3849

Абсолютна та відносна похибка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Абсолютна та відносна похибка. Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Короткі теоретичні відомості. Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Украинкский

2012-11-09

78.27 KB

33 чел.

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ  ≤ ,  

де атперша  значуща цифра числа а .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =                                           

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти   

δa = .

                                              

 Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ =   

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|.  Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

1. Похибки суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

|∆и||∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| 

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

и = х1 + х2 + ... + хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

max = .

   

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х12 .      

 Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

и = ∆х1 + х2 , δu=,                                                 (6)

де А – точне  значення різниці х12. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

3. Похибки добутку. 

| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ 

                                                             + x1 x2 … хn-1  + ∆хп .   

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xnx1+ х1 х3… xnx2 +…+ x1 x2 … хn-1  + ∆хп  .

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді ,

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибки степеня. Нехай  А = (х + х)т , и = хт , де  т – натуральне число,  х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|,  δ ≤ mδ1,

де  δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

u= mxm - 1x, δu=x

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Варіант 17

Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:

a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;

B) заданих  значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3  з похибкою = N*10-3, де N – номер варіантy

F = 4x12 + 3x22 + 5x32 - 4x2x3 - 3x1 + 11cosec (x1 - x3) ;

Текст програми:

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, jpeg, ExtCtrls, StdCtrls,Math;

type

 TForm1 = class(TForm)

   GroupBox1: TGroupBox;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Edit1: TEdit;

   Edit2: TEdit;

   Edit3: TEdit;

   Button1: TButton;

   GroupBox2: TGroupBox;

   Label4: TLabel;

   Edit4: TEdit;

   Label5: TLabel;

   Label6: TLabel;

   Edit5: TEdit;

   Edit6: TEdit;

   Button2: TButton;

   Image1: TImage;

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

 Edit1.Text:='';

 Edit2.Text:='';

 Edit3.Text:='';

 Edit4.Text:='';

 Edit5.Text:='';

 Edit6.Text:='';

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var x:array [1..3] of real;

    F, ab_poh, vid_poh, dx: real;

begin

dx:=0.017;

  x[1]:=StrtoFloat(Edit1.Text);

  x[2]:=StrtoFloat(Edit2.Text);

  x[3]:=StrtoFloat(Edit3.Text);

   F:=4*sqr(x[1])+3*sqr(x[2])+5*sqr(x[3])-4*x[1]*x[3]-3*x[2]+11*csc(x[1]-x[3]);

      Edit4.Text:=FloattoStrF(F,ffFixed,7,3);

   ab_poh:=abs(9*2*x[1]*dx)+abs(6*2*x[2]*dx)+abs(5*2*x[3]*dx)+

          +abs(7*(x[2]+x[3])*dx)+abs(5*x[1]*dx)+abs(24*1/3*(x[2]+x[3])*dx);

      Edit5.Text:=FloatToStrF(ab_poh,ffFixed,6,3);

   vid_poh:=abs(ab_poh/F)*100;

      Edit6.Text:=FloatToStrF(vid_poh,ffFixed,5,2)+'%';

end;

end.

Результат виконання програми:

Висновок: в ході виконання даної лабораторної роботи я вивчила і засвоїла поняття абсолютної та відносної похибки і методи їх оцінювання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58276. Лічба предметів. Порівняння груп предметів за величиною 33 KB
  Скільки всього помідорів Скільки огірків Скільки бурячків Скільки всього овочів II. Як легше визначити однакова кількість чи неоднакова Чого більше На скільки більше Чого менше На скільки Що треба зробити щоб кількість трикутників й квадратиків стала однаковою...
58278. Порядкова лічба. Поняття зліва — направо, справа — наліво, решта, кожний, вищий — нижчий. Підготовка до написання цифр 33.5 KB
  Ознайомлення учнів з поняттями зазначеними в темі уроку На столі стоять чотири кубики різного кольору червоний синій жовтий зелений. Якого кольору останній кубик Якого кольору кубик що стоїть попереду кубик якого кольору стоїть між синім і зеленим...
58280. Склад сучасного настільного персонального компютера 42 KB
  Персона́льний компютер (ПК) — електронна обчислювальна машина, призначена для особистого використання, ціна, розміри та можливості якого задовольняють потреби багатьох людей.
58283. Один і багато. Числа і цифри. Назви цифр: одиниця, двійка, трійка… Підготовка до написання цифр 33.5 KB
  Мета: на основі практичних дій з предметами формувати в учнів вміння лічити предмети; ознайомити з цифрами; показати співвідношення числа й цифри; продовжити роботу над формуванням навички лічби предметів...
58284. Орбитальное Движение Земли 28.5 KB
  Цель: изучить движение орбитальное движение Земли и его влияние на смену времен года Оборудование: мультимедиа аудиопроигрыватель Ход. Рассмотрим движение Земли вокруг Солнца. Нам поможет диктор и Кто будет двигателем Земли К демонстрационному столу с учебником Учебная задача: слушать читать.