39830

Ломаные линии и сплайновые кривые. Кривая Безье, NURBS-кривая

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Изучение приемов работы с ломаными линиями и сплайновыми кривыми: кривая Безье, NURBS-кривая. Редактирование сплайновых кривых. Способы создания скульптурных поверхностей.

Русский

2016-09-14

1.95 MB

8 чел.

Ломаные линии и сплайновые кривые 8

Работа № 9

Ломаные линии и сплайновые кривые

Цель работы: Изучение приемов работы с ломаными линиями и сплайновыми кривыми: кривая Безье, NURBS-кривая. Редактирование сплайновых кривых. Способы создания "скульптурных" поверхностей.

Введение

В предыдущих работах рассматривались трехмерные модели, образованные как простыми, так и сложными геометрическими формами.

Достаточно вспомнить моделирование тонкой пластины и корпуса лодки. Поверхности сложной формы легко получить по эскизам ломаных и кривых (сплайновых) линий.

В этой работе мы более подробно познакомимся со способами моделирования сложных ("скульптурных") поверхностей, которые впервые потребовались для создания форм новых автомобилей, самолетов, космических кораблей, многочисленных бытовых приборов.

Первый автомобиль с паровой машиной – 1769 г.

Автомобиль – 1896 г.

Автомобиль фирмы Рено (Renault) – 2006 г.

В работе  рассматриваются новые команды и термины, смысл которых мы будем раскрывать постепенно:

Материал для чтения

1. Команда Ломаная – . Позволяет построить ломаную линию, состоящую из отрезков прямых.

2. Сплайновые кривые. Термин "сплайн" происходит от английского слова spline. Так называется гибкая полоска стали, при помощи которой чертежники проводили через заданные точки плавные кривые. Раньше подобный способ построения плавных обводов различных тел, таких как, например, корпус корабля, кузов автомобиля был довольно широко распространен в практике машиностроения. Сплайном называли и разметочную веревку, кривизна которой регулировалась подвешенными грузиками (рис. 9.1). В результате форма тела задавалась при помощи набора очень точно изготовленных сечений – плазов. Появление компьютеров позволило перейти от этого механического метода к более эффективному математическому способу задания поверхности обтекаемого тела.

Рис. 9.1.

Сплайн – это гладкая кривая, которая строится с использованием дуг и проходит через две или более контрольных точек, управляющих формой сплайна. Чем больше используется контрольных точек, тем кривая получается более гладкой.

В основе этого подхода к описанию поверхностей лежит использование сравнительно несложных формул, позволяющих восстанавливать облик изделия с необходимой точностью. Для большинства тел, встречающихся на практике, невозможно найти универсальную формулу, которая может описать соответствующую поверхность глобально или, как принято говорить, в целом. Вместе с тем аналитическое описание (описание посредством формул) внешних обводов изделия, то есть задание в трехмерном пространстве двумерной поверхности, должно быть достаточно экономным. Это особенно важно, когда речь идет об обработке изделий на станках с числовым программным управлением.

Два из наиболее общих типов сплайнов – кривые Безье и В-сплайны (би-сплайны). Типичным примером сплайнов являются также неоднородные рациональные NURBS-кривые ("нурбс"-кривые).

3. Кривая Безье – . В начале 70-х годов профессор Пьер Безье, проектируя на компьютере корпуса автомобилей "Рено", впервые применил для этой цели уравнения, описывающие кривые, впоследствии названные его именем.

Кривые Безье записываются в памяти компьютера в виде математических формул, поэтому рисунки, полученные с помощью этих кривых, обеспечивают возможность масштабирования без потери качества изображения

Обобщение методов Безье и B-сплайнов в начале 70-х годов позволило получить одно из мощнейших и универсальных средств геометрического моделирования криволинейных обводов − NURBS-технологию. Из-за своей гибкости и точности NURBS-модели могут использоваться в любом процессе иллюстрации, анимации и промышленного дизайна.

4. NURBS-кривая. Сокращение (аббревиатура) NURBS обозначает Non-Uniform Rational B-Splines, то есть неравномерные рациональные B-сплайны. Это математические объекты для задания двумерных кривых и гладких поверхностей в трехмерном пространстве.

Неоднородный (Non-Uniform) означает, что различные области объектов NURBS (кривых или поверхностей) обладают различными свойствами (весами), значения которых не равны между собой.

Рациональный (Rational) означает, что объект NURBS может быть описан с помощью математических формул.

