ID: 38700

Название работы: Определение момента времени изменения характеристик объекта, функционирующего в режиме реального времени.

Категория: Диссертация

Предметная область: Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описание: Утверждения и гипотезы 50 Заключение 56 Список литературы 57 Введение Адаптивными называют такие системы управления которые в условиях непредвиденного изменения свойств управляемого объекта внешних воздействий или цели управления автоматически изменяют структуру или параметры своего управляющего устройства обеспечивая при этом необходимое качество управления. Для осуществления адаптации автоматического изменения алгоритма управления эти системы содержат дополнительное управляющее устройство устройство адаптации которое по результатам...

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-09-29

Размер файла: 4.05 MB

Работу скачали: 6 чел.

Содержание

Содержание 1

Введение 2

1. Обзор литературы 4

1.1. Основные схемы, описывающие адаптивные системы управления 4

1.2. Многочастотное квантование и эквивалентность дискретных моделей 6

2. Построение генератора сигналов 13

3. Проведение модельных исследований 24

3.1. Передаточная функция G(s) не изменяется 24

3.1.1. Функция G(s)  описана апериодическим звеном первого порядка 24

3.1.2. Функция G(s)  описана интегрирующим звеном 31

3.2. Передаточная функция G(s) изменяется параметрически 37

3.3. Передаточная функция G(s) изменяется структурно 44

4. Утверждения и гипотезы 50

Заключение 56

Список литературы 57

Введение

Адаптивными называют такие системы управления, которые в условиях непредвиденного изменения свойств управляемого объекта, внешних воздействий или цели управления автоматически изменяют структуру или параметры своего управляющего устройства, обеспечивая при этом необходимое качество управления. Для осуществления адаптации (автоматического изменения алгоритма управления) эти системы содержат дополнительное управляющее устройство – устройство адаптации, которое по результатам измерений сигналов в главном контуре управления выявляет изменения свойств внешних воздействий и характеристик объекта и производит необходимые изменения в управляющем устройстве.

Адаптивный алгоритм управления отличается тем, что априорная неопределенность описания объекта преодолевается в ходе работы системы [4].

В настоящее время проблемой адаптивных систем управления является определение момента времени изменения объекта управления и изменение управляющего алгоритма в соответствии с произошедшими изменениями в режиме реального времени.

До настоящего времени использовался единый шаг дискретизации, который позволяет решить только параметрические изменения объекта управления. В задачах со структурными изменениями постоянный шаг не позволяет получить результаты. Существует более перспективный подход, который связан с эквивалентностью дискретных моделей и многочастотным квантованием. Использование этих принципов составляет основу настоящего исследования.

Для изучения характеристик объекта управления необходимо использовать мелкий шаг, а для управления – более крупный.

Для решения поставленной проблемы необходимы исходные данные не только от объекта управления, но и от генератора сигналов. В реальных системах получить такие данные сложно, поэтому в работе такие сигналы получены с помощью имитационного моделирования.

В данной работе рассматривается комплекс дискретных моделей и способы построения алгоритмов генератора сигналов, для построения которого управляющее устройство выдает необходимое воздействие.

Целью работы является определение момента времени изменения характеристик объекта, функционирующего в режиме реального времени.

Задачи:

1.  Построение генератора сигналов.
2.  Проведение модельных исследований.
3.  Формулировка гипотез относительно произошедших изменений характеристик объекта. Ответ на вопрос: Можно ли, зная входной сигнал и реакцию объекта управления на него, определить следующее: изменился ли объект и каким образом (изменились параметры, а структура осталась прежней или же изменилась структура объекта управления).

Актуальность данной работы состоит в том, что в известной литературе рассматривается в основном параметрическая адаптация системы, то есть изменяются параметры объекта управления, а структура задана. В данной работе рассматривается как параметрическая, так и структурная адаптация объекта управления.

Новизной данной работы является разработка процедур структурных изменений объекта управления, а также рассмотрение принципов многочастотного квантования и эквивалентности моделей применительно к структурным изменениям объекта управления.

Практическая значимость заключается в том, что с помощью рассмотренных простых и однотипных алгоритмов можно определить структурные изменения объекта управления, что, в свою очередь, позволяет широко использовать на практике такой подход.

1.  Обзор литературы
   1.  Основные схемы, описывающие адаптивные системы управления

Рассмотрим основные схемы, описывающие адаптивные системы управления согласно [4].

                                

Рис. 1 Схемы, описывающие адаптивные системы управления

На схеме, представленной на рис. 1а на входы реального объекта и его модели подается один и тот же входной сигнал и затем производит анализ выходных сигналов  и  соответственно. Вычисляется разность выходных сигналов объекта и модели и определяется некоторый критерий приближения модельного объекта к реальному, который отражает численное значение погрешности моделирования. Если это значение достаточно мало, то модель считается удовлетворительной. Основная проблема, которая возникает в данном случае – это выбор критерия, так как при одном значении критерия результат один, а при другом значении - другой.

Согласно схеме, показанной на рис. 1б операции осуществляются не над отдельно взятым объектом, а над системой регулирования в целом. В данном случае модель объекта управления считается удовлетворительной, если разность ошибок управления в системе реального объекта управления и в системе с моделью объекта окажется малой. Сложность использования такой структуры состоит в том, что требуется наличие всей реально работающей системы.

Методы адаптации в системах с идентификацией объектов могут быть пассивными и активными. При пассивной идентификации используются управляющие и возмущающие воздействия, которые действуют на систему в процессе ее работы. В системах с активной идентификацией необходимы специальные идентифицирующие воздействия.

Идентифицирующие воздействия на САУ могут быть сигнальными, параметрическими, алгоритмическими и структурными.

При использовании сигнальных воздействий на вход системы подается специальное внешнее воздействие. Параметрическое воздействие состоит в изменении параметров настройки регулятора. Алгоритмическое воздействие - это временное изменение адаптации алгоритма функционирования регулятора. Структурные воздействия предполагают изменение структурной схемы системы управления.

