38989

Численные методы

Контрольная

Математика и математический анализ

Из полученных данных видно, что метод подобластей имеет наилучший результат вычислений из всех остальных методов. Во-первых, даже при небольшом количестве разбиений он дал точность на 2 порядка лучше, чем второй по полученной точности метод Галеркина. Во-вторых, точность при количестве дискрет n=12 уже не укладывалась в разрядную сетку персонального компьютера.

Русский

2013-09-30

2.17 MB

13 чел.

Московский Энергетический Институт (ТУ)

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ №4

По дисциплине ВГМ

Тема: «Численные методы»

Студентка         Климова В.В.

Группа         С-08-05

Преподаватель        Моргунов Г.М.

Москва, 2009


Исходные данные:

      (1)

  1.  Численное решение уравнения:

Решаем методом разделения переменных.

Решение в общем виде: 

Найдем постоянную интегрирования:

1=e0 +C  => C=0

  1.  Решение  уравнения методом конечных разностей

Представим производную в кончено-расностной форме.

Заменим

, где

Подставляя в исходное уравнение (1), имеем:

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=3 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 1

Таблица 1

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1,4

-0,00439

2

0,66666667

1,94773404

1,96

-0,01227

3

1

2,71828183

2,744

-0,02572

Среднеквадратичная ошибка

0,016647

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=6 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 2

Таблица 2

n=6

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,18181818

-0,00046

2

0,33333333

1,395612

1,39669421

-0,00108

3

0,5

1,648721

1,65063862

-0,00192

4

0,66666667

1,947734

1,95075473

-0,00302

5

0,83333333

2,300976

2,30543741

-0,00446

6

1

2,718282

2,72460785

-0,00633

Среднеквадратичная ошибка

0,003515

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=12 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 2

Таблица 3

n=12

X

точное

расчетное

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,08695652

-5,2E-05

2

0,16666667

1,18136

1,18147448

-0,00011

3

0,25

1,284025

1,28421139

-0,00019

4

0,33333333

1,395612

1,39588195

-0,00027

5

0,41666667

1,516897

1,51726299

-0,00037

6

0,5

1,648721

1,6491989

-0,00048

7

0,58333333

1,792002

1,7926075

-0,00061

8

0,66666667

1,947734

1,94848641

-0,00075

9

0,75

2,117

2,11792001

-0,00092

10

0,83333333

2,300976

2,30208697

-0,00111

11

0,91666667

2,50094

2,50226844

-0,00133

12

1

2,718282

2,71985701

-0,00158

Среднеквадратичная ошибка

0,000805

Результирующие графики численных значений функции при разных значениях  дискрет на интервале x[0,1] представлены на рис. 1. Значение ошибки расчета на рис. 2.

Рис. 1 Графики численных значений функции при разных значениях  дискрет на заданном интервале

Рис. 2 Графики ошибок численных значений функции при разных значениях  дискрет на заданном интервале


  1.  Решение  уравнения методом подобластей

Для численного расчет используем аппроксимирующую функцию вида:

Невязка имеет вид:

Для данного метода весовая функция имеет вид:

Поставляем в равенство:

        (2)

Интегрируя равенство (2) получаем соотношение:

     (3)

Для дальнейшего решения используются математические возможности программы MATHCAD.

Сведем систему уравнений (3) в матрицу для определения коэффициентов аппроксимирующей функции:

Программа расчета коэффициентов:

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=3 на интервале [0,1]:

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=3  внесены в таблицу 4.

Таблица 4

n=3

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,3956124250860895

1,3958333333333333

-0,00022

2

0,66666667

1,9477340410546757

1,9479166666666665

-0,00018

3

1

2,718281828459045

2,71875

-0,00047

Среднеквадратичная ошибка

0,000317

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=6 на интервале [0,1]:

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию для n=6:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=6   внесены в таблицу 5.

Таблица 5

n=6

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,1813604

-1,2422973982850749Е-08

2

0,33333333

1,395612

1,395612414

-1,1526311460841043Е-08

3

0,5

1,648721

1,648721255

-1,5322135116235813Е-08

4

0,66666667

1,947734

1,947734025

-1,6403375102669315Е-08

5

0,83333333

2,300976

2,300975868

-2,248237418456256Е-08

6

1

2,718282

2,718281814

-1,448308983853508Е-08

Среднеквадратичная ошибка

1,58443E-08

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=12 на интервале [0,1]:

Числовое значение матрицы:

Численное решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию для n=12:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=12сведены в таблицу 6.

