38917

Исследование способов Моделирование стационарных случайных процессов с заданными статистическими свойствами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В настоящей работе такой моделью является модель случайного стационарного процесса с заданными статистическими свойствами описываемыми его корреляционной функцией и спектральной плотностью В соответствии с теорией сформировать случайный процесс с заданной корреляционной функцией можно в частности следующим образом.01; интервал дискретизации t=0 : Ts : 20; вектор моментов времени x1=rndn1 lengtht; белый шум...

Русский

2013-09-30

181.5 KB

124 чел.

PAGE  12

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Севастопольский национальный технический

университет

Исследование способов Моделирование

стационарных случайных процессов с заданными статистическими свойствами

Методические указания к выполнению лабораторной работы №2

по дисциплине «Методы информационной оптимизации систем и процессов»

для магистрантов специальности 07.080401 «Информационные управляющие системы и технологии»

Севастополь

2012

УДК 621.391:681.05.015.23

Методические указания к выполнению лабораторной работы №2 по дисциплине «Методы информационной оптимизации систем и процессов» / Сост. С. В. Доценко, А. Ю. Дрозин – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2012. – 14 с.

Целью методических указаний является помощь студентам в выполнении лабораторной работы. Излагаются теория к выполнению данной лабораторной работы, требования к содержанию отчета.

Методические указания предназначены для магистрантов специальности 07.080401 «Информационные управляющие системы и технологии»

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры Информационных систем, протокол №7 от 23.02.2011 г.

Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний.

Рецензент: Скороход Б. А., д. т. н., профессор кафедры Технической кибернетики.

 

СОДЕЖАНИЕ

1. Цель работы……………………………………………………………………...4

2. Краткие теоретические сведения…………………………………………….…4

3. Порядок выполнения работы и варианты заданий…………………………...10

4. Содержание отчета…………………………………………………………......11

5. Контрольные вопросы……………………………………………………...…..12

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………...12

1. Цель работы

  1.  Освоение программного моделирования стационарных случайных процессов средствами программного пакета MATLAB.
  2.  Выполнение расчета оценок статистических характеристик процессов, полученных путем такого моделирования.
  3.  Аппроксимация полученных числовых данных аналитическими зависимостями, удобными для дальнейшего применения.

2. Краткие теоретические сведения

Под статистическим моделированием понимается воспроизведение с помощью компьютера функционирования вероятностной модели некоторого объекта. В настоящей работе такой моделью является модель случайного стационарного процесса с заданными статистическими свойствами, описываемыми его корреляционной функцией и спектральной плотностью

В соответствии с теорией сформировать случайный процесс с заданной корреляционной функцией можно, в частности, следующим образом. Необходимо сначала сформировать случайный процесс, являющийся нормально (по гауссовскому закону) распределенным белым шумом, а затем пропустить его через некоторое динамическое звено (формирующий фильтр). На выходе получается нормально распределенный случайный процесс с корреляционной функцией, вид которой определяется типом формирующего фильтра как динамического звена.

Белый гауссовский шум в MATLAB образуется при помощи функции randn(M,N). Эта функция создает матрицу размером M строк и N столбцов из случайных чисел, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным (среднеквадратическим) отклонением, равным единице. Например,

>> randn(3,5)

ans =

  -0.4326    0.2877    1.1892    0.1746   -0.5883

  -1.6656   -1.1465   -0.0376   -0.1867    2.1832

   0.1253    1.1909    0.3273    0.7258   -0.1364

Полученные числа не коррелируют друг с другом. Для создания белого шума достаточно задать интервал дискретизации (т.е. временной интервал между соседними числами) Ts, образовать с этим шагом массив (вектор) t моментов времени в нужном диапазоне его изменения, а затем сформировать с помощью указанной функции вектор-строку длиной, равной длине вектора t, например:

>> Ts=0.01;                             % интервал дискретизации

>> t=0 : Ts : 20;                       % вектор моментов времени

>> x1=randn(1, length(t));       % белый шум

Построим график полученного процесса:

>> plot(t,x1),grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',16) % график процесса

>> title('Белый шум (Ts=0.01)');                                               % название графика

>> xlabel('ВремЯ (c)');                                                     % подпись на оси абсцисс

>> ylabel('x1(t)')                                                              % подпись на оси ординат

Полученный процесс представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 Модель белого шума

Рассмотрим способ формирования случайного процесса с экспоненциальной функцией корреляции

. (1)

