38909

Изучение прецессии лабораторного гироскопа

Лабораторная работа

Физика

Окружности по которым движутся точки тела лежат в плоскостях перпендикулярных к этой оси. Эти векторы не имеют определённых точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. Вектор направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта т. При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону...

Русский

2013-09-30

4.27 MB

39 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ П.А. СОЛОВЬЕВА

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УТВЕРЖДЕНО

на заседании методического

семинара кафедры ОиТФ

« »   2004 г.

Зав.каф.   Пиралишвили Ш.А.

Лаборатория «Физические основы механики»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА   ФМ-2

Изучение прецессии лабораторного гироскопа

         Нормоконтроль:

Переработано: к.т.н. доцент

              ____________        

Каляева Н.А.

                                _________

Рецензент: ст.преп. Попкова Е.А.

                                 _________

Рыбинск 2008

          ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ: При включении прибора в сеть тумблеры прибора должны находиться в положении «выключено». При работе нужно следить за состоянием проводов, идущих от датчика, укреплённого на рамке гироскопа, не допускать их перекручивания. Без необходимости раскручивать гироскоп запрещается.

           ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучение гироскопического эффекта, определение частоты прецессии лабораторного гироскопа.

           ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: Лабораторный гироскоп, линейка, счётчик числа импульсов (оборотов) и времени (СИВ-1)

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Абсолютно твёрдым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, то есть расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остаётся постоянным.

При вращении твёрдого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

1.1 КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Рис. 1.1.1

Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1.1.1). Её положение через промежуток времени  зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматриваются как векторы. Модуль вектора  равен углу поворота, а его направление определяется по правилу правого винта (рис.1.1.1).

Векторы, направления которых связываются с направлением вращения твёрдого тела, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определённых точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси                                                                               вращения.

Быстроту вращения характеризует угловая скорость. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

.

 Вектор  направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта, т.е. так же, как и вектор  (рис. 1.1.1). Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

 Величина линейная скорости точки (рис. 1.1.1):

.

 Направлена линейная скорость по касательной к траектории.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение угловой скорости  и радиус-вектора , проведённого из центра окружности в рассматриваемую точку (рис.1.1.1):

 Если , то вращение называется равномерным и его можно характеризовать  периодом вращения – временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол . Так как промежутку времени соответствует угол , то

, откуда .

 Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

, откуда .

Быстроту изменения угловой скорости характеризует угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

                                                                                    

Рис. 1.1.2

                                                                   Модуль углового ускорения равен:                                                                      .

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему (рис. 1.1.2).

Ускорение  производной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О или неподвижной оси, проходящей через эту точку, называют линейным ускорением. Оно равно:

где                        нормальное или осестремительное ускорение;  - касательное или тангенциальное ускорение. Здесь - единичный вектор, направленный по нормали в данной точке траектории; - единичный вектор, направленный по касательной к траектории в направлении скорости  точки (рис.1.1.3)

Рис. 1.1.3

Нормальное ускорение  характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки, оно направленно по нормали к траектории к центру кривизны. Величина нормального ускорения , где  - радиус кривизны траектории в данной точке.

Касательное ускорение  характеризует быстроту изменения модуля скорости, оно направленно по касательной к траектории. Векторы  и  совпадают по направлению, т.е >0, при ускоренном движении точки; векторы  и  взаимно противоположны по направлению, т.е <0 при замедленном движении точки,  и  при ее равномерном движении. Величина касательного ускорения           

Учитывая, что векторы  и  взаимно перпендикулярны, величина полного линейного ускорения будет определяться по теореме Пифагора:

.                    

Таким образом, связь между линейными (длина пути S, пройденного точкой по дуге окружности радиуса , линейная скорость , тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

,  ,  ,  .

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

; ,

где  – начальная угловая скорость.

1.2 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

 Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

,

где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина  в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции  относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния d между осями:

.

В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).

Тело

Положение оси

вращения

Момент

инерции

Полый тонкостенный

цилиндр, обруч радиусом R

Ось симметрии

Сплошной цилиндр (диск) радиусом R

Ось симметрии

Прямой тонкий стержень длиной

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Прямой тонкий стержень длиной

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Шар радиусом R

Ось проходит через центр

шара

        Таблица 1.2.1  

                                                                                                            

Если тело имеет сложную форму, и теоретически определить момент инерции его сложно, прибегают к экспериментальным методам определения момента инерции.