     

    а                             б

        Рис. 2 Схемы с пассивной идентификацией объекта управления

Рассмотрим следующие схемы с пассивной идентификацией объекта, представленные на Рис.2. Отличие структуры на Рис. 2а от структуры, представленной на Рис. 2б, состоит в том, что на Рис. 2б входное воздействие на идентификатор берется непосредственно от регулирующего воздействия на объект.

Ошибка состоит в том, что регулирующее воздействие, являясь входным воздействием для объекта, не является таковым для системы управления, в составе которой функционирует объект. Входное воздействие не должно зависеть от процессов, происходящих в системе, чего нет в рассматриваемой структуре.

В адаптивных системах управления можно изучать свойства объекта только за счет определенного изменения качества управления по сравнению с качеством, достигаемым при известных свойствах объекта управления. Это можно получить, если управляющее воздействие адаптивного регулятора на объект будет содержать специальную возмущающую составляющую, изменяющую работу данной системы. Для создания адаптивного регулятора на вход объекта помимо управляющего воздействия в этом случае можно подавать еще и дополнительное воздействие от специального внешнего генератора.

1.  Многочастотное квантование и эквивалентность дискретных моделей

Согласно [6] многочастотное квантование - это квантование в дискретных системах, осуществляемое с разными периодами дискретизации.

В работе [6] установлены следующие утверждения:

1.  Установлено взаимно-однозначное соответствие между полосой - плоскости преобразования Лапласа непрерывной передаточной функции и - плоскостью дискретной передаточной функции, которое возможно только при преобразовании , где  - период дискретизации.
2.  Применение согласованного - преобразования при фиксированных нулях и полюсах непрерывной передаточной функции в - плоскости при вариации периода дискретизации в определенных пределах, позволяет взаимо-однозначному множеству нулей и полюсов дискретной передаточной функции сохранить выборочные свойства непрерывного объекта. Именно эти свойства позволяют рассмотреть бинарное отношение «быть моделью» как эквивалентное отношение. В частности, это отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
3.  Для реализации свойства транзитивности бинарного отношения «быть моделью» в [6] разработана процедура нахождения дискретной передаточной функции по измерениям входных и выходных переменных с периодом дискретизации .
4.  Сформулированы дополнительные условия SP-идентифицируемости:

Если предположить, что кроме действительных нулей и полюсов непрерывной передаточной функции существуют комплексно-сопряженные, то мнимые части характеристических точек непрерывной передаточной функции должны удовлетворять соотношению:,где  - величина шага дискретизации.

Отсюда следует, что для динамических объектов, существует интервал значений периодов дискретизации , зависящий от динамических свойств объекта, такой, что для любых  определяются дискретная передаточная функция и непрерывная передаточная функция объекта, а, следовательно, выполняется условие транзитивности. В этом случае дискретные модели объекта получили название эквивалентных моделей.

Пример. Рассмотрим апериодический объект с непрерывной передаточной функцией . На вход подается ступенчатый сигнал , период дискретизации . Определяем идентифицирующую матрицу:

  

Тогда . Следовательно, ; ; .

Изменим период дискретизации , тогда идентифицирующая матрица:

                        

Следовательно, дискретная передаточная функция , ; ; .

Из приведенных расчетов следует, что для любых  непрерывная передаточная функция  будет одна и та же, а дискретная передаточная функция и дискретных моделей бесконечно много.

Также в работе [6] рассматривается многомерный динамический объект, который имеет входных воздействий  и одну выходную переменную .

Влияние входного воздействия  на изменение выходной переменной  называется -ым динамическим каналом объекта . Предполагается, что квантование по времени динамических каналов можно осуществлять как отдельно, так и в совокупности. Далее рассмотрено построение линейной модели рассматриваемого объекта, при условии отсутствия погрешностей измерения.

Решение поставленной задачи предполагает выполнение следующих этапов алгоритма.

1.  Для каждого отдельного канала при условии, что на других каналах каким-либо образом поддерживались постоянные уровни, осуществлялось ступенчатое возмущение с целью получения переходной характеристики канала.
2.  С помощью цифровой техники осуществляется квантование по времени с периодом квантования . Квантование может быть различным по характеру. Например, если  брать малым, то другие значения периодов дискретизации можно брать с помощью операции децимации.
3.  Для каждого  имеются переходные характеристики , где  К полученным измерениям применяется модифицированный алгоритм В. Висковатова. Находим по идентифицирующей матрице дискретную передаточную функцию . По этой функции восстанавливаем  и для этих передаточных функций находим их нули и полюса. Изменяем и повторяем предыдущие операции, определяем  и  и их характеристические точки.
4.  Для -ного канала находим общую неизменную часть , имеющие одинаковые нули и полюса непрерывной передаточной функции, а также оцениваем интервал значений периодов дискретизации .
5.  Определяем общий интервал значений периодов дискретизации для всех каналов динамического объекта, на котором выполняется эквивалентность дискретных моделей: .

Если , то задача решений не имеет. В противном случае, выбираем требуемое значение периода  (возможен вариант выбора таких периодов квантования в виде некоторой совокупности).

1.  Зная для каждого -ного динамического канала  и период , с помощью модифицированного метода В. Висковатова, находим дискретную передаточную функцию .
2.  Далее формируем характеристический многочлен многомерного объекта путем умножения и числителя и знаменателя дискретной передаточной функции на недостающие члены , где  находится из соотношения .

Пример. Пусть дан объект

                                      Рис. 3 Объект управления

Первый канал объекта  имеет передаточную функцию . Для первого канала период дискретизации  и . Для второго канала , . Требуется построить дискретную модель и определить реакцию этого объекта на определенный вид входных сигналов.

Для первого канала:

1.  

1.  

Анализ результатов идентификации приводит к выводу, что если период квантования , то бесконечное множество дискретных моделей эквивалентно динамическому объекту с непрерывной передаточной функцией  при входном ступенчатом воздействии .

Второй канал объекта  идентифицируется при периодах квантования  и :

1.  для  идентифицирующая матрица имеет вид:

.

