39347

Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем и последовательным корректирующим устройством

Книга

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Составление функциональной схемы замкнутой САУ Рис. Обобщенная функциональная схема САУ работающей по отклонению. Принцип управления по отклонению используется в замкнутых САУ и реализуется с помощью отрицательной обратной связи по регулируемой величине. Обобщенная функциональная схема САУ работающего по отклонению представлена на следующем рисунке: На этом рисунке: З – задатчик; P – регулятор; О – объект управления; элемент сравнения сумматор; задание; регулируемая величина; отклонение или ошибка управления; управляющее...

Русский

2013-10-03

3.29 MB

5 чел.

Курсовое проектирование

по дисциплине «теория автоматического управления»

Структура курсовой работы

  •  Курсовая структура должна иметь следующую структуру:
  •  Титульный лист
  •  Содержание.
  •  Задание к курсовой работе по курсу “Теория автоматического управления”.
  •  Исходные данные к работе. Вариант №_.
  •  Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем и последовательным корректирующим устройством.
  •  Проектирование астатического регулятора.
  •  Список используемых источников.


Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем

и последовательным корректирующим устройством

1. Составление функциональной схемы замкнутой САУ

Рис. . Функциональная схема объекта управления.

1.1. Составим функциональную схему объекта управления, подсоединив якорную обмотку двигателя постоянного тока к выходу силового преобразователя (усилителя с весьма мощным выходом), установив тахогенератор на вал двигателя и соединив этот вал с рабочей машиной. Полученная функциональная схема представлена на следующем рисунке:

На этом рисунке:

СП – силовой преобразователь;

РМ – рабочая машина (технологический агрегат);

М – двигатель постоянного тока;

BR – тахогенератор;

- входное напряжение силового преобразователя;

- выходная электродвижущая сила (ЭДС) силового преобразователя;

- ток якоря двигателя;

- угловая скорость вращения двигателя;

- момент статического сопротивления, создаваемый рабочей машиной;

- напряжение питания обмотки независимого возбуждения;

- ЭДС тахогенератора.

1.2. Поскольку функциональная схема объекта управления включает в себя датчик скорости вращения двигателя – тахогенератор, ЭДС которого -  - прямо пропорциональна скорости вращения двигателя , управление скоростью вращения сводится к управлению ЭДС тахогенератора .

Рис. . Обобщенная функциональная схема САУ, работающей по отклонению.

1.3. Принцип управления по отклонению используется в замкнутых САУ и реализуется с помощью отрицательной обратной связи по регулируемой величине. Обобщенная функциональная схема САУ, работающего по отклонению, представлена на следующем рисунке:

На этом рисунке:

З – задатчик;

P – регулятор;

О – объект управления;

- элемент сравнения (сумматор);

- задание;

- регулируемая величина;

- отклонение или ошибка управления;

- управляющее воздействие.

1.4. Для составления функциональной схемы замкнутой САУ, стабилизирующей скорость вращения электродвигателя, достаточно охватить объект управления (п.  1.1.) отрицательной обратной связью по ЭДС тахогенератора . Поскольку сигнал обратной связи САУ оказывается представлен ЭДС , в качестве эталонного сигнала (задания) САУ целесообразно использовать электрическое напряжение .

Необходимые статические характеристики САУ обеспечиваем включением в прямой канал управления промежуточного усилителя, формирующего нужный коэффициент усиления разомкнутой системы.

Необходимые динамические характеристики САУ обеспечиваем включением в прямой канал управления последовательного корректирующего устройства.

Сравнение эталонного сигнала САУ  с сигналом обратной связи  выполняем, вычисляя их алгебраическую разность по соотношению:

где  - ошибка управления (статизм) эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора .

Это соотношение легко реализовать практически, использовав последовательное и встречное включение выходов задатчика (источника эталонного сигнала) на вход промежуточного усилителя.

Функциональная схема САУ, полученная соединением объекта управления, промежуточного усилителя, последовательного корректирующего устройства и источника эталонного сигнала в соответствии с обобщенной функциональной схемой САУ имеет вид:


Рис. . Функциональная схема САУ.


На этом рисунке:

З – задатчик, источник эталонного сигнала;

УП – промежуточный усилитель;

КУ – последовательное корректирующее устройство;

- выходное напряжение промежуточного усилителя.

Рис. . Схема фильтра тахогенератора.

1.5. Учтем требования задания об обеспечении фильтрации выходного сигнала тахогенератора с помощью пассивного интегрирующего RC-фильтра. Принципиальная схема такого фильтра имеет вид:

Легко видеть, что включение такого фильтра непосредственно на зажимы тахогенератора приводит к нарушению безинерционного характера отрицательной обратной связи в САУ. Между тем существующая методика синтеза последовательного корректирующего устройства справедлива лишь для САУ с именно безинерционной обратной связью. Поэтому следует выбрать такое место включения фильтра в САУ, чтобы одновременно не нарушить безинерционного характера обратной связи и осуществить фильтрацию сигнала тахогенератора.

