38910

Исследование законов вращательного движения на маятнике Обербека

Лабораторная работа

Физика

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: расчет момента инерции сложного тела исследование зависимости момента инерции от распределения массы внутри твердого тела от величины внешней силы и от ее плеча. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Абсолютно твёрдым телом называется тело которое ни при каких условиях не может деформироваться то есть расстояние между двумя точками или точнее между двумя частицами этого тела остаётся постоянным. При вращении твёрдого тела все его точки движутся по окружности центры которых лежат на одной прямой называемой...

Русский

2013-09-30

1.08 MB

16 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО РЫБИНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВИАЦИОННАЯ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ П.А. СОЛОВЬЕВА

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УТВЕРЖДЕНО

на заседании методического

семинара кафедры ОиТФ

« »   2004 г.

Зав.каф.   Пиралишвили Ш.А.

Лаборатория «Физические основы механики»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ФМ-3

Переработано: к.т.н., доцент                                        

___________ Каляева Н. А.

Рецензент:ст.преп. Попкова Е. А.

                    ______________

Исследование законов вращательного движения

на маятнике Обербека

Рыбинск 2008

ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ: Необходимо выполнение общих требований безопасности, установленных в лаборатории.

          ЦЕЛЬ РАБОТЫ: расчет момента инерции сложного тела, исследование зависимости момента инерции от распределения массы внутри твердого тела, от величины внешней силы и от ее плеча.

         ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ:  лабораторная установка (маятник Обербека), набор грузов, секундомер, линейка.

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Абсолютно твёрдым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться, то есть расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остаётся постоянным.

При вращении твёрдого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

1.1 КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Рис. 1.1.1

Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1.1.1). Её положение через промежуток времени  зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматриваются как векторы. Модуль вектора  равен углу поворота, а его направление определяется по правилу правого винта (рис.1.1.1).

Векторы, направления которых связываются с направлением вращения твёрдого тела, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определённых точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси                                                                               вращения.

Быстроту вращения характеризует угловая скорость. Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

       .

Вектор  направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта, т.е. так же, как и вектор  (рис. 1.1.1). Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

 

Величина линейная скорости точки (рис. 1.1.1):

.

Направлена линейная скорость по касательной к траектории.

В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как векторное произведение угловой скорости  и радиус-вектора , проведённого из центра окружности в рассматриваемую точку (рис.1.1.1):

Если , то вращение называется равномерным и его можно характеризовать  периодом вращения – временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол . Так как промежутку времени соответствует угол , то

, откуда .

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

, откуда .

Быстроту изменения угловой скорости характеризует угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

                                                                       

Рис. 1.1.2

                                                                   Модуль углового ускорения равен:                                                                      .

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор  сонаправлен вектору , при замедленном – противонаправлен ему (рис. 1.1.2).

Ускорение  производной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О или неподвижной оси, проходящей через эту точку, называют линейным ускорением. Оно равно:

где   нормальное или осестремительное ускорение;  - касательное или тангенциальное ускорение. Здесь - единичный вектор, направленный по нормали в данной точке траектории; - единичный вектор, направленный по касательной к траектории в направлении скорости  точки (рис.1.1.3).

Рис. 1.1.3

Нормальное ускорение   характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки, оно направленно по нормали к траектории к центру кривизны. Величина нормального ускорения , где  - радиус кривизны траектории в данной точке.

Касательное ускорение  характеризует быстроту изменения модуля скорости, оно направленно по касательной к траектории. Векторы  и  совпадают по направлению, т.е >0, при ускоренном движении точки; векторы  и  взаимно противоположны по направлению, т.е <0 при замедленном движении точки,  и  при ее равномерном движении. Величина касательного ускорения                                                                    

Учитывая, что векторы  и  взаимно перпендикулярны, величина полного линейного ускорения будет определяться по теореме Пифагора:

          

Таким образом, связь между линейными (длина пути S, пройденного точкой по дуге окружности радиуса , линейная скорость , тангенциальное ускорение , нормальное ускорение ) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

,  ,  ,  .

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

; , где  – начальная угловая скорость.

1.2 МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

 Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется скалярная физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

,

где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина  в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции  относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния d между осями:

.

В таблице 1.2.1 приведены значения моментов инерции для некоторых тел (тела считаются однородными, m – масса тела).

