2.111), решениями которых определяются положительно определенные матрицы , будут содержаться различные матрицы с постоянными параметрами, характеризующими каждое из представлений.

Положительно определенная матрица  являющаяся решением уравнения (2.111), в управляющих воздействиях (2.108) обеспечит конечное значение функционала  на робастной модели объекта:

.                                                                      (2.112)

С л е д с т в и е  и з  т е о р е м ы  2.1.  Из того обстоятельства, что решение уравнения модели (2.101) на  является мажорантой (в том смысле, что )  для решений исходной системы с управлениями (2.108), следует, что

,                                                                              (2.113)

где положительно определенная матрица  является решением уравнения (2.111), при всех возможных .

Уточним важное свойство уравнения исходной динамической системы с управляющими воздействиями (2.108). Перепишем уравнение (2.107) в виде

                                                                   (2.114)

где  

                (2.115)   

Здесь  −  параметры матриц , , , ; − область -пространства. В силу сделанных ранее предположений относительно этих матриц множество − замкнутое множество возможных траекторий параметров системы в интервале .

Т е о р е м а  2.3.  Пусть вектор-функция  обладает следующими свойствами:

  •   измерима на множестве  при любых фиксированных траекториях  и соответствующих решениях , ;
  •   непрерывна по совокупности ;
  •   в

и  − постоянные параметры робастной модели системы

, а  − единственное решение уравнения  на интервале . В таком случае для каждой траектории изменения  параметров  существует соответствующее единственное решение задачи (2.114)  на   и если  последовательно от решения к решению устремлять к , т.е. , то соответствующие решения   будут  сходиться к .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  При сделанных выше предположениях о непрерывности правой части исходного дифференциального уравнения объекта справедливо заключение о существовании интегрируемой по Лебегу на интервале  функции  такой, что если , где , то , если . Учитывая, что  в , решение уравнения (2.58) непрерывно зависит от начальных условий и параметров системы, а, следовательно, если  последовательно от решения к решению устремлять к , т.е. , то соответствующие решения   будут  сходиться к .

§2.6 Исследование влияния возмущений

Рассмотрим влияние возмущений на результат управления объектом (2.24). Пусть в качестве возмущений, действующих на входе объекта, будет белый шум  с характеристиками

.

Тогда уравнение для ковариационной матрицы состояния объекта  будет описываться следующим соотношением:

Ковариационная матрица  состояния модели объекта (2.54), определяется решением алгебраического уравнения

 

Так как  (теорема 2.2), то выполняется соотношение .

Выводы: 

В главе 2 были рассмотрены 2 задачи:

  1.  задача конструирования оптимального управления в условиях полной информации о параметрах системы,
  2.  задача построения робастного управления в условиях неполной информации о параметрах системы.

Было получено решение первой задачи: выведена формула для оптимального управления, соотношение для оптимальной траектории  и найдено соответствующее оптимальное значение функционала качества.

Затем были поставлены задачи робастной и d-робастной стабилизации, и на базе решения первой задачи, с использованием аппарата минимакса, было построено робастное управление. Также были сформулированы условия эквивалентности задачи оптимального управления в классической постановке и задачи о минимаксе.

Глава 3. Построение наблюдателя

§3.1 Фильтр Калмана-Бьюси

Пусть задан полезный гауссовский марковский процесс как результат прохождения нестационарного белого шума через линейную динамическую систему

                               (3.1)

Задан измеряемый процесс

                                 (3.2)

В (3.1) и (3.2) , , , , . Нестационарные процессы  и  – белые гауссовские центрированные шумы с интенсивностями  и . Пара  наблюдаема. Предполагается, что шумы  и  не коррелированы и , .

Требуется построить фильтр оптимальный в смысле минимума дисперсии ошибки выделения полезного процесса на фоне шумов, т.е. функционал качества имеет вид

,                                  (3.3)

здесь  – знак математического ожидания и

,                                    (3.4)

где  – оценка полезного процесса.