Указанные условия выполняются, если включить RC-фильтр на вход промежуточного усилителя в прямой канал управления. При этом следует иметь в виду, что входное сопротивление промежуточного усилителя, подключенное к выходу фильтра или должно быть практически бесконечным, или должно учитываться при определении коэффициента передачи и постоянной времени фильтра.

Окончательная функциональная схема имеет вид:


Рис. . Окончательная функциональная схема САУ.


На этом рисунке:

- входное напряжение промежуточного усилителя.

2. Составление математического описания замкнутой нескорректированной САУ.

2.1. В соответствии с заданием и материалом п.  1.5. примем следующие допущения:

2.1.1. Входные сопротивления силового преобразователя и промежуточного усилителя бесконечны;

2.1.2. Выходное сопротивление силового преобразователя равно нулю.

2.1.3. Активное сопротивление и индуктивность якорной цепи тахогенератора равны нулю.

2.1.4. Силовой преобразователь и тахогенератор могут рассматриваться как линейные динамические звенья.

2.1.5. Последовательное корректирующее устройство не установлено, то есть:

(  )

2.2. Запишем уравнения всех устройств, входящих в состав САУ, используя в необходимых случаях соответствующие схемы замещения.

2.2.1. Уравнение якорной цепи электродвигателя записывается по электрической схеме замещения, которая имеет вид:

Рис. . Схема замещения якорной цепи.

Используя второй закон Кирхгофа для этой схемы, получаем:

(  )

где  - ЭДС, наводимая при вращении в якорной обмотке двигателя (противоЭДС).

2.2.2. ПротивоЭДС двигателя постоянного тока прямо пропорциональна скорости вращения двигателя и определяется уравнением:

(  )

2.2.3. В соответствии с заданием уравнение силового преобразователя, связывающее ЭДС преобразователя с его входным напряжением, имеет вид:

(  )

Рис. . Механическавя схема замещения САУ.

2.2.4. Уравнение механической части САУ, связывающее вращающий момент двигателя , момент статической нагрузки, приведенный к валу двигателя, и угловую скорость вращения двигателя, записывается по механической схеме замещения САУ, имеющей вид:

На основании основного закона динамики вращательного движения имеем:

(  )

2.2.5. Вращающий момент двигателя постоянного тока прямо пропорционален току якоря и подчиняется уравнению:

(  )

2.2.6. Уравнение фильтра записывается непосредственно по функциональной схеме САУ на основании второго закона Кирхгофа с учетом допущений п.  2.1. и имеет вид:

(  )

2.2.7. В соответствии с заданием ЭДС тахогенератора прямо пропорциональна скорости вращения двигателя и подчиняется уравнению:

(  )

2.2.8. В соответствии с заданием уравнение промежуточного усилителя, связывающее его входное и выходное напряжения, имеет вид:

(  )

где  - коэффициент усиления промежуточного усилителя.

2.3. Поскольку все элементы САУ совместно участвуют в работе этой системы, все представленные уравнения также должны рассматриваться совместно, то есть образовывать единую систему алгебраических и дифференциальных уравнений. При записи этой системы удобно ввести постоянную времени якорной цепи электродвигателя , определяемую соотношением:

и постоянную времени фильтра , определяемую соотношением:

Учитывая эти постоянные, получаем математическое описание замкнутой нескорректированной САУ в классической форме записи в следующем виде:

2.4. Представим математическое описание замкнутой нескорректированной САУ в операторной форме записи относительно изображений переменных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Как следует из теорем линейности и о дифференцировании оригинала преобразования Лапласа, для этого достаточно выполнить формальную замену всех переменных предыдущей системы их изображением по Лапласу, а символ дифференцирования по времени , рассматриваемый как сомножитель, заменить комплексной переменной . После такой замены получаем:

где  - изображение ошибки управления  эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора;

- изображение эталонного напряжения ;

- изображение ЭДС тахогенератора ;

- изображение входного напряжения силового преобразователя ;

- изображение входного напряжения промежуточного усилителя ;

- изображение выходного напряжения промежуточного усилителя ;

- изображение тока якоря ;

- изображение противоЭДС преобразователя ;

- изображение противоЭДС двигателя ;

- изображение угловой скорости двигателя ;

- изображение вращающего момента двигателя ;

- изображение момента статической нагрузки .

3. Представление математического описания замкнутой нескорректированной САУ в виде структурной схемы.

3.1. Разрешим каждое из уравнений предыдущей системы относительно одного из напряжений таким образом, чтобы каждое из изображений внутренних переменных системы оказалось однократно выраженным через другие изображения. В результате такого преобразования система принимает вид:

3.2. Изобразим графически каждое из уравнений предыдущей системы, используя понятия динамического и суммирующего звеньев, а также передаточной функции динамического звена.

Рис. . Графическое представление системы дифференциальных уравнений нескорректированной САУ.

