3849

Абсолютна та відносна похибка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Абсолютна та відносна похибка. Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Короткі теоретичні відомості. Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Украинкский

2012-11-09

78.27 KB

32 чел.

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ  ≤ ,  

де атперша  значуща цифра числа а .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =                                           

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти   

δa = .

                                              

 Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ =   

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|.  Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

1. Похибки суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

|∆и||∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| 

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

и = х1 + х2 + ... + хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

max = .

   

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х12 .      

 Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

и = ∆х1 + х2 , δu=,                                                 (6)

де А – точне  значення різниці х12. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

3. Похибки добутку. 

| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ 

                                                             + x1 x2 … хn-1  + ∆хп .   

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xnx1+ х1 х3… xnx2 +…+ x1 x2 … хn-1  + ∆хп  .

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді ,

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибки степеня. Нехай  А = (х + х)т , и = хт , де  т – натуральне число,  х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|,  δ ≤ mδ1,

де  δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

u= mxm - 1x, δu=x

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Варіант 17

Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:

a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;

B) заданих  значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3  з похибкою = N*10-3, де N – номер варіантy

F = 4x12 + 3x22 + 5x32 - 4x2x3 - 3x1 + 11cosec (x1 - x3) ;

Текст програми:

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, jpeg, ExtCtrls, StdCtrls,Math;

type

 TForm1 = class(TForm)

   GroupBox1: TGroupBox;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Edit1: TEdit;

   Edit2: TEdit;

   Edit3: TEdit;

   Button1: TButton;

   GroupBox2: TGroupBox;

   Label4: TLabel;

   Edit4: TEdit;

   Label5: TLabel;

   Label6: TLabel;

   Edit5: TEdit;

   Edit6: TEdit;

   Button2: TButton;

   Image1: TImage;

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

 Edit1.Text:='';

 Edit2.Text:='';

 Edit3.Text:='';

 Edit4.Text:='';

 Edit5.Text:='';

 Edit6.Text:='';

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var x:array [1..3] of real;

    F, ab_poh, vid_poh, dx: real;

begin

dx:=0.017;

  x[1]:=StrtoFloat(Edit1.Text);

  x[2]:=StrtoFloat(Edit2.Text);

  x[3]:=StrtoFloat(Edit3.Text);

   F:=4*sqr(x[1])+3*sqr(x[2])+5*sqr(x[3])-4*x[1]*x[3]-3*x[2]+11*csc(x[1]-x[3]);

      Edit4.Text:=FloattoStrF(F,ffFixed,7,3);

   ab_poh:=abs(9*2*x[1]*dx)+abs(6*2*x[2]*dx)+abs(5*2*x[3]*dx)+

          +abs(7*(x[2]+x[3])*dx)+abs(5*x[1]*dx)+abs(24*1/3*(x[2]+x[3])*dx);

      Edit5.Text:=FloatToStrF(ab_poh,ffFixed,6,3);

   vid_poh:=abs(ab_poh/F)*100;

      Edit6.Text:=FloatToStrF(vid_poh,ffFixed,5,2)+'%';

end;

end.

Результат виконання програми:

Висновок: в ході виконання даної лабораторної роботи я вивчила і засвоїла поняття абсолютної та відносної похибки і методи їх оцінювання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44309. Менеджмент организаций и администрирование. Методические рекомендации 345.5 KB
  Целью методических рекомендаций является оказание помощи студентам специальности Менеджмент организаций и администрирвоание обучающимся по программе магистров в подготовке и оформлении магистерской работы. Выбор и утверждение темы магистерской работы Структура и содержание магистерской работы Оформление магистерской работы
44311. Зорі та їх скупчення. Галактики. Історія Всесвіту 101 KB
  Зорі це велетенські розкидані по космосу клуби газу які світяться. Зорі настільки далеко що навіть у найпотужніші телескопи здаються нам тільки маленькими крапочками які світяться на нічному небі. Зорі світяться через те що неймовірний тиск у їх центрі викликає реакцію ядерного синтезу.
44312. Влияние новых видов заквасок на качество ржано-пшеничного хлеба 6.78 MB
  Управление процессом приготовления закваски:. Регулирование температуры выведения закваски. Регулирование влажности закваски Регулирование соотношения выброженной закваски и питательной смеси.
44315. Высшая мера наказания в Советской России и Российской Федерации 431.5 KB
  Происхождение понятие и эволюция смертной казни в России с древнейших времен до XVIII века. Происхождение и понятие смертной казни Смертная казнь в Российской Федерации Среди множества проблем активно обсуждаемых сегодня в нашем обществе стоит вопрос о высшей мере наказания – смертной...
44316. Разработка автоматизированной информационной системы учета основных средств 6.72 MB
  Основной особенностью системы 1С: Предприятие является её конфигурируемость. Собственно система 1С: Предприятие представляет собой совокупность механизмов, предназначенных для манипулирования различными типами объектов предметной области.