Фильтр Калмана-Бьюси имеет вид

                             (3.5)

здесь ,

,                                  (3.6)

где  – дисперсионная матрица ошибок, являющаяся решением уравнения типа Риккати

                    (3.7)

Ошибка фильтрации при этом будет решением дифференциального уравнения

                            (3.8)

Замечание. В силу того, что параметры матриц, необходимых для построения наблюдателей, неизвестны, реализовать их в том виде, в котором они представлены в § 3.1, невозможно. Рассмотрим два возможных решения данной проблемы:

  1.  построение робастного наблюдателя (рассчитанного на случай наихудших параметрических возмущений и шумовых воздействий),
  2.  построение на основе модифицированного уравнения Винера-Хопфа нестационарного фильтра, наделенного способностью оптимизировать свою работу по мере накопления необходимой для этого информации.
  3.  

§3.2 Робастный фильтр Калмана

Постановка задачи та же, что и в предыдущем параграфе:

            

             

, , , , ;

и  – белые гауссовские центрированные шумы с интенсивностями  и , причем  и  не коррелированы и , .

Функционал качества фильтра имеет вид

,        

где .  

 Однако здесь будем считать, что матрицы и  нам неизвестны, при этом они измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом в множестве и почти всюду на  удовлетворяют включению

,  

где .

Пусть параметрические матрицы представимы в виде суммы соответствующих стационарных матриц и матриц неизвестных возмущений:

.

Построим робастный наблюдатель (робастный фильтр Калмана).

Пусть ,,,, –  наихудшие значения параметров объекта, оценки его начального состояния и интенсивности шумов. Тогда, с учетом формул из предыдущего параграфа, определим робастный фильтр следующим образом:

                                     (3.9)

где

,                                                           (3.10)

.                          (3.11)

 

§3.3. Модифицированное уравнение Винера-Хопфа в задачах фильтрации нестационарных процессов

Пусть снова объект определяется уравнениями (3.1), измеритель – соотношением (3.2). Сделаем предварительные предположения. Как и в §3.2, предположим, что можно представить

,                              (3.12)

тогда

                          (3.13)

здесь  – матрицы возмущенных параметров,  – стационарный белый шум с интенсивностью  (нестационарность процесса  "вынесена" в изменение параметров матрицы ).

Предположим, что матрица интенсивностей нестационарного белого шума  представима в виде .

Предположим также, что неопределенность имеет интервальный характер, т.е. имеют место следующие неравенства:

(черта внизу – минимальное значение, черта вверху – максимальное значение).

Основную структуру фильтра будем строить в виде

                     (3.14)

где матрица  находится как решение следующего уравнения:

,                                          (3.15)

здесь  – решение дифференциального уравнения

                          (3.16)

Выбор зависит от используемого регулятора (в нашем случае регулятор робастный, поэтому- наихудшие возможные значения матрицы , т.е. ).

Решения (3.15) и (3.16) реализуются на стадии проектирования нестационарного фильтра.

Таким образом, фильтр синтезирован с точностью до значений параметров матриц  и , на которые возлагается задача оптимизировать работу фильтра в смысле функционала (3.3) по мере накопления необходимой для этих целей информации.

Сформируем алгоритм оптимизации. Необходимое, а в рассматриваемой постановке задачи и достаточное, условие минимума функционала (3.3) описывается уравнением Винера-Хопфа:

,                                          (3.17)

здесь оператор  преобразует вектор  в вектор .

Уравнение (3.17) должно выполняться для любого ненулевого линейного оператора . Положим это уравнение в основу конструкции алгоритмов оптимизации фильтра (3.14).

Организуем векторы  и  размерностью  и  из элементов матриц  и  соответственно.

Представим конструкцию алгоритмов оптимизации в следующем виде:

                                     (3.18)

                            (3.19)

здесь  и  – линейные операторы, преобразующие – мерный вектор  в матрицы размерности  и  соответственно.

При выборе операторов  и  потребуем, чтобы процесс оптимизации, т.е. перевода функционала качества из периферийных его значений в минимум, обладал свойством асимптотики. Это означает, что должно выполняться условие

,

т.е.

.                                     (3.20)

Так как функционал (3.24) в явном виде не зависит от ,  не зависит от параметров оптимизации  и , то условие (3.20), учитывая (3.19), можно переписать в виде

                      (3.21)

Нетрудно видеть, что выбор или назначение операторов  и  в виде

,                            (3.22)

обеспечивает асимптотические свойства процессу оптимизации.

