3921

Дослідження критеріїв прийняття рішення при вирішенні двухальтернативної задачі

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Дослідження критерії прийняття рішення при вирішенні двухальтернативної задачі Мета роботи: дослідити критерій максимума правдоподібності, максимума апостеріорної ймовірності, критерій Котельнікова та критерій Неймана-Пірсона ХІД ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНО...

Украинкский

2012-11-10

206 KB

11 чел.

Дослідження критерії прийняття рішення при вирішенні двухальтернативної задачі

Мета роботи: дослідити критерій максимума правдоподібності, максимума апостеріорної ймовірності, критерій Котельнікова та критерій Неймана-Пірсона

ХІД ВИКОНАННЯ ПРАКТИЧНОЇ РОБОТИ:

№ п/п

Параметри флуктуаційної завади з

нормальним закон розподілу

Апріорні дані відсутності та наявності інформаційного сигналу

Тип інформаційного сигналу

12

0

6,5

0,1

0,9

Відеоімпульс

Ідентифікація сигналу

Завдання ідентифікації, як відзначалося, полягає в тому, щоб у результаті обробки прийнятого сигналу  встановити,  чи міститься в ньому корисний чи сигнал ні.

Нехай прийнятий сигнал є сумою корисного сигналу й завади

.

Інформаційний сигнал може приймати два значення:  і  з апріорними відповідно ймовірностями  й . Тому що сигнал  напевно має одне із цих двох значень, те справедливе співвідношення

Таким чином, можливі дві взаємно виключають (альтернативні) гіпотези: у прийнятому сигналі міститься корисний сигнал (гіпотеза ) і відсутній корисний сигнал (гіпотеза ). Вирішальний пристрій приймача за даними вибірки повинне встановити, яка із цих гіпотез є правдоподібною.

У геометричній інтерпретації поставлене завдання може бути сформульована в такий спосіб. Простір прийнятих сигналів V умовно розбивається на дві частини: область  відповідному прийняттю гіпотези  про те, що  й область  відповідному прийняттю гіпотези  про те, що .

Це значить, що якщо вектор прийнятого сигналу виявиться в межах області  те приймається гіпотеза . Якщо ж вектор сигналу  виявиться в області , то приймається гіпотеза .

У цих умовах можуть мати місце два значення апостеріорної ймовірності : — умовна ймовірність наявності корисного сигналу X при даному значенні вибірки , умовна ймовірність відсутності X при даному значенні вибірки .

Аналогічно можна розглядати два значення функції правдоподібності :  умовна щільність імовірності вибірки  при наявності корисного сигналу ; умовна щільність імовірності вибірки  при відсутності .

Відношення функцій правдоподібності

прийнято називати відношенням правдоподібності.

Для вибору гіпотези  або  повинне бути взяте за основи певне правило прийняття рішень.

Вибір правила прийняття рішення в математичному відношенні зводиться до оптимальної розбивки простору прийнятих сигналів V на області  й .

Для того щоб вибрати те або інше правило прийняття рішення,   необхідно керуватися певними критеріями.

Критерій максимуму правдоподібності. Цей критерій формулюється в такий спосіб: найбільше правдоподібно те значення параметра X, для якого функція правдоподібності  максимальна.

Відповідно до цього критерію у випадку двухальтернативної ситуації (виявлення сигналу) має два значення функції правдоподібності   й  і приймається та гіпотеза, який відповідає більше значення функції правдоподібності. Якщо, наприклад,  то приймається гіпотеза . Якщо ж , то приймається гіпотеза .

Цей критерій можна записати в наступному вигляді через відношення правдоподібності:

     якщо , то   

при , то

Таким чином, відповідно до даного критерію методика прийняття рішення зводиться до наступного: обчислюються функції правдоподібності  й , визначається відношення правдоподібності , і залежно від того, більше, дорівнює або менше  одиниці приймається відповідна гіпотеза.

Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. За цим критерієм при отриманому значенні вибірки  приймається та гіпотеза, при якій апостеріорна ймовірність максимальна.

Для випадку двухальтернативної ситуації маються два значення апостеріорної ймовірності  й . Звичайно розглядається відношення цих величин і правило прийняття рішення записується у вигляді:

якщо , то  

якщо , то

Використовуючи формулу Байеса, виразимо відношення апостеріорних ймовірностей через відношення функцій правдоподібності

Тоді критерій максимуму апостеріорної ймовірності може бути в такий спосіб виражений через відношення правдоподібності:

якщо     , то   

якщо     , то

Співвідношення можна представити у вигляді:

якщо     , то   

якщо     , то

де  - граничне значення відносини правдоподібності.

Таким чином, процедура прийняття рішення відповідно до критерію максимуму апостеріорної ймовірності така ж, як і відповідно до критерію максимуму правдоподібності. Відмінність полягає лише в тому, що в першому випадку відношення правдоподібності порівняється з одиницею, а в другому з відношенням апріорних ймовірностей  При наявності апріорних даних  і  доцільно застосовувати критерій максимуму апостеріорної ймовірності, тому що при цьому є можливість користуватися додатковою інформацією, що дозволяє точніше вирішити завдання ідентифікації сигналу.

