39347

Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем и последовательным корректирующим устройством

Книга

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Составление функциональной схемы замкнутой САУ Рис. Обобщенная функциональная схема САУ работающей по отклонению. Принцип управления по отклонению используется в замкнутых САУ и реализуется с помощью отрицательной обратной связи по регулируемой величине. Обобщенная функциональная схема САУ работающего по отклонению представлена на следующем рисунке: На этом рисунке: З – задатчик; P – регулятор; О – объект управления; элемент сравнения сумматор; задание; регулируемая величина; отклонение или ошибка управления; управляющее...

Русский

2013-10-03

3.29 MB

5 чел.

Курсовое проектирование

по дисциплине «теория автоматического управления»

Структура курсовой работы

  •  Курсовая структура должна иметь следующую структуру:
  •  Титульный лист
  •  Содержание.
  •  Задание к курсовой работе по курсу “Теория автоматического управления”.
  •  Исходные данные к работе. Вариант №_.
  •  Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем и последовательным корректирующим устройством.
  •  Проектирование астатического регулятора.
  •  Список используемых источников.


Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем

и последовательным корректирующим устройством

1. Составление функциональной схемы замкнутой САУ

Рис. . Функциональная схема объекта управления.

1.1. Составим функциональную схему объекта управления, подсоединив якорную обмотку двигателя постоянного тока к выходу силового преобразователя (усилителя с весьма мощным выходом), установив тахогенератор на вал двигателя и соединив этот вал с рабочей машиной. Полученная функциональная схема представлена на следующем рисунке:

На этом рисунке:

СП – силовой преобразователь;

РМ – рабочая машина (технологический агрегат);

М – двигатель постоянного тока;

BR – тахогенератор;

- входное напряжение силового преобразователя;

- выходная электродвижущая сила (ЭДС) силового преобразователя;

- ток якоря двигателя;

- угловая скорость вращения двигателя;

- момент статического сопротивления, создаваемый рабочей машиной;

- напряжение питания обмотки независимого возбуждения;

- ЭДС тахогенератора.

1.2. Поскольку функциональная схема объекта управления включает в себя датчик скорости вращения двигателя – тахогенератор, ЭДС которого -  - прямо пропорциональна скорости вращения двигателя , управление скоростью вращения сводится к управлению ЭДС тахогенератора .

Рис. . Обобщенная функциональная схема САУ, работающей по отклонению.

1.3. Принцип управления по отклонению используется в замкнутых САУ и реализуется с помощью отрицательной обратной связи по регулируемой величине. Обобщенная функциональная схема САУ, работающего по отклонению, представлена на следующем рисунке:

На этом рисунке:

З – задатчик;

P – регулятор;

О – объект управления;

- элемент сравнения (сумматор);

- задание;

- регулируемая величина;

- отклонение или ошибка управления;

- управляющее воздействие.

1.4. Для составления функциональной схемы замкнутой САУ, стабилизирующей скорость вращения электродвигателя, достаточно охватить объект управления (п.  1.1.) отрицательной обратной связью по ЭДС тахогенератора . Поскольку сигнал обратной связи САУ оказывается представлен ЭДС , в качестве эталонного сигнала (задания) САУ целесообразно использовать электрическое напряжение .

Необходимые статические характеристики САУ обеспечиваем включением в прямой канал управления промежуточного усилителя, формирующего нужный коэффициент усиления разомкнутой системы.

Необходимые динамические характеристики САУ обеспечиваем включением в прямой канал управления последовательного корректирующего устройства.

Сравнение эталонного сигнала САУ  с сигналом обратной связи  выполняем, вычисляя их алгебраическую разность по соотношению:

где  - ошибка управления (статизм) эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора .

Это соотношение легко реализовать практически, использовав последовательное и встречное включение выходов задатчика (источника эталонного сигнала) на вход промежуточного усилителя.

Функциональная схема САУ, полученная соединением объекта управления, промежуточного усилителя, последовательного корректирующего устройства и источника эталонного сигнала в соответствии с обобщенной функциональной схемой САУ имеет вид:


Рис. . Функциональная схема САУ.


На этом рисунке:

З – задатчик, источник эталонного сигнала;

УП – промежуточный усилитель;

КУ – последовательное корректирующее устройство;

- выходное напряжение промежуточного усилителя.

Рис. . Схема фильтра тахогенератора.

