3850

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона) Мета роботи: вивчити і засвоїти метод простої ітерації. Короткі теоретичні відомості Метод простої ітерації для розв’язування системи двох нел...

Украинкский

2012-11-16

63 KB

55 чел.

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)

Мета роботи: вивчити і засвоїти метод простої ітерації.

Короткі теоретичні відомості

Метод простої ітерації для розв’язування системи двох нелінійних рівнянь.

Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь.

F1(x,y)=0

(3)

    F2(x,y)=0

Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:

                    (4)

де , – так звані ітеруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації

          (5)

Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервно диференційовні функції ,

      (6)  

Оцінка похибки n-го наближення дається формулою

      (7)

де M=max{q1,q2}

Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М) < 1.

Побудуємо ітеруючі функції для системи (4)

      (8)

Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи

       (9)

Тоді, за такого підбору параметрів α,β,γ,δ, умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій ,  в околі точки  змінюються мало.

Приклад.. Нехай маємо систему

  

Записуємо еквівалентну систему

  

В квадраті будуть виконуватися умови

0<φ1<1, 0<φ2<1

Тоді умови (6) матимуть вигляд

Завдання

Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю ε = 10 такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно.

Номер завдання для кожного студента відповідає його порядковому номеру в списку групи (підгрупи).

12. 

Лістинг програми

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

float x0, y0, xn0, ytn1, yn0, eps, h, xn1, yn1, k1, k2;

bool modif=true;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

 : TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func(double xn0, double yn0)

{

return (sin(yn0*yn0+xn0)/(xn0*yn0));

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func_toch(double xn0, double yn0)

{

return (xn0*xn0-yn0*yn0-0.75)));

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

eps=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

xn0=x0;

yn0=y0;

while (xn0 < (x0+0.4267))

{

 k1 = h*func(xn0,yn0);

 k2 = h*func(xn0+h,yn0+k1);

 yn1 = yn0 + (k1+k2)/2.0;

 xn1 = xn0 + h;

 xn0 = xn1;

 yn0 = yn1;

 ytn1=func_toch(xn1);

  Edit1->Text=FloatToStrF(xn1,ffFixed,8,4);

  Edit2->Text= FloatToStrF(yn1,ffFixed,8,4);

 if(abs(yn1-ytn1)>eps){h/=2.0; modif=false;}

 else if(!modif){h*=2; modif=true;}

}

}

Вигляд програми:

Висновок: на даній лабораторній роботі я навчився розв‘язувати системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48794. Великое изобретение российского учёного А. С. Попова 1.45 MB
  МАЙКЛ ФАРАДЕЙ 1 Кем был МАЙКЛ ФАРАДЕЙ 2 Кто помог ему стать ученым и как он делал его 3 Что сделало M. Фарадей обнаруживает 4 Почему его открытие было так важно МАЙКЛ ФАРАДЕЙ 17911867 великий английский экспериментальный физик родился в семье кузнеца. Занимая время от его работы ФАРАДЕЙ сумел прочитать некоторые книги проходящие через его руки и стал очень заинтересованным наукой. В 18141815 путешествиях с Дэйви на континенте ФАРАДЕЙ видел и слышал многих известных континентальных ученых.
48795. Анализ и синтез цифровых комбинационных схем 3.49 MB
  Напишем, применяя правила де Моргана, логические функции для управления входами Di триггеров в базисе 2И-НЕ: Нарисуйте принципиальную схему проектируемого устройства самостоятельно, пользуясь его блок-схемой: Протестируйте схему в подходящей программе моделирования и убедитесь в ее работоспособности
48796. Оценка долгосрочного кредитного рейтинга S and P для компаний на основе финансовых коэффициентов 167 KB
  Кредитный рейтинг выражает мнение Stndrd Poors относительно способности и готовности эмитента своевременно и в полном объеме выполнять свои финансовые обязательства. Кредитные рейтинги могут присваиваться эмитенту суверенному правительству региональным и местным органам власти корпорациям финансовым институтам объектам инфраструктуры страховым компаниям управляемым фондам или отдельному долговому обязательству...
48797. ОБЛАДНАННЯ ДІЛЯНКИ ЗАЛІЗНИЦІ ПРИСТРОЯМИ АВТОМАТИКИ І ТЕЛЕМЕХАНІКИ 538.5 KB
  Автоматичну дію прохідних світлофорів забезпечують колійні датчики – рейкові кола (РК) або лічильники осей. На Україні в якості колійного датчика на магістральних залізницях, які повністю устатковуються АБ, застосовуються тільки рейкові кола
48799. Зеркальная антенна 895.5 KB
  Расчёт геометрических параметров зеркала и облучателя. Широко используются зеркала с параболической формой поверхности параболоид вращения усечённый параболоид вращения параболический цилиндр также распространены сферические зеркальные антенны двухзеркальные антенны.Расчёт геометрических параметров зеркала и облучателя. Форма излучающей поверхности и профиль зеркала выбирается исходя из назначения антенны и требований предъявляемых к ее электрическим характеристикам.
48800. Будівництво міжміської волокно-оптичної лінії Тернопіль -- Новоград-Волинський 515.5 KB
  Використовуючи коефіцієнти заломлення розраховуємо відношення коефіцієнтів заломлення по формулі: Згасання розсіювання розраховується по формулі дБ км: Згасання на поглинання розраховується по формулі дБ км: Згасання на поглинання в інфрачервоному спектрі...