38708

Построение обобщенных моделей Марковица, а также разработка методов оптимизации портфеля по этим моделям

Диссертация

Менеджмент, консалтинг и предпринимательство

Развитие математической модели нечеткой случайной величины для решения задач портфельного анализа. В первой главе диссертации развивается модель нечеткой случайной величины разработанная в работе [72]. Основное внимание направлено на представление нечеткой случайной величины и разработку исчисления позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечеткой случайной величины: ожидаемое значение коэффициенты ковариации и дисперсию. Определение нечеткой случайной величины.

Русский

2013-09-29

1.48 MB

40 чел.

1. Развитие математической модели нечеткой случайной величины для решения задач портфельного анализа.

В первой главе диссертации развивается модель нечеткой случайной величины, разработанная в работе [72]. Основное внимание направлено на представление нечеткой случайной величины и разработку исчисления, позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечеткой случайной величины: ожидаемое значение, коэффициенты ковариации и дисперсию.

1.1. Определение нечеткой случайной величины.

В настоящее время интенсивно развивается теория нечетких случайных величин и нечетких стохастических процессов. Она находит свое применение в таких научных областях, как математическая экономика, управление процессами и теория принятия решений [72].

Нечеткая случайная величина есть математическая модель случайного эксперимента с нечетким исходом [78,87,88]. Прежде, чем перейти к ее формальному определению, введем некоторые базовые понятия из теории возможностей [87].

Для начала введем некоторые необходимые определения [95].

Пусть  есть множество элементов, обозначаемых через ,  - множество всех подмножеств , - числовая прямая.

Определение 1.1.1. Мерой возможности называется функция множества , обладающая свойствами:

1. , ;  2. ,

для любого индексного множества  и множеств .

Триплет  называется возможностным пространством.

Введем понятие меры необходимости, двойственной мере возможности.

Определение 1.1.2. Мерой необходимости называется функция множеств  такая, что:

,

где  есть мера возможности, ,  есть дополнение .

Обобщая результаты работ [86,89], можно дать следующее определение нечеткой величины и ее распределения.

Определение 1.1.3. Нечеткой (возможностной) величиной называется отображение . Распределением возможностных значений переменной  называется функция , определяемая по правилу:

.

- есть возможность того, что переменная  может принять значение .

Из определения и свойств возможностной меры следует, что

1. ;  2. .

Определение 1.1.4. Носителем возможностной переменной  называется множество .

Определение 1.1.5. Возможностная величина  называется выпуклой, если ее распределение является квазивогнутым, то есть для любых  мы имеем

.

По аналогии с возможностной переменной можно ввести «необходимостную» переменную [95].

Определение 1.1.6. Необходимостной переменной называется отображение . Распределением необходимостных значений переменной  называется функция , определяемая по правилу:

.

С другой стороны, из определения меры необходимости следует, что

.

Легко показать, что  почти всегда равна нулю. Это несомненно в случае, когда  не совпадает с модальным значением, что является скорее правилом, чем исключением, или если  непрерывна. Следовательно, прямое применение формулы, определяющей необходимость, бесполезно. Однако необходимость можно рассматривать в контексте отношений между возможностными переменными.

На практике для моделирования нечетких параметров систем, как правило, используются классы параметризованных распределений. Приведем основные из них.

Определение 1.1.7. Нечеткая величина называется нормальной (обозначение  класса ), если ее функция распределения имеет следующий вид:

,

где -модальное значение, -коэффициент нечеткости.

Определение 1.1.8. Нечеткая величина называется триангулярной (обозначение класса ), если ее функция распределения имеет следующий вид:

,

где -модальное значение, -коэффициент нечеткости.

Определение 1.1.9. Нечеткая величина называется трапецевидной (обозначение класса ), если ее функция распределения имеет следующий вид:

,

где -левый и правый коэффициенты нечеткости, -границы интервала толерантности.

Дадим понятие нечеткой величины  типа [15].

Определение 1.1.10. Функциями представления формы или  функциями называются числовые функции, которые определены и строго монотонны на неотрицательной части числовой прямой, полунепрерывны сверху и обладают свойствами:

1) ,

2) ,

3) .

Определение 1.1.11. Нечеткая величина  называется нечеткой величиной  типа, если ее распределение имеет вид:

Здесь ,  имеют смысл границ интервала толерантности нечеткой величины , а ,  есть левый и правый коэффициенты нечеткости соответственно. Тогда нечеткая величина может быть обозначена следующим образом .

Рассмотренные ранее нечеткие величины класса , ,  могут быть отнесены к классу распределений -типа. Соответствующие функции и имеют следующий вид:

, для класса ;

, для классов , .

В представленных классах возможностных распределений исчисление нечеткости осуществляется на параметрическом уровне. Имеют место следующие результаты.