1.5. Учтем требования задания об обеспечении фильтрации выходного сигнала тахогенератора с помощью пассивного интегрирующего RC-фильтра. Принципиальная схема такого фильтра имеет вид:

Легко видеть, что включение такого фильтра непосредственно на зажимы тахогенератора приводит к нарушению безинерционного характера отрицательной обратной связи в САУ. Между тем существующая методика синтеза последовательного корректирующего устройства справедлива лишь для САУ с именно безинерционной обратной связью. Поэтому следует выбрать такое место включения фильтра в САУ, чтобы одновременно не нарушить безинерционного характера обратной связи и осуществить фильтрацию сигнала тахогенератора.

Указанные условия выполняются, если включить RC-фильтр на вход промежуточного усилителя в прямой канал управления. При этом следует иметь в виду, что входное сопротивление промежуточного усилителя, подключенное к выходу фильтра или должно быть практически бесконечным, или должно учитываться при определении коэффициента передачи и постоянной времени фильтра.

Окончательная функциональная схема имеет вид:


Рис. . Окончательная функциональная схема САУ.


На этом рисунке:

- входное напряжение промежуточного усилителя.

2. Составление математического описания замкнутой нескорректированной САУ.

2.1. В соответствии с заданием и материалом п.  1.5. примем следующие допущения:

2.1.1. Входные сопротивления силового преобразователя и промежуточного усилителя бесконечны;

2.1.2. Выходное сопротивление силового преобразователя равно нулю.

2.1.3. Активное сопротивление и индуктивность якорной цепи тахогенератора равны нулю.

2.1.4. Силовой преобразователь и тахогенератор могут рассматриваться как линейные динамические звенья.

2.1.5. Последовательное корректирующее устройство не установлено, то есть:

(  )

2.2. Запишем уравнения всех устройств, входящих в состав САУ, используя в необходимых случаях соответствующие схемы замещения.

2.2.1. Уравнение якорной цепи электродвигателя записывается по электрической схеме замещения, которая имеет вид:

Рис. . Схема замещения якорной цепи.

Используя второй закон Кирхгофа для этой схемы, получаем:

(  )

где  - ЭДС, наводимая при вращении в якорной обмотке двигателя (противоЭДС).

2.2.2. ПротивоЭДС двигателя постоянного тока прямо пропорциональна скорости вращения двигателя и определяется уравнением:

(  )

2.2.3. В соответствии с заданием уравнение силового преобразователя, связывающее ЭДС преобразователя с его входным напряжением, имеет вид:

(  )

Рис. . Механическавя схема замещения САУ.

2.2.4. Уравнение механической части САУ, связывающее вращающий момент двигателя , момент статической нагрузки, приведенный к валу двигателя, и угловую скорость вращения двигателя, записывается по механической схеме замещения САУ, имеющей вид:

На основании основного закона динамики вращательного движения имеем:

(  )

2.2.5. Вращающий момент двигателя постоянного тока прямо пропорционален току якоря и подчиняется уравнению:

(  )

2.2.6. Уравнение фильтра записывается непосредственно по функциональной схеме САУ на основании второго закона Кирхгофа с учетом допущений п.  2.1. и имеет вид:

(  )

2.2.7. В соответствии с заданием ЭДС тахогенератора прямо пропорциональна скорости вращения двигателя и подчиняется уравнению:

(  )

2.2.8. В соответствии с заданием уравнение промежуточного усилителя, связывающее его входное и выходное напряжения, имеет вид:

(  )

где  - коэффициент усиления промежуточного усилителя.

2.3. Поскольку все элементы САУ совместно участвуют в работе этой системы, все представленные уравнения также должны рассматриваться совместно, то есть образовывать единую систему алгебраических и дифференциальных уравнений. При записи этой системы удобно ввести постоянную времени якорной цепи электродвигателя , определяемую соотношением:

и постоянную времени фильтра , определяемую соотношением:

Учитывая эти постоянные, получаем математическое описание замкнутой нескорректированной САУ в классической форме записи в следующем виде:

2.4. Представим математическое описание замкнутой нескорректированной САУ в операторной форме записи относительно изображений переменных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Как следует из теорем линейности и о дифференцировании оригинала преобразования Лапласа, для этого достаточно выполнить формальную замену всех переменных предыдущей системы их изображением по Лапласу, а символ дифференцирования по времени , рассматриваемый как сомножитель, заменить комплексной переменной . После такой замены получаем:

где  - изображение ошибки управления  эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора;

- изображение эталонного напряжения ;

- изображение ЭДС тахогенератора ;

- изображение входного напряжения силового преобразователя ;

- изображение входного напряжения промежуточного усилителя ;

- изображение выходного напряжения промежуточного усилителя ;

- изображение тока якоря ;

- изображение противоЭДС преобразователя ;

- изображение противоЭДС двигателя ;

- изображение угловой скорости двигателя ;

- изображение вращающего момента двигателя ;

- изображение момента статической нагрузки .

