3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

43 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35791. Творческий проект «Сорочка» 5.51 MB
  Расчет себестоимости изготовления изделия План Изготовления изделия Изготовления изделия и проверка качества Самооценка и оценка 1.Задачи Провести исследование и разработать эскиз моего проектного изделия. Изготовить выкройку швейного изделия. Подобрать ткань для изделия.
35792. Выбор профессии 168 KB
  Появление профессии Определение интересов и склонностей Обоснование выбора Алгоритм профессион. самопределения Формула профессии Выявление индивидуальных характер. Выбор профессии – это большая ответственность которую очень важно осознать как можно раньше.
35794. Кружка. Творческий проект 158.5 KB
  4 Технологическая карта № детали № операции Название операции Эскиз Инструмент и приспособления 1 1 Выбрать заготовку с учётом припуска на обработку Линейка 2 Прострогать базовую сторону Верстак рубанок 3 Разметить и прострогать заготовку по толщине Линейка рубанок карандаш 4 Разметить и прострогать по ширине Линейка рубанок карандаш 5 Отторцевать заготовку Угольник карандаш подкладка 6 Разметить и отпилить заготовку по длине Верстак линейка угольник карандаш ножовка 7 Разметить заготовку по чертежу Линейка угольник карандаш...
35795. Вышивка своими руками. Творческий проект 1.18 MB
  Вышивание крестом – один из самых распространенных видов народного искусства. История возникновения вышивки крестом уходит далеко в глубь веков когда появился первый стежок сделанный первобытными людьми при скреплении шкуры убитого мамонта. Материалом для вышивки крестом служили: жилы животных нити льна хлопка конопли шелка шерсти а так же применяли натуральный волос. Особой популярности вышивка крестом достигла в Западной Европе в XVI столетии.
35796. Метод проектів на уроках трудового навчання (обслуговуюча праця) 461 KB
  Проектна технологія — практика особистісно зорієнтованого трудового навчання в процесі конкретної навчально-трудової діяльності учня, на основі його вільного вибору та з урахуванням інтересів. У свідомості учня це має такий вигляд: «Я знаю, для чого мені потрібно все, що я пізнаю, і де я можу ці знання застосувати». Для педагога це прагнення знайти розумний баланс між академічними і прагматичними знаннями, уміннями та навичками.
35797. ”Садово-городній інвентар” Прилад для виготовлення живильних горщиків 565.5 KB
  КОНСТРУКТОРСЬКИЙ ЕТАП Розробка конструкції прилада для виготовлення живильних горщиків. 8 Технологія виготовлення виробу ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ЕТАП ЗАКЛЮЧНИЙ ЕТАП. Метою проекту є створення приладу для виготовлення живильних горщиків який здатен задовольнити попит найвибагливіших споживачів.
35799. Садово-огородній інвентар 9.92 MB
  ОРГАНІЗАЦІЙЙНО-ПІДГОТОВЧИЙ ЕТАП Крапельне зрошення: історія і сьогодення Популярність цього методу зростає а разом з цим виникають нові запитання зацікавлені читачі прагнуть більш повного детального розгляду цієї технології. Винахідник крапельного зрошення О. Перші досліди із крапельним зрошенням к. Проте обмеженість водних ресурсів непридатність інших методів зрошення через високу мінералізацію води в цій країні змусили науковців “землі обітованоїâ€ подолати цю проблему і вже в 60ті роки було запатентовано першу систему...