3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

48 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75523. ИС Project Expert, назначение и основные принципы работы 27 KB
  ИС Project Expert назначение и основные принципы работы В своей деятельности руководитель предприятия постоянно сталкивается с необходимостью определения текущего и будущего положения предприятия на рынке подготовки плана развития оценки возможных альтернатив анализа эффективности принимаемых решений. Процесс планирования развития предприятия в условиях рынка требует применения современных методик и инструментов снижающих временные затраты. В зарубежной литературе имитационные модели описывающие деятельность предприятия в условиях рынка...
75524. Концептуальная модель ИС 1С: Предприятие 23 KB
  Концептуальная модель ИС 1С: Предприятие В основе ИС оперативного анализа данных лежит многомерное концептуальное представление суть которого в выделении из общего объёма информации собственно анализируемых данных фактов и вспомогательных данных измерений. Сюда относятся способы построения структур данных типы связей между данными принципы манипулирования ими формы описания бизнеслогики способы связи данных с интерфейсными объектами разделение функциональности по уровням системы и многое другое. Вся разработка ведется в рамках одной...
75525. Процесс взаимодействия пользователя, СУБД и ОС при обработке запроса на получение данных 32 KB
  Процесс взаимодействия пользователя СУБД и ОС при обработке запроса на получение данных Следующий рисунок иллюстрирует взаимодействие пользователя СУБД и ОС при работке запроса на получение данных. Схема прохождения запроса к БД Пользователь посылает СУБД запрос на получение данных из БД. В случае запрета на доступ к данным СУБД сообщает пользователю об этом стрелка 12 и прекращает дальнейший процесс обработки данных в противном случае СУБД определяет часть концептуальной модели которая затрагивается запросом пользователя стрелка...
75526. Классификация и краткая характеристика моделей данных 172 KB
  Классификация и краткая характеристика моделей данных Одними из основополагающих в концепции баз данных являются обобщенные категории данные и модель данных. Понятие данные в концепции баз данных это набор конкретных значений параметров характеризующих объект условие ситуацию или любые другие факторы. Примеры данных: Петров Николай Степанович 30 и т. Поэтому центральным понятием в области баз данных является понятие модели.
75527. Последовательность действий при разработке проекта в ИС Project Expert 25 KB
  Последовательность действий при разработке проекта в ИС Project Expert Раздел Проект состоит из шести модулей. В этом диалоге отображается информация введенная присоздании проекта в диалоге Новый проект . Информация введенная в диалоге Список продуктов будет использована программой в модулях раздела Операционный план при планировании стратегии производства и сбыта сформированного перечня продуктов услуг проекта а также в модуле Стартовый баланс раздела Компания при описании активов и пассивов действующего предприятия. Текстовое...
75528. Основные требования к организации и формированию БД 26 KB
  Основные требования к организации и формированию БД База данных БД именованная совокупность данных отражающая состояние объектов и их отношений в рассматриваемой предметной области. К таким требованиям можно отнести...
75529. Хозяйственные операции и их регистрация в системе 1С 21 KB
  Ведение финансово-хозяйственных операций неразрывно связан с регистрацией первичных документов и формированию на их основ бухгалтерских проводок. Документы одного вида группируются в журнал. Кроме обычных журналов объединяющих все документы определенного вида видов существует общий журнал в который попадет все документы. Документ может находиться в двух состояниях не проведен и проведен.
75530. Характеристика и принципы построения сетевых (распределенных) БД 35.5 KB
  Характеристика и принципы построения сетевых распределенных БД Под распределенными базами данных РБД понимаются БД применяемые в вычислительной компьютерной сети. По типологии РБД делятся на: РБД централизованного хранения РБД распределенного хранения. При централизованном хранении вся РБД хранится на одном компьютере сервере а программы с остальных компьютеров клиентов обращаются к нему. Проектирование структуры такой РБД ничем не отличается от проектирования структуры обычных БД.
75531. Основные понятия и принципы инфологического моделирования 39.5 KB
  Основными конструктивными элементами инфологических моделей являются сущности связи между ними и их свойства атрибуты. Необходимо различать такие понятия как тип сущности и экземпляр сущности. Понятие тип сущности относится к набору однородных личностей предметов событий или идей выступающих как целое. Экземпляр сущности относится к конкретной вещи в наборе.