Теорема 1.1.1.[86] Пусть  минисвязанные нечеткие величины такие, что , . Тогда нечеткая величина .

Этот результат может быть обобщен на случай распределений -типа.

Теорема 1.1.2. Пусть минисвязанные нечеткие величины такие, что , . Тогда  нечеткая величина

.

Это следует из общих результатов теории возможностей [71]. Для детального изучения этого вопроса можно рекомендовать [71,95,24].

Нам необходима в дальнейшем также следующая лемма [94].

Введем функцию.

,

где  и  есть возможностные величины, , .

Определим рекуррентным способом следующую функцию

.

Следовательно,

.

Очевидно, что

.

Тогда имеет место лемма.

Лемма 1.1.1. Пусть возможностные величины  являются минисвязанными. Тогда при фиксированном

. 

Важным является понятие -уровневого множества возможностной величины.

Определение 1.1.12. Множество  называется -уровневым множеством .

В контексте представленной структуры возможностного пространства и возможностной величины мы можем дать такое определение нечеткой случайной величины [95].

Пусть  есть вероятностное пространство.

Определение 1.1.13. Нечеткая случайная величина  есть вещественная функция такая, что при любом фиксированном , величина  является случайной величиной на .

При фиксированном ,  есть нечеткая величина, значения которой описываются возможностным распределением . При фиксированном   есть случайная величина с возможностью, определяемой мерой возможности . Все сказанное становится более ясным, когда рассматриваемое распределение  будет определяться как в случае нечеткой переменной:

.

Теперь каждому  отвечает возможностное распределение, представляющее случайный выбор эксперта, который дает неопределенную, субъективную оценку при определенном количестве. С другой стороны, фиксируя , имеем, что  есть случайная величина, при этом мы не уверены в значении ее распределения.

Прежде чем определить моменты второго порядка введем определение -уровневого множества нечеткой случайной величины (при фиксированном ).

Определение 1.1.14. -уровневым множеством нечеткой случайной величины называется множество .

Понятно, что границы определенного -уровневого множества являются случайными величинами: , .

Возможностные величины, имеющие компактный носитель и характеризующиеся квазивогнутыми полунепрерывными сверху распределениями, будем называть нечеткими числами и обозначать этот класс нечетких величин через .

Для -уровневого множества  верны следующие утверждения [84].

Утверждение 1.1.1. Пусть . Тогда:

1) -замкнутый интервал, ,

2) ,

3) .

Справедливо также следующее утверждение [84].

Утверждение 1.1.2. Если последовательность множеств  удовлетворяет 1)-3) из Утверждения 1.1.1., то существует единственное  такое, что .

Согласно [84] имеет место следующая лемма.

Лемма 1.1.2. Для -уровневых множеств возможностных величин  и  определены операции сложения и скалярного умножения:

1) ,

2) , .

Большое значение для дальнейших построений имеет следующая лемма [72,84].

Лемма 1.1.3. Пусть  есть -уровневое множество, где , ,  являются верхней и нижней границами -уровневого множества . Тогда:

1) - неубывающая, непрерывная слева функция на ,

2)  - невозрастающая, непрерывная слева функция на ,

3) .

Введем метрику в множестве .

Пусть .

Тогда

,

,

где -хаусдорфова метрика, т.е.

.

Необходимо отметить, что  может быть бесконечным при , где .

Определим обобщенную норму возможностной величины [69].

Определение 1.1.15. Обобщенная норма  нечеткого числа  при  определяется следующим образом:

,

где .

Функция распределения  принимает значение, равное единице, в нуле и нулю в остальных случаях.

Можно показать, что  при  и .

Доказано [72], что метрическое пространство  не является полным для . Здесь  есть множество всех нечетких чисел с компактным носителем в .

Введем определение двуместной функции, необходимой нам в дальнейшем [72].

Определение 1.1.16. Определим двуместную функцию  по формуле:

.

Заметим, что если в интеграле Лебега возникает неопределенность вида , то  не существует.

Введенная функция  обладает следующими свойствами, которые характеризуются теоремой [72].

Теорема 1.1.2. В условиях, определенных выше:

1) , ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) , где .

Нетрудно видеть, что если  является нечеткой случайной величиной, то -это случайное замкнутое интервальное множество и -вещественные случайные величины.

Определение 1.1.17. Нечеткая случайная величина  называется ограниченно интегрируемой, если .

Определение 1.1.18. Ожидаемое значение  определяется как единственное нечеткое число, удовлетворяющее условию

, если нечеткая случайная величина  является  ограниченно интегрируемой.

Перейдем к определению числовых характеристик нечетких случайных величин.

1.2. Определение числовых характеристик нечеткой случайной величины.

