38989

Численные методы

Контрольная

Математика и математический анализ

Из полученных данных видно, что метод подобластей имеет наилучший результат вычислений из всех остальных методов. Во-первых, даже при небольшом количестве разбиений он дал точность на 2 порядка лучше, чем второй по полученной точности метод Галеркина. Во-вторых, точность при количестве дискрет n=12 уже не укладывалась в разрядную сетку персонального компьютера.

Русский

2013-09-30

2.17 MB

15 чел.

Московский Энергетический Институт (ТУ)

РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ №4

По дисциплине ВГМ

Тема: «Численные методы»

Студентка         Климова В.В.

Группа         С-08-05

Преподаватель        Моргунов Г.М.

Москва, 2009


Исходные данные:

      (1)

  1.  Численное решение уравнения:

Решаем методом разделения переменных.

Решение в общем виде: 

Найдем постоянную интегрирования:

1=e0 +C  => C=0

  1.  Решение  уравнения методом конечных разностей

Представим производную в кончено-расностной форме.

Заменим

, где

Подставляя в исходное уравнение (1), имеем:

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=3 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 1

Таблица 1

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1,4

-0,00439

2

0,66666667

1,94773404

1,96

-0,01227

3

1

2,71828183

2,744

-0,02572

Среднеквадратичная ошибка

0,016647

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=6 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 2

Таблица 2

n=6

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,18181818

-0,00046

2

0,33333333

1,395612

1,39669421

-0,00108

3

0,5

1,648721

1,65063862

-0,00192

4

0,66666667

1,947734

1,95075473

-0,00302

5

0,83333333

2,300976

2,30543741

-0,00446

6

1

2,718282

2,72460785

-0,00633

Среднеквадратичная ошибка

0,003515

Численные сравнительные данные  расчета методом конечных разностей при n=12 дискрет на интервале [0,1] представлены в табл. 2

Таблица 3

n=12

X

точное

расчетное

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,08695652

-5,2E-05

2

0,16666667

1,18136

1,18147448

-0,00011

3

0,25

1,284025

1,28421139

-0,00019

4

0,33333333

1,395612

1,39588195

-0,00027

5

0,41666667

1,516897

1,51726299

-0,00037

6

0,5

1,648721

1,6491989

-0,00048

7

0,58333333

1,792002

1,7926075

-0,00061

8

0,66666667

1,947734

1,94848641

-0,00075

9

0,75

2,117

2,11792001

-0,00092

10

0,83333333

2,300976

2,30208697

-0,00111

11

0,91666667

2,50094

2,50226844

-0,00133

12

1

2,718282

2,71985701

-0,00158

Среднеквадратичная ошибка

0,000805

Результирующие графики численных значений функции при разных значениях  дискрет на интервале x[0,1] представлены на рис. 1. Значение ошибки расчета на рис. 2.

Рис. 1 Графики численных значений функции при разных значениях  дискрет на заданном интервале

Рис. 2 Графики ошибок численных значений функции при разных значениях  дискрет на заданном интервале


  1.  Решение  уравнения методом подобластей

Для численного расчет используем аппроксимирующую функцию вида:

Невязка имеет вид:

Для данного метода весовая функция имеет вид:

Поставляем в равенство:

        (2)

Интегрируя равенство (2) получаем соотношение:

     (3)

Для дальнейшего решения используются математические возможности программы MATHCAD.

Сведем систему уравнений (3) в матрицу для определения коэффициентов аппроксимирующей функции:

Программа расчета коэффициентов:

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=3 на интервале [0,1]:

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=3  внесены в таблицу 4.

Таблица 4

n=3

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,3956124250860895

1,3958333333333333

-0,00022

2

0,66666667

1,9477340410546757

1,9479166666666665

-0,00018

3

1

2,718281828459045

2,71875

-0,00047

Среднеквадратичная ошибка

0,000317

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=6 на интервале [0,1]:

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию для n=6:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=6   внесены в таблицу 5.

