39347
Проектирование статического регулятора с промежуточным усилителем и последовательным корректирующим устройством
Книга
Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы
Составление функциональной схемы замкнутой САУ Рис. Обобщенная функциональная схема САУ работающей по отклонению. Принцип управления по отклонению используется в замкнутых САУ и реализуется с помощью отрицательной обратной связи по регулируемой величине. Обобщенная функциональная схема САУ работающего по отклонению представлена на следующем рисунке: На этом рисунке: З задатчик; P регулятор; О объект управления; элемент сравнения сумматор; задание; регулируемая величина; отклонение или ошибка управления; управляющее...
Русский
2013-10-03
3.29 MB
5 чел.
Курсовое проектирование
по дисциплине «теория автоматического управления»
1. Составление функциональной схемы замкнутой САУ
Рис. . Функциональная схема объекта управления.
1.1. Составим функциональную схему объекта управления, подсоединив якорную обмотку двигателя постоянного тока к выходу силового преобразователя (усилителя с весьма мощным выходом), установив тахогенератор на вал двигателя и соединив этот вал с рабочей машиной. Полученная функциональная схема представлена на следующем рисунке:
На этом рисунке:
СП силовой преобразователь;
РМ рабочая машина (технологический агрегат);
М двигатель постоянного тока;
BR тахогенератор;
- входное напряжение силового преобразователя;
- выходная электродвижущая сила (ЭДС) силового преобразователя;
- ток якоря двигателя;
- угловая скорость вращения двигателя;
- момент статического сопротивления, создаваемый рабочей машиной;
- напряжение питания обмотки независимого возбуждения;
- ЭДС тахогенератора.
1.2. Поскольку функциональная схема объекта управления включает в себя датчик скорости вращения двигателя тахогенератор, ЭДС которого - - прямо пропорциональна скорости вращения двигателя , управление скоростью вращения сводится к управлению ЭДС тахогенератора .
Рис. . Обобщенная функциональная схема САУ, работающей по отклонению.
1.3. Принцип управления по отклонению используется в замкнутых САУ и реализуется с помощью отрицательной обратной связи по регулируемой величине. Обобщенная функциональная схема САУ, работающего по отклонению, представлена на следующем рисунке:
На этом рисунке:
З задатчик;
P регулятор;
О объект управления;
- элемент сравнения (сумматор);
- задание;
- регулируемая величина;
- отклонение или ошибка управления;
- управляющее воздействие.
1.4. Для составления функциональной схемы замкнутой САУ, стабилизирующей скорость вращения электродвигателя, достаточно охватить объект управления (п. 1.1.) отрицательной обратной связью по ЭДС тахогенератора . Поскольку сигнал обратной связи САУ оказывается представлен ЭДС , в качестве эталонного сигнала (задания) САУ целесообразно использовать электрическое напряжение .
Необходимые статические характеристики САУ обеспечиваем включением в прямой канал управления промежуточного усилителя, формирующего нужный коэффициент усиления разомкнутой системы.
Необходимые динамические характеристики САУ обеспечиваем включением в прямой канал управления последовательного корректирующего устройства.
Сравнение эталонного сигнала САУ с сигналом обратной связи выполняем, вычисляя их алгебраическую разность по соотношению:
где - ошибка управления (статизм) эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора .
Это соотношение легко реализовать практически, использовав последовательное и встречное включение выходов задатчика (источника эталонного сигнала) на вход промежуточного усилителя.
Функциональная схема САУ, полученная соединением объекта управления, промежуточного усилителя, последовательного корректирующего устройства и источника эталонного сигнала в соответствии с обобщенной функциональной схемой САУ имеет вид:
Рис. . Функциональная схема САУ.
На этом рисунке:
З задатчик, источник эталонного сигнала;
УП промежуточный усилитель;
КУ последовательное корректирующее устройство;
- выходное напряжение промежуточного усилителя.
Рис. . Схема фильтра тахогенератора.
1.5. Учтем требования задания об обеспечении фильтрации выходного сигнала тахогенератора с помощью пассивного интегрирующего RC-фильтра. Принципиальная схема такого фильтра имеет вид:
Легко видеть, что включение такого фильтра непосредственно на зажимы тахогенератора приводит к нарушению безинерционного характера отрицательной обратной связи в САУ. Между тем существующая методика синтеза последовательного корректирующего устройства справедлива лишь для САУ с именно безинерционной обратной связью. Поэтому следует выбрать такое место включения фильтра в САУ, чтобы одновременно не нарушить безинерционного характера обратной связи и осуществить фильтрацию сигнала тахогенератора.
