38989

Численные методы

Контрольная

Математика и математический анализ

Из полученных данных видно, что метод подобластей имеет наилучший результат вычислений из всех остальных методов. Во-первых, даже при небольшом количестве разбиений он дал точность на 2 порядка лучше, чем второй по полученной точности метод Галеркина. Во-вторых, точность при количестве дискрет n=12 уже не укладывалась в разрядную сетку персонального компьютера.

Русский

2013-09-30

2.17 MB

14 чел.

Московский Энергетический Институт (ТУ)

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ №4

По дисциплине ВГМ

Тема: «Численные методы»

Студентка         Климова В.В.

Группа         С-08-05

Преподаватель        Моргунов Г.М.

Москва, 2009


Исходные данные:

      (1)

  1.  Численное решение уравнения:

Решаем методом разделения переменных.

Решение в общем виде: 

Найдем постоянную интегрирования:

1=e0 +C  => C=0

  1.  Решение  уравнения методом конечных разностей

Представим производную в кончено-расностной форме.

Заменим

, где

Подставляя в исходное уравнение (1), имеем:

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=3 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 1

Таблица 1

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1,4

-0,00439

2

0,66666667

1,94773404

1,96

-0,01227

3

1

2,71828183

2,744

-0,02572

Среднеквадратичная ошибка

0,016647

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=6 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 2

Таблица 2

n=6

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,18181818

-0,00046

2

0,33333333

1,395612

1,39669421

-0,00108

3

0,5

1,648721

1,65063862

-0,00192

4

0,66666667

1,947734

1,95075473

-0,00302

5

0,83333333

2,300976

2,30543741

-0,00446

6

1

2,718282

2,72460785

-0,00633

Среднеквадратичная ошибка

0,003515

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=12 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 2

Таблица 3

n=12

X

точное

расчетное

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,08695652

-5,2E-05

2

0,16666667

1,18136

1,18147448

-0,00011

3

0,25

1,284025

1,28421139

-0,00019

4

0,33333333

1,395612

1,39588195

-0,00027

5

0,41666667

1,516897

1,51726299

-0,00037

6

0,5

1,648721

1,6491989

-0,00048

7

0,58333333

1,792002

1,7926075

-0,00061

8

0,66666667

1,947734

1,94848641

-0,00075

9

0,75

2,117

2,11792001

-0,00092

10

0,83333333

2,300976

2,30208697

-0,00111

11

0,91666667

2,50094

2,50226844

-0,00133

12

1

2,718282

2,71985701

-0,00158

Среднеквадратичная ошибка

0,000805

Результирующие графики численных значений функции при разных значениях  дискрет на интервале x[0,1] представлены на рис. 1. Значение ошибки расчета на рис. 2.

Рис. 1 Графики численных значений функции при разных значениях  дискрет на заданном интервале

Рис. 2 Графики ошибок численных значений функции при разных значениях  дискрет на заданном интервале


  1.  Решение  уравнения методом подобластей

Для численного расчет используем аппроксимирующую функцию вида:

Невязка имеет вид:

Для данного метода весовая функция имеет вид:

Поставляем в равенство:

        (2)

Интегрируя равенство (2) получаем соотношение:

     (3)

Для дальнейшего решения используются математические возможности программы MATHCAD.

Сведем систему уравнений (3) в матрицу для определения коэффициентов аппроксимирующей функции:

Программа расчета коэффициентов:

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=3 на интервале [0,1]:

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=3  внесены в таблицу 4.

Таблица 4

n=3

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,3956124250860895

1,3958333333333333

-0,00022

2

0,66666667

1,9477340410546757

1,9479166666666665

-0,00018

3

1

2,718281828459045

2,71875

-0,00047

Среднеквадратичная ошибка

0,000317

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=6 на интервале [0,1]:

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию для n=6:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=6   внесены в таблицу 5.

Таблица 5

n=6

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,1813604

-1,2422973982850749Е-08

2

0,33333333

1,395612

1,395612414

-1,1526311460841043Е-08

3

0,5

1,648721

1,648721255

-1,5322135116235813Е-08

4

0,66666667

1,947734

1,947734025

-1,6403375102669315Е-08

5

0,83333333

2,300976

2,300975868

-2,248237418456256Е-08

6

1

2,718282

2,718281814

-1,448308983853508Е-08

Среднеквадратичная ошибка

1,58443E-08

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=12 на интервале [0,1]:

Числовое значение матрицы:

Численное решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию для n=12:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=12сведены в таблицу 6.