Таблица 5

n=6

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,1813604

-1,2422973982850749Е-08

2

0,33333333

1,395612

1,395612414

-1,1526311460841043Е-08

3

0,5

1,648721

1,648721255

-1,5322135116235813Е-08

4

0,66666667

1,947734

1,947734025

-1,6403375102669315Е-08

5

0,83333333

2,300976

2,300975868

-2,248237418456256Е-08

6

1

2,718282

2,718281814

-1,448308983853508Е-08

Среднеквадратичная ошибка

1,58443E-08

Численные значения коэффициентов для количества дискрет n=12 на интервале [0,1]:

Числовое значение матрицы:

Численное решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию для n=12:

Результаты расчетов методом подобластей  с количеством дискрет n=12сведены в таблицу 6.

Таблица 6

n=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1,0000000000

1,0000000000

0

1

0,08333333

1,0869040495

1,0869040495

0

2

0,16666667

1,1813604129

1,1813604129

0

3

0,25

1,2840254167

1,2840254167

0

4

0,33333333

1,3956124251

1,3956124251

0

5

0,41666667

1,5168967964

1,5168967964

0

6

0,5

1,6487212707

1,6487212707

0

7

0,58333333

1,7920018257

1,7920018257

0

8

0,66666667

1,9477340411

1,9477340411

0

9

0,75

2,1170000166

2,1170000166

0

10

0,83333333

2,3009758909

2,3009758909

0

11

0,91666667

2,5009400137

2,5009400137

0

12

1

2,7182818285

2,7182818285

0

Среднеквадратичная ошибка

0

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей показаны на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей

Рис. 4. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом подобластей (увеличенное изображение в области [0, 0.01])

  1.  Решение  уравнения методом Галеркина

Для данного метода весовая функция имеет вид:

Учитывая весовую функцию и подставляя ее в выражение (2) имеем:

Для упрощения получения матрицы коэффициентов ai   используем программу в среде MATHLAB:

Находим матрицы коэффициентов для каждого заданного количества дискрет и находим решение системы уравнений с помощью функции lsolve математического пакета MATHCAD

При n=3

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=3 внесены в таблицу 7.

Таблица 7

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1,398

0,00208

2

0,66666667

1,94773404

1,95

0,002478

3

1

2,71828183

2,721

0,00303

Среднеквадратичная ошибка

0,002559152

При n=6

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=6 внесены в таблицу 8.

Таблица 8

n=6

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1,00000

0

1

0,16666667

1,18136

1,18136

-5.016 10-7

2

0,33333333

1,395612

1,395612

-5.544 10-7

3

0,5

1,648721

1,648721

-8.207 10-7

4

0,66666667

1,947734

1,947734

-7.711 10-7

5

0,83333333

2,300976

2,300976

-1.027 10-7

6

1

2,718282

2,718282

-9.651 10-7

Среднеквадратичная ошибка

7,97273E-07

При n=12

Решение системы уравнений:

Полученные данные записываем в аппроксимирующую функцию:

Результаты расчетов методом Галеркина  с количеством дискрет n=12 внесены в таблицу 9.

Таблица 9

N=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,086904

1.3956 10-8

2

0,16666667

1,18136

1,18136

2.467 10-8

3

0,25

1,284025

1,284025

1.9515 10-8

4

0,33333333

1,395612

1,395612

2.47 10-8

5

0,41666667

1,516897

1,516897

2.87 10-8

6

0,5

1,648721

1,648721

2.62 10-8

7

0,58333333

1,792002

1,792002

3.17 10-8

8

0,66666667

1,947734

1,947734

3.57 10-8

9

0,75

2,117

2,117

3.45 10-8

10

0,83333333

2,300976

2,300976

4.23 10-8

11

0,91666667

2,50094

2,50094

4.11 10-8

12

1

2,718282

2,718282

3.87 10-8

Среднеквадратичная ошибка

3,13215E-08

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина показаны на рис. 5 и рис. 6.

Рис. 5. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина

Рис. 6. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом Галеркина (увеличенное изображение в области [0, 0.01])


  1.  Решение  уравнения методом конечных элементов

Конечное решение уравнения (1) имеет вид:

На интервале XiXXi-1/2

На интервале Xi-1/2<XXi-1

Расчет сводится к определению узловых точек yi.

