3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

50 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80880. Основы государственной и муниципальной социальной политики 46.75 KB
  Одной из главных задач органов местного самоуправления является формирование и реализация муниципальной социальной политики. Муниципальная социальная политика это система целей задач и механизмов их реализации направленных на обеспечение населения социальными услугами на содержание и развитие социальной сферы муниципального образования.соцполитику реализуются как собственные полномочия МС так и переданные на муниципальный уровень государственные полномочия в социальной сфере.
80881. Муниципальное регулирование занятости и трудовых отношений 45.99 KB
  Проблема муниципального регулирования занятости населения. Сложность муниципального регулирования вопросов занятости состоит в том что основное правовое регулирование этих вопросов относится к сфере федерального и регионального законодательства и реализуется через территориальные структуры федеральной службы занятости. Государственная политика и разграничение полномочий в сфере занятости.
80882. Муниципальная жилищная политика 45.91 KB
  Отсутствие жилья и плохие жилищные условия одна из главных причин снижения рождаемости семейных конфликтов детской беспризорности. в которой указаны основные задачи в области обеспечения доступности жилья и жилищного строительства разграничены функции федерального центра регионов и муниципалитетов в жилищной сфере. С начала перехода к рыночным отношениям основная часть государственного жилья в нашей стране была передана в муниципальную собственность включая ведомственный жилищный фонд передававшийся в процессе приватизации...
80883. Критерии и показатели эффективности муниципального управления 44.98 KB
  Поскольку генеральной целью муниципальной деятельности является повышение качества жизни населения на территории муниципального образования данный показатель в динамике мог бы выступать в качестве обобщающего критерия эффективности муниципального управления. Сложность выработки и измерения достаточно объективных показателей эффективности муниципального управления определяется:спецификой муниципального образования как сложного объекта управления имеющего иерархическую структуру;трудностями формализованного описания социальноэкономических...
80884. Муниципальное управление образованием 45.16 KB
  Муниципальная политика в сфере образования строится на основе гос. политики базирующейся на принципах: гуманистический характер образования приоритет общечеловеческих ценностей жизни и здоровья человека свободного развития личности; общедоступность образования адаптивность системы образования к уровням и особенностям развития и подготовки обучающихся воспитанников; светский характер образования в госных и муных образовательных учреждениях; свобода и плюрализм в образовании. актами определяющими задачи ОМС в области образования...
80885. Основы муниципальной молодежной политики 45.24 KB
  Цели и задачи государственной и муниципальной молодежной политики Муниципальная молодежная политика совокупность целей и мер по их реализации принимаемых ОМС в целях создания и обеспечения условий и гарантий для самореализации личности молодого человека и развития молодежных объединений движений и инициатив. Эта политика осуществляется на основе нормативных правовых актов представительных ОМС и в русле госной молодежной политики придавая ей логическую стройность системный и целостный характер и делая демократичными механизмы ее...
80886. Муниципальная экономика и модели муниципального хозяйства 43.46 KB
  Это объясняется тем что объекты муниципальной собственности могут быть бюджето-наполняющими приносящими доходы в бюджет и бюджето-поглощающими не приносящими доходов в бюджет или требующими бюджетных средств на их содержание в размере превышающем получаемый доход. Поэтому ключевая задача муниципальной экономической политики состоит в оптимизации соотношений между объемом бюджетных услуг и потребностью в имуществе и в финансовых средствах. Конкурентный рынок муниципальных услуг настолько развит что задачей муниципальной власти является...
80887. Порядок формирования и организация работы представительного органа местного самоуправления 43.11 KB
  ПО МС может осуществлять свои полномочия в случае избрания не менее двух третей от установленной численности депутатов. Заседание его не может считаться правомочным если на нем присутствует менее 50 от числа избранных депутатов. ПО поселения состоит из депутатов избираемых на муниципальных выборах. ПО муниципального района: 1 может состоять из глав поселений входящих в состав муниципального района и из депутатов ПО указанных поселений избираемых ПО поселений из своего состава в соответствии с равной независимо от численности населения...
80888. Организационная структура местной администрации 46.1 KB
  Организационная структура местной администрации. В современной муниципальной практике типичными звеньями организационной структуры местной администрации являются: глава администрации; его заместители по сферам муниципальной деятельности среди которых могут быть один или два первых заместителя; структурные подразделения различных типов которые могут находиться в подчинении главы администрации одного из его заместителей или в соподчинении между собой например отдел в составе управления; коллегиальные совещательные органы: коллегия...