Таблица 6

n=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1,0000000000

1,0000000000

0

1

0,08333333

1,0869040495

1,0869040495

0

2

0,16666667

1,1813604129

1,1813604129

0

3

0,25

1,2840254167

1,2840254167

0

4

0,33333333

1,3956124251

1,3956124251

0

5

0,41666667

1,5168967964

1,5168967964

0

6

0,5

1,6487212707

1,6487212707

0

7

0,58333333

1,7920018257

1,7920018257

0

8

0,66666667

1,9477340411

1,9477340411

0

9

0,75

2,1170000166

2,1170000166

0

10

0,83333333

2,3009758909

2,3009758909

0

11

0,91666667

2,5009400137

2,5009400137

0

12

1

2,7182818285

2,7182818285

0

Среднеквадратичная ошибка

0

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей показаны на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей

Рис. 4. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей (увеличенное изображение в области [0, 0.01])

  1.  Решение  уравнения методом Галеркина

Для данного метода весовая функция имеет вид:

Учитывая весовую функцию и подставляя ее в выражение (2) имеем:

Для упрощения получения матрицы коэффициентов ai   используем программу в среде MATHLAB:

Находим матрицы коэффициентов для каждого заданного количества дискрет и находим решение системы уравнений с помощью функции lsolve математического пакета MATHCAD

При n=3

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=3 внесены в таблицу 7.

Таблица 7

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1,398

0,00208

2

0,66666667

1,94773404

1,95

0,002478

3

1

2,71828183

2,721

0,00303

Среднеквадратичная ошибка

0,002559152

При n=6

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=6 внесены в таблицу 8.

Таблица 8

n=6

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1,00000

0

1

0,16666667

1,18136

1,18136

-5.016 10-7

2

0,33333333

1,395612

1,395612

-5.544 10-7

3

0,5

1,648721

1,648721

-8.207 10-7

4

0,66666667

1,947734

1,947734

-7.711 10-7

5

0,83333333

2,300976

2,300976

-1.027 10-7

6

1

2,718282

2,718282

-9.651 10-7

Среднеквадратичная ошибка

7,97273E-07

При n=12

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=12 внесены в таблицу 9.

Таблица 9

N=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,086904

1.3956 10-8

2

0,16666667

1,18136

1,18136

2.467 10-8

3

0,25

1,284025

1,284025

1.9515 10-8

4

0,33333333

1,395612

1,395612

2.47 10-8

5

0,41666667

1,516897

1,516897

2.87 10-8

6

0,5

1,648721

1,648721

2.62 10-8

7

0,58333333

1,792002

1,792002

3.17 10-8

8

0,66666667

1,947734

1,947734

3.57 10-8

9

0,75

2,117

2,117

3.45 10-8

10

0,83333333

2,300976

2,300976

4.23 10-8

11

0,91666667

2,50094

2,50094

4.11 10-8

12

1

2,718282

2,718282

3.87 10-8

Среднеквадратичная ошибка

3,13215E-08

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина показаны на рис. 5 и рис. 6.

Рис. 5. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина

Рис. 6. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина (увеличенное изображение в области [0, 0.01])


  1.  Решение  уравнения методом конечных элементов

Конечное решение уравнения (1) имеет вид:

На интервале XiXXi-1/2

На интервале Xi-1/2<XXi-1

Расчет сводится к определению узловых точек yi.

Имеем уравнения невязок на всем диапазоне:

   (4)

     (5)

Учитывая весовые функции:

 

Выражения (4) и (5) используются для интегральной невязки(2):

Для упрощения расчетов узловых точек использовано программирование в пакете MATHLAB. Результаты расчетов интегральной невязки сведены в программу расчета узловых точек.

Программа расчета узловых точек:

Результаты расчета узловых точек при n=3:

Результаты расчета узловых точек при n=6:

Результаты расчета узловых точек при n=12:

Результаты расчетов конечных узлов методом конечных элементов  с количеством дискрет n=3 внесены в таблицу 10.

Таблица 10

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1.371681

0,02393143

2

0,66666667

1,94773404

1.930285

0,01744904

3

1

2,71828183

2.739948

-0,02166617

Среднеквадратичная ошибка

0,021186515

Результаты расчетов конечных узлов  методом конечных элементов  с количеством дискрет n=6 внесены в таблицу 11.

Таблица 11

n=6

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,163424

0,017936

2

0,33333333

1,395612

1,369138

0,026474

3

0,5

1,648721

1,617418

0,031303

4

0,66666667

1,947734

1,914396

0,033338

5

0,83333333

2,300976

2,268522

0,032454

6

1

2,718282

2,690225

0,028057

Среднеквадратичная ошибка

0,028735374

Результаты расчетов конечных узлов  методом конечных элементов  с количеством дискрет n=12 внесены в таблицу 12.

