39145

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Книга

Астрономия и авиация

В зависимости от физической сущности моделируемого объекта или процесса и характера этого процесса могут использоваться законы распределения непрерывных или дискретных случайных величин. Естественно что при формировании вероятностностатистических моделей широко используются законы распределения случайных величин и правила оперирования с ними определяемые теорией вероятности и статистическими методами анализа. Формирование...

Русский

2013-10-01

9.88 MB

50 чел.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ»

Кафедра технической эксплуатации

летательных аппаратов и авиадвигателей

А.А. Ицкович, П.К. Кабков

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

             Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области эксплуатации авиационной и космической техники для  межвузовского  использования  в качестве учебного пособия

Москва-2009

УДК 629.735:519.2(075.8)

ББК 39.52-08в631.8

    И  96

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Московского государственного технического университета ГА

            Рецензенты:  канд. техн. наук, доц. А.С. Чичерин;

зам.  главного  инженера  ОАО  Авиакомпания  «Континент» Р.С. Черненко

            Ицкович А.А., Кабков П.К.

И 96     Вероятностно-статистические модели эксплуатации летательных аппаратов. Учебное пособие. - М.: МГТУ ГА, 2009.– 120с., 20 табл., 43 ил., лит.18 наим.

       ISBN 978-5-86311-686-0

Данное учебное пособие издается в соответствии с рабочей программой по Учебному плану для студентов III курса специальности 160901 дневного и заочного обучений.

Учебное пособие содержит материал, соответствующий рабочей программе одноименной учебной дисциплины. В нем рассмотрены методы формирования вероятностно-статистических моделей как объектов, так и процессов эксплуатации ЛА. Наиболее подробно рассмотрены модели на основе Марковских случайных процессов. Рассмотрены корреляционно-регресионные модели на основе метода динамики средних. Показано как для  построения некоторых моделей может быть использована система Mathcad.

Рассмотрено и одобрено на заседаниях кафедры 25.11.08г. и методического совета 30.11.08г.

3206030000-041                                                                 ББК 39.52-08в631.8

   Ц33(03)-09                                                                    Доп. св. план 2009 г.

                                                                                                       Поз.41

ИЦКОВИЧ Александр Абрамович

КАБКОВ Павел Кондратьевич

ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ

МОДЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Учебное пособие

Редактор Л.Е. Паталова       

Подписано в печать 18.09.09г.

Печать офсетная        Формат 60х84/16       4,72 уч.-изд. л.

6,97 усл.печ. л.        Заказ № 739/       Тираж 200 экз.

ISBN 978-5-86311-686-0

                                                                                                                                 © Московский государственный

                                                                                                                               технический университет ГА, 2009

Введение

    Несмотря  на  строгую  регламентацию  процессов  эксплуатации, на  эти  процессы  влияет  множество  случайных  факторов. Уже  сами  объекты  эксплуатации  –  летательный  аппарат,  авиационные  двигатели, функциональные  системы  и  отдельные  технические  устройства  в  силу  ряда  причин  со  временем «изнашиваются», надежность  их  функционирования  снижается.  В  силу  этих  обстоятельств  математическая  модель  объекта  эксплуатации  для  отображения реального устройства приобретает вероятностно-статистический  характер.  

    В  зависимости  от  физической  сущности  моделируемого  объекта  или  процесса  и  характера  этого  процесса  могут  использоваться  законы  распределения  непрерывных  или  дискретных  случайных  величин.  Естественно, что  при  формировании  вероятностно-статистических  моделей  широко  используются  законы  распределения  случайных  величин  и  правила  оперирования  с  ними, определяемые  теорией  вероятности  и  статистическими  методами  анализа.

    Для  формирования  вероятностно-статистических  моделей  процессов  эксплуатации  наиболее  подходящим  инструментом  являются  Марковские  и  полумарковские  случайные  процессы.  Для  их  описания  использу ются   системы  дифференциальных  и  алгебраических  уравнений.  В  учебном  пособии  приводятся методы их решения  с  использованием  аппарата  системы  Mathcad

    Наглядное  представление  о  характере  взаимосвязи  случайных  параметров  процессов  эксплуатации дают  функции  регрессии. Методы  их  построения  с  помощью  системы  Mathcad   также  приведены  в  пособии.

    Для  формирования  вероятностно-статистических  моделей  в  случае  большого  количества  объектов  использован  метод  динамики средних.  

                                       


Раздел 1
. Формирование вероятностно-статистических моделей объектов эксплуатации летательных аппаратов

  1.  Формирование вероятностно-статистических моделей

            с использованием законов распределения непрерывных

случайных величин

1.1. Исходные данные и порядок формирования

вероятностно-статистической модели эксплуатации

    Эксплуатация авиационной техники – это целенаправленная деятельность коллектива людей по применению, техническому обслуживанию, ремонту, хранению и транспортированию авиационной техники (АТ). Во всей своей совокупности эксплуатация АТ определяется следующими компонентами :

  параметрами объектов эксплуатации, в том числе эксплуатационными свойствами техники;

  технологическими эксплуатационными процессами, которые необходимо вести на этой технике;

  коллективами людей, осуществляющими эти процессы на технике;

  внешними условиями (средой), в которой эксплуатируется техника.

    Исходными данными для формирования вероятностно-статистической модели являются экспериментальные результаты исследований параметров этих компонент эксплуатации. Обработка экспериментальных данных проводится методами статистического анализа. В случае использования законов распределения непрерывных случайных величин последовательность формирования вероятностно-статистической модели эксплуатации состоит в следующем.

    На основании исходных данных строится гистограмма распределений (плотности распределения или частости). По виду этой гистограммы выдвигается гипотеза о виде закона распределения исследуемого параметра. Эта гипотеза проверяется с помощью критерия согласия. При подтверждении гипотезы она принимается, а в случае отказа в подтверждении  гипотезы - корректируется вероятностно-статистическая модель.

1.2. Законы распределения непрерывных случайных

величин, используемые при формировании

вероятностно-статистических моделей

В процессе эксплуатации персонал, непосредственно осуществляющий эксплуатацию авиационной техники, имеет дело с объектами эксплуатации (летательными аппаратами, агрегатами и их неисправностями), самими процессами эксплуатации (техническим обслуживанием, ликвидацией неисправностей, хранением и транспортировкой).

    Объекты и процессы эксплуатации могут быть охарактеризованы некоторыми параметрами (надежностью объекта, эксплуатационной надежностью, временем между техническим обслуживанием, временем самого технического обслуживания, качеством обслуживания и пр.).

    На характер функционирования объектов эксплуатации и их состояние существенным образом влияют случайные факторы, поэтому их поведение описывается  вероятностными законами, что отражается на числовых характеристиках параметров объектов и процессов эксплуатации, именно эти числовые параметры имеют распределение вероятностей их значений.

    В практике эксплуатации авиационной техники встречаются следующие непрерывные распределения вероятностей: нормальное, экспоненциальное, Вейбулла, гамма-распределение и логарифмически-нормальное.

 Нормальное распределение.

    Нормальному распределению приближенно соответствует распределение суммарной наработки восстанавливаемого изделия до капитального ремонта. Точного соответствия этому виду распределения в данном случае быть не может, так как наработка – существенно положительная величина, а при нормальном распределении случайная величина может принимать и отрицательные значения. Однако, если у нормального распределения конкретной случайной величины коэффициент вариации мал, именно   ,  то вероятность появления отрицательных значений пренебрежительно мала. Приближенно по нормальному закону распределено время восстановления ремонтируемых изделий, а также наработка до отказа невосстанавливаемых изделий.

    Общий вид плотности распределения нормального закона определяется формулой:

,                  (1.1)

т.е. нормальный закон является двухпараметрическим (величина m есть математическое ожидание случайной величины x, а величина σ – ее среднее квадратичное отклонение).

    Функция нормального распределения имеет вид:

 .               (1.2)

    В случае, когда m = 0 и σ = 1, распределение является центрированным и нормированным, для которого плотность вероятности выражается  формулой:

      .                                (1.3)

      Соответственно функция центрированного и нормированного нормального распределения имеет вид:

.                           (1.4)    

Эту функцию часто называют стандартной функцией нормального распределения. Функции   и  табулированы, при этом в таблицах даются только положительные значения аргумента ( табл. П.1 и П.2).

Вход в таблицы производится по значению величины

     .                                                 (1.5)

Если величина s оказывается отрицательной (при  x<m), то используется четность нормированной плотности распределения

.                                              (1.6)

 Определение функции распределения  для отрицательных значений  s  производится по правилу

.                                         (1.7)

 В случае положительного значения величины s (при xm) функции и      определяются непосредственно по таблицам.

 На практике часто встречаются случаи, когда необходимо определить, какое значение случайной величины соответствует заданной вероятности. Эта задача решается с помощью специальной числовой характеристики распределения вероятностей, называемой  квантилью.

  Если F(x) - непрерывная строго монотонная функция, то квантиль  - единственное решение уравнения  F(x)=p, т.е. Kp –функция , обратная  функции  F(x).  . Значения квантилей для нормального распределения приведены в табл. П.3.

 Экспоненциальное распределение

    Экспоненциальное распределение встречается довольно часто при рассмотрении многих технических вопросов.  Так, после окончания периода приработки (в период нормальной эксплуатации) поток отказов восстанавливаемых изделий часто является простейшим, у которого распределение времени между событиями является экспоненциальным.

Экспоненциальное распределение часто используется при рассмотрении внезапных отказов в тех случаях, когда явления износа и старения слабо выражены и ими можно пренебречь.

      Большинство процессов эксплуатации летательных аппаратов могут быть  описаны Марковскими случайными процессами, потоки событий в которых являются простейшими, распределение времени между событиями в них  является  экспоненциальным.   

Экспоненциальное распределение широко используется в теории массового обслуживания, с помощью которой могут быть хорошо описаны процессы технического обслуживания летательных аппаратов на авиационно-технической базе.

 Плотность распределения вероятностей в случае экспоненциального распределения имеет вид:

       .                                            (1.8)

Экспоненциальный закон является однопараметрическим, параметр распределения  является строго положительной константой, а сама случайная величина x тоже положительная величина и может изменяться от нуля до бесконечности.

Функция экспоненциального распределения может быть получена путем интегрирования плотности распределения  f(x). 

                                                (1.9)

Математическое ожидание M(x) и среднее квадратичное отклонение совпадают и равны обратному значению величины

     .                                           (1.10)

     В справочных руководствах часто приводятся таблицы значений функции , но при пользовании электронными калькуляторами для научных исследований, в которых есть процедура расчета этой функции, ее определение не представит никакого труда.                                                                                                                                                                       Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла часто используется в теории надежности. Закон Вейбулла имеет наработка до отказа у многих невосстанавливаемых изделий (подшипники качения, изделия, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения).

При рассмотрении надежности технических систем используют интенсивность отказов . Этот параметр для значительного числа технических изделий изменяется так, как это показано на рис. 1.1.

Из этого графика видно, что весь интервал времени работы технического устройства можно разбить на три периода. Первый период  продолжительностью  от начала эксплуатации называется периодом «приработки» («обкатки»). Второй период продолжительностью  есть  период  нормальной  эксплуатации.    Последний период (от конца периода нормальной эксплуатации до списания) - период старения и износа.

                                                          Рис.1.1

Ход изменения функции , изображенный на рис.1.1, может быть описан классом степенных функций, имеющих следующий вид

.                                    (1.11)

Поскольку  - интенсивность отказов, то общее число отказов за время t будет равно:                                                                                                   

.                                      (1.12)

Полагая функцию распределения экспоненциальной с переменным параметром , можно записать:

.                                     (1.13)

Подставив сюда выражение (1.11) для  и проинтегрировав показатель степени экспоненты, получим:

.                     (1.14)

Продифференцировав (1.14), получаем плотность вероятностей:

.    (1.15)

Выражения (1.14) и (1.15) определяют распределение Вейбулла (распределение Вейбулла-Гнеденко).

Другие формы записи распределения Вейбулла:

.                          (1.16)

Сравнив эту зависимость с формулой (1.15), нетрудно увидеть, что

и .

В прикладных задачах теории надежности [14] распространение получили следующие записи закона Вейбулла:

,                                    (1.17)

.                                                  (1.18)

Сравнение этой формулы с формулой (1.14) показывает, что      и  .   Сравнивая выражение (1.18) с формулой (1.9) для экспоненциального выражения, можно сказать, что случайная величина  имеет экспоненциальное распределение с параметром. Это обстоятельство нам понадобится, когда мы будем рассматривать доверительные границы.

Когда параметр x есть время t, то используется следующая формула для распределения Вейбулла:

                           .                           (1.19)

В формулах распределения Вейбулла параметр b есть параметр формы распределения и  a – параметр масштаба.

     На рис.1.2 изображены графики зависимостей f(x), F(x) и  распределения Вейбулла для различных значений параметра формы b.

Из рисунка видно, что наиболее четко заметно влияние параметра b на график функции f(x). При b > 1 этот график имеет скошенный вид с максимумом функции. При b = 1 закон Вейбулла полностью совпадает с экспоненциальным законом, и при b < 1 график функции f(x) – резко спадающая кривая.

    Для определения коэффициентов распределения Вейбулла можно воспользоваться табл. П.4. Для входа в таблицу определяется коэффициент вариации , где  и определяются по исходным статистическим данным .  Коэффициент  b  определяется непосредственно из  таблицы, а коэффициент а   по  одной  из  формул     a =  tcp /    или    a = σ/Cb       ,  где  коэффициенты  Kb и  Cb  даны  в  табл.  П.4.    

Рис. 1.2

Гамма-распределение

    Гамма-распределение может встречаться в следующих случаях :

- этому распределению подчиняется иногда время восстановления;

- если наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение, то в случае применения ненагруженного резервирования замещением возникает гамма-распределение;

- если поток отказов у восстанавливаемого изделия простейший, то наработка через один (вообще между несколькими) отказ подчиняется гамма-распределению.

Плотность вероятностей для гамма-распределения имеет вид:                                      ,              (1.20)

где: m- целое положительное число;  - положительная постоянная (не обязательно целое число).

    В специальной литературе [13] приводится такой вид плотности вероятностей  для этого распределения:

,                   (1.21)

где  Г(.) – гамма-функция.

Сравнивая эту зависимость с формулой (1.20), можно установить , что

     

Если в формуле (1.20) произвести замену переменных , то получим следующее выражение:

           (1.22)

т.е. функция f(x) зависит только от одного параметра – m. 

 Гамма-распределение с параметрами m иполучается в результате композиции m независимых случайных величин, имеющих одинаковые экспоненциальные распределения с параметром .

 Математическое ожидание  M(t) и среднеквадратическое отклонение с использованием параметров закона в форме (1.20) и (1.21) равны:

 ,                               

  .                                 (1.23)

График функции  - плотности вероятностей для гамма-распределения приведен на рис.1.3.

Интегрируя выражение (1.21) для плотности распределения, можно получить следующее  выражение для закона распределения:

.                         (1.24)

Рис. 1.3

     Для расчета F(t) необходимо знать параметры  и . Их можно определить, совместно решая выражения для M(t) и  (1.23). Значения M(t) и определяются методом моментов. Значения гамма-функции определяются по   табл. П.5, приведенной в приложении.

Логарифмически-нормальное распределение

Это распределение может встретиться в следующих случаях:

– распределение времени наработки до отказа у некоторых изделий (электронные лампы, изделия, у которых отказ наступит вследствие усталостного разрушения);

- время восстановления некоторых изделий может подчиняться логарифмически-нормальному распределению.

    Положительная случайная величина  y имеет логарифмически-нормальное распределение, если ее логарифм x1=lny (или x2=lgy) распределен нормально, при этом x2=0,4343x1, где коэффициент 0,4343 учитывает переход от натуральных логарифмов к десятичным.

    Поскольку нормально распределенные логарифмы случайных величин y, то по аналогии с нормальным распределением можно записать следующие выражения для плотностей распределения величин x1 и x2:

,                                   (1.25)

,                               (1.26)

                   

             

Плотность вероятностей распределения самой случайной величины y  будет иметь вид:

. (1.27)

Функция распределения имеет вид:

.                           (1.28)

и  определяются по таблицам, соответствующим нормальному закону.

Математическое ожидание самой случайной величины y равно:

,                                                  (1.29)

,                                          (1.30)

,                                 (1.31)

.(1.32Если

      График функции f(y) – плотности вероятностей для логарифмически-нормального закона приведен на рис.1.4.

                                                        Рис.1.4

Логарифмически-нормальный закон широко используется в теории надежности; этим законом аппроксимируются распределения полей атмосферных и промышленных помех.

2. Параметрические и непараметрические модели оценки вероятностно-статистических характеристик объектов эксплуатации

2.1. Формирование параметрических моделей оценки случайных характеристик объектов

    Параметрические методы статистики предполагают, что генеральное распределение случайной величины известно с точностью до конечного числа параметров. По результатам наблюдений эти методы позволяют оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять гипотезы относительно их значений.

Для начала формирования параметрической модели в первую очередь необходимо выдвинуть гипотезу о виде закона распределения, который может быть принят в качестве вероятностно-статистических моделей объектов эксплуатации ЛА.

