3856

Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Розв’язування задачі Кошіметодом Рунге-Кутта Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта. Короткі теоретичні відомості Тільк...

Украинкский

2012-11-09

163 KB

62 чел.

Розв’язування задачі Коші методом Рунге-Кутта

Мета роботи: вивчити і засвоїти постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчитися досліджувати розв’язок , використовуючи метод Рунге-Кутта.

Короткі теоретичні відомості

Тільки невелика кількість задач Коші, iнтегровних у явному виглядi, зустрічаються серед задач, якi потрiбно розв’язувати. Тому для розв’язування задач Коші широко використовують чисельні методи з їх реалізацією на комп’ютерах. При цьому особливо важливими є вибір потрібного методу і його програмної реалізації, а також підготування всіх даних, необхідних для роботи комп’ютерної програми.

1.Формулювання задачi.

Нехай на вiдрiзку потрiбно знайти розв’язок диференцiйного рiвняння

      (1)

який задовольняє таку умову

      (2)

Задачу (1)-(2) називають задачею Кошi для звичайногодиференцiйного рівняння першого порядку.

Будемо припускати, що функцiя f(х,у) неперервна та задовольняє умову Лiпшиця за у, тобто виконується

   (3)

де L– деяка додатна стала. В цьому випадку задача Кошi має єдиний розв’язок на промiжку

2. Метод Ейлера.

Розiб’ємо проміжок [а, b], на якому шукаємо розв’язок, на рiвномiрнi вiдрізки причому

Розрахункова формула методу Ейлера має вигляд

  (4)

де .У випадку рівномiрного розбиття вiдрізка [а, b] точками отримасмо

3. Методи Рунге-Кутта.

На практиці для розв’язування задачi Коші найчастiше використовують методи Рунге-Кутта. Цими методами можна розв’язати задачу Кошi для звичайного диференцiйного рiвняння першого порядку, для диференцiйних рiвнянь вищих порядків, системи диференцiйних рiвнянь першого порядку.

Перевага методiв Рунге-Кутта полягає в тому, що обчислювальні алгоритми є однорiдними, тобто не змiнюються при переходi від однiєї точки до iншої, а крок змiнюється вiдповiдно до потреби точностi обчислень, без ускладнення обчислювального алгоритму.

Методи Рунге-Кутта мають високу точнiсть, причому обчислення можна проводити із змінним кроком: неважко эменшити крок там, де функцiя швидко змiнюється, i збiльшити в протилежному випадку.

Недоліком методів Рунге-Кутта є те, що для відшукання наближеного розв’язку в точцi заданого вiдрiзку необхiдно виконати декілька обчислень значень функцій.

Наведемо рекурентні формули методу Рунге-Кутта рiзних порядкiв точностi.

Формули методу Рунге-Кутта другого порядку:

4. Оцiнювання похибки наближеного розв’язку задачі Кошi.

Для методiв Ейлера та його модифiкацiй, а також методів Рунге-Кутта i Адамса застосовують апріорні оцiнки похибки наближеного розв’язку задачi Кошi (1)-(2) . Однак цi оцiнки здебiльшого значно завищені. Тому їхнє значення не стiльки практичне, скiльки теоретичне, бо з них безпосередньо випливає висновок про збiжність цих методiв. Крім того, апрiорнi оцiнки мiстять у собi ряд сталих, для вiдшукання яких часто треба виконувати досить складні обчислення.

Тому, щоб оцiнити похибку наближеного розв’язку задачi (1) - (2), намагаються використати iнформацiю, яку дiстають в процесі чисельного розрахунку (такі оцінки називають апостеріорними). Найефективнiшим оцінюванням є використання оцiнки з подвiйним перерахунком.

Розглянемо детальнiше метод подвiйного перерахункудля  таких трьох випадків [2]:

1) задано крок iнтегрування h i треба визначити точні цифри наближеного розв’язку в кожнiй вузловiй точцi ;

2) задано точнiсть ε>0, з якою треба обчислити наближений розв’язок задачi, добираючи належним чином як сам метод, так i крок iнтегрування h;

3) оцiнити похибку – вiдповiдно наближений і точний розв’язок задачi в кожнiй вузловiй точцi .

Для цього розв’язок задачi (1)-(2) у кожнiй вузловiй точці обчислюють двiчі: з кроком h i h/2. Позначатимемо їх вiдповiдно .

Десятковi розряди наближень , які збiгаються мiж собою, вважають точними цифрами наближеного розв’язку в точцi .

Якщо наближений розв’язок задачi (1)-(2) треба обчислити з наперед заданою точнiстю є>0, то, використовуючи метод певного порядку точностi, інтегрування з кроками h і h/2 доцiльно вести паралельно, щоб вчасно визначити неузгодженiсть мiж значеннями  i, можливо, перейти до нового кроку.

Якщо ж у точцi  значення задовольняють нерiвність то крок інтегрування для наступної точки треба збільшити, наприклад, подвоїти. Якщо то крок ітегрування ділять навпіл. Цим забезпечують автоматичний вибiр кроку iнтегрування.

Нарештi, наявнiсть наближених значень , обчислених вiдповiдно з кроком h i h/2, дає змогу наближено оцiнити похибку методу у точцi  . Для одержання оцiнки похибки, припустимо, що виконуються такі умови:

1) на кожному кроці iнтегрування h похибка методу приблизно пропорцiйна до де S – порядок точностi методу;

2) похибка методу на кожному кроцi інтегрування однакова;

3) на кожному наступному кроцi інтегрування сумарна похибка методу містить також усi похибки, зробленi на попереднiх кроках.

