38916

Исследование способов Моделирования стационарных случайных процессов с разной степенью дифференцируемости

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Краткие теоретические сведения Распределение энергии случайного процесса по гармоническим составляющим описывается его спектральной плотностью спектром Sw где w=2πf круговая частота. В зависимости от временной структуры процесса этот спектр может принимать различную форму. Следовательно характер распределения энергии процесса по спектру связан со степенью гладкости самого процесса и может быть использован для ее оценки. Известно что спектр процесса однозначно связан с его корреляционной функцией Bτ парой преобразований Фурье...

Русский

2013-09-30

180.5 KB

14 чел.

PAGE  2

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Севастопольский национальный технический

университет

исследование  способов Моделирования

стационарных случайных процессов с разной

степенью дифференцируемости

Методические указания к выполнению лабораторной работы №3

по дисциплине «Методы информационной оптимизации систем и процессов»

для магистрантов специальности 07.080401 «Информационные управляющие системы и технологии»

Севастополь

2012

УДК 621.391:681.05.015.23

Методические указания к выполнению лабораторной работы №3 по дисциплине «Методы информационной оптимизации систем и процессов» / Сост. С. В. Доценко, А. Ю. Дрозин – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2012. – 14 с.

Целью методических указаний является помощь студентам в выполнении лабораторной работы. Излагаются теория к выполнению данной лабораторной работы, требования к содержанию отчета.

Методические указания предназначены для магистрантов специальности 07.080401 «Информационные управляющие системы и технологии»

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры Информационных систем, протокол №7 от 23.02.2011 г.

Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний.

Рецензент: Скороход Б. А., д. т. н., профессор кафедры Технической кибернетики.

СОДЕЖАНИЕ

1. Цель работы……………………………………………………………………...4

2. Краткие теоретические сведения…………………………………………….…4

3. Порядок выполнения работы и варианты заданий…………………………...10

4. Содержание отчета…………………………………………………………......11

5. Контрольные вопросы……………………………………………………...…..12

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………...12

1. Цель работы

  1.  Исследование способов программного моделирования стационарных случайных процессов, имеющих заданное количество производных, средствами программного пакета MATLAB.
  2.  Приобретение навыков расчета оценок статистических характеристик процессов, полученных путем такого моделирования и аппроксимация полученных числовых данных аналитическими зависимостями, удобными для дальнейшего применения.

2. Краткие теоретические сведения

Распределение энергии случайного процесса по гармоническим составляющим описывается его спектральной плотностью (спектром) S(w), где w=2πf — круговая частота. В зависимости от временной структуры процесса этот спектр может принимать различную форму. Очевидно, процессы более хаотичные, имеющие большее количество изломов, должны иметь больший удельный вес высокочастотных составляющих, более гладкие — меньший. Следовательно, характер распределения энергии процесса по спектру связан со степенью гладкости самого процесса и может быть использован для ее оценки. Известно, что спектр процесса однозначно связан с его корреляционной функцией B(τ) парой преобразований Фурье (теорема Винера-Хинчина) [1]:

  (1)

Поэтому для оценки гладкости процесса может применяться и его корреляционная функция. Укажем некоторые способы оценки гладкости процесса.

Случайный стационарный процесс X(t) называется непрерывным в точке t в среднем квадратическом, если справедливо соотношение

.

Так как для случайного стационарного процесса

 , (2)

то непрерывность корреляционной функции в точке τ=0 является необходимым и достаточным условием непрерывности этого процесса в среднем квадратическом. Отсюда следует, что корреляционная функция B(τ) непрерывного случайного стационарного процесса есть непрерывная функция.

Отметим, что непрерывность процесса в среднем квадратическом не обязательно влечет за собой непрерывность его реализаций. Существуют процессы, непрерывные в среднем квадратическом, реализации которых имеют бесконечное число точек разрыва.

Типичным примером случайного процесса, не удовлетворяющего условию непрерывности в среднем квадратическом, является белый шум, так как его корреляционная функция есть дельта-функция, разрывная в нуле.

