3959
Прийняття рішень при векторному критерії оптимальності. Здачі багатокритеріальної оптимальності
Лекция
Информатика, кибернетика и программирование
Перейдемо до розгляду інформаційних технологій розв'язку ряду задач векторної оптимізації. У процесі розгляду ми обмежимося найбільше широко використовуваними методами. Для розв'язку задач будемо використовувати процесор електронних таблиць Excel, здатний досить просто й ефективно вирішувати задачі подібного роду.
Украинкский
2012-11-10
115.12 KB
15 чел.
Лекція №2
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ ПРИ ВЕКТОРНОМУ КРИТЕРІЇ ОПТИМАЛЬНОСТІ
Задачі багатокритеріальної оптимізації.
Перейдемо до розгляду інформаційних технологій розв'язку ряду задач векторної оптимізації. У
процесі розгляду ми обмежимося найбільше широко використовуваними методами. Для
розв'язку задач будемо використовувати процесор електронних таблиць Excel, здатний досить
просто й ефективно вирішувати задачі подібного роду.
Приклад 1. Згортання системи показників ефективності
Розглянемо наступну задачу векторної оптимізації
F ( x1 , x2 ) = α 1 f1 ( x1 , x 2 ) + α 2 f 2 ( x1 , x 2 ) → max ;
де цільові функції й відповідні їм обмеження мають вигляд:
f1 ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 5 x2 + 4 x3 ;
f 2 ( x1 , x2 ) = 3x1 + 4 x2 + 4 x3 ;
x1 + x2 + x3 ≤ 45;
x1 + 2 x2 + x3 ≤ 40;
2 x1 + 3x3 ≤ 75;
2 x1 + 4 x3 ≤ 90;
3x1 + 4 x2 ≤ 50;
3 x1 + 2 x2 ≤ 25;
x1 , x2 ≥ 0
Розв'яжемо задачу в Excel і проаналізуємо залежність одержуваного розв'язку від значення
коефіцієнтів α1 , α 2 .
Внесемо дані на робочий аркуш відповідно до Рис. 1. Під значення змінних відведемо
комірки A16:C16. У комірки A6:A8 і A10:A12 уведемо формули, що визначають обмеження на
значення змінних, у комірки E16 і G16 формули для розрахунків відповідних цільових
функцій, у комірку F20 формулу для розрахунків функції F ( x1 , x2 ) .
Надзвичайно важливим є використання в даному методі загальної для всіх функцій
системи обмежень.
1
Рис. 1. Дані для розв'язку прикладу 1.
Викличемо Пошук розв'язку й задамо область зміни змінних, цільову комірку й систему
обмежень стандартним чином. У результаті одержимо відповідь: ( для даних значень
параметрів α1 , α 2 (див. Рис. 1))
(1)
Fmax ( x1 , x2 ) =126.75.
Вважаючи значення параметрів рівними, наприклад, α1 = 0,7 , α 2 = 0,3 , одержимо інше
( 2)
оптимальне значення досліджуваної функції Fmax ( x1 , x2 ) =131.125.
Таким чином, можна
зробити висновок про досить істотну чутливість значень даної оптимізуємої функції до варіацій
вагових коефіцієнтів.
2
Приклад 2. Обмеження на критерії. Метод послідовних поступок.
Обмежимося для простоти задачею лінійної оптимізації (лінійного програмування).
Нехай необхідно розв'язати задачу векторної оптимізації наступного виду
F ( x) = { f 1 = x1 + 3 x 2 , f 2 = 40 x1 + 10 x 2 } → max
при обмеженнях
2 x1 + x 2 ≤ 90,
x1 + x 2 ≤ 60,
x 2 ≤ 50,
x1 , x 2 ≥ 0
методом послідовних поступків, якщо поступка за першим критерієм становить 10% від його
оптимального значення.
Розв'язок. Розв'яжемо задачу за критерієм f1 , у результаті чого одержимо f 1* = 160 . Відповідно
до
умови
задачі
величина
поступки
∆ 1 =16 .