Исходным материалом создания модели являются статистические данные, отражающие характер функционирования и особенности эксплуатации ЛА. Этот исходный материал представляет собой совокупность значений случайной величины: . Содержательные данные этой случайной величины зависят от объекта и целей исследования. Это могут быть, например, времена отказов изделий или агрегатов, время на проведение той или иной операции эксплуатации, значения параметра агрегата при контрольной проверке и т.п.

    Первой операцией статистической обработки результатов является построение вариационного ряда – расположение совокупных, полученных в результате опыта, чисел в порядке возрастания. Затем статистические данные необходимо сгруппировать в интервалы. Приближенная оценка длины интервала может быть сделана по следующей зависимости:

         ,                                   (2.1)

где:  и - максимальный и минимальный члены вариационного ряда;   n – общее число значений исследуемой случайной величины.

    Используя сгруппированные данные, строят гистограмму плотностей распределения и гистограмму частостей.

Значение статистической плотности распределения в некотором i-ом  интервале рассчитывается по формуле:

,                                                   (2.2)

где - число членов ряда, попавших в i-й интервал.

    Частость, отражающая вероятность нахождения случайной величины Х в  i-ом интервале, равна:

 .                                                       (2.3)

По виду гистограммы, сравнивая ее графиками теоретических плотностей распределения, приведенными в табл. 2.1, делают предположение о виде закона распределения, который отражает полученные экспериментальные данные.

    Следующим шагом является определение параметров выбранной в качестве модели функции распределения – математического ожидания m и дисперсии D (среднеквадратического отклонения ). Эти величины определяются методом моментов с использованием гистограмм частостей независимо от предполагаемого теоретического закона распределения.

    Математическое ожидание исследуемой случайной величины есть начальный момент первого порядка:

,                                                    (2.4)

где:  к – число интервалов разбиения вариационного ряда;

      xcpi - расстояние от середины i-го интервала до начала координат.

    Дисперсия, характеризующая разброс случайной величины около математического ожидания, есть центральный момент второго порядка:

                             .                                  (2.5)

  Как известно,

                                                   .                                            (2.6)                 

    Для завершения формирования вероятностно-статистической модели необходимо найти параметры, формирующие теоретический закон распределения. Поскольку в нашем распоряжении имеются только определенные по статистическим данным величины  m и σ, параметры, определяющие теоретические законы распределения, выбранные в качестве вероятностно-статистической модели, рассчитываются в зависимости от вида закона распределения.

    Нормальный закон распределения определяется двумя параметрами: математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ   , вычисленными методом моментов. Экспоненциальный закон распределения содержит один  параметр λ , при этом  .        (2.7)                                                                                                      Распределение Вейбулла является двухпараметрическим: величина a есть параметр масштаба и величина b – параметр формы распределения. Чтобы определить эти величины, необходимо воспользоваться табл. П.3 и определить параметры a и b так, как это описано в п.1.2. Следует иметь в виду, что если окажется, что b=1, то это соответствует экспоненциальному закону распределения. Также целесообразно сделать предположение об экспоненциальном законе распределения, если параметр b несильно отличается от единицы.

    Если b < 1, то функция f(x) имеет резко спадающий характер, при b > 1 эта функция имеет асимметричный вид со сдвинутым относительно середины максимумом.

Гамма-распределение характеризуется параметрами m и (1.20) или  и  ( 1.21).Функция f(x) плотности вероятностей имеет асимметричный вид, сходный с распределением Вейбулла при b >1. Определять параметры  и  следует так, как это указано в  п.1.2.

Параметрами логарифмически-нормального распределения (для случая десятичных логарифмов) являются величины  и ; величина  представляет собой математическое ожидание случайной величины x=lg y, а  - ее среднеквадратическое отклонение. Функция f(y) имеет асимметрический вид, как и функция для гамма-распределения и сходна с распределением Вейбулла.

 Если возникают сомнения в том, какую функцию распределения выбрать в качестве вероятностно-статистической модели, следует обратиться к физической сущности рассматриваемой случайной величины.

  Для быстрого выбора вида функции распределения следует обратиться к одной из процедур автоматизированной системы анализа надежности «Диана» [4].

  Окончательное заключение о теоретическом законе распределения рассматриваемой случайной величины и есть по сути дела формирование вероятностно-статистической модели объекта или процесса эксплуатации.

2.2. Проверка соответствия выбранной модели

экспериментальным данным с помощью критериев согласия

    Наибольшее распространение при определении соответствия выбранной вероятностно-статистической модели экспериментальным данным имеет критерий Пирсона (критерий  ).

Критерий  рассчитывается по формуле :

,                                              (2.8)

где: k – количество интервалов разбиения экспериментальных данных при построении гистограммы;

    - число значений случайной величины в i-ом интервале;

     N общее число значений случайной величины;

     - вероятность принадлежности случайной величины i-му интервалу в соответствии с теоретическим законом выбранной модели (не путать со значением - частостью, определяемой по опытным данным).

 Величина  есть разность значений теоретической функции распределения у границ i-го интервала:

   ,                                    (2.9)

где:   и   - значения теоретической функции распределения, соответствующей выбранной модели, у дальней и ближней границы i-го интервала.

Если в качестве вероятностно-статистической модели выбрано нормальное распределение, то величины  и  определяются с помощью таблицы нормального распределения  (табл. П.2).

 Вход в таблицу для реального значения случайной величины x, ее математического ожидания m и среднего квадратического отклонения  производится по значению величины  . Если x < m, то s < 0  и ; если s > 0, то берется непосредственно табличное значение  .

             Для  случая, когда в качестве модели выбрано экспоненциальное  распределение,значения  и  могут быть рассчитаны  по  формулам:

                             и                            

              Значение  Pi  в этом случае будет равно:.               

                                 .                                     (2.10)                                                                                                                    

 Если вероятностно-статистическая модель представлена распределением Вейбулла, то значения  и  рассчитываются по формулам:

     и       .

Значение   будет, таким образом, равно:                                                                

                             .                   (2.11)                          

При b=1 получаем формулу (2.10), соответствующую экспоненциальному распределению при .

    В случае гамма-распределения значения  и  рассчитываются по формуле (1.24) с предварительным определением параметров x и  и использованием значений гамма-функции по табл. П.4 приложения.

    Как было отмечено ранее, логарифмически-нормальное распределение – это такое распределение, когда логарифм случайной величины x=lgy  распределен по нормальному закону. Следовательно, значения величин  и могут быть определены по таблице нормального распределения (табл. П.2). В случае использования десятичных логарифмов имеем , где представляет собой математическое ожидание случайной величины x=lgy, а  - ее среднеквадратическое отклонение.

Для их определения методом моментов необходимо перестроить вариационный ряд исходной случайной величины y в вариационный ряд величины x=lgy и для этого вариационного ряда после построения гистограммы частостей определить методом моментов величины  и . Вход в таблицу нормального распределения производится по той же величине  .

           После определения значений , соответствующих теоретическому  закону  сформированной вероятностно-статистической модели, для всех интервалов разбиения рассчитывается величина критерия  по формуле (2.8). Затем по табл. П.6 необходимо определить значение . Эта таблица имеет два входа: уровень значимости  (или доверительная вероятность ) и   число  степеней  свободы  z. Величина  z  определяется  по  формуле:  

                                                    Z = k – 1 – l,                                                   (2.12)

где: k – количество интервалов разбиения исходного массива ответных данных, l- число независимых условий связи, накладываемых на закон распределения, выбранный в качестве вероятностно-статистической модели.

  Для нормального закона l=2 (математическое ожидание m и средне- квадратичное отклонение ), для экспоненциального закона l=1 (один определяющий параметр ), для закона Вейбулла l=2 (параметры a и b), для гамма-распределения  l=2  (параметры  и ), для логарифмически-нормального закона l=2 ( и ).

  Затем сравниваются величины и . Если в результате сравнения окажется, что ≤, то выбранная вероятностно-статистическая модель соответствует экспериментальным данным. В случае, если ≥ , то такого соответствия нет. Заметим, что значение  существенно зависит от того, какое значение доверительной вероятности  принято. Чем больше , тем лучше соответствует принятая модель исходным эмпирическим данным. В любом случае следует принимать >0,5. На практике обычно принимают ≥ 0,7.

Если с применимым уровнем доверительной вероятности соответствия выбранной модели экспериментальным данным получить не удается, следует изменить характер модели (выбрать другой закон распределения).

2.3. Формирование непараметрических моделей оценки

случайных характеристик объектов эксплуатации

    Непараметрические методы статистики не предполагают знания функционального вида генеральных распределений.

Несмотря на многообразие задач, решаемых с помощью непараметрических методов, эти задачи можно условно разделить на две большие части: оценка неизвестных распределений и параметров и задача проверки гипотез.

Общепринятой оценкой неизвестной функции распределения является эмпирическая функция распределения.

Дискретные случайные величины могут быть заданы в виде ряда распределения (таблица значений величины и соответствующие ей вероятности), функции частот или в виде многоугольника распределения (полигона частот).

Пусть, например, дискретная случайная величина приобрела значения 1,2,3,4,5 и 6 с вероятностями P(1)=0,1; P(2)=0,15; P(3)=0,35; P(4)=0,2; P(5)=0,15; P(6)=0,05. Графически это может быть изображено в виде функции частот (рис. 2.1 а) или в виде многоугольника распределения (рис. 2.1 б).

Рис. 2.1

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины. На рис. 2.2 приведена функция распределения ранее обозначенной случайной величины.

Изображенная функция распределения является обобщенной непараметрической оценкой дискретной случайной величины.

Непрерывные случайные величины после получения значений экспериментальных данных могут быть представлены в виде гистограмм частот или статистической плотности распределения. Значения статистической плотности распределения в некотором i-ом интервале f*(x) рассчитываются по формуле (2.2). Возможные виды гистограмм частот приведены в табл. 2.1.

Рис. 2.2

Следует иметь в виду, что размерность статистической плотности, как и размерность плотности распределения, обратная размерности случайной величины x, т.е. . Частость, отображающая вероятность нахождения случайной величины x в i-ом интервале, рассчитывается по формуле (2.3) и является величиной безразмерной.

    Эмпирическая функция распределения непрерывной случайной величины, если экспериментальные данные не разбиты на интервалы, определяется соотношением:

                                   ,                                    ( 2.13 )

где n(x) – число чисел вариационного ряда, удовлетворяющее неравенству

xi  < x .

     Если экспериментальные данные сгруппированы в интервалы, то величина  может быть определена по значению частостей  :

,                                     (2.14)                  

где суммирование производится от первого интервала до i-го интервала.

В связи с таким способом определения величины  ее часто называют накопленной частостью.

Эмпирическая функция распределения, построенная по накопленным частостям, имеет такой же вид, как и функция F(x) (рис.2.2).   В этом случае функция распределения является ступенчатой, в которой величина каждой ступени соответствует частости очередного интервала разбиения.   Графики функций  как для дискретных, так и для непрерывных распределений являются также оценкой функции распределения, т.е. ее непараметрической моделью.

2.4. Непараметрические критерии согласия

Критерий Колмогорова

    Критерий Колмогорова является типичным непараметрическим критерием согласия. Он используется как мера расхождения между теоретическим непрерывным и статистическим распределениями.

    Применение критерия согласия Колмогорова состоит в следующем.

Строятся статистическая функция распределения  и предполагаемая функция распределения  и определяется наибольшее значение  модуля  разности между ними (рис. 2.3).

.                           (2.15)

В табл. П.7 приведены критические значения, удовлетворяющие условию:

                                     .                                (2.16)

Здесь  - заданная доверительная вероятность.

                                                         Рис. 2.3

Если полученная величина  больше величины , соответствующей заданной величине , то это означает плохое согласие между статистической

функцией распределения и предполагаемой теоретической. Рекомендуется принимать  не менее 0,8…0,9.

Для числа значений опытных данных n > 100 в таблице приводятся значения величины .

Пусть, например, n=200 и заданная доверительная вероятность . Из табл. П.6 получаем =1,22, откуда .

Сравнивая это значение с полученным из опыта максимальным значением , делаем заключение о наличии согласия между статистической и теоретической функциями распределения.

Критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий Колмогорова-Смирнова является вариантом критерия Колмогорова. Согласно этому критерию гипотезу о соответствии статистической и теоретической функций распределения следует отвергнуть, если при заданном уровне значимости  выполняется неравенство:

.                    (2.17 )                       

При использовании критерия Колмогорова-Смирнова отпадает необходимость в специальных таблицах, достаточно определить только величину.                                                                                                                                                             

Критерий Смирнова

Критерий Смирнова – непараметрический статистический критерий, применяемый для проверки гипотезы об однородности двух выборок. На практике необходимость с применением критерия Смирнова может возникнуть при проверке одинаковости качества изделий, поставленных разными заводами, или при сравнении надежности авиационной техники в различных авиапредприятиях.

    Пусть - экспериментальные данные одного предприятия и  - соответственно другого. Следует проверить, принадлежат ли обе выборки одному распределению.

Для применения критерия Смирнова строятся статистические функции распределения и  и находится наибольшее из возможных отклонений этих функций:

.          (2.18)

Гипотеза об однородности двух выборок отвергается, когда величина  удовлетворяет неравенству

.                                      (2.19)

  Значения  при различных уровнях значимости приведены в таблице.

0,1

0,05

0,01

0,001

1,22

1,36

1,63

1,25

3. Точечная и интервальная оценка характеристик        случайных величин объектов эксплуатации

3.1. Точечная оценка характеристик случайных величин

    Оценки называются точечными, если значения характеристик определяются непосредственно по выборке случайных величин. Такая характеристика называется выборочной характеристикой U. Точечные оценки могут быть несмещенными и смещенными.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой служит выборочная средняя (например, средняя наработка до отказа):

,                                           (3.1)

где: n – объем выборки;  ti  - значение случайного параметра.

Аналогично рассчитывается среднее число событий (например, среднее число отказов):

,                                                    (3.2)

где:  - число событий в i-ом испытании;  n -  число испытаний.

      

  Несмещенной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия:

.                             (3.3)

Соответственно выборочное среднеквадратическое отклонение:

.                                             (3.4)

  Если для расчета выборочной дисперсии сумму отклонений в квадрате делить не на n-1, а на n, то это будет смещенная оценка выборочной дисперсии:

.                           (3.5)

Выборочная дисперсия числа событий равна:

   .                     (3.6)

                    

                                                                                                                              3.2. Интервальная оценка характеристик случайных величин.

Доверительные границы

    Точечные оценки, рассмотренные в предыдущем пункте, дают приближенное значение истинной  случайной величины, сама же выборочная характеристика U является случайной величиной.

С некоторой вероятностью  (уровень значимости) случайные значения величины U попадут в некоторый интервал вокруг истинного значения       (рис. 3.1 а) :

.                             (3.7)

Правомерна и обратная постановка задачи: определить интервал около вычисленной характеристики U, который накроет истинное значение           (рис. 3.1 б):

.                                 (3.8)

Рис. 3.1

    Оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр, называется  интервальной оценкой.

    Интервал от  до  имеет случайные концы и носит название доверительного интервала, а вероятностьназывается доверительной вероятностью (или уровнем доверия).

Один конец интервала, определенный соотношением , называется нижней доверительной, другой конец -  - называется верхней доверительной границей. Доверительные границы определяют интервал, в котором с достаточно высокой вероятностьюнаходится  значение .

Если , то величина  будет находиться в интервале от  до бесконечности с вероятностью :

.                                 (3.9)

Если , т.е. =0 , то величина  будет не больше , или, другими словами, находится в интервале от 0 до  с вероятностью :

.                                   (3.10)

  Выражения (3.9) и (3.10) определяют односторонние доверительные границы для характеристики . Односторонние доверительные границы применяются в тех случаях, когда надо убедиться, что одна случайная величина строго больше другой (или строго меньше другой).

  Двусторонняя доверительная вероятность  есть вероятность нахождения истинного значения  между нижней и верхней доверительной границами:

.                            (3.11)

Двусторонние доверительные границы применяются в тех случаях, когда при сравнении двух случайных величин представляют одинаковый интерес как положительные, так и отрицательные разницы между изучаемыми  величинами.

     Имеет место соотношение:

.                                            (3.12)

В частном случае, когда , уравнение (3.12) записывается в виде:

.                                                      (3.13)

Величина (ширина) доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки исследуемой характеристики, а именно, чем меньше эта величина, тем точнее выборочная оценка. Доверительная вероятность характеризует достоверность полученной интервальной оценки.

3.3. Определение доверительных границ для различных законов распределения

Доверительные границы определяются в зависимости от вида закона распределения исследуемой случайной величины.