Случайный процесс X(t) называется дифференцируемым в точке t, если существует случайная функция

 ,  (3)

называемая производной в среднем квадратическом процесса X(t) в точке t, такая, что

 . (4)

Исследуем некоторые свойства производной случайного процесса. Вначале найдем ее математическое ожидание. Применяя к равенству (3) операцию математического ожидания, получим

 , (5)

т.е. математическое ожидание производной случайной функции равно производной ее математического ожидания. Отсюда следует, что среднее значение производной стационарного (по крайней мере, в широком смысле) случайного процесса всегда равно нулю, так как математическое ожидание такого процесса не зависит от времени.

Далее будем считать, что процесс Y(t) центрирован, т.е. M[Y(t)]=0. Нетрудно убедиться, что корреляционная функция этого процесса (не обязательно стационарного) дается формулой

 , (6)

где BX(t1,t2) — корреляционная функция исходного процесса X(t). Здесь использована формула (3), найдены математические ожидания отдельных слагаемых и осуществлен предельный переход по обоим приращениям аргументов.

Таким образом, корреляционная функция производной случайного процесса есть вторая смешанная производная корреляционной функции исходного процесса. Можно показать, что необходимым и достаточным условием существования производной случайного процесса X(t) является существование производной его математического ожидания и второй смешанной производной его корреляционной функции.

Если случайный процесс X(t) стационарен, то его корреляционная функция зависит только от сдвига:

 BX(t1,t2)=BX(t2–t1)=BX(τ),                                             (7)

и корреляционная функция его производной равна

 .   (8)

Таким образом,  производная стационарного случайного процесса также стационарна (функция BY(τ) зависит только от временного сдвига τ), а ее корреляционная функция равна второй производной исходной корреляционной функции, взятой с обратным знаком.

Найдем спектральную плотность производной стационарного случайного процесса. Производя операцию (8) над выражением (1b), видим, что корреляционная функция производной процесса может быть записана как

 ,

где S(w) — спектр процесса X(t). Следовательно, спектр  производной этого процесса есть

SY=w2S(w) (9)

а ее дисперсия равна

 . (10)

Эта дисперсия конечна, а следовательно, случайный стационарный процесс X(t) дифференцируем, если конечен интеграл в правой части формулы (10). Для этого интенсивность спектра S(w) процесса X(t) на высоких частотах должна убывать быстрее, чем w–3. В противном случае интеграл (10) расходится и процесс X(t) недифференцируем.

Предположим, что случайный стационарный процесс X(t) дифференцируем. Исследуем поведение его корреляционной функции BX(τ) вблизи точки τ=0. Для этого разложим правую часть формулы (1b) в ряд Тейлора, удерживая члены, содержащие τ в степени не выше второй:

 . (11)

Из формулы (10) вытекает неравенство . Поэтому из формулы (11) следует, что в данном случае BX(τ) в малой окрестности точки τ=0 представляет собой выпуклую вверх параболу с горизонтальной касательной в точке τ=0. Если же процесс недифференцируем,  то  не существует, и представление (11) не имеет места. Это означает, что корреляционная функция недифференцируемого процесса, будучи четной, в точке τ=0 не имеет касательной, а претерпевает излом.

Аналогично изложенному может быть рассмотрена n-я производная X(n)(t) случайного стационарного процесса X(t), для существования которой достаточно, чтобы существовала непрерывная производная порядка 2n от корреляционной функции процесса X(t). Корреляционная функция n-й производной процесса равна

 ,                  (12)

а ее спектр

 .                                (13)

Случайный процесс имеет n-ю производную, если  его спектр с ростом w убывает быстрее, чем w–(2n+1).

Низкочастотная фильтрация подавляет спектральные компоненты процесса на высоких частотах. Отсюда следует один из методов моделирования случайных дифференцируемых процессов: подавление высокочастотных составляющих недифференцируемого процесса  с помощью фильтра низкой частоты. Продемонстрируем этот метод на процессе с экспоненциальной корреляционной функцией, полученном и рассмотренном в предыдущей лабораторной работе.

Продемонстрируем указанные свойства на примере процессов, модель которых представлена в предыдущей лабораторной работе.