3. Представление математического описания замкнутой нескорректированной САУ в виде структурной схемы.

3.1. Разрешим каждое из уравнений предыдущей системы относительно одного из напряжений таким образом, чтобы каждое из изображений внутренних переменных системы оказалось однократно выраженным через другие изображения. В результате такого преобразования система принимает вид:

3.2. Изобразим графически каждое из уравнений предыдущей системы, используя понятия динамического и суммирующего звеньев, а также передаточной функции динамического звена.

Рис. . Графическое представление системы дифференциальных уравнений нескорректированной САУ.

3.3. Соединим отдельные динамические звенья САУ с предыдущего рисунка в единую структурную схему замкнутой нескорректированной САУ. Это соединение соответствует объединению отдельных уравнений устройств, составляющих САУ, в единую систему уравнений. Полученная структурная схема имеет следующий вид:


Рис. . Полная структурная схема нескорректированной САУ.


4. Определение передаточных функций нескорректированной САУ.

4.1. Преобразуем структурную схему замкнутой нескорректированной САУ к виду, удобному для определения передаточных функций, применяя правила эквивалентного преобразования структурных схем.

4.1.1. Для этого сначала перенесем суммирующее звено  этой схемы влево против направления распространения сигнала через динамические звенья с передаточными функциями , , , , 1,  и суммирующие звенья  и . Исходная структурная схема при этом принимает вид:


Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с перенесенным суммирующим элементом 3.


4.1.2. Заменим несколько последовательно включенных звеньев в цепи сигнала  эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

4.1.3. Заменим внутренний контур с отрицательной обратной связью через сумматор , имеющийся в предыдущей структурной схеме, эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

Введем электромеханическую постоянную времени САУ  следующим образом:

Преобразуем  с учетом :

С учетом  и  предыдущая структурная схема принимает вид:


Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с учетом передаточных функций  и .


4.1.4. Перенесем точку съема выходного сигнала  на предыдущей структурной схеме по направлению распространения сигнала через звено с передаточной функцией . Структурная схема при этом принимает следующий вид:


Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с учетом передаточных функций  и .


4.1.5. Заменим несколько последовательно включенных динамических звеньев в замкнутом контуре предыдущей структурной схемы эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с эквивалентным динамическим звеном .

Структурная схема при этом принимает следующий вид:

4.1.6. Последняя структурная схема сводится к единственному динамическому звену с передаточной функцией , если предположить, что в данной схеме:

Момент статической нагрузки .

Главная обратная связь разомкнута на входе элемента сравнения .

Выходным сигналом системы является ЭДС тахогенератора .

В этих условиях передаточная функция  оказывается передаточной функцией разомкнутой нескорректированной системы для эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора.

4.1.7. Представим передаточную функцию  в других формах записи:

где ;

;

- коэффициент усиления разомкнутой системы.

4.1.8. Заменим замкнутый контур с отрицательной обратной связью через сумматор , имеющийся в предыдущей структурной схеме, эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

Рис. . Окончательная структурная схема нескорректированной САУ.

Структурная схема САУ при этом принимает следующий окончательный вид:

4.1.9. По последней структурной схеме легко записать передаточную функцию САУ по управлению , если принять , и возмущению , если принять . Соответствующие соотношения имеют вид:

Обозначим как  знаменатель переходных функций  и :

5. Приведение передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы к виду, удобному для построения логарифмических частотных характеристик.

5.1. Рассмотрим возможные формы представления квадратного трехчлена .

5.1. Разложим сначала этот трехчлен на множители, используя основную теорему алгебры:

где ,  - корни квадратного уравнения  или равносильного ему уравнения:

Очевидно, что:

5.1.2. Вспомним, что по теореме Виета для корней последнего приведенного уравнения имеет место равенство:

или

5.1.3. Выполним дальнейшие преобразования , учитывая последнее равенство:

где: ;

.

5.1.4. Очевидно, что величины  и  будут действительными числами, имеющими смысл постоянных времени, если корни уравнения  - величины  и  - также действительные числа. Это возможно, если справедливо соотношение:

5.1.5. В случае, если последнее неравенство не выполняется, будем представлять квадратный трехчлен  в следующем виде:

где  - постоянная времени;

- коэффициент демпфрирования.