Наиболее полезная информация, связанная с  вещественными случайными величинами и нечеткими случайными величинами, выявляется при расчете моментов первого и второго порядков. Понятие ожидаемого значения нечеткой случайной величины было введено Пури и Ралеску [88]. В контексте принятия решений математическое ожидание играет решающую роль для объяснения случайной информации. Дисперсия используется для расчета разброса или рассеянности нечеткой случайной величины около ее ожидаемого значения, а ковариация или коэффициент корреляции (нормированная ковариация) служит мерой линейной независимости двух случайных величин, то есть мерой точности, с которой одна нечеткая величина может быть аппроксимирована линейной функцией другой.

Существует ряд подходов к определению моментов второго порядка нечетких случайных величин. В [47] разработано исчисление моментов второго порядка в том случае, когда они определяются как функции нечетких величин в соответствии классическими определениями дисперсии и коэффициентов ковариации и являются нечеткими. В диссертационном исследовании развивается другой подход к определению моментов второго порядка, в котором указанные числовые характеристики являются четкими [72].

Определяемые в соответствии с этим подходом дисперсия и ковариация нечетких случайных величин наследуют основные свойства вещественных случайных величин.

Итак, пусть мы имеем нечеткие случайные величины , где -нечеткая случайная величина .

В соответствии с [72] введем определения ковариации и дисперсии нечетких случайных величин.

Определение 1.2.1. Ковариация нечетких случайных величин  и  определяется следующим образом:

.  (1.2.1)

Определение 1.2.2. Дисперсия нечеткой случайной величины  определяется следующим образом:

.        (1.2.2)

Определение 1.2.3. Нормализованная ковариация, определяемая как

,       (1.2.3)

называется коэффициентом корреляции нечетких случайных величин  и .

Если , то нечеткие случайные величины  и  являются некоррелированными.

Дисперсия и ковариация нечетких случайных величин обладают свойствами, которые характеризуют вещественные случайные величины. Эти свойства представлены в следующей теореме [72].

Теорема 1.2.1. Пусть нечеткие случайные величины . Тогда

1) , ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6)  (Неравенство Чебышева).

1.3. Расчет числовых характеристик нечетких случайных величин в классах параметризованных распределений.

Для практической работы важным является представление нечеткой случайной величины, позволяющее эксплицировать комбинированный вид неопределенности (нечеткий и случайный факторы). Удобным для приложений является представление ее с помощью сдвиг-масштабного семейства нечетких величин со случайными параметрами сдвига и масштаба [47]. В результате мы приходим к такому представлению:

,

где ,-случайные величины, определенные на вероятностном пространстве , имеющие конечные моменты второго порядка, а -нечеткая величина, определенная на возможностном пространстве .

В работе основное внимание будет уделено несимметричным триангулярным нечетким случайным величинам и распределениям -типа, которые моделируют нечеткий фактор.

Рассмотрим сначала отдельную нечеткую случайную величину, функция распределения которой имеет следующий вид:

(1.3.1)

Понятно, что при фиксированном  распределение принадлежит классу . При данных значениях параметров фактически это трапецевидное распределение представляет несимметричную нечеткую триангулярную величину.

Для более наглядного представления дадим графическое изображение распределения рассматриваемой нечеткой случайной величины (рис.1.)

Рис.1. Функция распределения несимметричной триангулярной нечеткой случайной величины

Нетрудно видеть, что в этом случае -уровневое множество рассматриваемой нечеткой случайной величины может быть представлено следующим образом:

.

Найдем далее формулу для расчета математического ожидания нечеткой случайной величины, имеющей функцию распределения (1.3.1). Нетрудно показать, что:

 (1.3.2)

Таким образом, ,

где  имеет функцию распределения вида (1.3.2).

Докажем следующее утверждение.

Лемма 1.3.1.[73] Пусть

, тогда дисперсия нечеткой случайной величины  исчисляется по формуле:

(1.3.1)

Доказательство.

В соответствии с формулами, определяющими границы -уровневого множества нечеткой случайной величины, имеем:

,

, .

Определим дисперсии левой и правой границ -уровневого множества. В соответствии с формулами теории вероятностей имеем:

Согласно определениям 1.2.1 и 1.2.2, а также используя полученные выше выражения для дисперсии правой и левой границ -уровневого множества , , найдем формулу для расчета дисперсии нечеткой случайной величины.

Лемма доказана.

Получим теперь формулу для расчета ковариации нечетких случайных величин.

Лемма 1.3.2. [73] Пусть

, , тогда ковариация нечетких случайных величин  исчисляется по формуле:

           (1.3.2)

Доказательство.

Согласно определению границы -уровневого множества нечеткой случайной величины равны соответственно:

,

, , .

На основании формулы (1.2.1), имеем:

В соответствии с определением ковариации, преобразуем полученное выражение следующим образом [23]:

Проведем почленное преобразование слагаемых, находящихся под знаком интеграла.