Критерій ідеального спостерігача (критерій Котельникова). Відповідно до даного критерію приймається та гіпотеза, при якій забезпечується мінімум загальної помилки прийняття рішення.

При рішенні завдання ідентифікації сигналу можуть мати місце помилки двох пологів:

1) при відсутності корисного інформаційного сигналу вектор прийнятого сигналу  виявляється в області  й приймається відповідно до цього гіпотеза ,

2) при наявності корисного сигналу вектор  виявляється в області  й приймається гіпотеза . Перша помилка називається помилкою першого роду, або «фіктивною тривогою». Друга помилка називається помилкою другого роду, або «пропуском сигналу». Кількісно помилки першого й другого роду оцінюються умовними ймовірностями  й  помилковими рішеннями про наявність корисного сигналу, коли в дійсності він відсутній, і про відсутність сигналу, коли в дійсності він є

Загальна безумовна ймовірність помилкового рішення визначається вираженням

Отже, умова оптимального рішення за критерієм ідеального спостерігача має вигляд

.

Цей критерій можна записати в наступному вигляді через відношення правдоподібності:

якщо     , то   

якщо     , то

Критерій Неймана—Пірсона. Даний критерій заснований на тім, що помилки першого й другого роду не однаково небезпечні, причому помилка першого роду приводить до таких наслідків, що її ймовірність необхідно обмежити деякою дуже малою величиною. Другу помилку бажано при цьому забезпечити мінімальної.

Виходячи із цього, критерій Неймана-Пірсона можна сформулювати в такий спосіб: найкращим рішенням є таке, при якому забезпечується найменша ймовірність помилки другого роду при заданій припустимій імовірності помилки першого роду.

Отже, відповідно до критерію Неймана-Пірсона повинне бути забезпечене

при      

де  - наперед задана величина.

Отже, правило прийняття рішення відповідно до критерію Неймана-Пірсона може бути записане у вигляді:

якщо     ,то   

якщо     ,то

Формування випадкового процесу

Вимірювання параметрів випадкового процесу

Побудова функції розподілу й функції розподілу випадкового процеса

(гауссів шум)

Побудова гістрограмы розподілу випадкового процесу

(гауссів білий шум)

Cпектр випадкового процесу (гаусів білий шум)

Формування корисного информаційного cигналу

 

Побудова спектра адитивної суміші. (відеоімпульс)

Ідентифікація отриманого повідомлення й знаходження ймовірності правильного прийняття  рішення на основі отриманих розподілів

(розподілених за нормальним законом)

Ідентифікація відеоімпульсу

W1w,W0w - умовні щільності ймовірності появи  радіосигналу й шуму

P1,P0 - апріорні ймовірності появи  радіосигналу й шуму

P1w,P0w - апостеріорні ймовірності появи  радіосигналу й шуму

Висновок:

В даній лабораторній роботі ми дослідили критерії прийняття рішення при вирішенні

двухальтернативної задачі та ознайомилися із критеріями максимума правдоподібності, максимума апостеріорної ймовірності, критерієм Котельнікова та критерієм Неймана-Пірсона.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61621. А.С. Пушкин «Сказка о рыбаке и рыбке» 13.15 KB
  Цель: чтение и анализ произведения Задачи: 1 развивать навык правильного сознательного чтения 2 мотивировать на понимание текста а не на механическое чтение 3 учить выделять тему и идею произведения сравнивать образы героев находить символические явления и предметы...
61622. Н. Рыленков «К родине» 20.92 KB
  Цель: формировать навыки словесного рисования; развивать внимание к образным средствам языка; учить умению выражать свои чувства по отношению к прочитанному.
61623. РАБОТА С «КАРТИННОЙ ГАЛЕРИЕЙ». АНДРЕЙ РУБЛЕВ «ТРОИЦА» 18.89 KB
  Цель: развивать умение работать в картиной; обогащать словарный запас детей; воспитывать любовь к литературе и искусству, чувство патриотизма. Оборудование: слайд картины, А. Рублева «Троица», диапроектор
61626. ВЫЧИТАНИЕ С ЗАНИМАНИЕМ ЕДИНИЦЫ ЧЕРЕЗ НЕСКОЛЬКО РАЗРЯДОВ ВИДА 30007-648 42.65 KB
  Складываем сотни 8 пишем под сотнями складываем единицы тысяч 2 пишем под единицами тысяч Что общего заметили у остальных выражений в уменьшаемом отсутствуют единицы некоторых разрядов.
61627. Уравнения. Учимся решать уравнения 25.62 KB
  Этапы урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Теоретическое обоснование Молодцы А теперь посмотрим на эту таблицу: d 5 4 3 2 1 D5 11D Ребята объясните как изменятся сумма при изменении одного из слагаемых.
61628. Рисуем и измеряем. Продолжаем знакомство 31 KB
  Найдите там задание обозначенное галочкой. Физминутка А теперь берём наши книжки и открываем страницу 46 смотрим на первое задание. На доске буду вывешены фигуры которые нарисованы в книжке эти же фигурки будут у каждого ребёнка на парте...