Непосредственно сравнивая правую и левую части равенства:

получаем:

5.2. Представим передаточную функцию разомкнутой системы  в виде произведения передаточных функций элементарных динамических звеньев. В качестве сомножителей будем использовать следующие передаточные функции:

В случае, если , используем представление:

В случае, если , используется представление:

6. Характеристическим многочленом САУ является знаменатель передаточной функции замкнутой САУ по управлению  или по возмущению , представленный в виде многочлена от . Для приведения знаменателя  к форме многочлена достаточно выполнить умножение в правой части соотношения, определяющего этот знаменатель:

6.2. Примем для характеристического многочлена следующую стандартную форму записи:

6.3. Сравнивая эту форму записи с предыдущим соотношением, получаем выражения для всех коэффициентов характеристического многочлена:

7. Расчет основных постоянных времени.

7.1. Постоянная времени якорной цепи электродвигателя:

7.2. Электромеханическая постоянная времени САУ:

7.3. Определим соотношение между  и , вычислив:

Сравнение показывает, что имеет место случай:

7.4. Для случая  вычислим постоянные времени  и :

Для случая  вычислим постоянную времени  и коэффициент демпфирования :

8. Определение необходимого коэффициента усиления промежуточного усилителя.

8.1. Определим изображение скорости двигателя  в общем виде, используя понятия передаточных функций замкнутой некомпенсированной САУ по управлению и возмущению:

8.2. Будем рассматривать работу САУ в условиях действия известных и постоянных по величине эталонного напряжения  и момента статической нагрузки . В этих условиях изображения  и  имеют вид:

а переходный процесс в системе описывается операторным уравнением:

8.3. Предполагая, что с течением времени в САУ достигается установившийся режим, определим из последнего соотношения уравнение статической характеристики САУ, используя теорему о предельных значениях преобразования Лапласа:

где  - установившееся значение скорости .

Рис. . Статическая характеристика САУ.

График статической характеристики САУ  при  имеет вид:

8.4. Отметим на этом графике минимальное  и максимальное  значения момента статической нагрузки, фигурирующие в исходных данных, и соответствующие этим моментам уровни скорости  и . Определим эти уровни из уравнения статической характеристики, получив в нем сначала , а затем :

8.5. Вычитая второе из полученных равенств из первого, найдем изменение установившегося уровня скорости двигателя  при увеличении момента статической нагрузки с  до :

8.6. Выразим величину  в процентах к скорости , соответствующей минимальному значению момента статической нагрузки :

8.7. В соответствии с требованиями к САУ необходимо, чтобы при любом фиксированном значении эталонного напряжения  относительное изменение установившегося уровня скорости двигателя при увеличении момента статической нагрузки с с  до  не превышало максимально допустимого значения , то есть должно выполняться соотношение:

8.8. Разрешим предыдущее неравенство относительно коэффициента усиления разомкнутой системы :

8.9. Учтем, что

откуда:

Подставляя в это соотношение  из последнего неравенства, получаем:

8.10. Последнее соотношение показывает, что требуемое значение коэффициента усиления промежуточного усилителя  тем больше, чем меньше уровень скорости . Наибольшее значение  требуется при стабилизации минимального уровня скорости . Поэтому в окончательном представлении для коэффициента  следует положить:

Кроме того, в окончательное выражение следует ввести коэффициент запаса, равный 1,35…1,4, учитывающий возможность снижения коэффициента передачи силового преобразователя, входящего сомножителем в , а также возможность отклонения реального значения  от расчетного из-за разброса параметров элементов.

Учитывая изложенное, получаем следующее расчетное соотношение:

Подставляя в него численные значения, получаем:

Принимаем далее, что:

9. Расчет величин эталонного сигнала, необходимых для обеспечения в замкнутой САУ минимального и максимального стабилизируемых уровней угловой скорости.

9.1. Разрешим уравнение статической характеристики САУ относительно эталонного напряжения :

9.2. Определим по последнему соотношению величины эталонного напряжения  для следующих случаев:

, ;

, ;

, ;

, ;

Расчет для случая  выполним подробно в качестве примера, а результаты расчета случаев … сведем в таблицу.

Таб. . Эталонное напряжение САУ.

Установившийся уровень скорости, рад/сек

Момент статической нагрузки, Н∙м

10. Проверка устойчивости замкнутой нескорректированной САУ.

10.1. Проверим сначала устойчивость с помощью критерия Гурвица.

10.1.1. Запишем характеристическое уравнение САУ, приравняв нулю его характеристический многочлен:

Очевидно, что определенные ранее коэффициенты характеристического многочлена становятся при этом коэффициентами характеристического уравнения.

10.1.2. Составим из этих коэффициентов матрицу Гурвица, используя следующие правила:

Матрица Гурвица есть квадратная матрица, составленная из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.

Порядок матрицы Гурвица равен порядку характеристического уравнения.

Первая строка матрицы заполняется коэффициентами с нечетными индексами, вторая – с четными.

