3874

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності

Практическая работа

Энергетика

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності Умова задачі Використовуючи чисельний метод, визначити розподіл температури в поперечному перерізі довгого стального стержня при кроці розрахункової сітки ...

Украинкский

2012-11-09

202.5 KB

8 чел.

Чисельний метод розв’язання задач стаціонарної теплопровідності

Умова задачі

Використовуючи чисельний метод, визначити розподіл температури в поперечному перерізі довгого стального стержня при кроці розрахункової сітки δ=10мм. На основі вирахуваних локальних значень температур накреслити сімейство інтерпольованих ізотерм , для поперечного перерізу стержня провести лінії теплового потоку.

Поперечний переріз стержня має прямокутну форму з розмірами l1=30мм, l2=40мм. Коефіцієнт теплопровідності матеріалу стержня λ=50 Вт/м∙К.

Схема завдання граничних умов в поперечному перерізі стержня показана на рис.1

                                                                  

 

                      

                                                            


     

    

Рис. 1 Поперечний перетин стержня

           

qс10-5, Вт/м2

tж1,0С

tж2,0С

λ, Вт/мК

α1 ,Вт/м2К

α2,Вт/м2К

l1, мм

l2, мм

0,9

50

75

50

1200

2500

30

40

              

2. ПОБУДОВА РОЗРАХУНКОВОЇ СІТКИ

Дана задача двомірна з розмірами 4030мм. Побудуємо розрахункову сітку з постійним кроком розбиття = 10 мм = Dx = Dy. Диференційне рівняння теплопровідності заміняють рівнянням теплопровідності в кінечних різницях. Для того, щоб в розрахунковій сітці отримати вузлові крапки, що лежать безпосередньо на поверхні тіла, розбиття здійснюють з половинним кроком. Тоді в процесі побудови розрахункової сітки досліджуваної  області отримаємо,  що  елементарні об'єми уздовж меж області будуть удвічі менші (в кутках прямокутника - в чотири рази менше) внутрішніх об'ємів . При цьому серед сукупності вузлових точок розрахункової сітки будуть і такі, які належать бічній поверхні і її ребрам. Всім вузловим крапкам з невідомою температурою привласнимо  свій номер числами 1, 2, 3, 20, оскільки температура в кожній точці буде різниця одна від іншої.

 1 2 3 4                      5

   

 

  

 6 7  8 9 10  

 11 12 13 14 15   

    

16 17 18 19                   16

           

Рис. 2 Схема розрахункової сітки

                                                                                                                              

3. СКЛАДАННЯ РІВНЯНЬ ЕНЕРГОБАЛАНСА ДЛЯ ВУЗЛОВИХ

ТОЧОК СІТКИ

Складаємо рівняння  енергобалансу  для  точок  з  невідомою  температурою. Для  цього   для  кожного  із  обємів тіла вибираємо  вузлуву  точку . Після  цього  переходимо  від  диференціального  рівняння  теплопровідності  до  рівняння  теплопровідності  в  кінцевих   різницях  , для  чого  робимо  заміну   диференціалів  на  кінцеві  прирости.

      

 

                       Qж2,2           

1       Q1,2 2 Q3,2       3

                                        Q7,2

 6     7                  8

 

рис. 3 Схема енергобалансу 2 точки

Точка 1

Точка 2

Точка 3

Точка 4

Точка 5

Точка 6

Точка 7

 

Точка 8

Точка 9

Точка 10

Точка 11

Точка 12

Точка 13

Точка  14

Точка 15

Точка 16

Точка 17

Точка 18

Точка 19

Точка 20

З рівнянь енергобалансу отримаємо таку систему лінійних алгебраїчних рівнянь

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  
  18.  
  19.  
  20.  

4. РОЗВ'ЯЗОК СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Для розв’язку даної системи використаємо програмний пакет MS EXEL. Розв’язки рівнянь знаходять за допомогою перемноження матриць.

Вихідна таблиця з коефіцієнтами при відповідних невідомих температурах та вільними членами рівняння.

Табл .1

Коефіцієнти в рівняннях для відповідних вузлових точок при температурах

Вільний член рівняння

t1

t2

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9

t10

t11

t12

t13

t14

t15

t16

t17

t18

t19

t20

1

-5

2

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-111

2

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

3

0

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

4

0

0

1

-5

1

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-75

5

0

0

0

25

-68,5

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1237,5

6

1

0

0

0

0

-4

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-36

7

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

8

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

9

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

25

0

0

0

50

-112

0

0

0

0

25

0

0

0

0

0

-600

11

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-4

2

0

0

0

1

0

0

0

0

0

12

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

0

13

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

0

14

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

-4

1

0

0

0

1

0

0

15

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

0

0

0

50

-112

0

0

0

0

25

-600

16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-2

1

0

0

0

-18

17

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

0

-36

18

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

-36

19

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

1

-4

1

0

20

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

25

0

0

0

25

-56

-300

При розв’язуванні даної системи отримаємо такі результати:

      табл. 2

t1

115,13

t2

103,66

t3

96,01

t4

89,23

t5

82,47

t6

128,66

t7

116,09

t8

106,09

t9

96,33

t10

87,25

t11

131,35

t12

125,93

t13

115,91

t14

102,77

t15

91,72

t16

144,87

t17

140,39

t18

128,83

t19

107,13

t20

94,13

5. АНАЛІЗ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

На основі розрахованих локальних значень температур, зобразимо температурне поле у поперечному перерізі стержня (рис.3). Для цього накреслимо у масштабі поперечний переріз стержня, відмітимо положення вузлових точок і покажемо значення температур в них, а потім побудуємо з певним вибраним інтервалом сім’ю інтерпольованих ізотерм.

