3850

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона) Мета роботи: вивчити і засвоїти метод простої ітерації. Короткі теоретичні відомості Метод простої ітерації для розв’язування системи двох нел...

Украинкский

2012-11-16

63 KB

57 чел.

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)

Мета роботи: вивчити і засвоїти метод простої ітерації.

Короткі теоретичні відомості

Метод простої ітерації для розв’язування системи двох нелінійних рівнянь.

Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь.

F1(x,y)=0

(3)

    F2(x,y)=0

Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:

                    (4)

де , – так звані ітеруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації

          (5)

Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервно диференційовні функції ,

      (6)  

Оцінка похибки n-го наближення дається формулою

      (7)

де M=max{q1,q2}

Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М) < 1.

Побудуємо ітеруючі функції для системи (4)

      (8)

Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи

       (9)

Тоді, за такого підбору параметрів α,β,γ,δ, умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій ,  в околі точки  змінюються мало.

Приклад.. Нехай маємо систему

  

Записуємо еквівалентну систему

  

В квадраті будуть виконуватися умови

0<φ1<1, 0<φ2<1

Тоді умови (6) матимуть вигляд

Завдання

Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю ε = 10 такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно.

Номер завдання для кожного студента відповідає його порядковому номеру в списку групи (підгрупи).

12. 

Лістинг програми

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

float x0, y0, xn0, ytn1, yn0, eps, h, xn1, yn1, k1, k2;

bool modif=true;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

 : TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func(double xn0, double yn0)

{

return (sin(yn0*yn0+xn0)/(xn0*yn0));

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func_toch(double xn0, double yn0)

{

return (xn0*xn0-yn0*yn0-0.75)));

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

eps=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

xn0=x0;

yn0=y0;

while (xn0 < (x0+0.4267))

{

 k1 = h*func(xn0,yn0);

 k2 = h*func(xn0+h,yn0+k1);

 yn1 = yn0 + (k1+k2)/2.0;

 xn1 = xn0 + h;

 xn0 = xn1;

 yn0 = yn1;

 ytn1=func_toch(xn1);

  Edit1->Text=FloatToStrF(xn1,ffFixed,8,4);

  Edit2->Text= FloatToStrF(yn1,ffFixed,8,4);

 if(abs(yn1-ytn1)>eps){h/=2.0; modif=false;}

 else if(!modif){h*=2; modif=true;}

}

}

Вигляд програми:

Висновок: на даній лабораторній роботі я навчився розв‘язувати системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57574. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n – го члена 56 KB
  Мета уроку: Ввести поняття арифметичної прогресії розглянути її властивості; вивести формулу n-го члена та навчити учнів застосовувати її до розвязування задач.
57575. Відсотки в задачах бізнесово-фінансового змісту 119.5 KB
  Мета: навчити учнів практичному застосуванню вивчених алгоритмів з теми “Відсотки” для розвязання задач бізнесового та фінансового змісту; знати, що в відсотках обчислюються кількісні та якісні показники роботи, економія матеріалів...
57576. Біогаз із сміттєзвалищ 343 KB
  Окиснення (аеробний процес) спостерігається тільки у верхніх шарах сміттєзвалища. У нижні шари комунальних відходів кисень не потрапляє. Від моменту перекривання доступу кисню, кисневі процеси відбуваються доволі швидко (кілька, або кільканадцять днів).
57577. Презентація проекту «Роде мій, красний» 41.5 KB
  Повторити значення слів рід родина рідня; дати поняття про щасливу сімю; навчити учнів складати родовідне дерево; виховувати повагу до членів сімї історії традицій своєї сімї.
57578. Свята та розваги в дошкільному навчальному закладі 67 KB
  Методика ознайомлення дітей з довкіллям у дошкільному навчальному закладу. Мовленнєвий розвиток дітей від народження до 7 років. Отже розглядаючи нормативноправові документи з дошкільної освіти можна стверджувати...
57579. Вертолет Ми-8 1.42 MB
  В данной дипломной работе мне предстоит разобрать силовую установку, ознакомиться с ее особенностями. Описать отказ (выключение) одного двигателя в полете, особенности летной и технической эксплуатации, технологию работы членов экипажа в особых случаях полета.
57580. Сучасний урок – цікавий урок 75 KB
  Метою сучасного заняття стає вже не нагромадження знань а пошукова діяльність спрямована на формування вмінь і навичок щодо орієнтації в інформаційному просторі.
57581. "Любовь – это жизнь, это главное…" Тема кохання в ліриці В. В. Маяковського 114.5 KB
  Маяковський під час футуристичного турне приїжджає до Одеси. Маяковський просить благає дати йому ковток води в жаркій пустелі: Мария Имя твоё я боюсь забытькак поэт боится забытькакоето в муках ночейрождённое слововеличием равное Богу.
57582. ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ 148.5 KB
  Традиційно практичне застосування похідної використовується при дослідженні функції розвязуванні задач фізичного чи геометричного змісту. Яким же буде оптимальний обсяг випуску для фірми...