3849

Абсолютна та відносна похибка

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Абсолютна та відносна похибка. Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання. Короткі теоретичні відомості. Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Украинкский

2012-11-09

78.27 KB

34 чел.

Абсолютна та відносна похибка

Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.

Короткі теоретичні відомості

Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ  ≤ ,  

де атперша  значуща цифра числа а .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =                                           

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти   

δa = .

                                              

 Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою

δ =   

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|.  Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

1. Похибки суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

|∆и||∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| 

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

и = х1 + х2 + ... + хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

max = .

   

2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х12 .      

 Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

и = ∆х1 + х2 , δu=,                                                 (6)

де А – точне  значення різниці х12. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

3. Похибки добутку. 

| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ 

                                                             + x1 x2 … хn-1  + ∆хп .   

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xnx1+ х1 х3… xnx2 +…+ x1 x2 … хn-1  + ∆хп  .

Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді ,

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибки степеня. Нехай  А = (х + х)т , и = хт , де  т – натуральне число,  х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|,  δ ≤ mδ1,

де  δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

u= mxm - 1x, δu=x

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Варіант 17

Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:

a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;

B) заданих  значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3  з похибкою = N*10-3, де N – номер варіантy

F = 4x12 + 3x22 + 5x32 - 4x2x3 - 3x1 + 11cosec (x1 - x3) ;

Текст програми:

unit Unit1;

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

 Dialogs, jpeg, ExtCtrls, StdCtrls,Math;

type

 TForm1 = class(TForm)

   GroupBox1: TGroupBox;

   Label1: TLabel;

   Label2: TLabel;

   Label3: TLabel;

   Edit1: TEdit;

   Edit2: TEdit;

   Edit3: TEdit;

   Button1: TButton;

   GroupBox2: TGroupBox;

   Label4: TLabel;

   Edit4: TEdit;

   Label5: TLabel;

   Label6: TLabel;

   Edit5: TEdit;

   Edit6: TEdit;

   Button2: TButton;

   Image1: TImage;

   procedure Button2Click(Sender: TObject);

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

 Edit1.Text:='';

 Edit2.Text:='';

 Edit3.Text:='';

 Edit4.Text:='';

 Edit5.Text:='';

 Edit6.Text:='';

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var x:array [1..3] of real;

    F, ab_poh, vid_poh, dx: real;

begin

dx:=0.017;

  x[1]:=StrtoFloat(Edit1.Text);

  x[2]:=StrtoFloat(Edit2.Text);

  x[3]:=StrtoFloat(Edit3.Text);

   F:=4*sqr(x[1])+3*sqr(x[2])+5*sqr(x[3])-4*x[1]*x[3]-3*x[2]+11*csc(x[1]-x[3]);

      Edit4.Text:=FloattoStrF(F,ffFixed,7,3);

   ab_poh:=abs(9*2*x[1]*dx)+abs(6*2*x[2]*dx)+abs(5*2*x[3]*dx)+

          +abs(7*(x[2]+x[3])*dx)+abs(5*x[1]*dx)+abs(24*1/3*(x[2]+x[3])*dx);

      Edit5.Text:=FloatToStrF(ab_poh,ffFixed,6,3);

   vid_poh:=abs(ab_poh/F)*100;

      Edit6.Text:=FloatToStrF(vid_poh,ffFixed,5,2)+'%';

end;

end.

Результат виконання програми:

Висновок: в ході виконання даної лабораторної роботи я вивчила і засвоїла поняття абсолютної та відносної похибки і методи їх оцінювання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13933. Lesson. Ми – одинадцятикласники. План-конспект уроку з англійської мови для учнів 11-х класів 51.5 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 2 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. Урок 2 Тема Повторення Я моя сімя і друзі Підтема: Ми одинадцятикласники. Мета: Практикувати учнів у звязних монологічних та діалогічних висловлюваннях за темою
13934. Календарно-обрядові пісні літнього циклу. «Пісенька житнього віночка» 96.5 KB
  УРОК № 2 Тема.Календарнообрядові пісні літнього циклу. Пісенька житнього віночка. Мета:ознайомити учнів із календарнообрядовими піснями літнього циклу; розвивати навички виразного читання аналізу купальських жниварських пісень; виховувати повагу до людської п
13935. Державна служба. Поняття Дисциплінарне провадження 258 KB
  Дисциплінарне провадження - процедура розгляду в Дисциплінарній комісії АПУ фактів неналежного виконання аудитором (аудиторською фірмою) професійних обовязків, та вибір заходів впливу на аудитора (аудиторську фірму) у формі стягнення.
13936. Календарно-обрядові пісні зимового циклу. «Ой хто, хто Миколая любить», «Добрий вечір тобі, пане господарю!», «Щедрик, щедрик, щедрівочка» 60.5 KB
  УРОК № 3 Тема.Календарнообрядові пісні зимового циклу. Ой хто хто Миколая любить Добрий вечір тобі пане господарю Щедрик щедрик щедрівочка. Мета:ознайомити учнів із календарнообрядовими піснями зимового циклу; розвивати навички виразного читання й ана
13937. Форматування диску 20.06 KB
  Урок №16 Тема: Форматування диску. Мета: Теоретичні та практичні аспекти форматування диску. Програмне забезпечення для виконання форматування. Хід уроку Перевірка домашнього завдання. Усне опитування. Мотивація навчання. Для того щоб записат...
13938. Анализ контрольной работы. Повторение 63 KB
  Тема урока: Анализ контрольной работы. Повторение. Цели урока: закрепить полученные представления: о множестве элементе множества подмножестве пересечении множеств объединении множеств; о высказывании истинности высказывания об отрицании о высказы...
13939. Батьки та діти. Outline for the lesson of English for 11th-graders 69.5 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 4 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. Урок 4 Тема Повторення Я моя сімя і друзі Підтема: Батьки та діти. Мета: Організувати спілкування учнів за темою уроку з опорою на текст домашнього читання анкету
13940. Виразне читання віршів напам’ять 49 KB
  УРОК № 4 Тема.Виразне читання віршів напамять. Мета:розвивати навички виразного читання віршів память артистичні здібності учнів; викликати інтерес до українських звичаїв обрядів та пісень що їх супроводжують; виховувати естетичні смаки пошану до народної тво...
13941. Шлюб і родина. Outline for the lesson of English for 11th-graders 54.5 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 5 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. Урок 5 Тема Повторення Я моя сімя і друзі Підтема: Шлюб і родина. Мета: Формувати вміння в учнів аргументовано висловлювати свої думки за темою уроку. Практикувати...