3.3. Соединим отдельные динамические звенья САУ с предыдущего рисунка в единую структурную схему замкнутой нескорректированной САУ. Это соединение соответствует объединению отдельных уравнений устройств, составляющих САУ, в единую систему уравнений. Полученная структурная схема имеет следующий вид:


Рис. . Полная структурная схема нескорректированной САУ.


4. Определение передаточных функций нескорректированной САУ.

4.1. Преобразуем структурную схему замкнутой нескорректированной САУ к виду, удобному для определения передаточных функций, применяя правила эквивалентного преобразования структурных схем.

4.1.1. Для этого сначала перенесем суммирующее звено  этой схемы влево против направления распространения сигнала через динамические звенья с передаточными функциями , , , , 1,  и суммирующие звенья  и . Исходная структурная схема при этом принимает вид:


Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с перенесенным суммирующим элементом 3.


4.1.2. Заменим несколько последовательно включенных звеньев в цепи сигнала  эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

4.1.3. Заменим внутренний контур с отрицательной обратной связью через сумматор , имеющийся в предыдущей структурной схеме, эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

Введем электромеханическую постоянную времени САУ  следующим образом:

Преобразуем  с учетом :

С учетом  и  предыдущая структурная схема принимает вид:


Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с учетом передаточных функций  и .


4.1.4. Перенесем точку съема выходного сигнала  на предыдущей структурной схеме по направлению распространения сигнала через звено с передаточной функцией . Структурная схема при этом принимает следующий вид:


Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с учетом передаточных функций  и .


4.1.5. Заменим несколько последовательно включенных динамических звеньев в замкнутом контуре предыдущей структурной схемы эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с эквивалентным динамическим звеном .

Структурная схема при этом принимает следующий вид:

4.1.6. Последняя структурная схема сводится к единственному динамическому звену с передаточной функцией , если предположить, что в данной схеме:

Момент статической нагрузки .

Главная обратная связь разомкнута на входе элемента сравнения .

Выходным сигналом системы является ЭДС тахогенератора .

В этих условиях передаточная функция  оказывается передаточной функцией разомкнутой нескорректированной системы для эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора.

4.1.7. Представим передаточную функцию  в других формах записи:

где ;

;

- коэффициент усиления разомкнутой системы.

4.1.8. Заменим замкнутый контур с отрицательной обратной связью через сумматор , имеющийся в предыдущей структурной схеме, эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :

Рис. . Окончательная структурная схема нескорректированной САУ.

Структурная схема САУ при этом принимает следующий окончательный вид:

4.1.9. По последней структурной схеме легко записать передаточную функцию САУ по управлению , если принять , и возмущению , если принять . Соответствующие соотношения имеют вид:

Обозначим как  знаменатель переходных функций  и :

5. Приведение передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы к виду, удобному для построения логарифмических частотных характеристик.

5.1. Рассмотрим возможные формы представления квадратного трехчлена .

5.1. Разложим сначала этот трехчлен на множители, используя основную теорему алгебры:

где ,  - корни квадратного уравнения  или равносильного ему уравнения:

Очевидно, что:

5.1.2. Вспомним, что по теореме Виета для корней последнего приведенного уравнения имеет место равенство:

или

5.1.3. Выполним дальнейшие преобразования , учитывая последнее равенство:

где: ;

.

5.1.4. Очевидно, что величины  и  будут действительными числами, имеющими смысл постоянных времени, если корни уравнения  - величины  и  - также действительные числа. Это возможно, если справедливо соотношение:

5.1.5. В случае, если последнее неравенство не выполняется, будем представлять квадратный трехчлен  в следующем виде:

где  - постоянная времени;

- коэффициент демпфрирования.

Непосредственно сравнивая правую и левую части равенства:

получаем:

5.2. Представим передаточную функцию разомкнутой системы  в виде произведения передаточных функций элементарных динамических звеньев. В качестве сомножителей будем использовать следующие передаточные функции:

В случае, если , используем представление:

В случае, если , используется представление:

6. Характеристическим многочленом САУ является знаменатель передаточной функции замкнутой САУ по управлению  или по возмущению , представленный в виде многочлена от . Для приведения знаменателя  к форме многочлена достаточно выполнить умножение в правой части соотношения, определяющего этот знаменатель:

6.2. Примем для характеристического многочлена следующую стандартную форму записи:

6.3. Сравнивая эту форму записи с предыдущим соотношением, получаем выражения для всех коэффициентов характеристического многочлена:

7. Расчет основных постоянных времени.

7.1. Постоянная времени якорной цепи электродвигателя:

7.2. Электромеханическая постоянная времени САУ:

7.3. Определим соотношение между  и , вычислив:

Сравнение показывает, что имеет место случай:

7.4. Для случая  вычислим постоянные времени  и :

Для случая  вычислим постоянную времени  и коэффициент демпфирования :

8. Определение необходимого коэффициента усиления промежуточного усилителя.

