3975

Системы линейных неравенств

Лекция

Математика и математический анализ

Лекция Системы линейных неравенств Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из m с n неизвестными x1 ,x2 ,...

Русский

2012-11-10

331.41 KB

63 чел.

Лекция 27

Глава 3. Системы линейных неравенств

3.1. Основные понятия

Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач.

Системой линейных неравенств из m с n неизвестными x1 ,x2 , ,xn называется

система соотношений вида

a11 x1

a12 x 2

 a1n x n

b1 ,

a 21 x1

a 22 x 2

 a2n xn

b2 ,



a m1 x1 a m 2 x 2  a mn x n bm ,

где числа aij , i 1,2,  , m, i 1,2,  , n

называются коэффициентами системы, числа

bi , i 1,2, , m - свободными членами. Если bi 0, i 1,2,, m , то система линейных

неравенств называется однородной.

Решением системы линейных неравенств называется такая последовательность

вещественных чисел

j все

1 , 2 , , n , для которой после замены каждого x j на

неравенства системы оказываются верными числовыми неравенствами:

ai 1 1

 ain n

ai 2 2

1,2 , , m.

bi , i

Если система линейных неравенств имеет хотя бы одно решение, она называется

разрешимой, а если не имеет ни одного решения неразрешимой.

Две системы линейных неравенств называются эквивалентными, или

равносильными, если любое решение одной из них является решением и для другой.

Другими словами, множество решений одной системы совпадает с множеством решений

другой. При установлении эквивалентности двух систем линейных неравенств обычно

используются общие свойства неравенств для вещественных чисел.

В системе неравенств могут быть так же неравенства со знаком :

a1 x1

a2 x2

 an xn

b.

Такие неравенства, умножив на -1, изменим знак неравенства на противоположный:

a1 x1

a2 x2

 an xn

b.

Следовательно, системы линейных неравенств с разными знаками неравенств, всегда

можно свести к системам одного знака неравенства.

Вместе с системами линейных уравнений и системами линейных неравенств

рассматривают также системы, содержащие как линейные уравнения, так и линейные

неравенства. Уравнение

a1 x1

a2 x2

 an xn

b

можно заменить двумя неравенствами:

a1 x1 a2 x2  an xn

a1 x1

a2 x2  a n xn

b,

b.

Таким образом, любая система линейных соотношений, состоящая из уравнений и

неравенств, может быть сведена к системе линейных неравенств одного знака.


Для систем линейных неравенств с двумя и с тремя неизвестными можно дать

геометрическую интерпретацию.

Рассмотрим сначала одно линейное неравенство с двумя неизвестными, которое

запишем в виде (а и b одновременно не равны 0):

ax by c 0 .

Возьмем плоскость с фиксированной прямоугольной декартовой системой

координат. Если х, у - координаты точки на этой плоскости, то данное неравенство

определяет на плоскости некоторое множество точек, координаты которых удовлетворяют

этому неравенству. Нетрудно выяснить, каково это множество точек.

Рассмотрим уравнение:

ax+ by+ c = 0.

В случае b

0 запишем его в виде:

a

c

,h

.

b

b

Как известно, в рассматриваемом случае уравнение определяет на плоскости

некоторую прямую, не параллельную оси Оу.

В случае b > 0 исходное неравенство можно записать в виде

y

kx h , k

y

kx h,

и, значит, точки плоскости, определяемые этим неравенством, лежат по одну сторону от

указанной прямой («ниже» этой прямой) и на самой прямой (рис.1).

Y

y=kx+b

O

y< kx+b

X

Рис. 1

В случае b < 0, записав исходное неравенство в виде

y

kx h ,

мы видим, что и на этот раз все точки, определяемые им, лежат по одну сторону от

соответствующей прямой («выше» этой прямой) и на ней (рис.2).