1.3 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим  абсолютно твёрдое  тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1.3.1). Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами , ,..., , находящиеся на расстоянии , ,...,  от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами  опишут окружности различных радиусов  и имеют различные линейные скорости . Но так как мы рассматриваем абсолютно твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:

 (1.3.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

.

Используя выражение (1.3.1), получим:

Рис. 1.3.1

            (1.3.2)

где  – момент инерции тела относительно оси z.

Из сравнения формулы (1.3.2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции I вращательного движения – мера инертности тела во вращательном движении, т.е. является вращательным аналогом массы.

1.4 МОМЕНТ СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Рис. 1.4.1

 Моментом силы  относительно неподвижной точки O называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки O в точку A приложения силы, на силу  (рис.1.4.1):

   (1.4.1)

Здесь  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении от  к .       

Модуль момента силы

,

где  – угол между  и ,  – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой Оплечо силы.

 Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки O данной оси  z (рис. 1.4.1).

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

.

С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:

, но

, поэтому

, или .

Учитывая, что , получим

    (1.4.2)

Получили уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела  относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

,

где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

1.5 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ

Рис. 1.5.1

 Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:

 (1.5.1)

где  – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А;  – импульс материальной точки (рис. 1.5.1);  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к .

  Модуль вектора момента импульса

,

где  – угол между векторами  и ,  – плечо вектора  относительно точки О.

 Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса  не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса  с некоторой скоростью . Скорость  и импульс  перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

 Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

.

Используя формулу , получим

,    т.е .    (1.5.2)

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:

, т.е.   (1.5.3)

Это выражение – ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство .

В замкнутой системе момент внешних сил  и , откуда

.     (1.5.4)

Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).

                                                                                                             Таблица 1.5.1

Поступательное

движение

Вращательное

движение

Функциональная

зависимость

Линейное перемещение

S

Угловое

перемещение

Линейная скорость

Угловая

скорость

Линейное ускорение

Угловое

ускорение

Масса

m

Момент

инерции

I

(для материальной точки)

Сила

Момент

силы

Импульс

Момент

импульса

Основное уравнение динамики

 

                 

            

Работа

Работа вращения

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса

1.6. Гироскоп

Если тело вращается вокруг закреплённой оси, то для характеристики его движения необходимо знать только величину –проекцию момента импульса этого тела на ось вращения. В этом случае движение имеет простой характер.

Если же ось вращения не закреплена, то необходимо рассматривать весь вектор  в зависимости от вектора угловой скорости .

В случае незакрепленной оси вращения направления векторов  и  могут и не совпадать.

Примером такого движения является вращение гироскопа. Гироскоп – осесимметричное тело, быстро вращающееся вокруг своей геометрической оси, причём ось вращения может свободно ориентироваться в пространстве.

В отсутствии внешних сил векторы  и   направлены по оси гироскопа (т.к. гироскоп симметричен относительно своей оси и нет никакого другого предпочтительного направления, куда бы мог быть направлен вектор ). В этом случае ось гироскопа сохраняет своё положение в пространстве.

Если же к гироскопу приложить внешнюю силу, то его ось начинает отклоняться. Это движение оси гироскопа называется прецессией. Движение оси гироскопа происходит относительно некоторой другой оси, не совпадающей с осью гироскопа, поэтому и вектор суммарной угловой скорости    не будет совпадать с геометрической осью гироскопа. Значит, не будет совпадать с осью гироскопа и вектор .

Если основное вращение гироскопа происходит с большой скоростью и внешние силы не слишком велики, скорость поворота оси гироскопа будет мала и векторы  и   будут близки по направлению к оси гироскопа, и по изменению вектора   можно судить о движении оси гироскопа. Изменение же вектора   определяется моментом приложенных к нему сил:

т. е. внешняя сила вызывает поворот оси гироскопа в направлении, перпендикулярном направлению силы.

Действительно, пусть к концам оси гироскопа приложена пара сил , действующих в плоскости yz (см. рис.1.6.1)

Рис.1.6.1

Момент пары сил  направлен перпендикулярно векторам  и  (причём вектор  направлен по оси z, вектор - по оси y). Таким образом, вектор  направлен по оси x, и в эту же сторону направлена производная , т.е. момент импульса гироскопа и его ось отклоняются в одну сторону по оси х. За время момент импульса гироскопа получит приращение , которое совпадает по направлению с моментом силы (см. рис.1.6.2.).