8.1. Определим изображение скорости двигателя  в общем виде, используя понятия передаточных функций замкнутой некомпенсированной САУ по управлению и возмущению:

8.2. Будем рассматривать работу САУ в условиях действия известных и постоянных по величине эталонного напряжения  и момента статической нагрузки . В этих условиях изображения  и  имеют вид:

а переходный процесс в системе описывается операторным уравнением:

8.3. Предполагая, что с течением времени в САУ достигается установившийся режим, определим из последнего соотношения уравнение статической характеристики САУ, используя теорему о предельных значениях преобразования Лапласа:

где  - установившееся значение скорости .

Рис. . Статическая характеристика САУ.

График статической характеристики САУ  при  имеет вид:

8.4. Отметим на этом графике минимальное  и максимальное  значения момента статической нагрузки, фигурирующие в исходных данных, и соответствующие этим моментам уровни скорости  и . Определим эти уровни из уравнения статической характеристики, получив в нем сначала , а затем :

8.5. Вычитая второе из полученных равенств из первого, найдем изменение установившегося уровня скорости двигателя  при увеличении момента статической нагрузки с  до :

8.6. Выразим величину  в процентах к скорости , соответствующей минимальному значению момента статической нагрузки :

8.7. В соответствии с требованиями к САУ необходимо, чтобы при любом фиксированном значении эталонного напряжения  относительное изменение установившегося уровня скорости двигателя при увеличении момента статической нагрузки с с  до  не превышало максимально допустимого значения , то есть должно выполняться соотношение:

8.8. Разрешим предыдущее неравенство относительно коэффициента усиления разомкнутой системы :

8.9. Учтем, что

откуда:

Подставляя в это соотношение  из последнего неравенства, получаем:

8.10. Последнее соотношение показывает, что требуемое значение коэффициента усиления промежуточного усилителя  тем больше, чем меньше уровень скорости . Наибольшее значение  требуется при стабилизации минимального уровня скорости . Поэтому в окончательном представлении для коэффициента  следует положить:

Кроме того, в окончательное выражение следует ввести коэффициент запаса, равный 1,35…1,4, учитывающий возможность снижения коэффициента передачи силового преобразователя, входящего сомножителем в , а также возможность отклонения реального значения  от расчетного из-за разброса параметров элементов.

Учитывая изложенное, получаем следующее расчетное соотношение:

Подставляя в него численные значения, получаем:

Принимаем далее, что:

9. Расчет величин эталонного сигнала, необходимых для обеспечения в замкнутой САУ минимального и максимального стабилизируемых уровней угловой скорости.

9.1. Разрешим уравнение статической характеристики САУ относительно эталонного напряжения :

9.2. Определим по последнему соотношению величины эталонного напряжения  для следующих случаев:

, ;

, ;

, ;

, ;

Расчет для случая  выполним подробно в качестве примера, а результаты расчета случаев … сведем в таблицу.

Таб. . Эталонное напряжение САУ.

Установившийся уровень скорости, рад/сек

Момент статической нагрузки, Н∙м

10. Проверка устойчивости замкнутой нескорректированной САУ.

10.1. Проверим сначала устойчивость с помощью критерия Гурвица.

10.1.1. Запишем характеристическое уравнение САУ, приравняв нулю его характеристический многочлен:

Очевидно, что определенные ранее коэффициенты характеристического многочлена становятся при этом коэффициентами характеристического уравнения.

10.1.2. Составим из этих коэффициентов матрицу Гурвица, используя следующие правила:

Матрица Гурвица есть квадратная матрица, составленная из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.

Порядок матрицы Гурвица равен порядку характеристического уравнения.

Первая строка матрицы заполняется коэффициентами с нечетными индексами, вторая – с четными.

Последующие пары строк образуются смещением первой пары на 1, 2, … и т. д. Позиций вправо.

Свободные позиции матрицы заполняются нулями.

Для нашего случая матрица Гурвица принимает вид:

0

0

0

10.1.3. В соответствии с критерием Гурвица для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при  все определители Гурвица были положительны. В нашем случае эти условия принимают вид:

или

В случае , , ,  все эти неравенства будут одновременно справедливы, если справедливо неравенство:

которое и является условием устойчивости САУ по Гурвицу.

10.1.4. Для нашего случая:

По Гурвицу замкнутая нескорректированная САУ ___устойчива.

10.2. Проверим далее устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста для логарифмических частотных характеристик.

10.2.1. Рассчитаем и построим сначала логарифмическую шкалу частот, являющуюся осью абсцисс на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ). Здесь вспомним, что логарифмическая шкала частот является, по сути дела, линейной шкалой десятичного логарифма угловой частоты , которая фактически оцифрована значениями этой частоты.

Рис.

Для построения логарифмической шкалы частот мысленно проведем горизонтальную ось , на которую нанесем линейную шкалу для  в соответствии с некоторым масштабом .