Тело

Положение оси

вращения

Момент

инерции

Полый тонкостенный

цилиндр, обруч радиусом R

Ось симметрии

Сплошной цилиндр (диск) радиусом R

Ось симметрии

Прямой тонкий стержень длиной

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Прямой тонкий стержень длиной

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Шар радиусом R

Ось проходит через центр

шара

             Таблица 1.2.1  

                                                                                                            

 

Если тело имеет сложную форму, и теоретически определить момент инерции его сложно, прибегают к экспериментальным методам определения момента инерции.

1.3 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим  абсолютно твёрдое  тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 1.3.1). Мысленно разобьём это тело на маленькие объёмы с элементарными массами , ,..., , находящиеся на расстоянии , ,...,  от оси вращения. При вращении твёрдого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами  опишут окружности различных радиусов  и имеют различные линейные скорости . Но так как мы рассматриваем абсолютно твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:

 (1.3.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

                                 .

Используя выражение (1.3.1), получим:

Рис. 1.3.1

            (1.3.2)

где  – момент инерции тела относительно оси z.

Из сравнения формулы (1.3.2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно , следует, что момент инерции I вращательного движения – мера инертности тела во вращательном движении, т.е. является вращательным аналогом массы.

    

1.4 МОМЕНТ СИЛЫ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

    ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

 Моментом силы  относительно неподвижной точки O называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведённого из точки O в точку A приложения силы, на силу  (рис.1.4.1):

                        (1.4.1)

Здесь  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением движения правого винта при его вращении от  к .                                                               

Рис. 1.4.1

Модуль момента силы  

,

где  – угол между  и ,  – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой Оплечо силы.

 Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определённого относительно произвольной точки O данной оси  z (рис. 1.4.1).

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

.

С другой стороны эта работа идёт на увеличение его кинетической энергии:

, но

, поэтому

, или .

Учитывая, что , получим

    (1.4.2)

Получили уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела  относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство:

,

где I – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

Рис. 1.5.1

1.5 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН ЕГО СОХРАНЕНИЯ

 Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением:

            (1.5.1)

где  – радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А;  – импульс материальной точки (рис. 1.5.1);  – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от  к .

Модуль вектора момента импульса

,

где  – угол между векторами  и ,  – плечо вектора  относительно точки О.

 Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси. Значение момента импульса  не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса  с некоторой скоростью . Скорость  и импульс  перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора . Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной частицы

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

 Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных частиц:

.

Используя формулу , получим

                     ,    т.е .           (1.5.2)    

Таким образом, момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:

,  т.е.    (1.5.3)

Это выражение – ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство .

В замкнутой системе момент внешних сил  и , откуда

.                             (1.5.4)

Выражение (1.5.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (таблица 1.5.1).

                                                                                                             Таблица 1.5.1

Поступательное

движение

Вращательное

движение

Функциональная

зависимость

Линейное перемещение

S

Угловое

перемещение

Линейная скорость

Угловая

скорость

Линейное ускорение

Угловое

ускорение

Масса

m

Момент

инерции

I

(для материальной точки)

Сила

Момент

силы

Импульс

Момент

импульса

Основное уравнение динамики

 

                 

            

Работа

Работа вращения

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вращения

Закон сохранения импульса

Закон сохранения момента импульса

2. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка включает в себя втулку 1 с двумя шкивами разных радиусов, 1 закрепленную на оси 2. В нее вмонтированы четыре штыря 3, расположенные под углом 90 градусов друг к другу (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1

На штырях установлены одинаковые цилиндрические грузы 4 массой m, которые можно перемещать вдоль штырей и закреплять на определенном расстоянии от оси посредством винта 5. Грузы m закрепляются симметрично, т.е. так, чтобы центр масс всей системы лежал на оси вращения.

Задача эксперимента — определить момент инерции всей установки, т. е. сложного тела, вращающегося относительно оси, проходящей через центры масс. Ясно, что момент инерции этого тела должен меняться при изменении положения цилиндрических грузов на штырях.

Установка приводится во вращательное движение грузом 6, прикрепленным к концу шнура, навитого на шкив. Вес груза 6 является внешней силой, ее момент вызывает угловое ускорение сложного тела. Меняя диаметр шкива, мы меняем плечо этой силы, а, следовательно, и момент внешней силы. Меняя массу груза 6 mгр, мы меняем величину внешней силы mгрg.

Зависит ли момент инерции тела от момента внешней силы, следует выяснить экспериментально.

Методика экспериментального определения момента инерции состоит в следующем.

Груз 6 массой mгр удерживается на высоте h над какой-либо поверхностью (например, над поверхностью стола), при этом он обладает потенциальной энергией mгрgh. Если предоставить возможность грузу 6 падать, то его падение будет происходить с ускорением a, при этом втулка со штырями будет вращаться с угловым ускорением .

