3849

Абсолютна та відносна похибка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Абсолютна та відносна похибка. Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Короткі теоретичні відомості. Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Украинкский

2012-11-09

78.27 KB

29 чел.

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ  ≤ ,  

де атперша  значуща цифра числа а .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =                                           

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти   

δa = .

                                              

 Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ =   

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|.  Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

1. Похибки суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

|∆и||∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| 

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

и = х1 + х2 + ... + хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

max = .

   

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х12 .      

 Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

и = ∆х1 + х2 , δu=,                                                 (6)

де А – точне  значення різниці х12. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

3. Похибки добутку. 

| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ 

                                                             + x1 x2 … хn-1  + ∆хп .   

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xnx1+ х1 х3… xnx2 +…+ x1 x2 … хn-1  + ∆хп  .

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді ,

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибки степеня. Нехай  А = (х + х)т , и = хт , де  т – натуральне число,  х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|,  δ ≤ mδ1,

де  δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

u= mxm - 1x, δu=x

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Варіант 17

Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:

a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;

B) заданих  значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3  з похибкою = N*10-3, де N – номер варіантy

F = 4x12 + 3x22 + 5x32 - 4x2x3 - 3x1 + 11cosec (x1 - x3) ;

Текст програми:

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, jpeg, ExtCtrls, StdCtrls,Math;

type

 TForm1 = class(TForm)

   GroupBox1: TGroupBox;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Edit1: TEdit;

   Edit2: TEdit;

   Edit3: TEdit;

   Button1: TButton;

   GroupBox2: TGroupBox;

   Label4: TLabel;

   Edit4: TEdit;

   Label5: TLabel;

   Label6: TLabel;

   Edit5: TEdit;

   Edit6: TEdit;

   Button2: TButton;

   Image1: TImage;

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

 Edit1.Text:='';

 Edit2.Text:='';

 Edit3.Text:='';

 Edit4.Text:='';

 Edit5.Text:='';

 Edit6.Text:='';

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var x:array [1..3] of real;

    F, ab_poh, vid_poh, dx: real;

begin

dx:=0.017;

  x[1]:=StrtoFloat(Edit1.Text);

  x[2]:=StrtoFloat(Edit2.Text);

  x[3]:=StrtoFloat(Edit3.Text);

   F:=4*sqr(x[1])+3*sqr(x[2])+5*sqr(x[3])-4*x[1]*x[3]-3*x[2]+11*csc(x[1]-x[3]);

      Edit4.Text:=FloattoStrF(F,ffFixed,7,3);

   ab_poh:=abs(9*2*x[1]*dx)+abs(6*2*x[2]*dx)+abs(5*2*x[3]*dx)+

          +abs(7*(x[2]+x[3])*dx)+abs(5*x[1]*dx)+abs(24*1/3*(x[2]+x[3])*dx);

      Edit5.Text:=FloatToStrF(ab_poh,ffFixed,6,3);

   vid_poh:=abs(ab_poh/F)*100;

      Edit6.Text:=FloatToStrF(vid_poh,ffFixed,5,2)+'%';

end;

end.

Результат виконання програми:

Висновок: в ході виконання даної лабораторної роботи я вивчила і засвоїла поняття абсолютної та відносної похибки і методи їх оцінювання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62171. «Планета заболела!» (Я и Украина) 22.71 KB
  Учитель в начале урока даёт установку на предстоящую деятельность. Учитель говорит вступительное слово и тем самым приковывает к себе всё внимание детей. Учитель умеет распределять своё внимание на уроке.