Указанные условия выполняются, если включить RC-фильтр на вход промежуточного усилителя в прямой канал управления. При этом следует иметь в виду, что входное сопротивление промежуточного усилителя, подключенное к выходу фильтра или должно быть практически бесконечным, или должно учитываться при определении коэффициента передачи и постоянной времени фильтра.
Окончательная функциональная схема имеет вид:
Рис. . Окончательная функциональная схема САУ.
На этом рисунке:
- входное напряжение промежуточного усилителя.
2. Составление математического описания замкнутой нескорректированной САУ.
2.1. В соответствии с заданием и материалом п. 1.5. примем следующие допущения:
2.1.1. Входные сопротивления силового преобразователя и промежуточного усилителя бесконечны;
2.1.2. Выходное сопротивление силового преобразователя равно нулю.
2.1.3. Активное сопротивление и индуктивность якорной цепи тахогенератора равны нулю.
2.1.4. Силовой преобразователь и тахогенератор могут рассматриваться как линейные динамические звенья.
2.1.5. Последовательное корректирующее устройство не установлено, то есть:
( )
2.2. Запишем уравнения всех устройств, входящих в состав САУ, используя в необходимых случаях соответствующие схемы замещения.
2.2.1. Уравнение якорной цепи электродвигателя записывается по электрической схеме замещения, которая имеет вид:
Рис. . Схема замещения якорной цепи.
Используя второй закон Кирхгофа для этой схемы, получаем:
( )
где - ЭДС, наводимая при вращении в якорной обмотке двигателя (противоЭДС).
2.2.2. ПротивоЭДС двигателя постоянного тока прямо пропорциональна скорости вращения двигателя и определяется уравнением:
( )
2.2.3. В соответствии с заданием уравнение силового преобразователя, связывающее ЭДС преобразователя с его входным напряжением, имеет вид:
( )
Рис. . Механическавя схема замещения САУ.
2.2.4. Уравнение механической части САУ, связывающее вращающий момент двигателя , момент статической нагрузки, приведенный к валу двигателя, и угловую скорость вращения двигателя, записывается по механической схеме замещения САУ, имеющей вид:
На основании основного закона динамики вращательного движения имеем:
( )
2.2.5. Вращающий момент двигателя постоянного тока прямо пропорционален току якоря и подчиняется уравнению:
( )
2.2.6. Уравнение фильтра записывается непосредственно по функциональной схеме САУ на основании второго закона Кирхгофа с учетом допущений п. 2.1. и имеет вид:
( )
2.2.7. В соответствии с заданием ЭДС тахогенератора прямо пропорциональна скорости вращения двигателя и подчиняется уравнению:
( )
2.2.8. В соответствии с заданием уравнение промежуточного усилителя, связывающее его входное и выходное напряжения, имеет вид:
( )
где - коэффициент усиления промежуточного усилителя.
2.3. Поскольку все элементы САУ совместно участвуют в работе этой системы, все представленные уравнения также должны рассматриваться совместно, то есть образовывать единую систему алгебраических и дифференциальных уравнений. При записи этой системы удобно ввести постоянную времени якорной цепи электродвигателя , определяемую соотношением:
и постоянную времени фильтра , определяемую соотношением:
Учитывая эти постоянные, получаем математическое описание замкнутой нескорректированной САУ в классической форме записи в следующем виде:
2.4. Представим математическое описание замкнутой нескорректированной САУ в операторной форме записи относительно изображений переменных по Лапласу при нулевых начальных условиях. Как следует из теорем линейности и о дифференцировании оригинала преобразования Лапласа, для этого достаточно выполнить формальную замену всех переменных предыдущей системы их изображением по Лапласу, а символ дифференцирования по времени , рассматриваемый как сомножитель, заменить комплексной переменной . После такой замены получаем:
где - изображение ошибки управления эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора;
- изображение эталонного напряжения ;
- изображение ЭДС тахогенератора ;
- изображение входного напряжения силового преобразователя ;
- изображение входного напряжения промежуточного усилителя ;
- изображение выходного напряжения промежуточного усилителя ;
- изображение тока якоря ;
- изображение противоЭДС преобразователя ;
- изображение противоЭДС двигателя ;
- изображение угловой скорости двигателя ;
- изображение вращающего момента двигателя ;
- изображение момента статической нагрузки .
3. Представление математического описания замкнутой нескорректированной САУ в виде структурной схемы.
3.1. Разрешим каждое из уравнений предыдущей системы относительно одного из напряжений таким образом, чтобы каждое из изображений внутренних переменных системы оказалось однократно выраженным через другие изображения. В результате такого преобразования система принимает вид:
3.2. Изобразим графически каждое из уравнений предыдущей системы, используя понятия динамического и суммирующего звеньев, а также передаточной функции динамического звена.