Алгоритмы (3.18) и (3.19) с учетом (3.22) принимают вид

                             (3.23)

Условия, определяющие оптимальные значения параметров матриц  и , запишутся при  и  в виде

                          (3.24)

 

 

Условие положительной определенности вторых производных говорит о возможности достижения минимального значения функционала качества (3.3) при использовании алгоритмов вида (3.23).

Отметим, что в алгоритмы вида (3.23) входит процесс , что делает эти алгоритмы нереализуемыми.

Для построения реализуемых алгоритмов оптимизации в указанном выше смысле построим функционал, эквивалентный заданному функционалу (3.3).

Определение 3.1. Будем считать два функционала эквивалентными, если они зависят от одних и тех же процессов и их минимальные значения достигаются при одних и тех же значениях параметров фильтра.

Введем в рассмотрение функционал

.                 (3.25)

В выражении (3.25) оператор  означает "след матрицы".

При малых значениях сдвига  по сравнению с динамикой модели (3.1) функционал (3.25) эквивалентен в указанном смысле исходному функционалу (3.3). Необходимые и достаточные для данной задачи условия минимума функционала (3.25) имеют, в силу симметричности корреляционной функции, вид

, .       (3.26)

Однако использование условия (3.26) для построения алгоритмов оптимизации не приведет к реализуемым результатам, так как эти условия содержат процесс , который измеряется в виде (3.2).

Введем в рассмотрение функционал

, .                    (3.27)

Учитывая (3.2) имеем

.   (3.28)

Пусть  – фундаментальная матрица решений дифференциального уравнения (3.8). Тогда

в силу того, что , и .

Таким образом,

.                                               (3.29)

Необходимые условия минимума функционала (3.27) имеют вид

(3.30)

здесь оператор  преобразует вектор  в вектор .

Если же в (3.30) подставить выражение для  (3.2), то можно показать, что условие (3.30) является необходимым и достаточным условием минимума как функционала (3.27), так и функционала (3.3).

Теорема 3.1. Для системы (3.1) – (3.2), обладающей структурным свойством наблюдаемости, функционал

, ,                           (1)

необходимые и достаточные условия минимума которого имеют вид:

 

достигает минимума при тех же значениях параметров фильтра, что и функционал

            (2)                                                   

необходимые и достаточные условия минимума которого имеют вид:

, .

Эти функционалы эквивалентны в смысле определения (3.1). А так как функционал (2) эквивалентен исходному функционалу

,                                                (3)

необходимые и достаточные условия минимума которого имеют вид:

,

то функционал (1) также эквивалентен функционалу (3).

Функционал (1) содержит только измеряемые процессы. В силу этого необходимые и достаточные условия минимума этого функционала можно использовать для построения реализуемых алгоритмов оптимизации.

Реализуемые алгоритмы оптимизации, с учетом изложенного выше, принимают вид

                                              (3.31)

Нетрудно видеть, что необходимые и достаточные условия минимума функционала (3.3) вида (3.24) выполняются и для алгоритмов (3.31).

Выводы: 

В главе 3 была рассмотрен задача построения оценки вектора состояния стохастического объекта при помощи фильтра Калмана-Бьюси. В условиях неполной априорной информации о параметрах системы фильтр Калмана-Бьюси в чистом виде не применим. Поэтому были предложены следующие  пути решения данной проблемы:

  1.  построение робастного фильтра Калмана с расчетом на наихудшие возможные значения параметров;
  2.  построение адаптивного наблюдателя—фильтра Калмана-Бьюси с оптимизацией параметров, основанной на модифицированном уравнении Винера-Хопфа, которое является необходимым и достаточным условием минимума квадрата ошибки оценки;

Глава 4. Моделирование

 §4.1 Постановка задачи

В качестве объекта управления была взята упрощённая модель самолёта. Математическая модель была подробно рассмотрена  в главе 1.  Движения самолёта по крену, рысканию и скольжению взаимосвязаны и образуют совокупность так называемого бокового движения. Это движение почти не связано с изменениями угла тангажа и вертикальными перемещениями самолёта, то есть с его продольным движением.

