3911

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами ср...

Русский

2012-11-09

376.95 KB

73 чел.

Решение систем линейных уравнений, работа с матрицами

Цель работы: Изучение возможностей пакета Ms Excel при решении задач линейной алгебры. Приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами средствами пакета.

Предварительно вспомним некоторые сведения из курса высшей математики, необходимые для выполнения данной лабораторной работы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Пусть задана СЛАУ следующего вида:

Эту систему можно представить в матричном виде: AX = b, где

- матрица коэффициентов системы уравнений;

- вектор неизвестных,   - вектор правых частей.

При выполнении лабораторной работы систему линейных алгебраических уравнений необходимо будет решать методом обратной матрицы и методом Крамера. Вспомним основные формулы, используемые в этих методах.

Метод обратной матрицы

Систему линейных алгебраических уравнений AX = b умножим слева на матрицу, обратную к А. Система уравнений примет вид:

A-1AX=A-1b,  EX=A-1b,  (E - единичная матрица)

Таким образом, вектор неизвестных вычисляется по формуле X=A-1b.

Метод Крамера

В этом случае неизвестные x1,x2,…, xn вычисляются по формуле:

где - определитель матрицы A, - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены i-го столбца вектором b.

Обратите внимание на особенность работы с матричными формулами: необходимо предварительно выделять область, в которой будет храниться результат, а после получения результата преобразовывать его к матричному виду, нажав клавиши F2 и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь рассмотрим решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера на следующих примерах.

ПРИМЕР 3.1. Решить систему методом обратной матрицы:

В этом случае матрица коэффициентов А и вектор свободных коэффициентов b имеют вид:

 

Введём матрицу A и вектор b в рабочий лист MS Excel (рис. 3.1).

Рис. 3.1

В нашем случае матрица А находится в ячейках B1:Е4, а вектор b в диапазоне G1:G4. Для решения системы методом обратной матрицы необходимо вычислить матрицу, обратную к A. Для этого выделим ячейки для хранения обратной матрицы (это нужно сделать обязательно!!!); пусть в нашем случае это будут ячейки B6:E9. Теперь обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МОБР, предназначенную для вычисления обратной матрицы (рис. 3.2), щелкнув по кнопке OK, перейдём ко второму шагу мастера функций. В диалоговом окне, появляющемся на втором шаге мастера функций, необходимо заполнить поле ввода Массив (рис. 3.3). Это поле должно содержать диапазон ячеек, в котором хранится исходная матрица - в нашем случае B1:E4. Данные в поле ввода Массив можно ввести, используя клавиатуру или выделив их на рабочем листе, удерживая левую кнопку мыши.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Если поле Массив заполнено, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке, выделенного под обратную матрицу диапазона, появится некое число. Для того чтобы получить всю обратную матрицу, необходимо нажать клавишу F2 для перехода в режим редактирования, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае рабочая книга MS Excel примет вид изображенный на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Теперь необходимо умножить полученную обратную матрицу на вектор b. Выделим ячейки для хранения результирующего вектора, например H6:H9. Обратимся к мастеру функций, и в категории Математические выберем функцию МУМНОЖ, которая предназначена для умножения матриц. Напомним, что умножение матриц происходит по правилу строка на столбец и матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В. Кроме того, при умножении матриц важен порядок сомножителей, т.е. АВ≠ВА

Перейдём ко второму шагу мастера функций. Появившееся диалоговое окно (рис. 3.5) содержит два поля ввода Массив1 и Массив2. В поле Массив1 необходимо ввести диапазон ячеек, в котором содержится первая из перемножаемых матриц, в нашем случае B6:E9 (обратная матрица), а в поле Массив2 ячейки, содержащие вторую матрицу, в нашем случае G1:G4 (вектор b).

Рис. 3.5

Если поля ввода заполнены, можно нажать кнопку OK. В первой ячейке выделенного диапазона появится соответствующее число результирующего вектора. Для того чтобы получить весь вектор, необходимо нажать клавишу F2, а затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter. В нашем случае результаты вычислений (вектор х), находится в ячейках H6:H9.

Для того чтобы проверить, правильно ли решена система уравнений, необходимо умножить матрицу A на вектор x и получить в результате вектор b. Умножение матрицы A на вектор x осуществляется при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;Н6:Н9), так как было описанной выше.