Рис.1.6.2

По этому результирующий момент импульса гироскопа равен:

.

Направление вектора  совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернётся вокруг оси y, причём так, что угол между векторами  и   уменьшится.

Если на гироскоп действовать длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил , то ось гироскопа устанавливается так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под действием внешних сил (вектор  совпадает по направлению с вектором ).

Рассмотрим прецессию лабораторного гироскопа, в котором момент силы создаётся перемещением рейтера относительно центрального положения (см. рис.1.6.3.).

Рис. 1.6.3

В этом случае момент внешних сил постоянен по величине и поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время, прямой угол. Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, равен по величине:

,  (1.6.1)

где m — масса рейтера, d – расстояние от центрального положения (на оси y) до центра масс рейтера.

Момент силы  направлен перпендикулярно векторам  и , следовательно, он направлен в отрицательном направлении оси y. Под действием момента сил  момент импульса  получит за время dt приращение:

,

которое совпадает по направлению с вектором , т.е. перпендикулярное вектору . За время dt ось гироскопа повернётся на угол  относительно оси z, на такой же угол в горизонтальной плоскости повернётся вектор , т.е. спустя dt будем иметь такое же взаимное расположение векторов   и , как и в начальный момент времени.

За последующий промежуток времени dt вектор   снова получит приращение , которое будет перпендикулярно к новому (возникшего уже после первого элементарного поворота) направлению вектора и т.д. Таким образом, ось гироскопа непрерывно поворачиваться вокруг вертикали . При этом вектор   меняется по направлению, оставаясь постоянным по величине.

Такое движение гироскопа называется прецессией и представляет собой движение его оси под действием внешних сил.

Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через вертикаль  и ось гироскопа, называется скоростью прецессией:

, (1.6.2.)

где - угол, на который повернётся эта плоскость за время dt. 

Видно, что

    или   .

Угол  мал, поэтому , тогда

.                   (1.6.3.)

Согласно (1.6.2.) и (1.6.3.), получим:

     .                                    (1.6.4.)

Угловая скорость прецессии от угла наклона оси гироскопа не зависит.

2.Описание лабораторной установки

Демонстрационный гироскоп (см. рис. 2.1.) состоит из ротора 1 и карданного подвеса с основанием. Ротор представляет собой маховик с массивным ободом, соединённым со ступицей двумя лёгкими дисками. Ротор имеет возможность вращаться относительно своей оси.

Карданный подвес состоит из рамки 2 и наружного полукольца 3 с основанием 4. Рамка своими полуосями закреплена в горизонтальных опорах скольжения 5 на наружном полукольце. Наружное полукольцо имеет вертикальную опору качания в центральной втулке 6 основания. Для демонстрации явлений прецессии гироскоп имеет устройство для изменения центра тяжести ротора вместе с рамкой карданного подвеса в виде рейтера с грузом 7, закреплённого на оси рамки. Когда груз на рейтере установлен в среднее положение, гироскоп находиться в равновесии, т. к. моменты внешних сил скомпенсированы. В этом случае ось гироскопа сохраняет своё положение в пространстве.

Гироскоп может иметь две или три степени свободы. Первая степень свободы гироскопа осуществляется за счёт возможности вращения ротора в шарикоподшипниковых опорах, вторая — за счёт вращения рамки, на которой закреплён ротор, третья — за счёт вращения полукольца, на которое опирается рамка своими опорами скольжения.

Изменение числа степеней свободы гироскопа осуществляется стопором 8, соединяющим рамку и внешнее полукольцо карданного подвеса. При выполнении данной лабораторной работы гироскоп имеет три степени свободы.

Для определения времени прецессионного движения в работе использован счётчик импульсов и времени, который представляет собой электронный прибор настольного типа. Он имеет две шкалы — измерение времени и измерение числа оборотов. Запуск счётчика производится нажатием тумблера «пуск». После снятия показаний тумблер «пуск» необходимо отключить. Для сброса показаний счётчика над шкалой имеется кнопка. Счётчик соединяется с гироскопом с помощью гибкого кабеля.

Рис. 2.1.