Y

y< kx+b

y=kx+b

O

X

Рис. 2

Пусть b = 0. Тогда неравенство запишется в виде:

c

.

a

Уравнение х=h определяет на плоскости некоторую прямую, параллельную оси Оу.

При h=0 это будет сама ось Оу. Поэтому наше неравенство определяет множество точек

плоскости, лежащих по одну сторону от этой прямой: или «слева» от нее, или «справа

(включая каждый раз и точки самой этой прямой) (рис. 3).

h или x

x

Y

h, h

x<h

x>h

O

X

x=h

Рис. 3

Таким образом, неравенство

ax by c

0

определяет на плоскости одну из двух полуплоскостей, определяемых прямой с

уравнением ах+by+с=0, т. е. множество точек, лежащих по одну сторону от этой прямой и

на самой прямой.

Рассмотрим теперь систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

a1 x b1 y c1

a 2 x b2 y c 2

0,

0,



a m x bm y c m 0.


Множество точек плоскости, определяемых этой системой, состоит из тех точек,

координаты которых удовлетворяют этой системе. Значит, это множество есть

пересечение тех полуплоскостей, которые определяются неравенствами данной системы.

Нетрудно видеть, что это множество является многоугольной выпуклой областью на

плоскости (выпуклость означает, что вместе с любыми двумя точками из этого множества

все точки отрезка, соединяющего их, тоже лежат в этом множестве). При помощи

соответствующей системы линейных неравенств, можно получить

выпуклый

многоугольник, выпуклую неограниченную область, луч, отрезок, точку или пустое

множество.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и для систем линейных

неравенств с тремя неизвестными. В этом случае речь пошла бы о выпуклых

многогранных областях в пространстве.

►Пример 1.

При помощи системы линейных неравенств зададим треугольник с вершинами в

точках, заданных своими координатами: A(-2, 0), В(1, 3), С (4, 0) (рис. 4). Запишем

уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:

AB: x – y + 2 = 0, BC: x + y – 4 = 0, AC: y = 0

и изобразим их на плоскости.

Определим полуплоскость относительно прямой AB, в которой расположен

треугольник. Для этого в уравнение этой прямой x – y + 2 = 0 подставим координаты

точки O(0;0) , получим верное числовое неравенство 2 0. Следовательно, и координаты

любой точки полуплоскости, расположенной «ниже» прямой AB, удовлетворяют

неравенству x – y + 2 0. Подобным образом получаем и другие неравенства. В итоге

система неравенств, определяющая треугольник ABC, имеет вид:

x

x

y 2

y 4

у

0,

0,

0.

Y

B(1;3)

A(-2;0)

O

C(4;0)

Рис. 4

X


►Пример 2.

Система неравенств

x

y 3

x

0,

y 3

x 2y

0,

0

определяет на плоскости луч (рис. 5).

Y

x-y+3=0

x+2y=0

O

X

Рис. 5

►Пример 3.

Многогранная область, определяемая системой линейных неравенств

x z 1 0,

x 0,

y 0,

y 2,

z 0.

представляет собой треугольную призму (рис. 6).


Z

1

O

2

Y

1

X

Рис. 6

3.2. Решение систем линейных неравенств

Между системами линейных неравенств и системами линейных уравнений

устанавливается следующее соотношение.

Произвольной системе т линейных неравенств с п неизвестными:

a11 x1

a12 x 2

 a1n x n

b1 ,

a 21 x1

a 22 x 2

 a2n xn

b2 ,

  

a m1 x1 a m 2 x 2  a mn x n bm

сопоставим систему т линейных уравнений с п + т неизвестными:

a11 x1

a12 x 2

 a1n x n

a 21 x1

a 22 x 2

 a2n xn

xn

b1 ,

1

xn

2

b2 ,



a m1 x1 a m 2 x 2  a mn x n

x n m bm .

Теорема. Если 1 , 2 , , n , n 1 , n 2 , , n m есть решение указанной системы

линейных уравнений и n 1 0 , n 2 0 , , n m 0 , то 1 , 2 , , n

решение

исходной системы линейных неравенств.