1.  Для :

Дискретная передаточная функция:

,

которая имеет отрицательный нуль  и нуль , два полюса:  и  и, соответственно, в -плоскости для данного объекта нулей нет, а полюса принимают значения , . Дискретная модель в форме разностного уравнения восстанавливает значения выходной переменной с относительной погрешностью .

Для построения двумерной дискретной модели рассматриваемого объекта, сначала требуется выбрать синхронизированный период дискретизации из .

Для первого канала из согласованного -преобразования находим искомый  для , находим из условия постоянства полюса для динамического объекта, т.е. так как , то . В нашем случае , , , тогда . Тогда из условия, что коэффициент передачи первого канала , окончательно получаем ,

    ,     

а для второго канала передаточная функция:

    .    

 Если  нет, то необходимо перейти к непрерывной передаточной функции, после чего найти переходную характеристику, а затем, с помощью алгоритма В. Висковатова, получить искомую дискретную передаточную функцию.

Тогда после операции синхронизации, осуществимой из свойства транзитивности условия эквивалентности дискретных моделей, получим общую модель объекта , где , а .

Тогда:

 

Положим

  , а    

В этом случае дискретная математическая модель примет вид:

 

Время	0	1	2	3	4	5	6	7
	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
	0	0	0	2	2	2	2	2
	0	0,243	0,368	0,432	1,264	1,977	2,297	2,423
	0	0,243	0,368	0,433	1,266	1,977	2,292	2,415

Таблица 1. Результаты расчетов

Как видно из приведенных результатов в Таблице 1, максимальная относительная погрешность, определяемая из соотношения

не превосходит , что связано с погрешностями округлений и расчетов.

Таким образом, в работе [6], предложен алгоритм использования бинарного отношения «быть моделью» и механизм реализации свойства транзитивности множества дискретных моделей при вариации периода квантования по времени. Именно эти и другие свойства позволили ввести понятие эквивалентности дискретных моделей. В частности неиспользование эквивалентности не позволяет в полной мере применять на практике многочастотное квантование в дискретных системах как один из подходов построения высокоэффективных систем.

2. Построение генератора сигналов

Схема на Рис. 3 представляет собой схему с активной идентификацией объекта управления:

            u(t) y(t)

Рис. 4 Система управления с активной идентификацией объекта управления

Данная схема состоит из идентификатора, оценивающего модель объекта, оптимизатора, в котором производится расчет настройки регулятора на очередном шаге, генератора, от которого во время процедуры адаптации на вход регулятора подается воздействие в виде ступенчатой функции и регистрируется изменение объекта управления, а также блока анализа сигналов, полученных от регулятора и объекта управления.

Работа системы происходит следующим образом.

На вход регулятора подается ступенчатое внешнее возмущающее воздействие u(t). Реакция на это воздействие (изменение во времени регулируемой величины) - y(t)). Далее в блоке предварительной оценки изменения объекта управления происходит анализ полученных сигналов от объекта управления и, в совокупности с входным возмущающим воздействием делается вывод об изменении или не изменении объекта управления.

Выделяют две основные группы: параметрически и структурно оптимизируемые системы управления. Системы, структура которых, то есть вид и порядок описывающих их уравнений, задана, а свободные параметры подстраиваются под управляемый объект, называются параметрически оптимизируемыми. Системы управления называются структурно оптимизируемыми, если структура, и параметры регулятора оптимально подстраиваются под структуру и параметры модели объекта.

Согласно [7], адаптивные системы – это системы, обладающие способностью самостоятельно уточнять параметры настройки регулятора при первоначальных неизвестных, а также непредвиденно меняющихся во времени свойствах объекта управления.

Также автор [7] утверждает, что, в одной стороны, адаптация не нужна, так как обычно непредвиденные изменения объекта управления происходят достаточно редко, но, с другой стороны, адаптацию нужно проводить на каждом временном шаге.  

Управляющее устройство ориентировано на конкретные свойства объекта. Если объект управления изменился, то управляющее устройство адаптируется (перестраивается) под эти изменения.

Рассмотрим более подробно следующий блок:

                                      

               u(t)

                                                  y(t)

Рис. 5 Блок системы управления с активной идентификацией объекта управления

С помощью генератора сигналов на вход подается ступенчатый сигнал u(t), на выходе мы имеем некоторый сигнал y(t), структура которого нам заранее неизвестна. Можем ли мы, проанализировав полученный сигнал y(t), определить изменение объекта управления в режиме реального времени и, в зависимости от полученных данных, определить текущее управление объектом.

При изменении характеристик объекта управления необходимо изменить систему управления (управляющий алгоритм). Возникает проблема: как смоделировать такой сигнал y(t), который говорит о том, что объект управления изменил свою характеристику.

Важнейшую роль при адаптивном управлении играет принцип эквивалентности дискретных моделей при выборе периода дискретизации  и использовании алгоритмов непрерывных дробей при решении задач структурно-параметрической идентификации.

Постановка задачи

Построить генератор сигналов, который будет подавать композицию ступенчатых сигналов на вход объекта управления. Проанализировать полученный выходной сигнал y(t), сделав выводы о том, изменился ли объект управления, и, если изменился, то каким образом.

Генератор сигналов - это устройство, позволяющее получать сигнал определённой природы и имеющий заданные характеристики. Генераторы вырабатывают изменяющиеся во времени или постоянные сигналы. Они используются для проверки, настройки и тестирования управляющего устройства. Роль генератора для данной работы – в зависимости от полученного сигнала от генератора на объект управления получаем значения реакции объекта для дальнейшего анализа структуры объекта управления, а также его управления.

Единичный ступенчатый сигнал – это сигнал, который при t>=0 равен 1, а при t<0 численно равен нулю (рис. 6).

