38919

Исследование способов интерполяции случайных стационарных процессов с разной степенью дифференцируемости

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Цель работы Численное исследование погрешности интерполяции случайных стационарных процессов имеющих заданное количество производных. Экспериментальное определение погрешности интерполяции негауссовских процессов сопровождаемых аддитивным шумом. Такое восстановление непрерывного процесса по его дискретным отсчетам носит название интерполяции.

Русский

2013-09-30

152 KB

11 чел.

PAGE  2

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Севастопольский национальный технический

университет

Исследование способов интерполяции случайных

стационарных процессов с разной степенью

дифференцируемости

Методические указания к выполнению лабораторной работы №4

по дисциплине «Методы информационной оптимизации систем и процессов»

для магистрантов специальности 07.080401 «Информационные управляющие системы и технологии»

Севастополь

2012

УДК 621.391:681.05.015.23

Методические указания к выполнению лабораторной работы №4 по дисциплине «Методы информационной оптимизации систем и процессов» / Сост. С. В. Доценко, А. Ю. Дрозин – Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2012. – 10 с.

Целью методических указаний является помощь студентам в выполнении лабораторной работы. Излагаются теория к выполнению данной лабораторной работы, требования к содержанию отчета.

Методические указания предназначены для магистрантов специальности 07.080401 «Информационные управляющие системы и технологии»

Методические указания рассмотрены и утверждены на заседании кафедры Информационных систем, протокол №7 от 23.02.2011 г.

Допущено учебно-методическим центром СевНТУ в качестве методических указаний.

Рецензент: Скороход Б. А., д. т. н., профессор кафедры Технической кибернетики.

СОДЕЖАНИЕ

1. Цель работы……………………………………………………………………...4

2. Краткие теоретические сведения…………………………………………….…4

3. Порядок выполнения работы и варианты заданий…………………….……...8

4. Содержание отчета………………………………………………………….......8

5. Контрольные вопросы……………………………………………………...…...9

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………………....9

ПРИЛОЖЕНИЕ А (справочное)                                                                            10

1. Цель работы

  1.  Численное исследование погрешности интерполяции случайных стационарных процессов, имеющих заданное количество производных.
  2.  Экспериментальное определение погрешности интерполяции негауссовских процессов, сопровождаемых аддитивным шумом.
  3.  Сравнение полученных результатов с теоретическими.

2. Краткие теоретические сведения

Современные ЭВМ производят обработку процессов, представленных в цифровом виде. Однако для практических целей нередко следует, в конечном счете, представлять их в аналоговом виде (например, построение графиков, преобразование числового массива в акустический сигнал и т.д.).  Такое восстановление непрерывного процесса по его дискретным отсчетам носит название интерполяции.

Интерполяция может осуществляться с помощью различных базовых функций. Мы здесь будем исследовать один из простейших видов полиномиальной интерполяции — линейную интерполяцию.

Рисунок 1 — Линейная интерполяция

Рассмотрим такую интерполяцию (рисунок 1). Пусть имеется исходная эквидистантная последовательность случайных чисел {…,xi-3, xi-2, xi-1, xi, xi+1, xi+2, xi+3,…}. В процессе обработки в компьютере к ней добавлен аддитивный гауссовский белый шум {…,ni-3, ni-2, ni-1, ni, ni+1, ni+2, ni+3,…}. В результате она превратится в последовательность чисел yi=xi+ni. Допустим, что неизвестно значение числа xi. Его можно приближенно восстановить по соседним  отсчетам. Так, восстановление с помощью прямой линии 1 дает оценку величины xi в точке с, величина которой равна

 . (1)

Разность εi=zi–xi представляет собой ошибку интерполяции в данной точке ti. Значение квадрата величины εi, осредненное по всем отсчетам исходной последовательности случайных чисел, деленное на дисперсию этой последовательности, представляет собой квадрат относительной погрешности данного вида интерполяции. Нетрудно показать, что его величина при бесконечном числе отсчетов есть

 . (2)

Здесь τ — интервал между крайними отсчетами, участвующими в интерполяции. При этом предполагается, что все рассматриваемые последовательности стационарны.