Для случая нормального распределения доверительные границы определяются по критерию Стьюдента. В соответствии с распределением Стьюдента отклонение выборочной средней от математического ожидания  при наличии выборки объема n  равно:

.                                           (3.14)

Для нижней  доверительной  границы математического ожидания на основании формулы (3.8) получаем:

.                           (3.15)      

Соответственно для верхней  доверительной границы имеем:

,                           (3.16)      

где - выборочное среднеквадратическое отклонение  (3.4).   В формулах (3.15) и (3.16) - коэффициенты Стьюдента, помещенные в табл. П.8.  Вход в таблицу производится по значению двухсторонней вероятности и величине степени свободы k=n-1.  Например, имеется  статистический  материал  с

 n=25  и принято =0,95. По таблице для к=24 и заданного определяем =2,064. По выборке определяем  по формуле (3.1), несмещенную дисперсию по формуле (3.3) и среднеквадратическое отклонениепо формуле (3.4). Окончательно по формулам (3.15) и (3.16) определяем нижнюю и верхнюю доверительные границы. Иногда в случае нормального распределения  необходимо знать не только доверительные границы математического ожидания, но и доверительные границы среднеквадратического отклонения. Нижняя и верхняя границы значения среднеквадратического отклонения соответственно равны:

  ;                                           (3.17)

  .                                          (3.18)

Коэффициенты  и определяются по табл. П.9, вход в которую производится по величине доверительной вероятности и числу степеней свободы k=n-1 Для экспоненциального распределения с параметром распределения , который равен обратной величине математического ожидания, его опытное значение равно:

,                                    (3.19)

где   - значение случайной величины в выборке объемом  n .                                                                                                                                                                                                                                                     Доверительные границы параметра  λ  находятся по формулам:

 ;                                            (3.20)

  ,                                            (3.21)

где значения величин  и  определяются по табл. П.10 а и П.10 б, вход в которые производится по доверительной вероятности и числу m, означающему, например, число испытаний, при каждом из которых произошел отказ, или число отказов при заданном числе испытаний. Во втором случае определяется вероятность отказа и ее доверительные границы.

    Так, если при n одинаковых опытах с невосстанавливаемыми изделиями получено m отказов, то нижняя и верхняя границы вероятности отказов будут равны:

;                                           (3.22)

,                                          (3.23)

где r1 и r2 определяются по табл. П.10 а  и  П.10 б.

Если случайная величина x имеет распределение Вейбулла с параметрами a и b, то, как это было показано в п. 1.23, закон распределения имеет вид:

.

Сравнивая эту формулу с формулой для экспоненциального распределения  (1.9), можно заметить, что случайная величинаимеет экспоненциальное распределение с параметром .

Зная из эксперимента значения,  можно определить по формуле (3.1) и по формуле (3.4). По величине коэффициента вариации из     табл. П.4 определяем величины в и .

По значению параметра в определяем значения :

.

По аналогии  с формулой (3.19) для экспоненциального распределения среднее значение  равно :

,       (3.24)          

откуда                                            .                                          (3.25)

   Так как для распределения Вейбулла , то

.                                        (3.26)

    Учитывая, что и учитывая выражения (3.20) и (3.21) для нижней и верхней доверительных границ для , получаем:

;                                 (3.27)

,                                  (3.28)

где  и  как и для экспоненциального распределения определяются по табл. П.10 а и П.10 б.

Если случайная величина t имеет гамма-распределение, то для плотности вероятностей в форме (1.20) параметрами этого распределения являются  и m, причем m известно, а  определяется из опыта.

Выборочная средняя равна

.                                           (3.29)

Среднеквадратическое отклонение величины равно:

                                  .                   (3.30)       

Распределение величины  приближенно нормальное, поэтому для доверительных границ можно записать выражения:

 ;                                 (3.31)     

,                                  (3.32)      

где  - квантили нормального распределения, определяемые по табл. П.3.

    Для неизвестного параметра  справедливы соотношения:

;                                                 (3.33)

;                                     (3.34)

,                                     (3.35)

где величина  определяется по табл. П.3.

  Для случая логарифмически-нормального распределения (1.2.5) приближенно можно записать  и , тогда формула для логарифма математического ожидания исходной случайной величины   y    имеет вид:

.                   (3.36)

Приближенно можно считать, что распределен нормально, тогда для доверительных границ можно записать:

                 ;   (3.37)

                                                                            ,     (3.38)

где величина  определяется по табл. П.3.

   3.4. Прогнозирование случайных характеристик по времени работы

    Одной из важнейших случайных характеристик объектов эксплуатации по времени работы является вероятность безотказной работы, которая может быть определена по формуле:

                                                       ,                              (3.39)       

где  - интегральная функция наработки до отказа, значение  которой может быть определено, если известен закон распределения времени наработки до отказа. Практика показывает, что время наработки до отказа элементов авиационной техники подчиняется, в основном, трем видам законов распределения: экспоненциальному, нормальному и закону Вейбулла. Для этих законов распределения соответствующие зависимости имеют следующий вид:                           для экспоненциального закона:

                                                     ;                                (3.40)

                                                                                                                                  для нормального закона :

                                                   (3.41)

и для закона Вейбулла:

                                                         .                         (3.42)

  По формуле (3.39) с использованием приведенных зависимостей для

можно рассчитать значения , т.е. изменение вероятности безотказной работы. Поскольку функция F(t)-возрастающая до единицы, то величина  будет в самом общем виде иметь вид спадающей кривой от единицы  (своей для каждого закона распределения и его параметров).

 Более полную картину изменения вероятности безотказной работы можно получить, если кроме базовой кривой  определить верхнюю  и нижнюю  доверительные границы этой величины (3.2). Графики  и ограничивают зону возможных изменений величины для  .

Рис. 3.2

    Наиболее просто рассчитать кривые  и для экспоненциального закона, подставив в формулу (3.40) значения  и , где  - параметр базовой кривой, построенной по опытным данным, а  и  - величины, определяемые по табл. П.10 а и П.10 б.

  В случае нормального закона кривые  и рассчитываются с учетом значений  нормального закона, определенные для различных t с учетом новых значений математических ожиданий:

                                 ;                                   (3.43)

                                ,                                     (3.44)

где  определяются по таблице значений коэффициентов Стьюдента, задавшись доверительной вероятностью . Обычно берут , но выбор зависит от цели исследования – чем больше величина , тем шире зона возможных значений .

  Дальнейшее уточнение может быть сделано, если учесть и доверительные границы среднего квадратического отклонения  (3.16 и 3.17).

  Для распределения Вейбулла кривые  и  рассчитываются с учетом значений  этого распределения для различных t с учетом новых значений  и   :

;                                     (3.45)

                                                        ,                                       (3.46)

где : , а  и  определяются по табл. П.10 а и П.10 б.

Выражения для  и  имеют следующий вид:

                                                     ;                          (3.47)

                                                        .                          (3.48)

  Для любого закона распределения вероятность безотказной работы, рассчитанная  с учетом доверительных границ, дает более полную картину состояния интересующего нас элемента авиационной техники, но зато снижает определенность прогноза интересующего нас состояния.

  4. Дискретные вероятностно-статистические модели объектов эксплуатации

4.1. Использование законов распределения дискретных              случайных величин

  Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть целые фиксированные числа, которые появляются с определенными вероятностями. Существенно то, что между соседними возможными значениями других величин нет. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. В случае бесконечного числа дискретных случайных величин множество их называют счетным.

  В практике эксплуатации распределение случайных величин используется, когда необходимо учитывать число каких-либо объектов. Широкое применение нашла выборочная процедура проверки качества партии изделий при их приемке или при контроле имеющейся партии изделий. Обычная выборочная процедура состоит в том, что из большой партии готовой продукции берется некоторая выборка и по качеству этой выборки судят о всей партии. Теоретические основания этой процедуры рассмотрены в пп.4.3 и 4.4.

  Другим практически часто используемым случаем проверки на надежность группы из некоторого числа изделий, является случай, когда испытания проводятся в течение фиксированного времени.

  В отличие от определения закона распределения времени между отказами (время – непрерывная величина) здесь определяется число отказавших изделий в партии. Например, желательно предварительно оценить, сколько будет обнаружено неисправностей элементов агрегата при регламентных работах, если известно, что вероятность отказа элемента есть P.

  Для формирования вероятностно-статистических моделей эксплуатации с использованием дискретных случайных величин, в основном, используется два закона – биноминальный и Пуассоновский.

4.2. Законы распределения дискретных случайных величин,     используемые при формировании вероятностно-статистических моделей

Биноминальный закон

    Биноминальный закон определяет вероятность того, что в последовательности из n независимых испытаний интересующее нас событие произойдет ровно k  раз. В каждом из испытаний это событие происходит с одной и той же вероятностью  P, соответственно  непоявление этого события – с  вероятностью q=1-p.

Биноминальное распределение дискретной случайной величины (функция частот) выражается следующей зависимостью:

               .  (4.1)            

 Функция распределения для рассматриваемого закона равна:

,     (4.2)

где: 0 < i < n ,  i – целое число.

  Математическое ожидание  и дисперсия  равны :                     

                                     ;                                                      (4.3)                                                                    .                                                   (4.4)

Коэффициент вариации :

                                                     .                      (4.5)

  В случае использования биноминального закона возможны различные варианты исходов независимых испытаний, знание вариантов которых имеет практическое значение.

  Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний ожидаемое событие не появится( например, в контрольной выборке не будет ни одного бракованногоизделия), равна:

                        (4.6)        

 Вероятность того, что появится хотя бы одно событие (в контрольной партии будет хотя бы одно бракованное изделие):

.                   (4.7)              

  Вероятность того, что появится ровно одно событие, т.е. k=1 (в контрольной выборке будет ровно одно бракованное изделие):

                               .         (4.8)         

 Соответственно, ровно два события, т.е. k=2 :

.     (4.9)          

 Закон Пуассона

    Закон Пуассона является предельным случаем биноминального закона, когда вероятность P появления интересующего нас события очень мала, но само число испытаний n достаточно велико. При этом произведение np стремится к некоторой постоянной величине :

                                                   .

Это имеет место при исследовании высоконадежных изделий, когда отказы случаются довольно редко. Поэтому часто закон Пуассона называют также законом редких событий. По закону Пуассона распределено число случайных событий, происходящих в каком-либо интервале времени, если поток событий простейший с параметром λ (5.4).                                                                             Функция  частот дискретного распределения Пуассона для целочисленныхзначений k имеет вид:

,                                   (4.10)

где  Pk   есть вероятность того, что рассматриваемое событие в достаточпо длинной серии  испытаний появится ровно k  раз.

    Функция распределения для этого закона равна:

                                  .            (4.11)

Математическое ожидание, дисперсия и коэффициент вариации равны:

;                                          (4.12)

;                                          (4.13)

.                                        (4.14)

Как и в случае биноминального распределения здесь возможны различные варианты исходов.

Вероятность того, что в серии из n испытаний не появится ни одного интересующего нас события (при испытании на надежность n однотипных изделий ни одно изделие не отказало):

                                                   .                 (4.15)

Вероятность того, что появится хотя бы одно событие, равна:

                                                   .                            (4.16)

Вероятность того, что появится ровно одно событие, равна:

                                                 .                     (4.17)

    Полагая k=2, k=3 и т.д., получим вероятность появления ровно двух, трех и так далее чисел событий. Заметим, что с увеличением k вероятность P(k) сильно снижается, а при практически равна нулю (ведь мы имеем дело с высоконадежными элементами, имеющими малые вероятности отказов).

4.3. Модели приемочного контроля

    Понятие контроля относится к различного рода процедурам: приемочного контроля партии изделий, контроля эффективности режимов технического обслуживания и ремонта и т.п.

    Для организации любого контроля предварительно должен быть определен план контроля. План контроля состоит в определении объема выборки  n, приемочного   и браковочного   чисел.

При фиксированном плане контроля может быть установлена оперативная характеристика плана контроля. Оперативная характеристика – это выраженная уравнением, графиком или таблицей зависимость вероятности приема партии от величины, характеризующей уровень качества принимаемой продукции.

    Характеристикой качества партии служит доля дефектов изделий (уровень дефектности) в партии:

,                                                (4.18)

где:- общее число изделий в партии ; - число дефектных изделий в ней.

Поскольку выборка объемом n изделий осуществляется как представительная, то уровень дефектности в ней будет равен , где m число дефектных изделий в выборке.

Устанавливается два уровня качества: приемочный уровень качества, при котором , и браковочный уровень качества при , причем .

Партия принимается, когда , и бракуется, когда .   График оперативной характеристики приведен на рис. 4.1.

     

 Рис.4.1  

     Характерными особенностями графика оперативной характеристики являются следующие. Если  (бездефектная партия), то с вероятностью единица партия принимается, т.е. . Если  (вся партия состоит из дефектных изделий), .  Значение L(q)  при  равно  и при  .

    Величина  есть риск поставщика, означающий вероятность забраковать партию изделий с приемлемым уровнем качества. Величина  есть риск заказчика, означающий вероятность приема партии с бракованным уровнем качества.

Поскольку при приемочном контроле имеют дело с дискретными событиями, то для описания оперативной характеристики целесообразно использовать законы распределения дискретных случайных  величин. Обычно используют биноминальный закон или закон Пуассона.

   Биноминальный  закон используют при  и при вероятности появления брака . Закон Пуассона – при  и при .

4.4. Определение оперативных характеристик контроля

    Для построения оперативной характеристики контроля необходимо рассчитать величину  для различных q . Наиболее просто определяется начальная и конечная точки оперативной характеристики, именно при   и при  .  Для точек  и  необходимо первоначально задать либо  и  и определить  и , либо провести обратную процедуру. Если задано , то  .

 В случае применения биноминального закона получаем:

 4.19)

и риск поставщика будет равен . Таким образом, определена третья точка оперативной характеристики  .

При заданном  получаем  и, в случае использования биноминального закона, следует выражение для риска заказчика :            (4.20

Определена четвертая точка оперативной характеристики .

Для любой промежуточной точки  имеем  и

                       .     (4.21)

  Задаваясь величиной , по этой формуле определяем  и, таким образом,

можем построить оперативную характеристику с любой степенью точности. В случае использования закона Пуассона аналогично предыдущему получаем, задаваясь , и для этой точки оперативной характеристики имеем:                                           и   (4.22)

 Для следующей точки, задаваясь , получаем , и выражение для риска  приобретает следующий вид:

                                        .         (4.23)

  Для любой промежуточной точки имеем:

                                           .                         (4.24)

  Заметим, что при использовании закона Пуассона при , ,

и при .

  При  и .

В этом случае при   так как в знаменателе стоит .

4.5. Формирование моделей статистического контроля по     альтернативному признаку

  Статистический контроль по альтернативному признаку применяется для различных процедур контроля: приемочного контроля партии изделий, оценки эффективности режимов технического обслуживания и других случаях, когда решение принимается по принципу «да - нет» (годен –не годен, эффективен – не эффективен).

  Решение по результатам статистического контроля принимается по результатам проверки основной  и конкурирующей  гипотез. Основная  гипотеза  предполагает положительное решение по результатам контроля (партия изделий принимается, режим технического обслуживания эффективен). Соответственно гипотеза  предполагает отрицательное решение.

  Поскольку любое решение является статистическим, то неизбежны ошибки, которые могут привести к ущербу. Исходя из оценок возможного ущерба от принятых решений, назначаются уровни значимости:

- вероятность ошибочного отклонения  верной гипотезы  (партия забракована, хотя она должна быть принятой) – это ошибка первого рода и  - вероятность ошибочного принятия конкурирующей гипотезы (партия принята, хотя она и некачественна) – это ошибка второго рода.

Для формирования моделей статистического контроля по альтернативному признаку используется рассмотренная в п. 4.4. оперативная характеристика контроля с привлечением биноминального закона или закона Пуассона.

  Может быть несколько вариантов моделей статистического контроля по альтернативному признаку в зависимости от того, что задано и что требуется определить.

    Первый вариант представляет собой решение прямой задачи: заданы объем выборки , ошибки первого и второго рода  и  и  известна вероятность появления брака . По полученному в результате контроля  количеству дефектных  изделий  принять решение о приеме или отбраковке партии.

       В случае биноминального закона по заданным параметрам и полученной величине  определяются :

.            (4.25)                     

Рассчитанная величина сравнивается со значением величины  , соответствующей приемочному уровню качества . Если P(q)≥(1-α) , партия принимается, так как в этом случае .   Если , партия бракуется, ибо в этом случае . В случае использования закона Пуассона, соответственно определяется та же величина :

.                  (4.26)   

Сравнение величины со значением величины аналогично предыдущему случаю.

    Во втором варианте задаются объем выборки, допустимый уровень брака  и браковочный уровень , известна вероятность появления брака . Необходимо определить риски  и при этом допустимом уровне брака .

Для случая биноминального закона получаем:

;                (4.27)

                             .  4.28)                                                                                                                     

Для случая закона Пуассона:

;                             (4.29)

.                          (4.30)  

Третий вариант модели предполагает, что задан допустимый уровень брака  (в выборке не должно быть бракованных изделий), заданы приемочный уровень качества  и риски  и . Требуется определить объем выборки  и браковочный уровень качества .