Додаткове
обмеження
буде
мати
вигляд: f 1 (x) ≥ f 1* − ∆1 , тобто x1 + 3x 2 ≥ 160 − 16 = 144 . Вирішуючи задачу
{ f 2 = 40 x1 + 10 x 2 } → max
2 x1 + x 2 ≤ 90,
x1 + x 2 ≤ 60,
x 2 ≤ 50,
x1 + 3 x 2 ≥ 144,
x1 , x 2 ≥ 0
*
*
*
*
*
*
одержимо x1 =18, x 2 = 42, f 2 ( x1 , x 2 ) = 1140, f 1 ( x1 , x 2 ) =144 .
Проведемо розв'язок задачі за допомогою Excel. Введемо дані на робочий аркуш
відповідно до Рис. 2.
Відведемо під значення змінних комірки A19 і B19, введемо формули, що визначають
обмеження вихідної задачі, у комірки A13:A15; формулу для цільової функції в комірку E19, а
формулу для розрахунків f 1 (x) ≥ f 1* − ∆1
у комірку H19. Пошук розв'язку дає значення
f1* =144 . Далі, копіюємо значення із комірки E19 у комірку З26 (використовується спеціальна
вставка тільки значення). Потім відводимо під цільове гніздо E26, уводимо в неї формулу
для розрахунків f 2 , а в комірку A26 уводимо формулу =A19+3*B19, що представляє собою
додаткове обмеження задачі.
При вторинному запуску Пошуку розв'язку поряд із уже введеними на першому етапі
обмеженнями вводимо ще одне додаткове обмеження A26>=144.
3
У результаті розрахунків одержимо відповідь
*
*
*
*
*
*
x1 = 18, x 2 = 42, f 2 ( x1 , x 2 ) = 1140, f 1 ( x1 , x 2 ) = 144 .
Рис. 2. Дані для розв'язку задачі оптимізації по методу послідовних поступків.
Приклад 3. Цільове програмування
Провести оптимізацію вектор функції F (x)
F (x) = { f1 , f 2 , f 3 } → max , где
f1 = ( x1 + 2 x2 ) ⋅ exp(− x2 ), f 2 = (3x1 + 2 x2 ) ⋅ exp(−(3 x1 + x2 )), f 3 = x1 + x2
при обмеженнях
2 x1 + x2 ≤ 2,
x2 − x1 ≤ 3,
x1 , x2 ≥ 0.
4
Рис. 3. Дані для розв'язку прикладу 3.
Розв'язок. Введемо дані на робочий аркуш відповідно до Рис.3.
Відведемо під значення змінних комірки A20 і B20; уведемо формули, що визначають
обмеження задачі, у комірки A16:A17; формули для розрахунків функцій f 1 , f 2 , f 3 у комірки
~
E20, G20 і I20, а формулу для розрахунків d ( F , F ) - у комірку C28. Оскільки наші функції
нелінійні, у вікні діалогу Параметри пошуку розв'язку необхідно зняти прапорець (покажчик)
лінійна модель.
Далі послідовно проводимо пошук оптимальних (максимальних) значень функцій
f 1 , f 2 , f 3 (цільовими комірками обираємо E20, G20 і I20); після знаходження оптимальних
значень кожної з функцій її максимальне значення затягуємо (використовуючи спеціальну
вставку) у комірки E24, G24 і I24 відповідно. Таким чином, у комірках виявляться значення:
1.0748 (E24), 0.7357 (G24), 2 (I24).
5
Після цього переходимо до заключного етапу. Оптимізуємо (мінімізуємо) значення
~
цільової функції d ( F , F ) (цільова комірка З28). Пошук розв'язку дає для оптимального значення
цільової функції значення 0,32534. При цьому в комірках E20, G20 і I20 виявляться значення
~
функцій f 1 , f 2 , f 3 , відповідні до значень x1 , x 2 , при яких відхилення F ( x1 , x 2 ) від F буде
мінімальним.