При этом всякое решение системы линейных неравенств может быть получено

указанным образом.

Доказательство.

1) Если

ai 2 2  ain n

2) Пусть теперь (

неравенств, т. е.

1

,

2

n i

ai 2 2  ain n

ai1 1

то

ai1 1

bi i

,,

n

bi , n i

0,

1,2 , ,m

) есть какое-нибудь решение системы линейных


ai1 1

ai 2 2  ain n

bi i

1,2 , ,m

Обозначая

n i

bi

ai 2 2  ain n

ai1 1

получаем, что

1 , 2 , , n , n 1 , n 2 , , n m

системы линейных уравнений.

0

является решением построенной

►Пример 4. Решить систему линейных неравенств

2 x1

x2

x1

1,

x2

0.

Запишем соответствующую систему линейных уравнений:

2 x1

x2

x3

x1

1,

x2

0,

x1

1 x3

x4 ,

x2

добавив в уравнения неизвестные x3

x4

1 x3

2 x4 ,

0, x 4

0.

Находим общее решение этой системы:

где x3 0, x 4 0 .

Отсюда получаем общий вид решений исходной системы линейных неравенств:

x1 1 p q, x2 1 p 2q, p 0, q 0 .

►Пример 5. Решить систему линейных неравенств

2 x1

x2

4 x1

1,

2 x2

4.

Преобразуем систему неравенств к одному знаку неравенств:

2 x1

x2

2 x1

1,

x2

2.

Запишем соответствующую систему линейных уравнений:

2 x1

x2

2 x1

добавив в уравнения неизвестные x3

x3

x2

0, x 4

1,

x4

2,

0.

1 . Значит, эта система

Решая систему методом Гаусса, получим уравнение x3 x 4

уравнений не имеет решения с условием x3 0, x 4 0 .

Следовательно, исходная система линейных неравенств не имеет решения.


►Пример 6. При помощи системы линейных неравенств задать треугольник с вершинами

в точках A(3;1), В(0;4), С (5;5).

Запишем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:

AB: x + y -4 = 0, BC: x -5 y +20 = 0, AC: 2x -y = 5.

Тогда система неравенств, определяющая треугольник ABC, имеет вид:

x y 4 0,

x 5 y 20 0,

у

2x

5.

Преобразуем систему неравенств к виду, удобному для решеня:

x y 4,

x 5 y 20,

у

2x

5.

Запишем соответствующую систему линейных уравнений:

x

y

x1

x 5y

2x

где x1

0, x2

0, x3

x2

4,

20,

у x 3 5.

0.

Общее решение этой системы:

x

y

x1

где p

где 6

0, q 0 .

Если учесть условие x1

1

p

3

2

q

3

0, p

0, q

1

p

9

2

5

p

9

1

6

p

3

5

5

q,

9

1

q,

9

2

q,

3

0 , то решение исходной системы неравенств имеет вид:

1

5

x 5

p

q,

9

9

2

1

y 5

p

q,

9

9

0.


3.2. Задачи для самостоятельной работы

В следующих задачах изобразить множества заданные системами неравенств.

3 x1 5 x 2 15,

3 x1 4 x 2 12,

3.1. x1 2 x 2 3,

3.2. 2 x1 3 x 2 6,

x1 x 2

1.

2 x1 x 2

2.

x1

4 x2

3 0,

3.3. x1

3x2

4

x1

4.

3.5.

x2

x1 2 x 2 10,

x1 3x 2 30,

5 x1 4 x 2 40,

8 x1 10 x 2 80,

0, x 2

x2

3.8.

x1

0, x 2

3 x1

3.10.

0.

x2

9

0.

x2

0,

0,

20,

2 x1 3 x 2 12,

2 x1 4 x 2 16,

x1

60,

x1 x 2 30,

x1 3 x 2 75,

x1

2 x1

0.