Для формирования сигнала с такой корреляционной функцией необходимо пропустить белый шум через дискретный фильтр, корреляционная функция импульсной характеристики которого имеет вид (1). Этому требованию удовлетворяет импульсная характеристика вида

. (2)

Такая характеристика соответствует рекурсивному фильтру первого порядка с коэффициентом обратной связи, равным a. Требуемую фильтрацию можно осуществить с помощью функции  filter:

>> N=1000;                                       % число отсчетов процесса

>> X0=randn(1,N);                            % независимые нормальные отсчеты

>> a=0.9;                                           % параметр экспоненциальной корреляции

>> sigma=2;                                    % среднеквадратическое значение результата

>> X1=filter(sigma*sqrt(1-a^2), [1 -a], X0);  % фильтрация

>> subplot(2, 1, 1)

>> plot(X0(1:200)),grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12) % график белого шума

>> title('Белый шум')

>> subplot(2, 1, 2)

>> plot(X1(1:200)),grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12) % график коррелированного шума

>> title('Коррелированный шум')

>> subplot(2, 1, 2)

>> plot(X1(1:200))                                           % график коррелированного шума

>> title('Коррелированный шум')

Графики белого шума и соответствующего ему экспоненциально коррелированного случайного процесса показаны на рисунке 2. Хорошо видно, что коррелированный процесс сильно сглажен по сравнению с белым шумом.

Рисунок 2 — Белый шум и коррелированный процесс

Распределения смоделированных случайных числовых последовательностей можно визуализировать с помощью построения их гистограмм. Построение таких гистограмм выполняется с помощью функции hist (рисунок 3).

>> subplot(2,1,1)

>> hist(X0, 25)                                                      % гистограмма на 25 интервалов

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)  

>> title('Белый шум')

>> subplot(2,1,2)

>> hist(X1, 25)                                                      % гистограмма на 25 интервалов

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)

>> title('Коррелированный шум')

Рисунок 3 — Гистограммы белого шума и коррелированного процесса

Полученные гистограммы показывают удовлетворительное соответствие смоделированных величин нормальному закону распределения.

Для оценки корреляционной матрицы случайного процесса по вектору его отсчетов с использованием временного усреднения служит функция corrmtx, имеющая следующий синтаксис:

[X, B]=corrmtx(x, m, ‘method’)

Здесь x – вектор отсчетов процесса (в нашем случае это либо X0, либо X1), m - размерность рассчитываемой корреляционной матрицы, величина которой обычно не превосходит 10% длины исходной последовательности x. Необязательный строковый параметр ‘method’ управляет тем, как обрабатываются крайние отсчеты сигнала. С его возможными значениями можно познакомиться по документации пакета Signal Processing.

Результатами работы функции являются матрица промежуточных данных X (которая не представляет для нас интереса) и собственно корреляционная матрица R, являющаяся в данном случае целью наших расчетов.

Здесь следует сделать важное замечание. Понятие «корреляционная» в MATLAB используется в зарубежной трактовке. Это означает, что функция corrmtx не центрирует сигнал перед вычислением корреляционной матрицы. Но поскольку в приведенных выше примерах процессы изначально центрированы, это не приводит к каким либо недоразумениям. Если же моделированные процессы не центрированы, их необходимо предварительно центрировать.

В качестве примера вычислим корреляционные функции и построим графики их первых строк для сформированных выше  белого шума X0 и экспоненциально коррелированного случайного процесса X1.

>> N1=20;                                              % размер корреляционного вектора

>> [tmp,B0]=corrmtx(X0,N1);              % корреляционный вектор процесса X0

>> [tmp,B1]=corrmtx(X1,N1);              % корреляционный вектор процесса X1

>> k=0:N1;                                             % индексы корреляционных функций

>> subplot(2,1,1)             

>> stem(k,B0(1,:))         % «стебельковый» график корреляционного вектора

% белого шума

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)  

>> title('Белый шум')

>> subplot(2,1,2)

>> stem(k,B1(1,:))       % «стебельковый» график корреляционного вектора

                                    % коррелированного шума

>> grid, set(gca,'FontName','Arial Cyr','FontSize',12)

>> title('Коррелированный шум')

Результаты этих вычислений приведены на рисунке 4. Из графиков видно, что отсчеты белого шума действительно некоррелированы, а отсчеты фильтрованного шума действительно дают требуемую экспоненциальную функцию корреляции.

