3849

Абсолютна та відносна похибка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Абсолютна та відносна похибка. Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Короткі теоретичні відомості. Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Украинкский

2012-11-09

78.27 KB

33 чел.

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ  ≤ ,  

де атперша  значуща цифра числа а .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =                                           

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти   

δa = .

                                              

 Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ =   

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|.  Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

1. Похибки суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

|∆и||∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| 

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

и = х1 + х2 + ... + хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

max = .

   

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х12 .      

 Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

и = ∆х1 + х2 , δu=,                                                 (6)

де А – точне  значення різниці х12. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

3. Похибки добутку. 

| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ 

                                                             + x1 x2 … хn-1  + ∆хп .   

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xnx1+ х1 х3… xnx2 +…+ x1 x2 … хn-1  + ∆хп  .

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді ,

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибки степеня. Нехай  А = (х + х)т , и = хт , де  т – натуральне число,  х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|,  δ ≤ mδ1,

де  δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

u= mxm - 1x, δu=x

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Варіант 17

Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:

a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;

B) заданих  значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3  з похибкою = N*10-3, де N – номер варіантy

F = 4x12 + 3x22 + 5x32 - 4x2x3 - 3x1 + 11cosec (x1 - x3) ;

Текст програми:

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, jpeg, ExtCtrls, StdCtrls,Math;

type

 TForm1 = class(TForm)

   GroupBox1: TGroupBox;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Edit1: TEdit;

   Edit2: TEdit;

   Edit3: TEdit;

   Button1: TButton;

   GroupBox2: TGroupBox;

   Label4: TLabel;

   Edit4: TEdit;

   Label5: TLabel;

   Label6: TLabel;

   Edit5: TEdit;

   Edit6: TEdit;

   Button2: TButton;

   Image1: TImage;

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

 Edit1.Text:='';

 Edit2.Text:='';

 Edit3.Text:='';

 Edit4.Text:='';

 Edit5.Text:='';

 Edit6.Text:='';

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var x:array [1..3] of real;

    F, ab_poh, vid_poh, dx: real;

begin

dx:=0.017;

  x[1]:=StrtoFloat(Edit1.Text);

  x[2]:=StrtoFloat(Edit2.Text);

  x[3]:=StrtoFloat(Edit3.Text);

   F:=4*sqr(x[1])+3*sqr(x[2])+5*sqr(x[3])-4*x[1]*x[3]-3*x[2]+11*csc(x[1]-x[3]);

      Edit4.Text:=FloattoStrF(F,ffFixed,7,3);

   ab_poh:=abs(9*2*x[1]*dx)+abs(6*2*x[2]*dx)+abs(5*2*x[3]*dx)+

          +abs(7*(x[2]+x[3])*dx)+abs(5*x[1]*dx)+abs(24*1/3*(x[2]+x[3])*dx);

      Edit5.Text:=FloatToStrF(ab_poh,ffFixed,6,3);

   vid_poh:=abs(ab_poh/F)*100;

      Edit6.Text:=FloatToStrF(vid_poh,ffFixed,5,2)+'%';

end;

end.

Результат виконання програми:

Висновок: в ході виконання даної лабораторної роботи я вивчила і засвоїла поняття абсолютної та відносної похибки і методи їх оцінювання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47460. Строительство многопрофильного культурно-спортивного комплекса Минск-Арена расположена в северо-восточной части г. Минска 531.5 KB
  Технические решения, принятые на стройгенплане, соответствуют требованиям экологических, санитарно-гигиенических и противопожарных норм и правил и обеспечивают безопасное для жизни и здоровья людей производство строительно-монтажных работ при соблюдении предусмотренных проектом мероприятий.
47461. ХРЕСТОМАТІЯ З ФІЛОСОФІЇ ПРАВА 990 KB
  Истина о праве, согласно легистской гносеологии, дана в законе, выражающем волю, позицию, мнение законодателя (суверена, государства). Поэтому искомое истинное знание о праве носит здесь характер мнения, хотя и официально-властного мнения
47462. Англійська мова: Підручник для 11 класу середніх шкіл 812.06 KB
  The right to education in Ukraine is guaranteed by the Constitution (Article 53). Every boy or girl must get Hecondary education; it means that secondary education is compulsory in our country. There are state schools where education is free of charge and private primary and- secondary schools where pupils have to pay for their studies
47463. ЛИНЕЙНО-КАБЕЛЬНЫЕ СООРУЖЕНИЯ 718 KB
  К таким основным решениям относятся: прокладка методом задувки диэлектрических оптических в пластмассовых защитных трубках внутренний диаметр от 32 мм до 40 мм; прокладка над пластмассовыми защитными трубками или над бронированными оптическими кабелями сигнальноинформационных пластиковых лент; максимальное использование в качестве трубопроводов кабельной канализации труб из полиэтилена высокой плотности гладкие и гофрированные многоканальных блоков мультиканалы и смотровых устройств из пластиката; использование при соответствующем...
47464. Решение геометрических задач, как средство развития самостоятельности мышления учащихся 134 KB
  Они должны не просто знакомиться с теорией предмета а видеть источники возникновения и практическую целесообразность изучения этих вопросов не просто решать задачу указанную учителем приобретая нужные навыки и умения а рассматривать условия в которых возникают задачи данного типа. Решение математических задач приобретает единую учебнопознавательную направленность в том случае когда оно реализует решение одной и той же дидактической задачи изучения математической закономерности на основе анализа частных случаев. Первые описываются...
47465. СТРАТЕГІЧНЕ УПРАВЛІННЯ. НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК 1.01 MB
  Розглянуто основні питання стратегічного управління: сучасна концепція стратегічного управління; види стратегій підприємства; формування стратегічного набору; форми та методи забезпечення стратегічного управління. 2004 ВСТУП Ринкова економіка формує нові вимоги до підприємства що обумовлюються не тільки наявністю конкуренції та високими вимогами до якості товарів але й необхідністю гнучко реагувати на зміни ринкової ситуації яка не завжди сприяє процвітанню підприємства. Успіх підприємства залежить від здатності передбачати й змінювати...
47466. Питання для іспиту «Митне право україни» 641.5 KB
  Керівництво збиранням прикордонного мита: евеки вивізне та інфуки ввізне мито за часи Богдана Хмельницького покладалося на Державний скарб як тоді називалася фінансовобанківська служба України. Верховна Рада прийняла Закон України Про митну справу в Україні який проголосив що Україна як суверенна держава самостійно створює власну митну систему і здійснює митну справу. Верховна Рада України прийняла Постанову про створення Державного митного комітету України як центрального митного органу України та перший Митний кодекс України.
47467. Політекономія. Тарнавський М.П, Навчально-методичний посібник 2.54 MB
  Ця наука вивчає ринкову поведінку людей при використанні обмежених ресурсів виробництва що породжує за умов приватної власності економічну конкуренцію між ними. Другий факт: економічні ресурси засоби для виробництва благ обмежені. Задоволення їх обмежено рідкістю ресурсів для виробництва засобів їх задоволення. Непрямі інструментні чи виробничі використовуються для виробництва прямого блага.
47468. СТРАХОВІ ПОСЛУГИ. ПІДРУЧНИК 55.64 MB
  У підручнику розкриваються основи теорії страхових послуг та особливості різних видів страхування що реалізуються на страховому ринку України. Зміст підручника відповідає типовій програмі навчальної дисципліни Страхові послуги що дозволяє сформувати у студентів сучасні знання щодо сутності страхової послуги як специфічного товару страхового ринку умов та правил здійснення основоположних класичних і сучасних видів страхування. Порядок укладання та ведення страхової угоди 33 Сутність договору...