В результате численного моделирования была получена случайная последовательность, которой соответствует непрерывный процесс с экспоненциальной корреляционной функцией вида

 ,                                                         (14)

где  — дисперсия, а τx — характерный масштаб этого процесса. Применяя соотношение (1a), получим, что рассматриваемый  случайный процесс имеет спектральную плотность

. (15)

При больших частотах w спектр SX1(w) убывает как w-2. Следовательно, как сказано выше, процесс с экспоненциальной корреляционной функцией недифференцируем. О том же свидетельствует и поведение его корреляционной функции вблизи нуля. Действительно, при малых величинах τ/τx имеем

 . (16)

Эта кривая отлична от (11) и в точке τ=0 претерпевает излом.

Теперь пропустим процесс X1(t) через линейный фильтр с энергетической спектральной характеристикой

 , (17)

где g21 — коэффициент  передачи этого фильтра на нулевой частоте, а w0.5 — круговая частота,  на которой этот коэффициент убывает вдвое. Очевидно, что после прохождения процесса X1(t) через такой фильтр спектральная плотность SX2(w) процесса X2(t) на его выходе  принимает вид

. (18)

При больших частотах w спектр SX2(w) убывает как w-4. Следовательно, процесс SX2(w) дифференцируем один раз.

Применение к спектру SX2(w) преобразования (1b) дает корреляционную функцию процесса X2(t):

 , (19)

где обозначено

α=w0.5τx. (20)

В частности, при α=1 отсюда имеем

 . (21)

При величинах τ/τx имеем разложение (21) в ряд Тейлора

 . (22)

При α=1 это разложение упрощается:

. (23)

Очевидно, оба последних выражения имеют вид (11).

Корреляционные функции (19) для значений α, равных 2, 1и 0.5, представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 — Корреляционные функции однократнодифференцируемого

случайного процесса

Спектральные плотности (18) для тех же значений α в двойном логарифмическом масштабе изображены на рисунке 2. При больших значениях w они близки к прямым линиям, наклон которых определяется степенью убывания спектра.

Рисунок 2 — Спектральные плотности однократнодифференцируемого

случайного процесса

При компьютерном моделировании дифференцируемых случайных процессов методом, описанным в предыдущей работе, создадим процесс с экспоненциальной корреляционной функцией:

>>a=0.9;            % параметр экспоненциальной корреляционной функции

>> X1=filter(2*sqrt(1-a^2),[1 -a],randn(1,1000));       % процесс X1 с экспоненциальной к.ф.

>> subplot(2,1,1)

>> plot(X1(1:200))                                                        % график процесса X1

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)

>> title('X1')

а затем пропустим его через фильтр с энергетической спектральной характеристикой (17):

>> a1=0.7;                                                                   % параметр фильтра

>> X2=filter(2*sqrt(1-a1^2),[1 -a1],X1);                % фильтрованный процесс X2

>> subplot(2,1,2)

>> plot(X2(1:200))                                                        % график процесса X2

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)  

>> title('X2')

Полученные процессы изображены на рисунке 3. Очевидно, что профильтрованный процесс имеет более гладкий характер, чем процесс с экспоненциальной корреляционной функцией.

Построим гистограмму процесса X2.

>> hist(X2, 25)

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)

>> title('Hist X2')

Она представлена на рисунке 4.

Найдем корреляционные функции процессов X1 и X2 методом, описанным в предыдущей лабораторной работе:

>> N1=20;

>> [tmp,B1]=corrmtx(X1,N1);

>> k=0:N1;

>> subplot(2,1,1)

>> plot(k,B1(1,:))

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)

>> title('Corr. func. X1')

>> [tmp,B2]=corrmtx(X2,N1);

>> subplot(2,1,2)

>> plot(k,B2(1,:))

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)

>> title('Corr. func. X2')

Рисунок 3 — Случайные процессы: с экспоненциальной корреляционной функцией X1 и однократно дифференцируемый X2

Рисунок 4 Гистограмма процесса X2

Они представлены на рисунке 5. Сопоставление их формы подтверждает выводы теории.