3 x1

3

3 x1 6 x 2 12,

3.6. x1 2 x 2 4,

x1 x 2 1.

4.

x1

3.9.

3.4.

2 x2

x2

0,

2 x1 x 2 2 0,

2 x1 x 2 2,

x1

3.7.

3 x1

0, x 2

5x2

0.

600 ,

5 x1 8 x 2 720 ,

x1 x 2 100 ,

x1

0, x 2

0.

В следующих задачах найти решения систем неравенств.

x1 2 x 2 6,

3.11. 9 x1 4 x 2 56,

3x1 5 x 2 4.

3x1

3.12.

3.13. 5 x1

5 x1

x1

x2

2 x2

2,

10,

2 x2

10.

x2

3.15. 6 x1 7 x 2 42,

2 x1 3x2 6,

x1

3 x1

3.14. x1

x1

3,

0, x 2

0.

x1

3.16.

1,

x1 3x2 13,

x1 4 x 2 9,

2 x1

x1

x2

x2

9.

2 x 2 3 0,

x 2 9 0,

x2

2 x2

9

0.

4,

2 x1 x 2

3 x1 8 x 2

6,

24

x1

0.

0, x 2


3.17.

x1 2 x 2 10,

x1 3x 2 30,

5 x1 4 x 2 40,

8 x1 10 x 2 80,

x1

0, x 2

2 x1

3.18.

x1 2 x 2 4,

5 x1 2 x 2 10,

3.19.

4 x1 3 x 2 12,

7 x1 4 x 2 20.

x1

3.20.

20,

2 x1 3 x 2 12,

2 x1 4 x 2 16,

x1

0.

x2

0, x 2

0.

2 x2

1,

5 x1 2 x 2

4 x1 3 x 2

10,

12,

x1

0, x 2

0.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56003. «Серце моє там, де моя батьківщина» Ф.Шопен 65.5 KB
  На фоні музики декламуються вислови митців про Шопена. Шопен хворів стражданнями своєї батьківщини хворів розлукою зі своїми рідними і друзями хворів тугою за вітчизною і своє щире глибоке горе висловив у дивних поетичних звуках.
56004. Дітям про Шопена 150 KB
  МЕТА: показати учням можливості музики у втіленні почуттів людини через жанр інструментальної мініатюрипрелюдії; дати визначення понять ноктюрн скерцо; поглибити знання учнів про життя і творчість ...
56005. Lets Go Shopping 470 KB
  Sit down, please. But I am not your teacher, I am a shop assistant. Today we are going to do the shopping together and I am going to teach you how to do it in the best way. Do you like to go shopping?
56006. At the Shopping Centre 137 KB
  It’s Saturday afternoon and Tina and Tim are shopping with their mother. They go to a big shopping centre. The shopping centre is a big building outside the town. It has got many different types of shops.
56007. SHOPPING 31.5 KB
  You task was to revise the new words and prepare some information about shopping in Great Britain, Ukraine and other counties. You were divided into some groups. So, please at first let’s remind our words, look and try to match.
56008. Shops and Shopping 500.5 KB
  Hello, girls and boys! Nice to meet you how are you feeling today? I hope you are fine and ready to work. Let’s start the class. Today’s lesson will be devoted to shops and shopping.
56009. SHOPS AND SHOPPING 46 KB
  Text, exercises are aimed at learning new vocabulary. Pupils are offered to complete the chart, find true or false sentences, give short answers, put questions to the statements, find the odd word, make up sentences with words, find and correct the mistakes.
56011. Шкідливі та корисні звички 664.49 KB
  Кожен із нас мріє прожити щасливе життя, мати міцне здоров’я, багато друзів, знаходити взаєморозуміння між членами родини і нашого суспільства, досягти успіху в роботі, навчанні. Але, на жаль, наші сподівання не завжди справджуються.