Таким чином, при даних значеннях вагових коефіцієнтів ми одержуємо наступні
оптимальні (з погляду досягнення оптимального значення “сукупної” функції F (x) ) значення
компонент вектор функції:
~
f1
f1
~
f2
f2
~
f3
f3
1,0748
0,7815
0,7358
0,3609
2
1,6784
З вищенаведеної таблиці видно, що в результаті оптимізації F (x) значення всіх трьох
функцій-складових зменшилися. Природно, при використанні інших вагових коефіцієнтів ми
одержали б інші значення
f 1 , f 2 , f 3 (але при будь-яких значеннях вагових коефіцієнтів
тенденція зменшення всіх компонентів вектор-функції зберігається).
Слід зазначити, що задача цільового програмування може формулюватися трохи іншим
способом. ЛПР може просто вказати, виходячи зі своїх міркувань, бажані з його погляду,
~ ~ ~
значення f1 , f 2 , f 3 , або діапазони, у яких ці значення повинні бути локалізовані. При цій
постановці задачі вирішується практично аналогічно, з тим відмінністю, що пошук
оптимальних значень компонент (перша частина розв'язку) не проводиться, а їх значення (або
діапазони зміни) уводяться в якості обмежень додатково до вихідних обмежень задачі.
6
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
2233. | Религия в древнем Египте | 15.77 KB | |
Религиозные верования в ранних обществах. Фетишизм - наделение предметов сверхъестественными свойствами. Древнеегипетское общество. | |||
2234. | Голография и ее применение | 1.04 MB | |
Физические принципы голографии. Голографические оптические элементы. Голографические запоминающие устройства. Носители информации для голографических запоминающих устройств. Голографические запоминающие устройства двоичной информации. | |||
2235. | Деньги, их сущность и функции | 15.92 KB | |
Деньги - всеобщий эквивалент, всеобщее покупательное средство. Главная черта денег-свойство абсолютной ликвидности. | |||
2236. | Расчет величин, характеризующих силовой энергетический трансформатор и его режимы работы | 302.89 KB | |
СИЛОВОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ТРАНСФОРМАТОР И ОСНОВНЫЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ ЕГО ТЕОРИИ. УСЛОВИЯ И ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА РАБОТЫ ТРАНСФОРМАТОРА НА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ ПОДСТАНЦИИ. ЗАВИСИМОСТЬ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В СЕРДЕЧНИКЕ ОТ ТОКА ПЕРВИЧНОЙ ОБМОТКИ. СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРАНСФОРМАТОРА В РЕЖИМАХ ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ. | |||
2237. | Исследование теоретико-методологических аспектов позиционирования бренда | 768.83 KB | |
Проанализировать методы и процесс позиционирования бренда; дать оценку состояния бренда предприятия (на примере ОАО Эдельвейс), разработать рекомендации по управлению позиционированием бренда. | |||
2238. | Математическая физика | 1.55 MB | |
Единичное ступенчатое воздействие. Импульсное воздействие. Гармоническое (синусоидальное) воздействие. | |||
2239. | Автоматизированный электропривод подачи токарного станка | 628.47 KB | |
Выбор сглаживающего дросселя. Определение коэффициента передачи и постоянных времени силовых элементов. Расчет статических характеристик САУ. Построение структурно-динамической схемы и синтез регуляторов. | |||
2240. | Строительство водопропускного сооружения | 1012.54 KB | |
Климатические условия района строительства. Строительство русла канала механизированным способом. Состав строительных операций и объемы земляных работ. Обеспечение строительных объектов бетонной смесью. Транспортировка и укладка бетонной смеси. Строительство перепада. Технологический расчет строительства водопропускного сооружения. | |||
2241. | Технико–экономический анализ деятельности предприятия | 130.29 KB | |
Анализ выполнения плана по производственной программе и производственной базе. Анализ трудоемкости ТО-1 по видам работ. Анализ влияния статей себестоимости на общую сумму затрат. Анализ влияния ТЭП на выполнение плана по перевозкам. | |||