Рисунок 5 — Корреляционные функции процессов X1 и X2

Численные значения корреляционных функций имеют вид:

  •  Для вектора X1

>> B1(1,:)

ans =

  3.9662    3.6118    3.2873    3.0141    2.7594    2.5287    2.3527    2.1831    2.0290    1.8969    1.7400    .5607    1.4087    1.2466    1.0672    0.9326    0.7959    0.6396    0.5107    0.3599    0.2129

  •  Для вектора X2

>> B2(1,:)

ans =  

  72.1277   70.9677   68.4137   65.0867   61.3732   57.5240   53.7188   49.9793   46.3229     42.7232   39.1029   35.4682   31.8884   28.3353   24.8251   21.4303   18.1058   14.8226   11.6035    8.4078    5.2671

Численные значения нормированных корреляционных функций имеют вид:

  •  Для вектора X1

>> R1(1,:)

ans =

  1.0000    0.9106    0.8288    0.7599    0.6957    0.6376    0.5932    0.5504    0.5116    0.4783       0.4387    0.3935    0.3552    0.3143    0.2691    0.2351    0.2007    0.1613    0.1288    0.0907    0.0537

  •  Для вектора X2

>> R2(1,:)

ans =

     1.0000    0.9839    0.9485    0.9024    0.8509    0.7975    0.7448    0.6929    0.6422    0.5923          0.5421    0.4917    0.4421    0.3928    0.3442    0.2971    0.2510    0.2055    0.1609    0.1166    0.0730

Наилучшая аппроксимация R1(k) полиномом четвертой степени

   (24)

достигается при оптимальных коэффициентах

a0=1.0019,  a1= -0.10138,  a2=0.0078761,  a3= -0.00042831,  a4=8.4971e-006,

а наилучшая аппроксимация R2(k) таким же полиномом – при коэффициентах

a0=1.0082,  a1= -0.026183,  a2= -0.0042322,  a3= 0.00027275,  a4= -5.6492e-006.

Сравнение этих двух наборов показывает, что абсолютное значение коэффициента a1 для R2(k) имеет существенно меньшую величину, чем для R1(k). При применении аппроксимации полиномами более высокой степени это разница становится еще большей.

Оценим спектры мощности рассматриваемых случайных процессов.

  •  Для вектора X1 имеем

>> pwelch(X1, [], [], [],1)

Этот спектр представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 — Спектральная плотность недифференцируемого процесса X1

  •  Для вектора X2 имеем

>> pwelch(X2, [], [], [],1)

Этот спектр представлен на рисунке 7.

Рисунок 7 — Спектральная плотность дифференцируемого процесса X2

3.  программа и Порядок выполнения работы, варианты заданий

  1.  В соответствии с полученным у преподавателя в предыдущей лабораторной работе значением величины коэффициента a и вариантом распределения вероятностей смоделировать массив X1 из N=10000 отсчетов случайного стационарного экспоненциально коррелированного процесса X1.
  2.  Из полученного массива X1 путем фильтрации смоделировать дифференцируемый случайный стационарный процесс X2.
  3.  На основе массива X2 путем повторной фильтрации смоделировать дважды дифференцируемый случайный стационарный процесс X3.
  4.  Рассчитать все указанные выше статистические характеристики процессов X1,  X2 и X3. Построить соответствующие графики.

4. Содержание отчета

Отчет должен содержать следующие пункты:

  1.  Постановка задачи (вариант задания).
  2.  Программа моделирования экспоненциально коррелированного  процесса X1 с заданным законом распределения и его графическое изображение.
  3.  Программа фильтрации процесса X1 с целью получения из него дифференцируемого случайного процесса X2. Программа повторной фильтрации процесса X2 с целью получения дважды дифференцируемого случайного процесса X3. Дать графическое изображение процессов X1, X2 и X3.
  4.  Программы расчета гистограмм X1, X2 и X3 с их графическими изображениями и числовыми характеристиками. Объяснение формы гистограмм, в том числе и их отличия.
  5.  Программа расчета корреляционных векторов процессов X1, X2 и X3 с определением их численных значения и визуализацией. Объяснение формы полученных рисунков, в том числе и их отличия.
  6.  Аппроксимация экспериментальных данных п.5 полиномами.
  7.  Расчет и построение спектральной плотности мощности процессов X1, X2 и X3. Объяснение формы полученных рисунков, в том числе и их отличия.
  8.  Выводы по работе.