В этих условиях любая точка рассматриваемой оси  будет определяться координатой  (в миллиметрах), отсчитываемой от точки, в которой .

Для точки  будет очевидно справедливо соотношение:

(  )

откуда следует, что:

(  )

и

(  )

Здесь  - угловая частота, определяющая точку . Именно этой частотой должна быть фактически оцифрована точка  на логарифмической шкале частот.

Для расчета оцифровки логарифмической шкалы частот удобно преобразовать выражение для  к другому виду, положив, что:

где ;

.

Тогда:

Положив , из последнего выражения получаем:

Определим по этой формуле координаты всех оцифрованных точек логарифмической шкалы частот, представив результаты в виде таблицы.

Пример расчета для частоты  выполним подробно.

, откуда

Координаты оцифрованных точек логарифмической шкалы частот:

0,01

0,02

0,04

0,08

0,1

0,2

0,4

0,8

-100

-84,95

-69,9

-54,85

-50

-44,95

-19,9

-4,85

1

2

4

8

10

20

40

80

0

15,05

30,1

45,15

50

69,05

80,1

95,15

100

200

400

800

1000

2000

4000

8000

100

115,05

130,1

145,15

150

165,05

180,1

195,15

Как видно из таблицы, частоте  соответствует координата .

Это значит, что точка  на шкале частот является точкой начала отсчета координаты .

Поэтому, задавшись на оси точкой , далее оцифровываем шкалу частот по данным таблицы.

10.2.2. Ось ординат плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) может пересекать ось абсцисс в любой точке, поскольку на оси абсцисс принципиально отсутствует точка, соответствующая частоте  ().

Примем для оси ординат следующие масштабы:

для модуля  ;

для угла  ;

и далее построим эту ось на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

Рис. . Плоскость логарифмических частотных характеристик

10.2.3. Для случая  используем представление передаточной функции разомкнутой системы в виде (п.  5.2):

Перейдем к амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, положив в предыдущем выражении :

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой САУ есть произведение амплитудно-фазовых характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

10.2.4. Представим амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой САУ и отдельных динамических звеньев в показательной форме записи:

( )

Здесь:

, , , ,  - соответственно амплитудные частотные характеристики разомкнутой САУ, динамических звеньев с передаточными функциями , , , ;

, , , ,  - соответственно фазовые частотные характеристики разомкнутой системы, динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

Сравнивая правую и левую части последнего равенства, получаем:

(  )

(  )

Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой САУ есть произведение амплитудно-частотных характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

Фазочастотная характеристика разомкнутой САУ есть сумма фазочастотных характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

Последнее утверждение справедливо и по отношению к логарифмическим фазочастотным характеристикам (ЛФЧХ) разомкнутой системы и динамических звеньев с передаточными функциями , , , , так как ЛФЧХ отличаются от фазочастотных характеристик только использованием логарифмической шкалы частот на оси абсцисс вместо линейной.

10.2.5. Прологарифмируем правую и левую части выражения амплитудно-частотной характеристики по основанию 10:

(  )

Умножив обе части этого равенства на 20, перейдем к выражению логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы:

или

(  )

Здесь ;

 ;

 ;

 ;

 

 - соответственно ЛАЧХ разомкнутой системы и ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

ЛАЧХ разомкнутой системы есть сумма ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , , .

10.2.6. Динамическое звено с передаточной функцией  является безынерционным. Для такого звена:

и

Построим график функции  на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

10.2.7. Динамические звенья с передаточными функциями , ,  являются апериодическими.

Для этих звеньев будем строить ЛАЧХ упрощенно, используя так называемые асимптотические ЛАЧХ. Построение таких характеристик на плоскости логарифмических частотных характеристик ведут (для апериодических звеньев с обобщенной передаточной функцией ) по следующим правилам:

Асимптотическая ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, составленную из двух сопряженных друг с другом лучей асимптот.

Левая асимптота горизонтальна и поднята над шкалой частот на уровень .

Правая асимптота наклонена вправо и имеет коэффициент наклона .

Точка сопряжения асимптот характеризуется сопрягающей частотой .

Очевидно, что для всех апериодических звеньев нашего случая , то есть левая асимптота ЛАЧХ совпадает со шкалой частот.

Сопрягающие частоты асимптотических ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , ,  определяются следующим образом:

Положение точек ,  и  на логарифмической шкале частот относительно точки  определим по соотношению, полученному в п.  10.2.1.:

Наклон  для главных асимптот зададим специальным опорным отрезком AB с этим наклоном, построенным в левой части плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

Используя полученные расчетные данные и опорный отрезок, построим на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) асимптотические ЛАЧХ звеньев с передаточными функциями , ,  - ,  и  соответственно.

10.2.8. Заменим ЛАЧХ апериодических звеньев в общем выражении ЛАЧХ разомкнутой системы (п.  10.2.5) асимптотическими ЛАЧХ этих звеньев.

