3911

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами ср...

Русский

2012-11-09

376.95 KB

74 чел.

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами

Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами средствами пакета.

Предварительно вспомним некоторые сведения из курса высшей математики, необходимые для выполнения данной лабораторной работы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Пусть задана СЛАУ следующего вида:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX = b, где

- матрица коэффициентов системы уравнений;

- вектор неизвестных,   - вектор правых частей.

При выполнении лабораторной работы систему линейных алгебраических уравнений необходимо будет решать методом обратной матрицы и методом Крамера. Вспомним основные формулы, используемые в этих методах.

Метод обратной матрицы

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:

A-1AX=A-1b,  EX=A-1b,  (E - единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A-1b.

Метод Крамера

В этом случае неизвестные x1,x2,…, xn вычисляются по формуле:

где - определитель матрицы A, - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

ПРИМЕР 3.1. Решить систему методом обратной матрицы:

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

 

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 3.1).

Рис. 3.1

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 3.2), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 3.3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица - в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. АВ≠ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (рис. 3.5) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b).

Рис. 3.5

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках H6:H9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рис. 3.6.

Рис. 3.6

ПРИМЕР 3.2. Решить систему из ПРИМЕРА 3.1 методом Крамера.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рис. 3.7).

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14),
I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 - вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рис. 3.7

ПРИМЕР 3.3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A2+2AB, где

Введем исходные данные на рабочий лист (рис. 3.8).

Для умножения матрицы А на матрицу В, выделим диапазон B5:D7 и воспользуемся функцией МУМНОЖ(B1:D3;G1:I3).

Результат вычисления A2=A*A поместим в ячейки G5:I7, воспользовавшись формулой МУМНОЖ(B1:D3;B1:D3).

Умножение (деление) матрицы на число можно выполнить при помощи элементарных операций. В нашем случае необходимо умножить матрицу из диапазона B5:D7 на число 2. Выделим ячейки B9:D11 и введем формулу =2*B5:D7.

Сложение (вычитание) матриц выполняется аналогично. Например, выделим диапазон G9:I11 и введем формул =B9:D11+ G5:I7.

Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Кроме того, в строке формул рабочего листа, изображенного на рис. 3.8, показано как можно вычислить матрицу С одним выражением.

Рис. 3.8

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

  1.  Решить систему уравнений методом Крамера.
  2.  Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
  3.  Выполнить действия над матрицами.

При решении систем обязательно выполнить проверку.

Вариант №1 1) 2)

    

  

Вариант №2   1) 2)

    

  

Вариант №3 1) 2)

    

  

Вариант №4 1) 2)

    

  

Вариант №5 1) 2)

    

  

Вариант №6 1) 2)

    

  

Вариант №7 1) 2)

    

  

Вариант №8    1) 2)

    

  

Вариант №9 1) 2)

    

  

Вариант №10 1) 2)

    

  

Вариант №11 1) 2)

    

3) (2A-B)(3А+B)-2АВ,   

Вариант №12 1) 2)

    

  

Вариант №13 1) 2)

    

3) (A+B)A-B(2А+3В),   

Вариант №14 1) 2)

    

3) A(2A+B)-B(А-В),   

Вариант №15 1) 2)

    

3) 3(A+B)(AВ-2А),   

Вариант №16 2)

   

 

Вариант №17 1) 2)

    

3) 2А + 3B(АB-2А),   

Вариант №18 1) 2)

    

  

Вариант №19 1) 2)

    

3) 2A - АB(В - А) + В,    

Вариант №20 1) 2)

    

  

Вариант №21 1) 2)

    

  

Вариант №22    

 

Вариант №23 1) 2)

    

3) А(A - B) + 2В(A + В),   

Вариант №24 1) 2)  

     

   

Вариант №25    

 

Вариант №26    

 

Вариант №27    

 

Вариант №28    

 

Вариант №29    

 

Вариант №30    

 

