3911

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами ср...

Русский

2012-11-09

376.95 KB

74 чел.

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами

Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами средствами пакета.

Предварительно вспомним некоторые сведения из курса высшей математики, необходимые для выполнения данной лабораторной работы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Пусть задана СЛАУ следующего вида:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX = b, где

- матрица коэффициентов системы уравнений;

- вектор неизвестных,   - вектор правых частей.

При выполнении лабораторной работы систему линейных алгебраических уравнений необходимо будет решать методом обратной матрицы и методом Крамера. Вспомним основные формулы, используемые в этих методах.

Метод обратной матрицы

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:

A-1AX=A-1b,  EX=A-1b,  (E - единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A-1b.

Метод Крамера

В этом случае неизвестные x1,x2,…, xn вычисляются по формуле:

где - определитель матрицы A, - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

ПРИМЕР 3.1. Решить систему методом обратной матрицы:

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

 

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 3.1).

Рис. 3.1

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 3.2), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 3.3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица - в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. АВ≠ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (рис. 3.5) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b).

Рис. 3.5

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках H6:H9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рис. 3.6.

Рис. 3.6

ПРИМЕР 3.2. Решить систему из ПРИМЕРА 3.1 методом Крамера.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рис. 3.7).

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14),
I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 - вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рис. 3.7

ПРИМЕР 3.3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A2+2AB, где

Введем исходные данные на рабочий лист (рис. 3.8).

Для умножения матрицы А на матрицу В, выделим диапазон B5:D7 и воспользуемся функцией МУМНОЖ(B1:D3;G1:I3).

Результат вычисления A2=A*A поместим в ячейки G5:I7, воспользовавшись формулой МУМНОЖ(B1:D3;B1:D3).

Умножение (деление) матрицы на число можно выполнить при помощи элементарных операций. В нашем случае необходимо умножить матрицу из диапазона B5:D7 на число 2. Выделим ячейки B9:D11 и введем формулу =2*B5:D7.

Сложение (вычитание) матриц выполняется аналогично. Например, выделим диапазон G9:I11 и введем формул =B9:D11+ G5:I7.

Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Кроме того, в строке формул рабочего листа, изображенного на рис. 3.8, показано как можно вычислить матрицу С одним выражением.

Рис. 3.8

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

  1.  Решить систему уравнений методом Крамера.
  2.  Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
  3.  Выполнить действия над матрицами.

При решении систем обязательно выполнить проверку.

Вариант №1 1) 2)

    

  

Вариант №2   1) 2)

    

  

Вариант №3 1) 2)

    

  

Вариант №4 1) 2)

    

  

Вариант №5 1) 2)

    

  

Вариант №6 1) 2)

    

  

Вариант №7 1) 2)

    

  

Вариант №8    1) 2)

    

  

Вариант №9 1) 2)

    

  

Вариант №10 1) 2)

    

  

Вариант №11 1) 2)

    

3) (2A-B)(3А+B)-2АВ,   

Вариант №12 1) 2)

    

  

Вариант №13 1) 2)

    

3) (A+B)A-B(2А+3В),   

Вариант №14 1) 2)

    

3) A(2A+B)-B(А-В),   

Вариант №15 1) 2)

    

3) 3(A+B)(AВ-2А),   

Вариант №16 2)

   

 

Вариант №17 1) 2)

    

3) 2А + 3B(АB-2А),   

Вариант №18 1) 2)

    

  

Вариант №19 1) 2)

    

3) 2A - АB(В - А) + В,    

Вариант №20 1) 2)

    

  

Вариант №21 1) 2)

    

  

Вариант №22    

 

Вариант №23 1) 2)

    

3) А(A - B) + 2В(A + В),   

Вариант №24 1) 2)  

     

   

Вариант №25    

 

Вариант №26    

 

Вариант №27    

 

Вариант №28    

 

Вариант №29    

 

Вариант №30    

 

