3851

Абсолютна та відносна похибка та методи оцінювання похибок

Другое

Информатика, кибернетика и программирование

Чисельні методи в інформатиці: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Абсолютна та відносна похибка» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»...

Украинкский

2015-01-17

127 KB

32 чел.

Чисельні методи в інформатиці: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Абсолютна та відносна похибка» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-15 с.

Укладач     Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск  Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.

Рецензент     Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.


Мета роботи
: вивчити поняття абсолютної та відносної похибки та методи їх оцінювання.

Порядок роботи:

  1.  Створити проект для виконання індивідуального завдання.
  2.  Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком

назва роботи

мета роботи

порядок роботи

короткі теоретичні відомості

алгоритм розв’язку задачі

тексти відповідних модулів проекту

аналіз отриманих результатів та висновки

Короткі теоретичні відомості

Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову

δ  ≤ ,

де атперша  значуща цифра числа а .

Доведення. Нехай  а = αm ·10 m +αm - 1 ·10m - 1 + ... + αmn +1 ·10mn + 1

є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо

= | А  а |≤ · 10mn + 1.

Звідси

- · 10mn + 1 ≤  А  а · 10mn + 1 .

Тому

А а - · 10mn + 1 ≥ αm ·10 m - · 10mn + 1

або

                                       А · 10m.   

Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому

А · 10m· 10m (2аm - 1). 

Оскільки 2аm - 1 = ат + (ат 1 ) ≥ аm , то

А   аm · 10m.

Тепер, згідно з означенням,

δ = ,

або                                                               

δ ≤ .

Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти

δa =

де аm - перша значуща цифра числа а .

Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п  2 практично можна прийняти   

δa = .

                                              

Справді, якщо   п>2, то числом    у нерівності  можна знехтувати. Тоді

А · 10m ·2аm = аm · 10m.

Тому

δ = ,

Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числa а = 3,14 , що замінює точне число А = π?

Оскільки п = 3 і ат = 3 , то на підставі наслідку 2

δa =% .

Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти , щоб відносна похибка була не більша за 0,1% ?

Оскільки ат = 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:

Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .

Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а , якщо відома його відносна похибка δ , можемо скористатися наближеною формулою

δ =

де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|.  Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .

Приклад 3. Число   а = 7654   має   відносну   похибку   δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр?

Оскільки

∆ = δ a = 76,54 < · 103

то число а має лише одну точну цифру.

Похибки арифметичних операцій

1. Похибкa суми.

Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай x1, x2, …, хп – задані  наближені числа. Розглянемо їх алгебраїчну суму

и = ± х1 ± х2 ± ... ± хп .

Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися з алгебраїчної суми похибок доданків, тобто

и = ± х1 ± х2 ± ... ± хп .

Звідси

|∆и||∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп| .

Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто

и = х1 + х2 + ... + хп .

Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.

Доведення. Нехай

и = + х1 + х2 + ... + хп ,

де для визначеності вважатимемо, що xi > 0 (i = 1, 2,..., п ). Позначимо

через Аi  (і = 1, 2,..., п ) точні значення доданків xi , а через А – їх  суму, тобто А = А1 +    + А2 + ... + Ап . Тоді

δu=

Оскільки , то = Аі . Тому

.

Нехай

max = .

        1 ≤ i n

Тоді                        

тобто        = max 

      1 ≤ i n 

2. Похибкa різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:

и = х12 .      

 Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,

и = х1 + х2 , δu=

де А точне  значення різниці х12. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.

Зауваження. При подальшому розгляді похибок арифметичних операцій, а також при розгляді похибок функцій припускатимемо, що похибки значно менші за абсолютною величиною від самих наближених величин, тож ними можна знехтувати в сумах, котрі містять одночасно наближену величину і її похибку як доданки; і завжди можна обмежитися членами, лінійними відносно похибок, нехтуючи членами більш високого порядку. Це означає, що наступні питання, пов'язані з похибками, розглядатимемо дещо грубо, проте елементарно. Адже строгий підхід під час розгляду цих питань не дає бажаних наочних результатів.

3. Похибкa добутку. Нехай

Аіі+∆хі   (і = 1,2,...,n),

де для простоти вважатимемо, що хі > 0   (і -1, 2,..., п ), А = А1 А2  Аn , u = х1х2 хn . Тоді

А = (х1 + ∆ х1 ) (х2 + х2)  ... (хп + ∆хп) =

= х1х2  хn + х2х3  хn х1 + х1 х3 хn х2 + ... +

+ х1х2  хn-1  + ∆хп + ... + ∆x1∆x2…∆xn .

Враховуючи зауваження, можемо прийняти, що

А = u +x1 x2хп + ∆х1+ х1 х3 хп + ∆х2 +…+ x1 x2хn-1  + ∆хп .

Звідси

| ∆u | = | А  u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+ 

                                                             + x1 x2хn-1  + ∆хп

Зокрема, якщо п = 2 , то

| ∆u | ≤ x2| ∆x1| + x1| ∆x2| .

За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти

u = x2x3 … xnx1+ х1 х3… xnx2 +…+ x1 x2хn-1  + ∆хп  .