Численные значения корреляционных функций имеют вид:

  •  Для вектора X0

>> B0(1,:)

ans =    0.8911    0.0117   -0.0186    0.0190    0.0079   -0.0313    0.0233    0.0108    0.0009    0.0532    0.0487   -0.0107    0.0308    0.0371   -0.0387    0.0151    0.0347   -0.0236    0.0327    0.0009    0.0204

  •  Для вектора X1

>> B1(1,:)

ans =     3.9662    3.6118    3.2873    3.0141    2.7594    2.5287    2.3527    2.1831    2.0290    1.8969   1.7400    1.5607    1.4087    1.2466    1.0672    0.9326    0.7959    0.6396    0.5107    0.3599    0.2129

Читать их следует по строкам.

Рисунок 4 — Оценка корреляционных функций белого шума и коррелированного процесса

Аппроксимируем массив B1(1,:) экспонентой. Для этого воспользуемся программным пакетом CurveExpert v.1.34, не входящим в систему MATLAB. Получим зависимость, представленную на рисунке 5. На ней точками изображен нормированный массив  B1(1,:).

Рисунок 5 — Аппроксимация экспериментальных данных экспонентой

Сплошной линией изображена экспонента

, (3)

коэффициенты которой равны ae = 1.1242115 и b = -0.09561563. Экспонента с такими коэффициентами наилучшим образом  аппроксимирует экспериментальную кривую.

Параметры экспоненты можно просмотреть во вкладке Information (рисунок 6).

Рисунок 6 — Параметры аппроксимирующей экспоненты

Наилучшая аппроксимация достигается при замене B1(1,:) полиномом (рисунок 7):

Рисунок 7 — Аппроксимация экспериментальных данных полиномом

, (4)

оптимальные коэффициенты которого принимают следующие значения:

a0=1.1115545,

a1=-0.11877038,

a2=0.0092864609,

a3-0.00046760839,

a4=8.616713e-006.

Параметры полинома также можно просмотреть во вкладке Information (рисунок 8).

Рисунок 8 — Параметры аппроксимирующего полинома

Для определения спектра мощности случайного процесса методом Уэлча (методом усреднения модифицированных периодограмм) предназначена функция

[Pxx, f] = pwelch(x, Nwin, Noverlap, Nfft, Fs, ‘range’)

Здесь Pxx – вектор значений спектральной плотности мощности, f –вектор той же длины, что и Pxx, содержащий значения частот, которым соответствуют значения спектральной плотности мощности. Шаг между значениями вектора f равен Fs/ Nfft, первый элемент равен нулю.

Единственным обязательным входным параметром является x – вектор отсчетов анализируемого процесса. Все остальные параметры имеют значения по умолчанию. Они используются, если при вызове в качестве параметра указана пустая матрица ([]) или если несколько последних параметров опущено. Параметр Nwin управляет выбором окна, используемого для анализа. Параметр Noverlap задает (в отсчетах) перекрытие соседних фрагментов сигнала, для которых вычисляются периодограммы. Параметр Nfft задает размерность БПФ, используемого для вычисления периодограммы. Параметр Fs указывает частоту дискретизации сигнала. Его значение используется для нормировки рассчитанного спектра мощности, а также при расчете возвращаемого вектора f и для оцифровки графика. По умолчанию значение этого параметра равно 2π. Строковый параметр ‘range’ определяет частотный диапазон для возвращаемого вектора Pxx.

Если выходные параметры при вызове не указаны функция pwelch строит график спектральной плотности мощности с помощью функции psdplot. По умолчанию она задает вывод мощности в децибелах, т.е. в логарифмическом масштабе.

В версиях MATLAB 5.x данный метод спектрального анализа был реализован с помощью функции psd. Она сохранена и в последующих версиях, но считается устаревшей. Поэтому использовать ее не рекомендуется.

Оценим спектры мощности рассматриваемых случайных процессов.

  •  Для белого шума имеем

>> pwelch(X0, [], [], [],1)

Рисунок 9 — Спектральная плотность белого шума

  •  Для экспоненциально коррелированного случайного процесса

>> pwelch(X1, [], [], [],1)

Рисунок 10 — Спектральная плотность экспоненциально коррелированного процесса

Сопоставление рисунков 7 и 8 свидетельствует о существенном изменении спектральных свойств случайного процесса при его фильтрации.