Рис 4.1 Модель исследуемого объекта

Возмущённое боковое движение летательного аппарата относительно установившегося горизонтального полёта можно описать системой уравнений пятого порядка:

   (4.1)

где

- угол скольжения,

- угол рыскания (курса),

- угол крена,

- угловая скорость рыскания,

- угловая скорость крена,

- углы отклонения элеронов и руля соответственно.

Значения моментов инерции и их производных, а также параметров самолёта заданны следующим образом:

Управление самолётом производится при помощи отклонения элеронов и руля (углы  и ). Минимизируемый функционал качества задаётся следующим образом:

.    (4.2)

Функционал J представлен в форме , где

, , .

Учитывая значения коэффициентов, система (4.1) может быть представлена в следующей форме:

   (4.3)

Допустим, что приборному измерению доступны все элементы вектора состояний:

 

где . Если принять данные значения:

,  ,

систему (4.3) можно представить в канонической форме:    .

В реальных условиях эксплуатации объект отличается от предполагаемой модели под влиянием различных помех (ветра, изменения эффективности рулей и элеронов и др.). Кроме того может меняться и требуемое направление. В связи со всем этим можно поставить задачу следующим образом: требуется построить закон управления динамическим объектом (4.3) в присутствии  шумов, наилучший с точки зрения функционала качества (4.2).

 

§4.2  Описание среды моделирования

Для моделирования процессов и алгоритмов, рассматриваемых в данной работе, используется система визуального моделирования Simulink, входящая в состав пакета Matlab 7.14. Система Simulink позволяет с помощью готовых атомарных блоков, имеющихся в стандартной библиотеке, создавать модели математических и технических объектов практически любой сложности. В данной работе система Simulink используется для построения модели объекта, описанного в предыдущей главе, алгоритмов оптимизации, а также для вывода результатов моделирования (переходных процессов, входных сигналов, ошибок и др.). Все результаты фиксируются в виде графиков на плоскости при помощи элемента scope из стандартной библиотеки элементов системы Simulink. Для удобства восприятия некоторые сложные объекты и алгоритмы объединены в отдельные блоки (subsystem). Это позволяет более четко представить общую схему функционирования, абстрагируясь от реализации каждого отдельного элемента. Все элементы, используемые при моделировании, описаны в приложении 1.

§4.3 Управление объектом при полной информации о его параметрах и состоянии

Если известна полная информация о параметрах и состоянии системы, оптимальное управление описывается формулой:

,                               (4.4)

где  находится из уравнения типа Риккати:

                         (4.5)

При этом  удовлетворяет уравнению типа Риккати-Лурье:

                                    (4.5а)

                         

Схемы и результаты моделирования поведения системы (4.1) с управлением (4.5)-(4.5а), а также в отсутствие управления, представлены на рис.4.3.1-4.3.11.

Рис 4.3.1 Схема объекта

Выходом является вектор состояния  х(t).  На рис 4.3.2 изображены графики переходных процессов  угла скольжения, угловой скорости рысканья, угловой скорости крена, угла крена и угла рысканья соответственно. Период функционирования системы выбран 50 с. Как видно из графиков, регулятор справляется со своей задачей и при заданных начальных значениях объекта по углам  и  выводит систему в  первоначальное положение. Для компенсации начальных условий системе необходимо отклонить компоненты  и .

§4.4 Робастное управление детерминированным объектом с неизвестными параметрами

В данном случае (случае интервальной неопределенности) закон управления объектом (4.1) имеет следующий вид:

                                                          (4.6)

Для нахождения оптимально управления (то есть матрицы K), используем функцию системы Matlab [K,S,e]=lqr(A,B,Q,R):

.

Робастное управление удовлетворяет соотношению:

,                                        (4.7)

где - решение уравнения Риккати-Лурье:

.                             (4.8)

Ниже на рис.4.3.1-4.3.2 представлены схемы моделирования объекта (4.1) с робастным управлением. Результаты моделирования представлены на  рис.4.4.2-4.4.7. (Графики переходных процессов  угла скольжения, угловой скорости рысканья, угловой скорости крена, угла крена и угла рысканья соответственно)