В результате проведенных вычислений рабочий лист примет вид изображенный на рис. 3.6.

Рис. 3.6

ПРИМЕР 3.2. Решить систему из ПРИМЕРА 3.1 методом Крамера.

Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист. Кроме того, сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b (рис. 3.7).

Для дальнейшего решения необходимо вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку I10 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B1:E4.

Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

I11=МОПРЕД(B6:E9), I12=МОПРЕД(B11:E14),
I13=МОПРЕД(B16:E19), I14=МОПРЕД(B21:E24).

В результате в ячейке I10 хранится главный определитель, а в ячейках I11:I14 - вспомогательные.

Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку K11 введём формулу =I11/$I$10. Затем скопируем её содержимое в ячейки K12, K13 и K14. Система решена.

Рис. 3.7

ПРИМЕР 3.3. Вычислить матрицу С по формуле: C=A2+2AB, где

Введем исходные данные на рабочий лист (рис. 3.8).

Для умножения матрицы А на матрицу В, выделим диапазон B5:D7 и воспользуемся функцией МУМНОЖ(B1:D3;G1:I3).

Результат вычисления A2=A*A поместим в ячейки G5:I7, воспользовавшись формулой МУМНОЖ(B1:D3;B1:D3).

Умножение (деление) матрицы на число можно выполнить при помощи элементарных операций. В нашем случае необходимо умножить матрицу из диапазона B5:D7 на число 2. Выделим ячейки B9:D11 и введем формулу =2*B5:D7.

Сложение (вычитание) матриц выполняется аналогично. Например, выделим диапазон G9:I11 и введем формул =B9:D11+ G5:I7.

Для получения результата в обоих случаях необходимо нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Кроме того, в строке формул рабочего листа, изображенного на рис. 3.8, показано как можно вычислить матрицу С одним выражением.

Рис. 3.8

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

  1.  Решить систему уравнений методом Крамера.
  2.  Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.
  3.  Выполнить действия над матрицами.

При решении систем обязательно выполнить проверку.

Вариант №1 1) 2)

    

  

Вариант №2   1) 2)

    

  

Вариант №3 1) 2)

    

  

Вариант №4 1) 2)

    

  

Вариант №5 1) 2)

    

  

Вариант №6 1) 2)

    

  

Вариант №7 1) 2)

    

  

Вариант №8    1) 2)

    

  

Вариант №9 1) 2)

    

  

Вариант №10 1) 2)

    

  

Вариант №11 1) 2)

    

3) (2A-B)(3А+B)-2АВ,   

Вариант №12 1) 2)

    

  

Вариант №13 1) 2)

    

3) (A+B)A-B(2А+3В),   

Вариант №14 1) 2)

    

3) A(2A+B)-B(А-В),   

Вариант №15 1) 2)

    

3) 3(A+B)(AВ-2А),   

Вариант №16 2)

   

 

Вариант №17 1) 2)

    

3) 2А + 3B(АB-2А),   

Вариант №18 1) 2)

    

  

Вариант №19 1) 2)

    

3) 2A - АB(В - А) + В,    

Вариант №20 1) 2)

    

  

Вариант №21 1) 2)

    

  

Вариант №22    

 

Вариант №23 1) 2)

    

3) А(A - B) + 2В(A + В),   

Вариант №24 1) 2)  

     

   

Вариант №25    

 

Вариант №26    

 

Вариант №27    

 

Вариант №28    

 

Вариант №29    

 

Вариант №30    

 