Сначала преобразуем первое слагаемое. Имеем:

Аналогичным образом преобразуется второе слагаемое:

Таким образом, мы привели выражение под знаком интеграла к необходимой форме. В процессе интегрирования получаем следующие формулы:

Лемма доказана.

Получим теперь формулы для дисперсии и ковариации нечетких случайных величин в классе распределений -типа.

Используя приведенные выше представления, мы можем определить случайные величины , в том случае, когда параметры распределений  являются случайными величинами.

Определим границы -уровневого множества, то есть случайные величины ,.

Имеем следующее. Так как , а  , то  , .

Следовательно, ,

. Имея случайные величины ,, мы можем рассчитать дисперсию нечеткой случайной величины .

Лемма 1.3.3. [12] Пусть , тогда дисперсия нечеткой случайной величины  исчисляется по формуле:

(1.3.3)

Доказательство.

В соответствии с определениями 1.2.1, 1.2.2 имеем:

.

Тогда:

Лемма доказана.

Получим формулу для расчета ковариации.

Используя приведенные выше представления, мы можем определить случайные величины ,,, в том случае, когда параметры распределений ,  являются случайными величинами.

Определим границы -уровневого множества, то есть случайные величины ,,,.

Имеем следующее. Так как , а  , то , .

Следовательно, ,

, ,

. Имея случайные величины ,,,, мы можем рассчитать ковариацию  нечетких случайных величин .

Лемма 1.3.4.[12] Пусть , . Тогда ковариация нечетких случайных величин  исчисляется по формуле:

 

(1.3.4)

Доказательство.

В соответствии с определением 1.2.1 имеем:

. Следовательно:

Лемма доказана.

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим числовой пример [12].

Пример 1. В качестве модельного примера рассмотрим две нечеткие случайные величины  и , модальные значения и коэффициенты нечеткости которых являются случайными величинами, имеющими равномерное распределение на отрезке.

Нечеткие случайные величины моделируются с помощью функций представления формы  типа. Более того, пусть L и R функции являются кусочно-линейными, то есть .

Определим ковариацию и дисперсию нечетких случайных величин, основываясь на полученных ранее формулах (лемма 1.3.3, лемма 1.3.4).

С учетом того, что  функции являются кусочно-линейными, имеем . В результате полученные нами формулы принимают вид:

Введем распределения случайных величин, представляющих параметры распределений. Пусть: , , , , , , ,  имеют равномерное распределение на отрезках [1;2], [4;5], [2;4], [5;6], [1;2], [1;2], [1;3], [2;3] соответственно.

Математические ожидания рассмотренных случайных величин представлены в таблице 1:

Таблица 1

Математические ожидания случайных величин

1,5

4,5

3

5,5

1,5

1,5

2

2,5

В соответствии с таблицей 1 , .

При расчете моментов второго порядка рассмотрим два случая.

1) Случайные величины, представляющие параметры распределений, являются независимыми. Тогда ковариационная матрица случайных параметров распределений имеет вид (таблица 2):

Таблица 2

Ковариационная матрица случайных параметров распределений

0,83

0

0

0

0

0

0

0

0

0,33

0

0

0

0

0

0

0

0

0,33

0

0

0

0

0

0

0

0

0,83

0

0

0

0

0

0

0

0

0,83

0

0

0

0

0

0

0

0

0,83

0

0

0

0

0

0

0

0

0,33

0

0

0

0

0

0

0

0

0,83

Тогда нетрудно видеть, что в соответствии с таблицей 2 и приведенными выше формулами  (что согласуется с результатами, представленными в [72]), , .

2) Случайные величины, представляющие параметры распределений, являются зависимыми. Тогда ковариационная матрица случайных параметров распределений, рассчитанная согласно исходной информации, имеет вид (таблица 3):

Таблица 3

Ковариационная матрица случайных параметров распределений

0,83

0,16

-0,9

0,13

0,75

0,11

-0,3

0,7

0,16

0,33

0,63

0,99

-0,8

0,1

0,7

0,58

-0,9

0,63

0,33

-0,23

0,45

-0,13

0,24

0,71

0,13

0,99

-0,23

0,83

0

0,6

-0,17

0,59

0,75

-0,8

0,45

0

0,83

-0,34

0

0,18

0,11

0,1

-0,13

0,6

-0,34

0,83

0,9

0,15

-0,3

0,7

0,24

-0,17

0

0,9

0,33

-0,08

0,7

0,58

0,71

0,59

0,18

0,15

-0,08

0,83

После подстановки соответствующих элементов в приведенные выше формулы, получаем: ; ; .

1.4. Взвешенная сумма нечетких случайных величин.

В контексте рассматриваемой проблемы портфельного анализа необходимо иметь соответствующие результаты для определения дисперсии и ожидаемого значение взвешенной суммы нечетких случайных величин.