Рис.4.4.1. Схема объекта

Рис 4.4.2  BETA – угол скольжения

Рис 4.4.3 OMEGA X – угловая скорость крена

Рис 4.4.4 OMEGA Y – угловая скорость рысканья

Рис 4.4.5 GAMMA- угол крена

Рис 4.4.6 PSI – угол рысканья

Рис 4.4.7 Управление (угол отклонения элеронов и руля направления)

§4.5 Робастное управление стохастическим объектом с неизвестными параметрами

Теперь учтем влияние шумов на поведение объекта. Предположим, что внешние возмущающие воздействия можно аппроксимировать белыми шумами. Тогда движение объекта можно будет описать  системой дифференциальных уравнений следующего вида:

                          (4.9)

где  по-прежнему определяются соотношениями (4.3), а - белый гауссовский шум с интенсивностью .

Пусть измеритель состояния объекта описывается уравнением:

                                       (4.10)

где - также белый гауссовский шум с интенсивностью ,  и  не коррелируют между собой и с начальным состоянием объекта. Пусть известно: , .

Построить робастное управление по формулам, которые рассматривались выше невозможно так как векторы состояния не известны. Если построить наблюдатель, который будет вырабатывать оценку , то робастное управление будет находиться по следующей формуле

,                                        (4.12)

где       .                            (4.13)

Рис 4.5.1 Схема объекта

 §4.5.1 Робастный фильтр 

Используя результаты §3.2, построим робастный фильтр Калмана для нашей системы:

                                      (4.14)

где

,                                                    (4.15)

,                                                                     (4.16)

                                                                  (4.30)

,                                                  (4.17)       

,                           (4.18)

- наихудшие значения матриц интенсивности шумов.

Рис.4.5.1.1. Subsystem ROBUST FILTER — подсистема, моделирующая робастный фильтр

Рис.4.5.1.2. Subsystem K — подсистема, решающая уравнение Риккати-Лурье  и вычисляющая матрицу K

Рис 4.5.1.3  BETA – угол скольжения

Рис 4.5.1.4  BETA ^–   робастная оценка угла скольжения

Рис 4.5.1.5 OMEGA X – угловая скорость крена

Рис 4.5.1.6 OMEGA X^ –   робастная оценка угловой скорости крена

           

Рис 4.5.1.7 OMEGA Y – угловая скорость рысканья

           

Рис 4.5.1.8 OMEGA Y^ –   робастная оценка угловой скорости рысканья

           

Рис 4.5.1.9 GAMMA- угол крена

           

Рис 4.5.1.10 GAMMA^-  робастная оценка угла крена

 

Рис 4.5.1.11 PSI – угол рысканья

Рис 4.5.1.12 PSI^ –   робастная оценка угла рысканья

Рис 4.5.1.13 Управление (угол отклонения элеронов)

Рис 4.5.1.14 Управление (угол отклонения руля направления)

Выводы: 

В главе 4 представлен отчет о моделировании в среде Simulink решения задачи стабилизации корабля на курсе в следующих постановках:

  1.  состояние объекта и его параметры полностью известны;
  2.  состояние объекта известно, а для параметров имеет место интервальная неопределенность; задача решается с применением робастного регулятора;
  3.  стохастическая постановка: на объект и измеритель подаются белые шумы; для параметров снова имеет место интервальная неопределенность; данная задача решается с помощью робастного фильтра Калмана,

Для сравнения представлены графики поведения объекта в отсутствие управления. Объект устойчив, но при оптимальном управлении стабилизация проходит быстрее.

Моделирование дало хорошие результаты, что показывает  возможность  использования робастного регулятора на практике.


Заключение

В данной работе была рассмотрена задача робастного управления линейным нестационарным объектом с квадратичным функционалом качества в условиях неполной априорной информации. Робастное управление является методом алгоритмического конструирования систем управления, рассчитанным на самый «худший» случай. Этот метод применяется в связи с невозможностью применения методов аналитического конструирования систем управления по причине отсутствия необходимых данных.

Предварительно была решена задача оптимального управления линейным объектом с квадратичным функционалом качества в условиях полной информации о параметрах и состоянии: выведена формула для оптимального управления, соотношение для соответствующей оптимальной траектории и оптимальное значение функционала.

Решение задачи робастного управления было синтезировано на базе решения задачи оптимального управления, с использованием аппарата минимакса. Получены условия эквивалентности задач минимаксного управления и оптимального управления в классической постановке.