3. программа и Порядок выполнения работы,  варианты заданий

  1.  В соответствии с полученным у преподавателя значением величины коэффициента a и вариантом распределения вероятностей смоделировать массив X0 из N=10000 некоррелированных отсчетов.
  2.  Из полученного массива X0 путем фильтрации смоделировать экспоненциально коррелированный случайный стационарный процесс X1.
  3.  Рассчитать все указанные в предыдущем разделе статистические характеристики процессов X0 и X1. Результаты расчета числовых характеристик величин X0 и X1.
  4.  Построить соответствующие графики.

Таблица 1 — Распределения вероятностей, команды генерации случайных величин и команды вычисления их числовых характеристик

Вид распределения

Команда генерации случайной величины

Команда вычисления M1 и

Непрерывные распределения

1

Бета

X=betarnd(A,B,m,n)

[M,V]=betastat(A,B)

2

Экспоненциальное

X=exprnd(MU,m,n)

[M,V]=expstat(MU)

3

Гамма

X=gamrnd(A,B,m,n)

[M,N]=gamstat(A,B)

4

Логнормальное

X=lognrnd(MU,SIGMA,m,n)

[M,V]=lognstat(MU,SIGMA)

5

Нормальное (гауссовское)

X=normrnd(MU,SIGMA,m,n)

[M,V]=normstat(MU,SIGMA)

6

Релея

X=raylrnd(B,m,n)

[M,V]=raylstat(B)

7

Равномерное

X=unifrnd(A,B,m,n)

[M,V]=unifstat(A,B)

8

Вейбулла

X=weibrnd(A,B,m,n)

[M,V]=weibstat(A,B)

9

Хи-квадрат

X=chi2rnd(NU,m,n)

[M,V]=chi2stat(NU)

10

Нецентральное хи-квадрат

X=ncx2rnd(NU,DELTA,m,n)

[M,V]=ncx2stat(NU,DELTA)

11

Фишера-Снекора (F-распредел.)

X=frnd(V1,V2,m,n)

[M,V]=fstat(V1,V2)

12

Нецентральное F-распределение

X=ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m,n)

[M,V]=ncfstat(NU1,NU2,DELTA)

13

Стьюдента (t-распределение)

X=trnd(NU,m,n)

[M,V]=tstat(NU)

14

Нецентральное t-распределение

X=nctrnd(NU,DELTA,m,n)

[M,V]=nct(NU,DELTA)

В этой таблице: A, B, MU, NU, NU1, NU2, V1, V2, DELTA, LAMBDA, NN, M, K, P, RR – параметры, описывающие распределения; X – матрица размером mn, состоящая из случайных величин ξ, имеющих указанное распределение; M –математическое ожидание M[ξ] и V – дисперсия случайных величин ξ. Команда из столбца IV дает возможность вычислить теоретическое значение МО M1=M[ξ], обозначаемое здесь как M, и теоретическую дисперсию σ2, обозначаемую как V.

4. Содержание отчета

Отчет должен содержать следующие пункты:

  1.  Постановка задачи (вариант задания).
  2.  Программа генерации белого шума X0 с заданным законом распределения и его графическое изображение.
  3.  Программа фильтрации шума X0 с целью получения из него случайного процесса X1 с экспоненциальной корреляционной функцией. Дать графическое изображение процесса X1. (Процессы X0 и X1 должны быть центрированными.)
  4.  Программа расчета гистограмм X0 и X1 с их графическим изображением. Объяснение формы гистограмм, в том числе и их отличия.
  5.  Программа расчета корреляционных векторов X0 и X1 с определением их численных значения и визуализацией. Объяснение формы полученных рисунков, в том числе и их отличия.
  6.  Аппроксимация экспериментальных данных экспонентой и полиномом.
  7.  Расчет и построение спектральной плотности мощности процессов X0 и X1. Объяснение формы полученных рисунков, в том числе и их отличия.
  8.  Выводы по работе.

5. Контрольные вопросы

  1.  Дайте определение белого гауссовского шума?
  2.  Назовите отличительные особенности белого негауссовского шума?
  3.  Дайте определение понятию «окрашенный» гауссовский процесс?
  4.  Укажите отличительные особенности «окрашенного» негауссовского процесса?
  5.  Дайте определение корреляционной функции случайного стационарного процесса?
  6.  Дайте определение спектральной плотности случайного стационарного процесса?
  7.  Какова связь корреляционной функции случайного стационарного процесса с его спектральной плотностью?
  8.  Сформулируйте понятие характерного масштаба корреляционной функции и спектральной плотности случайного процесса?
  9.  Расскажите о соотношении неопределенности для случайного процесса?
  10.  Какие изменения наблюдаются в плотности распределения случайного процесса при его фильтрации? Почему?
  11.  Какие изменения наблюдаются в корреляционной функции случайного процесса при его фильтрации? Почему?
  12.  Какие изменения наблюдаются в спектральной плотности случайного процесса при его фильтрации? Почему?