Итак, пусть имеем  несимметричных триангулярных нечетких случайных величин,  - некоторые веса, такие, что . Будем рассматривать взвешенную сумму нечетких случайных величин:

.

Найдем математическое ожидание  и дисперсию  для данной взвешенной суммы.

Лемма 1.4.1. Пусть

, ,

, . Тогда математическое ожидание взвешенной суммы нечетких случайных величин исчисляется по формуле:

,    (1.4.1)

где  имеет распределение вида (1.3.2).

Доказательство.

Рассчитаем математическое ожидание. На основании леммы 1.1.2. и определения 1.1.18:

где  имеет распределение вида (1.3.2).

Лемма доказана.

Лемма 1.4.2. Дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин находится по формуле:

(1.4.2)

Доказательство.

Найдем , используя свойства (3),(4) из теоремы 1.2.1.

Итак:

На основании теоремы 1.2.1 можно преобразовать полученное выражение следующим образом:

 

Проведем обратные преобразования, осуществим группировку слагаемых, воспользуемся свойством (2) из теоремы 1.2.1. Имеем:

Лемма доказана.

Теорема 1.4.1. Пусть

, ,

, . Тогда дисперсия взвешенной суммы нечетких случайных величин  вычисляется по формуле:

 (1.3.1)

Доказательство.

Согласно лемме 1.4.2 дисперсия взвешенной суммы равна:

.

Обобщим лемму 1.3.1 и лемму 1.3.2 на случай  нечетких случайных величин. Следовательно, имеем:

Проведем соответствующие подстановки.

Теорема доказана.

1.5. Выводы по первой главе диссертации.

Таким образом, в первой главе диссертации в рамках возможностного подхода обоснованы элементы исчисления нечетких случайных величин, а именно:

1. Развита модель нечеткой случайной величины, разработанная в работах [72,79,80,87,88].

2.  Получены формулы для расчета ковариации и дисперсии в том случае, когда значения нечетких случайных величин характеризуются  параметризованными распределениями.

3. Получена формула для определения дисперсии взвешенной суммы нечетких случайных величин.

Полученные результаты существенным образом используются во второй главе диссертации при построении моделей и методов портфельного анализа.


2. Постановки задач портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных и методы их решения.

Классические модели портфельного анализа по Марковицу ориентированы на принятие инвестиционных решений в том случае, когда существуют временные ряды, по которым полностью можно оценить параметры модели: ковариационную матрицу и вектор ожидаемых доходностей.

Необходимость принятия инвестиционных решений в том случае, когда доходности финансовых активов характеризуются толерантными временными рядами, требует соответствующего обобщения классического подхода. С этой целью во второй главе диссертационной работы строятся обобщенные модели Марковица и разрабатываются методы оптимизации портфеля по этим моделям.

2.1. Доходность портфеля в условиях нечетких случайных данных.

Пусть -доля капитала, выделяемая на покупку ценных бумаг -го вида, такая что , , .

Введем также нечеткие случайные величины , представляющие доходности финансовых активов: .

Тогда, на основании результатов первой главы, доходность портфеля может быть представлена нечеткой случайной величиной:

.

Ее математическое ожидание  есть ожидаемая доходность портфеля.

Понятно, что при фиксированном   есть нечеткая величина, которую в дальнейшем будем обозначать

.    (2.1)

Ее распределение может быть определено по формулам, полученным в первой главе диссертации. Ожидаемая доходность отдельного финансового актива есть . Риск портфеля характеризуется дисперсией, либо среднеквадратичным отклонением соответствующей нечеткой случайной величины. В соответствии с рассматриваемым подходом эти характеристики являются функциями . Обозначим их соответственно: , .

Таким образом, мы видим, что ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина. Поэтому нам необходимо провести обобщение моделей Марковица, дающее возможность производить «глубинную» обработку толерантных временных рядов для получения временных рядов, позволяющих оценить параметры распределений.

2.2. Модели портфельного анализа в условиях нечетких случайных данных.

Перейдем к построению моделей портфельного анализа, позволяющих учитывать один из критериев принятия решений – ожидаемую доходность портфеля  как нечеткую величину. Для этого нам необходимо привлечь соответствующие принципы принятия решения в условиях нечетких данных [94] и сформировать модели принятия решений.

2.2.1. Модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска.

В соответствии с классическим подходом модель должна быть записана в следующей форме:

   (2.1.1)

   (2.1.2)

В данной модели  есть четкое бинарное отношение: , есть приемлемый уровень риска, на который готов пойти инвестор.

Однако представленная модель является недостаточно корректной, так как ожидаемая доходность портфеля есть нечеткая величина (2.1).

