3857

Методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних Мета роботи: Засвоїти теоретичний матеріал і методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних, набути практичні навики знаходження їхніх наближених значень...

Украинкский

2012-11-09

130.5 KB

15 чел.

Методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних

Мета роботи: Засвоїти теоретичний матеріал і методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних, набути практичні навики знаходження їхніх наближених значень.

Короткі теоретичні відомості

Із розв’язуванням диференційних рівнянь у частинних похідних інженерам і дослідникам доводиться зустрічатися в багатьох областях науки і техніки, в аеро- і гідродинаміці, ядерній фізиці, радіозв’язку тощо.

Розрізняють три типи диференційних рівнянь другого порядку:

– еліптичні, при B2 4AC < 0 ;

– параболічні, при B2 4AC = 0;

– гіперболічні, при B2 4AC > 0.

Рівняння можуть переходити з одного вигляду до іншого в залежності від значень коефіцієнтів.

Існують два методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних: різницевий метод (метод скінченних різниць) і метод скінченних елементів. У сучасній прикладній математиці обидва методи розглядаються як інтерпретації використання загальної теорії різницевих схем до розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних .

В основі методу cкінченних елементів лежить варіаційне числення. Диференційне рівняння, яке описує задачу, та відповідні граничні умови використовують для формулювання варіаційної задачі. В методі скінченних елементів фізична задача замінюється її кусково-гладкою моделлю. Цей метод, незважаючи на те, що він вимагає складної постановки задачі, високої кваліфікації та досвіду користувача, є неуніверсальним (кожний розв’язок застосовується лише для конкретної задачі). Метод скінченних елементів знайшов широке використання для розв’язування спеціальних задач в теоретичній механіці, гідродинаміці, теорії поля, однак, він складний, вимагає серйозної підготовки і знань в конкретній області використання. Тому при розв’язуванні задач автоматики та систем керування частіше використовується різницевий метод.

1. Різницевий метод.

Для числового розв’язування диференційних рівнянь другого порядку в частинних похідних найчастіше використовується двовимірна прямокутна сітка. Центрально-різницеві шаблони, які застосовують на двовимірній квадратній сітці з кроком h , зображеній на рисунку 1 (індекс j надається незалежній змінній y , а i відноситься до x ), можуть бути отримані аналогічно як і в одновимірному випадку.

Рис. 1. Квадратна сітка.

2. Розвязування різних типів диференційних рівнянь у частинних похідних.

Практичні методи і алгоритми розв’язування різних типів диференційних рівнянь в частинних похідних мають свої особливості і вимагають окремого розгляду на прикладі найбільш розповсюджених задач.

2.1. Еліптичні рівняння.

До еліптичних рівнянь зводиться багато різних фізичних задач: розрахунок напружень, які виникають при пружному скруті довгого циліндричного стрижня; розподіл електричних напруг на площині, що проводить струм; задача про стаціонарні течії тепла в двовимірному тілі.

Розглянемо класичну задачу Діріхле для рівняння Лапласа в прямокутній області, що формулюється таким чином: знайти неперервну функцію f(x,y), яка в прямокутній області Ω = {(x, y) | 0 x a, 0 y b} задовольняє рівняння Лапласа:

і приймає на границі області задані значення:

x=0; f (0,y) = f1 (y), x=a; f (a,y) = f2 (y), y=0; f (x,0) = f3 (x), y=b; f (x,b) = f4 (x).

Введемо в області розв’язання двовимірну сітку з кроком h по осі x і l по осі y. Тоді, користуючись прийнятими в попередніх розділах позначеннями і апроксимуючи рівняння Лапласа різницевим рівнянням, отримаємо таку систему лінійних рівнянь (приймемо для спрощення l=h):

(2)

при i=1,2,…,n-1; j=1,…,m-1.

Ця система рівнянь має велику кількість нульових елементів і задовольняє умови збіжності при використанні ітераційних методів. Найбільше використання для розв’язання таких систем знайшов метод Гаусса-Зейделя, який, коли застосовується до еліптичних різницевих рівнянь, називається методом Лібмана або методом послідовних зміщень.