Рис. . Графическое представление системы дифференциальных уравнений нескорректированной САУ.
3.3. Соединим отдельные динамические звенья САУ с предыдущего рисунка в единую структурную схему замкнутой нескорректированной САУ. Это соединение соответствует объединению отдельных уравнений устройств, составляющих САУ, в единую систему уравнений. Полученная структурная схема имеет следующий вид:
Рис. . Полная структурная схема нескорректированной САУ.
4. Определение передаточных функций нескорректированной САУ.
4.1. Преобразуем структурную схему замкнутой нескорректированной САУ к виду, удобному для определения передаточных функций, применяя правила эквивалентного преобразования структурных схем.
4.1.1. Для этого сначала перенесем суммирующее звено этой схемы влево против направления распространения сигнала через динамические звенья с передаточными функциями , , , , 1, и суммирующие звенья и . Исходная структурная схема при этом принимает вид:
Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с перенесенным суммирующим элементом 3.
4.1.2. Заменим несколько последовательно включенных звеньев в цепи сигнала эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :
4.1.3. Заменим внутренний контур с отрицательной обратной связью через сумматор , имеющийся в предыдущей структурной схеме, эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :
Введем электромеханическую постоянную времени САУ следующим образом:
Преобразуем с учетом :
С учетом и предыдущая структурная схема принимает вид:
Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с учетом передаточных функций и .
4.1.4. Перенесем точку съема выходного сигнала на предыдущей структурной схеме по направлению распространения сигнала через звено с передаточной функцией . Структурная схема при этом принимает следующий вид:
Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с учетом передаточных функций и .
4.1.5. Заменим несколько последовательно включенных динамических звеньев в замкнутом контуре предыдущей структурной схемы эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :
Рис. . Структурная схема нескорректированной САУ с эквивалентным динамическим звеном .
Структурная схема при этом принимает следующий вид:
4.1.6. Последняя структурная схема сводится к единственному динамическому звену с передаточной функцией , если предположить, что в данной схеме:
Момент статической нагрузки .
Главная обратная связь разомкнута на входе элемента сравнения .
Выходным сигналом системы является ЭДС тахогенератора .
В этих условиях передаточная функция оказывается передаточной функцией разомкнутой нескорректированной системы для эквивалентной САУ стабилизации ЭДС тахогенератора.
4.1.7. Представим передаточную функцию в других формах записи:
где ;
;
- коэффициент усиления разомкнутой системы.
4.1.8. Заменим замкнутый контур с отрицательной обратной связью через сумматор , имеющийся в предыдущей структурной схеме, эквивалентным динамическим звеном с передаточной функцией :
Рис. . Окончательная структурная схема нескорректированной САУ.
Структурная схема САУ при этом принимает следующий окончательный вид:
4.1.9. По последней структурной схеме легко записать передаточную функцию САУ по управлению , если принять , и возмущению , если принять . Соответствующие соотношения имеют вид:
Обозначим как знаменатель переходных функций и :
5. Приведение передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы к виду, удобному для построения логарифмических частотных характеристик.
5.1. Рассмотрим возможные формы представления квадратного трехчлена .
5.1. Разложим сначала этот трехчлен на множители, используя основную теорему алгебры:
где , - корни квадратного уравнения или равносильного ему уравнения:
Очевидно, что:
5.1.2. Вспомним, что по теореме Виета для корней последнего приведенного уравнения имеет место равенство:
или
5.1.3. Выполним дальнейшие преобразования , учитывая последнее равенство:
где: ;
.
5.1.4. Очевидно, что величины и будут действительными числами, имеющими смысл постоянных времени, если корни уравнения - величины и - также действительные числа. Это возможно, если справедливо соотношение:
5.1.5. В случае, если последнее неравенство не выполняется, будем представлять квадратный трехчлен в следующем виде:
где - постоянная времени;
- коэффициент демпфрирования.
Непосредственно сравнивая правую и левую части равенства:
получаем:
5.2. Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде произведения передаточных функций элементарных динамических звеньев. В качестве сомножителей будем использовать следующие передаточные функции:
В случае, если , используем представление:
В случае, если , используется представление:
6. Характеристическим многочленом САУ является знаменатель передаточной функции замкнутой САУ по управлению или по возмущению , представленный в виде многочлена от . Для приведения знаменателя к форме многочлена достаточно выполнить умножение в правой части соотношения, определяющего этот знаменатель:
6.2. Примем для характеристического многочлена следующую стандартную форму записи:
6.3. Сравнивая эту форму записи с предыдущим соотношением, получаем выражения для всех коэффициентов характеристического многочлена:
7. Расчет основных постоянных времени.