В связи с этим требуется введение дополнительного принципа принятия решений, уже в условиях нечетких данных [94].

Одним из них является переход к модальным значениям соответствующих нечетких величин. Его применение приводит к следующей модели:

,    (2.1.3)

    (2.1.4)

где  обозначает переход к модальным значениям нечетких величин.

Согласно результатам, представленными в первой главе диссертации,

.

Если нечеткие случайные величины  при фиксированном  принадлежат классу

, то

. Пусть , т.е. . Тогда, принимая во внимание доказанную в первой главе лемму 1.4.2, мы получаем при  следующую модель, эквивалентную (2.1.1), (2.1.2),

,     (2.1.5)

(2.1.6)

Полученная задача (2.1.5)-(2.1.6) есть задача квадратичного программирования. Она может быть решена стандартными методами [8].

2.2.2. Модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.

Следующий подход к решению задачи связан с ее рассмотрением в рамках модели нечеткого целевого программирования [59]. Его применение приводит к следующей модели:

   (2.2.1)

    (2.2.2)

где ,  есть четкое бинарное отношение: ,  есть нечеткий уровень притязаний критерия, приемлемый для инвестора.

Рассмотрим сначала случай ,  в модели критерия задачи. Тогда модель (2.2.1)-(2.2.2) имеет эквивалентную, которая может быть записана в форме

  (2.2.3)

    (2.2.4)

Прежде чем доказать теорему, позволяющую построить детерминированный эквивалент модели (2.2.3)-(2.2.4), приведем необходимую для ее доказательства лемму [59].

Лемма 2.2.1. Пусть  где -минисвязные нечеткие величины, определенные на возможностном пространстве , . Тогда: .

Теперь мы готовы сформулировать и доказать следующую теорему.

Теорема 2.2.1. Пусть в задаче (2.2.3)-(2.2.4) возможностные параметры ,  являются минисвязанными, тогда задача (2.2.3)-(2.2.4) имеет эквивалентный детерминированный аналог следующего вида:

,      (2.2.5)

   (2.2.6)

где -дополнительная переменная.

Доказательство.

На основании определения меры возможности преобразуем целевую функцию следующим образом:

.

С учетом полученной формулы и леммы 2.2.1 исходная задача эквивалентна следующей задаче математического программирования.

.

Путем введения дополнительной переменной  [59] модель критерия сводится к эквивалентной модели - задаче математического программирования.

С учетом модели ограничений (2.2.4) мы получаем утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Полученная модель допускает сведение к сепарабельной задаче при некоторых дополнительных условиях.

Действительно. Преобразуем ограничение .

Для этого воспользуемся следующим равенством:

.

Введем дополнительные переменные:.

Тогда наше ограничение примет следующий вид: .

Это есть сепарабельное ограничение.

В результате наша задача (2.2.5)-(2.2.6) сводится к задаче математического программирования следующего вида.

,      (2.2.7)

   (2.2.8)

Таким образом, мы получили детерминированный аналог для задачи максимизации возможности достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска.

Далее, преобразуя выражение для дисперсии по уже известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

В результате наша задача (2.2.7)-(2.2.8) сводится к следующей сепарабельной задаче.

,      (2.2.9)

(2.2.10)

Уточним полученную модель (2.2.9)-(2.2.10) для некоторых классов распределений.

Пусть ,

. Тогда модель (2.2.9)-(2.2.10) может быть преобразована к следующей эквивалентной модели:

,      (2.2.11)

(2.2.12)

При ее построении мы учитываем вид распределений и то, что получающееся при этом неравенство

эквивалентно двум неравенствам

а неравенство

эквивалентно следующим неравенствам

Рассмотрим модель (2.2.1)-(2.2.2) в случае меры необходимости, . Получаем модель следующего вида.

  (2.2.13)

    (2.2.14)

Докажем соответствующую теорему.

Теорема 2.2.2. Пусть в задаче (2.2.13)-(2.2.14) возможностные параметры ,  являются минисвязанными, тогда задача (2.2.13)-(2.2.14) имеет эквивалентный детерминированный аналог следующего вида:

,   (2.2.15)

    (2.2.16)

Доказательство.

Имеем.

.

Следовательно модель (2.2.13) эквивалентна

.

Если распределения  и  непрерывны [91], то

и эквивалентная модель критерия имеет вид

.

Таким образом, модель (2.2.13)-(2.2.14) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог.

,

  

Теорема доказана.

Далее, преобразуя выражение для дисперсии по уже известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

Тогда наша задача будет иметь следующий вид.

,    (2.2.17)

(2.2.18)

2.2.3. Модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска.

,      (2.3.1)

   (2.3.2)

где ,  есть четкое бинарное отношение: , k есть дополнительная уровневая переменная.

Рассмотрим модель (2.3.1)-(2.3.2) в случае , . Получаем.