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23703. Программирование на языке Паскаль 67 KB
  На каждый теоретический слайд не более трёх минут. На слайды с заданиями от пяти до семи минут. Рассказываю слайд и отмечаю что язык низшего уровня состоит из нулей и единиц. Обсуждаем слайд и немного конспектируем.
23704. Линейные программы и арифметические действия 56.5 KB
  Развитие мышления фантазии памяти внимания и познавательных интересов; Оборудование урока: Компьютерный класс Интерактивная доска Ход урока: 1. Повторение материала предыдущего урока. Организационный момент Приветствие учеников Объявление темы целей и плана урока.
23705. Решение задач на сложные линейные программы 75.5 KB
  program my; var xyy1: integer; begin x:=3; y:=absxsqrsqrx; x:=3; y1:=absxsqrsqrx; writeln y; writeln y1; end. program my; var abc: integer; begin reada; b:=2012; c:=ba; writeln 'ваш примерный возраст 'c; end. program...
23706. Основы языка SQL 75.97 KB
  Баумана Кафедра САПР Основы языка SQL Федорук В.ru 2636526 АННОТАЦИЯ Данное учебное пособие предназначено для изучения основ языка SQL стандартного языка манипулирования данными в СУБД реализующих реляционную модель данных. Описывается синтаксис наиболее употребимых операторов языка SQL приводятся примеры. Учебная база данных реализована в среде СУБД mySQL средства доступа к ней встроены в учебное пособие.
23707. История Советского государства 1900-1991 3.37 MB
  Изменения и кризис в партии [4. XVII съезд партии. XVIII съезд партии. Полная трансформация партии [9.
23708. Перевод условия задачи на математический язык 51 KB
  Составьте выражения для ответа на вопрос задачи: 1 Автомобиль проходит расстояние х км за 2 ч а автобус − за 3 ч. Свой результат группы вывешивают на доску: 1 x : 2 x : 3; 2 x : 2 x : 3; 3 x : 2 x : 3; 4 x : 2 x : 3; Что интересного вы замечаете Задачи все разные а выражения одинаковые. Какое задание стояло перед вами Надо было составить выражение по условию задачи.
23709. Работа с математическими моделями 61 KB
  Количество в м Стоимость в руб. Шерсть d 3 420 000 Шёлк с Сначала надо найти стоимость шерсти: 3d затем стоимость шёлка: 420 000 3d что бы найти цену шёлка6 надо его стоимость разделить на количество купленного шёлка: 420000 3d : c Если d = 80 000 c = 2 420000 380 000 : 2 = 90 000 Ответ: цена шёлка 90 000 руб. Количество Стоимость в руб. Хлеб а 3 батона Яблоки b 2 кг Что бы найти стоимость всей покупки надо знать стоимость хлеба и стоимость яблок.
23710. Работа с математическими моделями 57.5 KB
  При решении последнего примера учащиеся вспоминают свойство 1 при умножении: а 1 = 1 а = а − Расположите полученные результаты в порядке возрастания. Какие свойства умножения вы использовали Распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: аb c = аb ac аb c = аb ac свойство 1 при умножении: а  1 = а. Какое свойство умножения вы использовали Свойство 1 при умножении. Како теперь свойство можно применить Распределительное свойство умножения относительно сложения.
23711. Математические выражения и математические модели 76.5 KB
  а Графическая модель: Не известно количество девочек x одна часть и мальчиков но сказано что мальчиков в 3 раза больше x3 или 3x вторая часть всего целое 48 человек. x 3x = 48 x x3 = 48 Используем свойство 1 при умножении: a1 = 1a: 1x 3x = 48 x1 x3 = 48 Используем распределительное свойство умножения: ab c = ab ac: x1 3 = 48 Найдём сумму стоящую в скобках: 4x = 48 x4 = 48 Что бы найти неизвестный множитель надо произведение разделить на известный множитель: x = 48 : 4 x = 12 x ...