Тому, якщо де М — невiдомий коефiцiєнт пропорційності, то

Отже, для похибки в точцi  у випадку iнтегрування з кроком h маємо рівнiсть

    (4.1)

а при інтегруванні з кроком h/2 – рiвність

     (4.2)

Віднявши почленно (4.2) вiд рiвностi (4.1) та розв’язавши одержане рівняння щодо невiдомого коефiцiєнта М, знайдемо

Пiдставивши це значення M в (4.2), отримаємо

    (4.3)

Оцiнювання абсолютної похибки за допомогою величини називають правилом Рунге.

Варіант 17

Застосовуючи чисельнi методи розв’язування задачi Кошi, розв’язати диференцiйне рiвняння першого порядку з точнiстю є =0.0001 на відрiзку  із кроком h= 0.05 i заданими початковими умовами , а також порівняти отриманий розв’язок із точним розв’язком y*, використовуючи правило Рунге.

Текст програми:

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#include <math.h>

#pragma hdrstop

#include "RungeUn.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

float x0, y0, xn0, ytn1, yn0, eps, h, xn1, yn1, k1, k2;

bool modif=true;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

 : TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func(double xn0, double yn0)

{

return ((yn0*yn0+xn0)/(xn0*yn0));

}

//---------------------------------------------------------------------------

double func_toch(double xn0)

{

return (sqrt(2*xn0*(3*xn0-1)));

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

 x0=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

 y0=StrToFloat(LabeledEdit2->Text);

 h=StrToFloat(LabeledEdit3->Text);

 eps=StrToFloat(LabeledEdit4->Text);

 Memo1->Clear();

 Memo1->Lines->Add((AnsiString)"      x                y              h               ytoch");

 xn0=x0;

 yn0=y0;

 while (xn0 < (x0+0.5))

{

  k1 = h * func(xn0,yn0);

  k2 = h * func(xn0+h,yn0+k1);

  yn1 = yn0 + (k1+k2)/2.0;

  xn1 = xn0 + h;

  xn0 = xn1;

  yn0 = yn1;

  ytn1=func_toch(xn1);

  Memo1->Lines->Add(FloatToStrF(xn1,ffFixed,8,4)+

                     (AnsiString)"      "+

                     FloatToStrF(yn1,ffFixed,8,4)+

                     (AnsiString)"      "+

                     FloatToStrF(h,ffFixed,8,4)+

                     (AnsiString)"      "+

                     FloatToStrF(ytn1,ffFixed,8,4));

  if(abs(yn1-ytn1)>eps){h/=2.0; modif=false;}

  else if(!modif){h*=2; modif=true;}

}

}

//-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Результат виконання програми:

    Висновок: На цій лабораторній роботі я вивчив і засвоїв постановку та методи розв’язування задачі Коші. Навчився досліджувати розв’язок, використовуючи метод Рунге-Кутта.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3638. Возникновение социологии как науки 86.5 KB
  Возникновение социологии как науки приходится на 1830-е года., хотя Попытки социологического анализа проблем общественной жизни предпринимались и раньше. Их наличие дает основание усматривать «начало» социологии одним авторам в древности, связывая...
3639. Изучение системы Паблик Рилейшнз используемой предприятием и определение рекомендаций по ее совершенствованию 539.5 KB
  Введение Термин «Паблик Рилейшнз» получил широкое распространение в сферах, связанных с менеджментом и маркетингом в развитых странах в начале 1970-х годов. Его буквальное значение – «отношение с общественностью». Деятельность по Паблик Рилейшн...
3640. Новая система нормативного регулирования бухгалтерского учета в России 101.5 KB
  Введение В настоящее время происходят серьезные преобразования в российском обществе, вызванные изменением системы общественных отношений и гражданско-правовой среды. Российские компании получили выход на международный рынок, появляются совместные п...
3641. Муниципальное самоуправление в Римском государстве 70.5 KB
  Введение Исследование истории римского общества - изучение ключевых закономерностей его юридического, социального, политического и культурного формирования и обнаружение характерных, свойственных исключительно древнему Риму черт - представляет особы...
3642. Лабораторные работы. Физические свойства жидкостей 437.5 KB
  Изучение физических свойств жидкости. Цель работы: освоение техники измерения плотности, теплового расширения, вязкости и поверхностного натяжения жидкостей. Схема устройства...
3643. Выпарные аппараты и установки 144.5 KB
  Выпарные аппараты и установки Выпаривание - процесс концентрирования жидких растворов различных веществ путем частичного удаления растворителя при кипении раствора. Осуществляется в выпарных аппаратах и установках, работающих, как правило, под вакуу...
3644. Количественное и качественное изучение рационов питания женщин и мужчин г. Москвы и Краснодара 1.01 MB
  Введение Физиологические нормы питания - научно обоснованные и утвержденные в законодательном порядке нормы потребления пищевых веществ, при которых полностью удовлетворяется потребность практически всех здоровых людей в необходимых пищевых вещества...
3645. Расчет выходных параметров производственного процесса при заданных внутренних параметрах 625 KB
  Производственный цикл является важным показателем эффективности производства. Он широко используется для разработки календарных планов цехов, участков, линий, рабочих мест. Целью данной курсовой работы является: - расчет выходных параметров...
3646. Конструирование и расчет автомобилей и тракторов 116.5 KB
  Общие вопросы проектирования. Цикл жизни автомобиля и трактора включает четыре стадии: создание, производство, обращение (поставки) и эксплуатацию. Исследование и обоснование разработки. Цель: определить возможнос...