Вся потенциальная энергия груза 6 переходит в кинетическую энергию вращательного движения втулки т.е. согласно закону сохранения энергии, имеем:

, (2.1)

где  — скорость груза,  — момент инерции, — угловая скорость втулки.

Груз 6 совершает равноускоренное движение без начальной скорости. За время t он опускается на высоту h, поэтому ускорение груза a=2h/t2, скорость груза

. (2.2)

Из закона сохранения энергии (2.1) для нашего случая имеем:

 (2.3)

Подставим в это выражение значение из (2.2) и, учитывая, что  (т. к. скорости движения точек края шкива и точек шнура совпадают), получим:

(2.4)

где  — диаметр шкива.

Из выражения (2.4) видно, что для экспериментального определения момента инерции маятника Обербека следует знать диаметр шкива D, на который намотана нить, массу падающего груза mгр, высоту h, с которой он падает и время t.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Опыт 1. Исследование зависимости момента инерции сложного тела от диаметра шкива (т.е. от плеча внешней силы).

1.Измерить диаметры шкивов D1 и D2. Результаты измерений занести в табл. 1

2. Намотать нить на большой шкив.

3. Грузы на штырях установить в самое дальнее от оси положение.

4. Зафиксировать положение  груза 6.

5. Предоставить грузу возможность падать. Измерить время прохождения грузом расстояние h. Опыт повторит не менее трех раз. При этом масса груза mгр и положение грузов на штырях должны оставаться неизменными.

6. Результаты занести в табл. 1

7. Намотать нить на малый шкив, повторить п.п. 3-6.

Таблица 1.

N п/п

D

h

t

I

Большой шкив

1.

2.

3.

Малый шкив

4.

5.

6.

Опыт 2. Исследование зависимости момента инерции твердого тела от положения грузов на штырях (т. е. от распределения массы внутри тела).

Опыт проводится на большом шкиве при постоянной массе падающего тела mгр.

Значения диаметра шкива D и массы груза mгр заносятся в таблицу 2.

Трижды менять положения грузов на штырях l через равные интервалы. Величину l отсчитывать от оси вращения твердого тела.

Для каждого положения грузов на штырях измерить время движения груза t не менее трех раз. Результаты измерений свести в табл. 2.

Таблица 2.

N п/п

D

h

l

t

I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Опыт 3. Исследование зависимости момента инерции сложного тела от массы груза 6 (т. е. от величины внешней силы).

Опыт проводится на большом шкиве. Произвести измерения времени движения при трех различных массах груза mгр. Для каждой массы груза mгр опыт произвести не менее трех раз. Во время опытов положение грузов на штырях должно быть неизменным. Результаты измерений свести в таблицу 3.

Таблица 3.

N п/п

D

h

t

I

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Отчет должен содержать схему экспериментальной установки, заполненные таблицы 1, 2 и 3, а так же вывод к работе, в котором необходимо дать теоретическое обоснование зависимости момента инерции маятника Обербека от диаметра шкива, положения грузов на штырях и массы падающего груза. Кроме того, охарактеризовать экспериментальную зависимость момента инерции от перечисленных факторов, а так же пояснить соответствие опыта и теории.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

  1.  Перечислить кинематические характеристики вращательного движения твердого тела. Какова связь этих характеристик с соответствующими характеристиками поступательного движения.
  2.  Дать определение момента инерции. Сформулировать теорему Штейнера.
  3.  Сформулировать основной закон динамики вращательного движения.

4. Выведите экспериментальную формулу для определения момента инерции маятника Обербека.

5. Как зависит момент инерции сложного тела от расположения грузов на шкивах? Приведите теоретические посылки.

6. Покажите теоретически независимость момента инерции от момента внешней силы. Как этот факт согласуется с вашим экспериментом?

5.ЛИТЕРАТУРА

  1.  Савельев, И.В. Курс общей физики: Учебн. пособие. В3-х т. Т.1. Механика. Молекулярная физика [Текст]/ И.В.Савельев. – М.: Наука, 1986. – 432с.

