3856

Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування задачі Кошіметодом Рунге-Кутта Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта. Короткі теоретичні відомості Тільк...

Украинкский

2012-11-09

163 KB

59 чел.

Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта

Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта.

Короткі теоретичні відомості

Тільки невелика кількість задач Коші, iнтегровних у явному виглядi, зустрічаються серед задач, якi потрiбно розв’язувати. Тому для розв’язування задач Коші широко використовують чисельні методи з їх реалізацією на комп’ютерах. При цьому особливо важливими є вибір потрібного методу і його програмної реалізації, а також підготування всіх даних, необхідних для роботи комп’ютерної програми.

1.Формулювання задачi.

Нехай на вiдрiзку потрiбно знайти розв’язок диференцiйного рiвняння

      (1)

який задовольняє таку умову

      (2)

Задачу (1)-(2) називають задачею Кошi для звичайногодиференцiйного рівняння першого порядку.

Будемо припускати, що функцiя f(х,у) неперервна та задовольняє умову Лiпшиця за у, тобто виконується

   (3)

де L– деяка додатна стала. В цьому випадку задача Кошi має єдиний розв’язок на промiжку

2. Метод Ейлера.

Розiб’ємо проміжок [а, b], на якому шукаємо розв’язок, на рiвномiрнi вiдрізки причому

Розрахункова формула методу Ейлера має вигляд

  (4)

де .У випадку рівномiрного розбиття вiдрізка [а, b] точками отримасмо

3. Методи Рунге-Кутта.

На практиці для розв’язування задачi Коші найчастiше використовують методи Рунге-Кутта. Цими методами можна розв’язати задачу Кошi для звичайного диференцiйного рiвняння першого порядку, для диференцiйних рiвнянь вищих порядків, системи диференцiйних рiвнянь першого порядку.

Перевага методiв Рунге-Кутта полягає в тому, що обчислювальні алгоритми є однорiдними, тобто не змiнюються при переходi від однiєї точки до iншої, а крок змiнюється вiдповiдно до потреби точностi обчислень, без ускладнення обчислювального алгоритму.

Методи Рунге-Кутта мають високу точнiсть, причому обчислення можна проводити із змінним кроком: неважко эменшити крок там, де функцiя швидко змiнюється, i збiльшити в протилежному випадку.

Недоліком методів Рунге-Кутта є те, що для відшукання наближеного розв’язку в точцi заданого вiдрiзку необхiдно виконати декілька обчислень значень функцій.

Наведемо рекурентні формули методу Рунге-Кутта рiзних порядкiв точностi.

Формули методу Рунге-Кутта другого порядку:

4. Оцiнювання похибки наближеного розв’язку задачі Кошi.

Для методiв Ейлера та його модифiкацiй, а також методів Рунге-Кутта i Адамса застосовують апріорні оцiнки похибки наближеного розв’язку задачi Кошi (1)-(2) . Однак цi оцiнки здебiльшого значно завищені. Тому їхнє значення не стiльки практичне, скiльки теоретичне, бо з них безпосередньо випливає висновок про збiжність цих методiв. Крім того, апрiорнi оцiнки мiстять у собi ряд сталих, для вiдшукання яких часто треба виконувати досить складні обчислення.

Тому, щоб оцiнити похибку наближеного розв’язку задачi (1) - (2), намагаються використати iнформацiю, яку дiстають в процесі чисельного розрахунку (такі оцінки називають апостеріорними). Найефективнiшим оцінюванням є використання оцiнки з подвiйним перерахунком.

Розглянемо детальнiше метод подвiйного перерахункудля  таких трьох випадків [2]:

1) задано крок iнтегрування h i треба визначити точні цифри наближеного розв’язку в кожнiй вузловiй точцi ;

2) задано точнiсть ε>0, з якою треба обчислити наближений розв’язок задачi, добираючи належним чином як сам метод, так i крок iнтегрування h;

3) оцiнити похибку – вiдповiдно наближений і точний розв’язок задачi в кожнiй вузловiй точцi .

Для цього розв’язок задачi (1)-(2) у кожнiй вузловiй точці обчислюють двiчі: з кроком h i h/2. Позначатимемо їх вiдповiдно .