5. Контрольные вопросы

  1.  Что такое непрерывный случайный процесс?
  2.  Что такое дифференцируемый случайный процесс?
  3.  Каковы признаки дифференцируемого  процесса?
  4.  Каковы особенности корреляционной функции дифференцируемого  процесса?
  5.  Каковы особенности спектральной плотности дифференцируемого случайного процесса?
  6.  Каковы особенности спектральной плотности дважды дифференцируемого случайного процесса?
  7.  Каковы особенности спектральной плотности дважды дифференцируемого случайного процесса?
  8.  Какие изменения наблюдаются в плотности распределения случайного процесса при его фильтрации? Почему?
  9.  Какие изменения наблюдаются в корреляционной функции случайного процесса при его низкочастотной фильтрации? Почему?
  10.  Какие изменения наблюдаются в спектральной плотности случайного процесса при его низкочастотной фильтрации? Почему?

Библиографический список

  1.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей./ Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с.
  2.  Лазарев Ю. MatLAB 5.x./ Юрий Лазарев. – Киев: «Ирина», BHV, 2000. 383 с.
  3.  Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов./ А.Б. Сергиенко. – М., С-П., НН, В, РнД, Е, С, К., Х.,М.: ПИТЕР, 2003. – 603 с.
  4.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика./ В.Е.  Гмурман. - М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7073. Разработка подачи стола продольно-строгального станка 438 KB
  Введение К современным металлорежущим станкам предъявляются следующие основные требования: возможно большая производительность при достаточной точности формы и размеров, а также чистоты поверхности обрабатываемых на станке изделий прост...
7074. Привод механизма передвижения нормального мостового крана 381 KB
  Механизм передвижения крана работает в следующих режимах: передвижение с грузом на расстояние со скоростью, торможение, стоянка секунд, движение в том же направлении без груза со скоростью на расстояние, торможение, стоянка секунд, движение с грузом в обратном направлении на расстояние с номинальной скоростью, стоянка секунд.
7075. Знакомство с методами проектирования программ на языках высокого уровня С++ 280 KB
  1. Цель работы Знакомство с методами проектирования программ на языках высокого уровня С++. 2. Задание на работу В программе калькулятор необходимо реализовать: пункт главного меню Справка, состоящий из двух подпунктов Информация об авторе...
7076. Методы проектирования программ на языках высокого уровня С++ 115.5 KB
  1. Цель работы Знакомство с методами проектирования программ на языках высокого уровня С++. 2. Задание на работу В программе необходимо реализовать: пункт главного меню Справка, состоящий из двух подпунктов Информация об авторе и Информация о п...
7077. Проектирование программ на языках высокого уровня С++ 172 KB
  Реализовать процедуру поиска страниц, свойство Caption или компонент типа TMemo которых содержит задаваемое слово.
7078. Изучение и компьютерное моделирование переходных процессов, возникающих при коммутациях в цепях первого порядка 121 KB
  Цель работы: Изучение и компьютерное моделирование переходных процессов, возникающих при коммутациях в цепях первого порядка, содержащих сопротивление и емкость либо сопротивление и индуктивность. В лабораторной работе необходимо исследовать зависим...
7079. Доходы от собственности 94.5 KB
  Доходы от собственности Одним из элементов доходов от собственности являются доходы по ценным бумагам. Ценная бумага - это форма существования капитала, отличная от его товарной, производительной и денежной форм, которая может передаваться вмес...
7080. Комплекс механизированных работ по лесовосстановлению площадей после ветровала 694.6 KB
  Комплекс механизированных работ по лесовосстановлению площадей после ветровала Введение В данной курсовой работе мною представлен комплекс механизированных работ по лесовосстановлению участка после ветровала. Ветровал - деревья поваленны...
7081. Нелинейные резистивные элементы 105 KB
  Нелинейные резистивные элементы Цель работы: Изучение степенной (полиномиальной) и кусочно-линейной аппроксимаций вольт-амперных характеристик (ВАХ) нелинейных резистивных элементов. Изучение спектрального состава тока, протекающего через нелинейный...