Большинство современных САПР и систем компьютерной анимации поддерживают моделирование с использованием NURBS-кривых и поверхностей;

- с помощью NURBS  кривых проще имитировать поверхности природных объектов или объектов, поверхности которых имеют сложным образом искривленные профили;

- NURBS-модели обеспечивают лучшее качество визуализации закругленных краев объектов благодаря разбиению на грани, выполняемому с использованием аналитических выражений. Например, обводы корпуса автомобиля моделируются с использованием NURBS-сплайнов.

Соотношение между сплайнами различных типов качественно иллюстрируется рис. 9.2.

Рис. 9.2.

Часть 1. Построение ломаной линии и сплайновых кривых

Задание 1. Построение различных видов кривых по указанным точкам

1.1. Запустите систему КОМПАС-3D LT.

1.2. Закройте окно справки.

1.3. Выполните команду ФайлСоздать…Фрагмент.

1.4. Постройте четыре точки (0; 0), (20; 50), (50; 50) и (70; 0). Стиль – Вспомогательная точка. При построении точек используйте поля ввода координат.

1.5. Постройте по указанным точкам ломаную линию:

  1.  выберите команду Ломаная – ;
  2.  привяжитесь последовательно к точкам A, B, C и D (рис. 9.3);

Рис. 9.3. Построение ломаной по выбранным точкам.

  1.  после привязки к последней точке на Панели свойств выберите команду Создать объект или выберите из объектного меню команду Создать ломаную. Ломаная линия создается как единый объект;
  2.  прервите выполнение команды.

1.6. Постройте по указанным точкам кривую Безье:

  1.  на расширенной панели команд выберите Кривая Безье – ;
  2.  привяжитесь последовательно к точкам A, B, C и D;
  3.  после привязки к последней точке на Панели свойств выберите команду Создать объект или выберите из объектного меню команду Создать кривую Безье;
  4.  прервите выполнение команды.

Сравните ломаную линию и кривую Безье (рис. 9.4).

Рис. 9.4.

Согласитесь с тем, что кривая Безье действительно напоминает гибкую линейку, которая закреплена в вершинах.

При редактировании сплайновых кривых вы увидите, что они обладают более интересными свойствами.

1.7. Постройте по указанным точкам NURBS-кривую:

  1.  выберите команду NURBS-кривая – ;
  2.  привяжитесь последовательно к точкам A, B, C и D, затем создайте объект – NURBS-кривую, и прервите выполнение команды.

После выполнения этого задания вы получите следующее изображение – рис. 9.5.

Рис. 9.5.

1.8. Сохраните результаты построений.

Часть 2. Редактирование ломаной линии и сплайновых кривых

Команду редактирования можно выбрать в объектном (контекстном) меню по выделенному графический объект.

Другой способ запуска редактирования параметров объекта: двойной щелчок мышью на этом объекте.

В этом режиме характерные точки отображаются в виде маленьких черных квадратов, а объект выделяется цветом. Теперь вы можете:

– изменить вид линии;

– перемещать характерные точки линии;

– добавлять и удалять характерные точки.

1. Перетаскивание характерной точки при помощи мыши.

Подведите курсор к характерной точке, при этом он изменит свою форму. Нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, перемещайте точку. Когда нужное положение точки будет достигнуто, отпустите кнопку мыши.

2. Перемещение характерной точки при помощи клавиатуры.

Подведите курсор к характерной точке при помощи клавиш со стрелками. Когда курсор изменит форму, нажмите клавишу Enter, активизировав тем самым характерную точку. Теперь характерная точка будет перемещаться вместе с курсором при помощи клавиш-стрелок. При достижении нужного положения вновь нажмите клавишу Enter, зафиксировав тем самым ее новое положение. Обратите внимание на то, что при этом способе перемещение характерной точки будет дискретным, кратным текущему шагу курсора.

3. Перемещение характерной точки с осуществлением привязки.

При перетаскивании характерной точки (как при помощи мыши, так и при помощи клавиатуры) срабатывают включенные в данный момент глобальные привязки.

При перетаскивании точки можно также воспользоваться локальными привязками. Для этого в процессе перемещения нажмите правую кнопку мыши или комбинацию клавиш Shift+F10 и вызовите из контекстного меню нужную привязку. Перемещайте курсор, а когда привязка сработает, щелкните левой кнопкой мыши или нажмите клавишу Enter.

При перетаскивании точки можно воспользоваться клавиатурными привязками. Для этого в процессе перемещения нажмите комбинацию клавиш, вызывающую нужную привязку, а после выполнения привязки отпустите левую кнопку мыши или нажмите клавишу Enter (комбинации клавиш перечислены в разделе справки Клавиатурные комбинации).

4. Задание координат характерной точки.