Последующие пары строк образуются смещением первой пары на 1, 2, … и т. д. Позиций вправо.

Свободные позиции матрицы заполняются нулями.

Для нашего случая матрица Гурвица принимает вид:

0

0

0

10.1.3. В соответствии с критерием Гурвица для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при  все определители Гурвица были положительны. В нашем случае эти условия принимают вид:

или

В случае , , ,  все эти неравенства будут одновременно справедливы, если справедливо неравенство:

которое и является условием устойчивости САУ по Гурвицу.

10.1.4. Для нашего случая:

По Гурвицу замкнутая нескорректированная САУ ___устойчива.

10.2. Проверим далее устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста для логарифмических частотных характеристик.

10.2.1. Рассчитаем и построим сначала логарифмическую шкалу частот, являющуюся осью абсцисс на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ). Здесь вспомним, что логарифмическая шкала частот является, по сути дела, линейной шкалой десятичного логарифма угловой частоты , которая фактически оцифрована значениями этой частоты.

Рис.

Для построения логарифмической шкалы частот мысленно проведем горизонтальную ось , на которую нанесем линейную шкалу для  в соответствии с некоторым масштабом .

В этих условиях любая точка рассматриваемой оси  будет определяться координатой  (в миллиметрах), отсчитываемой от точки, в которой .

Для точки  будет очевидно справедливо соотношение:

(  )

откуда следует, что:

(  )

и

(  )

Здесь  - угловая частота, определяющая точку . Именно этой частотой должна быть фактически оцифрована точка  на логарифмической шкале частот.

Для расчета оцифровки логарифмической шкалы частот удобно преобразовать выражение для  к другому виду, положив, что:

где ;

.

Тогда:

Положив , из последнего выражения получаем:

Определим по этой формуле координаты всех оцифрованных точек логарифмической шкалы частот, представив результаты в виде таблицы.

Пример расчета для частоты  выполним подробно.

, откуда

Координаты оцифрованных точек логарифмической шкалы частот:

0,01

0,02

0,04

0,08

0,1

0,2

0,4

0,8

-100

-84,95

-69,9

-54,85

-50

-44,95

-19,9

-4,85

1

2

4

8

10

20

40

80

0

15,05

30,1

45,15

50

69,05

80,1

95,15

100

200

400

800

1000

2000

4000

8000

100

115,05

130,1

145,15

150

165,05

180,1

195,15

Как видно из таблицы, частоте  соответствует координата .

Это значит, что точка  на шкале частот является точкой начала отсчета координаты .

Поэтому, задавшись на оси точкой , далее оцифровываем шкалу частот по данным таблицы.

10.2.2. Ось ординат плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) может пересекать ось абсцисс в любой точке, поскольку на оси абсцисс принципиально отсутствует точка, соответствующая частоте  ().

Примем для оси ординат следующие масштабы:

для модуля  ;

для угла  ;

и далее построим эту ось на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

Рис. . Плоскость логарифмических частотных характеристик

10.2.3. Для случая  используем представление передаточной функции разомкнутой системы в виде (п.  5.2):

Перейдем к амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, положив в предыдущем выражении :

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой САУ есть произведение амплитудно-фазовых характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

10.2.4. Представим амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой САУ и отдельных динамических звеньев в показательной форме записи:

( )

Здесь:

, , , ,  - соответственно амплитудные частотные характеристики разомкнутой САУ, динамических звеньев с передаточными функциями , , , ;

, , , ,  - соответственно фазовые частотные характеристики разомкнутой системы, динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

Сравнивая правую и левую части последнего равенства, получаем:

(  )

(  )

Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой САУ есть произведение амплитудно-частотных характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

Фазочастотная характеристика разомкнутой САУ есть сумма фазочастотных характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

Последнее утверждение справедливо и по отношению к логарифмическим фазочастотным характеристикам (ЛФЧХ) разомкнутой системы и динамических звеньев с передаточными функциями , , , , так как ЛФЧХ отличаются от фазочастотных характеристик только использованием логарифмической шкалы частот на оси абсцисс вместо линейной.

10.2.5. Прологарифмируем правую и левую части выражения амплитудно-частотной характеристики по основанию 10:

(  )

Умножив обе части этого равенства на 20, перейдем к выражению логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы:

или

(  )

Здесь ;

 ;

 ;

 ;

 

 - соответственно ЛАЧХ разомкнутой системы и ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

ЛАЧХ разомкнутой системы есть сумма ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

10.2.6. Динамическое звено с передаточной функцией  является безынерционным. Для такого звена:

и

Построим график функции  на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

10.2.7. Динамические звенья с передаточными функциями , ,  являются апериодическими.

