38908

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Лабораторная работа

Физика

Лаборатория Физические основы механики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Нормоконтроль: Переработано: к. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вращательного движения тела на примере крутильных колебаний. Определение момента инерции твердого тела. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Абсолютно твёрдым телом называется тело которое ни при каких условиях не может деформироваться то есть расстояние между двумя точками или точнее между двумя частицами этого тела остаётся постоянным.

Русский

2013-09-30

612.5 KB

26 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ П.А. СОЛОВЬЕВА

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УТВЕРЖДЕНО

на заседании методического

семинара кафедры ОиТФ

« »   2004 г.

Зав.каф.   Пиралишвили Ш.А.

Лаборатория «Физические основы механики»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ-1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛА

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

         Нормоконтроль:

Переработано: к.т.н. доцент

              ____________        

Каляева Н.А.

                                _________

Рецензент: ст. преп. Попкова Е. А.

                                 _________

Рыбинск 2008

ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ: Необходимо выполнение общих требований безопасности, установленных в лаборатории.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вращательного движения тела на примере крутильных колебаний. Определение момента инерции твердого тела.

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Абсолютно твёрдым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, то есть расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остаётся постоянным.

При вращении твёрдого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

1.1 КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Рис. 1.1.1

Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1.1.1). Её положение через промежуток времени  зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматриваются как векторы. Модуль вектора  равен углу поворота, а его направление определяется по правилу правого винта (рис.1.1.1).

Векторы, направления которых связываются с направлением вращения твёрдого тела, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определённых точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси  вращения.                                                                   Быстроту вращения характеризует угловая скорость. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

.

Вектор  направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта, т.е. так же, как и вектор  (рис. 1.1.1). Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

 Величина линейная скорости точки (рис. 1.1.1):

.

Направлена линейная скорость по касательной к траектории.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение угловой скорости  и радиус-вектора , проведённого из центра окружности в рассматриваемую точку (рис.1.1.1):

Если , то вращение называется равномерным и его можно характеризовать  периодом вращения – временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол . Так как промежутку времени соответствует угол , то

, откуда .

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

, откуда .

Быстроту изменения угловой скорости характеризует угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

                                                                                    

Рис. 1.1.2

                                                                   Модуль углового ускорения равен:                                                                      .

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему (рис. 1.1.2).

Ускорение  производной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О или неподвижной оси, проходящей через эту точку, называют линейным ускорением. Оно равно:

где  нормальное или осестремительное ускорение;  - касательное или тангенциальное ускорение. Здесь - единичный вектор, направленный по нормали в данной точке траектории; - единичный вектор, направленный по касательной к траектории в направлении скорости  точки (рис.1.1.3).

Рис. 1.1.3

Нормальное ускорение   характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки, оно направленно по нормали к траектории к центру кривизны. Величина нормального ускорения , где  - радиус кривизны траектории в данной точке.

Касательное ускорение  характеризует быстроту изменения модуля скорости, оно направленно по касательной к траектории. Векторы  и  совпадают по направлению, т.е >0, при ускоренном движении точки; векторы  и  взаимно противоположны по направлению, т.е <0 при замедленном движении точки,  и  при ее равномерном движении. Величина касательного ускорения                                                

Учитывая, что векторы  и  взаимно перпендикулярны, величина полного линейного ускорения будет определяться по теореме Пифагора:

.

                     

Таким образом, связь между линейными (длина пути S, пройденного точкой по дуге окружности радиуса , линейная скорость , тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

,  ,  ,  .

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

; ,

где  – начальная угловая скорость.

1.2 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

 Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

,

где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина  в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции  относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния d между осями:

.

В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).

Тело

Положение оси

вращения

Момент инерции

Полый тонкостенный

цилиндр, обруч радиусом R

Ось симметрии

Сплошной цилиндр (диск) радиусом R

Ось симметрии

Прямой тонкий стержень длиной

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Прямой тонкий стержень длиной

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Шар радиусом R

Ось проходит через центр

шара

             Таблица 1.2.1  

                                                                                                            

 

Если тело имеет сложную форму, и теоретически определить момент инерции его сложно, прибегают к экспериментальным методам определения момента инерции.