Таблица 12

n=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,07706422

0,00983978

2

0,16666667

1,18136

1,166405953

0,014954047

3

0,25

1,284025

1,265460735

0,018564265

4

0,33333333

1,395612

1,374179302

0,021432698

5

0,41666667

1,516897

1,493054702

0,023842298

6

0,5

1,648721

1,622805526

0,025915474

7

0,58333333

1,792002

1,764291873

0,027710127

8

0,66666667

1,947734

1,918488943

0,029245057

9

0,75

2,117

2,086479959

0,030520041

10

0,83333333

2,300976

2,26945711

0,03151889

11

0,91666667

2,50094

2,468726514

0,032213486

12

1

2,718282

2,685715584

0,032566416

Среднеквадратичная ошибка

0,025837347

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом конечных элементов показаны на рис. 7.

Рис. 7. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом конечных элементов


  1.  Выводы по работе

Для оценки точности использованных методов их данные сведены в таблицу 13.

Таблица 13

Количество дискрет

Численный метод

Среднеквадратичная погрешность

N=3

метод конечных разностей

0,016647

метод подобластей

0,000317

методом Галеркина

0,002559152

конечных элементов

0,028735374

N=6

метод конечных разностей

0,003515

метод подобластей

1,58443E-08

методом Галеркина

7,97273E-07

конечных элементов

0,028735374

N=12

метод конечных разностей

0,000805

метод подобластей

0

методом Галеркина

3,13215E-08

конечных элементов

0,025837347

Из полученных данных видно, что метод подобластей имеет наилучший результат вычислений из всех остальных методов. Во-первых, даже при небольшом количестве разбиений он дал точность на 2 порядка лучше, чем второй по полученной точности метод Галеркина. Во-вторых, точность при количестве дискрет n=12 уже не укладывалась в разрядную сетку персонального компьютера.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46155. Оценка эффективности предпринимательской деятельности ОАО «Газпром» 208 KB
  Анализ эффективности деятельности предприятия ОАО Газпром 8 2. Для повышения деловой и инвестиционной активности предприятия все более актуальна необходимость более эффективного управления ими на основе комплексной достаточно полной и объективной системы оценок их финансовохозяйственной деятельности в сложной экономической обстановке рыночных изменений в условиях динамичной внешней среды. Анализ финансовохозяйственной деятельности служит базой для принятия управленческих решений переоценить его значение для эффективного функционирования...
46156. СИСТЕМНО-СТРУКТУРНЫЕ ПОДХОДЫ К МОДЕЛИРОВАНИЮ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 159 KB
  Суть системного подхода можно определить так: это методология научного познания и практической деятельности а также объяснительный принцип в основе которых лежит рассмотрение объекта как системы. Иерархичность познания требующая многоуровневого изучения предмета: изучение самого предмета –собственный уровень; изучение этого же предмета как элемента более широкой системы вышестоящий уровень; изучение этого предмета в соотношении с составляющими данный предмет элементами нижестоящий уровень. Можно также сказать что системный...
46157. ОСНОВЫ ТРАНСПОРТНО-ЭКСПЕДИЦИОННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 1.13 MB
  Сироткин ОСНОВЫ ТРАНСПОРТНОЭКСПЕДИЦИОННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Учебнометодическое пособие Нижний Новгород 2010 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНАСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО Волжский государственный инженернопедагогический университет А. Сироткин...
46158. Социология. Общий курс. Учебное пособие 2.78 MB
  социология: общий курс. тощенко получило признание во многих вузах россии так как наука социология в нем трактуется как социология жизни.5я73 тощенко жан терентьевич социология общий курс генеральный директор в. социология как наука.
46159. Web-браузер 16.01 KB
  Среди множества разнообразных программ просмотра гипертекстовых документов наибольшее распространение получили Microsoft Internet Explorer далее Explorer и Netscpe Nvigtor далее Netscpe. Ни та ни другая компания ничего не зарабатывает на распространении своих браузеров Explorer╗бесплатная программа а Netscpe условнобесплатная программа. Далее мы будем ориентироваться на браузер Netscpe. Методы работы с браузером Explorer практически не отличаются от методов работы с Netscpe что позволит приверженцам данного программного продукта...
46160. АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО РОССИИ 797 KB
  Формы и методы государственного управления. Формы государственного управления. Методы государственного управления Правовые акты государственного управления Административно-правовое регулирование в сферах и отраслях управления.
46163. Традиции благотворительности и милосердия в России 60.96 KB
  Деятельность Благотворительного фонда Абсолют-Помощь плане благотворительность это помощь другим людям за счет личного благосостояния либо свободного времени и при условии что оказание данной помощи никаким образом не наносит вреда другим лицам и исполняется легально. Приведенная информация дает определенную характеристику народу способному не только сострадать но и оказывать помощь тем кто попал в беду. Благотворительные фонды оказывают помощь части общества с низким уровнем дохода что повышает общий уровень благосостояния...