 Из основной формулы для биноминального распределения

при непосредственно следует:                                                 .                  (4.31)                      

 Риск поставщика  будет определен, если положить  q = q 0 :

               .                               (4.32)

    Соответственно для риска заказчика получаем, положив  q = qm :

                .                               (4.33)

Из  (4.32)   после логарифмирования получаем:

                     .                                 (4.34)

Соответственно из (4.33) следует

          ,                                           (4.35)

откуда получаем

            .                                        (4.36)

  В случае закона Пуассона  при  непосредственно следует

               .                                     (4.37)

Для  риска поставщика при получаем:

               ,                                  (4.38)

откуда после логарифмирования можно получить:

     .                                               (4.39)

Из (4.37) при  получаем выражение для риска заказчика:

             ,                                           (4.40)

откуда следует:

                                                             (4.41)

и            .                                          (4.42)

  Рассмотренный третий вариант является распространенным на практике. Кроме расчетов по приведенным выше формулам можно воспользоваться    табл. П.10 и П.12. В табл. П.12 используется также величина  - отношение браковочного уровня  к  приемочному уровню :

      .                                  (4.43)

Раздел 2. Вероятностно-статистические модели процессов  эксплуатации летательных аппаратов

5. Случайные процессы. Классификация случайных процессов

5.1. Процессы эксплуатации как случайные процессы

    В предыдущем разделе были рассмотрены вероятностно-статистические модели объектов эксплуатации. Напоминаем, что принято различать системы типа «объект», элементами которых являются предметы, и системы типа «процесс», элементами которых являются операции (изготовление, проверка, устранение неисправностей и пр.).

    Случайный процесс – это математическая абстракция реального процесса, течение которого управляется вероятностными законами. Кроме термина «случайный» применяются также термины «вероятностный» и «статистический».

Эксплуатация авиационной техники – совокупность процессов использования авиационной техники, поддержания и восстановления качества на всех этапах ее существования.

Техническая эксплуатация летательных аппаратов – это производственная деятельность организаций, авиапредприятий и работников гражданской авиации по инженерно-авиационному обеспечению полетов. Она включает: подготовку летательных аппаратов к полетам, техническое обслуживание в процессе использования летательных аппаратов, хранение и транспортирование, организацию и обеспечение технического обслуживания и других работ, выполняемых на авиационной технике.

Эксплуатация авиационной техники определяется следующими компонентами:

-эксплуатационными свойствами техники;

-технологическими эксплуатационными процессами, которые необходимо вести на этой технике;

-коллективами людей, осуществляющими эти процессы на технике;

-внешними условиями (средой), в которых эксплуатируется техника.

    Все эти компоненты по своей сути являются случайными, или существенным образом подвержены случайным воздействиям.

Так, элементы авиационной техники имеют разную степень надежности, поэтому ее эксплуатация будет зависеть от характеристик ее надежности. В первом разделе настоящего пособия и были рассмотрены вероятностно-статистические модели объектов эксплуатации, т.е. элементов авиационной техники.

Технологические эксплуатационные процессы строго регламентированы соответствующими документами технического обслуживания, которые разрабатываются на основании имеющихся стандартов.

Несмотря на строгую регламентацию, процессы эксплуатации не являются детерминированными, а носят случайный характер. Это обусловлено свойствами самой техники, которые, как было выше отмечено, являются случайными, кроме этого эксплуатационные процессы осуществляются людьми, имеющими разный опыт работы, квалификацию и другие личностные свойства. И, наконец, процессы эксплуатации могут проводиться в различных климатических условиях, обусловленных как временем года, так и местом дислокации эксплуатационного предприятия.

  Таким образом, поскольку процессы эксплуатации летательных аппаратов являются случайными, то математическая модель процессов эксплуатации для описания реальных процессов неизбежно должна быть вероятностно-статистической.

5.2. Классификация случайных процессов

    Изменение во времени любой физической системы, обусловленное неконтролируемыми факторами, есть случайный процесс, который аналитически  может быть выражен вещественной функцией . Значения этой функции при различных  называют состояниями системы: . Совокупность всех значений состояний  называют пространством состояний .

    В зависимости от того, дискретное или непрерывное множество состояний принимает случайная величина  и ее параметр , различают следующие виды случайных процессов:

1. Дискретная случайная последовательность (дискретные состояния и дискретное время). Параметр  принимает ряд дискретных значений   , а дискретная случайная величина  принимает дискретное множество значений   . Множества значений  и  могут быть конечными или бесконечными в зависимости от физической сущности процесса.

2. Процесс с непрерывным множеством состояний и дискретным временем. В этом случае случайная величина  может принимать континиум  значений. Примером могут служить случайные выборки из непрерывного случайного процесса.

    3. Процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. В этом случае величина  принимает дискретные значения (), а время  - континиум значений. Такой вид случайного процесса встречается довольно часто в инженерной практике. Например, отказ любого элемента (переход из исправного состояния в неисправное) технической системы  может произойти в любой момент времени. Окончание ремонта (восстановление) этого элемента также происходит в заранее не фиксированный момент времени.

4. Непрерывнозначный случайный процесс. В данном случае как аргумент , так и сама случайная величина (состояние)  в некоторые моменты времени имеет скачок, а между скачками ведет себя как непрерывный процесс.

Кроме этих основных видов случайных процессов могут быть смешанные. В качестве таковых процессов могут быть дискретно-непрерывные процессы, когда непрерывный случайный процесс в некоторые моменты времени имеет скачки, а между скачками ведет себя как непрерывный процесс.

5.3. Марковские случайные процессы

    Среди множества видов случайных процессов большое теоретическое и практическое значение имеют процессы, обладающие следующим свойством: для каждого момента времени  вероятность любого состояния системы в будущем (при ) зависит только от ее состояния в настоящем (при ) и не

зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом) .

    Впервые это свойство было сформулировано русским математиком Марковым А.А. в 1906 году, и впоследствии это свойство стало принято называть Марковским свойством, а случайные процессы, обладающие этим свойством, стали называть Марковскими процессами. В соответствии с приведенной в п.5.2 классификацией случайных процессов, применительно к случайным Марковским процессам различают: Марковские цепи, Марковские последовательности, Марковские процессы с конечным и бесконечным числом состояний, а также смешанные Марковские процессы.

    При анализе случайных Марковских процессов с дискретными пространствами состояний  удобно пользоваться наглядной геометрической схемой – графом состояний. Граф состояний изображает возможные состояния системы с указанием (в виде стрелок) возможных переходов из состояния в состояние.

    При этом для случая дискретного пространства состояний и дискретного времени (цепь Маркова) у стрелок проставляются соответствующие вероятности переходов (рис. 5.1). Такой граф состояний называют размеченным , а величины  означают вероятности переходов из -го состояния в -е состояние. Так, на рис.5.1 величина  означает вероятность перехода из первого состояния во второе, величина  - из третьего состояния в пятое и т.д.

Рис. 5.1

    Для случайных Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем вместо переходных вероятностей      у стрелок указываются плотности вероятностей переходов  (рис. 5.2).

Плотность вероятности перехода есть предел отношения вероятности перехода системы за время  из состояния  в состояние :

.                             (5.1)

 С точностью до бесконечно малых больших порядков вероятность перехода  за время  равна:

.                                         (5.2)

Рис. 5.2

  Если плотности вероятностей переходов  не зависят от времени , то такой Марковский процесс называется однородным, при наличии зависимости от времени, т.е. если , процесс называется неоднородным . 

5.4. Пуассоновский процесс

  В ряде процессов случайные величины за некоторый конечный интервал времени принимают целые неотрицательные значения. Примеры таких процессов: процесс посадок самолетов на взлетно-посадочную полосу, процесс появления неисправностей (сбоев) в устройствах (функциональных системах). Такие процессы называются пуассоновскими процессами.

    Для пуассоновского процесса распределение случайной величины , принимающей целые неотрицательные значения  , выражается формулой:

                                             ,                                (5.3)

где a > 0  - параметр распределения.

    В случае, когда процесс протекает во времени, то такой процесс называется потоком событий. Для потока событий вероятность появления на участок   ровно  k  событий равна:

                                           ,                   (5.4)

где  - интенсивность потока событий.

Если в качестве участка  взять время между соседними событиями, то на этом участке событий нет, т.е. .

В этом случае получаем выражение для вероятности не появления ни одного события

                                              .                                (5.5)

Вероятность появления хотя бы одного события будет равна:

                                                ,                               (5.6)

т.е. мы получили выражение для закона экспоненциального распределения, плотность вероятностей которого после дифференцирования (5.6) имеет вид:

.                                      (5.7)

Таким образом, для пуассоновского потока событий распределение времени между соседними событиями описывается экспоненциальным распределением.  

6. Непрерывные случайные процессы                                                                                                                           6.1. Характеристики непрерывных случайных процессов

  В случае непрерывного случайного процесса и состояния процесса, и время являются непрерывными, т.е. приобретают континуум значений. Запись такого процесса во времени представляет собой непрерывную функцию.

  Подобно тому, как для получения вероятностных характеристик дискретной случайной величины необходимо иметь достаточно большое число реализаций этой случайной величины, так и для получения характеристик непрерывных случайных процессов необходимо иметь достаточно большое число реализаций этого процесса.

  Пусть было получено  реализаций случайной функции . Все реализации имеют одинаковую длительность   (рис.6.1).

 Выберем на интервале времени (0 , Т ) произвольный момент времени  t .

Ординаты реализаций в этот момент времени равны:

                                                     (6.1)

Рис. 6.1

    Эти реализации можно рассматривать как найденные из опыта значения случайной величины . Пользуясь формулами для точечной оценки характеристик случайных величин(см.п.3.1), можно для оценки математического ожидания случайной величины x(t) случайного процесса для момента времени t записать:

                                            .                                     (6.2)

Соответственно для дисперсии точечная оценка равна:

                              .                      (6.3)

  Если по формулам (6.2) и (6.3) рассчитать значения этих характеристик для последовательного ряда моментов времени , то мы получим изменения значений  и во времени. На рис. 6.2. приведен пример изменения величины .

Рис. 6.2

  Одной из важнейших характеристик являются корреляционные моменты, устанавливающие взаимосвязь между различными моментами времени (между и ):

              .   (6.4)

6.2. Стационарные случайные процессы

    На практике часто случаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда , ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

Если параметры случайного процесса изменяются во времени, то такие процессы называются  нестационарными. Пример существенно нестационарного процесса – тяга реактивного двигателя на взлете самолета. Но не все нестационарные процессы остаются нестационарными на всем протяжении своего развития. На некоторых участках они могут быть приняты за стационарные.

Как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии – с переходного процесса, а затем переходит в установившийся режим и тогда он может считаться стационарным.

Случайный процесс  называется стационарным, если его вероятностные характеристики не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси .

Во-первых, естественно требовать, чтобы для стационарного случайного процесса математическое ожидание было бы постоянной величиной.

                                                                 (6.5)

Заметим, однако, что это требование не является безусловным. Если от случайной функции  перейти к нормированной случайной функции .

,                                                                       (6.6)

для которой математическое ожидание тождественно равно нулю, то условие (6.5) всегда будет выполняться. Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет математического ожидания, то его можно свести к стационарному процессу. Второе условие – условие постоянства дисперсии:

                                          .                       (6.7)

Третье условие касается корреляционной функции.  Для стационарного случайного процесса корреляционная функция не зависит от положения аргумента , а только от промежутка  между первым и вторым значениями аргумента:

                 .    (6.8)

  На практике вместо корреляционной функции часто пользуются нормированной корреляционной функцией:

                                                 .                                   (6.9)

  Характерной особенностью стационарного случайного процесса является то, что при достаточно большом Т одна реализация этого процесса может дать хорошее представление о свойствах случайной функции в целом.

  Эта особенность называется эргодическим свойством стационарного случайного процесса.

  Случайные процессы, обладающие этим свойством, называются эргодическими. 

  Пусть имеется одна реализация эргодического случайного процесса (рис. 6.3), в котором зафиксировано его значений для моментов времени . В этом случае математическое ожидание этого процесса равно:

                                .                    (6.10)

Дисперсия равна:

                                      .                           (6.11)

Рис. 6.3

                                            

Или, обозначив , можно записать:

                                               .                             (6.12)

Среднеквадратическое отклонение равно:

                                                    .                                       (6.13)

Корреляционная функция по определению (6.4) представляет собой  математическое ожидание случайной функции . Соответственно можно записать:

                                   ,                          (6.14)

или                        .                (6.15) Если величине придавать значения т.е.:

                                            ,                                        (6.16)

то от интеграла (6.15) можно перейти  к  сумме  по  интервалам

                             .           (6.17)

  Если по этой формуле произвести расчет корреляционной функциипоследовательно для и при некотором значении , величина  становится  практически равной нулю или совершает нерегулярные малые колебания около нуля ( рис. 6.4.), то это является признаком стационарности рассматриваемой случайной функции.

Рис. 6.4

6.3. Вероятностно-статистические  модели на основе                   непрерывных Марковских процессов

Определение и основные уравнения для непрерывных Марковских

процессов

  Пусть имеется непрерывный процесс . Его значения в последовательные моменты времени, суть    Процесс  является Марковским, если условные плотности вероятностей зависят только от последнего значения  в момент  и не зависят от других более ранних значений, т.е.

(6.18

.

  Иначе говоря, будущее поведение Марковского процесса не зависит от прошлого, если точно известно его состояние в настоящий момент времени. Марковский процесс называют также процессом без последствия.

  Все сказанное справедливо для любых значений интервалов , а не только для последнего интервала.

  Для  вероятность перехода  непрерывного Марковского процесса удовлетворяет следующим уравнениям в частных производных:

                (6.19)                                                  (6.20)

    Уравнение (6.19) для процесса броуновского движения встречалось в работах Фоккера (в 1914 г) и Планка (в 1917г). Строгое математическое обоснование этому уравнению дано Колмогоровым . Им же впервые получено уравнение (6.20). Поэтому приведенные уравнения часто называют уравнениями Фокера-Планка-Колмогорова.

  Величины ,  и ,  определяют особенности рассматриваемого Марковского процесса и являются числовыми,  но не  случайными функциями времени.

  Если имеется несколько реализаций конкретного процесса, то эти величины могут быть рассчитаны по следующим формулам:

                    ;    (6.21)          

                     . (6.22)         

    Здесь знаки  означают усреднение по всем возможным реализациям.

По традиции, связанной с изучением броуновского движения,  называют коэффициентом сноса а  - коэффициентом  диффузии.

Коэффициент сноса  характеризует среднее значение локальной скорости, или скорость изменения ординаты процесса . Коэффициент диффузии  характеризует локальную скорость изменения дисперсии приращения Марковского процесса, или, другими словами, скорость изменения условной дисперсии ординаты процесса. Коэффициент диффузии не может быть отрицательным, т.е. всегда  .

  Вместо обозначения условной плотности вероятностей в виде  введем обозначение .

Перепишем уравнения Фокера-Планка-Колмогорова в новых обозначениях:                     ; (6.23)

        . (6.24)

  Записанные уравнения по существующей классификации дифференциальных уравнений в частных производных принадлежат к типу параболических уравнений. Для их решения необходимы начальные и граничные условия, которые определяются существом решаемой задачи.

  Для решения уравнений Фокера-Планка-Колмогорова применяют следующие методы: метод разделения переменных, применение преобразования Лапласа, метод характеристических функций, метод замены переменных и численные методы.

  Рассмотрим способ решения в случае, когда  и  не зависят от времени, т.е.  и . Для достаточно большого промежутка времени будет иметь место стационарный процесс.

В этом случае , функция  зависит только от  и вместо уравнения (6.23) имеем обыкновенное линейное уравнение второго порядка:

,  или                                                                                                                                                                                                                                                     .                            (6.25)

Общий вид решения этого уравнения выглядит следующим образом:

                           .              (6.26)

    Окончательное  решение  можно  получить, если  определить  числовые  параметры  a(x)  b(x)  по  зависимостям  (6.21) и (6.22).

    Постоянная  c  определяется  из  условия  нормировки  .  

 Достижение границ  одномерным  непрерывным  Марковским  процессом.

    Обозначим  случайную  функцию, характеризующую  непрерывный Марковский процесс через . Это может быть, например, величина напряжения, или вообще показания какого-то прибора, характеризующие параметры процесса. Границы допустимой области изменения этого параметра . Требуется определить вероятность того, что в течение интервала времени выполняется неравенство   , т.е. процесс не  выходит за  заданные  границы (рис.6.5).

                                                             Рис.6.5

     Рассматриваемая ситуация часто возникаеот при решении многих практических задач. К таким задачам относятся задачи теории надежности, в частности, требование для нормальной (безаварийной) работы системы не выходить параметрам этой системы за установленные допустимые пределы. Другим примером может служить определение условий безаварийного полета самолета (вертолета) на низкой высоте, когда при заданной точности высотомера, характера аэродинамических возмущений и заданных свойствах автопилота, необходимо определить вероятность того, что самолет ни разу не коснется поверхности земли.

  Для решения сформулированной задачи введем в рассмотрение плотность вероятностей  того, что в момент времени  ордината (значение) случайного процесса  будет находиться в интервале () при условии, что в интервале времени  значение ординаты ни разу не вышло за границы дозволенной области.