Розділивши нерівність  на u, одержимо

Враховуючи зауваження, замінюємо величину      на відносну

похибку  множника хi , а    – на відносну похибку

добутку . Отримаємо таку нерівність:

δ ≤ δ1 + δ2 + … δn .

За граничну відносну похибку добутку можемо прийняти

.

4. Похибки частки. Нехай  A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти            x1 > 0, x2 > 0,,  . Тоді

i

.

Звідси                                 

,

aбo

.

Розділивши нерівність на u, одержимо

Врахувавши зауваження, замінимо      на відносну похибку 

діленого,      - на відносну похибку   дільника,    - на відносну похибку  частки. Отримаємо

.

За граничну відносну похибку частки можна прийняти

.

5. Похибкa степеня. Нехай  А = (х + х)т , и = хт , де  т натуральне число,       х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо

|∆u| < mxm - 1|∆x|,  δ ≤ 1,

де  δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти

u= mxm - 1x, δu= x .

Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.

Контрольні запитання

1

Заокруглюючи число до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближеного числа  3,9287

2

Визначити абсолютну похибку наближеного числа за його відносною похибкою  A=57,23 =1%

3

Визначити кількість точних десяткових знаків у числі, якщо відома його абсолютна похибка

X=13,04342; x=0,1

4

Визначити кількість точних десяткових знаків у числі, якщо відома його абсолютна похибка

X=13,04342; =1%

5

Знайти виразу z для наближених чисел і визначити абсолютну та відносну похибки, якщо відомо, що три знаки точні     z=1,2344-1,2312

6

Обчислити значення функції u та оцінити абсолютну та відносну похибки результату, якщо

U=x*y-z, x=4,5; y=3,2;z=1,3; x=0,1; y=0,1; z=0,1

7

Обчислити значення функції z, вважаючи точними всі знаки наближених чисел x ,y. Обчислити абсолютну та відносну похибки результату

Z=ln(x+cos(y)), x=1, y=1

Завдання

  

Оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення величини F при умові

А) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 ,  x3

Б) заданих  значеннях величин аргументів x1 , x2 ,  x3  з похибкою = N*10-3, де N–номер варіанта

ВАРІАНТ 1

 

 

 F = 2x12 + 3x22 + x32 + 4x1x2 – 3x3 + cos(x2 - x1 )

ВАРІАНТ 2

 

 

 F = 5x12 + 3x22 + 2x32 - 4x2x3 - 2x1   cos(x2 * x3 );

ВАРІАНТ 3

       

 

F = 3x12 + 2x22 + 4x32 + 3x1x2 - 2x2 +sin( x1 – x3 *x2 );

ВАРІАНТ 4

       

 

 F = 4x12 + 5x22 + 3x32 - 4x1x2 - 2x1 -  sin(x1 / x2 );

ВАРІАНТ 5

 

 F = 6x12 + 4x22 + 5x32 + 5x1x3 - 3x2 + ln(3* x3 – x2 );

ВАРІАНТ 6

       

 

 F = 3x12 + 2x22 + 4x32 + 5x1x2 – x3 +exp( 8* x2 – x1 );

ВАРІАНТ 7

       

 

 F = 5x12 + 4x22 + 3x32 - 5x2x3 - 3x1 – sec(18* x2 – x3 );

ВАРІАНТ 8

       

 

 F = 4x12 + 3x22 + 5x32 + 4x1x3 - 3x2 + 11cosec(x1 – x3 );

ВАРІАНТ 9

       

 

 F = 5x12 + 6x22 + 4x32 - 5x1x2 - 3x1 +ln( 21 x1 * x2 );

ВАРІАНТ 10

       

 

 F = 7x12 + 5x22 + 6x32 + 6x1x3 - 4x2 – 5exp( x3 * x2 );

ВАРІАНТ 11

       

 

 F = 4x12 + 5x22 + 5x32 + 2x1x2 - 3x3 + 14tg( x2 – x1 );

 

ВАРІАНТ 12

       

 

 F = 8x12 + 6x22 + 4x32 - 6x2x3 - 4x1 + 20ctg( x2 – x3 );

ВАРІАНТ 13

       

 

 F = 6x12 + 5x22 + 7x32 + 6x1x2 - 5x2 - 21 x1 * x2 * x3;

ВАРІАНТ 14

       

 

 F = 7x12 + 7x22 + 5x32 - 6x1x2 - 4x1 + 24sqrt( x1x2 );

ВАРІАНТ 15

       

 

 F = 8x12 + 6x22 + 7x32 + 7x1x3 - 5x2 + 8sqrt( x3 * x2 );

ВАРІАНТ 16

       

 

 F = 7x12 + 3x22 + 2x32 + 4x1x2 - 4x3 + 16( x2x1 )1/3;

ВАРІАНТ 17

       

 

 F = 9x12 + 6x22 + 5x32 - 7x2x3 - 5x1 - 24 (x2 * x3 )1/3 ;

ВАРІАНТ 18

       

 

