3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

48 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78637. Планирование и прогнозирование в условиях рыночной экономики 34.5 KB
  Ее обеспечивает государственное регулирование подразумевающее систему взаимодействия государства со всей совокупностью хозяйствующих субъектов с целью координации усилий направленных на решение общенациональных задач социальноэкономического развития. Индикативный план развития национальной экономики определяет и содержит обоснование целей задач направлений и методов реализации государственной социальноэкономической политики. Именно индикативный план выступает той связующей вертикалью которая обеспечивает координацию деятельности...
78638. Ценовая политика предприятия 35.5 KB
  Предлагается учитывать следующие факторы формирующие рыночные цены: Факторы спроса определяющие цену спроса на товар которую предлагает покупатель: Платежеспособный спрос который может выделить покупатель на данный товар; Уровень сбережений которые покупатель делает чтобы не покупать товар; Объем спроса количество товара которое покупатель способен приобрести при некотором уровне цены; Потребительские свойства товара его качественные характеристики; Полезность товара способность его удовлетворить потребности потребителя или...
78639. Проблемы развития предпринимательства в России 29 KB
  Одним из ключевых нововведений установленных в Федеральном законе является принципиально новый подход к критериям выделения субъектов малого и среднего предпринимательства. Согласно нормам Федерального закона к субъектам малого предпринимательства относятся внесенные в единый государственный реестр...
78640. Жизненный цикл товара, его экономический смысл 24.5 KB
  Иcxoдными днными для пpинятия peшeний пpи pзpбoткe или кoppeктиpoвкe пpoдyктoвoй пoлитики являeтcя нлиз жизнeннoгo цикл тoвp н pынкe кoтopый пpeдcтвляeт coбoй мoдeль pынoчнoй peкции oтpжeннoй в пpмeтpx вpeмeни и cтoимocтныx пoкзтeляx. Зня зкoнoмepнocти pзвития жизнeннoгo цикл oтдeльныx гpyпп видoв тoвpoв и пpoгнoзы длитeльнocти oтдeльныx eгo фз пpeдпpиятиe мoжeт oпpeдeлить мoмeнт нчл НИОКР зпycк в пpoизвoдcтвo и внeдpeния н pынoк нoвыx издeлий и мoдepнизции cyщecтвyющиx вpeмя yxoд c дннoгo pынк ycтpeвшиx нe пoльзyющиxcя cпpocoм...
78642. Предпринимательские риски, их оценка и пути снижения 32.5 KB
  Внешние факторы влияющие на уровень предпринимательского риска подразделяются на две группы: факторы прямого воздействия и факторы косвенного воздействия. Факторы прямого воздействия непосредственно влияют на результаты предпринимательской деятельности и уровень риска. Факторы косвенного воздействия не могут оказывать прямого влияния на предпринимательскую деятельность и уровень риска но способствуют его изменению. Каждая предпринимательская фирма имеет собственные предпочтения деятельности направленно связанные с риском и на основе...
78643. Конкурентоспособность в предпринимательстве и пути ее повышения 30.5 KB
  Все факторы конкурентоспособности предприятия М. Вопервых факторы конкурентоспособности предприятия делятся на: основные; развитые. Основные факторы это природные ресурсы климатические условия географическое положение страны неквалифицированная и полуквалифицированная рабочая сила. Развитые факторы современная инфраструктура обмена информацией высококвалифицированные кадры использование высокотехнологичных производств.
78644. Структура и сегментирование рынков в маркетинге 30.5 KB
  Углубленное исследование рынка предполагает необходимость ее рассмотрения как дефиринцированной структуры в зависимости от групп потребителей и потребительских свойств товара что в широком смысле определяет понятие рыночной сегментации. Рыночная сегментация представляет собой с одной стороны метод для нахождения частей рынка и определения объектов на которые направлена маркетинговая деятельность предприятия. Под сегментацией понимается разделение рынка на сегменты различающиеся своими параметрами или реакцией на те или иные виды...
78645. Маркетинг: принципы и методы маркетинговых исследований 31.5 KB
  Маркетинговые исследования занимают обычно срединное положение между осознанием необходимости какоголибо решения и его принятием. Принципиальной особенностью маркетингового исследования отличающей его от сбора и анализа внутренней и внешней текущей информации является его целевая направленность на решение определенной проблемы или комплекса проблем маркетинга. В итоге маркетинговые исследования призваны обосновать вид и долю товара фирмы который она намерена представить на определённом рынке. Принцип точности означает четкость постановки...