Тогда получим:

Построим на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) ЛАЧХ разомкнутой системы, графически складывая характеристики , , , .

10.2.9. Фазочастотная характеристика апериодического звена с обобщенной передаточной функцией  имеет вид:

Для звеньев с передаточными функциями , ,  эта зависимость принимает вид:

10.2.10. Фазочастотная характеристика разомкнутой САУ тогда принимает вид:

Положив в последнем выражении , получаем:

Проводим далее расчет ЛФЧХ для всех оцифрованных точек логарифмической шкалы частот, занося частоту и результат в следующую таблицу.

По данным этой таблицы строим график ЛФЧХ на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).

В случае  п.  10.2.3 …  10.2.9 выполняются аналогично с учетом принятого представления .

Дополнительно вводится пункт, аналогичный  10.2.7, посвященный построению асимптотической ЛАЧХ звена .

При расчете фазочастотных характеристик звена  и разомкнутой системы иметь в виду, что для колебательного звена с обобщенной передаточной функцией  ФЧХ определяется соотношением:

10.2.11. Найдем графически и отметим на ПЛЧХ точки логарифмической шкалы частот  и , соответствующие решению уравнений:

Первая из этих точек изображает частоту среза разомкнутой нескорректированной системы, а вторая – частоту, на которой входной и выходной установившиеся синусоидальные сигналы в разомкнутой системе находятся в противофазе.

10.2.12. Используя критерий Найквиста для логарифмических частотных характеристик, видим, что замкнутая САУ устойчива/неустойчива по Найквисту, так как при монотонном характере :

10.2.13. В устойчивой САУ запасы устойчивости по модулю  и фазе  определяются соответственно соотношениями:

Рис. . Определение запасов устойчивости по ПЛЧХ.

Определяя эти запасы через длины отрезков CD и EF на ПЛЧХ, получаем:

В случае, если частота  оказывается близкой к частоте , , , , следует уточнить положение ЛАЧХ в окрестности частоты , используя поправки к асимптотическим ЛАЧХ или расчет ЛАЧХ по точным формулам.

10.3. Проверим решение задачи устойчивости путем моделирования замкнутой нескорректированной САУ на ПЭВМ с помощью комплекса МИК-АЛ.

10.3.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п.  3.3, в которой положим  и , чтобы рассчитать переходную характеристику САУ по управлению. МИК - структурная схема для моделирования в этом случае принимает вид:

Рис. . МИК - структурная схема САУ.

Здесь:

10.3.2. Примем шаг интегрирования  по методу Рунге-Кутта 4 порядка в соответствии с неравенством:

где  - наименьшая постоянная времени из  и . В нашем случае:

поэтому:

Принимаем шаг интегрирования:

Рис. . Переходная характеристика замкнутой нескорректированной САУ.

10.3.3. Используя графический редактор комплекса МИК-АЛ, получаем следующий текст математической модели:

РАСПЕЧАТКА ТЕКСТА

10.3.4. Результаты расчета переходной характеристики замкнутой нескомпенсированной САУ имеют вид (приводится распечатка с ПЭВМ):

10.4. Анализ устойчивости замкнутой нескорректированной САУ, выполненный разными методами (п.  10.1,  10.2,  10.3) дал одинаковый результат: система __устойчива.

10.5. В устойчивой САУ определяем по графику переходной характеристики перерегулирование  и время перерегулирования  в замкнутой нескорректированной САУ по управлению.

10.5.1. Рассчитываем установившийся уровень скорости  для переходной характеристики по уравнению статической характеристики (п.  8.3), получив в нем , :

10.5.2. Наложим на координатную систему , принятую на графике переходной характеристики, другую систему координат , так чтобы ось  геометрически совпадала с осью , а ось  - с осью .

Будем отсчитывать абсциссы  и ординаты  графика переходной характеристики в системе  в миллиметрах.

10.5.3. Отметим на графике переходной характеристики точки K и L – две удаленные друг от друга оцифрованные точки на оси абсцисс. Пусть  и  - абсциссы этих точек, отсчитанные по оси , а  и  - оцифровка этих точек по оси времени.

Точная длина отрезка KL и его временной эквивалент  определяется соотношениями:

а соотношение между осями  и  определит масштаб времени:

10.5.4. Отметим на графике переходной характеристики точки G и Q – две удаленные друг от друга оцифрованные точки оси ординат. Пусть  и  - ординаты этих точек, отсчитанные по оси , а  и  - оцифровка этих точек на оси скорости .

Тогда длина отрезка GQ и его эквивалент по скорости  определятся соотношениями:

а соответствие между осями  и  определит масштаб скорости:

10.5.5. Нанесем на график переходной характеристики горизонтали, соответствующие уровням скорости , , , рассчитав ординаты этих горизонталей в системе координат  следующим образом:

10.5.6. Определим по графику переходной характеристики ординату , соответствующую первому максимуму  скорости:

Тогда перерегулирование в замкнутой нескорректированной САУ определяется следующим выражением:

10.5.7. Определим на графике переходной характеристике точку M, правее которой переходная характеристика не удаляется от своего установившегося значения далее чем на , то есть находится между горизонталями  и .