3.Порядок выполнения работы

1. Установите рейтер в среднем положении. Убедитесь, что ось гироскопа сохраняет своё положение в пространстве. Для этого раскрутите гироскоп легкими движениями руки и установите любое положение оси.

2. Передвиньте рейтер на некоторое расстояние d относительно центрального положения. Расстояние d измеряется от центра тяжести груза до средней отметки рейтера. Момент, создаваемый рейтером, равен N=Pd, где P – вес груза, Р = 13 Н. Плечо d измеряется масштабной линейкой. Момент инерции гироскопа равен . Значения d, P, I, N занесите в таблицу.

3. Придерживая гироскоп так, чтобы его ось симметрии была горизонтальной, раскрутите гироскоп. Помните, что угловая скорость гироскопа должна быть большой! В противном случае прецессии не будет.

4. Отпустите гироскоп и одновременно включите счётчик импульсов и времени.

5. По указателю внизу прибора зарегистрируйте поворот оси гироскопа на ¼ оборота, остановите счётчик.

6. Снимите показания счётчиков и занесите в таблицу время прецессии t и число полных оборотов ротора гироскопа за это время n.

7. Рассчитайте угловую скорость прецессии  и угловую скорость вращения ротора

8. Нажатием кнопки сбросьте показания счётчиков.

9. Повторите п.п. 2-8 3-4 раза. Данные изменений и расчётов занесите в таблицу.

10. Вычислите теоретическое значение частоты прецессии по формуле (1.6.4.).

11. Определите абсолютную и относительную погрешности , данные занесите в таблицу:

12. Измените положение рейтера и повторите п.п. 2-11.

Таблица

N

п/п

N

п/п

d

P

I

N

t

n

ω

м

Н

кг∙м2

Н∙м

с

об

%

%

I

1.

2.

3.

II

1.

2.

3.

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1.  Перечислить и дать определение основных кинематических характеристик вращательного движения. Какова связь между линейными и угловыми величинами?
  2.  Что такое момент инерции? Какова роль момента инерции во вращательном движении?
  3.  Как определяется кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Привести вывод формулы.
  4.  Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?
  5.  Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
  6.  Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется направление момента импульса?
  7.  Сформулировать закон сохранения момента импульса.
  8.  Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движения, прокомментировав их аналогию.
  9.  Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?
  10.   Что такое прецессия гироскопа, скорость прецессии? От чего она зависит?
  11.  Как Вы определяли скорость прецессии в Вашей работе, и как она определяется теоретически?

5.ЛИТЕРАТУРА

  1.  Савельев, И.В. Курс общей физики: Учебн. пособие. В3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика [Текст]/ И.В.Савельев. – М.: Наука, 1986. – 432с.

2.  Иродов, И.Е. Механика. Основные законы [Текст]/ И.Е.Иродов. – М.: Лаборатория   базовых знаний, 2002. – 312с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61260. Спільні та відмінні риси білоруського, російського та українських народів 18.91 KB
  €œМузичні інструменти народного оркестру слайди із зображенням народних інструментів. Чи пригадали ваші батьки композиторські пісні які з часом стали вважатися народними І. Повторення і вдосконалення виконання російської народної пісні...
61261. Музика не знає кордонів. Танцювальна музика українського, російського та білоруського народів 24.27 KB
  Мясков варіації на тему білоруської народної пісні Перепілонька. Зараз я пропоную вам просольфеджувати мелодію пісні Перепілочка. Діти виконують мелодію пісні нотами з аркуша на парті: перший раз – вчитель другий раз діти.
61263. Времена глаголов 28.39 KB
  Планируемые результаты: Предметные: умение правильно распознавать время глаголов; умение изменять глагол по временам; умение ставить вопросы к глаголам в настоящем прошедшем и будущем времени; умение различать глаголы в настоящем прошедшем и будущем времени в тексте.
61265. Слова and, has, a, have. Неопределенный артикль. Несколько английских имен 26.49 KB
  1. Слова and, has, a, have. Неопределенный артикль. Несколько английских имен. 2. Отработка чтения новых слов. 3. Место артикля и прилагательного в словосочетании. 4. Золотое правило построения английского предложения. 5. Отработка чтения предложений.
61266. На огородах Бабы-Яги 19.61 KB
  Каких успехов мы добились Чему научились Прочитайте пословицу записанную на доске. Прочитайте название первой главы. Подтвердились ваши предположения о том что будет происходить в тексте...