Согласно рисунку 1, при восстановлении с помощью прямой линии 1 величина τ=2τ0 есть временной интервал между моментами ti-1 и ti+1. В формуле (2)  R(τ)— нормированная функция корреляции исходной последовательности чисел,

  (3)

— отношение мощности шума к мощности сигнала. С учетом сказанного в рассматриваемом случае интерполяции формула (2) принимает вид

 . (4)

Если интерполяция осуществляется с помощью прямой 2 рисунка 1, то, очевидно, оценивать величину xi следует в точке d. Здесь временной интервал между крайними моментами интерполирующих отсчетов ti-2 и ti+2 есть τ=4τ0, и формула (2) должна быть записана как

 . (5)

Для интерполяции с помощью прямой 3 рисунка 1 соответственно имеем τ=6τ и

 . (6)

Заметим, что на рисунке 1 для простоты изображен случай интерполяции при отсутствии аддитивного шума.

Проверим выполнение этих соотношений в модельном эксперименте. В качестве исходных последовательностей выберем гауссовские белый шум, последовательность с экспоненциальной корреляционной функцией и однократно дифференцируемый процесс.

Создадим вектор X00 из N случайных чисел, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным (среднеквадратическим) отклонением, равным единице. Этот вектор в дальнейшем будет представлять собой аддитивный гауссовский белый шум.

>> N=1000;                                                    % число отсчетов процесса

>> X00=randn(1,N);                                     % независимые нормальные отсчеты

>> X00=X00-mean(X00);                              % центрирование вектора X00

Создадим вектор X0 из N случайных чисел, не зависящих от предыдущего. Он описывает разрывный недифференцируемый процесс и  будет использоваться для моделирования интерполируемых случайных последовательностей с заданными статистическими свойствами.

>> X0=randn(1,N);                                        % независимые нормальные отсчеты

>> X0=X0-mean(X0);                                   % центрирование вектора X0

Создадим из вектора X0 вектор X1 из N случайных чисел, имеющих экспоненциальную корреляционную функцию с параметром a=0.9 и единичной дисперсией:

>> a=0.9;                                            % параметр экспоненциальной корреляции

>> sigma=1;                                   % среднеквадратическое значение результата

>> X1=filter(sigma*sqrt(1-a^2), [1 -a], X0);  % фильтрация

>> X1=X1-mean(X1);                                     % центрирование вектора X1

Эта последовательность описывает непрерывный недифференцируемый процесс.

Теперь пропустим последовательность X1 через линейный фильтр с энергетической спектральной характеристикой

с коэффициентом g1=1 и параметром фильтра a1=0.7:

>> a1=0.7;                                                                     % параметр фильтра

>> X2=filter(sqrt(1-a1^2),[1 -a1],X1);                    % фильтрованный процесс X2

>> X2=X2-mean(X2);                                               % центрирование вектора X2   

Полученная последовательность, согласно результатам предыдущей лабораторной работы, описывает непрерывный однократно дифференцируемый процесс.

Найдем корреляционные векторы процессов X0, X1 и X2 методом, описанным в предыдущих лабораторных работах:

>> N1=20;                                              % размер корреляционного вектора

>> [tmp,B00]=corrmtx(X00,N1);          % корреляционный вектор процесса X00

>> [tmp,B0]=corrmtx(X0,N1);              % корреляционный вектор процесса X0

>> [tmp,B1]=corrmtx(X1,N1);              % корреляционный вектор процесса X1

>> [tmp,B2]=corrmtx(X2,N1);              % корреляционный вектор процесса X2

Их дисперсии оказались соответственно равными

,

и нормированные корреляционные векторы

R00 =    1.0000    0.0111   0.0230    0.0194    0.0068   0.0371    0.0241    0.0101   -0.0011    0.0577     0.0526   0.0141     0.0325     0.0397    0.0457     0.0148      0.0369   0.0287    0.0346   0.0011    0.0209

R0 =    1.0000    0.0499   0.0045    0.0534    0.0163   0.0250   0.0053    0.0045   0.0262    0.0236    0.0426    0.0275   0.0376   0.0472    0.0003   0.0518   0.0479   0.0035    0.0160    0.0251   0.0142

R1 =    1.0000    0.9050    0.8102    0.7252    0.6374    0.5533    0.4805    0.4140    0.3513    0.2976    0.2424    0.1986    0.1625    0.1358    0.1200    0.1054    0.1024    0.1101    0.1198    0.1278    0.1321

R2 =    1.0000    0.9801    0.9341    0.8718    0.7996    0.7229    0.6460    0.5714    0.5006    0.4350    0.3753    0.3230    0.2789    0.2433    0.2161    0.1965    0.1843    0.1785    0.1772    0.1785    0.1813

Диаграммы этих векторов представлены на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2 — Нормированные корреляционные векторы R00(k) и R0(k)

Рисунок 3 — Нормированные корреляционные векторы R2(k) и R3(k)

Ниже приведены результаты вычисления оценки среднего квадрата относительной погрешности интерполяции по экспериментальным данным конечного объема, выполненные по программе, приведенной в приложении.