Очевидно, что ордината этой точки, отсчитанная по оси времени , есть время регулирования .

Для вычисления  по графику достаточно измерить абсциссу точки M - , отсчитанную по оси :

и пересчитать ее в  по соотношению:

10.5.8. Сопоставим найденные значения  и  с требованиями задания:

Сравнение показывает, что замкнутая нескорректированная САУ ? удовлетворяет требованиям задания по динамике. Системе ? требуется коррекция.

11. Синтез последовательного корректирующего устройства.

11.1. Повторим на новом рисунке логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы .

11.2. Построим на этом же рисунке желаемую асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной системы .

Рис. . Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы.

11.2.1. Подбираем параметры  и , характеризующие типовую желаемую вещественную частотную характеристику (ВЧХ) скорректированной замкнутой САУ по управлению таким образом, чтобы выполнялось соотношение:

где  - величина перерегулирования в замкнутой скорректированной САУ, обусловленная максимумом типовой ВЧХ , определяемая по графику  [см. литературу].

Подбор  дает:

11.2.2. Определяем частоту положительности ВЧХ , используя график  [см. литературу].

Для :

Здесь  коэффициент, определяемый графиком.

Отсюда:

11.2.3. Выбираем частоту среза  желаемой асимптотической ЛАЧХ  по соотношению:

Принимаем:

11.2.4. Поставим на логарифмической шкале частот ПЛЧХ точку  и проведем через нее среднечастотную асимптоту  с наклоном .

Положение точки  на ЛШЧ относительно точки  определим по соотношению, полученному в п.  10.2.1:

11.2.5. Определяем требуемые запасы по модулю и фазе, которым должна удовлетворять желаемая асимптотическая ЛАЧХ  по графикам [ ] в зависимости от заданной величины :

11.2.6. Принимаем за низкочастотную асимптоту  низкочастотную асимптоту ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной САУ .

11.2.7. Принимаем за высокочастотную часть  высокочастотную часть ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной САУ .

Допускается построить высокочастотную часть  параллельным переносом высокочастотной части  по вертикали.

11.2.8. Сопрягаем низко- и высокочастотные части  со среднечастотной асимптотой отрезками прямых с наклоном  или .

Желаемая ЛАЧХ  должна располагаться целиком не выше ЛАЧХ . Если же это условие невыполнимо, следует соответственно увеличить коэффициент усиления промежуточного усилителя  и повторно провести расчеты эталонного напряжения (п.  9.2.).

При сопряжении определяем фактические величины запасов по модулю  и  в правой и левой точках сопряжения среднечастотного участка соответственно.

В нашем случае эти запасы измеряются отрезками  и  на ПЛЧХ:

Требуемые запасы по модулю обеспечиваются, так как:

и

11.2.9. Обозначим сопрягающие частоты полученной асимптотической ЛАЧХ  как , ,   и поставим на ЛШЧ соответствующие точки.

Определим координаты этих точек ,   непосредственным измерением на ЛШЧ.

Для нашего случая имеем:

Рассчитаем численные величины сопрягающих частот ,  , используя соотношения, полученные в п.  10.2.1:

Для нашего случая имеем:

11.2.10. Введем в рассмотрение индекс излома  асимптотической ЛАЧХ на сопрягающей частоте  следующим соотношением:

Здесь ,  - наклон соответственно правой и левой асимптот, сопрягаемых друг с другом при частоте .

Тогда передаточная функция разомкнутой скорректированной системы, построенная по асимптотической ЛАЧХ  определится соотношением:

где ;

 - номер сопрягающей частоты.

Расчет индексов  и постоянных времени  для всех сопрягающих частот  сведем в таблицу:

Таб. . Постоянные времени и индексы излома .

Используя индексы из таблицы, записываем  в общем виде:

Фазочастотная характеристика разомкнутой скорректированной системы определяется в этом случае выражением:

Положив в последнем выражении , получаем:

Проводим далее расчет ЛФЧХ разомкнутой скорректированной системы  для всех оцифрованных точек ЛШЧ, занося частоту и результат в следующую таблицу:

По данным этой таблицы строим на ПЛЧХ график ЛФЧХ .

11.2.11. Определим на ПЛЧХ требуемый запас по модулю . Он, очевидно, изобразится горизонталью, проведенной параллельно ЛШЧ на уровне:

С учетом масштаба угла эта горизонталь должна быть проведена на уровне:

относительно ЛШЧ.

11.2.12. Проверяем, обеспечивается ли требуемый запас по фазе на среднечастотном участке между точками ЛАЧХ с ординатами  и .

Запас обеспечивается, если ЛФЧХ  не заходит в запретную зону ПЛЧХ.