  Искомая вероятность недостижения границ к моменту времени  в этом случае определится равенством:

                                                 .                    (6.27)       

    До того, как функция  достигнет границ, она должна обладать теми же свойствами, что и функция, не имеющая границ. Следовательно, плотность вероятностей  должна удовлетворять уравнению (6.23), т.е. в новых обозначениях можно записать:

       .     (6.28)

Определим начальные условия для решения этого уравнения. В начальный момент  ордината случайной функции определена и равна                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       .                                                         (6.29)

Здесь  - дельта функция Дирака (симметричная единичная импульсная функция).

Если же в начальный момент точное значение ординаты случайной функции не известно, то задается закон распределения этой ординаты, т.е. начальное условие в этом случае:

                                               ,                  (6.30)       

где  - плотность вероятностей значения начальной ординаты случайной функции  при условии  .

    Граничные условия возникают в момент, когда ордината случайной функции дойдет до одной из границ заданной зоны («коснется» границы). В этом случае плотность вероятностей  обращается в нуль:

                                   .      (6.31)       

Таким образом, для определения искомой вероятности  необходимо путем решения уравнения (6.28) при начальном условии (6.29) (или 6.30) найти  и путем интегрирования этой же функции найти .

Сложность возникает вследствие определения величин  и , которые могут быть рассчитаны по формулам (6.21) и (6.22).

6.4. Анализ модели изменения параметров объектов.

  Техническое состояние – совокупность подверженных изменению в процессе эксплуатации свойств объекта. В  процессе  эксплуатации техническое свойство объекта изменяется. Изменение параметров объекта является случайным процессом  , протекающим под воздействием широкого спектра эксплуатационных факторов. Эти  изменения  протекают, как правило, монотонно и могут приводить как к повышению значения параметра объекта (например, увеличение зазоров в гидросистемах), так и к уменьшению некоторых других параметров (например, уменьшение пропускной способности фильтров гидросистем за счет засорения).

  При исследовании изменений значений параметров объектов могут быть получены несколько реализаций случайного процесса , т.е. может быть получена совокупность значений функции .

  В зависимости от особенностей объекта, условий воздействия внешних факторов и условий эксплуатации отдельные реализации полученных функций могут сильно отличаться друг от друга (сильное перемешивание). В этом случае область, занимаемая отдельными графиками значений , будет широкой (рис. 6.6 а).

  Если отдельные реализации не сильно отличаются друг от друга, то эта область будет более узкой (рис. 6.6 б ).

Рис. 6.6

  Для количественной оценки степени перемешивания реализаций случайного процесса применяют функцию , которая является коэффициентом корреляции между двумя значениями рассматриваемой функции в моменты  и :

                               ,            (6.32)  

    где: - число реализаций процесса;   и  - параметр каждого -го экземпляра объекта при наработках  и  соответственно;  и  - среднеквадратические отклонения при временах  и . Если величина  близка единице, то перемешивание слабое, т.е. реализации функций  близки друг к другу. Если же функция  мала , то перемешивание сильное (широкий разброс реализаций функции ).

    В случае слабого перемешивания реализаций функции  могут использоваться линейные и экспоненциальные модели изменения параметров.

Линейная модель применяется при постоянной скорости изменения параметра  для различных реализаций (рис. 6.7). Уравнение функции  для случая линейной модели выражается просто:

                                                   ,                                 (6.33)             

где .

Если имеются данные по параметру  для двух значений времени  и , то уравнение (6.33) может быть записано в следующем виде:

(6 34)   

    Если скорость  изменения параметра  пропорциональна этому параметру, т.е.  ,                                        (6.35)    

то мы получим экспоненциальную модель применения рассматриваемого параметра (рис. 6.7 б).

При  начальных значениях  и , получаем:

                            .      (6.36)         

    Величины  и  получаются при аппроксимации скорости статистических данных значений этой скорости.

Рис. 6.7

7. Однородные конечные цепи Маркова

7.1. Определение однородной конечной цепи Маркова

    Напомним, что Марковской цепью называется  случайный Марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем.

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага (не зависят от момента времени перехода). При зависимости переходных вероятностей от номера шага Марковская цепь называется неоднородной.

Для однородной Марковской цепи для  состояний системы переходные вероятности  могут быть записаны в виде квадратной матрицы:

                                                                                   (7.1)           

      Характерной особенностью матрицы  является то, что сумма членов, стоящих в каждой строчке, равна единице, т.е. .

Квадратная матрица, элементы которой неотрицательны и сумма элементов в каждой строке (или столбце) равна единице, называется стохастической матрицей.

7.2. Графическое отображение конечной цепи Маркова

    Наглядной геометрической схемой конечной цепи Маркова является размеченный граф состояний, в котором у стрелок, показывающих возможные переходы, представляются вероятности этих переходов.

   Сказанное проиллюстрируем примером для цепи Маркова применительно к объекту, который может находиться в шести состояниях:  и (рис. 7.1).

   Переходы из некоторого -го состояния в -е состояние возможны в некоторые заранее определенные, фиксированные моменты времени .

Рис. 7.1

В эти моменты времени может реализоваться любая последовательность дискретных состояний, например:

На рис. 7.1 пунктирными стрелками изображена одна из возможных реализаций процесса, которая соответствует следующей пошаговой последовательности состояний:

(7 шагов).

На третьем шаге состояние не изменилось, что отражается пунктирной стрелкой, выходящей из  и в то же состояние входящей.

Стохастическая матрица переходов для размеченного графа, изображенного на рис. 7.1, будет иметь следующий вид:

                                                                     (7.2)

7.3.  Эргодическая цепь Маркова

  Ранее было отмечено, что стационарный случайный процесс обладает эргодическим свойством, когда вместо множества реализаций для определения его характеристик достаточно одной реализации этого процессапри достаточно большом  .Это означает замены средних значений, взятых по множеству реализаций, средними во времени для одной реализации стационарного случайного процесса.Свойство эргодичности однородной цепи Маркова означает, что переходные вероятности  при достаточно большом  стремятся независимо от -го состояния к некоторой стационарной величине.

  Другими словами, эргодическая цепь Маркова – это однородная по времени цепь Маркова , обладающая следующим свойством: существют независимые от  величины:

                             .                                      (7.3)

Это означает, что матрица  ( 7.1) превращена в матрицу из одной строки

                                                       (7.4)            

Распределение  на множестве состояний  называется стационарным распределением, т.е. распределение  для разных  при достаточно большом  заменено одним распределением.

8. Дискретные  Марковские процессы с непрерывным временем

8.1. Потоки событий

    В отличие от Марковской цепи, при которой переходы из состояния в состояние происходят в определенные фиксированные моменты времени, Марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем характерен тем, что переходы между состояниями происходят в случайные моменты времени. Эти переходы образуют случайный поток событий, т.е. последовательность однородных событий, следующих один за другим в какие-то случайные моменты времени.

Поток событий может быть охарактеризован интенсивностью  . Интенсивность (или «плотность») потока событий – это среднее число событий в единицу времени. Если  , то поток событий является стационарным , если  , т.е. зависит от времени, то поток событий является нестационарным.

Другой важнейшей характеристикой потока событий является закон распределения времени между отдельными событиями. Существенно, что для Марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем функция распределения времени между событиями есть экспоненциальный закон распределения, т.е.:

                                                           (8.1)

 Поскольку Марковский процесс по определению является процессом без последствия, то и поток событий, образующий этот процесс, является потоком

без последствия. Это означает, что события, образующие поток, появляются независимо друг от друга. Как правило, потоки событий, образующие Марковский процесс, являются ординарными. Ординарность потока означает, что события в потоке происходят поодиночке, а не группами.

Стационарный, без последствия и ординарный поток событий называется простейшим, или стационарным пуассоновским потоком. Термин пуассоновский поток означает, что число событий, попадающих на участок          (рис. 8.1), распределено по закону Пуассона

                                               .                     (8.2)                   

Здесь  - вероятность попадания на участок равно  событий.

                                                                  

Рис. 8.1

8.2. Дифференциальные уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

    Для случайных Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний у стрелок переходов из состояния в состояние указываются плотности вероятности переходов . Потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, являются пуассоновскими.

Пусть система имеет конечное число дискретных состояний . Схема случайного процесса представляет собой ступенчатую кривую (рис. 8.2), причем на рис. 8.2  изображен один из возможных вариантов, одна из возможных реализаций процесса.

Рис. 8.2.

Смена состояний в процессе происходит в некоторые случайные моменты времени, распределение которых подчиняется экспоненциальному закону.

     Для любого момента времени  вероятность обозначенных выше состояний есть , при этом соблюдается условие нормировки    .

Чтобы найти все вероятности состояний , необходимо решить систему дифференциальных уравнений Колмогорова.

                               .          (8.3)              

Здесь сумма первых чисел означает сумму потоков вероятностей, идущих в данное состояние, а второй – сумму потоков вероятностей, идущих из данного состояния.

  Если предельные вероятности состояний системы существуют, то имеет место установившийся режим, для которого производные будут равны нулю. В этом случае система дифференциальных уравнений Колмогорова превращается в систему алгебраических уравнений. Совместно с нормированным условием  эти уравнения дают возможность вычислить все предельные вероятности состояний .

8.3. Решение системы алгебраических уравнений предельных вероятностей состояний с помощью математического пакета  Mathcad

    Пусть имеется исходная система  n  линейных алгебраических уравнений относительно  n  неизвестных:  .

                                       

Матрица:                             

называется  матрицей системы. 

Матрица                              

называется  матрицей правых частей системы.

    Решение системы алгебраическихуравнений может быть получено методом  Крамера, с помощью обратной матрицы или с помощью встроенной функции find.

    Для конкретности рассмотрим систему уравнений, составленную по графу состояний, изображенному на рис. 8.3.

            

                                                 Система алгебраических уравнений

                                                             для этого графа состояний будет иметь

     а21             а12                  а13      следующий вид :

-( a12 + a13 )P1 + a21P3  = 0

 а32                                                                                          a12P1 a21P2 + a12P3  = 0                    

    Рис.8.3                                                              a13P1a32P3 =  0

    Если  добавить  к  этой  системе  нормировочное  условие   Р1 + Р2 + Р3 = 1 ,

то  одно  из  уравнений  системы  можно  исключить (целесообразно  исключить  самое  громоздкое) и  решать  систему  одним  из  указанных  выше  методов.

    Пусть, например, исключено  второе  уравнение.  Имеем  следующую  исходную  систему  уравнений:

                               - (а12 + а13)Р1 + а21Р3  = 0

                         а13Р1 а32Р3 = 0 (8.4)

                         Р1 + Р2 + Р3 =  1

 Решение  системы  уравнений  методом  Крамера

    Обозначим матрицу коэффициентов левых частей исходной си стемы уравнений символом  А, а матрицу правых частей символом  В.

    Далее записывается следующий текст:

ORIGIN := 1

                            А:=   B:=

    Далее определяется значение детерминанта  .

    Заменяя последовательно столбцы матрицы  А значениями величин строк матрицы  В, определяем значения детерминантов  D1, D2, D3:

         D1=…          D2=…

                                                                                       

                            

                                         D3=…

    Значения неизвестных  P1, P2   и  P3  определяются по формулам:

                                          

Решение системы алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы

    Обратная матрица формируется с помощью панели  Matrix  путем вызова  операции  

                                                     

                                                                                                                                         Решение системы алгебраических уравнений с помощью встроенной                    функции  find

    С начала необходимо установить начальные значения переменных:

                                              P1=0 ;  P2=0 ; P3=0.    

    Затем  вводится  обязательное  слово  Given .  Ниже  заносится  исходная  система  уравнений.  Особенностью  этой  записи  является  то, что  знаки  равенств  в  системе  берутся  из  панели  Boolean.

    Given

                                     -(a12 + a13)P1 + a21P3 = 0

                                 a13P1a32P3 = 0

                                 P1 + P2 + P3 = 1

    Встроенная  функция  find  берется  из  категории  Solving.

                                            R := Find(P1 , P2 , P3)

                                                                                  

      Решение:                  R1 = P1 ;      R2 = P2 ;    R3 = P3  .

                                                      

             9. ПОЛУМАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ ЭКСПЛУАТАЦИИ

9.1. Определение и основные свойства полумарковских

процессов эксплуатации

    Напомним определение и основные свойства Марковских процессов [9,12]. Случайный процесс является Марковским, если он обладает следующим свойством. Для каждого момента времени  вероятность любого состояния какой-либо системы (или ее элемента) в будущем (при ) зависит только от ее состояния в настоящем (при ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

    Если  - случайный процесс, то для марковского процесса справедливо следующее соотношение:         (9.1)

Марковский процесс является процессом без последействия, т.е. будущее развитие марковского случайного процесса не зависит от “предыстории” процесса.

    В зависимости от значений аргумента (времени) и характера пространства состояний различают четыре основных вида марковских процессов: цепь Маркова, дискретный процесс с непрерывным временем, марковские последовательности и непрерывный марковский  процесс.

    Основной моделью технической эксплуатации является марковский процесс с непрерывным временем. Изобразим этот процесс наглядно в виде схемы последовательных переходов различных состояний системы (рис.1.1).

На рис.9.1 изображена одна из возможных реализаций процесса. Система одновременно может находиться в одном и только в одном состоянии  Пусть в начальный момент времени  система находится в одном из возможных состояний  проводит в нем случайное время   и в момент времени   система мгновенно переходит в новое состояние   с вероятностью   В состоянии  система пребывает случайное время  , затем с вероятностью   переходит в состояние    и  так далее.

    Характерной особенностью Марковского процесса с непрерывным временем является то, что распределение времени  перехода из любого состояния  в состояние  является экспоненциальным со своим параметром распределения . В этом случае справедливы дифференциальные уравнения Колмогорова и системыалгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний [9].

Рис.9.1

.     Если же распределение времени пребывания в любом из состояний представляет собой произвольную функцию распределения (кроме экспоненциальной) и может быть даже постоянной величиной, то процесс не является марковским в чистом виде. Марковский процесс проявляется только и только в моменты переходов; при этом вероятности  переходов между состояниями   определяются матрицей вероятностей переходов как и для случая Марковской цепи [6]. В этом случае «предыстория» процесса до попадания  в  состояние   не влияет на его дальнейшее поведение.

    Случайный процесс, при котором переходы между состояниями являются марковскими, а время нахождения в любом из состояний описывается произвольной функцией распределения (кроме экспоненциальной),  называют полумарковским процессом.

    В литературе [6, 9] применяется также термин «вложенная цепь Маркова» или «вложенный марковский  процесс». Смысл этих терминов состоит в том, что марковский процесс перехода между состояниями системы происходит внутри другого, немарковского процесса, в который  вложен другой  процесс.

    Характерный вид реализации полумарковского процесса показан на рис. 9.2, где по оси ординат отложены возможные состояния   а по оси абсцисс - неслучайное, равное единице, время пребывания в каждом состоянии.

    Если длина каждой ступеньки, изображающей время пребывания в состоянии, будет случайной с произвольной функцией распределения, то мы получим новую реализацию полумарковского процесса, а при экспоненциальном распределении времени пребывания в каждом состоянии – Марковский  процесс непрерывным временем.

Рис. 9.2

    Таким образом, можно выделить два основных свойства полумарковского процесса :

    переходы между состояниями являются марковскими, как для марковской  цепи; распределение времени нахождения в любом из состояний является произвольной функцией времени (кроме экспоненциальной), в том числе она может быть постоянной величиной.

    Для описания полумарковского процесса необходимо задать [6, 10]:

      граф состояний и переходов, т.е. все возможные состояния  и все возможные переходы внутри графа с указанием их направлений, что эквивалентно заданию матрицы переходных вероятностей  ;

     матрицу   независимых функцией распределения времени пребывания в  -м  состоянии перед переходом в  -е состояние;

      начальное  состояние  в  момент  .

    На основании этих исходных данных определяются вероятности  перехода из состояния   в состояние   в момент скачка и математические ожидания   времени пребывания в  -м состоянии.

9.2. Основные соотношения для полумарковских моделей

    Вероятности   перехода из состояния   в состояние   в момент скачка характеризуют “Марковскую” часть рассматриваемого полумарковского процесса, поскольку этот процесс, рассматриваемый только в моменты перехода, сводится к Марковской цепи. Эти  переходы определяются матрицей , а при изображении процесса в виде графа величины  могут проставляться у соответствующих стрелок, показывающих направления переходов. Величины  при рассмотрении конкретного процесса определяются из физической сущности процесса с использованием статистических данных.

    Определение математического ожидания   времени пребывания элемента в -м состоянии требует учета независимых функций   распределения времени пребывания системы в состоянии   перед  переходом  в  -е состояние. Выражение для   имеет, с учетом этого обстоятельства, следующий  вид [6, 9] :

                        .    (9.2)

    Для рассматриваемого нами класса инженерных задач, связанных с эксплуатацией авиационной техники, практическое значение имеют стационарные (финальные) состояния. Важной характеристикой вложенной  Марковской цепи являются стационарные вероятности состояний.  