Сравнение результатов вычислений δ2 по формуле (2) с прямой оценкой  по экспериментальным данным, полученной с применением функции  disintXY(X,Y,m,N), данной в приложении, представлено в таблице. В формуле (2) использовались значения корреляционных векторов, найденные выше.

2τ0

4 τ 0

6 τ 0

8 τ 0

10 τ 0

X0

δ2

1,3980

1,5146

1,3905

1,4543

1,5287

1,3993

1,5142

1,3858

1,4547

1,5256

X1

δ2

0,0951

0,1983

0,2899

0,4009

0,5146

0,0951

0,1976

0,2899

0,4016

0,5165

X2

δ2

0,0069

0,0316

0,0794

0,1511

0,2419

0,0067

0,0316

0,0795

0,1517

0,2433

Данные таблицы свидетельствуют о высокой степени близости δ2 и , если исходные процессы нормальны и отсутствует шум, при различной степени их дифференцируемости.

3. Программа и порядок выполнения работы, варианты заданий

  1.  Создать вектор X00 из N=10000 случайных чисел, распределенных по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным (среднеквадратическим) отклонением, равным единице. Этот вектор в дальнейшем будет представлять собой аддитивный гауссовский белый шум.
  2.  В соответствии с полученным у преподавателя в лабораторной работе №1 вариантом распределения вероятностей смоделировать массив X0 из N=10000 отсчетов случайного стационарного некоррелированного процесса X0.
  3.  В соответствии с полученным в лабораторной работе №1 значением величины коэффициента a и вариантом распределения вероятностей смоделировать из  X0 массив X1 из N=10000 отсчетов случайного стационарного экспоненциально коррелированного процесса X1.
  4.  Из массива X1 путем фильтрации смоделировать дифференцируемый случайный стационарный процесс X2. (Процессы X00, X0, X1 и X2 должны быть центрированы.)
  5.  Найти корреляционные векторы процессов X0, X1 и X2. Определить их дисперсии и найти нормированные корреляционные векторы R0, R1 и R2.  Рассчитать величины δ2 и  для интерполяции процессов X0, X1 и X2 и сравнить их.
  6.  Смоделировать массивы Y0 = X0 + X00, Y1 = X1 + X00,   Y2 = X2 + X00 для трех значений =0.1, 0.3, 0.5.
  7.  Найти корреляционные векторы процессов Y0, Y1 и Y2. Определить их дисперсии и найти нормированные корреляционные векторы RY0, RY1 и RY2. Построить графики последних.
  8.  Рассчитать величины δ2 и  для интерполяции процессов X0, X1 и X2 по процессам Y0, Y1 и Y2 и сравнить их.
  9.  Сделать выводы.

4. Содержание отчета

Отчет должен содержать следующие пункты:

  1.  Постановка задачи.
  2.  Дисперсии процессов X0, X1 и X2 и их нормированные корреляционные векторы R0, R1 и R2.
  3.  Результаты расчетов величин δ2 и  для интерполяции процессов X0, X1 и X2 по этим же процессам и их сравнение.
  4.  Дисперсии и нормированные корреляционные векторы RY0, RY1 и RY2 процессов Y0, Y1 и Y2 для указанных значений  с графиками последних.
  5.  Результаты расчетов величин δ2 и  для интерполяции процессов X0, X1 и X2 по процессам Y0, Y1 и Y2 и их сравнение как между собой, так и с этими величинами из п.3.
  6.  Выводы по работе.

5. Контрольные вопросы

  1.  Что такое интерполяция?
  2.  Какие виды интерполяции Вам известны?
  3.  Для чего нужна интерполяция?
  4.  Чем объяснить разницу в погрешности интерполяции для различных процессов?
  5.  Каким образом и почему влияет на точность интерполяции увеличение расстояния между отсчетами?
  6.  Как влияет на точность интерполяции изменение числа отсчетов процесса?