1.3 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим  абсолютно твёрдое  тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1.3.1). Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами , ,..., , находящиеся на расстоянии , ,...,  от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами  опишут окружности различных радиусов  и имеют различные линейные скорости . Но так как мы рассматриваем абсолютно твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:

 (1.3.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

                                 .

Используя выражение (1.3.1), получим:

Рис. 1.3.1

            (1.3.2)

где  – момент инерции тела относительно оси z.

Из сравнения формулы (1.3.2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции I вращательного движения – мера инертности тела во вращательном движении, т.е. является вращательным аналогом массы.

    

1.4 МОМЕНТ СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

    ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Моментом силы  относительно неподвижной точки O называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки O в точку A приложения силы, на силу  (рис.1.4.1):

                        (1.4.1)

Здесь  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении от  к .                                                              

Модуль момента силы  

Рис. 1.4.1

,

где  – угол между  и ,  – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой Оплечо силы.

 Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки O данной оси  z (рис. 1.4.1).

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

.

С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:

, но

, поэтому

, или .

Учитывая, что , получим

.                    (1.4.2)

Получили уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела  относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

,

где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

1.5 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ

 Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:

                                (1.5.1)

где  – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А;  – импульс материальной точки (рис. 1.5.1);  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к .

Рис. 1.5.1

Модуль вектора момента импульса

,

где  – угол между векторами  и ,  – плечо вектора  относительно точки О.

 Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса  не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса  с некоторой скоростью . Скорость  и импульс  перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

 Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

.

Используя формулу , получим

,    т.е        (1.5.2)

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:

,     т.е.             (1.5.3)

Это выражение – ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство .

В замкнутой системе момент внешних сил  и , откуда

.                                               (1.5.4)

Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).

                                                                                                             Таблица 1.5.1

Поступательное

движение

Вращательное

движение

Функциональная

зависимость

Линейное перемещение

S

Угловое

перемещение

Линейная скорость

Угловая

скорость

Линейное ускорение

Угловое

ускорение

Масса

m

Момент

инерции

I

(для материальной точки)

Сила

Момент

силы

Импульс

Момент

импульса

Основное уравнение динамики

 

                 

            

Работа

Работа вращения

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса

2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

2.1. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Лабораторная установка представлена на рисунке 2.1. На стойке 1 укреплена ось 2 подвеса сложного тела. Тело 3 подвешено на проволоке 4 и включает в себя массивную планку 5 с укрепленными на ней штифтами 6 для закрепления дополнительных грузов. Пары штифтов 6 расположены симметрично относительно точки крепления планки 5 к проволоке 4. Крепление планки 5 к проволоке 4 произведено в центре инерции планки 5. Добавочные грузы представляют собой сплошные цилиндры. Тело 3 приводится в колебательное движение нажатием рычага пускового механизма 7.

Рис. 2.1

2.2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА

ИНЕРЦИИ ТЕЛА

В настоящей лабораторной работе в основу определения момента инерции тела положен метод крутильных колебаний. Исследуемое тело 3 (рисунок 2.1) отклоняют на небольшой угол  (= 50 – 70). Под действием возникающей в результате отклонения тела от положения равновесия упругой силы проволоки и инертности тела последнее будет совершать гармонические крутильные колебания, описываемые уравнением:

,

где  – угол отклонения тела от положения равновесия в момент времени ;  – максимальный угол отклонения (амплитуда).

Период крутильных колебаний выражается формулой:

,     (3.1)

где  – направляющий момент, это постоянная величина, численно равная отношению крутящего момента силы к углу закручивания проволоки.

Период Т колебаний тела 3 можно определить экспериментально. Тогда из выражения (3.1) можно найти момент инерции тела 3:

.      (3.2)

Укрепим на планке 5 грузы на штифты 6, ближайшие к центру инерции планки, по обе стороны от него. Расстояние от штифта до центра инерции планки .