Порядок ітерацій можна простежити, переписавши систему (2) у вигляді:

де верхніми індексами позначено порядковий номер ітерації: m – попередня, m+1 – наступна. Зазвичай вважають  для всіх i, j. Система рівнянь легко розв’язується на ПЕОМ. Взагалі кажучи, будь-які еліптичні рівняння, які не містять , зводяться до систем різницевих рівнянь, які можна розв’язувати як методом Лібмана, так і іншими ітераційними методами (Якобі, послідовної верхньої релаксації та ін.), оскільки для них виконуються умови збіжності. Для еліптичних рівнянь, які містять , в загальному вигляді, питання про збіжність ітераційних методів не має теоретичного розв’язку і необхідно розглядати отриману систему рівнянь в кожному конкретному випадку. 

2.2. Гіперболічні рівняння.

В інженерній практиці найчастіше зустрічається гіперболічне рівняння в частинних похідних – хвильове рівняння, яке описує різні види коливань: коливання струни або мембрани, розповсюдження звукових хвиль у різних середовищах тощо.

В загальному вигляді задача формулюється таким чином: знайти функ-цію f (x, t), яка задовольняє всередині області Ω={(x, t) , 0 x a, 0 t T } рівняння

,

початкові

і граничні умови

Оскільки заміна змінних t =c·t приводить рівняння до вигляду:

то надалі приймаємо с=1.

Переходячи до різницевого рівняння на сітці з кроком h по x й τ по t з центральними різницями, отримаємо

Якщо ввести  , то вираз для fi, j +1 прийме вигляд:

fi, j+1 = ( fi+1, j + fi−1, j ) + 2(1 ) fi, j fi, j− 1.               (3)

Текст програми:

//---------------------------------------------------------------------------

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include "RiznUn.h"

//---------------------------------------------------------------------------

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

const n=4,m=4;

TForm1 *Form1;

//---------------------------------------------------------------------------

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

 : TForm(Owner)

{

}

//---------------------------------------------------------------------------

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{

 float x[n]={0}, y[m]={0}, u[n+1][m+1]={0};

 int i,j,m1,n1;

 float a,b,hx,hy,s,t,w,r,e;

 a=StrToFloat(LabeledEdit1->Text);

 b=StrToFloat(LabeledEdit2->Text);

 e=StrToFloat(LabeledEdit3->Text);

 hx=a/n;

 hy=b/m;

 t=(hx/hy)*(hx/hy);

 for (j=0; j<=m; j++)

 {

   y[j]=j*hy;

   u[0][j]=0;

   u[n][j]=y[j];

 }

 for (i=0; i<=n; i++)

 {

   x[i]=i*hx;

   u[i][0]=0;

   u[i][m]=x[i];

 }

 for (i=1; i<=n; i++)

   for (j=1; j<=m; j++)

     u[i][j]=1;

 do

 {

   w=0;

   for (i=1; i<=n; i++)

     for (j=1; j<=m; j++)

     {

       s=(u[i-1][j]+u[i+1][j]+t*(u[i][j-1]+u[i][j+1]))/(2*(1+t));

       r=abs(s-u[i][j]);

       if (r>w) w=r;

       u[i][j]=s;

     }

 }

 while (w>=e);

 StringGrid1->RowCount=n+2;

 StringGrid1->ColCount=m+2;

 StringGrid1->Cells[0][0]="x\\y";

 for (i=0; i<=n; i++)

 {

   for (j=0; j<=m; j++)

     StringGrid1->Cells[j+1][i+1]=FloatToStrF(u[i][j],ffFixed,6,3);

   StringGrid1->Cells[0][i+1]=FloatToStrF(x[i],ffFixed,6,3);

 }

 for (j=0; j<=m; j++) StringGrid1->Cells[j+1][0]=FloatToStrF(y[j],ffFixed,6,3);

}

//---------------------------------------------------------------------------------

Результат виконання програми:

Висновок: На цій лабораторній роботі я засвоїв теоретичний матеріал і методи розв’язування диференційних рівнянь у частинних похідних, набув практичні навики знаходження їхніх наближених значень. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76374. Платежный баланс. Понятие и структура платежного баланса 75.5 KB
  В этом случае итальянская фирма осуществила продажу а Сбербанк покупку российских активов банковского депозита на сумму в 1000 долл и эта сделка будет отражена в российских счетах движения капитала. Такая операция создает две компенсирующие бухгалтерские записи в платежном балансе РФ: Кредит Дебет Покупка принтера текущий счет российский импорт 1000 долл Продажа банковского депозита осуществляемая Сбербанком счет движения капитала экспорт российских активов 1000 долл 2. Поэтому когда вы расплачиваетесь за свой обед за...
76375. Мировой рынок. Конъюнктура мирового рынка. Ценообразование в международной торговле 64.5 KB
  В зависимости от уровня конкретной цены на конкретный товар зависит решение тех или иных проблем возникающих у продавца: возмещение понесенных издержек производства и обращения товара доходность производства данного товара и его реализации появление новых стимулов для расширения внешнеэкономических связей или их свертывания. Цены в международной торговле как и внутри страны зависят от конкретной рыночной ситуации соотношения спроса и предложения но здесь оказывает влияние более широкий круг участников влияющих на конъюнктуру и...
76376. Мировое хозяйство и международные экономические отношения 50.5 KB
  Международные экономические отношения МЭО система хозяйственных связей между национальными экономиками отдельных стран соответствующими субъектами хозяйствования. МЭО особая сфера деятельности основанная на международном разделении труда. МЭО объективно вытекают из процесса разделения труда международной специализации производства и науки интенационализации хозяйственной жизни. Становление и развитие МЭО определяются усилением взаимосвязи и взаимозависимости экономик отдельных стран.
76377. Формирование мирового хозяйства и МРТ 78.5 KB
  Финикийские и греческие торговцы не только торговали по всему Средиземноморью собственными и приобретенными в других странах товарами но и оказывали услуги перевозя чужие грузы и иноземных пассажиров. Район Средиземноморья и Черного моря вместе с прилегающими странами Западной Азии стал тем регионом мира где еще в глубокой древности зародилось ядро МХ. Экономика различных стран становилась более открытой: в 1913 экспорт европейских стран составлял 14 их ВВП против 55 в 1830г. Тогда впервые возникла мировая система мирохозяйственных...
76378. Теория международной торговли с позиции предложения товаров и услуг 221.5 KB
  Теория международной торговли Тема 4. Теория международной торговли с позиции предложения товаров и услуг Торговля является традиционной и древнейшей формой МЭО. Меркантилизм Экономическая мысль на протяжении по крайней мере трех последних столетий пытается теоретически осмыслить проблемы международной торговли и ответить на следующие вопросы: Почему страны торгуют А точнее что определяет какие товары следует импортировать и какие экспортировать Как международная торговля влияет на производство и потребление в каждой стране Как...
76379. Взаимодействие спроса и предложения в международной торговле. Формирование мировой цены 80 KB
  Теория международной торговли в частности теория сравнительных преимуществ утверждает что в результате развития внешнеторговых отношений все участвующие в них страны получают выигрыш в виде прироста общего благосостояния. С другой стороны выигрыш от внешней торговли который получает страна в целом распределяется внутри страны между потребителями и производителями экспортерами и импортерами также не поровну. Выигрыш от внешней торговли Распределение выигрыша от международной торговли как внутри страны так и между странами в конечном...
76380. Международная торговля, распределение доходов и экономический рост 47 KB
  Увеличение производства в отраслях ориентированных на экспорт и сокращению производства в отраслях конкурирующих с импортом. Теория Хекшера-Олина дает возможность оценить последствия развития внешней торговли для владельцев различных факторов производства рабочих землевладельцев собственников капитала и др. поскольку изменения относительных цен на товары приводит к росту вознаграждения одних факторов производства за счет других. Изменение спроса на факторы производства и доходов в краткосрочном периоде Напомним что теория...
76381. Понятие и основные характеристики конституционного строя России 35.5 KB
  Конституционный строй в широком смысле совокупность экономических политических социальных правовых идеологических общественных отношений возникающих в связи с организацией высших органов власти государственного устройства взаимоотношениями человека и государства а также гражданского общества и государства. Элементы конституционного строя РФ: 1 республиканская форма правления; 2 суверенитет РФ; 3 права и свободы личности; 4 источник власти многонациональный народ России; 5 верховенство Конституции РФ и федерального...