Библиографический список

  1.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей./ Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с.
  2.  Лазарев Ю. MatLAB 5.x./ Юрий Лазарев. – Киев: «Ирина», BHV, 2000. 383 с.
  3.  Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов./ А.Б. Сергиенко. – М., С-П., НН, В, РнД, Е, С, К., Х.,М.: ПИТЕР, 2003. – 603 с.
  4.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика./ В.Е.  Гмурман. - М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.

приложение а

(справочное)

Процедура расчета среднего квадрата погрешности линейной интерполяции.

function y=disintXY(X,Y,m,N)

 % функция disint возвращает средний квадрат относительной погрешности

% линейной интерполяции значений вектора  X по вектору Y

% X – исходный вектор отсчетов

% Y – вектор отсчетов, содержащих аддитивный шум

% N – число отсчетов

% 2m – расстояние между интерполирующими отсчетами

X=X-mean(X);          % центрирование вектора X

Y=Y-mean(Y);            % центрирование вектора Y

a =((Y(1)+Y(1+2*m))/2-X(1+m))^2;      % вычисление суммы квадратов отклонений

S=a;                                            % интерполированных значений от истинных

L=N-2*m;

for k=2:L;

    S=S+((Y(k)+Y(k+2*m))/2-X(k+m))^2;

end


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78812. У ДИТИНСТВА КРАЙ ІДЕ СВЯТИЙ МИКОЛАЙ 1.9 MB
  Ангел виходить. Святий Миколай сидить, поправляє плащ, мішок. Ззаду надходить, крадучись, Лінь; махає руками за Миколаєм, той починає позівати, дрімає і засинає. Лінь киває рукою, кличучи когось; дріботить Антипко.
78813. Загадки та реальність ранніх винаходів американського підприємця Н.Стаблфілда – винахідника першого мобільного телефону 1.81 MB
  Спочатку був зібраний перший акустично механічний телефон який приблизно нагадував телефон Белла але винахід Стаблфілда відрізнявся своїм дизайном мав кращу акустичну якість більш легку збірку простоту в користуванні та ніяким чином не зачіпав патенту Белла.
78814. Слава тебе, трудовой человек! (посвящено 75-ти летию Стахановского движения) 199.5 KB
  Стаханова разных лет; Фотографии орудий шахтерского труда; Фотографии памятников А. Стаханову; Вырезки из газет о трудовых подвигах советских людей Ход урока I. Прошлых лет поднимем занавес В днях былых большая сила: И ударник и стахановец До сих пор звучит красиво.
78815. Ми до тебе, казко, в гості завітали 44 KB
  Сьогодні ми зібралися тут всі разом для того, щоб побувати в гостях у казки. Діти дуже люблять слухати казки, а дорослі з великим задоволенням розповідають, читають їх дітям. Казка жила, живе і вічно буде жити. Вона буде існувати стільки, скільки будуть жити люди.
78816. Нехай Україна у щасті буя, - у тім нагорода і втіха моя… 51.5 KB
  Народе мій убожеством прибитий Знеможений і темністю сповитий Що вже забув і поважать себе Потративши свої колишні сили Як я любив твої сумні могили Україно Як я любив тебе на мультимедійній дошці з’являється портрет Михайла Старицького.
78817. Слава страстям, Твоїм Господи 231 KB
  Вона почуває себе винною В тому що її колючки ранили голову Христа. Побачивши Христа її обняв великий жаль і співчуття. Думаю що кожен з нас під час великого посту зробив собі іспит совісті і підтвердив що замість щирої подяки ми своїми гріховними вчинкми наново розпинаємо Христа.
78818. Свято Стрітення 131.5 KB
  Мета: розказати про історію виникнення свята Стрітення і традиції пов’язані з ним; дати поняття про те що свічка -– це світло Боже символ життя; ознайомити з легендою народними звичаями; поглибити знання про значення свічки як одного з символів християнської етики...
78820. Выступление агитбригады «Светофорчик» 58.5 KB
  По пути домой из школы Пригодятся правила Знак дорожный он достоин Твоего внимания Эти книги не простые И наука не легка Целый свод дорожных правил Надо знать наверняка 8. Ни на миг не забываем Знак дорожный каждый Всех к порядку призываем Это очень важно Все: Не нарушайте правила дорожного движения...