Для стохастической системы рассмотрено применение робастного регулятора построенного на базе робастного фильтра Калмана-Бьюси.

Введены понятия робастной и d-робастной стабилизации объекта. Также была исследована область значений неизвестных параметров системы (в том числе, внешних возмущающих воздействий): выведено соотношение, определяющее границу области изменения параметров, внутри которой существует решение задачи робастной и d-робастной стабилизации объекта управления.

Все рассмотренные задачи были промоделированы в среде визуального программирования Simulink, являющейся одним из модулей пакета MatLab 7.14. В качестве подвижного объекта был выбран летательный аппарат, математическая модель движения которого представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, приводимых к линейному виду. Схемы и результаты моделирования приведены в настоящей работе. Полученные результаты позволяют говорить о практическом применении робастного подхода к задаче оптимального управления.


Список литературы

  1.  Афанасьев В.Н. Аналитическое конструирование детерминированных непрерывных систем управления. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М.,2003.–122 с.
  2.  Афанасьев В.Н. Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М., 2004. – 148 с.
  3.  Афанасьев В.Н., Винь Ч.К. Адаптивное управление курсом грузового судна. Учеб. пособие. – Институт машиноведения им. А.А. Благонравова. Центр дистанционного обучения. М., 1999. – 82 с.
  4.  Прокопов Б.И., Гуляев В.В. Оптимальные адаптивные наблюдатели. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М.,2002.  

  1.  Красовский А.А.  Системы аналитического управления полетом и  

их аналитическое конструирование.  Главная редакция физико-математической литературы издательства  «Наука», М., 1973г., 560стр.

  1.   Афанасьев В.Н. Управление нелинейными объектами с параметрами зависящими от состояния. Учеб. Пособие. - МГИЭМ. М.,2011г.
  2.  Бюшгенс Г. С., Студнев Р.В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. М.: Машиностроение, 1979.
  3.  Дикусар В.В., Кошъка М.М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М.: Изд. МФТИ, 2001.
  4.  Кузовков Н.Т. Системы стабилизации летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1976.
  5.  Jazwittski A.H. Stochasic Processes and Filtering Theory. N. Y. 1970, p. 376.
  6.  Kayton M., Fried W.R. Avionics Navigation Systems. N. Y. 1969, p. 666.51 .Leondes Т., Pearson J. Kalman Filtering of Systems with Parameter Ancertanties. A. Survey. Int. J. Control, 1973, vol. 17, N 4, p. 758—801.
  7.  Нгуен Куанг Тхыонг, Нгуен Ши Хиен. Определение маневренных возможностей самолета в горизонтальной плоскости. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. М.: КомКнига, 2008, том 32(1), с. 82-86.
  8.  Нгуен Куанг Тхыонг, Нгуен Ши Хиен. Система автоматического управления посадкой самолета с учетом боковых движений. Труды Института системного анализа Российской Академии Наук. Динамика неоднородных систем. М.: КомКнига, 2008,- том 32(1), с.37-44.
  9.  Остославский И.В., Стражева КВ. Динамика полета. М.: Машиностроение, 1969.
  10.  Гуськов Ю.П., Загайнов Г.И. Управления полетом самолетов. М.: Машиностроение, 1980.


Приложение

В данном приложении приводятся параметры настроек блоков из библиотеки Simulink MatLab 7.14 для схем моделирования из главы 4.

Таблица 1. Блоки из библиотеки Simulink (к рис. 4.3.1)

№№

п/п

Название блока

Коли-

чество

Назначение блока

Значения параметров настроек

1

Constant

1

Задает постоянную величину.

Constant value: 0.

Interpret vector parameters as 1-D: on.

2

Gain

3

Реализует коэффициент усиления.

Gain: -Е

Gain1: B

Gain: A;

3

Sum

1

Суммирует входные сигналы.

Icon shape: rectangular; List of signs: ++

4

Integrator

1

Интегрирует непрерывный сигнал по времени.

External reset: none; Initial condition source: internal; Initial condition: [x10;x20;x30;x40;x50]

5

Scope

6

Выводит графики входных сигналов.