Десятковi розряди наближень , які збiгаються мiж собою, вважають точними цифрами наближеного розв’язку в точцi .

Якщо наближений розв’язок задачi (1)-(2) треба обчислити з наперед заданою точнiстю є>0, то, використовуючи метод певного порядку точностi, інтегрування з кроками h і h/2 доцiльно вести паралельно, щоб вчасно визначити неузгодженiсть мiж значеннями  i, можливо, перейти до нового кроку.

Якщо ж у точцi  значення задовольняють нерiвність то крок інтегрування для наступної точки треба збільшити, наприклад, подвоїти. Якщо то крок ітегрування ділять навпіл. Цим забезпечують автоматичний вибiр кроку iнтегрування.

Нарештi, наявнiсть наближених значень , обчислених вiдповiдно з кроком h i h/2, дає змогу наближено оцiнити похибку методу у точцi  . Для одержання оцiнки похибки, припустимо, що виконуються такі умови:

1) на кожному кроці iнтегрування h похибка методу приблизно пропорцiйна до де S – порядок точностi методу;

2) похибка методу на кожному кроцi інтегрування однакова;

3) на кожному наступному кроцi інтегрування сумарна похибка методу містить також усi похибки, зробленi на попереднiх кроках.

Тому, якщо де М — невiдомий коефiцiєнт пропорційності, то

Отже, для похибки в точцi  у випадку iнтегрування з кроком h маємо рівнiсть

    (4.1)

а при інтегруванні з кроком h/2 – рiвність

     (4.2)

Віднявши почленно (4.2) вiд рiвностi (4.1) та розв’язавши одержане рівняння щодо невiдомого коефiцiєнта М, знайдемо

Пiдставивши це значення M в (4.2), отримаємо

    (4.3)

Оцiнювання абсолютної похибки за допомогою величини називають правилом Рунге.

Варіант 17

Застосовуючи чисельнi методи розв’язування задачi Кошi, розв’язати диференцiйне рiвняння першого порядку з точнiстю є =0.0001 на відрiзку  із кроком h= 0.05 i заданими початковими умовами , а також порівняти отриманий розв’язок із точним розв’язком y*, використовуючи правило Рунге.

Текст програми:

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#pragma hdrstop

#include "RungeUn.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

float x0, y0, xn0, ytn1, yn0, eps, h, xn1, yn1, k1, k2;

bool modif=true;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

 : TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func(double xn0, double yn0)

{

return ((yn0*yn0+xn0)/(xn0*yn0));

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func_toch(double xn0)

{

return (sqrt(2*xn0*(3*xn0-1)));

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

 x0=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

 y0=StrToFloat(LabeledEdit2->Text);

 h=StrToFloat(LabeledEdit3->Text);

 eps=StrToFloat(LabeledEdit4->Text);

 Memo1->Clear();

 Memo1->Lines->Add((AnsiString)"      x                y              h               ytoch");

 xn0=x0;

 yn0=y0;

 while (xn0 < (x0+0.5))

{

  k1 = h * func(xn0,yn0);

  k2 = h * func(xn0+h,yn0+k1);

  yn1 = yn0 + (k1+k2)/2.0;

  xn1 = xn0 + h;

  xn0 = xn1;

  yn0 = yn1;

  ytn1=func_toch(xn1);

  Memo1->Lines->Add(FloatToStrF(xn1,ffFixed,8,4)+

                     (AnsiString)"      "+

                     FloatToStrF(yn1,ffFixed,8,4)+

                     (AnsiString)"      "+

                     FloatToStrF(h,ffFixed,8,4)+

                     (AnsiString)"      "+

                     FloatToStrF(ytn1,ffFixed,8,4));

  if(abs(yn1-ytn1)>eps){h/=2.0; modif=false;}

  else if(!modif){h*=2; modif=true;}

}

}

//-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Результат виконання програми:

    Висновок: На цій лабораторній роботі я вивчив і засвоїв постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчився досліджувати розв’язок, використовуючи метод Рунге-Кутта.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42273. Основы работы с интерфейсом оборудования Cisco 463 KB
  Новые приобретаемые навыки в работе с оборудованием Cisco: Изменение имени оборудования hostnme; Вход в привилегированный режим enble; Вход в режим конфигурации настроек configure terminl; Вход в режим конфигурирования линий консоль терминальные подключения line; Вход в режим конфигурирования интерфейсов виртуальный сетей interfce VLN ; Задание пароля для перехода в привилегированный режим enble secret; Задание ipадреса для интерфейса виртуальной сети коммутатором ip ddress ; Сохранение текущей...
42274. ИЗУЧЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ КВАЗИЭЛЕКТРОННОЙ АТС “КВАНТ” 73.5 KB
  Изучение принципов построения и структурной схемы квазиэлектронной АТС €œКвантâ€.Изучить принципы построения КЭ АТС Квантâ€. Изучить конструкцию и технические характеристики КЭ АТС â€œКвантâ€.
42275. КОНТРОЛЬ ФОРМЫ ПОЛИРОВАННЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕНЕВЫМ МЕТОДОМ 351 KB
  Форма волнового фронта падающего света должна быть известна заранее или соответствовать идеальной форме поверхности контролируемой детали. При отражении фронта световой волны от поверхности имеющей зональные и местные ошибки он деформируется в соответствии с видом и конфигурацией этих ошибок. Деформация h фронта: где  ошибка поверхности детали;  угол падения света на поверхность детали.
42276. Изучение программы Packet Tracer 5.1. Изучение интерфейса командной строки Cisco IOS 476.5 KB
  Введите e для отображения команд начинающихся с буквы e . Введите en. Введите команду enble в приглашение маршрутизатора. Введите c в приглашение CustomerRouter и нажмите клавишу Tb .
42277. Изучение структурных схем регистра и маркера ступеней АИ, ГИ АТСК-У 279 KB
  Изучить структурную схему АРБ АТСКУт и структурную схему маркера ступеней ГИ и АИ АТСКУ. Изучить комплектацию статива АРБ. Назначение и структурная схема АРБ. Абонентские регистры АРБ рассчитаны на прием шлейфных батарейных импульсов из аппаратов вызывающих абонентов и на выдачу информации многочастотным способом в маркеры координатных АТС и батарейным способом в приборы декадношаговых АТС.
42278. СКЛЕИВАНИЕ ЛИНЗ 408.5 KB
  Если например между положительной линзой из стекла марки К8 и отрицательной линзой из стекла марки ТФ1 будет воздушный промежуток то количество света отражаемого свободными поверхностями составит 18. Приведя поверхности в соприкосновение или заполнив промежуток между ними средой с показателем преломления равным или близким показателю преломления одной из линз потери света на отражение уменьшаются примерно до 10. Линзы в большинстве случаев склеивают веществами бальзамин М ОК72Ф ОК50 и др.
42279. Настройка статических маршрутов 58.5 KB
  Щелкните ПК офиса филиала BOpc и перейдите по ссылкам Desktop Commnd Prompt . Запишите IPадрес ПК офиса филиала BOpc и адрес шлюза по умолчанию. Адрес шлюза по умолчанию – это IPадрес интерфейса FstEthernet для Офиса филиала BrnchOffice.1 адрес шлюза по умолчанию для локальной сети Офиса филиала BrnchOffice в запросе команды в ПК офиса филиала BOpc.
42280. Исследование индуктивно-связанных цепей 288.5 KB
  Целью работы является экспериментальное определение параметров двух индуктивно связанных катушек и проверка основных соотношений индуктивно связанных цепей при различных соединениях катушек. Подготовка к работе Схема замещения двух индуктивно связанных катушек удовлетворительно учитывающая электромагнитные процессы в диапазоне низких и средних частот представлена на рис. 1 где L1 R1 и L2 R2 индуктивности и сопротивления соответственно первой и второй...
42281. ЗАКОНЫ СТОЛКНОВЕНИЙ 931 KB
  Обозначим массы шаров и скорости шаров до удара и а скорости после удара и рис. 5 Скорости шаров после удара получим умножив 5 на и вычтя результат из 3 а затем умножив 5 на и сложив результат с 3: . Рассмотрим неупругое столкновение двух шаров массами и скорости которых до удара и . Установка предназначена для измерения скорости двух подвижных...