7.1. Постоянная времени якорной цепи электродвигателя:
7.2. Электромеханическая постоянная времени САУ:
7.3. Определим соотношение между и , вычислив:
Сравнение показывает, что имеет место случай:
7.4. Для случая вычислим постоянные времени и :
Для случая вычислим постоянную времени и коэффициент демпфирования :
8. Определение необходимого коэффициента усиления промежуточного усилителя.
8.1. Определим изображение скорости двигателя в общем виде, используя понятия передаточных функций замкнутой некомпенсированной САУ по управлению и возмущению:
8.2. Будем рассматривать работу САУ в условиях действия известных и постоянных по величине эталонного напряжения и момента статической нагрузки . В этих условиях изображения и имеют вид:
а переходный процесс в системе описывается операторным уравнением:
8.3. Предполагая, что с течением времени в САУ достигается установившийся режим, определим из последнего соотношения уравнение статической характеристики САУ, используя теорему о предельных значениях преобразования Лапласа:
где - установившееся значение скорости .
Рис. . Статическая характеристика САУ.
График статической характеристики САУ при имеет вид:
8.4. Отметим на этом графике минимальное и максимальное значения момента статической нагрузки, фигурирующие в исходных данных, и соответствующие этим моментам уровни скорости и . Определим эти уровни из уравнения статической характеристики, получив в нем сначала , а затем :
8.5. Вычитая второе из полученных равенств из первого, найдем изменение установившегося уровня скорости двигателя при увеличении момента статической нагрузки с до :
8.6. Выразим величину в процентах к скорости , соответствующей минимальному значению момента статической нагрузки :
8.7. В соответствии с требованиями к САУ необходимо, чтобы при любом фиксированном значении эталонного напряжения относительное изменение установившегося уровня скорости двигателя при увеличении момента статической нагрузки с с до не превышало максимально допустимого значения , то есть должно выполняться соотношение:
8.8. Разрешим предыдущее неравенство относительно коэффициента усиления разомкнутой системы :
8.9. Учтем, что
откуда:
Подставляя в это соотношение из последнего неравенства, получаем:
8.10. Последнее соотношение показывает, что требуемое значение коэффициента усиления промежуточного усилителя тем больше, чем меньше уровень скорости . Наибольшее значение требуется при стабилизации минимального уровня скорости . Поэтому в окончательном представлении для коэффициента следует положить:
Кроме того, в окончательное выражение следует ввести коэффициент запаса, равный 1,35…1,4, учитывающий возможность снижения коэффициента передачи силового преобразователя, входящего сомножителем в , а также возможность отклонения реального значения от расчетного из-за разброса параметров элементов.
Учитывая изложенное, получаем следующее расчетное соотношение:
Подставляя в него численные значения, получаем:
Принимаем далее, что:
9. Расчет величин эталонного сигнала, необходимых для обеспечения в замкнутой САУ минимального и максимального стабилизируемых уровней угловой скорости.
9.1. Разрешим уравнение статической характеристики САУ относительно эталонного напряжения :
9.2. Определим по последнему соотношению величины эталонного напряжения для следующих случаев:
, ;
, ;
, ;
, ;
Расчет для случая выполним подробно в качестве примера, а результаты расчета случаев … сведем в таблицу.
Таб. . Эталонное напряжение САУ.
Установившийся уровень скорости, рад/сек |
Момент статической нагрузки, Н∙м |
|
10. Проверка устойчивости замкнутой нескорректированной САУ.
10.1. Проверим сначала устойчивость с помощью критерия Гурвица.
10.1.1. Запишем характеристическое уравнение САУ, приравняв нулю его характеристический многочлен:
Очевидно, что определенные ранее коэффициенты характеристического многочлена становятся при этом коэффициентами характеристического уравнения.
10.1.2. Составим из этих коэффициентов матрицу Гурвица, используя следующие правила:
Матрица Гурвица есть квадратная матрица, составленная из коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ.
Порядок матрицы Гурвица равен порядку характеристического уравнения.
Первая строка матрицы заполняется коэффициентами с нечетными индексами, вторая с четными.
Последующие пары строк образуются смещением первой пары на 1, 2, … и т. д. Позиций вправо.
Свободные позиции матрицы заполняются нулями.