Момент инерции тела 3 вместе с грузами равен сумме моментов инерции его частей, поэтому

,

где  – момент инерции планки 5;  – момент инерции груза на штифте относительно оси, проходящей через центр инерции планки.

Согласно теореме Штейнера

.

Грузы представляют собой сплошные цилиндры, их моменты инерции равны:

,

где  – радиус добавочного груза.

Тогда

.

Окончательно имеем:

.    (3.3)

Переместим грузы на другую пару штифтов, удаленных от центра инерции планки на расстояние . Момент инерции сложного тела 3 в этом случае равен:

.   (3.4)

Вычтем из уравнения (3.3) уравнение (3.4), получим:

,

отсюда

.

Тогда

,

и

   (3.5)

Приведя выражение (3.5) к общему знаменателю, получим:

.    (3.6)

2.3 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

  1.  На штифты, ближайшие к проволоке, надеть добавочные цилиндрические грузы одинаковой массы . Измерить расстояние .

Нажатием рычага пускового механизма 7 (см. рисунок 2.1) привести исследуемое тело 3 в колебательное движение. Угол отклонения планки 5 от положения равновесия (по горизонтали) не должен превышать 50 – 70. При помощи секундомера измерить время 20 полных колебаний и вычислить период. Трижды повторить опыт.

.

  1.  Переместить цилиндры на другую пару штифтов. Измерить расстояние . Определить период колебаний Т2. Опыт повторить трижды.
  2.  В каждой серии опытов вычислить средние значения Т1, Т2, , , , т. Данные измерений и вычислений свести в таблицу 2.3.1. Определить погрешности измеренных величин и записать в таблицу 2.3.1.
  3.  По формуле (3.6) рассчитать момент инерции исследуемого тела для средних значений входящих в формулу величин, вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.
  4.  Повторить п.п.1 – 4 для другого набора добавочных грузов, заполнить таблицу 2.3.2. измерений и вычислений, рассчитать момент инерции исследуемого тела.

6.По двум сериям опытов определить среднее значение момента инерции тела, вычис-   лить абсолютную и относительную погрешности измерений.

.

Таблица 2.3.1 измерений и вычислений для одного набора добавочных грузов

п/п

,

с

,

с

Т1,

с

,

с

,

м

,

м

,

м

, м

,

с

,

с

Т2,

с

,

с

1

2

3

ср

п/п

,

м

,

м

т,

кг

,

кг

,

кгм2

,

кгм2

,

%

1

–

2

–

3

ср

Таблица 2.3.2 измерений и вычислений для другого набора добавочных грузов

п/п

,

с

,

с

Т1,

с

, с

, м

, м

,

м

, м

,

с

,

с

Т2,

с

,

с

1

2

3

ср

, м

,

м

т, кг

, кг

,

кгм2

,

кгм2

, %

1

2

3

ср

2.4. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

Отчет должен содержать результаты измерений и вычислений, сведенные в таблицы 2.3.1. и 2.3.2.,  примеры расчетов, а также вычисление абсолютных и относительных погрешностей.

2.5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1.  Перечислить и дать определение основных кинематических характеристик вращательного движения. Какова связь между линейными и угловыми величинами?
  2.  Что такое момент инерции? Какова роль момента инерции во вращательном движении?
  3.  Как определяется кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Привести вывод формулы.
  4.  Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?
  5.  Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
  6.  Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется направление момента импульса?
  7.  Сформулировать закон сохранения момента импульса.
  8.  Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движения, прокомментировав их аналогию.
  9.  Вывести формулу экспериментального определения момента инерции твердого тела, которой Вы пользовались в данной работе.

2.6 ЛИТЕРАТУРА

  1.  Савельев, И.В. Курс общей физики: Учебн. пособие. В3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика [Текст]/ И.В.Савельев. – М.: Наука, 1986. – 432с.