      1(t)

 1

1.  t

                                      

                     Рис. 6 Единичный ступенчатый сигнал

В данной работе будем рассматривать только дискретные сигналы. В силу своей дискретности входящий сигнал имеет ступенчатую структуру с некоторым коэффициентом , подающийся на каждом n-том временном участке соответственно (рис. 2). Например, на интервале подается ступенчатый сигнал с коэффициентом , на втором интервале ступенчатый сигнал с коэффициентом  и так далее. Таким образом, суммарный сигнал на интервале будет иметь вид ( -  ), на интервале (2; n) - вид ( -  ) и так далее.

 u(t)

 

                                                                        

 

 

 0                                                                 t

Рис. 7 Входное возмущающее воздействие

Далее проиллюстрируем входной ступенчатый сигнал u(t) и реакцию объекта управления на него y(t), где

t=0 – начальный момент времени

- амплитуда ступенчатого сигнала на каждом интервале времени

- период дискретизации

n – количество интервалов

u(t)       

 

y(t)               

0        t

 

                       (-)

0                                                                      t

                         

                      (-)

Рис. 8 Реакция объекта управления на возмущающее воздействие

На интервале  на вход подается ступенчатый сигнал , где 1(t) – единичный ступенчатый сигнал и - амплитуда сигнала. Реакция объекта на данном интервале будет равна  (для апериодического объекта первого порядка). Затем на интервале при амплитуде , подается возмущающее воздействие, и результатом воздействия данного сигнала будет являться  (значение ступенчатого воздействия на предыдущем интервале складывается со значением на текущем интервале и вычитается сигнал ). Тогда выходной сигнал:  

График строится из точки , проходя через точку  и так далее для всех интервалов. Так, для n-того воздействия с амплитудой  воздействие будет равно:  

Отсюда получаем следующую формулу представления такого сигнала:

               

С помощью преобразования Лапласа найдем реакцию объекта при входном возмущающем воздействии u(t):

   Алгоритм получения суммарной функции (реакции) объекта при входном воздействии в виде u(t):

1.  Т.к. , то задаем множество точек , в которых определяем числовое значение выходной переменной.
2.  Определяем, какому интервалу принадлежит точка :

Например, если <0, то по формуле y(t)=0, если , то берется соответствующая сумма:

И так для всех точек , которые и есть дискретное представление реакции объекта.

Нетрудно обобщить полученные формулы для любого линейного объекта конечного порядка с передаточной функцией G(s) с входным воздействием вида

t	<0			…………………….
u(t)	0			…………………..		О()

Выпишем выведенную формулу входного ступенчатого сигнала   для каждого интервала

где 1(t) – единичный ступенчатый сигнал,  - амплитуда этого сигнала (коэффициент).

Преобразование Лапласа входного воздействия u(t) для каждого интервала примет вид:

Далее найдем Y(s) согласно формуле

Тогда реакция объекта на каждом интервале времени на входной сигнал имеет следующий вид (произведем обратное преобразование Лапласа предыдущей формулы), получим:

 

Используя предыдущие результаты, для любого объекта конечного порядка с разными передаточными функциями  и входным воздействием вида

t	<0			…………………….
u(t)	0			…………………..		О()

Преобразование Лапласа для входного воздействия:

 

Выходной сигнал в общем случае примет вид:

1.  Проведение модельных исследований
   1.  Передаточная функция G(s) не изменяется
      1.  Функция G(s) описана апериодическим звеном первого порядка

Пример 1. Подсчитаем, для k=1, T=0,5cек,

Передаточная функция и переходная характеристика для апериодического объекта первого порядка имеют вид:

и 

Тогда для данного примера:

Выходной сигнал при ступенчатом воздействии с данными амплитудами примет вид согласно выведенной ранее формуле для представления реакции объекта управления на входящее воздействие на каждом интервале времени:

                          

Построим график данной функции:

Найдем значения функции y(t) в каждый момент времени с шагом t=0,5сек.

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	1,896362				1,896362
3	1	2,593994				2,593994
4	1,5	2,850639				2,850639
5	2	2,945053				2,945053
6	2,5	2,979786				2,979786
7	3	2,992564	0			2,992564
8	3,5	2,997264	-1,264241			1,733023
9	4	2,998994	-1,729329			1,269664
10	4,5	2,99963	-1,900426			1,099204
11	5	2,999864	-1,963369			1,036495
12	5,5	2,99995	-1,986524			1,013426
13	6	2,999982	-1,995042	0		1,004939
14	6,5	2,999993	-1,998176	0,632121		1,633938
15	7	2,999998	-1,999329	0,864665		1,865333
16	7,5	2,999999	-1,999753	0,950213		1,950459
17	8	3	-1,999909	0,981684		1,981775
18	8,5	3	-1,999967	0,993262		1,993295
19	9	3	-1,999988	0,997521	0	1,997533
20	9,5	3	-1,999995	0,999088	-1,264241	0,734852
21	10	3	-1,999998	0,999665	-1,729329	0,270337

Рис. 9 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) не изменяется

Далее построим матрицу Висковатова, используя модифицированный метод Висковатова. Согласно данному методу так как объект первого порядка во второй строке получившейся матрицы должны быть нулевые элементы.

0,5	1	1,5	2	2,5	3
3	3	3	3	3	1
1,896362	2,593994	2,850639	2,945053	2,979786	2,992564
-0,367879	-0,503215	-0,553002	-0,571317	-1,244722	-0,580534
0,000000	0,000000	0,000000	-1,812188	0,000000	0,000000

3,5	4	4,5	5	5,5	6
1	1	1	1	1	2
1,733023	1,269664	1,099204	1,036495	1,013426	1,004939
-0,336193	-0,246305	-0,213237	-0,201072	0,136737	-0,194950
0,000000	0,000000	0,000000	0,906094	0,000000	0,000000

6,5	7	7,5	8	8,5	9
2	2	2	2	2	0
1,633938	1,865333	1,950459	1,981775	1,993295	1,997533
-0,316971	-0,361860	-0,378374	-0,384449	-1,053350	-0,387506
0,000000	0,000000	0,000000	-1,812188	0,000000	0,000000

Мы видим, что в момент времени (в нашем случае t=3 сек.), когда изменилось входное воздействие, в нулевой строке матрицы Висковатова появляется ненулевой элемент, а затем значения опять устанавливаются на нулевое значение. Также в моменты времени , когда вновь изменилось входное воздействие, появляется ненулевой элемент.