Для нашего случая матрица Гурвица принимает вид:
0 |
||||
0 |
||||
0 |
10.1.3. В соответствии с критерием Гурвица для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы при все определители Гурвица были положительны. В нашем случае эти условия принимают вид:
или
В случае , , , все эти неравенства будут одновременно справедливы, если справедливо неравенство:
которое и является условием устойчивости САУ по Гурвицу.
10.1.4. Для нашего случая:
По Гурвицу замкнутая нескорректированная САУ ___устойчива.
10.2. Проверим далее устойчивость САУ с помощью критерия Найквиста для логарифмических частотных характеристик.
10.2.1. Рассчитаем и построим сначала логарифмическую шкалу частот, являющуюся осью абсцисс на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ). Здесь вспомним, что логарифмическая шкала частот является, по сути дела, линейной шкалой десятичного логарифма угловой частоты , которая фактически оцифрована значениями этой частоты.
Рис.
Для построения логарифмической шкалы частот мысленно проведем горизонтальную ось , на которую нанесем линейную шкалу для в соответствии с некоторым масштабом .
В этих условиях любая точка рассматриваемой оси будет определяться координатой (в миллиметрах), отсчитываемой от точки, в которой .
Для точки будет очевидно справедливо соотношение:
( )
откуда следует, что:
( )
и
( )
Здесь - угловая частота, определяющая точку . Именно этой частотой должна быть фактически оцифрована точка на логарифмической шкале частот.
Для расчета оцифровки логарифмической шкалы частот удобно преобразовать выражение для к другому виду, положив, что:
где ;
.
Тогда:
Положив , из последнего выражения получаем:
Определим по этой формуле координаты всех оцифрованных точек логарифмической шкалы частот, представив результаты в виде таблицы.
Пример расчета для частоты выполним подробно.
, откуда
Координаты оцифрованных точек логарифмической шкалы частот:
0,01 |
0,02 |
0,04 |
0,08 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,8 |
|
-100 |
-84,95 |
-69,9 |
-54,85 |
-50 |
-44,95 |
-19,9 |
-4,85 |
1 |
2 |
4 |
8 |
10 |
20 |
40 |
80 |
|
0 |
15,05 |
30,1 |
45,15 |
50 |
69,05 |
80,1 |
95,15 |
100 |
200 |
400 |
800 |
1000 |
2000 |
4000 |
8000 |
|
100 |
115,05 |
130,1 |
145,15 |
150 |
165,05 |
180,1 |
195,15 |
Как видно из таблицы, частоте соответствует координата .
Это значит, что точка на шкале частот является точкой начала отсчета координаты .
Поэтому, задавшись на оси точкой , далее оцифровываем шкалу частот по данным таблицы.
10.2.2. Ось ординат плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) может пересекать ось абсцисс в любой точке, поскольку на оси абсцисс принципиально отсутствует точка, соответствующая частоте ().
Примем для оси ординат следующие масштабы:
для модуля ;
для угла ;
и далее построим эту ось на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).
Рис. . Плоскость логарифмических частотных характеристик
10.2.3. Для случая используем представление передаточной функции разомкнутой системы в виде (п. 5.2):
Перейдем к амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, положив в предыдущем выражении :
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой САУ есть произведение амплитудно-фазовых характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .
10.2.4. Представим амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой САУ и отдельных динамических звеньев в показательной форме записи:
( )
Здесь:
, , , , - соответственно амплитудные частотные характеристики разомкнутой САУ, динамических звеньев с передаточными функциями , , , ;
, , , , - соответственно фазовые частотные характеристики разомкнутой системы, динамических звеньев с передаточными функциями , , , .
Сравнивая правую и левую части последнего равенства, получаем:
( )
( )
Амплитудно-частотная характеристика разомкнутой САУ есть произведение амплитудно-частотных характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .
Фазочастотная характеристика разомкнутой САУ есть сумма фазочастотных характеристик динамических звеньев с передаточными функциями , , , .
Последнее утверждение справедливо и по отношению к логарифмическим фазочастотным характеристикам (ЛФЧХ) разомкнутой системы и динамических звеньев с передаточными функциями , , , , так как ЛФЧХ отличаются от фазочастотных характеристик только использованием логарифмической шкалы частот на оси абсцисс вместо линейной.
10.2.5. Прологарифмируем правую и левую части выражения амплитудно-частотной характеристики по основанию 10:
( )
Умножив обе части этого равенства на 20, перейдем к выражению логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы:
или
( )
Здесь ;
;
;
;
- соответственно ЛАЧХ разомкнутой системы и ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , , .
ЛАЧХ разомкнутой системы есть сумма ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , , .
10.2.6. Динамическое звено с передаточной функцией является безынерционным. Для такого звена:
и
Построим график функции на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).