Вход: Scope1: x1; Scope2:x2 ; Scope3: x3; Scope4: x4. Scope5: x5 Scope6: u

6

Manual Switch

1

Ручной переключатель

Не имеет параметров настройки

Таблица 2. Блоки из библиотеки Simulink (к рис. 4.4.1)

№№

п/п

Название блока

Коли-

чество

Назначение блока

Значения параметров настроек

1

Constant

1

Задает постоянную величину.

Constant value: 0.

Interpret vector parameters as 1-D: on.

2

Gain

3

Реализует коэффициент усиления.

Gain: -Е

Gain1: B

Gain: A;

3

Sum

1

Суммирует входные сигналы.

Icon shape: rectangular; List of signs: ++

4

Integrator

1

Интегрирует непрерывный сигнал по времени.

External reset: none; Initial condition source: internal; Initial condition: [x10;x20;x30;x40;x50]

5

Scope

6

Выводит графики входных сигналов.

Вход: Scope1: x1; Scope2:x2 ; Scope3: x3; Scope4: x4. Scope5: x5 Scope6: u

6

Manual Switch

1

Ручной переключатель

Не имеет параметров настройки

Таблица 3. Блоки из библиотеки Simulink (к рис. 4.5.1)

№№

п/п

Название блока

Коли-

чество

Назначение блока

Значения параметров настроек

1

Gain

4

Реализует коэффициент усиления.

Gain: -E

Gain1: B

Gain: A

Gain: C

2

Sum

2

Суммирует входные сигналы.

Icon shape: rectangular; List of signs: ++.

Icon shape: rectangular; List of signs: +++

3

Integrator

1

Интегрирует непрерывный сигнал по времени.

External reset: none; Initial condition source: internal; Initial condition: [x10;x20;x30;x40;x50]

4

Scope

6

Выводит графики входных сигналов.

Вход: Scope1: x1; Scope2:x2 ; Scope3: x3; Scope4: x4. Scope5: x5 Scope6: u

5

Band-Limited White Noise

2

Источник белого шума.

Noise power: n: 0.0001; w1: 0.001; w2: 0.00001. Sample time: 0.1; Interpret vector parameters as 1-D: on.

[0;0;0;0.0001;0]

[0;0;0;0.0001;0]

6

SUBSYSTEM

robust filter

1

Подсистема, реализующая вычисление матрицы S и управления

Вход: x.

См таблицу №4

Таблица 4. Блоки из библиотеки Simulink (к рис. 4.5.1.1)

№№

п/п

Название блока

Коли-

чество

Назначение блока

Значения параметров настроек

1

Gain

1

Реализует коэффициент усиления.

Gain: C

2

Integrator

1

Реализует матричный коэффициент усиления.

External reset: none; Initial condition source: internal; Initial condition [x10;x20;x30;x40;x50]Matrix Gain: L]'; Multiplication: Matrix[K*u].

Matrix Gain4: Gain: V*cos(rr)*[a11/L,a12;a21/(L^2),a22/L]; Multiplication: Matrix[u*K].

Matrix Gain5: Gain: invR; Multiplication: Matrix[u*K].

Command Window: invR=inv(R).

3

Sum

1

Суммирует входные сигналы.

Icon shape: rectangular; List of signs: +++

+-

4

Constant

2

Задает постоянную величину.

A

B

Interpret vector parameters as 1-D: on.

5

Outport

1

Выходной порт. Обеспечивает связь между подсистемами.

Port number: 1; Port dimensions: -1; Sample time: -1.

6

Inport

1

Входной порт. Обеспечивает связь между подсистемами.

Port dimensions: -1; Sample time: -1.

7

Product

Matrix

Multiply

1

Производит матричное умножение.

Number of inputs: 2; Multiplication: Product1-2: Matrix(x); Product3: Matrix Multiply.

8

SUBSYSTEM

K

1

.

См таблицу № 5

Таблица 5. Блоки из библиотеки Simulink (к рис. 4.5.1.2)

№№

п/п

Название блока

Коли-

чество

Назначение блока

Значения параметров настроек

1

Matrix Gain

5

Реализует матричный коэффициент усиления.

Matrix Gain: Gain: C; Multiplication: Matrix[K*u].

Matrix Gain1: Gain: С plication: Matrix[K*u].