Таблица 6

n=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1,0000000000

1,0000000000

0

1

0,08333333

1,0869040495

1,0869040495

0

2

0,16666667

1,1813604129

1,1813604129

0

3

0,25

1,2840254167

1,2840254167

0

4

0,33333333

1,3956124251

1,3956124251

0

5

0,41666667

1,5168967964

1,5168967964

0

6

0,5

1,6487212707

1,6487212707

0

7

0,58333333

1,7920018257

1,7920018257

0

8

0,66666667

1,9477340411

1,9477340411

0

9

0,75

2,1170000166

2,1170000166

0

10

0,83333333

2,3009758909

2,3009758909

0

11

0,91666667

2,5009400137

2,5009400137

0

12

1

2,7182818285

2,7182818285

0

Среднеквадратичная ошибка

0

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей показаны на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей

Рис. 4. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей (увеличенное изображение в области [0, 0.01])

  1.  Решение  уравнения методом Галеркина

Для данного метода весовая функция имеет вид:

Учитывая весовую функцию и подставляя ее в выражение (2) имеем:

Для упрощения получения матрицы коэффициентов ai   используем программу в среде MATHLAB:

Находим матрицы коэффициентов для каждого заданного количества дискрет и находим решение системы уравнений с помощью функции lsolve математического пакета MATHCAD

При n=3

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=3 внесены в таблицу 7.

Таблица 7

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1,398

0,00208

2

0,66666667

1,94773404

1,95

0,002478

3

1

2,71828183

2,721

0,00303

Среднеквадратичная ошибка

0,002559152

При n=6

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=6 внесены в таблицу 8.

Таблица 8

n=6

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1,00000

0

1

0,16666667

1,18136

1,18136

-5.016 10-7

2

0,33333333

1,395612

1,395612

-5.544 10-7

3

0,5

1,648721

1,648721

-8.207 10-7

4

0,66666667

1,947734

1,947734

-7.711 10-7

5

0,83333333

2,300976

2,300976

-1.027 10-7

6

1

2,718282

2,718282

-9.651 10-7

Среднеквадратичная ошибка

7,97273E-07

При n=12

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=12 внесены в таблицу 9.

Таблица 9

N=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,086904

1.3956 10-8

2

0,16666667

1,18136

1,18136

2.467 10-8

3

0,25

1,284025

1,284025

1.9515 10-8

4

0,33333333

1,395612

1,395612

2.47 10-8

5

0,41666667

1,516897

1,516897

2.87 10-8

6

0,5

1,648721

1,648721

2.62 10-8

7

0,58333333

1,792002

1,792002

3.17 10-8

8

0,66666667

1,947734

1,947734

3.57 10-8

9

0,75

2,117

2,117

3.45 10-8

10

0,83333333

2,300976

2,300976

4.23 10-8

11

0,91666667

2,50094

2,50094

4.11 10-8

12

1

2,718282

2,718282

3.87 10-8

Среднеквадратичная ошибка

3,13215E-08

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина показаны на рис. 5 и рис. 6.

Рис. 5. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина

Рис. 6. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина (увеличенное изображение в области [0, 0.01])


  1.  Решение  уравнения методом конечных элементов

Конечное решение уравнения (1) имеет вид:

На интервале XiXXi-1/2

На интервале Xi-1/2<XXi-1

Расчет сводится к определению узловых точек yi.

Имеем уравнения невязок на всем диапазоне:

   (4)

     (5)

Учитывая весовые функции:

 

Выражения (4) и (5) используются для интегральной невязки(2):

Для упрощения расчетов узловых точек использовано программирование в пакете MATHLAB. Результаты расчетов интегральной невязки сведены в программу расчета узловых точек.

Программа расчета узловых точек:

Результаты расчета узловых точек при n=3:

Результаты расчета узловых точек при n=6:

Результаты расчета узловых точек при n=12:

Результаты расчетов конечных узлов методом конечных элементов  с количеством дискрет n=3 внесены в таблицу 10.

Таблица 10

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1.371681

0,02393143

2

0,66666667

1,94773404

1.930285

0,01744904

3

1

2,71828183

2.739948

-0,02166617

Среднеквадратичная ошибка

0,021186515

Результаты расчетов конечных узлов  методом конечных элементов  с количеством дискрет n=6 внесены в таблицу 11.

Таблица 11

n=6

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,163424

0,017936

2

0,33333333

1,395612

1,369138

0,026474

3

0,5

1,648721

1,617418

0,031303

4

0,66666667

1,947734

1,914396

0,033338

5

0,83333333

2,300976

2,268522

0,032454

6

1

2,718282

2,690225

0,028057

Среднеквадратичная ошибка

0,028735374

Результаты расчетов конечных узлов  методом конечных элементов  с количеством дискрет n=12 внесены в таблицу 12.