10.2.7. Динамические звенья с передаточными функциями , , являются апериодическими.
Для этих звеньев будем строить ЛАЧХ упрощенно, используя так называемые асимптотические ЛАЧХ. Построение таких характеристик на плоскости логарифмических частотных характеристик ведут (для апериодических звеньев с обобщенной передаточной функцией ) по следующим правилам:
Асимптотическая ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, составленную из двух сопряженных друг с другом лучей асимптот.
Левая асимптота горизонтальна и поднята над шкалой частот на уровень .
Правая асимптота наклонена вправо и имеет коэффициент наклона .
Точка сопряжения асимптот характеризуется сопрягающей частотой .
Очевидно, что для всех апериодических звеньев нашего случая , то есть левая асимптота ЛАЧХ совпадает со шкалой частот.
Сопрягающие частоты асимптотических ЛАЧХ динамических звеньев с передаточными функциями , , определяются следующим образом:
Положение точек , и на логарифмической шкале частот относительно точки определим по соотношению, полученному в п. 10.2.1.:
Наклон для главных асимптот зададим специальным опорным отрезком AB с этим наклоном, построенным в левой части плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).
Используя полученные расчетные данные и опорный отрезок, построим на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) асимптотические ЛАЧХ звеньев с передаточными функциями , , - , и соответственно.
10.2.8. Заменим ЛАЧХ апериодических звеньев в общем выражении ЛАЧХ разомкнутой системы (п. 10.2.5) асимптотическими ЛАЧХ этих звеньев.
Тогда получим:
Построим на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ) ЛАЧХ разомкнутой системы, графически складывая характеристики , , , .
10.2.9. Фазочастотная характеристика апериодического звена с обобщенной передаточной функцией имеет вид:
Для звеньев с передаточными функциями , , эта зависимость принимает вид:
10.2.10. Фазочастотная характеристика разомкнутой САУ тогда принимает вид:
Положив в последнем выражении , получаем:
Проводим далее расчет ЛФЧХ для всех оцифрованных точек логарифмической шкалы частот, занося частоту и результат в следующую таблицу.
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
По данным этой таблицы строим график ЛФЧХ на плоскости логарифмических частотных характеристик (ПЛЧХ).
В случае п. 10.2.3 … 10.2.9 выполняются аналогично с учетом принятого представления .
Дополнительно вводится пункт, аналогичный 10.2.7, посвященный построению асимптотической ЛАЧХ звена .
При расчете фазочастотных характеристик звена и разомкнутой системы иметь в виду, что для колебательного звена с обобщенной передаточной функцией ФЧХ определяется соотношением:
10.2.11. Найдем графически и отметим на ПЛЧХ точки логарифмической шкалы частот и , соответствующие решению уравнений:
Первая из этих точек изображает частоту среза разомкнутой нескорректированной системы, а вторая частоту, на которой входной и выходной установившиеся синусоидальные сигналы в разомкнутой системе находятся в противофазе.
10.2.12. Используя критерий Найквиста для логарифмических частотных характеристик, видим, что замкнутая САУ устойчива/неустойчива по Найквисту, так как при монотонном характере :
10.2.13. В устойчивой САУ запасы устойчивости по модулю и фазе определяются соответственно соотношениями:
Рис. . Определение запасов устойчивости по ПЛЧХ.
Определяя эти запасы через длины отрезков CD и EF на ПЛЧХ, получаем:
В случае, если частота оказывается близкой к частоте , , , , следует уточнить положение ЛАЧХ в окрестности частоты , используя поправки к асимптотическим ЛАЧХ или расчет ЛАЧХ по точным формулам.
10.3. Проверим решение задачи устойчивости путем моделирования замкнутой нескорректированной САУ на ПЭВМ с помощью комплекса МИК-АЛ.
10.3.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п. 3.3, в которой положим и , чтобы рассчитать переходную характеристику САУ по управлению. МИК - структурная схема для моделирования в этом случае принимает вид:
Рис. . МИК - структурная схема САУ.
Здесь:
10.3.2. Примем шаг интегрирования по методу Рунге-Кутта 4 порядка в соответствии с неравенством:
где - наименьшая постоянная времени из и . В нашем случае:
поэтому:
Принимаем шаг интегрирования:
Рис. . Переходная характеристика замкнутой нескорректированной САУ.
10.3.3. Используя графический редактор комплекса МИК-АЛ, получаем следующий текст математической модели:
РАСПЕЧАТКА ТЕКСТА
10.3.4. Результаты расчета переходной характеристики замкнутой нескомпенсированной САУ имеют вид (приводится распечатка с ПЭВМ):
10.4. Анализ устойчивости замкнутой нескорректированной САУ, выполненный разными методами (п. 10.1, 10.2, 10.3) дал одинаковый результат: система __устойчива.