Matrix Gain3: Gain A; Multiplication: Matrix[K*u].

Matrix Gain: Gain: A’; Multiplication: Matrix[K*u].

Matrix Gain: Gain: invN; Multiplication: Matrix[K*u].

2

Sum

1

Суммирует входные сигналы.

Icon shape: rectangular; List of signs: ++-+

3

Integrator

1

Интегрирует непрерывный сигнал по времени.

External reset: none; Initial condition source: internal; Initial condition: [0;0;0;0;0]

4

Product

Matrix

Multiply

1

Производит матричное умножение.

Number of inputs: 2; Multiplication: Product1-2: Matrix(x); Product3: Matrix Multiply.

5

Constant

1

Задает постоянную величину.

W

Interpret vector parameters as 1-D: on.

6

Outport

1

Выходной порт. Обеспечивает связь между подсистемами.

Port number: 1; Port dimensions: -1; Sample time: -1.

1  Для производной  по времени от приращения далее везде будет использовано обозначение


 Поскольку приращение производной равно производной приращения

Рис. 4.3.2  Графики переходных процессов объекта в отсутствие шумов

γ

δn

β

V0

X

Z

δe

γ

Y

Z

Горизонт

γ

δn

β

V0

X

Z


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13053. Классный час. Мы живем среди людей 24.6 KB
  Классный час на тему: Мы живем среди людей зачетное мероприятие План: 1. Деление на команды. 2. Разминка: Собери эпиграф. 3. Вступительное слово. 4.Музыкальный светофор. 5. Пантомима. 6.Жилибыли. 7. Пойди туда не знаю куда. 8. Рисунок на спине. 9. Подведени
13054. Доброта. Классный час 16.91 KB
  Классный час По теме: Доброта Цель: создание праздничного настроения развитие внимания воображения в игровой форме воспитание доброжелательности. Материалы: поезд из картона солнышко Оформление: рисунки шары. Ход мероприятия: Ведущий1. Здраствуйте де...
13055. Основы теории движения автомобиля. Классный час 21.87 KB
  Классный час Основы теории движения автомобиля Физические и психофизиологические требования к водителям транспортных средств могут быть определены исходя из анализа деятельности водителя автомобиля. Водитель должен воспринимать большое количество информации о
13056. Классный час «Сквернословие и здоровье» 25.97 KB
  Классный час Сквернословие и здоровье Ход мероприятия: Учитель: Здравствуйте дорогие ребята гости учителя Тема нашего сегодняшнего классного часа Сквернословие и здоровье. Второе название €œЗдоровье не купишь – его разум дарит€. Сегодня мы поговорим с вами...
13057. Классный час. Режим дня 25.04 KB
  Классный час Режим дня 1 класс Цели: закрепить знания учащихся о гигиенических нормах и культуре поведения; научить детей составлять режим дня; развивать кругозор обогащать словарный запас. Оборудование: презентация Power Point; презентация на интеракт...
13058. Классный час. Мечта 29.5 KB
  Цель: познакомить детей с понятием мечта формировать его интеллектуальный коммуникативный и эстетический потенциал Задачи: 1. Развивать фантазию умение мечтать 2. Воспитывать любовь к профессиям 3. Развивать устную речь учащихся способность высказывать собств
13059. Классный час. Поделись улыбкою своей 58 KB
  Тема: Поделись улыбкою своей Цели: 1. Дать учащимся представление о том что такое улыбка в чём её секреты; Учить детей видеть понимать оценивать чувства и поступки других мотивировать объяснять свои суждения. Развивать речевые умения положительные эмоции; ...
13060. Классный час Защита прав несовершеннолетних 36.5 KB
  Классный час Защита прав несовершеннолетних Ребёнком считается человек до 18 лет. От взрослого он отличается тем что не имеет больших возможностей чтобы себя защитить. Ему требуется помощь и поддержка защита он зависит от взрослых. поэтому человечест
13061. Методические рекомендации для студентов по информационно-профориентационной работе во время педагогической практики в школах 112.5 KB
  Выбор профессии одно из главных решений в жизни, основа самоутверждения человека в обществе. Для учащихся старших классов проблема выбора профессии является наиболее актуальной. Уже в подростковом возрасте могут определяться профессиональные склонности и интересы,