3874

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності

Практическая работа

Энергетика

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності Умова задачі Використовуючи чисельний метод, визначити розподіл температури в поперечному перерізі довгого стального стержня при кроці розрахункової сітки ...

Украинкский

2012-11-09

202.5 KB

8 чел.

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності

Умова задачі

Використовуючи чисельний метод, визначити розподіл температури в поперечному перерізі довгого стального стержня при кроці розрахункової сітки δ=10мм. На основі вирахуваних локальних значень температур накреслити сімейство інтерпольованих ізотерм , для поперечного перерізу стержня провести лінії теплового потоку.

Поперечний переріз стержня має прямокутну форму з розмірами l1=30мм, l2=40мм. Коефіцієнт теплопровідності матеріалу стержня λ=50 Вт/м∙К.

Схема завдання граничних умов в поперечному перерізі стержня показана на рис.1

                                                                  

 

                      

                                                            


     

    

Рис. 1 Поперечний перетин стержня

           

qс10-5, Вт/м2

tж1,0С

tж2,0С

λ, Вт/мК

α1 ,Вт/м2К

α2,Вт/м2К

l1, мм

l2, мм

0,9

50

75

50

1200

2500

30

40

              

2. ПОБУДОВА РОЗРАХУНКОВОЇ СІТКИ

Дана задача двомірна з розмірами 4030мм. Побудуємо розрахункову сітку з постійним кроком розбиття = 10 мм = Dx = Dy. Диференційне рівняння теплопровідності заміняють рівнянням теплопровідності в кінечних різницях. Для того, щоб в розрахунковій сітці отримати вузлові крапки, що лежать безпосередньо на поверхні тіла, розбиття здійснюють з половинним кроком. Тоді в процесі побудови розрахункової сітки досліджуваної  області отримаємо,  що  елементарні об'єми уздовж меж області будуть удвічі менші (в кутках прямокутника - в чотири рази менше) внутрішніх об'ємів . При цьому серед сукупності вузлових точок розрахункової сітки будуть і такі, які належать бічній поверхні і її ребрам. Всім вузловим крапкам з невідомою температурою привласнимо  свій номер числами 1, 2, 3, 20, оскільки температура в кожній точці буде різниця одна від іншої.

 1 2 3 4                      5

   

 

  

 6 7  8 9 10  

 11 12 13 14 15   

    

16 17 18 19                   16

           

Рис. 2 Схема розрахункової сітки

                                                                                                                              

3. СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ ЕНЕРГОБАЛАНСА ДЛЯ ВУЗЛОВИХ

ТОЧОК СІТКИ

Складаємо рівняння  енергобалансу  для  точок  з  невідомою  температурою. Для  цього   для  кожного  із  обємів тіла вибираємо  вузлуву  точку . Після  цього  переходимо  від  диференціального  рівняння  теплопровідності  до  рівняння  теплопровідності  в  кінцевих   різницях  , для  чого  робимо  заміну   диференціалів  на  кінцеві  прирости.

      

 

                       Qж2,2           

1       Q1,2 2 Q3,2       3

                                        Q7,2

 6     7                  8

 

рис. 3 Схема енергобалансу 2 точки

Точка 1

Точка 2

Точка 3

Точка 4

Точка 5

Точка 6

Точка 7

 

Точка 8

Точка 9

Точка 10

Точка 11

Точка 12

Точка 13

Точка  14

Точка 15

Точка 16

Точка 17

Точка 18

Точка 19

Точка 20

З рівнянь енергобалансу отримаємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  

4. РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Для розв’язку даної системи використаємо програмний пакет MS EXEL. Розв’язки рівнянь знаходять за допомогою перемноження матриць.

Вихідна таблиця з коефіцієнтами при відповідних невідомих температурах та вільними членами рівняння.