Пример 2. Подсчитаем, для k=1, T=1cек,

Тогда выходной сигнал:

 

    Построим график данной функции:

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	0,393469				0,393469
3	1	0,632121				0,632121
4	1,5	0,77687				0,776870
5	2	0,864665				0,864665
6	2,5	0,917915				0,917915
7	3	0,950213	0			0,950213
8	3,5	0,969803	0,393469			1,363272
9	4	0,981684	0,632121			1,613805
10	4,5	0,988891	0,776870			1,765761
11	5	0,993262	0,864665			1,857927
12	5,5	0,995913	0,917915			1,913828
13	6	0,997521	0,950213	0		1,947734
14	6,5	0,998497	0,969803	-1,180408		0,787891
15	7	0,999088	0,981684	-1,896362		0,084411
16	7,5	0,999447	0,988891	-2,330610		-0,342272
17	8	0,999665	0,993262	-2,593994		-0,601068
18	8,5	0,999797	0,995913	-2,753745		-0,758035
19	9	0,999877	0,997521	-2,850639	0	-0,853241
20	9,5	0,999925	0,998497	-2,909408	0,393469	-0,517517
21	10	0,999955	0,999088	-2,945053	0,632121	-0,313890

Рис. 10 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) не изменяется

Далее построим матрицу Висковатова.

0,5	1	1,5	2	2,5	3
1	1	1	1	1	2
0,393469	0,632121	0,776870	0,864665	0,917915	0,950213
-0,606531	-0,974410	-1,197540	-1,332876	-0,414961	-1,464748
0,000000	0,000000	0,000000	1,648721	0,000000	0,000000

3,5	4	4,5	5	5,5	6
2	2	2	2	2	-1
1,363272	1,613805	1,765761	1,857927	1,913828	1,947734
-2,101476	-2,487671	-2,721910	-2,863983	-5,950155	-3,002421
0,000000	0,000000	0,000000	-4,946164	0,000000	0,000000

6,5	7	7,5	8	8,5	9
-1	-1	-1	-1	-1	0
0,787891	0,084411	-0,342272	-0,601068	-0,758035	-0,853241
-1,214530	-0,130119	0,527610	0,926542	2,168507	1,315266
0,000000	0,000000	0,000000	1,648721	0,000000	0,000000

В данном примере мы также видим, что в моменты времени, когда изменяется входное воздействие, в нулевой строке матрицы Висковатова появляется ненулевой элемент, а затем значения опять устанавливаются на 0.

Пример3. Подсчитаем для T=2сек,

   

 Построим график данной функции:

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	0,221199				0,221199
3	1	0,393469				0,393469
4	1,5	0,527633				0,527633
5	2	0,632121				0,632121
6	2,5	0,713495				0,713495
7	3	0,77687	0			0,776870
8	3,5	0,826226	0,221199			1,047425
9	4	0,864665	0,393469			1,258134
10	4,5	0,894601	0,527633			1,422234
11	5	0,917915	0,632121			1,550036
12	5,5	0,936072	0,713495			1,649567
13	6	0,950213	0,776870	0		1,727083
14	6,5	0,961226	0,826226	0,221199		2,008651
15	7	0,969803	0,864665	0,393469		2,227937
16	7,5	0,976482	0,894601	0,527633		2,398716
17	8	0,981684	0,917915	0,632121		2,531720
18	8,5	0,985736	0,936072	0,713495		2,635303
19	9	0,988891	0,950213	0,776870	0	2,715974
20	9,5	0,991348	0,961226	0,826226	-0,663598	2,115203
21	10	0,993262	0,969803	0,864665	-1,180408	1,647321

Рис. 11 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) не изменяется

Матрица Висковатова для данного примера выглядит следующим образом:

0,5	1	1,5	2	2,5	3
1	1	1	1	1	2
0,221199	0,393469	0,527633	0,632121	0,713495	0,776870
-0,778801	-1,385331	-1,857698	-2,225577	-1,512082	-2,735212
0,000000	0,000000	0,000000	1,284025	0,000000	0,000000

3,5	4	4,5	5	5,5	6
2	2	2	2	2	3
1,047425	1,258134	1,422234	1,550036	1,649567	1,727083
-3,687787	-4,429653	-5,007419	-5,457383	-4,807816	-6,080733
0,000000	0,000000	0,000000	1,284025	0,000000	0,000000

6,5	7	7,5	8	8,5	9
3	3	3	3	3	0
2,008651	2,227937	2,398716	2,531720	2,635303	2,715974
-7,072082	-7,844145	-8,445429	-8,913709	-12,278406	-9,562432
0,000000	0,000000	0,000000	-3,852076	0,000000	0,000000

И в данном примере мы получаем аналогичный результат.

1.  Функция G(s) описана интегрирующим звеном

Пример 1. Подсчитаем, для k=1,

Передаточная функция и переходная характеристика для объекта данного вида имеют вид:

и 

Тогда для данного примера:

Выходной сигнал при ступенчатом воздействии примет вид:

                          

Построим график данной функции:

Найдем значения функции в каждый момент времени с шагом t=0,5сек.

N	t	y(t) на [0;3)	y(t) на [3;6)	y(t) на [6;9)	y(t) на [9;12)	y(t)
1	0	0,000000				0
2	0,5	1,500000				1,500000
3	1	3,000000				3,000000
4	1,5	4,500000				4,500000
5	2	6,000000				6,000000
6	2,5	7,500000				7,500000
7	3		9,000000			9,000000
8	3,5		9,500000			9,500000
9	4		10,000000			10,000000
10	4,5		10,500000			10,500000
11	5		11,000000			11,000000
12	5,5		11,500000			11,500000
13	6			12,000000		12,000000
14	6,5			13,000000		13,000000
15	7			14,000000		14,000000
16	7,5			15,000000		15,000000
17	8			16,000000		16,000000
18	8,5			17,000000		17,000000
19	9				17,000000	17,000000
20	9,5				17,000000	17,000000
21	10				17,000000	17,000000

Рис. 12 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) не изменяется

Далее построим матрицу Висковатова, используя модифицированный метод Висковатова. Согласно данному метода во второй строке получившейся матрицы должны быть нулевые элементы, так как объект первого порядка.