Если запас по фазе не обеспечивается, расширяют среднечастотный участок, повторно выполняя п.  11.2.8.  11.2.12.

Небольшие отклонения в запасе по фазе можно оставить, если последующий расчет на ПЭВМ дал приемлемые значения  и .

Однако в тексте надо обязательно указать и на это отклонение, и при анализе переходных процессов подчеркнуть, что заданные требования выполнены, несмотря на отклонение в процедуре синтеза.

11.3. Определяем асимптотическую ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая графически из желаемой ЛАЧХ ЛАЧХ разомкнутой системы:

11.4. Введем в рассмотрение индексы излома  асимптотической ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства:

Здесь ,  - наклон соответственно правой и левой асимптот, сопрягающихся друг с другом на частоте .

Тогда передаточная функция последовательного корректирующего звена, построенная по асимптотической ЛАЧХ , определяется соотношением:

где .

Расчет индексов  и постоянных времени  для всех сопрягающих частот  сведен в таблицу:

Таб. . Постоянные времени и индексы излома .

Используя индексы из таблицы, записываем  в виде:

11.5. Дополним структурную схему замкнутой нескорректированной САУ синтезированным корректирующим звеном. Структурная схема замкнутой САУ принимает вид:


Рис. . Полная структурная схема скорректированной САУ.


Приведенная структурная схема справедлива, если выходное сопротивление промежуточного усилителя можно считать равным нулю.

11.6. Проверим решение задачи синтеза путем моделирования замкнутой скорректированной САУ на ПЭВМ с помощью комплекса МИК-АЛ.

11.6.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п.  11.5 (), в которой положим  и , чтобы рассчитать переходную характеристику по управлению.

МИК - структурная схема для моделирования в этом случае строится по методике, аналогичной пунктам  10.3.1  10.5.8 со следующими отличиями:

Вводятся другие обозначения для установившегося уровня скорости , максимального уровня скорости , времени регулирования , перерегулирования .

На графике , полученном при расчете, отмечаются другие точки (вместо K, L, G и Q), вводятся другие оси (вместо Z и Y).

Вычисляются другие масштабы  и .

Повторный расчет , если  не изменяется в результате введения корректирующего устройства, не нужен.

Достаточно просто принять:

При составлении МИК – структурной схемы следует представлять корректирующее звено в виде последовательного соединения нескольких звеньев с передаточными функциями типа:

При определении шага интегрирования минимальная постоянная времени должна выбираться из множества всех постоянных времени, фигурирующих в МИК – структурной схеме, а не только из , , как в нескорректированной САУ.

48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4378. Основы языка Java 1.36 MB
  Основы языка Java Задание Установка Java Runtime Environment и интегрированной среды разработки Eclipse. Введите jre в поисковой системе и выберите первую сверху ссылку. Выберите Download JRE. Примите лицензионное соглашение и выбери...
4379. Язык программирования Си. Лекции 580 KB
  Язык Си создан в начале 70х годов Дэнисом Ритчи в Bell Telephone Laboratories для ОС UNIX. Предшественником Си является язык Би, созданный Кэном Томпсоном, который в свою очередь имеет корни в языке Мартина Ричардсона BCPL. В 1978 г. Брайн Керниган ...
4380. Введение в программирование на С++ 427 KB
  Введение в программирование на С++ Цель: получить основы программирования на С++ ознакомится с созданием простейшей программы в консольном режиме понять что такое переменная и её назначение, научится выводить информацию на экран. Теоретический мат...
4381. Переменные. Константы. Типы данных. Операции в С++ 74.5 KB
  Переменные. Константы. Типы данных. Операции в С++ Цель: понимать, что такое типы данных, уметь правильно выбрать тип данных для используемой переменной, знать какой объем памяти приходится на каждый тип данных знать, что такое константы уметь пра...
4382. Программирование арифметических выражений на С++ 176.5 KB
  Программирование арифметических выражений на С++ Цель: усвоить, что такое линейные алгоритмы научиться создавать блок-схемы ознакомиться с математическими функциями. Теоретический материал В С++ можно делать различные математические расчёты, поэто...
4383. Операторы выбора в С++ 96 KB
  Операторы выбора в С++ Цель: понимать как работают операторы выбора, для чего используются и какой их синтаксис написания. Теоретический материал Операторы выбора — это операторы управления потоком выполнения программы. К операторам выбора отно...
4384. Основные понятия программирования на С++. Алгоритмы 67.87 KB
  Основные понятия программирования на С++. Алгоритмы Языки программирования Компьютер работает по программам, которые составляет для него человек. Человек пишет программы, пользуясь языками программирования. За последние несколько десятилетий языки п...
4386. Введение в синтаксис языка С++ 66.5 KB
  Введение в синтаксис языка С++ Использование ключевого слова using Если операторы cout и cin применяются очень часто, то использование идентификатора std:: перед ними становится обременительным. Эту проблему можно решить двумя способами. Первы...