Для этих звеньев будем строить ЛАЧХ упрощенно, используя так называемые асимптотические ЛАЧХ. Построение таких характеристик на плоскости логарифмических частотных характеристик ведут (для апериодических звеньев с обобщенной передаточной функцией ) по следующим правилам:

Асимптотическая ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, составленную из двух сопряженных друг с другом лучей асимптот.

Левая асимптота горизонтальна и поднята над шкалой частот на уровень .

Правая асимптота наклонена вправо и имеет коэффициент наклона .

Точка сопряжения асимптот характеризуется сопрягающей частотой .

Очевидно, что для всех апериодических звеньев нашего случая , то есть левая асимптота ЛАЧХ совпадает со шкалой частот.

Сопрягающие частоты асимптотических ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , ,  определяются следующим образом:

Положение точек ,  и  на логарифмической шкале частот относительно точки  определим по соотношению, полученному в п.  10.2.1.:

Наклон  для главных асимптот зададим специальным опорным отрезком AB с этим наклоном, построенным в левой части плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

Используя полученные расчетные данные и опорный отрезок, построим на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) асимптотические ЛАЧХ звеньев с передаточными функциями , ,  - ,  и  соответственно.

10.2.8. Заменим ЛАЧХ апериодических звеньев в общем выражении ЛАЧХ разомкнутой системы (п.  10.2.5) асимптотическими ЛАЧХ этих звеньев.

Тогда получим:

Построим на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) ЛАЧХ разомкнутой системы, графически складывая характеристики , , , .

10.2.9. Фазочастотная характеристика апериодического звена с обобщенной передаточной функцией  имеет вид:

Для звеньев с передаточными функциями , ,  эта зависимость принимает вид:

10.2.10. Фазочастотная характеристика разомкнутой САУ тогда принимает вид:

Положив в последнем выражении , получаем:

Проводим далее расчет ЛФЧХ для всех оцифрованных точек логарифмической шкалы частот, занося частоту и результат в следующую таблицу.

По данным этой таблицы строим график ЛФЧХ на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

В случае  п.  10.2.3 …  10.2.9 выполняются аналогично с учетом принятого представления .

Дополнительно вводится пункт, аналогичный  10.2.7, посвященный построению асимптотической ЛАЧХ звена .

При расчете фазочастотных характеристик звена  и разомкнутой системы иметь в виду, что для колебательного звена с обобщенной передаточной функцией  ФЧХ определяется соотношением:

10.2.11. Найдем графически и отметим на ПЛЧХ точки логарифмической шкалы частот  и , соответствующие решению уравнений:

Первая из этих точек изображает частоту среза разомкнутой нескорректированной системы, а вторая – частоту, на которой входной и выходной установившиеся синусоидальные сигналы в разомкнутой системе находятся в противофазе.

10.2.12. Используя критерий Найквиста для логарифмических частотных характеристик, видим, что замкнутая САУ устойчива/неустойчива по Найквисту, так как при монотонном характере :

10.2.13. В устойчивой САУ запасы устойчивости по модулю  и фазе  определяются соответственно соотношениями:

Рис. . Определение запасов устойчивости по ПЛЧХ.

Определяя эти запасы через длины отрезков CD и EF на ПЛЧХ, получаем:

В случае, если частота  оказывается близкой к частоте , , , , следует уточнить положение ЛАЧХ в окрестности частоты , используя поправки к асимптотическим ЛАЧХ или расчет ЛАЧХ по точным формулам.

10.3. Проверим решение задачи устойчивости путем моделирования замкнутой нескорректированной САУ на ПЭВМ с помощью комплекса МИК-АЛ.

10.3.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п.  3.3, в которой положим  и , чтобы рассчитать переходную характеристику САУ по управлению. МИК - структурная схема для моделирования в этом случае принимает вид:

Рис. . МИК - структурная схема САУ.

Здесь:

10.3.2. Примем шаг интегрирования  по методу Рунге-Кутта 4 порядка в соответствии с неравенством:

где  - наименьшая постоянная времени из  и . В нашем случае:

поэтому:

Принимаем шаг интегрирования:

Рис. . Переходная характеристика замкнутой нескорректированной САУ.

10.3.3. Используя графический редактор комплекса МИК-АЛ, получаем следующий текст математической модели:

РАСПЕЧАТКА ТЕКСТА

10.3.4. Результаты расчета переходной характеристики замкнутой нескомпенсированной САУ имеют вид (приводится распечатка с ПЭВМ):

10.4. Анализ устойчивости замкнутой нескорректированной САУ, выполненный разными методами (п.  10.1,  10.2,  10.3) дал одинаковый результат: система __устойчива.