Табл .1

Коефіцієнти в рівняннях для відповідних вузлових точок при температурах

Вільний член рівняння

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

t10

t11

t12

t13

t14

t15

t16

t17

t18

t19

t20

1

-5

2

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-111

2

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

3

0

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

4

0

0

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

5

0

0

0

25

-68,5

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1237,5

6

1

0

0

0

0

-4

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-36

7

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

25

0

0

0

50

-112

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

-600

11

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-4

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

12

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

13

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

14

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

0

0

0

50

-112

0

0

0

0

25

-600

16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-2

1

0

0

0

-18

17

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

0

-36

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

-36

19

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

0

0

0

25

-56

-300

При розв’язуванні даної системи отримаємо такі результати:

      табл. 2

t1

115,13

t2

103,66

t3

96,01

t4

89,23

t5

82,47

t6

128,66

t7

116,09

t8

106,09

t9

96,33

t10

87,25

t11

131,35

t12

125,93

t13

115,91

t14

102,77

t15

91,72

t16

144,87

t17

140,39

t18

128,83

t19

107,13

t20

94,13

5. АНАЛІЗ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

На основі розрахованих локальних значень температур, зобразимо температурне поле у поперечному перерізі стержня (рис.3). Для цього накреслимо у масштабі поперечний переріз стержня, відмітимо положення вузлових точок і покажемо значення температур в них, а потім побудуємо з певним вибраним інтервалом сім’ю інтерпольованих ізотерм.

На графіку температурного поля (рис.3) нанесемо лінії теплового потоку ортогонально до ізотерм.

З рисунка видно, що температурне поле спадає справа наліво і зверху  вниз, тому що на правій частині нижньої грані та на нижній половині лівої грані немає теплообміну з навколишнім середовищем, а зверху і справа відбувається теплообмін з рідиною, температура якої менша температури стінки. Також ізотерми густішають в лівому нижньому куті, тому що на малому інтервалі розміщується велика різниця температур. Лінії теплового потоку рідкі у правому верхньому куті, так як ізотерми там менш густіші.

qc=const

15

15

qc=const

qc=const

qc=const


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66245. Место и роль управления персоналом в системе управления организацией 77 KB
  Структура персонала её основные виды. Персонал как важнейший ресурс организации Менеджмент персонала или управление персоналом как отдельный вид менеджмента начинает выделяться во второй половине ХХ в. что связано со следующими причинами: усложнение процессов управления внутри организации...
66246. Программы и программные продукты 46 KB
  Все программы по характеру использования и категориям пользователей можно разделить на два класса: утилитарные программы программы для себя предназначенные для удовлетворения нужд их разработчиков и программные продукты программы для хозяина предназначенные...
66247. ЗАРОДЖЕННЯ ПЕДАГОГІЧНОЇ ДУМКИ 83.5 KB
  Зараз ми не можемо точно знати, як жили і виховували дітей люди сотні тисяч років тому. Тодішні люди давно померли, не залишивши письмових пам'яток, а машини часу існують лише у науковій фантастиці. Але ми можемо відтворити їх життя і виховання дітей, користуючись рядом інших джерел.
66248. Народознавство як складова педагогічного процесу в дошкільному закладі 37.5 KB
  Волковим котрий вкладав у це поняття науку âпро досвід народних мас у вихованні підростаючих поколінь про їх педагогічні погляди науку про педагогіку побуту про педагогіку сімї роду племені й народу. Отже народна педагогіка це галузь педагогічних знань і досвіду народу а етнопедагогіка це наука про народну педагогіку.
66249. Рынок труда в системе рыночного хозяйства 109.5 KB
  При характеристике внутренней структуры территориального рынка труда выделяют такие его подвиды, как первичный рынок труда, субъектами которого являются лица, впервые вступающие в трудовую жизнь, имея соответствующую специальную (профессиональную) подготовку, и вторичный.
66250. Причины неудачи IT-проектов 49 KB
  Технологии развиваются с такой скоростью что профессионалы вынуждены все время обновлять свои знания. Понятие технологии программирования Технология это совокупность производственных процессов в определенной отрасли производства а также научное описание способов производства.
66251. ВИХОВАННЯ І ШКОЛА В АНТИЧНОМУ СВІТІ 66 KB
  Виховання спартанців було повністю в руках держави. Вважали, що цілеспрямоване виховання має вирішальну роль у вихованні людини. Виховання починалось з першого дня життя. Новонародженого оглядали старійшини: слабких і потворних скидали у провалля...