Активизируйте характерную точку. В Строке параметров объекта появятся поля с координатами этой точки. Введите в поля координат новые значения и зафиксируйте их, нажав клавишу Enter. После этого характерная точка займет новое положение.

5. Добавление характерной точки.

Подведите курсор к кривой (при этом он должен изменить свою форму) и щелкните левой кнопкой или нажмите клавишу Enter. Новая характерная точка кривой добавлена.

6. Удаление характерной точки.

Активизируйте характерную точку и нажмите клавишу Delete. После этого характерная точка исчезнет, и объект перестроится в соответствии с положением оставшихся характерных точек.

Примечание.

1. При редактировании характерных точек перечисленные способы можно комбинировать. Для этого следует выбрать из объектного меню команду Редактировать точки.

2. Редактирование объекта завершается нажатием кнопки Создать объект или выбором соответствующей команды из объектного меню.

Задание 2. Редактирование построенных кривых

2.1. Редактирование ломаной линии:

  1.  войдите в режим редактирования ломаной линии;
  2.  освойте все перечисленные выше приемы редактирования характерных точек;
  3.  прочитайте дополнительную справку и попробуйте проделать описанные действия с характерными точками ломаной линии. Обратите внимание на происходящие изменения;
  4.  создайте объект.

2.2. Редактирование кривой Безье:

  1.  войдите в режим редактирования кривой. Обратите внимание, что у каждой вершины кривой Безье появились касательные векторы, на концах которых есть управляющие точки или маркеры (рис. 9.6).

Рис. 9.6. редактирование кривой Безье.

Вы можете:

– перемещать вершины кривой Безье;

– перемещать управляющие точки (маркеры) и поворачивать касательные векторы;

– добавлять и удалять вершины кривой Безье;

  1.  попробуйте проделать эти операции и обратите внимание на изменения, которые происходят с кривой Безье.

2.3. Редактирование NURBS-кривой:

  1.  войдите в режим редактирования NURBS-кривой (рис. 9.7).

Рис. 9.7.

Панель свойств NURBS-кривой имеет вид, показанный на рис. 9.8.

Рис. 9.8. Панель свойств NURBS–кривой.

Здесь:

т − координаты выделенной (указанной) характерной точки,

Вес точки – образно говоря, сила притяжения кривой к точке;

Порядок NURBS-кривой – число, на единицу большее степени полиномов, описывающих участки, из которых состоит кривая;

Режим построения NURBS-кривой: разомкнутая/замкнутая – ;

  1.  попробуйте поменять параметры NURBS-кривой. Изучите влияние веса точки и порядка кривой.

Часть 3. Формирование сложных поверхностей

Вы уже знаете, что для формирования сложных поверхностей в качестве эскиза служат сложные линии (ломаная или кривая), или несколько эскизов в смещенных плоскостях.

Задание 3. Создание модели вазы

Создайте модель вазы по 9 характерным точкам с помощью операции Вращение.

Это задание очень похоже на моделирование работы гончара на гончарном круге.

Образующая представляет собой сложную линию, состоящую из ломаной и NURBS-кривой. Чтобы упростить процедуру создания образующей, воспользуемся вспомогательными точками.

3.1. Создайте новый документ Деталь.

3.2. Установите  рабочую ориентацию Изометрия XYZ.

3.3. Выберите в окне Дерево модели плоскость XYФронтальная.

3.4. Выполните команду Эскиз.

3.5. Нанесите вспомогательные точки для построения образующей:

  1.  постройте вспомогательные точки с координатами (0; 0), (20; 0), (20; 5), (40; 20), (40; 40), (15; 60), (5; 70), (5; 85) и (15; 100) – рис. 9.9;

Рис. 9.9. Нанесение вспомогательных точек
для построения образующей линии модели вазы.

Образующая вазы представляет собой сложную линию, которая состоит из ломаной линии, проходящей через первые три точки и NURBS – кривой, проходящей через семь точек;

  1.  выберите команду Ломаная и постройте ее по трем точкам (0; 0), (20; 0), (20; 5). Эта ломаная линия позволит сформировать дно вазы (рис. 9.10);

 

Рис. 9.10. Начало эскиза: Ломаная линия.

  1.  выберите команду NURBS-кривая –  – и постройте сплайновую кривую по семи точкам с координатами: (20; 5), (40; 20), (40; 40), (15; 60), (5; 70), (5; 85) и (15; 100);
  2.  создайте объект. NURBS-кривая примет следующий вид – рис. 9.11.

Рис. 9.11. Эскиз: образующая линия модели вазы.

Так как мы используем для моделирования вазы операцию вращения, то необходимо провести ось вращения – вертикальный отрезок со стилем линии Осевая.