    Возникает вопрос, существуют ли предельные стационарные вероятности для цепи Маркова? В теории цепей Маркова [2, 5] доказывается, что для цепи Маркова с конечным числом состояний при выполнении условия  при  , начиная с некоторого  ,  существуют предельные (финальные) вероятности  , причем эти финальные вероятности не зависят от начального распределения  .

    Для полумарковского процесса стационарная вероятностьi-го состояния может быть найдена как отношение среднего времени  пребывания в -м состоянии к среднему  времени τ между последовательными попаданиями в это состояние:

                  .         (9.3)                       

    Значения величин  в прикладных задачах эксплуатации означают, например, средние сроки эксплуатации между ремонтами, обслуживаниями, неисправностями и тому подобное.

    Величина   связана со средними временами   пребывания в -м состоянии и стационарными вероятностями состояний  марковской цепи, вложенной в рассматриваемый полумарковский процесс, следующим соотношением:

                                               .                          (9.4)

     Величина   есть усредненное по всем  -м состояниям  среднее время  пребывания в  -м  состоянии. Поэтому вместо (9.4) можно записать:

                                                              ,                            (9.5)

подставив это значение в формулу (1.3), получим:

                                                            .                           (9.6)

Если все   одинаковы, т.е. среднее время во всех состояниях одинаково, то получим    и выражение (9.6) превращается в равенство:

                                                            .                            (9.7)

     Финальные вероятности   вложенной марковской цепи являются решением системы алгебраических уравнений:

                                       .                   (9.8)

Эту систему уравнений необходимо дополнить нормировочным условием:

                                                            .                            (9.9)

    Выражения (9.8) и (9.9) образуют систему  уравнений с  неизвестными, которыми являются величины , поэтому из системы (9.8) одно уравнение, например, наиболее сложное, можно исключить.

    Составление линейных алгебраических уравнений может быть выполнено по аналогии с уравнениями финальных вероятностей состояний для  Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем [6, 9, 17], только вместо  ставится , а вместо  ставится . При этом можно пользоваться тем же мнемоническим правилом: если стрелка перехода выходит из состояния - ставится знак минус, если входит в данное состояние - ставится знак плюс.

    Система (9.8) решается сравнительно легко методом последовательных подстановок, если число  

    Рассмотрим примеры составления алгебраических уравнений для некоторых моделей полумарковских процессов эксплуатации.

9.3. Примеры моделей полумарковских процессов эксплуатации

    В практике эксплуатации часто встречается такая операция как замена агрегата. Наиболее характерные причины замены следующие [15]:

    замена после отработки установленного ресурса   (замена по наработке);

    замена при отказе агрегата (в какой-то момент времени   параметр агрегата   выходит за предельно допустимое значение  , т. е. );

    замена при достижении допустимого значения   некоторого параметра при непрерывном контроле, т.е   (профилактическая  замена);

    замена при достижении допустимого значения некоторого параметра при непрерывном контроле (профилактическая замена при очередном  техническом обслуживании).

    Возможные операции замены могут быть представлены как процесс  нахождения агрегата в следующих состояниях:

    И – исправное (использование на самолете);

    Н – неработоспособное (параметр   в  некоторый момент времени  превысил предельное значение  );

    В – восстановление (параметр   приводится в нормальное состояние);

    З – профилактическая замена (в случае, когда  );

    П – проверка исправности;

    С – хранение на складе.

    Составим графы состояний для перечисленных выше причин замены и  алгебраические уравнения для предельных вероятностей состояний.

    Для случая замены по наработке граф состояний приведен на рис. 9.3.

Заметим, что состояние Н в этом случае возможно, так как до истечения срока наработки агрегат может отказать.

Рис. 9.3

     Установим значения  вероятностей переходов в обозначенном  графе. Из физической сущности рассматриваемой модели следует, что  (если  агрегат неисправен, то он обязательно пойдет на восстановление),  (после  восстановления - на склад),  (исправный агрегат – на борт). Что касается величины   (вероятности отказа до отработки установленного ресурса ) и  величины,  то о них  ничего определенного сказать нельзя, во всяком случае для их определения  требуется  статистическая обработка данных об отказах.

     Составим теперь алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний:

для состояния  И: ;                       (9.10)

для состояния  Н: ;                                         (9.11)

для состояния  В:  ;               (9.12) для состояния С:  .                                   (913)

    Добавляем нормировочное условие:

                                         .                             (9.14)

     Покажем возможный путь решения для определения величин  .

Не будем учитывать уравнение (9.13), из которого прямо следует .

Из уравнения (9.10) следует:

                              ,

так как

                             ,   то

                               ,

так как                   .

Из уравнения (9.11) получаем:

                              .

Из уравнения (9.12) можно определить

                       .

Подставляем получаемые значения   в нормировочное условие:

                       

В результате получаем следующие выражения для стационарных вероятностей:

                          ;                                                         (9.15)

                         ;                                             (9.16)

                        ;                                                           (9.17)

                        .                                               (9.18)

    Для определения числовых значений величин  необходимо знать  

Оно должно быть задано или определено из статистических данных по отказам. Замена после отказа. Граф состояний приведен на рис. 9.4

    Перехода  И-В  нет, так как восстановление и замена идет только после отказа агрегата. Значения вероятностей перехода следующие:  (замена идет только при отказе агрегата),  (как и в предыдущем случае).

   Алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний:

для состояния  И:  ;                                         (9.19)

для  состояния  Н:  ;                                        (9.20)

для  состояния  В:  ;                                         (9.21)

для  состояния  С:  .                                         (9.22)

Рис. 9.4

Из этих уравнений следует:

, т.е. все стационарные вероятности  одинаковы.

Из нормировочного условия:

следует.

Профилактическая замена при непрерывном контроле параметра.

Граф состояний приведен на рис. 9.5.

                                                              Рис.9.5

    Из состояния  И производится сразу переход в состояние З, так как замена

производится сразу после выполнения условия  .

    Из физической сущности рассматриваемого случая следует, что. Что касается величины , то о ней определенного ничего сказать нельзя без предварительной обработки статистических данных о достижении параметра  допустимого значения  .

    Алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний:

         для состояния  И:    ;                           (9.23)           

для состояния  С:    ;                           (9.24)            

для состояния  В:      ;                           (9.25)

        для состояния  З:       .                            (9.26)              

                                                                               

Из этих  уравнений  можно  получить:

                                                    ,

                                                   ,

                                                    ,  

                                                   .

Поставив эти значения в нормировочное условие  , получаем                             .

Определив из статистических данных, можем рассчитать все вероятности .

 Профилактическая замена при дискретном контроле параметра.

Граф состояний приведен на рис. 9.6.

Относительно величин     можно определенно сказать, что . Что касается величин    и  ,  то они должны быть или заданы, или определены из статистических данных.

  

Рис. 9.6

    Алгебраические уравнения для стационарных вероятностей состояний:

для  состояния  И:  ;                         (9.27)

для  состояния  Н:  ;                                                (9.28)

для  состояния  В:  ;                                      (9.29)

для  состояния  С:  ;                                                 (9.30)

для  состояния  З:  ;                                                  (9.31)

для  состояния  П:  .                                     (9.32)

    Нормировочное  условие:    .                     (9.33)

    Исключив уравнение  (9.27), из остальных уравнений получаем:

        из уравнения  (9.28):  ;                                                       (9.34)

        из (9.29):                     ;                                   (9.35)

        из (9.30):                     ;                                                             (9.36)

        из (9.31):                     ;                                                         (9.37)

        из (9.32):                      откуда:

                                            .                              (9.38)

    Подставив (9.38) в (9.37) и далее (9.37) в (9.35), получим:

                        .               (9.39)

Используя нормировочное условие (9.33), получаем:

     .               (9.40)

    Отсюда при известных (или заданных)    и    можно определить  а затем и остальные значения .

    В рассмотренных примерах моделей предполагалась одна неисправность агрегата. В реальных объектах может быть не одна, а несколько исправностей. Например, в топливном насосе могут быть следующие неисправности:

Н - неисправность  регулятора; Н- неисправность блока подачи;

Н- неисправность шарнирных соединений поршневых  пар;

Н- неисправность подшипника; Н- неисправность корпуса насоса.

    На рис. 9.7 приведен граф состояний для случая замены по наработке для приведенных неисправностей насоса.

                                                          Рис. 9.7

Подобно случаю с одной неисправностью величины вероятностей переходов будут иметь следующие значения:

           . Что касается значений

 и всех вероятностей   то они должны быть заданы или определены из статистических данных по отказам.

Принцип составления алгебраических уравнений остается тем же, естественно, в данном случае количество уравнений будет больше. В нашем случае их будет восемь, нормировочное условие также будет содержать восемь членов.

10. МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

      10.1. Понятие восстановления. Классификация процессов

восстановления

    Эксплуатация авиационной техники - это совокупность процессов использования авиационной техники, поддержания ее в состоянии готовности к использованию и восстановлению  качества на всех этапах ее существования.   Таким образом, процессы восстановления являются существенной частью эксплуатации авиационной техники.

    Под восстановительной работой понимается некоторое воздействие на систему (устройство), целью которого является как определение состояния системы, так и ликвидация отказа либо улучшение характеристик безотказности.

    В  табл. 10.1  приведена  классификация  восстановительных  работ  в  широком  смысле  этого  слова. Они включают  как  осмотры  и  проверки, так  и собственно  восстановление  в  случае  отказа  системы ( устройства).

          Таблица 10.1

Глубина восстановления системы

Названия восстановительных работ

Проводятся с работоспособной системой

Проводятся с неработоспособной системой

Никакого обновления в системе не проводится

Плановый (внеплановый) осмотр или проверка работоспособности

Проводится полное обновление

Плановая (внеплановая) предупредительная профилактика

Плановый (внеплановый) аварийно-профилактический ремонт

Проводится обновление части системы

Плановая (внеплановая) предупредительная профилактика части системы

Плановый (внеплановый) аварийно-профилактический ремонт части системы

    Под восстанавливаемым устройством  понимается такое устройство, работа которого после отказа может быть возобновлена  в результате проведения необходимых восстановительных работ.

    В узком смысле процесс восстановления - это такой процесс, который проводится с неработоспособной системой. В этом случае восстанавливаемое изделие отличается от невосстанавливаемого тем, что невосстанавливаемое изделие может иметь лишь один  отказ, а восстанавливаемое  - много отказов. Модели именно таких процессов рассматриваются ниже.  

10.2. Модели процессов восстановления

Простейшая модель процесса функционирования элемента с восстановлением состоит в следующем. Элемент случайное время  t1  работает до первого отказа, затем следует мгновенное и полное восстановление свойств элемента в момент  t1 =  t1 . После этого элемент снова работает  некоторое случайное время  t2  до второго отказа, мгновенно восстанавливается в момент  t2  = t1 + t2  и т.д. Предположение о мгновенном  восстановлении практики означает, что время восстановления существенно меньше времени между отказами.

Схематически рассмотренная простейшая модель восстановления изображена на рис. 10.1.

         τ1             τ2                . . . . .                   τ3                       .  .  .  . . 

                                                                                                                t

0                  t1                            t2                    ti-1                               ti                                                                                                          

                                      Рис. 10.1

Моменты отказов  t1,  t2, … ti, … tm   образуют случайный поток (процесс), а так как восстановление следует мгновенно, то эти же моменты образуют случайный поток или  процесс восстановления.

    Процесс восстановления можно описать случайной величиной  r(t), равной числу отказов (восстановлений), происшедших за время t, при этом величина r(t) принимает  только целые и неотрицательные значения.

    Математическое ожидание числа отказов (восстановлений) на интервале (0, t)  равно:

               .     (10.1)

Величина  Ω (t)  называется ведущей функцией потока, или функцией восстановления.

    При дифференцировании функции восстановления, т.е.

                  ,                          (10.2)

получаем величину, которая называется плотностью восстановления.

Функцию ω(t) можно интерпретировать как среднее число восстановлений, если одновременно идет K независимых процессов  ω(t) в интервале (t, t + ∆t). 

    На практике время восстановления имеет конечные, случайные значения, зависящие как от свойств восстанавливаемого элемента, так и от характеристик персонала, ведущего восстановление, наличия ЗНП и других объективных  причин. Модель процесса восстановления с учетом конечного времени восстановления состоит в следующем.

    Исправный, работоспособный элемент с момента времени   t = 0  функционирует в течение случайного времени  t1  до момента времени t1 =  t1.  Затем в течение случайного времени  t восстанавливается полностью до исходного состояния. С момента завершения восстановления tвосстановленный элемент работает случайное время t2  до второго отказа в момент времени  t2 = t1 + t + tв, снова восстанавливается за случайное время t и т.д.

    Схематически модель процесса с учетом времени восстановления представлена на рис. 10.2.

   τ1      τ        τв         τ      . . . .        τi           τiв         . . . .        τm       τ

                                                                                                                                   t

0        t1        t         t2        t         ti-1в                ti           t          tm-1в          tm       t

Рис 10.2

    Моменты времени t1,  t2, … ti, … tm   образуют поток отказов. Моменты времени  t,  t, … tiв, … tm в  составляют поток восстановления. 

    Естественно предположить, что все случайные величины ti   (время отказов) и величины  tiв  (время восстановления) являются независимыми случайными величинами.

    Времена отказов имеют одинаковый закон распределения  F(t) = P(t < t) с математическим ожиданием   M(t) = T1   и среднеквадратическим отклонением      Времена восстановления тоже имеют одинаковый закон распределения    G(t) = P(tв < t) с математическим ожиданием M(tв) = T2  и среднеквадратическим отклонением  

    При наличии статистических данных о временах отказов и временах восстановления значения математических ожиданий и среднеквадратических отклонений могут быть определены методом моментов.

 10.3. Характеристики процессов восстановления

    Для процесса восстановления важнейшей характеристикой  является вероятность восстановления   Pв(tв) за заданное время  tв [11].

    Если известна плотность вероятностей восстановления g(tв ), то вероятность восстановления равна:

                                .                    (10.3)

    Графически  Pв (tв) есть площадь под кривой  g(tв) в интервале от 0 до tв  (рис. 10.3)                                                            

                                      g(t)

                      0                                  tB                           t

                                                          Рис. 10.3

    Если время восстановления имеет экспоненциальное  распределение, т.е.

        ,                                             (10.4)

где m - интенсивность восстановления, то вероятность восстановления равна:

                     .         (10.5)

Математическое ожидание равно:

         .          (10.6)    

Дисперсия равна:

     ,          (10.7)  

так как

                                ,

то

                         ,                    .

    Другим важнейшим показателем процесса восстановления является коэффициент готовности KG (t). Величина KG (t) есть вероятность того, что элемент  окажется работоспособным в произвольный момент времени t .

    Коэффициент готовности складывается из вероятности того, что элемент остается исправным в течение времени  t  при действии потока отказа и вероятности того, что он остается исправным в течение восстановления.                                Сказанное может быть записано следующим образом: ,             (10.8)

где ω2(t) – плотность вероятностей восстановления. 

    Стационарное значение коэффициента готовности равно:

        .                                       (10.9)

Коэффициент готовности имеет важное значение при определении характеристик элементов авиационной техники.  

Раздел 3. Модели идентификации объектов и процессов

эксплуатации ЛА

11. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ

11.1. Временные ряды показателей эффективности процессов эксплуатации

    Для анализа и оценки эффективности технической  эксплуатации используется несколько групп показателей [8]:

       безотказности летательных аппаратов;

       регулярности вылетов в рейсы;

       исправности и использования самолетов;

       экономичности технической эксплуатации.

    Для расчета показателей используется информационная база, определяемая в организациях по техническому обслуживанию авиационной техники. Рассмотрим наиболее характерные показатели из перечисленных групп.

    Количество неисправностей, выявленных в полете на 1000 часов полета

                 ,                         (11.1)

где:    nп    - суммарное количество неисправностей, выявленных в полете;

 H    - налет парка самолетов.

    Коэффициент нарушения регулярности отправлений в рейсы (вылеты) по техническим причинам на 100 вылетов:

                          ,                               (11.2)

где    n3  - суммарное количество задержек по техническим причинам;

 B - количество вылетов парка самолетов.

Коэффициент использования:

                               ,                 (11.3)

где:    Н - суммарная наработка (налет) самолетов в рейсах;

 Ф – календарный фонд времени парка самолетов.

Удельные трудовые затраты:

                        ,         (11.4)

где - суммарные трудовые затраты по всем состояниям процесса технической эксплуатации.

В результате расчета каждого показателя образуется временной ряд          Y1, Y2, … ,YT , который описывает динамику этого показателя эффективности.

    Информационная база формируется по месячным значениям показателей эффективности в течение ряда лет.