0,5	1	1,5	2	2,5	3
3	3	3	3	3	1
1,500000	3,000000	4,500000	6,000000	7,500000	9,000000
-1,000000	-2,000000	-3,000000	-4,000000	-5,666667	-6,000000
0,000000	0,000000	0,000000	-0,666667	0,000000	0,000000

3,5		4		4,5		5	5,5		6
1		1		1		1	1		2
9,500000		10,000000		10,500000		11,000000	11,500000		12,000000
-6,333333		-6,666667		-7,000000		-7,333333	-7,333333		-8,000000
0,000000		0,000000		0,000000		0,333333	0,000000		0,000000
6,5	7		7,5		8			8,5		9
2	2		2		2			2		0
13,000000	14,000000		15,000000		16,000000			17,000000		18,000000
-8,666667	-9,333333		-10,000000		-10,666667			-12,000000		-12,000000
0,000000	0,000000		0,000000		-0,666667			0,000000		0,000000

Мы видим, что в момент времени (в нашем случае t=3 сек.), когда изменилось входное воздействие, в нулевой строке матрицы Висковатова появляется ненулевой элемент, а затем значения опять устанавливаются на нулевое значение. Также в моменты времени , когда вновь изменилось входное воздействие, появляется ненулевой элемент.

Пример 2. Подсчитаем, для k=1,

Тогда выходной сигнал:

 

    Построим график данной функции:

1	0	0,000000				0
2	0,5	0,500000				0,500000
3	1	1,000000				1,000000
4	1,5	1,500000				1,500000
5	2	2,000000				2,000000
6	2,5	2,500000				2,500000
7	3		3,000000			3,000000
8	3,5		4,500000			4,500000
9	4		6,000000			6,000000
10	4,5		7,500000			7,500000
11	5		9,000000			9,000000
12	5,5		10,500000			10,500000
13	6			12,000000		12,000000
14	6,5			13,000000		13,000000
15	7			14,000000		14,000000
16	7,5			15,000000		15,000000
17	8			16,000000		16,000000
18	8,5			17,000000		17,000000
19	9				18,000000	18,000000
20	9,5				18,000000	18,000000
21	10				18,000000	18,000000

Рис. 13 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) не изменяется

Далее построим матрицу Висковатова.

0,5	1	1,5	2	2,5	3
1	1	1	1	1	3
0,500000	1,000000	1,500000	2,000000	2,500000	3,000000
-1,000000	-2,000000	-3,000000	-4,000000	-3,000000	-6,000000
0,000000	0,000000	0,000000	2,000000	0,000000	0,000000

3,5	4	4,5	5	5,5	6
3	3	3	3	3	2
4,500000	6,000000	7,500000	9,000000	10,500000	12,000000
-9,000000	-12,000000	-15,000000	-18,000000	-22,000000	-24,000000
0,000000	0,000000	0,000000	-1,000000	0,000000	0,000000

6,5	7	7,5	8	8,5	9
2	2	2	2	2	0
13,000000	14,000000	15,000000	16,000000	17,000000	18,000000
-26,000000	-28,000000	-30,000000	-32,000000	-36,000000	-36,000000
0,000000	0,000000	0,000000	-2,000000	0,000000	0,000000

В данном примере мы также видим, что в моменты времени, когда изменяется входное воздействие, в нулевой строке матрицы Висковатова появляется ненулевой элемент, а затем значения опять устанавливаются на 0.

Пример3. Подсчитаем для

   

 Построим график данной функции:

1	0	0,000000				0
2	0,5	0,500000				0,500000
3	1	1,000000				1,000000
4	1,5	1,500000				1,500000
5	2	2,000000				2,000000
6	2,5	2,500000				2,500000
7	3		3,000000			3,000000
8	3,5		4,000000			4,000000
9	4		5,000000			5,000000
10	4,5		6,000000			6,000000
11	5		7,000000			7,000000
12	5,5		8,000000			8,000000
13	6			9,000000		9,000000
14	6,5			10,500000		10,500000
15	7			12,000000		12,000000
16	7,5			13,500000		13,500000
17	8			15,000000		15,000000
18	8,5			16,500000		16,500000
19	9				18,000000	18,000000
20	9,5				18,000000	18,000000
21	10				18,000000	18,000000

Рис. 14 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) не изменяется

Матрица Висковатова для данного примера выглядит следующим образом:

0,5	1	1,5	2	2,5	3
1	1	1	1	1	2
0,500000	1,000000	1,500000	2,000000	2,500000	3,000000
-1,000000	-2,000000	-3,000000	-4,000000	-4,000000	-6,000000
0,000000	0,000000	0,000000	1,000000	0,000000	0,000000

3,5	4	4,5	5	5,5	6
2	2	2	2	2	3
4,000000	5,000000	6,000000	7,000000	8,000000	9,000000
-8,000000	-10,000000	-12,000000	-14,000000	-15,000000	-18,000000
0,000000	0,000000	0,000000	1,000000	0,000000	0,000000

6,5	7	7,5	8	8,5	9
3	3	3	3	3	3
10,500000	12,000000	13,500000	15,000000	16,500000	18,000000
-21,000000	-24,000000	-27,000000	-30,000000	-33,000000	-36,000000
0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000

Получаем аналогичный результат.

1.  Передаточная функция G(s) изменяется параметрически

В этом случае мы имеем дело с параметрической идентификацией объекта (структура остается прежней, а параметры объекта изменяются).

Пример 1.

Пусть на первом интервале мы имеем апериодический объект первого порядка с T=1сек., затем на втором интервале объект меняет свою характеристику, а именно T=3сек., на третьем интервале параметр T=0,5сек.

