3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

48 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20245. Особливості реологічної неньютонівської рідини 90 KB
  Не ньютонівська течіяпри різних швидкостях течії рідина характеризується різними в‘язкостями. Для того щоб визначити поняття не ньютонівської рідини згадаємо що таке ньютонівська рідина. Бінгалівська рідина межа пластичностітобто в системі існує область де напруження не впливає на зсув характерною ознакою є те що течія починається коли дотичне напруження τ перевищує межу пластичності θ. ; немає зсуву шарів рідина рухається як жорсткий стержень.
20246. Взаємодія повільних нейтронів 57 KB
  Зіткнення нейтрона з ядром може відбуватись двома шляхами: або 1без утворення проміжного ядра коли нейтрон розсіюється безпосередньо силовим полем ядрапружне та непружне розсіяння 2або з утворенням проміжного збудженого ядра з наступним його розпадом по одному з можливи каналів: Авипромінювання γ квантів процес радіаційного захвату нейтрона ядром Б випромінювання заряджених частинок В ділення ядра В області повільних нейтронів енергія 1еВ основні процеси пружне ядерне розсіяння радіаційний захват нейтрона ядрома бо...
20247. Теорія капілярного віскозиметра 63.5 KB
  Віскозиметр прилад для визначення вязкості. Визначення вязкості капілярним віскозиметром базується на законі Пуазейля і полягає в визначенні часу протікання визначеної кількості рідини або газу через вузькі трубки круглого прерізу при заданому перепаді тисків. Прилади для вимірювання вязкості можна розділити на дві групи: 1Ті які використовують стаціонарні типи руху рідин капілярний метод метод падаючої кульки; 2 Використовуються нестаціонарні типи руху в основному обертальноколивальний рух коливання твердого тіла зануреного в...
20248. Розрахунок бінарної кореляційної функції числовими методами 61.5 KB
  Розглянемо як розрахувати бінарну кореляційну функцію цими методами: МК В окремих точках матимемо де середня кількість сусідів від відображаючої точки на відстані ri яка може бути обрахованою за наступною формулою: кількість сусідів у j му положенні відображаючої точки S кількість частинок в комірці. МД кількість частинок на відстані ri від μї частинки в момень часу n. l кількість частинок в комірці р кількість проміжків часу.
20249. Основи методу хвильової спектроскопії 89 KB
  З уширення спектральних ліній береться інформація про міжмолекулярну взаємодію. Є три причини уширення: 1.природня ширина ліній лише в основному стані нема уширення; 2.доплерівське уширення відбувається за рахунок молекул що знаходяться в тепловонму русі; 3.
20250. Термодинамічна теорія флуктуацій. Розподіл Гаусса. Флуктуації об’єму та температури 70.5 KB
  Термодинамічна теорія флуктуацій. Покладемо x0=0 то Врахуємо Підставимо 2 в 1 це фактично розподіл але треба знайти А функція розподілу Гауса або гаусіан для флуктуацій 3 загальна формула для знаходження флуктуацій основних фізичних величин однокомпонентної системи. 43 та порівняємо з : середньоквадратичні флуктуації обєму ізотермічна стисливість середньоквадратичні флуктуації температури теплоємність при сталому V Висновки термодинамічної теорії флуктуацій: як...
20252. СОЦИАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА 49 KB
  Стабилизация, приведение к устойчивости социальных отношений и социального положения; поддержание и стимулирование социальной и экономической активности населения; социальная поддержка и защита.
20253. Модельні теорії рівняння стану. Рівняння Френкеля 24.5 KB
  Модельні теорії рівняння стану. Це рівння стану належить до діркової теорії рівнянь стану. Рівняння стану Френкеля : Δυ зміна об‘єму дірки при зміні термодинамічних параметрів; VpT об‘єм що займає рідка система при тискові Р та температурі Т. В модельних теоріях рівняння стану постулюється структура речовини характер взаємодії і розміщення молекул чи атомів.