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25253. Соціальна філософія Франкфуртської школи 27 KB
  Подібну думки висловлює і Маркузе в роботі Одномірна людина. Одномірна людина керується такою ж бідною та плоскою філософією. На думку Еріха Фрома людина народжується тоді коли він розриває первісні зв’язки з природою що характеризують тваринне існування. Розірвавши їх людина стає одинокою що змушує її обрати 1 із 2х можливих шляхів: скоритися іншому або скорити іншого.
25254. Культура як об’єкт і предмет філософського осмислення 29.5 KB
  В той же час формується і протилежний підхід до питання про вплив культури на людське життя. Виділяють наступні підходи до вивчення історії людської культури: Формаційний Маркс Енгельс: Історія розглядається як зміна супільноекономічних формацій рухомою силою якої вважається класова боротьба. Кожній формації властивий власний тип культури який еволюціонує в своєму розвитку від формації до формації. Процес розвиток культури наділяється прогресивним характером який підпорядковується єдиній логіці історичного процесу – утвердження...
25255. Моральні цінності і основні тенденції сучасної культури 27 KB
  Біоетичні проблеми: вторгнення в природу людини пересадка органів клонування €œсуррогатне материнство€ штучне запліднення зміна статі евтаназія виявляє неможливість узгодження моральної і медицинської позицій. Таким чином під сучасними €œгуманістичними тенденціями€ приховуються цілком протилежні процеси егоїстичне і руйнівне ставлення людини до природи – як до навколишньої так і до власної; гіпертрафія значення індивідуальної людини що нерідко приховує за собою інтереси конкретних соціальних груп.
25256. Здобутки сучасної науки і проблеми прикладної етики 34 KB
  Здобутки сучасної науки і проблеми прикладної етики Прикладка етика сфера знання і поведінки предметом якої є практичні моральні проблеми які мають междисциплінарний і відкритий характер. біоетики екологічної етики етики господарювання політичної етики етики науки і ін. представляеть собою нову багатоманітну сферу знання і суспільної практики яка виникає на межі етики і ін. є додатком етичної теорії до практики і має свої витоки в античності; це новий варіант професійної етики; сукупність особливого роду практичних моральних питань...
25257. Специфічні риси античної філософської парадигми 30 KB
  Основні досократичні школи: Мілетська школа Фалес Анаксімандр Анаксімен Вчення Геракліта Ефеського Атомізм Демокріта Піфагорійський союз Елейська школа Ксенофан Парменід Зенон Софісти Сократичні школи: мегарська Евклід – синтезували вчення Парменіда про буття з вищим поняттям сократівської етики – поняттям добра кінічна – основою щастя вважали нехтування суспільними нормами циніки кіренайська – гедонізм Платон – учень Сократа засновник Академії: вчення про ідеї як досконалі речі€ теорія пізнання знання як пригадування...
25258. Монізм-плюралізм. Суть „елейської кризи” в античній філософії 27.5 KB
  буття єдине істине нерухоме умоглядне розум та умовиводи. Існує лише буття небуття не існує тотожність мислення і буття. Оскільки небуття не можливо помислити то його не має Пізнання засобами органів відчуттів не достовірне. Апорії Зенона Ахілл і черепаха€ Стріла€: логічно неможливе мислення множинності речей припущення руху приводить до суперечностей Опоненти олеатів сперечалися з постулатами про єдність буття і його нерухомість апелювали до чуттєвоконкретної реальності що є багатоманітною і мінливою.
25259. Суть Сократовських тез 22.5 KB
  Осн заслуга в тому що діалог був осн методом знаходження істини. Даний вислів був переосмислений Сократом і означав 1 відмову від космологічної спекуляції досократиків 2 кореляцію осн постулата інтелектуальної етики Сократа добродетелб есть знание який передбач самопізнання пізнання своєї моральної сутності та її наступна реалізація пізнай хто ти єсть і стань ним шляхом досягнення щастя.
25260. Проблема співвідношення філософії та релігії 67.5 KB
  Спільне філософії і науки: конкретний предмет дослідження; обґрунтовуються особливими способами доказів філософія – верифікація само наукове знання інколи служить доказом філософського принципу; обидва знання – узагальнення ідей але ступінь узагальнення різний філософію часто називають метатеорією теорія теорії; ціль – збагачення досвіду людини; метод абстракції. Відмінності: наука вивчає лише відносне а філософія ще й абсолютне; наукове мислення інтелектуальне а філософське – розумове оскільки про відносне можна знати лише...
25261. Філософія релігії в системі філософських знань і як структурний компонент релігієзнавства. Філософія релігії і реліг. філософія: необхідність їх розрізнення 28.5 KB
  Філософія релігії в системі філософських знань і як структурний компонент релігієзнавства. Філософія релігії і реліг. філософія: необхідність їх розрізнення Філя релігії – подає понятійне тлумачення релігійних феноменів – інтелектуальний вимір релігії. осмисленість феномену релігії.