Подсчитаем, если

Выходной сигнал согласно выведенной формуле представляет собой:

                         

Построим график данной функции на всем исследуемом интервале:

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	1,180408				1,180408
3	1	1,896362				1,896362
4	1,5	2,33061				2,330610
5	2	2,593994				2,593994
6	2,5	2,753745				2,753745
7	3	2,850639	0			2,850639
8	3,5	2,909408	-0,307037			2,602371
9	4	2,945053	-0,566937			2,378116
10	4,5	2,966673	-0,786939			2,179734
11	5	2,979786	-0,973166			2,006620
12	5,5	2,98774	-1,130804			1,856936
13	6	2,992564	-1,264241	0		1,728323
14	6,5	2,99549	-1,377194	0,632121		2,250417
15	7	2,997264	-1,472806	0,864665		2,389123
16	7,5	2,998341	-1,553740	0,950213		2,394814
17	8	2,998994	-1,622249	0,981684		2,358429
18	8,5	2,99939	-1,680241	0,993262		2,312411
19	9	2,99963	-1,729329	0,997521	0	2,267822
20	9,5	2,999775	-1,770882	0,999088	-1,264241	0,963740
21	10	2,999864	-1,806056	0,999665	-1,729329	0,464143

Рис. 15 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) изменяется параметрически

Так же, как в первом случае построим матрицу Висковатова, чтобы определить реакцию объекта управления на входное возмущающее воздействие.

0,5	1		1,5			2		2,5		3
3	3		3			3		3		1
1,180408	1,896362		2,330610			2,593994		2,753745		2,850639
-0,606531	-0,974410		-1,197540			-1,332876		-2,081627		-1,871304
0,000000	0,000000		0,000000			-1,099148		-0,670298		-0,567395
3,5		4		4,5	5		5,5		6
1		1		1	1		1		2
2,602371		2,378116		2,179734	2,006620		1,856936		1,728323
-1,681322		-1,513261		-1,366605	-1,239797		-0,797507		-1,239807
-0,480289		-0,406556		-0,344142	0,258264		-0,579922		-0,331359

6,5	7	7,5	8	8,5	9
2	2	2	2	2	0
2,250417	2,389123	2,394814	2,358429	2,312411	2,267822
-1,357314	-1,362135	-1,331311	-1,292326	-1,921218	-0,816447
-0,221800	-0,166159	-0,132708	-1,208561	0,575125	0,168160

В данном случае мы видим, что во второй строке в момент времени появляется ненулевой элемент, но далее значение на ноль не устанавливается. Для последующего анализа реакции объекта, отбросим первый интервал [0;3). Построим матрицу Висковатова, начиная с момента времени t=3 сек.:

3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
1	1	1	1	1	1	2
2,85063	2,60237	2,37811	2,17973	2,00662	1,85693	1,72832
0,08709	0,16576	0,23535	0,29608	0,34858	1,39370	1,21055
-0,99037	-1,86810	-2,63498	-3,29862	-15,35130	-13,29347	-12,55162
0,01701	0,04174	0,06894	-11,49796	2,58003	1,22614	0,73972

Анализируя третью строку данной матрицы, видим, что до момента времени t=6 сек. значения в строке приближены к нулю. Будем считать, что третья строка данной матрицы – нулевая.

Пример 2.

Подсчитаем, если

                         

Построим график:

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	0,393469				0,393469
3	1	0,632121				0,632121
4	1,5	0,77687				0,776870
5	2	0,864665				0,864665
6	2,5	0,917915				0,917915
7	3	0,950213	0			0,950213
8	3,5	0,969803	-0,307037			0,662766
9	4	0,981684	-0,566937			0,414747
10	4,5	0,988891	-0,786939			0,201952
11	5	0,993262	-0,973166			0,020096
12	5,5	0,995913	-1,130804			-0,134890
13	6	0,997521	-1,264241	0		-0,266720
14	6,5	0,998497	-1,377194	1,896362		1,517665
15	7	0,999088	-1,472806	2,593994		2,120277
16	7,5	0,999447	-1,553740	2,850639		2,296346
17	8	0,999665	-1,622249	2,945053		2,322469
18	8,5	0,999797	-1,680241	2,979786		2,299342
19	9	0,999877	-1,729329	2,992564	0	2,263111
20	9,5	0,999925	-1,770882	2,997264	-1,264241	0,962066
21	10	0,999955	-1,806056	2,998994	-1,729329	0,463563

Рис. 16 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) изменяется параметрически

Матрица Висковатова:

0,5	1	1,5	2	2,5	3
1	1	1	1	1	-1
0,393469	0,632121	0,776870	0,864665	0,917915	0,950213
-0,606531	-0,974410	-1,197540	-1,332876	-3,414961	-2,684416
0,000000	0,000000	0,000000	-3,297443	-2,010893	-1,702184

3,5	4	4,5	5	5,5	6
-1	-1	-1	-1	-1	2
0,662766	0,414747	0,201952	0,020096	-0,134890	-0,266720
-2,054077	-1,513261	-1,051075	-0,657177	2,677867	-1,857136
-1,440868	-1,219668	-1,032427	4,072233	-3,739766	-1,729837

6,5	7	7,5	8	8,5	9
2	2	2	2	2	0
1,517665	2,120277	2,296346	2,322469	2,299342	2,263111
-3,388670	-3,836150	-3,902541	-3,843765	-5,751683	-2,445085
-0,936072	-0,598052	-0,434756	-3,639157	1,720419	0,502658

В данном примере мы также видим, что в нулевой строке в момент времени появляется ненулевой элемент, но далее значение на ноль не устанавливается. Для последующего анализа реакции объекта, отбросим первый интервал [0;3). Начнем строить матрицу Висковатова с момента времени t=3 сек.:

3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
-1	-1	-1	-1	-1	-1	2
0,950213	0,662766	0,414747	0,201952	0,020096	-0,134890	-0,266720
0,302508	0,563522	0,787466	0,978851	1,141958	-1,719305	-3,597184
-1,165342	-2,166649	-3,023253	-3,753821	5,541548	11,610513	15,584821
0,003597	0,008823	0,014569	8,530266	4,279672	1,482390	0,455788

Анализируя третью строку данной матрицы, видим, что до момента времени t=6 сек. значения в строке приближены к нулю. Будем считать, что третья строка данной матрицы – нулевая.

Пример 3.