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29741. Виховні завдання майстра виробничого навчання 18.69 KB
  Важливе виховне значення має їхня участь на заключній стадії навчання. Сутність та характеристика проблемного методу навчання Під проблемним навчанням розуміється сукупність дій які спрямовані на створення проблемної ситуації формування цієї проблеми її осмислення і вирішення. В основі проблемного методу навчання ідея про спосіб розвитку свідомості людини через розв'язування пізнавальних проблем що містять суперечності.
29742. Видозміни уроків виробничого навчання 15.97 KB
  Існують такі типи уроків виробничого навчання: урок формування початкових умінь і виконувати виробничі прийоми і операції; урок удосконалення умінь і формування навичок; урок комплекних робіт; урок виконання контрольнопровірочних робіт; урокспостереження за діяльністю передовиків і новаторів виробництва. Види уроків з виробничого навчання : Урокконкурс професійної майстерності Урокзалік Урокпрактикум самостійна робота учнів Семінар виробничого навчання Виробнича конференція Виробнича екскурсія Урок інструктування...
29743. Урок та його характеристика, методичні підструктури уроку 20.42 KB
  Для уроку як форми навчальної роботи властиві такі ознаки: Має строго позначені рамки навчального часу; На уроці як правило присутня постійний склад учнів приблизно одного віку і рівня підготовленості до навчальної роботи; Кожен урок відводиться на вивчення одного предмета; Урок має дидактичну структуру; Урок будується виходячи з цілей і завдань навчання і розвитку закономірностей і принципів навчального процесу; Творцем організатором і керівником уроку є вчитель педагог; Урок у своїй основі спрямований на навчання...
29744. Методика складання навчальної робочої програми з навчальної дисципліни 19.3 KB
  selfinstruction спрямована індивідуумом діяльність на самостійне одержання знань і або досвіду. Самонавчання самостійне утворення придбання систематичних знань у якійнебудь галузі науки техніки культури політичного життя і т. Сформованість у студентів навчальних мотивів образу мети та способів її досягнення знань і Основні структурні елементи уроку та їх характеристика. Забезпечення мотивації і прийняття учнями мети навчальнопізнавальної діяльності актуалізація опорних знань і умінь.
29745. Методика складання плану навчального заняття 16.97 KB
  В першу чергу при складані плану визначається тема і мета заняття обладнання уроку це книжки плакати схеми тощо; визначення типу уроку комбіновані змішані уроки; урок засвоєння нових знань; урок формування навичок і вмінь; урок узагальнення і систематизації знань; урок практичного застосування знань навичок і умінь; урок контролю і корекції знань навичок і вмінь; методи проведення урокунайбільш поширені словесні методи: розповідь бесіда лекція пояснення; між предметні звязки встановити чи є звязки з іншими дисциплінами;...
29747. Об’єкт, предмет, завдання – дисципліни «Методика професійного навчання» 19.83 KB
  Діяльність інженера-педагога пов'язана з необхідністю спрямовувати, організовувати та здійснювати навчально-виховний процес у професійних навчальних закладах, знати характеристики педагогічної діяльності, застосовувати уміння передбачати навчально-виховну ситуацію
29748. Планування роботи майстра виробничого навчання 17.67 KB
  Підготовка проводиться поетапно і включає: особисту підготовку майстра; підготовку матеріальнотехнічного оснащення; плануюча підготовка. Особиста підготовка: вивчення методичної та технічної літератури матеріалів по передовому досліду роботи; підготовка до показу трудових прийомів і способів виконання. Підготовка матеріальнотехнічного оснащення:підготовка і перевірка матеріалів та оснащення для проведення уроків; підготовка наочних посібників навчальнотехнічної документації технічні засоби навчання; перевірка роботи обладнання....
29749. Предмет и задачи медицинской микробиологии. Основы классификации микроорганизмов. Морфология и физиология микроорганизмов 82 KB
  По целевой направленности и решению практических задач различают общую, техническую (промышленную), медицинскую, ветеринарную, санитарную, радиационную и космическую микробиологию. При этом общая микробиология изучает систематику, структурную организацию, химический состав, ферментные системы