,      (2.3.3)

   (2.3.4)

В данной модели -уровень возможности.

Теорема 2.3.1. Пусть  характеризуются квазивогнутыми, полунепрерывными сверху распределениями с ограниченными носителями. Тогда задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет эквивалентный детерминированный аналог:

,    (2.3.5)

    (2.3.6)

Доказательство.

Преобразуем первое ограничение системы (2.3.4). Имеем

,

на основании формулы представления [94] имеем

На основании обобщенной теоремы Вейерштрасса , на которых достигается супремумы (sup).

Нетрудно видеть, что получаемое неравенство

эквивалентно следующей системе неравенств:

Данные неравенства описывают -уровневые множества соответствующих нечетких величин. Эквивалентным образом эта система может быть записана в виде

где , ,  есть правые и левые границы -уровневого множества соответствующих нечетких величин.

Следствием последней системы неравенств является следующее неравенство:

Оно может быть записано в виде двух неравенств:

В результате эквивалентная модель критерия принимает вид:

,

Нетрудно видеть, что при  полученная модель критерия допускает эквивалентное представление:

.

Таким образом, задача (2.3.3)-(2.3.4) имеет следующий эквивалентный детерминированный аналог:

,

 

Теорема доказана.

Преобразуя выражение для дисперсии согласно известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования.

,    (2.3.7)

(2.3.8)

Уточним модель (2.3.7)-(2.3.8) для некоторых классов распределений.

Пусть , тогда модель (2.3.7)-(2.3.8) будет преобразована следующим образом:

,  (2.3.9)

(2.3.10)

Рассмотрим модель (2.3.1)-(2.3.2) в случае . Имеем.

,      (2.3.11)

   (2.3.12)

В данной модели  есть уровень необходимости.

Теорема 2.3.1. Пусть  характеризуются квазивогнутыми, полунепрерывными сверху распределениями с ограниченными носителями. Тогда задача (2.3.11)-(2.3.12) имеет эквивалентный детерминированный аналог:

,    (2.3.13)

    (2.3.14)

Доказательство.

Построим эквивалентный детерминированный аналог.

Действительно

.

Следовательно

.

Если  является монотонной по нечетким параметрам и , тогда мы получаем следующее эквивалентное неравенство

.

Таким образом, имеем в конечном итоге следующую эквивалентную модель

где  есть левая граница -уровневого множества нечеткой случайной величины, представляющей доходность инвестиционного портфеля.

Эквивалентная модель этого критерия может быть представлена в форме, не требующей использования уровневой переменной :

.

Окончательно имеем следующий эквивалентный детерминированный аналог

 

Теорема доказана.

Преобразуя выражение для дисперсии согласно известной формуле (теорема 1.4.1), а также принимая , получаем:

Если предположить, что параметры возможностного распределения являются независимыми случайными величинами, то

.

В результате наша задача сводится к следующей задаче математического программирования.

,    (2.3.15)

(2.3.16)

Уточним модель (2.3.15)-(2.3.16) для некоторых классов распределений.

Пусть , тогда модель (2.3.15)-(2.3.16) будет преобразована следующим образом:

,   (2.3.17)

(2.3.18)

2.2.4. Модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

Модель имеет следующий вид:

,     (2.4.1)

    (2.4.2)

где  есть заданный уровень возможного дохода.

Данная задача может быть решена с помощью метода множителей Лагранжа.

Сделаем некоторые преобразования.

Пусть , где  - модальные значения .

Тогда задача (2.4.1)-(2.4.2) принимает следующий вид:

,     (2.4.3)

    (2.4.4)

Будем решать задачу (2.4.3)-(2.4.4) с помощью метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид:

.

Запишем в функции Лагранжа дисперсию в явном виде. В результате получаем:

.

Далее возьмем производные по всем , по  и по . Получим следующие соотношения:

,

.

Присоединяя ограничение (2.4.2) мы приходим к системе уравнений:

где , .

Запишем полученные уравнения в матричной форме с использованием следующих обозначений:

Тогда наша система примет следующий вид:

Предполагаем, что ковариационная матрица С невырождена (), следовательно, существует обратная матрица .

Тогда: .

Подставляя это решение во второе и третье уравнения системы, получим уравнения для нахождения  и .

Итак, получили:

Решим эту систему с помощью метода Крамера. Имеем:

,

.

Далее подставив  и  в выражение для , получаем:

.

2.3. Обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных.

Обобщим  двумерный портфель на случай нечетких случайных данных.

Доли капитала, вкладываемые в первый и второй активы обозначим ,  соответственно.

Будем рассматривать случай, когда доходности активов представляются нечеткими случайными величинами. При этом доходность портфеля будет также являться нечеткой случайной величиной:

,

а ожидаемая доходность портфеля будет нечеткой величиной:

,

где .