    В качестве примера в табл. 11.1 и 11.2 приведены значения коэффициента использования KИ и  удельных трудовых затрат.                                                                                    

                                                                             Таблица 11.1

              Коэффициент использования самолетов KИ                    

№года

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

Год

11

0.142

0.145

0.134

0.173

0.204

0.305

0.317

0.346

0.316

0.218

0.195

0.141

0.220

10

0.126

0.132

0.129

0.159

0.184

0.267

0.286

0.272

0.257

0.193

0.179

0.151

0.195

9

0.120

0.118

0.121

0.145

0.183

0.257

0.278

0.304

0.265

0.193

0.174

0.139

0.191

8

0.130

0.150

0.130

0.150

0.190

0.250

0.300

0.350

0.290

0.200

0.200

0.140

0.207

7

0.140

0.150

0.190

0.220

0.250

0.280

0.320

0.360

0.340

0.310

0.250

0.170

0.248

6

0.130

0.140

0.160

0.170

0.200

0.270

0.300

0.350

0.320

0.300

0.260

0.200

0.233

5

0.130

0.140

0.150

0.160

0.180

0.250

0.270

0.290

0.260

0.170

0.140

0.140

0.195

4

0.120

0.130

0.130

0.150

0.190

0.260

0.280

0.300

0.270

0.220

0.180

0.150

0.198

3

0.130

0.140

0.130

0.160

0.200

0.240

0.290

0.320

0.300

0.230

0.170

0.140

0.204

2

0.120

0.120

0.140

0.170

0.190

0.270

0.300

0.330

0.280

0.210

0.180

0.130

0.203

1

0.140

0.130

0.130

0.150

0.180

0.250

0.280

0.310

0.300

0.220

0.190

0.150

0.202

                                                                                                               Таблица 11.2

Удельные трудовые затраты на техническое обслуживание самолетов tуд чел.ч/ч.н.

№года

Январь

Февраль

Март

Апрель

Май

Июнь

Июль

Август

Сентябрь

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

 Год

   11

   10

   9

   8

   7

   6

   5

   4

   3

   2

   1

9,37

11,66

12,46

11,57

12,85

12,1

12,68

12,81

12,93

12,76

12,88

11,65

11,2

12,36

12,21

10,43

13,47

12,57

13,11

13,43

13,41

13,12

12

13,08

13,89

14,17

14,43

15,07

13,98

14,17

14,05

14,18

14,26

10,4

12,61

12,02

12,45

10,69

13,18

12,73

12,81

13,26

13,61

13,73

8,81

10,17

9,74

9,34

8,05

11,07

10,11

10,69

11,41

11,54

11,82

8,29

8,29

7,49

8,25

9,82

10,19

9,23

9,18

9,84

10,24

10,11

7,79

8,69

7,7

7,56

8,36

9,87

8,74

8,51

8,91

9,73

9,56

6,73

7,25

6,74

7,11

7,51

9,81

7,56

7,63

7,75

8,45

8,21

7,46

7,72

8,23

7,32

7,63

7,98

8,11

8,5

8,21

8,67

8,88

8,83

9,2

10,4

8,75

8,97

9,92

9,23

9,63

9,87

9,94

9,75

8,88

8,88

9,5

9,93

9,21

10

9,75

10,4

10,93

10,48

10,57

10,6

10,63

10,6

11,15

12,74

12,69

12,15

11,72

12,84

12,21

12,61

9,234

9,948

10,094

3,384

10,057

11,279

10,57

10,763

11,119

11,268

11,292

11.2. Анализ временных рядов. Компонентные составляющие временного ряда

    Анализ временных рядов состоит в выявлении характера изменения этих рядов и определении их составляющих [15]. Временной ряд  может быть представлен в виде сочетания следующих компонент: регулярной гармонической, сезонной и случайной составляющих.

    Регулярная составляющая  H(T) отражает устойчивую тенденцию развития процесса, его общее направление (тренд). Гармоническая составляющая f(t) характеризует циклический процесс с периодом колебанийее 12 месяцев.  Сезонная составляющая учитывает колебания с периодом 12 месяцев. Случайная составляющая u(t) отражает изменение процесса за счет разнообразных случайных факторов. Анализ компонентного состава может быть сделан  по характеру изменения интенсивности спектра исходного ряда.

Интенсивность спектра рассчитывается по зависимости:

        .        (11.5)

Здесь:  - циклическая частота (число циклов в единицу времени);       - период колебаний; если T нечетно, тоизменяется в пределах

    Величины  и  определяются по зависимостям:

 ;      (11.6)

 .     (11.7)

Кроме того, рассчитывается среднее значение величины исходного ряда:

            ;                 (11.8)  

           .              (11.9)

    Обычно результаты вычислений представляют в виде графика зависимости интенсивности спектра от циклической частоты  . Пример такого графика приведен на рис. 11.1.

                          I (λi)       

              

               0                                      0.25                               0.5                λi

Рис.11.1                                                                                                

     Уже по внешнему виду графика  можно сделать предположение о наличии той или иной компоненты исходного ряда. Так, если в исходном ряду присутствует тренд, то об этом свидетельствует скачок в начале координат и убывающая интенсивность спектра с увеличением частоты (рис. 11.2).

              I (λi)       

              0                0.25                                    0.5           λi                                              

                                                         Рис. 11.2

       О наличии гармонических составляющих свидетельствуют скачки интенсивности спектра, проявляющиеся на определенных частотах. Так, если период колебаний равен 12 месяцам, то скачки будут на частоте 0,083 –это сезонная составляющая. Пример графика с наличием сезонной составляющей приведен на рис. 11.3.        

             I(λi)

                       

                

                                                                                      

                                                        

                                                                                                                        λi 

                   0                                      0.25                                  0.5                                                                                                                

                                                              Рис.11.3

О случайной составляющей свидетельствует хаотический нерегулярный спектр (рис. 11.4).

         I()

                          

  

                

                 0                                 0.25                             0.5                       λi                                                                                                                             

                                                            Рис. 11.4    

         11.3 Выбор кривой сглаживания значений исходного ряда                                              

    Временной ряд показателей эффективности может быть представлен в виде следующих моделей [15]:

аддитивной:

              ,         (11.10)

особенностью которой является постоянное рассеивание относительно некоторой тенденции;

мультипликативной:

                    ,    (11.11)

в которой рассеивание увеличивается относительно тенденции.

    Смешанная модель предлагает наличие мультипликативной и аддитивной составляющих:  

                    ,   (11.12)

    Перед выбором кривой, описывающей сглаженный исходный ряд, производится его предварительное сглаживание путем статистической отработки.  Один из методов сглаживания - скользящая средняя. Сущность его состоит в том, что исходный ряд разбивается на некоторые интервалы сглаживания, которые, в свою очередь, разбиваются на более мелкие интервалы (рис. 11.5).На рис. 11.5 m – полуинтервал сглаживания.

В табл. 11.3 приведены значения  и соответствующие им значения m и текущее время t для ширины полуинтервала сглаживания m=3.

    Скользящая средняя  исходной последовательности вычисляется по зависимости:

                                       .                                 (11.13)

Здесь  t = m+1, m+2, … , r-m (r – степень аппроксимирующего полинома, который задается исследователем).

 - веса значений   , которые нормированы   .

Значения     приводятся в специальных таблицах для  различных  m  и r.  

В результате расчетов получается новая последовательность , являющаяся средней скользящей исходной последовательности.

      Yt

                                                                                                                    

                                                                                 

                         -m                       m                                   r-m  

                                                          Рис.11.5                                                                                                                                                                                                           

                                                                               Таблица 11.3

m

 t

                                  

-3        -2      -1       0       1        2       3

m+1  m+1  m+1  m+1  m+1  m+1  m+1

Для выбора гипотезы о выборе кривой по сглаженным значениям исходного ряда используются средние приросты, определяемые для разных значений полуинтервалов сглаживания m:

m = 3, ;                        (11.14)

m = 5, ;                     (11.15) 

m = 7,. (11.16)

Затем формируются показатели:

, , , , ,   и в зависимости от вида этих показателей выбирают вид кривой, описывающей гладкую компоненту искомого ряда H(t) (табл. 11.4).

    После того как выбрана зависимость, описывающая гладкую составляющую H(t) , она удаляется из значений исходного ряда. Если принята аддитивная модель (11.10), то члены нового ряда будут равны:

           ,  t = 1,2,..,T .    (11.17)

                                                                                         Таблица 11.4

Показатель

Характер изменения        показателя

Вид кривой

1.                                  2.              

3.                  

4.                  

5.                  

6.             

7.          

const

const

    Если принятая мультипликативная модель (11.11), то

                                        .         (11.18)

    Если в результате анализа частотных характеристик исходного ряда установлено наличие гармонической составляющей f(t) и сезонной составляющей S(t), то эти составляющие тоже выделяются.

    Анализ компоненты состава нового ряда , очищенной от тренда, проводится аналогично тому, как это сделано для исходного ряда (п. 3.2).

    Для нового ряда выделяется циклическая частота  (значения меньшие 0,089) и рассчитываются новые  значения ,  и .

 .                  (11.19)

 .                (11.20)

 .                (11.21)

Гармоническая составляющая f(t)  будет равна:

(11.22)

где:  ;       .

Аналогично рассчитывается сезонная составляющая:

.   (11.23)

    Значения  и  здесь определяются зависимостями :

, ,           (11.24)

,  .    (11.25)

    После выделения из ряда  составляющих F(t)  и S(t) в этом ряду остается случайная составляющая U(t). Для нее вычисляют следующие характеристики:  

среднее  значение:       (11.26)

и дисперсия:         .    (11.27)                                                                                                  

    Признаком правильности выбора модели является отсутствие связи между членами случайной составляющей U(t). Для этого рассчитывается коэффициент автокорреляции  :           

                                            (11.28)                   и величина :       .                           (11.29)

    При отсутствии связи  и d = 2. При полной связи и d = 0.

    Если выявлено наличие автокорреляции, то U(t) – неслучайный хаотический ряд и процедуру выделения составляющих нужно начинать с начала.

12. МОДЕЛИ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ И ПРОЦЕССОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ

12.1. Понятие корреляции и регрессии

    Корреляция – это зависимость между случайными величинами, не имеющая строго функционального характера, но характеризующая некоторую связь между ними. В математической статистике разработаны методы оценки коэффициентов, характеризующих такую связь (корреляцию) между случайными величинами. Совокупность таких методов называется корреляционным анализом.

    Методы корреляционного анализа позволяют установить только факт отношений  и ничего более. Установление конкретного вида зависимости между случайными величинами производится с помощью регрессионного анализа    [5, 8, 12].

    Регрессионный анализ - раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным.

Регрессия – это зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

    Пусть, например, при каждом значении  наблюдается  случайной величины  ,,…,. Зависимость средних арифметических этих значений:       от    и  является  регрессией в статистическом понимании этого слова.

    При каждом фиксированном значении  случайная величина  имеет определенное распределение вероятностей с математическим ожиданием, которое является функцией :  

                                                .                              (12.1 )                                                                                Зависимость , где  играет роль независимой переменной, называется  регрессией (или функцией регрессии) в вероятностном понимании этого термина. График функции  называется линией регрессии величины  по .        

    Методы анализа корреляции и регрессии первоначально были развиты исследователем наследственности Карлом Пирсоном. В 1903 году в специальном журнале “Биометрика” был опубликован ряд статей применительно к наследственности, в частности, исследования по выявлению роста детей от роста родителей. Было установлено, что дети очень высоких или очень низких родителей имеют тенденцию быть в среднем менее высокими или менее низкими. Эта тентенденция описывалась как “регрессия” в направлении к средней, а линия была названа “линией регрессии”.

12.2. Модели корреляционного анализа

    Напомним, что для определения характеристик случайных величин использовались начальные и центральные моменты [4, 10]. Аналогичные числовые характеристики – начальные и центральные - моменты вводятся и для системы двух случайных величин.

    Начальным моментом порядка  системы случайных величин   называется  математическое ожидание произведения :

                          .                                                    (12.2)

Центральным моментом порядка  k,s системы случайных величин называется математическое ожидание произведения отношений случайных величин от их математических ожиданий в степенях k и s. 

                                                    (12.3)

    Для непосредственного подсчета моментов служат следующие формулы:

     для дискретных случайных величин:

                               ;                                          (12.4)

                    ,           (12.5)

    в  этих  формулах:

                                    .                                                        

    Для  непрерывных  случайных  величин :                     

                           ;                                          (12.6)

                 .                                    (12.7)

Здесь  плотность распределения системы  случайных величин X и Y.

    Первый центральный момент есть математическое ожидание произведения центрированных величин, т.е. произведение   имеет специальное обозначение и называется корреляционным моментом (моментом связи) случайных величин   и  .  

                                     .                                               (12.8)

       Расчетные формулы имеют следующий вид:

                               -                                           (12.9)

для дискретных случайных величин и

                                 -                             (12.10)

для непрерывных случайных величин.

    По значению величины   можно судить о степени зависимости между

случайными величинами. Если  , то случайные величины  и   являются независимыми, а если  , то это признак наличия зависимости  между ними.

    Если взять отношение корреляционного момента Kxe   к произведению    средних квадратических отклонений σσ, то получается безразмерная характеристика, называющаяся коэффициентом  корреляции:

                                         τ=.                                                               (12.11)

    Для центрального момента первого порядка системы двух случайных величин (12.8) применяется также термин ковариация, т.е.

                                  cov ,                                    (12.12)

при  этом

                                 covcov       covD.

Дисперсия суммы двух случайных величин:

                                 D=D+D+2cov .                                (12.13)   Для независимых случайных величин   и    cov.

Если используются нормированные случайные величины    и ,

то ковариация совпадает с коэффициентом корреляции.

    В стационарных случайных процессах для выявления связи между значениями процесса в различные моменты времени используется термин автокорреляция.

    Автокорреляция – это корреляция значений случайной функции, сдвинутых относительно друг друга на некоторое время  τ,  т.е. между и  .

                         .                                           (12.14)

    Если рассчитывать величину  (τ)  при различных значениях  τ, то величина колеблется около нуля с небольшой амплитудой, и это является признаком стационарности процесса (рис.12.1).

                                                          Рис. 12.1

                                                                                                                                                     12.3. Модели регрессионного анализа

    Напомним, что регрессия – это зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины. Соотношение есть функция регрессии. График функции   называется линией регрессии, переменная  называется регрессионной переменной или регрессором.

    Точность, с которой линия регрессии   по   передает изменение  в среднем при изменении  , измеряется дисперсией величины  , вычисляемой для каждого значения  :

                                                  .                                         (12.15)

    Если   при всех значениях  , то с вероятностью единица величины   и   сведены строгой функциональной зависимостью.

    При формировании модели регрессионного анализа обрабатываются экспериментальные данные случайных величин [3, 7]. Один из методов обработки состоит в следующем. Производится группирование экспериментальных данных по какому-либо признаку (например, по типам самолетов), определяются средние значения по группам и по этим средним значениям строится график зависимости

    Заключительным этапом формирования модели регрессионного анализа является подбор функции, наилучшим образом отражающей зависимость  Такими функциями могут быть линейные, квадратичные, полимодальные, экспоненциальные  и пр. Вид подбираемой функции  в первую очередь определяется физической сущностью процесса, описываемого случайными величинами.

    Рассмотрим простейший способ формирования линейной модели регрессионного анализа. Как известно, общий вид линейной функции есть  

    Зададимся условием, что линия регрессии должна проходить через две характерные точки и  

    Для определения постоянных a и  b  имеем систему двух уравнений :

                                                     ;

                                                        .                                         (12.16)                              

Решая эту систему, получаем:

;   ;         ,       (12.17)       

                                                                             

или

                                                   .                                      (12.18)

12.4. Использование метода наименьших квадратов для

формирования линейной модели регрессии

    Изложенный выше способ проведения линии регрессии в виде прямой по двум характерным точкам, точно отражает лишь процесс, проходящий через эти две точки. Остальные экспериментальные точки как бы не участвуют в формировании линии регрессии. Целесообразно учесть влияние на формирование линии регрессии всех опытных данных. Имеется способ определения такой линии, известный как метод наименьших квадратов.

    Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что подбирается функция регрессии   так, чтобы сумма квадратов отклонений  от   была бы минимальной, т.е.

                                            .                              (12.19)

Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов имеется во многих работах [8, 12].

    Для вычисления методом наименьших квадратов линейной функции необходимо провести по результатам экспериментов предварительные операции, сущность которых ясна из табл. 12.1. В этот таблице   и   - значения переменных, полученные из опыта. Остальные величины получаются в соответствии с правилами, понятными из  табл. 12.1.

    Значения величин a  и b, определяющих линейную функцию вычисляются по формулам:  

                                                  ;                              (12.20)

                                              

                                                   .                                           (12.21).

    Линейная линия регрессии, построенная методом наименьших квадратов, наилучшим образом отражает влияние всех опытных точек, характеризующих процесс.

                                                                         

                                                                                                      Таблица 12.1

        

      

        

        

       

1

2

i

n

        

        

        

        

        

        

        

        

        

        

            

        

           

           

           

           

           

         

        

          

       

       

        

        

        

       

        

        

        

        

       

       

        

        

        

       

        

        

        

       

    

                                    

           

       

      

Средние

значения

 

 

 

 

 

          

12.5. Нелинейная регрессия

    Если функция  предполагается нелинейной, то подбор подходящей зависимости требует определенного навыка. По внешнему виду расположения экспериментальных точек выбирается вид функции, которая, по мнению исследователя, наилучшим образом будет отражать предполагаемую зависимость [5, 12].