Библиографический список

  1.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей./ Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с.
  2.  Лазарев Ю. MatLAB 5.x./ Юрий Лазарев. – Киев: «Ирина», BHV, 2000. 383 с.
  3.  Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов./ А.Б. Сергиенко. – М., С-П., НН, В, РнД, Е, С, К., Х.,М.: ПИТЕР, 2003. – 603 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73312. ВИДИ ПРАВ, СВОБОД І ОБОВЯЗКІВ ЛЮДИНИ І ГРОМАДЯНИНА. ЇХ СИСТЕМА В КОНСТИТУЦІЇ УКРАЇНИ 189 KB
  Дослідити ґенезу прав і свобод людини і громадянина на різних історичних етапах становлення держави; визначення поняття та змісту гарантій прав і свобод людини та громадянина; конкретизація ролі та місця держави, та органів державної влади щодо гарантування прав і свобод людини та громадянина; визначення сутності теоретичних засад гарантій прав і свобод людини та громадянина; проаналізувати концептуальні проблеми механізму реалізації права людини і громадянина в Україні...
73313. Основные задачи развития в период первой зрелости (молодости) 269 KB
  Основные задачи развития в период первой зрелости молодости. Обзор теорий развития психики отечественных и зарубежных психологов. Главной целью работы является выделить основные задачи развития как психологического так и социального.
73314. Чувство взрослости как центральное новообразование в структуре личности подростка 287.5 KB
  Исследование личности подростка в возрастной психологии Возрастная психология как область психологического знания. Новообразования и особенности развития личности подростка. Чувство взрослости как центральное новообразование в структуре личности подростка...
73315. Особенности агрессивных проявлений в раннем возрасте 410.5 KB
  Основные теоретические подходы к понятию агрессивности и агрессии. Типология агрессивного поведения у детей. Организация и методы исследования агрессивных проявлений у детей в раннем возрасте. Результаты собственного исследования агрессивных проявлений у детей в раннем возрасте.
73316. ВОСПРИЯТИЕ РЕКЛАМНОЙ ПРОДУКЦИИ (ТВ - РОЛИКОВ) ДЕТЬМИ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА 247 KB
  Реклама в мире бизнеса обрушивает на потребителей огромное количество информации. Психологическое воздействие рекламной информации проявляется в процессах переработки рекламных сообщений - эмоциях, мыслях, возможных решениях, обусловливающих конкретные поведенческие акты покупателя. Так или иначе, рекламный процесс оказываются вовлеченными феномены переработки информации - ощущения, восприятия, внимание, память.
73317. Биопленки, Методы изучения 324.5 KB
  Дальнейшее изучение механизмов формирования биопленки и ее функций открывает новые возможности для лечения и профилактики целого ряда заболеваний. Для того чтобы доказать присутствие именно биопленки а не других бактериальных структур используют разнообразные методические подходы направленные на обнаружение: элементов биопленочного внеклеточного матрикса...
73318. Застосування прогресивних технологій у сфері торгівлі 310 KB
  Інновації в оптовій торгівлі в основному обумовлені тенденціями розвитку оптового ринку такими як: глобалізація міжнародного бізнесу і ресурсні обмеження; висока швидкість матеріальних фінансових і інформаційних потоків; великі обсяги операцій; асортимент товарів що розширюється; складна територіально розгалужена структура філій складів і керуючих центрів; скорочення життєвих циклів товарів; прагнення роздрібну до зниження обсягів Тому в умовах модернізації економіки особливу значимість набувають прогресивні технології які повинні...
73319. Новообразования в подростковом возрасте 166 KB
  Подростковый возраст обычно характеризуют как переломный, переходный, критический, но чаще как возраст полового созревания. Л.С.Выготский различал три точки созревания: органического, полового и социального. У шимпанзе точки органического и полового созревания совпадают, оно наступает примерно в 5 лет, когда у этих человекообразных обезьян заканчивается детство
73320. Проблемы омонимии японского языка и пути её решения 136.5 KB
  Проблема омонимии при устном общении является весьма существенной для японского языка, так как омонимы – серьезное препятствие при передаче информации. Основной целью работы является рассмотрение основных проблем омонимии в японском языке и методах их решений.