 F = 7x12 + 6x22 + 8x32 + 7x1x3 - 6x2 + 23arccos(x1x3 );

ВАРІАНТ 19

       

 

 F = 10x12 + 8x22 + 6x32 - 7x1x2 - 5x1 + 20arcsin( x1 – x2 );

ВАРІАНТ 20

       

 

 F = 11x12 + 9x22 + 9x32 + 9x1x3 - 7x2 – 10arctg(x3 – x2 );

Література

  1.  Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
  2.  Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
  3.  Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78922. Понятие хронотипа и его роль в СГН 29 KB
  Культурнохудожественный хронотоп как единство художественного пространствавремени впервые концептуально и методологически раскрыл М. Ядром этих моделей и становится континуум пространствавремени. Время здесь сгущается уплотняется становится художественно зримым; пространство же интенсифицируется втягивается в движение времени сюжета истории. Приметы времени раскрываются в пространстве и пространство осмысливается и измеряется временем.
78923. Коммуникативность как условие создания СГЗ 28.5 KB
  Отдельный ученый индивидуальный субъект познания как правило включен в состав научного коллектива лаборатории кафедры института научного кружка или школы. Общение в формах сотрудничества соавторства и конкуренции научного руководства и ученичества преследует цели достижения взаимопонимания между учеными и в итоге обеспечивает достижение конечного результата получение нового знания. В процессе коммуникации ученых обществоведов и гуманитариев обеспечивается: а социализация молодых ученых усвоение и передача накопленного...
78924. Моральная ответственность за введение научных конвенций 31.5 KB
  Моральная ответственность за введение научных конвенций. Социальный характер конвенций в общественных и гуманитарных науках пытаются обосновать различными способами: посредством их связи с идеалами нормами и оценками имеющими социальное происхождение К. Социальный характер таких конвенций проявляется также в ответственности ученого за их введение изменение или отказ от них. Подробнее специфика конвенций социальногуманитарных наук раскрыта в работах К.
78925. Рациональное, объективное, истинное в СГН 32 KB
  При рассмотрении проблемы истины важно уяснить специфику ее классической неклассической и постнеклассической трактовки а также особенности современного понимания ряда частных вопросов: ситуативность и объективный характер истин социальногуманитарных наук; их взаимосвязь с социальной реальностью; экзистенциальноантропологический подход к истине в гуманитарном знании. Вследствие этого а также вследствие традиций и особенностей каждой из наук они могут пользоваться преимущественно классической неклассической или постнеклассической...
78926. Природа и типы объяснений в СГН 27 KB
  Объяснение логикометодологическая процедура экспликации сущности одного явления через другое имеющее статус достоверного очевидного. Научное объяснение должно отвечать двум требованиям: 1 адекватности его аргументы и характеристики должны иметь непосредственное отношение к предметам явлениям событиям которые они объясняют; 2 принципиальной проверяемости непосредственно или через следствия. По своей логической структуре объяснение представляет рассуждение или умозаключение посылки которого содержат информацию необходимую для...
78927. Объяснение и понимание в СГН 32.5 KB
  Объяснение и понимание в СГН. Объяснение логикометодологическая процедура экспликации сущности одного явления через другое имеющее статус достоверного очевидного. Научное объяснение должно отвечать двум требованиям: 1 адекватности его аргументы и характеристики должны иметь непосредственное отношение к предметам явлениям событиям которые они объясняют; 2 принципиальной проверяемости непосредственно или через следствия. По своей логической структуре объяснение представляет рассуждение или умозаключение посылки которого содержат...
78928. Понимание в гуманитарных науках 27.5 KB
  Понимание в гуманитарных науках. В гуманитарном знании в качестве оснований для объяснения часто выступают типологии а процедуры объяснения с необходимостью дополняются пониманием и интерпретацией. По эвристическим возможностям понимание не уступает рациональному способу познания но значительно расширяет палитру познавательных средств включая в них интуицию чувства переживание. Понимание предполагает проникновение на мотивационный интенциональный уровень человеческой деятельности либо а путем психологического вживания в цели...
78929. Объяснение и понимание в социологии, экономике, психологи 31.5 KB
  Объяснение и понимание в социологии экономике психологи и т. понимающей социологии во второй половине 19 века в философской подпочве социальнонаучного знания в лице Джамбаттиста Вико Фридриха Шлейермахера и всех тех кто различал социальный мир и мир природы и в связи с этим заявляли о необходимости выработки особых методов познания социального мира. Формирование из этой концепции понимания в социологии. Вычленение социологии как отдельного знания из социальной философии О.
78930. Вера, знание и сомнение в СГН 24.5 KB
  Вера знание и сомнение в СГН. Это означает вопервых что вера есть известие весть надеющихся то есть вера раскрывает выявляет тех кто надеется на чтото во что они верят или хотят верить. Вовторых вера обнаруживает то что невидимо недоступно простому взгляду обыкновенному глазу. Другими словами вера это сверхвйдение дополнительное умозрение таинственный если угодно магический или мистический свет с помощью которого человек видит то что не видит человек без веры.