Подсчитаем, если

                      

График:

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	-0,221199				-0,221199
3	1	-0,393469				-0,393469
4	1,5	-0,527633				-0,527633
5	2	-0,632121				-0,632121
6	2,5	-0,713495				-0,713495
7	3	-0,776870	0			-0,776870
8	3,5	-0,826226	1,896362			1,070136
9	4	-0,864665	2,593994			1,729329
10	4,5	-0,894601	2,850639			1,956038
11	5	-0,917915	2,945053			2,027138
12	5,5	-0,936072	2,979786			2,043714
13	6	-0,950213	2,992564	0		2,042351
14	6,5	-0,961226	2,997264	0,095163		2,131201
15	7	-0,969803	2,998994	0,181269		2,210460
16	7,5	-0,976482	2,999630	0,259182		2,282329
17	8	-0,981684	2,999864	0,329680		2,347859
18	8,5	-0,985736	2,999950	0,393469		2,407683
19	9	-0,988891	2,999982	0,451188	0	2,462279
20	9,5	-0,991348	2,999993	0,503415	-0,285488	2,226572
21	10	-0,993262	2,999998	0,550671	-0,543808	2,013599

Рис. 17 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) изменяется параметрически

Матрица Висковатова:

0,5	1	1,5	2	2,5	3
-1	-1	-1	-1	-1	2
-0,221199	-0,393469	-0,527633	-0,632121	-0,713495	-0,776870
-0,778801	-1,385331	-1,857698	-2,225577	-5,512082	2,837882
0,000000	0,000000	0,000000	-3,852076	7,155994	2,632543

3,5	4	4,5	5	5,5	6
2	2	2	2	2	3
1,070136	1,729329	1,956038	2,027138	2,043714	2,042351
5,817973	6,842879	7,164309	7,239246	6,233083	6,634759
0,968459	0,356276	0,131067	-1,235809	-0,713884	-0,655474

6,5	7	7,5	8	8,5	9
3	3	3	3	3	0
2,131201	2,210460	2,282329	2,347859	2,407683	2,462279
6,993074	7,317981	7,614230	7,884684	11,131499	10,065912
-0,596601	-0,541116	-0,490096	3,408445	1,793388	1,622701

Аналогичная ситуация в третьем примере, анализируем матрицу, построенную с момента времени t=3сек.

3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
2	2	2	2	2	2	3
-0,776870	1,070136	1,729329	1,956038	2,027138	2,043714	2,042351
2,377497	3,226022	3,517845	3,609366	3,630703	4,128949	4,243318
-2,734395	-3,705665	-4,035983	-4,136478	-4,367382	-4,413733	-4,571014
0,001694	0,003637	0,005379	-0,070090	0,122526	0,113111	0,104482

Третью строку принимаем за нулевую.

1.  Передаточная функция G(s) изменяется структурно

Мы имеем дело со структурной идентификацией объекта (объект управления изменяет порядок).

Пример 1.

Пусть передаточная функция объекта управления изменяется не только по параметрам, но и по структуре – на первом и третьем интервале мы имеем апериодический объект первого порядка, а на втором – апериодический объект второго порядка.

Подсчитаем, если

                         

График данной функции:

N	t	y(t) > 0	y(t) > 3	y(t) > 6	y(t)  > 9	y(t)
1	0	0				0
2	0,5	1,180408				1,180408
3	1	1,896362				1,896362
4	1,5	2,330610				2,330610
5	2	2,593994				2,593994
6	2,5	2,753745				2,753745
7	3	2,850639	0			2,850639
8	3,5	2,909408	-0,097858			2,811550
9	4	2,945053	-0,309636			2,635417
10	4,5	2,966673	-0,556794			2,409879
11	5	2,979786	-0,799153			2,180633
12	5,5	2,987740	-1,018151			1,969589
13	6	2,992564	-1,207053	0		1,785510
14	6,5	2,995490	-1,365299	0,221199		1,851390
15	7	2,997264	-1,495290	0,393469		1,895444
16	7,5	2,998341	-1,600621	0,527633		1,925353
17	8	2,998994	-1,685136	0,632121		1,945978
18	8,5	2,999390	-1,752462	0,713495		1,960423
19	9	2,999630	-1,805809	0,776870	0	1,970690
20	9,5	2,999775	-1,847910	0,826226	-0,442398	1,535693
21	10	2,999864	-1,881034	0,864665	-0,786939	1,196556

Рис. 18 Реакция ОУ на возмущающее воздействие, если G(s) изменяется структурно

Строим матрицу Висковатова:

0,5	1	1,5	2	2,5	3
3	3	3	3	3	1
1,180408	1,896362	2,330610	2,593994	2,753745	2,850639
-0,606531	-0,974410	-1,197540	-1,332876	-2,081627	-2,048512
0,000000	0,000000	0,000000	-1,099148	-0,962465	-0,749569

3,5	4	4,5	5	5,5	6
1	1	1	1	1	2
2,811550	2,635417	2,409879	2,180633	1,969589	1,785510
-1,899299	-1,708231	-1,514022	-1,335233	-0,845955	-0,901765
-0,583765	-0,454636	-0,354071	0,273823	0,025861	0,020141

6,5	7	7,5	8	8,5	9
2	2	2	2	2	0
1,851390	1,895444	1,925353	1,945978	1,960423	1,970690
-0,939086	-0,964425	-0,981897	-0,994134	-1,669499	-1,300985
0,015686	0,012216	0,009514	-1,091738	-0,475462	-0,370290

Видно, что в момент времени t=3сек. в нулевой строке появляется ненулевой элемент и не устанавливается на ноль, как и в случае параметрического изменения модели. Далее рассмотрим матрицу Висковатова, построенную с момента времени t=3сек.:

3	3,5	4	4,5	5	5,5	6
1	1	1	1	1	1	2
2,85063	2,81155	2,63541	2,40987	2,18063	1,96958	1,78551
0,01371	0,07550	0,15461	0,23503	0,30907	1,37364	1,35053
-4,51964	-10,35126	-16,29507	-21,77454	-99,48441	-97,86362