3850

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона) Мета роботи: вивчити і засвоїти метод простої ітерації. Короткі теоретичні відомості Метод простої ітерації для розв’язування системи двох нел...

Украинкский

2012-11-16

63 KB

55 чел.

Розв’язування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь методом простої ітерації (методом Ньютона)

Мета роботи: вивчити і засвоїти метод простої ітерації.

Короткі теоретичні відомості

Метод простої ітерації для розв’язування системи двох нелінійних рівнянь.

Нехай потрібно з заданою точністю ε знайти дійсні корені системи двох нелінійних рівнянь.

F1(x,y)=0

(3)

    F2(x,y)=0

Кількість і наближення коренів системи (3) знаходимо графічно. Нехай система має тільки ізольовані дійсні корені. При використанні методу ітерацій систему (3) зводимо до еквівалентної системи наступного вигляду:

                    (4)

де , – так звані ітеруючі функції. На основі системи (4) будуємо ітерації

          (5)

Згідно з теоремою [3, с. 79] для збіжності процесу (5) до кореня системи (4) необхідно, щоб виконувалася умова на неперервно диференційовні функції ,

      (6)  

Оцінка похибки n-го наближення дається формулою

      (7)

де M=max{q1,q2}

Збіжність методу ітерацій є доброю, якщо М<1/2, при цьому М/(1-М) < 1.

Побудуємо ітеруючі функції для системи (4)

      (8)

Коефіцієнти α,β,γ,δ знаходимо з системи

       (9)

Тоді, за такого підбору параметрів α,β,γ,δ, умова (6) виконується, якщо часткові похідні функцій ,  в околі точки  змінюються мало.

Приклад.. Нехай маємо систему

  

Записуємо еквівалентну систему

  

В квадраті будуть виконуватися умови

0<φ1<1, 0<φ2<1

Тоді умови (6) матимуть вигляд

Завдання

Використовуючи метод простої ітерації, розв’язати з точністю ε = 10 такі нелінійні системи рівнянь. Початкове наближення знайти графічно.

Номер завдання для кожного студента відповідає його порядковому номеру в списку групи (підгрупи).

12. 

Лістинг програми

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#pragma hdrstop

#include "Unit1.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

float x0, y0, xn0, ytn1, yn0, eps, h, xn1, yn1, k1, k2;

bool modif=true;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

 : TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func(double xn0, double yn0)

{

return (sin(yn0*yn0+xn0)/(xn0*yn0));

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func_toch(double xn0, double yn0)

{

return (xn0*xn0-yn0*yn0-0.75)));

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

eps=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

xn0=x0;

yn0=y0;

while (xn0 < (x0+0.4267))

{

 k1 = h*func(xn0,yn0);

 k2 = h*func(xn0+h,yn0+k1);

 yn1 = yn0 + (k1+k2)/2.0;

 xn1 = xn0 + h;

 xn0 = xn1;

 yn0 = yn1;

 ytn1=func_toch(xn1);

  Edit1->Text=FloatToStrF(xn1,ffFixed,8,4);

  Edit2->Text= FloatToStrF(yn1,ffFixed,8,4);

 if(abs(yn1-ytn1)>eps){h/=2.0; modif=false;}

 else if(!modif){h*=2; modif=true;}

}

}

Вигляд програми:

Висновок: на даній лабораторній роботі я навчився розв‘язувати системи нелінійних рівнянь методом простої ітерації.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4871. Функции и массивы. Аргументы командной строки. 52.5 KB
  Функции и массивы. Аргументы командной строки. Массив в С++ никогда не передается по значению, а только как указатель на его первый (т.е. имеющий индекс 0) элемент. Все три следующие объявления функций эквивалентны: void sort( int ) void sort( in...
4872. Файловые потоки. Чтение и запись текстовых файлов 54.5 KB
  Файловые потоки. Чтение и запись текстовых файлов. Файлом называют поименованный блок данных на внешнем устройстве памяти. Файлы являются объектами файловой системы, являющейся частью операционной системы. Операционная система предоставляет приложен...
4873. Режимы работы с файлами. Чтение и запись в бинарном режиме 41.5 KB
  Режимы работы с файлами. Чтение и запись в бинарном режиме. Файлы с произвольным доступом. Позиционирование. При работе с файлом, открытым в текстовом режиме, происходит следующее...
4874. Поиск в массивах. Последовательный, бинарный и интерполяционный поиск 48.5 KB
  Поиск в массивах. Последовательный, бинарный и интерполяционный поиск. Под поиском в массиве будем понимать задачу нахождения индекса, по которому в массиве располагается некоторый заданный элемент. Тривиальный алгоритм поиска заключается в последов...
4875. Алгоритмы сортировки в массивах. Сортировка методом пузырька, вставками, выбором. Сортировка Шелла 40 KB
  Алгоритмы сортировки в массивах. Сортировка методом пузырька, вставками, выбором. Сортировка Шелла. Под сортировкой будем понимать упорядочивание элементов в соответствии с некоторым выбранным правилом. В качестве правила упорядочивания может служить...
4876. Быстрая сортировка и способы ее реализации в программировании 72.5 KB
  Быстрая сортировка. Быстрая сортировка (quicksort) является одним из наиболее эффективных алгоритмов сортировки. В основе его лежит идея декомпозиции, т.е. поэтапного сведения исходной задачи к набору аналогичных, но более простых, вплоть до т...
4877. Пирамидальная сортировка и способы ее построения в программировании 73.5 KB
  Пирамидальная сортировка. Пирамидальная сортировка (heap sort) основывается на организации элементов в массиве по типу двоичного (бинарного) дерева. Двоичным деревом называют иерархическую структуру данных, в которой каждый элемент имеет не более дв...
4878. Сортировка внешних данных. Сортировка прямым слиянием 62 KB
  Сортировка внешних данных. Сортировка прямым слиянием. Сортировка слиянием основывается на том факте, что при наличии двух отсортированных последовательностей можно реализовать вычислительно эффективный способ их слияния в единую отсортированную пос...
4879. Сравнение эффективности алгоритмов сортировки 47.5 KB
  Сравнение эффективности алгоритмов сортировки. Каждый из рассмотренных алгоритмов сортировки обладает определенными преимуществами и недостатками. Для того, чтобы сравнивать между собой разные алгоритмы, необходимо сформулировать критерии, характери...