2.  Иродов, И.Е. Механика. Основные законы [Текст]/ И.Е.Иродов. – М.: Лаборатория   базовых знаний, 2002. – 312с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39966. ГИДРОПНЕВМОПРИВОД МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ МАШИН 3.27 MB
  Руководитель курсовой работы сообщает каждому студенту номер задания и номер варианта. Расчетно-пояснительная записка должна содержать оглавление с наименованием всех основных разделов записки; задание; введение, в котором излагаются достоинства и недостатки объемного гидропривода
39967. Гидропривод металлургических машин 8.17 MB
  Рисунок 1 Схемы иллюстрирующие принцип действия объёмного гидропривода. Из рисунка 1а следует что при приложении силы Р к закрытому сосуду через поршень эта сила уравновешивается силой давления жидкости силой трения пренебрегаем и силой тяжести тоже Положение сохраняется если в качестве сосуда возьмём два гидроцилиндра соединённых гидролинией рисунок 1б При перемещении поршня 1 произойдёт вытеснение жидкости под поршнем 2. Реверсирование гидромотора можно осуществить также изменением направления потока жидкости направляемого насосом...
39968. Проектирование привода технологического оборудования 1.54 MB
  Модуль числа зубьев колес и коэффициенты смещения . Модуль числа зубьев колес и коэффициенты смещения. Определим размеры характерных сечений заготовок по формулам тогда мм Кm = 20 – коэффициент учитывающий вид передачи; Диаметр заготовки колеса равен Выбираем материал для колеса и шестерни – сталь 45 термообработка – улучшение твердость поверхности зуба шестерни 269302 HB Dm1 = 80 мм Dm1 Dm твердость поверхности зуба колеса 235262 НВ Sm1 = 80 мм Sm1 Sm. Для их определения используем зависимость Пределы контактной...
39969. Расчет эффективности проекта реконструкции установки АВТ-4 547.41 KB
  Приведены расчеты: анализ использования производственной мощности расчеты производственной программы и производственной мощности материального баланса установки до и после реконструкции расчет ФЗП и себестоимости продукции а также расчет основных техникоэкономических показателей и эффективность инвестиционного проекта кроме того приводится анализ рынка продукции нефтеперерабатывающих заводов. Введение 3 1 Анализ рынка продукции нефтеперерабатывающих заводов 5 2 Анализ использования производственной мощности 9 3 Расчет производственной...
39970. Расчет эффективности проекта реконструкции ОАО «Газпром нефтехим Салават» установка АВТ-4, цех №14 642.35 KB
  При общем объеме экспорта дизельного топлива из России в дальнее зарубежье в количестве 386 млн тонн дизельное топливо класса Евро5 составляет около 22 т. На российских НПЗ около половины всех печных агрегатов имеют КПД 50 – 60 при среднем показателе на зарубежных заводах – 90. Рисунок 4 Индекс Нельсона на НПЗ в РФ Наличие на НПЗ процессов прямой перегонки нефти и установок улучшающих качество прямогонных фракций позволяют получить глубину не более 60 наличие процессов переработки вакуумного газойля увеличивает глубину...
39971. Разработка организации технического обслуживания и ремонта МТП в ЦРМ хозяйства с годовым объемом работ 56000 часов 205.66 KB
  В курсовом проекте рассчитана центральная ремонтная мастерская хозяйства обоснован технологический процесс технического обслуживания и ремонта машинного парка в ЦРМ хозяйства с годовым объемом работ 56000 часов разработан компоновочный план ЦРМ технологическая планировка участка ТО и диагностики разработан генеральный план РОБ хозяйства спроектирован технологический процесс восстановления оси произведена техникоэкономическая оценка ЦРМ. Распределение годового объема работ по объектам ремонта 1. Технологический процесс ТО и ремонта...
39972. Процесс деятельности предприятия, в области управления персоналом, отраженный на диаграммах нотации IDEF0 692.17 KB
  В рамках деятельности по управлению персоналом возникает закономерная потребность оценки состояния человеческого ресурса. Соответственно основной целью является не только проведение процедуры оценки но и процесс использования результатов. В рамках данной темы планируется рассмотреть в теоретической части: привязка процесса оценки к конкретной категории персонала или подразделению организации; установление взаимосвязи деловой оценки с другими направлениями деятельности службы управления персоналом: обучением управлением карьерой...
39973. Классификация причин уязвимости Windows NT 36.89 KB
  Классификация пользователей Unix Суперпользователь Обычные пользователи Специальные пользователи Псевдопользователи Классификация пользователей Windows Администраторы Обычные пользователи Специальные пользователи Псевдопользователи Анонимный пользователь Уязвимости Unix Наличие демонов Механизм SUID SGIDпроцессов Излишнее доверие Человеческий фактор Уязвимости Windows Серверы Системные процессы Анонимный пользователь Человеческий фактор Совместимость с другими ОС Классификация причин уязвимости Windows...