Таблица 12

n=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,07706422

0,00983978

2

0,16666667

1,18136

1,166405953

0,014954047

3

0,25

1,284025

1,265460735

0,018564265

4

0,33333333

1,395612

1,374179302

0,021432698

5

0,41666667

1,516897

1,493054702

0,023842298

6

0,5

1,648721

1,622805526

0,025915474

7

0,58333333

1,792002

1,764291873

0,027710127

8

0,66666667

1,947734

1,918488943

0,029245057

9

0,75

2,117

2,086479959

0,030520041

10

0,83333333

2,300976

2,26945711

0,03151889

11

0,91666667

2,50094

2,468726514

0,032213486

12

1

2,718282

2,685715584

0,032566416

Среднеквадратичная ошибка

0,025837347

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом конечных элементов показаны на рис. 7.

Рис. 7. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом конечных элементов


  1.  Выводы по работе

Для оценки точности использованных методов их данные сведены в таблицу 13.

Таблица 13

Количество дискрет

Численный метод

Среднеквадратичная погрешность

N=3

метод конечных разностей

0,016647

метод подобластей

0,000317

методом Галеркина

0,002559152

конечных элементов

0,028735374

N=6

метод конечных разностей

0,003515

метод подобластей

1,58443E-08

методом Галеркина

7,97273E-07

конечных элементов

0,028735374

N=12

метод конечных разностей

0,000805

метод подобластей

0

методом Галеркина

3,13215E-08

конечных элементов

0,025837347

Из полученных данных видно, что метод подобластей имеет наилучший результат вычислений из всех остальных методов. Во-первых, даже при небольшом количестве разбиений он дал точность на 2 порядка лучше, чем второй по полученной точности метод Галеркина. Во-вторых, точность при количестве дискрет n=12 уже не укладывалась в разрядную сетку персонального компьютера.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85187. БССР в годы первых пятилеток. Форсированная индустриализация и принудительная коллективизация 26.78 KB
  Дальнейшее развитие металло-обрабатывающей химической торфяной и др. отраслей развитие энергетики и увеличение мощностей электростанций. Предусматривалось развитие лёгкой и продовольственной промышл.
85188. Духовная и культурная жизнь БССР в 1920-1930гг.: достижения и противоречия 25.66 KB
  Культуры вылученне белорусов на партыйую советскую профсоюзную и общественную работу перевод делопроизводства государственного партийного профессионального и кооперативного аппаратов на белорусский язык. Центральная место в мероприятиях в белорусизации отводилось проблеме языка так как в республике язык выполняла очень мизерны объем соц. Преобладала русский язык. При этом официально было заявлено что на территории БССР признаются равноправными языки белорусский русский еврейский и польский.
85189. Западная Беларусь в составе Польши 27.1 KB
  Было введено принятое в Польше административно-тер деление, созданы 4 воеводства: Виленское, Полесское, Новогрудское, Белостокское. Эти воеводства делились на 29 поветов аповеты на гимны.
85190. Начало второй мировой войны. Вхождение Западной Беларуси с состав БССР 26.28 KB
  Вхождение Западной Беларуси с состав БССР. Беларуси принял декларацию об установлении советской власти на всей освобожденной территории i высказался за вхождение в состав БССР. Приняты законы о включении Западной Беларуси в состав СССР i воссоединение с БССР. Единогласно делегаты высказались и за вхождение в БССР.
85191. Начало Великой Отечественной войны. Ход военных действий на советско-германском фронте в 1941-1942 годах 27.92 KB
  Для войны против СССР Гитлер сосредоточил подавляющую часть своих сухопутных сил. Однако основной причиной такого огромного успеха немцев в первые недели войны является то что Красная армия сама готовилась к наступлению. Сталин прекрасно понимал что войны с Германией не избежать но он не думал что Гитлер нарушит пакт МолотоваРибентропа о ненападении.
85192. Фашистский оккупационный режим на территории БССР 26.93 KB
  К концу августа 1941 г гитлеровцы оккупировали всю территорию Бел. На захваченной территории гитлеровцы установили оккупационный режим- систему политических, идеологических, экономических, и военных мер направленных на ликвидацию существующего общественного и гос. строя, грабёж нац. богатства, уничтожение населения
85193. Коренной перелом в ходе Великой Отечественной войны 29.96 KB
  Коренной перелом начатый под Сталинградом был завершен в ходе Курской битвы и сражениях за р. в ходе Киевской наступательной операции 6 ноября столица Украины была освобождена. В ходе оборонительных боев к концу декабря 1943 г.
85194. Партизанское и подпольное движение в БССР 28.28 KB
  Один из первых партизанских отрядов был организован уже на пятый день войны в Пинске под командованием Коржа насчитывал 60 чел. Полесской области действовал отряд под командованием Бумажкова и Павловского. В июле 41 начал боевые действия отряд пол командованием Шмырёва в Вит.
85195. Освобождение Беларуси. Окончание Великой Отечественной и Второй мировой войны. Вклад белорусского парода в Победу над фашизмом 28.18 KB
  Начать операцию освобождения Украины и Беларуси. 23 сентября советские войска освободили первый районный центр Беларуси г. Всего в Беларуси в результате осенне зимнего наступления 1943-1944 гг.