3.6. Выберите команду Отрезок. Смените тип линии на Осевая. 

3.7. Привяжитесь к точке (0; 0) и проведите вертикальный отрезок. Длина отрезка особого значения не имеет (рис. 9.12).

Рис. 9.12. Эскиз: образующая вазы и осевая линия.

3.8. Завершите работу с командой, затем – с эскизом (рис. 9.13).

Рис. 9.13.

3.9. В окне Дерево модели выделите Эскиз: 1.

3.10. На инструментальной панели выберите команду Вращение.

3.11. На панели свойств укажите

  •  Способ: Тороид, Два направления по 180;
  •  Тип построения тонкой стенки: Внутрь, толщина стенки 2 мм.

3.12. Выполните команду Создать объект.

3.13. Выберите режим отображения Полутоновое (рис. 9.14).

Рис. 9.14. Трехмерная модель вазы.

Теперь вы можете повернуть вазу и рассмотреть ее с разных сторон.

3.14. Сохраните модель в файл под именем Ваза.

Часть 4. Редактирование сложных поверхностей

Задание 4. Изменение формы вазы с помощью команды редактирования эскиза

4.1. Выделите в окне Дерево модели узел Операция вращения: 1 и затем выберите из объектного меню команду Редактировать эскиз.

4.2. Щелкните по NURBS-кривой. Теперь вы можете редактировать кривую, перемещая ее характерные точки. Подберите образующую вазы, которая вам больше всего понравится.

4.3. Закончите редактирование эскиза.

Теперь ваза будет иметь, например, следующий вид спереди – рис. 9.15.

Рис. 9.15.

4.4. В режиме редактирования эскиза измените положение точек ломаной линии.

Примечание.

При появлении предупреждений внимательно изучите их и внесите соответствующие изменения в эскиз или параметры операции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19877. Учасники кримінального процесу 115 KB
  ТЕМА 4: Учасники кримінального процесу План 1. Поняття і класифікація учасників кримінального процесу. 2. Посадові особи які ведуть та безпосередньо здійснюють кримінальнопроцесуальне провадження. 3. Особи які мають та обстоюють у кримінальному процесі власні інт
19878. Доказування та докази в кримінальному процесі 139.5 KB
  ТЕМА 5: Доказування та докази в кримінальному процесі 1. Поняття кримінальнопроцесуального доказування та його значення. Предмет доказування. 2. Класифікація доказів та їх джерел.іяіііі 3. Способи збирання перевірки й оцінки доказів та їх процесуальних джерел. 1. П...
19879. Цивільний позов у кримінальному процесі 107 KB
  ТЕМА 6: Цивільний позов у кримінальному процесі План 1. Суб'єкти цивільного позову в кримінальному процесі. 2. Предмет підстави і доказування цивільного позову в кримінальній справі. 1. Суб'єкти цивільного позову в кримінальному процесі Основними суб'єктами прова
19880. Процесуальні строки і судові витрати 98 KB
  Тема 7: Процесуальні строки і судові витрати. План 1. Строки провадження слідчих і процесуальних дій та порядок їх обчислення. 2. Продовження строків досудового слідства. 3. Поняття і склад судових витрат. 1. Строки провадження слідчих і процесуальних дій та порядо
19881. Порушення кримінальної справи 123.5 KB
  ТЕМА 8: Порушення кримінальної справи План 1. Поняття значення і завдання стадії порушення кримінальної справи. 2. Приводи і підстави для порушення кримінальної справи. 3. Процесуальний порядок порушення кримінальної справи. 4. Оскарження рішень слідчого і прокурор
19882. Відмова в порушенні кримінальної справи 119 KB
  ТЕМА 9: Відмова в порушенні кримінальної справи 1. Поняття і значення відмови в порушенні кримінальної справи. 2. Обставини що виключають можливість порушення кримінальної справи. 3. Процесуальний порядок відмови в порушенні кримінальної справи. 4. Оскарження рішен
19883. Основні положення досудового слідства 140 KB
  ТЕМА 10: Основні положення досудового слідства 1. Поняття значення і завдання досудового слідства. 2. Форми досудового слідства. 3. Поняття і характеристика основних положень досудового слідства. 1. Поняття значення і завдання досудового слідства Правосуддя в Укр
19884. Провадження слідчих дій 212 KB
  ТЕМА 11: Провадження слідчих дій 1. Поняття і сутність слідчих дій 2. Загальна характеристика слідчих дій 1. Поняття і сутність слідчих дій При розслідуванні кримінальної справи слідчий виконує дії та ухвалює рішення передбачені або зумовлені кримінальнопроцесуа