Имеем уравнения невязок на всем диапазоне:

   (4)

     (5)

Учитывая весовые функции:

 

Выражения (4) и (5) используются для интегральной невязки(2):

Для упрощения расчетов узловых точек использовано программирование в пакете MATHLAB. Результаты расчетов интегральной невязки сведены в программу расчета узловых точек.

Программа расчета узловых точек:

Результаты расчета узловых точек при n=3:

Результаты расчета узловых точек при n=6:

Результаты расчета узловых точек при n=12:

Результаты расчетов конечных узлов методом конечных элементов  с количеством дискрет n=3 внесены в таблицу 10.

Таблица 10

n=3

X

точное

расчетное 

Ошибка

0

0

1

1

0

1

0,33333333

1,39561243

1.371681

0,02393143

2

0,66666667

1,94773404

1.930285

0,01744904

3

1

2,71828183

2.739948

-0,02166617

Среднеквадратичная ошибка

0,021186515

Результаты расчетов конечных узлов  методом конечных элементов  с количеством дискрет n=6 внесены в таблицу 11.

Таблица 11

n=6

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,16666667

1,18136

1,163424

0,017936

2

0,33333333

1,395612

1,369138

0,026474

3

0,5

1,648721

1,617418

0,031303

4

0,66666667

1,947734

1,914396

0,033338

5

0,83333333

2,300976

2,268522

0,032454

6

1

2,718282

2,690225

0,028057

Среднеквадратичная ошибка

0,028735374

Результаты расчетов конечных узлов  методом конечных элементов  с количеством дискрет n=12 внесены в таблицу 12.

Таблица 12

n=12

X

точное

расчетное 

ошибка

0

0

1

1

0

1

0,08333333

1,086904

1,07706422

0,00983978

2

0,16666667

1,18136

1,166405953

0,014954047

3

0,25

1,284025

1,265460735

0,018564265

4

0,33333333

1,395612

1,374179302

0,021432698

5

0,41666667

1,516897

1,493054702

0,023842298

6

0,5

1,648721

1,622805526

0,025915474

7

0,58333333

1,792002

1,764291873

0,027710127

8

0,66666667

1,947734

1,918488943

0,029245057

9

0,75

2,117

2,086479959

0,030520041

10

0,83333333

2,300976

2,26945711

0,03151889

11

0,91666667

2,50094

2,468726514

0,032213486

12

1

2,718282

2,685715584

0,032566416

Среднеквадратичная ошибка

0,025837347

Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом конечных элементов показаны на рис. 7.

Рис. 7. Графики расчетной функции при разных величинах дискрет методом конечных элементов


  1.  Выводы по работе

Для оценки точности использованных методов их данные сведены в таблицу 13.