2.  Иродов, И.Е. Механика. Основные законы [Текст]/ И.Е.Иродов. – М.: Лаборатория   базовых знаний, 2002. – 312с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34316. Пути рационального использования природного сырья 22.5 KB
  Пути рационального использования природного сырья Известно что экономика производства зависит от характера использования сырья. Наиболее важными из них являются: правильный выбор сырья комплексная его переработка повторное использование высококачественная первичная обработка и обогащение максимальное использование отходов производства. Выбор сырья определяет тип применяемого технологического оборудования характер технологии длительность производственного цикла и влияет на многие техникоэкономические показатели работы предприятий....
34317. Методы обогащения сырьевых материалов 24 KB
  Методы обогащения сырьевых материалов Качество сырья состав и свва в значительной степени характеризуют техникохимические показатели производства. Оно выражается содержанием полезных элементов в руде либо другом виде сырья. Известны такие методы обогащения сырья как физические механический термический электромагнитный метод гравитационного обогащения и др. применение более чистого концентрированного сырья позволяет получить качественную продукцию которая обладает более высокой стоимостью.
34318. Обогащение сырьевых материалов методами флотации и выщелачивания 24 KB
  Обогащение сырьевых материалов методами флотации и выщелачивания Наиболее широко применимы такие методы обогащения как флотация и выщелачивание. Скорость выщелачивания зависит от структуры степени пористости размера пор обрабатываемого материала. Чем выше содержание растворимой фазы и крупнее поры тем быстрее идет процесс выщелачивания. На процесс выщелачивания влияет также тонона измельчения.
34319. Концентрирование сырьевых материалов и выделение полезного компонента методом выпаривания, кристаллизации, фильтрации 24 KB
  Выпаривание метод выделения растворителей из раствора. Пути возможной экономии тепла комбинированные выходные установки сочетание более концентрированного раствора с низкой энергопотребляемостью при удалении растворителя. Процесс выпаривания состоит из двух стадий: 1 удаление основного количества воды 2 выпаривание самого концентрированного раствора. Кристаллизация образование новой твердой фазы из раствора расплава.
34320. Утилизация отходов как основа безотходных и малоотходных технологий 22.5 KB
  Важно максимально использовать отходы тогда снижается использование материалов и расход энергии. Эти предприятия можно будет закрыть если мы научимся использовать отходы. Отходы изношенной футеровки при кладке печей. Отходы микробиологической промышленности: основной лигнин до 1 т в год.
34321. Отходы химической промышленности и способы их утилизации 21.5 KB
  Отработанные масла используют для производства бетонов битума т. Также используется для производства гипсокартонных листов для изоляции. Основной проблемой переработки отходов калийного производства является переработка природного сырья сильвинита KCLNCLнерастворимый осадок KCL полезный компонент который используется в качестве удобрения. Утилизация галита: закладка шахтного производства готовиться суспензия галит вода её под давлением в 20 атмосфер закачивают в место выработки.
34322. Отходы деревообрабатывающей и гидролизной промышленности и способы их утилизации 24.5 KB
  Переработка леса – это не только переработка древесины как сырья: технологии рубок транспортировка хранение древесины лесопиление т. В результате неправильной эксплуатации леса может усилиться эрозия увеличиться заиление водных объектов нарушиться гидрологический режим что приведет в свою очередь к усилению паводков нехватке воды и деградации водных экосистем произойдет сокращение генетических ресурсов обострятся социальноэкономические проблемы. Вторичные леса то есть леса появившиеся на месте вырубленных первичных лесов...
34323. Влияние промышленных и бытовых отходов на экономию 24.5 KB
  продукты отходы пром. По физическому состоянию отходы делятся на 3 группы: при сжигании твердого топлива золы из неоплавленных. Отходы легкоплавкие до 1000 градусов среднеплавкие 10001300 и тугоплавкие 1300 и более. Отходы используют как пластифицирующие добавки в битумное прово что увеличивает прочность материала в 2 р.
34324. Вторичное сырье и его классификация 24.5 KB
  продукты отходы пром. По физическому состоянию отходы делятся на 3 группы: при сжигании твердого топлива золы из неоплавленных. Отходы легкоплавкие до 1000 градусов среднеплавкие 1001300 и тугоплавкие 1300л более. Отходы используют как пластифицирующие добавки в битумное прово что увеличивает прочность материала в 2 р.