10.5. В устойчивой САУ определяем по графику переходной характеристики перерегулирование и время перерегулирования в замкнутой нескорректированной САУ по управлению.
10.5.1. Рассчитываем установившийся уровень скорости для переходной характеристики по уравнению статической характеристики (п. 8.3), получив в нем , :
10.5.2. Наложим на координатную систему , принятую на графике переходной характеристики, другую систему координат , так чтобы ось геометрически совпадала с осью , а ось - с осью .
Будем отсчитывать абсциссы и ординаты графика переходной характеристики в системе в миллиметрах.
10.5.3. Отметим на графике переходной характеристики точки K и L две удаленные друг от друга оцифрованные точки на оси абсцисс. Пусть и - абсциссы этих точек, отсчитанные по оси , а и - оцифровка этих точек по оси времени.
Точная длина отрезка KL и его временной эквивалент определяется соотношениями:
а соотношение между осями и определит масштаб времени:
10.5.4. Отметим на графике переходной характеристики точки G и Q две удаленные друг от друга оцифрованные точки оси ординат. Пусть и - ординаты этих точек, отсчитанные по оси , а и - оцифровка этих точек на оси скорости .
Тогда длина отрезка GQ и его эквивалент по скорости определятся соотношениями:
а соответствие между осями и определит масштаб скорости:
10.5.5. Нанесем на график переходной характеристики горизонтали, соответствующие уровням скорости , , , рассчитав ординаты этих горизонталей в системе координат следующим образом:
10.5.6. Определим по графику переходной характеристики ординату , соответствующую первому максимуму скорости:
Тогда перерегулирование в замкнутой нескорректированной САУ определяется следующим выражением:
10.5.7. Определим на графике переходной характеристике точку M, правее которой переходная характеристика не удаляется от своего установившегося значения далее чем на , то есть находится между горизонталями и .
Очевидно, что ордината этой точки, отсчитанная по оси времени , есть время регулирования .
Для вычисления по графику достаточно измерить абсциссу точки M - , отсчитанную по оси :
и пересчитать ее в по соотношению:
10.5.8. Сопоставим найденные значения и с требованиями задания:
Сравнение показывает, что замкнутая нескорректированная САУ ? удовлетворяет требованиям задания по динамике. Системе ? требуется коррекция.
11. Синтез последовательного корректирующего устройства.
11.1. Повторим на новом рисунке логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы .
11.2. Построим на этом же рисунке желаемую асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной системы .
Рис. . Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы.
11.2.1. Подбираем параметры и , характеризующие типовую желаемую вещественную частотную характеристику (ВЧХ) скорректированной замкнутой САУ по управлению таким образом, чтобы выполнялось соотношение:
где - величина перерегулирования в замкнутой скорректированной САУ, обусловленная максимумом типовой ВЧХ , определяемая по графику [см. литературу].
Подбор дает:
11.2.2. Определяем частоту положительности ВЧХ , используя график [см. литературу].
Для :
Здесь коэффициент, определяемый графиком.
Отсюда:
11.2.3. Выбираем частоту среза желаемой асимптотической ЛАЧХ по соотношению:
Принимаем:
11.2.4. Поставим на логарифмической шкале частот ПЛЧХ точку и проведем через нее среднечастотную асимптоту с наклоном .
Положение точки на ЛШЧ относительно точки определим по соотношению, полученному в п. 10.2.1:
11.2.5. Определяем требуемые запасы по модулю и фазе, которым должна удовлетворять желаемая асимптотическая ЛАЧХ по графикам [ ] в зависимости от заданной величины :
11.2.6. Принимаем за низкочастотную асимптоту низкочастотную асимптоту ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной САУ .
11.2.7. Принимаем за высокочастотную часть высокочастотную часть ЛАЧХ разомкнутой нескорректированной САУ .
Допускается построить высокочастотную часть параллельным переносом высокочастотной части по вертикали.
11.2.8. Сопрягаем низко- и высокочастотные части со среднечастотной асимптотой отрезками прямых с наклоном или .
Желаемая ЛАЧХ должна располагаться целиком не выше ЛАЧХ . Если же это условие невыполнимо, следует соответственно увеличить коэффициент усиления промежуточного усилителя и повторно провести расчеты эталонного напряжения (п. 9.2.).
При сопряжении определяем фактические величины запасов по модулю и в правой и левой точках сопряжения среднечастотного участка соответственно.