Рассматриваем случай, когда , где , ,  - ожидаемые значения случайных величин , , .

Не нарушая общности, можно считать, что , .

Исследуем множество инвестиционных возможностей , где  есть риск портфеля:

.

В соответствии с результатами, полученными в первой главе:

Ввиду того, что параметр  есть нечеткая величина, множество инвестиционных возможностей можно представить системой:

(2.5.1)

Здесь  есть параметр со степенью возможности , представляющий .

Основываясь на [94] можно показать, что система (2.5.1) эквивалента следующей системе:

где , ,  есть границы –уровневых множеств соответствующих нечетких величин.

Из соотношений (3.2.1)–(3.2.4) следует, что риск портфеля в конечном итоге определен на множестве значений доходности портфеля (замкнутом интервале) при каждом конечном фиксированном . Таким образом,  и  удовлетворяет (3.2.1.), (3.2.2).

В результате мы можем констатировать, что множество инвестиционных возможностей есть «множественнозначная» кривая. При обозначениях ,  в соответствии с [3], . Ясно, что эта кривая может быть построена с использованием «граничных» кривых, которые определяются посредством решения систем вида:

  (3.3)

Решая систему (3.3) относительно переменных ,  в первом и во втором предельных случаях, после подстановки решений в (3.2.3), получаем две «граничные» параболы.

.                                                                  

Оптимальные портфели  могут быть получены путем решения уравнения .

Имеем:

,

,

.

В пределе при  можно считать, что . И мы приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа по Марковицу [85] с параметрами:  – вектор ожидаемых доходностей активов;  – ковариационная матрица, .

На рисунке, приводимом ниже (рис.2.), представлено множество инвестиционных возможностей.

Рис.2. Множество инвестиционных возможностей

2.3. Выводы по второй главе диссертации.

Во второй главе диссертации в рамках возможностного подхода построены обобщенные модели Марковица, а также разработаны методы оптимизации портфеля по этим моделям, а именно:

1. Построены следующие модели: модель максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска, модель максимизации возможности (необходимости) достижения нечеткого уровня ожидаемой доходности при фиксированном уровне риска, модель максимизации с заданной возможностью (необходимостью) ожидаемого дохода при фиксированном уровне возможного риска, модель минимизации возможного риска при заданном уровне возможного дохода.

2. Для всех разработанных моделей построены их четкие детерминированные аналоги: получены непрямые методы решения задач портфельного анализа.

3. Осуществлено обобщение двумерного портфеля на случай нечетких случайных данных, что позволяет сделать следующий вывод: при одном и том же уровне риска существует возможность получить более высокую ожидаемую доходность портфеля.

4. Анализ рис.2 позволяет сделать вывод, что при одном и том же уровне риска возможности инвестора представляют собой интервал, зависящий от уровня возможности, с которой выполняется ограничение по доходности.

5. Как было замечено на странице 75, в пределе, когда уровень возможности , мы приходим, фактически, к классической модели портфельного анализа по Марковицу [85].

 

PAGE  12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58275. За квітами у пошуках щастя (за новелою Богдана Лепкого «Цвіт щастя») 31.5 KB
  Мета. Удосконалювати вміння переказувати твір; проаналізувати твір Цвіт щастя дослідити реальне і уявне в новелірозкрити образ маленького хлопчикапоказати внутрішній стан; розвивати логічне мислення память творчу уяву...
58276. Лічба предметів. Порівняння груп предметів за величиною 33 KB
  Скільки всього помідорів Скільки огірків Скільки бурячків Скільки всього овочів II. Як легше визначити однакова кількість чи неоднакова Чого більше На скільки більше Чого менше На скільки Що треба зробити щоб кількість трикутників й квадратиків стала однаковою...
58278. Порядкова лічба. Поняття зліва — направо, справа — наліво, решта, кожний, вищий — нижчий. Підготовка до написання цифр 33.5 KB
  Ознайомлення учнів з поняттями зазначеними в темі уроку На столі стоять чотири кубики різного кольору червоний синій жовтий зелений. Якого кольору останній кубик Якого кольору кубик що стоїть попереду кубик якого кольору стоїть між синім і зеленим...
58280. Склад сучасного настільного персонального компютера 42 KB
  Персона́льний компютер (ПК) — електронна обчислювальна машина, призначена для особистого використання, ціна, розміри та можливості якого задовольняють потреби багатьох людей.
58283. Один і багато. Числа і цифри. Назви цифр: одиниця, двійка, трійка… Підготовка до написання цифр 33.5 KB
  Мета: на основі практичних дій з предметами формувати в учнів вміння лічити предмети; ознайомити з цифрами; показати співвідношення числа й цифри; продовжити роботу над формуванням навички лічби предметів...