Таблица 13

Количество дискрет

Численный метод

Среднеквадратичная погрешность

N=3

метод конечных разностей

0,016647

метод подобластей

0,000317

методом Галеркина

0,002559152

конечных элементов

0,028735374

N=6

метод конечных разностей

0,003515

метод подобластей

1,58443E-08

методом Галеркина

7,97273E-07

конечных элементов

0,028735374

N=12

метод конечных разностей

0,000805

метод подобластей

0

методом Галеркина

3,13215E-08

конечных элементов

0,025837347

Из полученных данных видно, что метод подобластей имеет наилучший результат вычислений из всех остальных методов. Во-первых, даже при небольшом количестве разбиений он дал точность на 2 порядка лучше, чем второй по полученной точности метод Галеркина. Во-вторых, точность при количестве дискрет n=12 уже не укладывалась в разрядную сетку персонального компьютера.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33000. Философия и ее предмет. Исторические условия возникновения философии 42.2 KB
  Философия - любовь к мудрости (от греч. phileo - люблю и sophia - мудрость) - возникает в VII-VI веках до н.э. в Древней Греции и на Востоке - в Индии и Китае. С тех пор не утихают споры о предмете философских размышлений, назначении философии, ее соотношении с другими формами человеческой духовной деятельности.
33001. ФИЛОСОФИЯ ДРЕВНЕГО ВОСТОКА 35.04 KB
  РВ вобрала в себя миф и ритуал в таком виде она несла зачаток как религиозного так и философского видения мира и человека. Есть там и идея макрокосмической эмбриогонии согласно которой рождение космоса рассматривается по аналогии с зачатием и рождением человека в материнском лоне. Космос порождает человека. В рамках древнеиндийской философии подчёркивается значение духовной стороны человека она приобретает здесь космический смысл.
33002. Милетская школа. Милетская школа философии 26.78 KB
  Обратимся к наиболее известному опровержению возможности движения знаменитым апориям Зенона которого Аристотель назвал изобретателем диалектики. Но для философа вопрос ставиться не в плоскости эмпирического существования движения а в плане мыслимости его противоречивости и в системе понятия в диалектике его соотношения с пространством и временем. Элиатам не удалось доказать что движения нет. Они своими тонкими рассуждениями показали то что едва ли кто из их современников осмысливал что такое движение Сами они в своих размышлениях...
33003. Платон и Аристотель 17.61 KB
  Философскоэтические взгляды Платона изложены в многочисленных диалогах главное действующее лицо которых как правило его учитель Сократ. В дошедших до нас произведениях нет законченной философской системы поэтому воззрения Платона на те или иные вопросы служили и продолжают служить предметом спора между исследователями. Образы идеи по мнению Платона находятся вне времени и пространства недоступны восприятию но их может созерцать разум который и связывает два мира: потусторонний и реальный. Трудно назвать область знаний которая не...
33004. Философия поздней античности 17.13 KB
  В смысловой мир человека вторгалось чувство безосновности и негарантированности существования. Именно они порабощают человека. Его основатель Зенон из Китая утверждал что основная цель человека жить в согласии с природой и это то же самое что жить согласно с добродетелью. Стоический мудрец идеал человека является воплощенным разумом.
33005. Философия средневековья, монотеизм как основа философии средневековья 20.82 KB
  Для философии это был период когда изменились цель и характер философствования. Философы могли свободно создавать свои мировоззренческие концепции как в области онтологии так и в гносеологии этике эстетике социальной философии. А тот факт что тенденция к союзу философии и теологии к их взаимодействию проявилась еще в конце античности...
33006. Эпоха Возрождения, этапы развития 28.3 KB
  Решающую роль при этом играло обращение к философии древних греков и римлян. В философии эпохи Возрождения мы встречаемся с оригинальными модификациями аристотелизма и платонизма стоической и эпикурейской философской мысли. Для гуманистической философии Возрождения характерно рассмотрение человека прежде всего в его земном предназначении. Первый этап развития философии эпохи Возрождения Первый этап развития философии эпохи Возрождения связан с преобладанием интереса мыслителей к проблемам устройства человека в мире который рассматривался как...
33007. Философия нового времени. Эмпиризм 17.81 KB
  Иной подход к сенсуализму продемонстрировал английский епископ Джордж Беркли 1685 1753. Стремясь защитить религию от идей материализма и атеизма Беркли в работе Трактат об основах человеческого познания 1710 использовал для этого принципы сенсуализма и в результате создал концепцию субъективного идеализма. Каждый предмет полагает Беркли можно определить как комплекс ощущений например яблоко это собранные воедино определенный вкус цвет форма запах и пр. Все что реально существует дано нам в наших ощущениях и восприятиях...
33008. Рационализм нового времени 24.77 KB
  Рационализм можно понять как уверенность в мощи и способности разума особенно разума просвещённого руководимого правильным методом постигнуть тайны природы познать окружающий мир и самого человека с помощью здравого смысла решать практические жизненные задачи и в конечном счёте построить общество на разумных началах. И непременно с помощью разума постигать Бога. Но и Декарт Спиноза Лейбниц которых считают рационалистами также уделяли немалое внимание чувственному опыту к которому однако относились критически воле и âстрастям...