3874

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності

Практическая работа

Энергетика

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності Умова задачі Використовуючи чисельний метод, визначити розподіл температури в поперечному перерізі довгого стального стержня при кроці розрахункової сітки ...

Украинкский

2012-11-09

202.5 KB

8 чел.

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності

Умова задачі

Використовуючи чисельний метод, визначити розподіл температури в поперечному перерізі довгого стального стержня при кроці розрахункової сітки δ=10мм. На основі вирахуваних локальних значень температур накреслити сімейство інтерпольованих ізотерм , для поперечного перерізу стержня провести лінії теплового потоку.

Поперечний переріз стержня має прямокутну форму з розмірами l1=30мм, l2=40мм. Коефіцієнт теплопровідності матеріалу стержня λ=50 Вт/м∙К.

Схема завдання граничних умов в поперечному перерізі стержня показана на рис.1

                                                                  

 

                      

                                                            


     

    

Рис. 1 Поперечний перетин стержня

           

qс10-5, Вт/м2

tж1,0С

tж2,0С

λ, Вт/мК

α1 ,Вт/м2К

α2,Вт/м2К

l1, мм

l2, мм

0,9

50

75

50

1200

2500

30

40

              

2. ПОБУДОВА РОЗРАХУНКОВОЇ СІТКИ

Дана задача двомірна з розмірами 4030мм. Побудуємо розрахункову сітку з постійним кроком розбиття = 10 мм = Dx = Dy. Диференційне рівняння теплопровідності заміняють рівнянням теплопровідності в кінечних різницях. Для того, щоб в розрахунковій сітці отримати вузлові крапки, що лежать безпосередньо на поверхні тіла, розбиття здійснюють з половинним кроком. Тоді в процесі побудови розрахункової сітки досліджуваної  області отримаємо,  що  елементарні об'єми уздовж меж області будуть удвічі менші (в кутках прямокутника - в чотири рази менше) внутрішніх об'ємів . При цьому серед сукупності вузлових точок розрахункової сітки будуть і такі, які належать бічній поверхні і її ребрам. Всім вузловим крапкам з невідомою температурою привласнимо  свій номер числами 1, 2, 3, 20, оскільки температура в кожній точці буде різниця одна від іншої.

 1 2 3 4                      5

   

 

  

 6 7  8 9 10  

 11 12 13 14 15   

    

16 17 18 19                   16

           

Рис. 2 Схема розрахункової сітки

                                                                                                                              

3. СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ ЕНЕРГОБАЛАНСА ДЛЯ ВУЗЛОВИХ

ТОЧОК СІТКИ

Складаємо рівняння  енергобалансу  для  точок  з  невідомою  температурою. Для  цього   для  кожного  із  обємів тіла вибираємо  вузлуву  точку . Після  цього  переходимо  від  диференціального  рівняння  теплопровідності  до  рівняння  теплопровідності  в  кінцевих   різницях  , для  чого  робимо  заміну   диференціалів  на  кінцеві  прирости.

      

 

                       Qж2,2           

1       Q1,2 2 Q3,2       3

                                        Q7,2

 6     7                  8

 

рис. 3 Схема енергобалансу 2 точки

Точка 1

Точка 2

Точка 3

Точка 4

Точка 5

Точка 6

Точка 7

 

Точка 8

Точка 9

Точка 10

Точка 11

Точка 12

Точка 13

Точка  14

Точка 15

Точка 16

Точка 17

Точка 18

Точка 19

Точка 20

З рівнянь енергобалансу отримаємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  

4. РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Для розв’язку даної системи використаємо програмний пакет MS EXEL. Розв’язки рівнянь знаходять за допомогою перемноження матриць.

Вихідна таблиця з коефіцієнтами при відповідних невідомих температурах та вільними членами рівняння.

Табл .1

Коефіцієнти в рівняннях для відповідних вузлових точок при температурах

Вільний член рівняння

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

t10

t11

t12

t13

t14

t15

t16

t17

t18

t19

t20

1

-5

2

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-111

2

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

3

0

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

4

0

0

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

5

0

0

0

25

-68,5

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1237,5

6

1

0

0

0

0

-4

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-36

7

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

25

0

0

0

50

-112

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

-600

11

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-4

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

12

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

13

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

14

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

0

0

0

50

-112

0

0

0

0

25

-600

16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-2

1

0

0

0

-18

17

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

0

-36

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

-36

19

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

0

0

0

25

-56

-300

При розв’язуванні даної системи отримаємо такі результати:

      табл. 2

t1

115,13

t2

103,66

t3

96,01

t4

89,23

t5

82,47

t6

128,66

t7

116,09

t8

106,09

t9

96,33

t10

87,25

t11

131,35

t12

125,93

t13

115,91

t14

102,77

t15

91,72

t16

144,87

t17

140,39

t18

128,83

t19

107,13

t20

94,13

5. АНАЛІЗ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

На основі розрахованих локальних значень температур, зобразимо температурне поле у поперечному перерізі стержня (рис.3). Для цього накреслимо у масштабі поперечний переріз стержня, відмітимо положення вузлових точок і покажемо значення температур в них, а потім побудуємо з певним вибраним інтервалом сім’ю інтерпольованих ізотерм.

На графіку температурного поля (рис.3) нанесемо лінії теплового потоку ортогонально до ізотерм.

З рисунка видно, що температурне поле спадає справа наліво і зверху  вниз, тому що на правій частині нижньої грані та на нижній половині лівої грані немає теплообміну з навколишнім середовищем, а зверху і справа відбувається теплообмін з рідиною, температура якої менша температури стінки. Також ізотерми густішають в лівому нижньому куті, тому що на малому інтервалі розміщується велика різниця температур. Лінії теплового потоку рідкі у правому верхньому куті, так як ізотерми там менш густіші.

qc=const

15

15

qc=const

qc=const

qc=const


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82022. ВИДЫ КОНТРОЛЯ И ДВИЖЕНИЯ ФИНАНСОВ 124.21 KB
  В данной дипломной работе представлено основные виды регламентирующих документов, федеральных законов и форм по управлению финансовом потоком во 2-м отряде федеральной противопожарной службы Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий.
82023. Проектирование базы данных. Защита информации 429.13 KB
  Концептуальное (инфологическое) проектирование — построение семантической модели предметной области, то есть информационной модели наиболее высокого уровня абстракции. Такая модель создаётся без ориентации на какую-либо конкретную СУБД и модель данных.
82024. Основы работы в программе Excel. Построение Диаграмм и графиков с помощью Excel 1.69 MB
  Существует специальная область информатики, изучающая методы и средства создания и обработки изображений с помощью программно-аппаратных вычислительных комплексов, – компьютерная графика. Она охватывает все виды и формы представления изображений, доступных для восприятия человеком либо на экране монитора...
82025. Роль фельдшера в организации специфической профилактики инфекционных заболеваний у детей 148 KB
  Иммунопрофилактика инфекционных болезней – это система мероприятий, осуществляемых в целях предупреждения, ограничения распространения и ликвидации инфекционных болезней путем проведения профилактических прививок согласно Национальному календарю профилактических прививок...
82026. БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СРЕДСТВ ОРГАНИЗАЦИИ 531.24 KB
  Основные средства играют большую роль в воспроизводственном процессе труда, так как они образуют производственно-техническую базу и определяют производственную мощь предприятия, именно поэтому тема дипломной работы является актуальной на сегодняшний день.
82027. Взаимосвязь межличностных отношений и учебной мотивации детей младшего школьного возраста 496.5 KB
  Теоретические основы взаимосвязи межличностных отношений и мотивации учебной деятельности младших школьников. Мотивация учебной деятельности младших школьников. Влияние межличностных отношений на мотивацию учебной деятельности младших школьников.
82028. Интернет-коммуникации в деятельности предприятия (на примере проекта «Инфодонск» (ИП Кузнецова Г. В.)) 4.81 MB
  Интернет объединил в себе интерактивный характер коммуникации, гипермедийную природу и возможность построения индивидуального взаимодействия. Глобальная компьютерная сеть является одновременно и новой средой общения, и рынком с десятками миллионов потенциальных клиентов, обладающих достаточно высоким уровнем дохода.
82029. Анализ проблем неправомерного поведения военнослужащих и профилактика правонарушений 263.5 KB
  Сущность и понятие правонарушения. Правонарушения военнослужащих Внутренних Войск МВД Российской Федерации. В борьбе с правонарушениями основные усилия должны быть направлены на профилактику этих проступков и на устранение причин их порождающих.
82030. Учение об отвержении «Я» и самости в Священном Писании и Рейнской мистике 461 KB
  Сравнительный анализ учения рейнских мистиков о самости и Я со Священным Писанием. Учение рейнских мистиков об отвержении Я и самости в контексте Священного писания. Преодоление самости и Я как условие союза человека с Богом.