В нашем случае эти запасы измеряются отрезками и на ПЛЧХ:
Требуемые запасы по модулю обеспечиваются, так как:
и
11.2.9. Обозначим сопрягающие частоты полученной асимптотической ЛАЧХ как , , и поставим на ЛШЧ соответствующие точки.
Определим координаты этих точек , непосредственным измерением на ЛШЧ.
Для нашего случая имеем:
Рассчитаем численные величины сопрягающих частот , , используя соотношения, полученные в п. 10.2.1:
Для нашего случая имеем:
11.2.10. Введем в рассмотрение индекс излома асимптотической ЛАЧХ на сопрягающей частоте следующим соотношением:
Здесь , - наклон соответственно правой и левой асимптот, сопрягаемых друг с другом при частоте .
Тогда передаточная функция разомкнутой скорректированной системы, построенная по асимптотической ЛАЧХ определится соотношением:
где ;
- номер сопрягающей частоты.
Расчет индексов и постоянных времени для всех сопрягающих частот сведем в таблицу:
Таб. . Постоянные времени и индексы излома .
Используя индексы из таблицы, записываем в общем виде:
Фазочастотная характеристика разомкнутой скорректированной системы определяется в этом случае выражением:
Положив в последнем выражении , получаем:
Проводим далее расчет ЛФЧХ разомкнутой скорректированной системы для всех оцифрованных точек ЛШЧ, занося частоту и результат в следующую таблицу:
По данным этой таблицы строим на ПЛЧХ график ЛФЧХ .
11.2.11. Определим на ПЛЧХ требуемый запас по модулю . Он, очевидно, изобразится горизонталью, проведенной параллельно ЛШЧ на уровне:
С учетом масштаба угла эта горизонталь должна быть проведена на уровне:
относительно ЛШЧ.
11.2.12. Проверяем, обеспечивается ли требуемый запас по фазе на среднечастотном участке между точками ЛАЧХ с ординатами и .
Запас обеспечивается, если ЛФЧХ не заходит в запретную зону ПЛЧХ.
Если запас по фазе не обеспечивается, расширяют среднечастотный участок, повторно выполняя п. 11.2.8. 11.2.12.
Небольшие отклонения в запасе по фазе можно оставить, если последующий расчет на ПЭВМ дал приемлемые значения и .
Однако в тексте надо обязательно указать и на это отклонение, и при анализе переходных процессов подчеркнуть, что заданные требования выполнены, несмотря на отклонение в процедуре синтеза.
11.3. Определяем асимптотическую ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая графически из желаемой ЛАЧХ ЛАЧХ разомкнутой системы:
11.4. Введем в рассмотрение индексы излома асимптотической ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства:
Здесь , - наклон соответственно правой и левой асимптот, сопрягающихся друг с другом на частоте .
Тогда передаточная функция последовательного корректирующего звена, построенная по асимптотической ЛАЧХ , определяется соотношением:
где .
Расчет индексов и постоянных времени для всех сопрягающих частот сведен в таблицу:
Таб. . Постоянные времени и индексы излома .
Используя индексы из таблицы, записываем в виде:
11.5. Дополним структурную схему замкнутой нескорректированной САУ синтезированным корректирующим звеном. Структурная схема замкнутой САУ принимает вид:
Рис. . Полная структурная схема скорректированной САУ.
Приведенная структурная схема справедлива, если выходное сопротивление промежуточного усилителя можно считать равным нулю.
11.6. Проверим решение задачи синтеза путем моделирования замкнутой скорректированной САУ на ПЭВМ с помощью комплекса МИК-АЛ.
11.6.1. Используем в качестве основы для такого моделирования структурную схему п. 11.5 (), в которой положим и , чтобы рассчитать переходную характеристику по управлению.
МИК - структурная схема для моделирования в этом случае строится по методике, аналогичной пунктам 10.3.1 10.5.8 со следующими отличиями:
Вводятся другие обозначения для установившегося уровня скорости , максимального уровня скорости , времени регулирования , перерегулирования .
На графике , полученном при расчете, отмечаются другие точки (вместо K, L, G и Q), вводятся другие оси (вместо Z и Y).
Вычисляются другие масштабы и .
Повторный расчет , если не изменяется в результате введения корректирующего устройства, не нужен.
Достаточно просто принять:
При составлении МИК структурной схемы следует представлять корректирующее звено в виде последовательного соединения нескольких звеньев с передаточными функциями типа:
При определении шага интегрирования минимальная постоянная времени должна выбираться из множества всех постоянных времени, фигурирующих в МИК структурной схеме, а не только из , , как в нескорректированной САУ.
48