3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

47 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78084. Исследование системы организации ипотечного кредитования и определение основных направлений ее совершенствования в практике российских банков 287 KB
  Российский ипотечный рынок остается крайне привлекательным сегментом для российских банков. Почти 70% участников ипотечного рынка видят ипотечное кредитование в качестве одного из приоритетных направлений своего развития.
78085. НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ БРАКА 265.5 KB
  За последние годы резко увеличилось число проституток и наркоманов. Их заболеваемость намного превосходит заболеваемость обычного среднестатистического человека. В связи с этим большое число российских граждан приобрели аналогичные заболевания (ранее неизвестные или малораспространённые).
78086. Дисбактериоз. Принципы терапии заболеваний верхних отделов ЖКТ у детей 105.5 KB
  Дисбактериоз - это изменение количества и состава физиологически необходимой для организма микрофлоры. В результате нарушается пищеварение, ухудшается всасывание, что приводит к гиповитаминозу, анемии, снижению иммунитета, возникновению аллергических реакций организма.
78088. РОДЖЕРС КАРЛ РЭНСОМ (1902 - 1987) 47.5 KB
  Как представителю гуманистической психологии идея ценности и уникальности человеческой личности является центральной для Роджерса. Степень тождественности этого поля реальной действительности Роджерс называл конгруэнтностью. К невротизации приводит и отказ от самоактуализации которую Роджерс как и Маслоу считал одной из важнейших потребностей личности.
78089. Социально-политическая философия и правовое учение Руссо 179 KB
  Возникнув в XVII веке в Англии Локк просветительская идеология получает широкое распространение во Франции XVIII века Монтескье Гельвеций Вольтер Гольбах Руссо. Критика феодализма привела деистов к отрицанию теологического объяснения исторического процесса и утверждению...
78090. Рыбоводно-биологическое обоснование на организацию форелевого хозяйства в губе Лахта Онежского озера 1.54 MB
  Форелевое хозяйство садки озеро гидрология посадочный материал товарная рыба корма охрана водной среды. Характеристика радужной форели и условий ее выращивания Радужная форель как объект выращивания характеризуется пластичностью быстрым ростом высокой степенью конверсии...
78091. Вайшнавская философия 93 KB
  Это особенно относится к таким феноменам как сознание жизнь личность и судьба Ведическая концепция говорит что случайностей не существует. Жизнь и сознание они говорят является комбинацией атомов в рамках физических законов основанных на причинности.
78092. Смазки при обработке металлов давлением 32.5 KB
  При обработке давлением широко применяют смазки. Основное значение смазки снижение коэффициентов трения. Активность смазки способность образовывать на поверхности трения прочный защитный слой из ее полярных молекул.