10.5. В устойчивой САУ определяем по графику переходной характеристики перерегулирование  и время перерегулирования  в замкнутой нескорректированной САУ по управлению.

10.5.1. Рассчитываем установившийся уровень скорости  для переходной характеристики по уравнению статической характеристики (п.  8.3), получив в нем , :

10.5.2. Наложим на координатную систему , принятую на графике переходной характеристики, другую систему координат , так чтобы ось  геометрически совпадала с осью , а ось  - с осью .

Будем отсчитывать абсциссы  и ординаты  графика переходной характеристики в системе  в миллиметрах.

10.5.3. Отметим на графике переходной характеристики точки K и L – две удаленные друг от друга оцифрованные точки на оси абсцисс. Пусть  и  - абсциссы этих точек, отсчитанные по оси , а  и  - оцифровка этих точек по оси времени.

Точная длина отрезка KL и его временной эквивалент  определяется соотношениями:

а соотношение между осями  и  определит масштаб времени:

10.5.4. Отметим на графике переходной характеристики точки G и Q – две удаленные друг от друга оцифрованные точки оси ординат. Пусть  и  - ординаты этих точек, отсчитанные по оси , а  и  - оцифровка этих точек на оси скорости .

Тогда длина отрезка GQ и его эквивалент по скорости  определятся соотношениями:

а соответствие между осями  и  определит масштаб скорости:

10.5.5. Нанесем на график переходной характеристики горизонтали, соответствующие уровням скорости , , , рассчитав ординаты этих горизонталей в системе координат  следующим образом:

10.5.6. Определим по графику переходной характеристики ординату , соответствующую первому максимуму  скорости:

Тогда перерегулирование в замкнутой нескорректированной САУ определяется следующим выражением:

10.5.7. Определим на графике переходной характеристике точку M, правее которой переходная характеристика не удаляется от своего установившегося значения далее чем на , то есть находится между горизонталями  и .

Очевидно, что ордината этой точки, отсчитанная по оси времени , есть время регулирования .

Для вычисления  по графику достаточно измерить абсциссу точки M - , отсчитанную по оси :

и пересчитать ее в  по соотношению:

10.5.8. Сопоставим найденные значения  и  с требованиями задания:

Сравнение показывает, что замкнутая нескорректированная САУ ? удовлетворяет требованиям задания по динамике. Системе ? требуется коррекция.

11. Синтез последовательного корректирующего устройства.

11.1. Повторим на новом рисунке логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы .

11.2. Построим на этом же рисунке желаемую асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной системы .

Рис. . Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы.

11.2.1. Подбираем параметры  и , характеризующие типовую желаемую вещественную частотную характеристику (ВЧХ) скорректированной замкнутой САУ по управлению таким образом, чтобы выполнялось соотношение:

где  - величина перерегулирования в замкнутой скорректированной САУ, обусловленная максимумом типовой ВЧХ , определяемая по графику  [см. литературу].

Подбор  дает:

11.2.2. Определяем частоту положительности ВЧХ , используя график  [см. литературу].

Для :

Здесь  коэффициент, определяемый графиком.

Отсюда:

11.2.3. Выбираем частоту среза  желаемой асимптотической ЛАЧХ  по соотношению:

Принимаем:

11.2.4. Поставим на логарифмической шкале частот ПЛЧХ точку  и проведем через нее среднечастотную асимптоту  с наклоном .

Положение точки  на ЛШЧ относительно точки  определим по соотношению, полученному в п.  10.2.1:

11.2.5. Определяем требуемые запасы по модулю и фазе, которым должна удовлетворять желаемая асимптотическая ЛАЧХ  по графикам [ ] в зависимости от заданной величины :

11.2.6. Принимаем за низкочастотную асимптоту  низкочастотную асимптоту ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной САУ .

11.2.7. Принимаем за высокочастотную часть  высокочастотную часть ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной САУ .

Допускается построить высокочастотную часть  параллельным переносом высокочастотной части  по вертикали.

11.2.8. Сопрягаем низко- и высокочастотные части  со среднечастотной асимптотой отрезками прямых с наклоном  или .

Желаемая ЛАЧХ  должна располагаться целиком не выше ЛАЧХ . Если же это условие невыполнимо, следует соответственно увеличить коэффициент усиления промежуточного усилителя  и повторно провести расчеты эталонного напряжения (п.  9.2.).

При сопряжении определяем фактические величины запасов по модулю  и  в правой и левой точках сопряжения среднечастотного участка соответственно.