На графіку температурного поля (рис.3) нанесемо лінії теплового потоку ортогонально до ізотерм.

З рисунка видно, що температурне поле спадає справа наліво і зверху  вниз, тому що на правій частині нижньої грані та на нижній половині лівої грані немає теплообміну з навколишнім середовищем, а зверху і справа відбувається теплообмін з рідиною, температура якої менша температури стінки. Також ізотерми густішають в лівому нижньому куті, тому що на малому інтервалі розміщується велика різниця температур. Лінії теплового потоку рідкі у правому верхньому куті, так як ізотерми там менш густіші.

qc=const

15

15

qc=const

qc=const

qc=const


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54326. Особливості використання кейс-методу при викладанні інженерної графік 704.5 KB
  Наявність головної умови використання кейс-методу при викладанні будь–якої дисципліни – наявність протиріч, на основі яких формуються і формулюються проблемні ситуації, задачі, практичні завдання для обговорення та знаходження оптимального розвязання учнями або студентами.
54327. Методичні рекомендації щодо формування комунікативно-мовленнєвих умінь в учнів початкових класів на уроках української мови в російськомовних класах 367.5 KB
  Діти що приходять у 1 клас особливо російськомовні мають обмежений словниковий запас для спілкування українською мовою. Наприклад: ТВАРИНИ Ведмідь медведь Лисиця лисица Вовк волк Заєць заяц Білка белка Їжак ежик Мавпа обезьяна Пташка птичка Жаба лягушка Ящірка ящерица Бобер бобёр Кажан летучая мышь Паралельно з цією карткою діти працюють з карткою з малюнками на якій намальовані ті предмети які були записані в картці словами. Скажіть діти кого із названих членів сім'ї ви вдома називаєте не так Пропоную з...
54328. Метод проектів як основа творчого розвитку особистості 170.5 KB
  Практична теоретична пізнавальна значимість передбачуваних результатів наприклад доповідь у відповідні служби про демографічний стан даного регіону фактори що впливають на цей стан тенденції що просліджуються в розвитку даної проблеми; спільний з партнером по проекту випуск газети альманаху з репортажами з місця подій; охорона лісу в різних місцевостях план заходів і т. Структурування змістовної частини проекту із указівкою поетапних результатів. Але незалежно від типу проекту всі вони в означеній мірі неповторні та унікальні;...
54329. Групування, формули, адресація, імена комірок, авто заповнення в Microsoft Excel (MICROSOFT OFFICE 2010) 429 KB
  Мета: Навчитися обєднувати дані за природними групами, користуватися документом, в якому є групування, створювати в комірках формули для обчислення нових даних, копіювати дані та формули, призначати імена коміркам, користуватися автозаповненням.
54330. ПРОЕКТНА ДІЯЛЬНІСТЬ НА УРОКАХ ІНФОРМАТИКИ 239.5 KB
  Це з одного боку сукупність прийомів операцій оволодіння певною областю практичного або теоретичного знання тієї чи іншої діяльності. Цей результат можна побачити осмислити застосувати в реальній практичній діяльності. Саме тому на уроках інформатики корисно вводити елементи проектної діяльності. Провідні принципи такої діяльності: Основні вимоги до проекту Необхідно наявність соціально значущої задачі проблеми дослідної інформаційної практичної.
54331. Застосування методу проектів на уроках світової літератури 797.5 KB
  У сучасній школі можна виділити чотири основні напрями при яких ефективно застосовувати методи проектів: 1 проект як метод навчання на уроці; 2 проектні технології дистанційного навчання; 3 для формування дослідницьких навичок школярів у позаурочній роботі;4 як метод організації дослідницької діяльності вчителів. Метод проектів знаходить все більше поширення у системі освіти різних країн світу. Із історії виникнення методу проектів Метод проектів не є принципово новим у світовій педагогіці. Метод проектів ефективна технологія навчання...
54332. Використання прийомів і методів розвивального навчання в традиційній початковій школі 246 KB
  Створення ситуації розриву СР пропонується завдання зовні схоже на попереднє але в корені ні. Аналіз умов аналіз того що було в попередньому способі що дозволяло нам виконувати завдання а зараз ні. І по тому які завдання учень вибрав для самостійної роботи можна встановити на якому етапі осмислення поняття він знаходиться. Це завдання які уже виконані кимось а дитині потрібно їх оцінити.
54334. Формування логічного мовлення школярів у період навчання грамоти засобами словниково-логічних вправ 192 KB
  Важливе місце у цьому процесі належить збагаченню словника дитини словаминазвами предметів їхніми якостями діями. Як свідчить практика головна увага вчителя у цей час спрямована на вивчення звукового комплексу слова тим часом його лексичне значення нерідко залишається поза увагою. Досвід підказує що шестирічна дитина здатна розрізняти і фонетичну і семантичну сторони слова усвідомлювати його як мовну одиницю. В основі методики формування лексичних понять необхідна робота над лексичним значенням слова.