3854

Метод хорд і дотичних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Метод хорд і дотичних Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Короткі теоретичні відомості. Метод хорд. Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, ме...

Украинкский

2012-11-09

135 KB

50 чел.

Метод хорд і дотичних

Мета роботи: вивчити і засвоїти ітераційні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Короткі теоретичні відомості.

Метод хорд.

Метод хорд – метод лінійної інтерполяції (метод пропорційних частин, метод січних). Ідея методу полягає в тому, що на досить малому проміжку  дугу кривої  заміняють хордою, а за наближене значення кореня приймають точку перетину хорди з віссю Ох.

Значення функції визначаються в точках, які розташовані на осі Ох через рівні інтервали. Це робиться доти, поки кінці інтервалів ,  не будуть мати різні знаки. Тоді пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь абсцис у точці

                                               (1 )

Формула (1) відображає метод хорд, який є ітераційним методом першого порядку. Для досить малих проміжків  можна використати оцінку похибки

                                                 (2)

Рис. 1. Алгоритм методу половинного ділення.

Після цього знаходять значення f () і порівнюють його з f (). Надалі користуються  замість того значення, з яким воно збіглося за знаком. Якщо   ≤ ε , то вся процедура повторюється спочатку (рисунок 2). Алгоритм методу хорд подібний до попереднього, за винятком процедури оцінки .

Треба також враховувати, що в алгоритмі обчислень за цим методом контроль похибки проводиться за тим кінцем інтервалу, що рухається. В випадку, що показаний на рисунку1,  аналізуються послідовні наближення: на першому кроці x1 x2 ≤ ε , на другому – x1 x3 ≤ ε , на третьому – x3 x4 ≤ ε і т. д.

Похибка розв’язку оцінюється за формулою:

                                                         (3),

де M1 ,m1 – відповідно, найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

Рис. 2. Метод хорд.

Метод дотичних.

У методі дотичних здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці (рисунок 3):

В основі цього методу лежить розвинення функції в ряд Тейлора

Доданки, що містять h у другому і вищих степенях, відкидаються, внаслідок чого одержується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від вірного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної f′(x) перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Можна також показати, що у випадку дуже великих значень f′′(x) (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибирати з умови

Похибка методу оцінюється як:

де M2 – найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі [ , ] .

Рис. 3. Метод дотичних.

Завдання лабораторної роботи

Знайти один із коренів рівняння f(x) = 0, використовуючи методи дотичних, хорд і простої ітерації з точністю . Вивести кількість ітерацій, необхідних для досягнення заданої точності для кожного з методів.

f(x)=x2-cos(5x)

Лістинг програми

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x)

{

return (x*x-cos(5*x));

}

double f1(double x)

{

return (2*x+5*sin(5*x));

}

double f2(double x)

{

return (2+25*cos(5*x));

}

int main()

{

  double a,b,c,exp=0.00001;

  cout<<"Vvedit znachennia"<<endl;

  cout<<"a="; cin>>a;

  cout<<"b="; cin>>b;

  {

do

  {

  c=a-f(a)/(f(b)-f(a))*(a-b);

  if (f(c)*f(a)>0) a=c;

  else b=c;

  }

while (fabs(f(c))>=exp);

  cout<<"Metod xord->"<<c<<"\n";

   }

   {

 if (f(a)*f2(a)>0) c=a;

  else c=b;

do

    {

      c=c-(f(c)/f1(c));

    }

while (fabs(f(c))>=exp);

   cout<<"Metod dotuchnux->"<<c<<"\n";

   }

getch();

return 0;

}

Вигляд програми

Висновок: на дані лабораторній роботі я вивчив два методи знаходження розвязку функції з значеннями на проміжку – це метод Хорд і метод Дотичних(метод Ньютона).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53272. Понятие, классификация и оценка нематериальных активов 18.18 KB
  В соответствии с п.3 ПБУ 14/2000 к нематериальным активам относят имущество, которое одновременно отвечает следующим условиям: 1) не имеет материально-вещественной (физической) структуры
53273. Учет выбытия основных средств. Учет результатов инвентаризации материалов 107.62 KB
  Для определения целесообразности и непригодности объекта основных средств к дальнейшему использованию, невозможности или неэффективности его восстановления, а также для оформления документации на списание указанных объектов в организации приказом руководителя может быть создана постоянно действующая комиссия
53274. Гузелька и Лена на уроке физкультуры 21 KB
  Физрук: Атьдва атьдва атьдва ух мои девчулечки мои красотулечки. бьет по попе девочку она ему пощечину Ф: Двааа. Эх хорошо быть физруком девчулечки не отстаем атьдва атьдваНЕ отстаем свистит в свисток Выбегают 2 девочки. Ф: Выше ноги атьдва атьдва.
53275. Не обміліє пам’яті ріка… 59 KB
  Хід уроку: Слово вчителя: У 2012 році подвигу підпільної організації Молода гвардія чиє життя боротьба та незламна воля завжди були та будуть прикладом для всіх поколінь нашого народу виповнюється 70 років. Тому і перший урок буде присвячений тим хто в роки Великої Вітчизняної війни захищаючи наш край навічно залишився молодим тим хто віддав своє життя заради того щоб сьогодні жили ми. Яскраво й світло майбуття яснилось Та раптом зблідли обрії ясні Війна як привид у життя вселилась І корективи вправила свої....
53276. Гімнастика як дієвий засіб оздоровлення дітей в дошкільному навчальному закладі 163.5 KB
  Ведмежатасилачі молодша група Діти заповзають до зали спираючись на руки та ноги і сідають біля розкладених гир. Сидячи ноги разом руки з гантелями на колінах. Ноги на ширині пліч руки з гантелями біля тулуба пояса. Ноги поставити разом руки з гантелями простягнути перед собою і присідати 5 разів.
53277. EVERYDAY HEALTHY HABITS 107 KB
  Aims:to practice some grammar points (adverbs of frequency, Present Simple, Present Continuous); to ask and answer questions to find out about classmates’ health habits; to give practice in reading a text for specific information; to develop students’ listening skills; to create a relaxed, non-threatening atmosphere in the classroom.
53278. Халдейське царство 45 KB
  Мета: розкрити роль і значення Халдейського царства в історії стародавнього світу, виробляти в учнів уміння аналізувати, спів- ставляти, узагальнювати вивчений матеріал, висловлювати власну думку, розвивати творче мислення школярів, виховувати інтерес до історії найдавніших цивілізацій
53279. TRADITIONS. CUSTOMS. HALLOWEEN 95.5 KB
  The ancient people who inhabited what we now call Great Britain divided the year into two seasons: growing season and winter. Life and Death. Druids placed great importance on passing of one season to the next. Summer officially ended on October 31-st. On that day people celebrated the Celtic New Year. And the next day was the first day of winter. Being between two seasons it was a very magical time, when the barriers between our world and the spirit world were at their weakest...
53280. Halloween 1.25 MB
  Good morning, boys and girls! I’m glad to see you. I hope you are OK. In our today’s lesson we’ll get to know some new facts about one of the children’s best loved holidays, read the text, sing a song, play a game and do a lot of interesting activities.