    В некоторых случаях вид этой функции может быть определен, исходя из физической сущности решаемой задачи.

    Определение параметров функции искомого вида может быть сделано как для линейной  функции, предполагая прохождение её через некоторые опорные точки.

    Проиллюстрируем этот метод на примере квадратичной функции:

                                                .                                             (12.22)

    Для трех базовых точек    и   имеем систему уравнений:

                                              ;       

           ;                                       (12.23)                                      

                                              .

    Из решения этой линейной системы уравнений определяем значения величин a,b  и  с. Подбор квадратичной функции (12.22) может быть сделан следующим образом [12].  Значения величин  a,b и  c  в квадратичной функции (12.22) определяются из следующей системы уравнений :

                        ;

                        ;                             (12.24)

                        .

    Значения коэффициентов при величинах   a,b и c определяются методом наименьших квадратов по значениям экспериментальных данных случайных величин   и  по следующим формулам:

                                                ;                                                     (12.25)

                                                ;                                          (12.26)

                                                ;                                          (12.27)

                                                 ;                                         (12.28)

                                              ;                                            (12.29)

                                              ;                             (12.30)

                                              ;                             (12.31)

                                              .                             (12.32)

    Решение системы уравнений (12.24) не представляет математических трудностей и может быть произведено с помощью определителей. На практике удобнее решать эту систему последовательным исключением неизвестных.

    Если предполагаемая функция есть функция степенного вида ,то целесообразно экспериментальные точки нанести в логарифмической шкале координат. В этом случае точки должны лечь примерно на одну прямую линию.Уравнение этой прямой будет иметь вид:         

                                        ,                                                         (12.33)

где:  ;  и .

    Определив постоянные    и    в функции (12.33) как это описано для линейной функции, получаем значение   и окончательный вид функции:  

                                             .                                                        (12.34)

  1.  Использование системы Mathcad для построения

                                   регрессионных моделей

    Исходными  данными  для  формирования  линии  регрессии  являются  массивы  переменных  Xi   и  YI , полученные  из  опытных  данных.  Эти  данные  записываются  в  виде  двух  матриц:

                                                           

                               

    Из категории Statistics берется функция corr для расчета коэффициента  корреляции  R . R:= corr(X,Y). Если коэффициент корреляции близок единице, то это свидетельствует о возможности сформировать линейную регрессию.

    Общий  вид  линейной  регрессии   y(X) := A0 + A1x. Величины   A0  и  A1  определяются  с  помощью  встроенных  функций  intercept  и  slope, находящихся  в  категории   Curve  Fitting   A0 : =  intercept(X,Y)    A1 : = slope(X,Y).

    Если  коэффициент  корреляции  существенно  отличается  от  единицы, то  это  свидетельствует  о  нелинейности  функции  регрессии. Предположение  о  виде  нелинейной  функции  можно  сделать  по  характеру  расположения  экспериментальных  точек  в  координатах  х0у.

    В  инженерных  приложениях  наиболее  типичными  являются  экспоненциальная  регрессия  и  регрессия  в  виде  показательной  функции. В  случае  предположения  о  функции  регрессии  в  виде  f(x) =aexp(bx) +c определение  параметров  a, b и  с  производится  с  помощью  встроенной  функции  expfit , находящейся  в  категории  функций  Curve  Fitting (аппроксимирующие  функции):

                                        P := expfit(X,Y,vg),

где  Х  и  Y  -   векторы  значений  вещественных  данных Х  и  Y, а  vg – значения  параметров  а , b и  с  в  первом  приближении, необходимом  для начала  расчетов.  Можно  принять  vg := (1,1,1), но лучше  брать  значения, более  близкие  значениям  величин  a, b и c.

    Результат  расчетов  будет  представлен  в  виде  ,

где:  .

    Если  предполагается  функция  регрессии  вида   ,то  параметры   a ,  b  и   c  находятся  с  помощью  встроенной  функции  pwrfit, также  расположенной  в  категории  Curve  Fitting:

                                        P := pwrfit(X,Y,vg).

    Значения  величин  X,Y и vg  и  результаты  расчетов  аналогичны  предыдущему  случаю.

13. МОДЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА                  ДИНАМИКИ СРЕДНИХ

13.1. Сущность метода динамики средних

    Вероятностно-статистические модели на основе Марковских и полумарковских процессов хорошо описывают реальные процессы эксплуатации. Эти модели представляют собой удобный математический аппарат, но только в том случае, если число возможных состояний системы сравнительно невелико.  Сказанное  относится  к  случаю,  когда  исследуется  состояние одного агрегата или одного летательного аппарата. В том случае, когда исследуется множество агрегатов или многочисленный парк самолетов, число возможных состояний становится большим и ранее применяемые методы перестают быть удобными. Связано это с тем, что совместное решение не только дифференциальных, но и алгебраических уравнений для финальных вероятностей состояний становится затруднительным даже с помощью ЭВМ. Кроме того, даже при решении с помощью ЭВМ наилучшие результаты для всех возможных состояний системы окажутся трудно обозримыми и малопригодными для практического применения.

    Поскольку число рассматриваемых возможных состояний велико, то естьвозможность применить к ним вероятностные законы и рассматривать закономерности не одного каждого состояния, а их средние характеристики. Такой подход в прикладной математике [9] известен как метод  динамики средних. Этот метод ставит себе целью изучение средних характеристик случайных процессов, протекающих в системах с большим числом состояний.                                                    

    При рассмотрении метода динамики средних возможны следующие случаи:

       сложная система состоит из большого числа однородных элементов, каждый из которых может переходить случайным образом из состояния в состояние;

       интенсивность потоков зависит от численности состояний;

       численность состояний изменяется за счет внешних воздействий;

       система состоит из большого числа неоднородных элементов.

    Метод динамики средних широко применяется для описания процессов боевых действий, в которых участвуют многочисленные группы различных видов вооружения (танки, корабли, самолеты и т.п.) [9].

    Практическое значение для модели эксплуатации ЛА имеет случай, когда система состоит из большого числа однородных элементов. Для этого случая и рассмотрим способ формирования вероятностно-статистической модели.

13.2. Математическое описание метода динамики средних

    Будем считать, что сложная система  состоит из большого числа  однородных элементов, а все потоки, переводящие каждый элемент из этого состояния в другое (а, следовательно, и всю систему), являются пуассоновскими. Это обстоятельство означает, что процесс является Марковским.

    Отвлечемся от состояний системы в целом и рассмотрим граф состояний любого отдельного элемента. Часть такого графа, на котором изображено только четыре состояния, приведена на рис. 13.1. Всего же состояний каждого элемента   а общее число элементов в системе - .

    В некоторый момент   число элементов системы  , находящихся в состоянии   будет величиной случайной. Сумма численностей элементов всех состояний равна общему числу элементов, т.е.:

                                  .              (13.1)

    Для любого  i - го  элемента значение   равно  1, если этот элемент находится в состоянии  , и равно нулю, если он в этом состоянии не находится. Тогда общее число состояний   равно сумме величин   по всем элементам

               .     (13.2)

    Обозначим вероятность нахождения элемента в состоянии  через  тогда вероятность нахождения в любом другом состоянии равна  Величина   для всех элементов одинакова.

Рис. 13.1

    Учитывая вероятности нахождения и ненахождения элемента в состоянии  математическое ожидание случайной величины   будет равно:

                            .                       (13.3)

    Математическое  ожидание  общей  численности  элементов, находящихся в состоянии  , равно:

                            .                       (13.4)     

Для значений дисперсий получаем следующие выражения:

                         (13.5)

и                   .                                                                 (13.6)

    Естественно,       σ.                                                        (13.7)

    Таким образом, если известны вероятности всех состояний одного элемента   то могут быть определены и средние численности состояний   их дисперсии    и соответственно среднеквадратические отклонения  

    Для определения величин   одного элемента достаточно знатьграф состояний этого элемента и составить, пользуясь этим графом, уравнения Колмогорова.

    Пусть для определенности, граф состояний отдельного элемента имеет вид, изображенный на рис.13.2. Непосредственно по графу состояний, пользуясь правилом составления дифференциальных уравнений для Марковских процессов, получаем следующую систему уравнений:

;

                                ;                          (13.8)

                                .

Рис. 13.2

    Умножим левую и правую часть каждого из уравнений системы(13.8) на общее число элементов   и, поскольку величина   постоянная, введем ее под знак производной. Получаем следующую систему уравнений:

                               ;                          

                              ;                 (13.9)

                             .

   Ранее  было установлено (13.4), что   поэтому вместо системы уравнений (13.9) можно записать следующую систему уравнений для

                                       ;                                    

                                       ;                        (13.10)

                              .

   В уравнениях (13.10) неизвестными функциями являются непосредственно средние численности состояний.

Для каждого t  средние численности состояний удовлетворяют условию:

                                                                                 (13.11)

и поэтому одно (любое) из уравнений (13.10) можно отбросить.

    Как видим, уравнения (13.10) составлены по тому же правилу, что и уравнения (13.8), и аналогично правилу для составления  дифференциальных уравнений Колмогорова для одного элемента, для составления системы уравнений относительно средних численностей можно сформулировать следующее мнемоническое правило.

      Производная средней численности состояний равна сумме стольких членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, член имеет знак “минус”, если в состояние – знак “плюс”. Каждый член равен произведению интенсивности потока событий, соответствующей данной стрелке, на среднюю численность того состояния, из  которого исходит стрелка.

    Составленные по этому правилу дифференциальные уравнения называются уравнениями динамики средних.

    Для решения системы уравнений динамики средних необходимо задать начальные условия:

                                         .             (13.12)       

    Интегрирование уравнений (численным методом или с помощью ЭВМ) позволит получить функции, выражающие средние численности состояний

     и дисперсии состояний       поскольку дисперсии связаны с величинами .

                                                                                                                                                                Учитывая зависимость (13.6), можно получить:

                                                                              (13.13)

и  соответственно    .

    Для оценки вероятностей различных состояний системы в целом, если распределение состояний считать приближенно нормальным, можно воспользоваться соотношением:

                                                       (13.14)

где и -границы, в которых заключены рассматриваемые состояния, - функция нормального распределения (функция Лапласа).  

13.3. Примеры применения уравнений динамики средних

для решения эксплуатационных задач с использованием

системы Mathcad

    Пример 1. Парк авиационного предприятия состоит из  однотипных самолетов. Каждый из самолетов может находиться в одном из двух состояний: исправен,  неисправен и находится в ремонте.

    Переход самолета из состояния   в состояние  происходит под действием потока неисправностей с интенсивностью  . Поток неисправностей является пуассоновским. Среднее время ремонта неисправного самолета  . Поток ремонта тоже является пуассоновским, поэтому  μ= .

    Граф состояний имеет вид, показанный на рис.13.3.

Рис.13.3

 

    Составляем уравнения для средних численностей состояний, пользуясь правилом, изложенным  в п. 13.2.                                                                       

                                                                    (13.15)  

Примем  N=100   λ=   и   μ=

    Запись в системе Mathcad начинается со слова Given.

    Given

                                                         (13.16)

    Начальные  условия:                                 

    Решение  системы  уравнений  13.6  производится  с  использованием  встроенной  функции  Odesolve

                                 .

    Далее  могут  быть  построены  графики  изменения  величин   и  (рис.13.4).

                                                           Рис. 13.4

    Имея данные по интенсивности отказов   и восстановления  , можно вычислить для любого момента времени количество исправных самолетов в парке и находящихся в ремонте.

    Пример 2. Предыдущий пример касался случая, когда состояния самолетов определены по укрупненной схеме. Реальные состояния самолетов парка гораздо многочисленнее. Выделим состояния самолетов, более полно отражающие реальные процессы эксплуатации [8].

    Предполагая, что парк самолетов состоит из   однотипных ЛА, обозначим возможные реальные состояния любого ЛА  парка следующим образом:

       -  ЛА находится в рейсе;

       -  проходит периодическое техническое обслуживание;

       -  проходит оперативное техническое обслуживание по форме А(Ф-А);

       -  исправный ЛА находится в ожидании рейса;

       -  проходит оперативное техническое обслуживание по Ф – Б;

       -  находится в ремонте.

    Предполагается, что потоки событий, под действием которых самолеты переходят из  -го в  -е  состояние, являются пуассоновскими, т.е. процесс является  Марковским.

    Размеченный граф состояний ЛА для перечисленных его состояний приведен на рис. 13.5.                                          

Рис. 13.5

    Система дифференциальных уравнений, описывающая изображенный

размеченный граф состояний, имеет следующий вид:

                    

                      

                      

                           (13.17)

                       

                      .                                      

                                     

    К этой системе дифференциальных уравнений добавляется нормировочное условие:

                                                            .                                      (13.18)

    В системе (13.17)  - интенсивность потока событий, с которой самолет переходит из  -го состояния в  -е  состояние,  - средняя численность самолетов в   -м состоянии.

    Поскольку искомых величин    в нашем случае всего шесть, а уравнений вместе с нормировочным условием - семь, то одно из уравнений может быть отброшено. Обычно избавляются от уравнения наиболее громоздкого.

    Величины   являются целочисленными, однако в целях облегчения математических вычислений их можно считать непрерывными.

    Заметим, что величины  формируются под влиянием эксплуатационных факторов, таких как объем авиаперевозок, режим движения, применяемые стратегии и режимы  технического обслуживания и ремонта. Таким образом, осуществляется влияние эксплуатационных факторов на распределение численности самолетов парка по состоянию в процессе эксплуатации.

    Значения величин  и их изменение во времени могут быть рассчитаны  так же, как это показано для первого примера.


 

ПРИЛОЖЕНИЯ

                      Таблица П.1     Значения                                                                       

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0

0,

3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0.1

0,

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0.2

0,

3910

3902

3894

3885

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0,3

0,

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3725

3712

3697

0,4

0,

3683

3668

3653

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0.5

0,

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0,6

0,

3332

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0.7

0,

3123

3101

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0,8

0,

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0.9

0,

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

1,0

0,

2420

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1,1

0,

2179

2155

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1.2

0,

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1.3

0,

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1,4

0,

1497

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1,5

0,

1295

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1.6

0,

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1,7

0,0

9405

9246

9089

8933

8780

8628

8478

8329

8183

8038

1.8

0,

7895

7754

7614

7477

7341

7206

7074

6943

6814

6687

1.9

0,0

6562

6438

6316

6195

6077

5959

5844

5730

5618

5508

2.0

0,0

5399

5292

5186

5082

4980

4879

4780

4682

4586

4491

2,1

0,0

4398

4307

4217

4128

4041

3955

3871

3788

3706

3626

2,2

0,0

3547

3470

3394

3319

3246

3174

3103

3034

2965

2898

2.3

0,0

2833

2768

2705

2643

2582

2522

2463

2406

2349

2294

2.4

0,0

2239

2186

2134

2083

2033

1984

1936

1888

1842

1797

2,5

0,0

1753

1709

1667

1625

1585

1545

1506

1468

1431

1394

2,6

0,0

1358

1324

1289

1256

1223

1191

1160

1130

1100

1071

2,7

0,0

1042

1014

0987

0961

0935

0909

0885

0861

0837

0814

2,8

0,00

7915

7696

7483

7274

7071

6873

6679

6491

6307

6127

2.9

0,00

5952

5782

5616

5454

5296

5143

4993

4847

4705

4567

3,0

0,00

4432

4301

4173

4049

3928

3810

3695

3584

3475

3370

3,

0,00

4432

3267

2384

1723

1232

0873

0612

0425

0292

0199

4,

0,0

1338

0893

0589

0385

0249

0160

0101

0064

0040

0024

5,

0,0

1487

0897

0536

0317

0186

0108

0062

0035

0020

0011

    Значения F0(x)                                                                                                        Таблица П.2

S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,

5000

5040

5080

5120

5160

5199

5239

5279

5319

5359

0,1

0,

5398

5438

5478

5517

5557

5596

5636

5675

5714

5753

0,2

0,

5793

5832

5871

5910

5948

5987

6026

6064

6103

6141

0,3

0,

6179

6217

6255

6293

6331

6368

6406

6443

6480

6517

0.4

0,

6554

6591

6628

6664

6700

6736

6772

6808

6844

6879

0,5

0,

6915

6950

6985

7019

7054

7088

7123

7157

7190

7224

0,6

0,

7257

7291

7324

7357

7389

7422

7454

7486

7517

7549

0,7

0,

7580

7611

7642

7673

7704

7734

7764

7794

7823

7852

0,8

0,

7881

7910

7939

7967

7995

8023

8051

8078

8106

8133

0,9

0,

8159

8186

8212

8238

8264

8289

8315

|8340

8365

8389

1,0

0,

8413

8438

8461

8485

8508

8531

8554

8577

8599

8621

1,1

0,

8643

8665

8686

8708

8729

8749

8770

8790

8810

8830

1,2

0,

8849

8869

8888

8907

8925

8944

8962

8980

8997

9015

1,3

0,9

0320

0490

0658

0824

0986

1140

1308

4466

1621

1774

1,4

0,9

1924

2073

2220

2364