В нашем случае эти запасы измеряются отрезками  и  на ПЛЧХ:

Требуемые запасы по модулю обеспечиваются, так как:

и

11.2.9. Обозначим сопрягающие частоты полученной асимптотической ЛАЧХ  как , ,   и поставим на ЛШЧ соответствующие точки.

Определим координаты этих точек ,   непосредственным измерением на ЛШЧ.

Для нашего случая имеем:

Рассчитаем численные величины сопрягающих частот ,  , используя соотношения, полученные в п.  10.2.1:

Для нашего случая имеем:

11.2.10. Введем в рассмотрение индекс излома  асимптотической ЛАЧХ на сопрягающей частоте  следующим соотношением:

Здесь ,  - наклон соответственно правой и левой асимптот, сопрягаемых друг с другом при частоте .

Тогда передаточная функция разомкнутой скорректированной системы, построенная по асимптотической ЛАЧХ  определится соотношением:

где ;

 - номер сопрягающей частоты.

Расчет индексов  и постоянных времени  для всех сопрягающих частот  сведем в таблицу:

Таб. . Постоянные времени и индексы излома .

Используя индексы из таблицы, записываем  в общем виде:

Фазочастотная характеристика разомкнутой скорректированной системы определяется в этом случае выражением:

Положив в последнем выражении , получаем:

Проводим далее расчет ЛФЧХ разомкнутой скорректированной системы  для всех оцифрованных точек ЛШЧ, занося частоту и результат в следующую таблицу:

По данным этой таблицы строим на ПЛЧХ график ЛФЧХ .

11.2.11. Определим на ПЛЧХ требуемый запас по модулю . Он, очевидно, изобразится горизонталью, проведенной параллельно ЛШЧ на уровне:

С учетом масштаба угла эта горизонталь должна быть проведена на уровне:

относительно ЛШЧ.

11.2.12. Проверяем, обеспечивается ли требуемый запас по фазе на среднечастотном участке между точками ЛАЧХ с ординатами  и .

Запас обеспечивается, если ЛФЧХ  не заходит в запретную зону ПЛЧХ.

Если запас по фазе не обеспечивается, расширяют среднечастотный участок, повторно выполняя п.  11.2.8.  11.2.12.

Небольшие отклонения в запасе по фазе можно оставить, если последующий расчет на ПЭВМ дал приемлемые значения  и .

Однако в тексте надо обязательно указать и на это отклонение, и при анализе переходных процессов подчеркнуть, что заданные требования выполнены, несмотря на отклонение в процедуре синтеза.

11.3. Определяем асимптотическую ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая графически из желаемой ЛАЧХ ЛАЧХ разомкнутой системы:

11.4. Введем в рассмотрение индексы излома  асимптотической ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства:

Здесь ,  - наклон соответственно правой и левой асимптот, сопрягающихся друг с другом на частоте .

Тогда передаточная функция последовательного корректирующего звена, построенная по асимптотической ЛАЧХ , определяется соотношением:

где .

Расчет индексов  и постоянных времени  для всех сопрягающих частот  сведен в таблицу:

Таб. . Постоянные времени и индексы излома .

Используя индексы из таблицы, записываем  в виде:

11.5. Дополним структурную схему замкнутой нескорректированной САУ синтезированным корректирующим звеном. Структурная схема замкнутой САУ принимает вид:


Рис. . Полная структурная схема скорректированной САУ.


Приведенная структурная схема справедлива, если выходное сопротивление промежуточного усилителя можно считать равным нулю.

11.6. Проверим решение задачи синтеза путем моделирования замкнутой скорректированной САУ на ПЭВМ с помощью комплекса МИК-АЛ.

11.6.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п.  11.5 (), в которой положим  и , чтобы рассчитать переходную характеристику по управлению.

МИК - структурная схема для моделирования в этом случае строится по методике, аналогичной пунктам  10.3.1  10.5.8 со следующими отличиями:

Вводятся другие обозначения для установившегося уровня скорости , максимального уровня скорости , времени регулирования , перерегулирования .

На графике , полученном при расчете, отмечаются другие точки (вместо K, L, G и Q), вводятся другие оси (вместо Z и Y).

Вычисляются другие масштабы  и .

Повторный расчет , если  не изменяется в результате введения корректирующего устройства, не нужен.

Достаточно просто принять:

При составлении МИК – структурной схемы следует представлять корректирующее звено в виде последовательного соединения нескольких звеньев с передаточными функциями типа:

При определении шага интегрирования минимальная постоянная времени должна выбираться из множества всех постоянных времени, фигурирующих в МИК – структурной схеме, а не только из , , как в нескорректированной САУ.

48